República Bolivariana de VenezuelaRepública Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación UniversitariaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Extensión MaracayExtensión Maracay

IUPMSIUPMS

Integrantes:Integrantes:Fernando Marcano Fernando Marcano

CI:19.509.703CI:19.509.703Sara Colmenares Sara Colmenares

CI:16.110.094CI:16.110.094Sección: SMSección: SM

Profesor:Profesor:José Leonardo AranaJosé Leonardo Arana

Programación LinealProgramación Lineal La programación lineal es un procedimiento o La programación lineal es un procedimiento o

algoritmo matemático mediante el cual se algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.inecuaciones lineales.

VariablesVariables

Las variables son números reales Las variables son números reales mayores o iguales a cero. mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de número entero, el procedimiento de resolución se denomina resolución se denomina Programación enteraProgramación entera..

Las restricciones pueden ser de la forma:Las restricciones pueden ser de la forma: Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3: Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3:

Donde:Donde: AA = valor conocido a ser respetado estrictamente; = valor conocido a ser respetado estrictamente; BB = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; CC = valor conocido que no debe ser superado; = valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de

restricciones); restricciones); aa; ; bb; y, ; y, cc = coeficientes técnicos conocidos; = coeficientes técnicos conocidos; XX = Incógnitas, de 1 a N; = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N. i = número de la incógnita, variable de 1 a N. En general no hay restricciones en cuanto a los valores de En general no hay restricciones en cuanto a los valores de NN y y MM. .

Puede ser Puede ser N = MN = M; ; N > MN > M; ó, ; ó, N < MN < M.. Sin embargo si las restricciones del Sin embargo si las restricciones del Tipo 1Tipo 1 son son NN, el problema puede , el problema puede

ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el

mismo problema.mismo problema.

RestriccionesRestricciones

Función ObjetivoFunción Objetivo

La función objetivo puede ser:La función objetivo puede ser:

O O Donde:Donde: = coeficientes son relativamente = coeficientes son relativamente

iguales a cero. iguales a cero.

Solución FactibleSolución Factible

Solución que satisface todas las Solución que satisface todas las restricciones.restricciones.

Solución ÓptimaSolución Óptima Solución factible que entrega el Solución factible que entrega el

mejor valor posible para la función mejor valor posible para la función objetivoobjetivo

Propiedades de las Propiedades de las solucionessoluciones

Existe solo una solución, esta Existe solo una solución, esta corresponde a un vértice de la región corresponde a un vértice de la región factible.factible.

Si existen varias soluciones, al Si existen varias soluciones, al menos dos de ellas deben estar en menos dos de ellas deben estar en vértices adyacentes.vértices adyacentes.

EjemplosEjemplos

Max Z=6xMax Z=6x11 + 4x + 4x22

Restricciones:Restricciones: X1 +X2 < 12X1 +X2 < 12 X1 –2 X2 <6X1 –2 X2 <6 X2 < 8X2 < 8 Condición de negatividadCondición de negatividad X1, X2 >0X1, X2 >0

Hay casos de igualdades y desigualdades lineales para el Hay casos de igualdades y desigualdades lineales para el caso de dos variables dichas restricciones pueden ser caso de dos variables dichas restricciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano donde cada eje graficadas en el plano cartesiano donde cada eje corresponde a una variable.corresponde a una variable.

X1 + x2 =12X1 + x2 =12X1=0 X1=0 x2 =12x2 =12(0,12)(0,12)

X1 – 2x2 =6X1 – 2x2 =6X1=0X1=0X2 =6/-2 =-3X2 =6/-2 =-3(0,-3)(0,-3)

X2=8X2=8(0,8)(0,8)

X1 + x2 = 12X1 + x2 = 12

X2=0X2=0

X1=12X1=12

(12,0)(12,0)

X1 – 2x2= 6X1 – 2x2= 6

X2=0X2=0

X1=6X1=6

(6,0)(6,0)

GráficoGráfico

Las restricciones forman un Las restricciones forman un polígono cuyos lados son polígono cuyos lados son secciones de las rectas que secciones de las rectas que grafican las restricciones grafican las restricciones incluyendo los ejes del plano incluyendo los ejes del plano y cuyos vértices y cuyos vértices corresponden a las corresponden a las intersecciones de estas. Este intersecciones de estas. Este polígono recibe el nombre de polígono recibe el nombre de región factible y delimita la región factible y delimita la región del plano que contiene región del plano que contiene las posibles soluciones que las posibles soluciones que cumplen la totalidad de las cumplen la totalidad de las restriccionesrestricciones

Max z= 6x1 + 4x2Max z= 6x1 + 4x2Con el pto (4,8): 6(4) + 4(8)=56Con el pto (4,8): 6(4) + 4(8)=56Con el pto (10,2): 6(10) +4(2) =68Con el pto (10,2): 6(10) +4(2) =68Con el pto (6,0): 6(6) + 4(0)=36Con el pto (6,0): 6(6) + 4(0)=36Con el pto (0,0): 6(0) +4(0)=0Con el pto (0,0): 6(0) +4(0)=0Con el pto (0,8): 6(0) +4(8)=32Con el pto (0,8): 6(0) +4(8)=32

La solución optima para la función objetivo La solución optima para la función objetivo es 68es 68

Ejemplo nº 2:Ejemplo nº 2:

Para una obra se necesita un Polimero que Para una obra se necesita un Polimero que contienen 3 propiedades: A, B y C. Las contienen 3 propiedades: A, B y C. Las cantidades mínimas necesarias son 160 cantidades mínimas necesarias son 160 und de A, 200 und de B, y 80 und de C. und de A, 200 und de B, y 80 und de C. Existen dos tipos de polimero muy Existen dos tipos de polimero muy aceptados en la industria; Pacrin cuesta 8$ aceptados en la industria; Pacrin cuesta 8$ un saco, contiene 3 und A, 5 und de B y un saco, contiene 3 und A, 5 und de B y 1und de C, Povicen cuesta 6$ cada saco 1und de C, Povicen cuesta 6$ cada saco contiene 2 und de cada propiedad. contiene 2 und de cada propiedad. ¿Cuántos sacos de cada marca debe ¿Cuántos sacos de cada marca debe comprar para que el costo sea mínimo?comprar para que el costo sea mínimo?

x = x = Nº Sacos PacrinNº Sacos Pacrin Y= Y= Nº Sacos PovicenNº Sacos Povicen

Z= 8x +6yZ= 8x +6y

AA BB CC

3X3X

2y2y5X5X

2y2y1X1X

2y2y

Restricciones:Restricciones:

3x + 2y > 1603x + 2y > 160

5x + 2y > 2005x + 2y > 200

X + 2y > 80X + 2y > 80

X>0 y>0X>0 y>0

Pcr (x)Pcr (x)

Pov(y)Pov(y)

Z=8X+6YZ=8X+6Y

(0,100)=600; (80,0)=640;(20,100)=760 ;(40,20) =(0,100)=600; (80,0)=640;(20,100)=760 ;(40,20) =440440