Zorislav Sorić1, Tomislav Kišiček2, Igor Gukov3, Nina Bjelajac4

Program za proračun progiba AB nosačaSažetak:

Program za proračun progiba sastoji se od sedam potprograma (ulaz, materijal, presjek1, presjek2, statika, progib, ispis). Proračun se provodi prema europskim normama br. 1992. (EC2) za naponska stanja I i II. Uzima se u obzir opterećenje, dimenzije nosača te puzanje i skupljanje betona. Programom su predviđene dvije vrste poprečnih presjeka (pravokutni i T- presjek) te devet kombinacija statičkih sustava i opterećenja (slobodno oslonjena greda i polje kontinuiranog nosača, u kombinaciji s raznim tipovima kontinuiranog i koncentriranog opterećenja). Ključne riječi: armirani beton, ploče, grede, presjeci, progib, kompjutorski program

Computer Program for Computing Deflection of RC Girders

Summary: Program for computing deflections consists of seven subroutines (input, material,

cross-section1, cross-section2, design, deflection, print). Calculation according to Euronorm 1992. (EC2) takes into account stress-state I and stress-state II. Dead and live load, creep and shrinkage are taken into account as well. Two kinds of cross sections are predicted (rectangular and T-beam). Nine types of static systems and loads are taken into account (free supported beam and one span of continuous girder, together with different types of distributed and concentrated loads).Key words: reinforced concrete, plates, beams, cross-sections, deflection, software1. Uvod

1 Prof.dr.sc. dipl.ing.građ., Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu2 Znanstveni novak dipl.ing.građ., Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu3 Znanstveni novak dipl.ing.građ., Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu4 Dr.sc. dipl.ing.građ., Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu

Pri proračunu elemenata armiranobetonskih konstrukcija potrebno je provjeravati granična stanja uporabljivosti od kojih je vrlo važno granično stanje progiba. S obzirom da se u u skorijoj budućnosti u Hrvatskoj planira korištenje hrvatskih propisa baziranih na europskoj normi za armiranobetonske konstrukcije (EC2) napravljen je ovaj kompjutorski program da bi se olakšao proračun progiba. Program slijedi u potpunosti proceduru proračuna progiba prema EC 2 i sastoji se od sedam potprograma (procedura): ulaz, materijal, presjek1, presjek2, statika, progib, ispis.

Glavna maska programa u kojoj se obavlja unos podataka i ispis rezultata napravljena je programom Delfi 2.0 i radi u Windows okruženju, a glavni program (koji proračunava progib) napravljen je u Turbo Pascalu 7.0. Maska programa se sastoji od tri osnovna dijela: 1.) prozor za unos gometrijskih karakteristika poprečnog presjeka, 2.) prozor za odabir statičkog sustava, unos opterećenja, odabir materijala i unos koeficijenta puzanja i relativne deformacije od skupljanja, i 3.) naredba koja pokreće glavni program za proračun progiba.

2. Glavni program za proračun progiba

U daljnjem dijelu teksta opisan je postupak proračuna progiba AB nosača prema EC2, sa svim korištenim formulama u programu i njihovim objašnjenjima.

2.1 Izvršavanje programa započinje procedurom “ulaz”, čitanjem svih potrebnih podataka: vrsta poprečnog presjeka i njegove dimenzije, vrsta statičkog sustava i veličine opterećenja, te osnovnih karakteristika materijala iz datoteke koju kreira ulazni program.

2.2 U proceduri “materijal” se iz čvrstoće betonskih valjaka računaju:- vlačna čvrstoća betona: f fct m ck, .0 3 23 (u N/mm2)

- modul elastičnosti betona: E fcm ck 9500 83 (u N/mm2)Za zadanu starost betona u trenutku nanošenja opterećenja i za izračunati polumjer presjeka te vlažnost okoliša odredi se prema podacima iz EC2 trajni koeficijent puzanja ( , )t t 0 .

- efektivni modul elastičnosti betona: E E t tc eff cm, / ( . ( , )) 10 0- omjer modula elastičnosti čelika i efektivnog modula elastičnosti betona:

e s c effE E / ,

2.3 U proceduri “statika” računaju se momenti savijanja. Određuju se i koeficijenti “k” koji su za zadani statički sustav prema Beton-Kalender 1994. 3, prikazani u Tablici 1.

Tablica 1: Koeficijenti k za pojednostavljeni proračun progiba

Red

Tip opterećenja Dijagram momenata savijanja

Koeficijent k

1 2 3

1 0.125

2

3 448 1

2( / )( / )a La L

3 0.0625

4 0125 62. ( / / a L)

5 5/48

6

M q L 2 15 6/ .0.102

7 k

M M MA B F

548

1 01( . )

/

8 k

M M MA B F

0 083 1 4. ( / )

/

9

M qL a

L

24

3 42 2

180

5 4

3 4

2 2

2

( / )

( / )

a L

a L

2.4 Slijede procedure “presjek1” i “presjek2”. Ovisno o vrsti presjeka računaju se geometrijske karakteristike za naponsko stanje I (presjek bez pukotine) i za naponsko stanje II (presjek sa pukotinom). Indeks I ili II uz svaki simbol označava karakteristike presjeka vezanih za naponsko stanje I ili II.

2.4.1 Proračun geometrijskih karakteristika pravokutnog poprečnog presjeka (procedura “presjek1”):

Pravokutni presjek primjenjuje se za ploču gdje se širina uzima b = 100cm.

Slika 1. Pravokutni poprečni presjek

- položaj težišta za betonski presjek bez armature: y hg0 2 / ; y yd g0 0

- položaj težišta presjeka za naponsko stanje I: y k hIg xI ; y h yId Ig

- položaj težišta za naponsko stanje II: y k hIIg xII ; y h yIId IIg

- keficijenti kxI i kxII dobiveni su prema Beton-Kalender 1994., 3:

I s

xI I I

I e I s s

I e I s s

A b hk A BA d h A d A dB A A

1

2 2 1

2 1

0 5 11

1

/ ( )( , ) / ( )

/ ( / ( ))( / )

II s

xII II II II

II e II s s

II e II s s

A b d

k B B AA A d A dB A A

1

2

2 2 1

2 1

211

/ ( )

( / ( ))( / )

- moment tromosti betonskog presjeka bez armature: Ib h

0

3

12

- moment tromosti presjeka za naponsko stanje I (prije pojave pukotina):

Ib

y y A d y A y dI Id Ig e s Ig s Ig 3

13 31

22 2

2( ) ( ) ( ) ( )

- moment tromosti za naponsko stanje II:

Ib

y A d y A y dII IIg e s IIg e s IIg 3

131

22 2

2 ( ) ( ) ( )

- statički moment površine armature za naponsko stanje I: S A d y A y dI s Ig s Ig 1 2 2( ) ( )- statički moment površine armature za naponsko stanje II:S A d y A y dII s IIg s IIg 1 2 2( ) ( )

2.4.2 Proračun geometrijskih karakteristika nosača T-presjeka (procedura “presjek2”):

Slika 2. Poprečni presjek nosača T-presjeka

- položaj težišta za betonski presjek bez armature:

yb h b b h

b h h b bgw eff w f

w f eff w0

2 22 2

( ) / (( ) ) /( )

; y h yd g0 0

- položaj težišta za naponsko stanje I: y k hIg xI ; y h y k hId Ig xI ( )1- koeficijent kxI može se izračunati prema Beton-Kalender 1994, 3:

I s w xI I I

If eff

wI I

f eff

wI

A b h k C D

Chh

bb

A Dhh

bb

B

12

0 5 1

0 5 1 1

/ ( ) ; ( , ) / ( )

, ;

- koeficijenti AI i BI se proračunavaju na isti način kao i kod proračuna geometrijskih karakteristika pravokutnog presjeka.- moment tromosti betonskog presjeka bez armature:

Ib

y yb b h

b b h y hwd g

eff w feff w f g f0 0

303

3

02

3 122

( )

( )( ) ( / )

- moment tromosti za naponsko stanje I:

I

by y

b b hb b h y h

A d y A y d

Iw

Id Igeff w f

eff w f g f

e s Ig s Ig

3 12

2

1

3 33

12

12

2 22

( )( )

( ) ( / )

( ) ( ) ( )Kod računanja momenta tromosti T-presjeka za naponsko stanje II nije svejedno da

li se težište presjeka nalazi u ploči ili u rebru poprečnog presjeka. Prvo se pretpostavi da se težište nalazi u ploči T-presjeka ( y hIIg f ) i izračuna se udaljenost težišta od gornjeg ruba T-presjeka ( y k hIIg xII ; kao za pravokutni presjek širine beff i visine h - Beton-Kalender 1994., 3 ) i ako je tako proračunati y IIg < hf tada se moment tromosti za naponsko stanje II računa prema izrazu:

Ib y

A d y A y dIIeff IIg

e s IIg e s IIg

3

12

2 22

31 ( ) ( ) ( )

Ako je yIIg > hf težište se nalazi u rebru T-presjeka. Položaj težišta za naponsko stanje II može se u tom slučaju izračunati prema izrazima:

y k hIIg xII ; y h y k hIId IIg xII ( )1 - koeficijent kxII može se izračunati prema Beton-Kalender 1994, 3 uz pretpostavku da je presjek raspuknut od vlačnog ruba na duljini yIId.

II s w xII II II II

IIf eff

wII II

f eff

wII

A b d k C C D

Chd

bb

B Dhd

bb

A

12

2

1 1 2

/ ( ) ;

;

- koeficijenti AII i BII se proračunavaju na isti način kao i kod proračuna geometrijskih karakteristika pravokutnog presjeka.- moment tromosti za naponsko stanje II se računa prema izrazu:

I b h h b y h b y h

A d y A y d

IIeff f

f eff IIgf w

IIg f

e s IIg e s IIg

3 23

12

2 22

12 2 31

( )

( ) ( ) ( ) - statički moment površine armature za naponsko stanje I: S A d y A y dI s Ig s Ig 1 2 2( ) ( )- statički moment površine armature za naponsko stanje II: S A d y A y dII s IIg s IIg 1 2 2( ) ( )

2.5 Proračun progiba za sredinu raspona izvršava se procedurom “progib”. Progib se

proračunava pomoću izraza: f k Lrtot

tot

2 1. Koeficijent k je dan u tablici 1, L je raspon

ploče (nosive u jednom smjeru) ili grede, 1 rtot je ukupna zakrivljenost u presjeku u sredini raspona sastavljena od: a) zakrivljenosti zbog opterećenja i puzanja 1 rm i b) zakrivljenost zbog skupljanja 1 rcsm .

Krak unutarnjih sila, z, računa se prema jednoj od prihvaćenih metoda. Ako se radi o nosaču pravokutnog presjeka i nosaču T-presjeka kada je yIIg hf, krak unutarnjih sila računa se prema izrazu: z d y IIg / 3 , a ako se radi o nosaču T-presjeka kada je y hIIg f , krak unutarnjih sila računa se prema pojednostavljenom izrazu: z d h f / 2 zanemarujući relativno mali dio betonskog presjeka T-nosača ispod ploče (pretpostavlja se da tlačnu silu u betonu preuzima samo ploča).

Paralelno s ovim vrijednostima provedene je analiza ovisnosti progiba o veličini kraka unutarnjih sila. Varirana je veličina od z=0.80d do z=0.95d za jednu realnu konstrukciju. Razlika progiba iznosila je 16% (tj. ±8%) što je u granicama prihvatljivosti. Zaključak je da se veličina kraka, z, može proračunati uzimajući u obzir samo geometriju presjeka, a zanemarujući utjecaj opterećenja, jer se pri tome ne radi velika pogreška, pošto stvarna vrijednost progiba varira u širokim granicama.Naprezanje u armaturi računa se prema izrazu: s Sd sM A z / ( )1 , gdje je M M MSd g g q q . Za proračun progiba parcijalni koeficijenti za stalno i uporabno opterećenje uzimaju se sa: g q 10. . Srednja zakrivljenost od opterećenja i puzanja ( )1 rm sastoji se od zakrivljenosti u naponskom stanju I ( )1 rI i naponskom stanju II ( )1 rII koje su pomnožene koeficijentom raspodjele zakrivljenosti : 1 1 1 1r r rm I II

( )

- zakrivljenost za naponsko stanje I računa se prema izrazu: 1r

ME II

Sd

c eff I

,

- zakrivljenost za naponsko stanje II računa se prema izrazu: 1 1

r d yII

s

IIg

- relativna deformacija armature računa se prema izrazu: s s sE1 /

- moment nastanka prve pukotine u betonu računa se prema izrazu: Mf I

ycrct m

d

, 0

0

- naprezanje u armaturi kod nastanka prve pukotine računa se kao: sr cr sM A z / ( )1

- ako je MSd < Mcr kada presjek ostaje u naponskom stanju I, koeficijent raspodjele zakrivljenosti 0 , a ako je MSd > Mcr koeficijent raspodjele zakrivljenosti se računa prema

izrazu:

1 1 2

2sr

s

, gdje su 1 - koeficijent kojim se uzima u obzir prionljivost

armature i betona. Eurocode 2 5 preporuča: 1 10 . za rebrastu armaturu 1 05 . za glatku armaturu

2 - koeficijent kojim se obuhvaća utjecaj trajanja ili učestalosti opterećenja. Eurocode 2 5 preporuča: 2 05 . za dugotrajno opterećenje ili promjenljivo s

čestim djelovanjem;2 10 . za kratkotrajno opterećenje

Srednja zakrivljenost od skupljanja ( )1 rcsm sastoji se od zakrivljenosti u naponskom stanju

I ( )1 rcsI i naponskom stanju II ( )1 rcsII koje su pomnožene koeficijentom raspodjele

zakrivljenosti :1 1 1 1r r rm I II

( )

- zakrivljenost od skupljanja za naponsko stanje I računa se prema izrazu: 1

rS

IcsI

cs e I

I

,

cs je relativna deformacija od skupljanja u beskonačnosti (računa se za vrijeme starosti betona od 70 g.) prema podacima iz EC2.- zakrivljenost od skupljanja za naponsko stanje II računa se prema izrazu:

1r

SIcsII

cs e II

II

- ukupna zakrivljenost računa se prema izrazu: 1 1 1

r r rtot m csm

Ukupni progib AB nosača f k Lrtot

tot

2 1 uspoređuje se s dozvoljenim progibima koji

prema EC2 iznose L/250. Ako se na nosač nadozidava pregradni zid dodatni progib smije biti još L/500.

3. Zaključak

Kompjutorski program, kao i ovaj članak, mogu poslužiti inženjerima u praksi kao jednostavno pomagalo za proračun progiba AB nosača jednostavnih statičkih sustava jer se njime znatno ubrzava proračun progiba, koji je opsežan zbog računanja geometrijskih karakteristika poprečnog presjeka u naponskom stanju I i II.

4. Zahvala

Ovaj rad napravljen je u okviru znanstvenog projekta br. 082001, “Granična stanja uporabljivosti armiranobetonskih konstrukcija” koji podupire Ministarstvo znanosti i tehnologije Republike Hrvatske. Autori se zahvaljuju Ministarstvu na potpori.

5. Literatura

1. Tomičić, I.: Betonske konstrukcije, DHGK, Zagreb 1996., str. 32, 55, 476-4982. Tomičić, I.: Priručnik za proračun AB konstrukcija, DHGK, Zagreb 1993., str. 139-1443. Beton-kalender 1994., Teil I, str. 798-8054. CEB Design manual on CRACKING AND DEFORMATIONS, Ecole polytechnique federale de Lausanne, 1985., str. 1.1-1.9, 3.1-3.165. Eurocode 2 - Design of Concrete Structures; Part 1: General Rules and Rules for

Buildings, Revised final draft, Brussel, October 1990.