program linier : solusi simpleks
DESCRIPTION
PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS. (Memaksimalkan Z, dengan batasan < ) Pertemuan 3 dan 4. Metode Simpleks. Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua variabel keputusan. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/1.jpg)
(Memaksimalkan Z, dengan batasan <)
Pertemuan 3 dan 4
PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS
![Page 2: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/2.jpg)
Metode Simpleks
Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier,
baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua
variabel keputusan.
![Page 3: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/3.jpg)
Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain.
Metode penyelesaian dari metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang-ulang sebelum solusi optimal diperoleh
![Page 4: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/4.jpg)
Penyelesaian Dengan Metode Simpleks
Syarat :Model program linier ( Canonical
form) harus dirubah dulu kedalam suatu bentuk umum yang dinamakan
”bentuk baku” (standard form).
![Page 5: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/5.jpg)
Ciri-ciri dari bentuk baku model program linier
Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi kanan non-negatif.
Semua variabel keputusan non-negatif. Fungsi tujuan dapat memaksimumkan
maupun meminimumkan
![Page 6: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/6.jpg)
dapat dituliskan :
Fungsi tujuan :
Maks / Min Z = CXFungsi pembatas :
AX = b
X > 0
![Page 7: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/7.jpg)
Perlu diperhatikan :
Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga kalau tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dulu menjadi bentuk standar.
![Page 8: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/8.jpg)
Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan :
Fungsi Pembatas Suatu fungsi pembatas yang mempunyai
tanda < diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable (variabel pengurang).
![Page 9: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/9.jpg)
Fungsi Tujuan Dengan adanya slack variable pada fungsi
pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini.
Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.
![Page 10: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 1 :
Fungsi tujuan :
Maks Z = 4 X1 + 5 X2 Fungsi pembatas :
X1 + 2 X2 < 40
4 X1 + 3 X2 < 120
X1 , X2 > 0
Rubahlah menjadi bentuk standar.
![Page 11: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/11.jpg)
Untuk merubah menjadi bentuk standar, maka harus menambahkan slack variable, menjadi :
X1 + 2 X2 < 40 X1 + 2 X2 + S1 = 40
4 X1 + 3 X2 < 120 4 X1 + 3 X2 + S2 = 120
Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi :
Maks Z = 4 X1 + 5 X2 + 0 S1 + 0 S2
![Page 12: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 2 :
Fungsi tujuan : Maks Z = 60 X1 + 30 X2 +20 X3
Fungsi pembatas : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 48
4 X1 + 2 X2 < 20
2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8
X2 < 5
X1 , X2 , X3 > 0
![Page 13: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/13.jpg)
dengan menambahkan slack variable, menjadi :
8 X1 + 6 X2 + X3 < 48 8 X1 + 6 X2 + X3 + S1 = 48
4 X1 + 2 X2 < 20 4 X1 + 2 X2 + S2 = 20
2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8
2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 + S3 = 8
X2 < 5 X2 + S4 = 5
Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi :
Maks Z = 4 X1 + 5 X2 + 0 S1 + 0 S2 + + 0 S3 + 0 S4
![Page 14: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh 3 :
Fungsi tujuan :
Min Z = 2 X1 - 3 X2 Fungsi pembatas :
X1 + X2 < 4
X1 - X2 < 6
X1 , X2 > 0
![Page 15: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/15.jpg)
dengan menambahkan slack variable, menjadi:X1 + X2 < 4 X1 + X2 + S1 = 4
X1 - X2 < 6 X1 - X2 + S2 = 6
Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi :
Min Z = 2 X1 - 3 X2 + 0 S1 + 0 S2
![Page 16: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/16.jpg)
Metode dan Tabel Simpleks
Setelah fungsi batasan dirubah ke dalam bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks dibutuhkan matriks A yang berisi variabel basis dan variabel non-basis.
pada contoh 1, diperoleh matriks A yaitu:
1034
0121
![Page 17: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/17.jpg)
Variabel basis adalah S1 dan S2, sedangkan variabel non-basis adalah variabel X1 dan variabel X2
Matriks basis biasanya dinyatakan dengan BFS (Basis Feasible Solution), dan dituliskan dengan matriks B ( matriks identitas) yaitu :
10
01
![Page 18: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/18.jpg)
Tabel Simpleks
Langkah-langkah penyelesaian dalam metode simpleks adalah dengan menggunakan suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks.
Tabel ini mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan penghitungan matematis menjadi lebih mudah
![Page 19: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh bentuk tabel simpleks
cj Variabel 4 5 0 0
Basis Kuantitas X1 X2 S1 S2
0 S1 40 1 2 1 0
0 S2 120 4 3 0 1
zj 0 0 0 0 0
cj - zj 4 5 0 0
![Page 20: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/20.jpg)
Langkah-langkah metode simpleks
Mengubah bentuk batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan.
Membentuk tabel awal untuk solusi feasible dasar pada titik orijin dan menghitung nilai-nilai baris zj dan cj – zj.
Menentukan kolom pivot (kolom pemutar) dengan cara memilih kolom yang memiliki nilai positif terbesar pada baris cj – zj. Kolom pivot ini digunakan untuk menentukan variabel non-basis yang akan masuk ke dalam variabel basis.
![Page 21: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/21.jpg)
Menentukan baris pivot (baris pemutar) dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom kuantitas dengan nilai-nilai pada kolom pivot, kemudian memilih baris dengan hasil bagi yang non-negatif terkecil. Baris pivot ini digunakan untuk menentukan variabel basis yang akan keluar dari variabel basis.
Perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot diperoleh nilai pivot.
Mengubah nilai baris pivot yang baru dengan cara :
pivotnilai
lamapivotbarisnilaibarupivotbarisnilai
Sehingga pada tabel baru, nilai pivot menjadi 1.
![Page 22: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/22.jpg)
Menghitung nilai baris lainnya dengan cara :
nberhubungaygbarutabel
pivotbarisnilai
nberhubungayg
pivotkolomkoef
lamatabel
barisnilai
barutabel
barisnilai
Menghitung baris-baris zj dan cj – zj. Menentukan apakah solusi telah optimal dengan cara mengecek baris cj – zj. Jika nilai cj – zj adalah nol atau negatif, maka solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif, maka kembali ke langkah c dan mengulangi kembali langkah-langkah selanjutnya.
![Page 23: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh 1:
Fungsi tujuan :
Maks Z = 4 X1 + 5 X2 Fungsi pembatas :
X1 + 2 X2 < 40
4 X1 + 3 X2 < 120
X1 , X2 > 0
Selesaikan dengan metode simpleks
![Page 24: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 2:
Fungsi tujuan : Maks Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
Fungsi pembatas : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 484 X1 + 2 X2 < 202 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8X2 < 5X1 , X2 , X3 > 0Selesaikan dengan metode simpleks
![Page 25: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/25.jpg)
(Meminimalkan Z, dengan batasan >) (Masalah Batasan Campuran)
Pertemuan 4
Metode Simpleks (Big-M)
![Page 26: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/26.jpg)
Aturan yang dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian:
Batasan
Penyesuaian fungsi batasan
Koefisien fungsi tujuan
Maksimisasi Minimisasi
< Tambah slack variabel 0 0
= Tambah artificial variabel
-M M
> Kurang slack variabel 0 0
Dan tambah artificial variabel
-M M
![Page 27: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh 3:
Fungsi tujuan :
Min Z = 6X1 + 3 X2 Fungsi pembatas :
2 X1 + 4X2 > 16
4 X1 + 3 X2 > 24
X1 , X2 > 0
Selesaikan dengan metode simpleks
![Page 28: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh 4:
Fungsi tujuan : Maks Z = 400 X1 + 200 X2
Fungsi pembatas : X1 + X2 = 302 X1 + 8 X2 > 80X1 < 20X1 , X2 > 0Selesaikan dengan metode simpleks
![Page 29: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/29.jpg)
Masalah Jenis Program Linier yang Tidak Teratur (Iregular), a.l. :
Masalah solusi optimal majemuk (Multiple Optimal Solution)
Masalah tidak layak (tidak feasible) Masalah solusi tidak terbatas Masalah dengan kolom pivot dan baris pivot yang
sama (seri) Masalah dengan batasan yang mempunyai nilai
kuantitas negatif
![Page 30: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/30.jpg)
Masalah solusi optimal majemuk (Multiple Optimal Solution) :
Masalah ini akan ditemui jika fungsi tujuan sejajar dengan fungsi batasan.
Sebagai contoh, dipunyai model program linier sbb. :
Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 3 X2 Fungsi pembatas :
X1 + 2 X2 < 40
4 X1 + 3 X2 < 120
X1 , X2 > 0
![Page 31: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/31.jpg)
Diperoleh tabel optimal sbb. :
cj Variabel 4 3 0 0
Basis Kuantitas X1 X2 S1 S2
0 S1 10 0 5/4 1 -1/4
4 X1 30 1 3/4 0 1/4
zj 120 4 3 0 1
cj - zj 0 0 0 -1
![Page 32: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/32.jpg)
Pada tabel optimal terlihat bahwa nilai pada baris cj - zj < 0 , dan diperoleh solusi optimal X2 = 0 , X1 = 30, dan Z = 120.
Pada tabel optimal terlihat bahwa variabel X2, bukan merupakan variabel basis tetapi pada baris cj – zj mempunyai nilai nol.
Hal ini mengindikasikan bahwa solusi optimal yang diperoleh lebih dari satu dan biasa disebut sebagai masalah solusi optimal majemuk (Multiple Optimal Solution).
![Page 33: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/33.jpg)
Untuk mengetahui solusi optimal yang lain, adalah dengan menganggap variabel X2
menjadi kolom pivot, kemudian cari baris pivot seperti biasa.
Pemilihan ini menjadikan baris S1 menjadi
baris pemutar. Setelah itu, proses penyelesaiannya mengikuti proses penyelesaian seperti biasa
![Page 34: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/34.jpg)
Masalah tidak layak (tidak feasible)
Sebagai contoh, dipunyai model program linier sbb. :
Fungsi tujuan : Maks Z = 5 X1 + 3 X2 Fungsi pembatas :
4 X1 + 2 X2 < 8
X1 > 4
X2 > 6
X1 , X2 > 0
![Page 35: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/35.jpg)
Diperoleh tabel simpleks optimal, yaitu :
cj Variabel
5 3 0 0 0 -M -M
Basis Kuantitas
X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2
3 X2 4 2 1 1/2 0 0 0 0
-M A1 4 1 0 0 -1 0 1 0
-M A2 2 -2 0 -1/2 0 -1 0 1
zj 12-6M 6+M 3 3/2+M/2 M M -M -M
cj - zj -1-M 0 -3/2-M/2 -M -M 0 0
![Page 36: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/36.jpg)
Pada tabel simpleks optimal terlihat bahwa nilai-nilai pada baris cj-zj < 0, dan diperoleh solusi X2 = 4 , A1 = 4, dan A2 = 2.
Karena pada solusi akhir ini masih ada variabel artifisial (yaitu A1 dan A2), maka
solusi ini tidak mempunyai arti apa-apa, dengan kata lain, masalah di atas tidak feasible
![Page 37: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/37.jpg)
Masalah solusi tidak terbatas
Dalam beberapa masalah daerah solusi yang feasible dibentuk oleh batasan-batasan model yang tidak tertutup, dimana fungsi tujuan akan naik terus menerus tidak terbatas tanpa mencapai nilai maksimum, mengingat fungsi tujuan tidak akan pernah mencapai batas daerah yang layak (daerah feasible).
Sebagai contoh :Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 2 X2 Fungsi pembatas :
X1 > 4 X2 < 2
X1 , X2 > 0
![Page 38: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/38.jpg)
Diperoleh hasil iterasi 1 adalah:
cj Variabel
4 2 0 0
Basis Kuantitas
X1 X2 S1 S2
4 X1 4 1 0 -1 0 -
0 S2 2 0 1 0 1 -
zj 16 4 0 -4 0
cj - zj 0 2 4 0
![Page 39: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/39.jpg)
Dari tabel iterasi 1 tersebut terlihat bahwa nilai rasio bernilai negatif atau nol, sehingga hal ini mengindikasikan bahwa tidak ada titik “yang paling dibatasi”.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa masalah ini mempunyai solusi yang tidak tertutup atau disebut juga solusi tidak terbatas.
![Page 40: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/40.jpg)
Masalah dengan kolom pivot dan baris pivot yang sama (seri)
Kadangkala dalam pemilihan kolom pivot dan baris pivot terdapat nilai yang sama (seri), maka untuk menyelesaikannya dipilih salah satu secara acak.
Dalam hal ini, tidak ada indikasi sebelumnya bahwa pemilihan salah satu dari kolom/ baris pivot memerlukan pengulangan tabel (iterasi) dan perhitungan yang lebih sedikit dari pada kolom/baris pivot lainnya.
![Page 41: PROGRAM LINIER : SOLUSI SIMPLEKS](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061412/56815188550346895dbfc01d/html5/thumbnails/41.jpg)
Masalah dengan batasan yang mempunyai nilai kuantitas negatif
Misalnya dipunyai fungsi batasan sbb. :
-6 X1 + 2 X2 > -30
Masalah seperti ini dapat diatasi dengan cara mengalikan pertidaksamaan tersebut dengan -1, menjadi :
(-1) . (-6 X1 + 2 X2 > -30)
6 X1 - 2 X2 < 30