professor: custódio nascimento · note que a alternativa de investimento era deixar o capital...

Análise e Resolução da prova de Auditor

Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí

Disciplina: Matemática Financeira

Professor: Custódio Nascimento

Análise e Resolução da prova de AFFE – SEFAZ/PI

Matemática Financeira Prof. Custódio Nascimento

Prof. Custódio Nascimento 2 de 13

www.exponencialconcursos.com.br

Neste artigo, faremos a análise das questões de Matemática Financeira

cobradas na prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí, por ser uma

de nossas disciplinas no Exponencial Concursos.

Primeiramente, seguem alguns comentários gerais sobre a prova.

A prova de Matemática Financeira trouxe uma boa distribuição dos

assuntos pedidos no edital. A maioria das questões era de esquematização

simples, porém de cálculos complexos, como já é praxe na FCC. Com isso, houve

muita reclamação nos fóruns sobre a escassez de tempo para fazer tais contas.

Após resolvermos todas as questões, não visualizamos recurso para

as questões da prova. Atentar que uma das questões já foi anulada pela

própria banca, que atribuiu a pontuação a todos os candidatos.

Matemática Financeira

Vamos resolver cada questão, com comentários. A teoria foi abordada no

nosso curso de Matemática Financeira para AFFE – SEFAZ/PI, focado na

banca FCC, lançado no site do Exponencial Concursos.

Eis as questões da prova, com a devida resolução:

11. Um capital de R$ 14.700,00 foi aplicado a juro simples da seguinte forma:

• 1/3 à taxa de 6% ao mês por um trimestre;

• 2/5 à taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e

• o restante à taxa de x% ao bimestre por 1 semestre.

O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se um capital de R$ 18.000,00 for

aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4

meses, o montante dessa aplicação será

(A) R$ 23.594,33

(B) R$ 19.260,00

(C) R$ 19.945,95

1- Análise da prova

2- Resolução das questões

http://www.exponencialconcursos.com.br/





(D) R$ 20.520,00

(E) R$ 20.608,20

Resolução:

Chamaremos os capitais aplicados de C1, C2 e C3, os juros de J1, J2 e J3 e

os prazos de n1, n2 e n3. Eis os dados da questão:

𝐶1 =1

3∙ 14700 = 4900

𝑖1 = 6% 𝑎. 𝑚.

𝑛1 = 1 𝑡. = 3 𝑚.

𝐶2 =2

5∙ 14700 = 5880

𝑖2 = 13% 𝑎. 𝑏. = 6,5% 𝑎. 𝑚.

𝑛2 = 5 𝑚.

𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 14700

𝐶3 = 14700 − 4900 − 5880 = 3920

𝑖3 = 𝑥% 𝑎. 𝑏.

𝑛3 = 1 𝑠. = 3 𝑏.

Inserindo os valores nas equações que representam os juros de cada

operação:

𝐽1 = 𝐶1 ∙ 𝑖1 ∙ 𝑛1 = 4990 ∙ 0,06 ∙ 3 = 882

𝐽2 = 𝐶2 ∙ 𝑖2 ∙ 𝑛2 = 5880 ∙ 0,065 ∙ 5 = 1911

𝐽3 = 𝐶3 ∙ 𝑖3 ∙ 𝑛3 = 3920 ∙ 𝑥 ∙ 3

O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Logo:

𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 = 3616,2 ⟹ 882 + 1911 + 3920 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 3616,2

3920 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 3616,2 − 882 − 1911 = 823,2 ⟹ 𝑥 = 0,07 = 7% 𝑎. 𝑏.

Note que a questão traz a informação de que o capital de R$ 18.000,00

foi aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4

meses (2 bimestres). Inserindo os valores na fórmula do montante a juros

compostos, temos:

𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛

𝑀 = 18000 ∙ (1 + 0,07)2 = 18000 ∙ 1,1449 = 20608,20

A alternativa E é a resposta correta.

12. Um capital C foi aplicado a juros compostos, à taxa de 5% ao mês. Ao

completar 1 bimestre, seu montante foi resgatado e imediatamente aplicado a

juro simples, à taxa de 6% ao mês. Ao fim de 1 semestre da segunda aplicação,

o montante M era de R$ 14.994,00. Suponha que, desde o início, o capital C

tivesse sido aplicado a juro simples, à taxa mensal i, de modo que o montante

final fosse igual a M. Dos números abaixo, o mais próximo de i é

(A) 6,5%

(B) 6,1%






(C) 6,2%

(D) 6,3%

(E) 6,4%

Resolução:

Com a primeira aplicação a juros compostos, teremos o seguinte

montante:

𝑀1 = 𝐶 ∙ (1 + 0,05)2 = 𝐶 ∙ 1,1025

Conforme o enunciado, tal montante foi aplicado a juros simples (6% ao

mês), por 6 meses, o que gerou o montante M. Logo, temos:

𝑀 = 𝑀1 ∙ (1 + 0,06 ∙ 6) = 𝐶 ∙ 1,1025 ∙ 1,36

Note que a alternativa de investimento era deixar o capital inicial, a juros

simples, à taxa mensal i, pelo mesmo período (2 meses + 6 meses), e que isso

também daria M. Logo, temos:

𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 8)

Igualando as duas equações anteriores, temos:

𝐶 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 8) = 𝐶 ∙ 1,1025 ∙ 1,36

1 + 8 ∙ 𝑖 = 1,1025 ∙ 1,36 = 1,4994 ⟹ 8 ∙ 𝑖 = 0,4994 ⟹ 𝑖 ≈ 0,0624 ⟹ 𝑖 ≈ 6,2%

A alternativa C é a resposta correta.

13. Um investidor aplicou um capital de R$ 10.000,00 e resgatou o total de R$

13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de

32%, então, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de inflação

do período é

(A) 2,5%

(B) 4,5%

(C) 4%

(D) 3,5%

(E) 3%

Resolução:






Como a questão trata de juros com influência da inflação, utilizamos a

seguinte fórmula:

(1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟) = (1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙) ∙ (1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓)

Os dados da questão são:

𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙 = 32% = 0,32

𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟) ⟹ 13600 = 10000 ∙ (1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟)

(1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟) = 1,36 ⟹ 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟 = 0,36

Aplicando a fórmula, temos:

(1 + 𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟) = (1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙) ∙ (1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓)

1,36 = (1 + 0,32) ∙ (1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓) ⟹ 1 + 𝑖𝑖𝑛𝑓 =1,36

1,32= 1,0303 ⟹ 𝑖𝑖𝑛𝑓 = 3,03%

A alternativa E é a resposta correta.

14. Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em

um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal

do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro,

utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de

desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00,

então, o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi

(A) R$ 9.285,00

(B) R$ 3.035,00

(C) R$ 3.500,00

(D) R$ 3.830,00

(E) R$ 3.965,00

Resolução:

Como dissemos em nosso curso de curso de Matemática Financeira

para AFFE – SEFAZ/PI, esta é uma questão clássica da FCC.

Como é de nosso costume, começamos listando os dados do enunciado:

𝑛 = 3 𝑚.

𝑖 = 48% 𝑎. 𝑎. = 4% 𝑎. 𝑚.

𝑖 ∙ 𝑛 = 0,04 ∙ 3 = 0,12

𝐷1 + 𝐷2 = 1215

𝑁1 = 2 ∙ 𝑁2






A questão nos informa que o primeiro título sofreu desconto comercial

simples, logo empregamos 𝐷𝐶 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛, e temos:

𝐷1 = 𝑁1 ∙ 0,12

Já o segundo título sofreu desconto racional simples, então empregamos

𝐷𝑅 = 𝐴𝑅 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛, e ficamos com:

𝐷2 = 𝐴2 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 = 𝐴2 ∙ 0,12

Mas 𝑁2 = 𝐴2 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑛) e 𝑁1 = 2 ∙ 𝑁2 logo podemos substituir os valores:

𝐷2 =𝑁2

(1 + 𝑖 ∙ 𝑛)∙ 0,12 =

𝑁12⁄ ∙ 0,12

1,12=

𝑁1 ∙ 0,06

1,12

Logo, temos:

𝐷1 + 𝐷2 = 1215 ⟹ 𝑁1 ∙ 0,12 +𝑁1 ∙ 0,06

1,12= 1215

Aplicando o MMC, temos:

𝑁1 ∙ 0,12 ∙ 1,12 + 𝑁1 ∙ 0,06

1,12= 1215

𝑁1 ∙ (0,1344 + 0,06) = 1360,8 ⟹ 𝑁1 =1360,8

0,1944= 7000

Calculando os demais valores, temos:

𝐴1 = 𝑁1 ∙ (1 − 𝑖 ∙ 𝑛) = 7000 ∙ 0,88 ≅ 6160

𝑁2 =𝑁1

2= 3500

𝑁2 = 𝐴2 ∙ 1,12 ⟹ 𝐴2 = 3125

Logo, a diferença entre os valores líquidos (atuais) é:

𝐴1 − 𝐴2 = 6160 − 3125 = 3035

A alternativa B é a resposta correta.

15. Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais consecutivas de

mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias.

Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com

vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o

critério do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de

cada uma dessas duas prestações, em reais, é tal que

(A) 1 570 < X < 1 575

(B) 1 590 < X < 1 595






(C) 1 575 < X < 1 580

(D) 1 580 < X < 1 585

(E) 1 585 < X < 1 590

Resolução:

Vamos começar montando os diagramas de cada sequência de

pagamentos, para facilitar a visualização. A opção original é dada a seguir:

A opção alternativa é mostrada a seguir:

Como há equivalência entre ambas, os valores atuais (ou valores

presentes) são iguais, logo é válida a seguinte equação:

1000

1,05+

1000

1,052+

1000

1,053=

𝑋

1,052+

𝑋

1,054

1000 ∙ (1

1,05+

1

1,052+

1

1,053) = 𝑋 ∙ (

1

1,052+

1

1,054)

Multiplicando todas as parcelas por 1,054, temos:

1000 ∙ (1,053 + 1,052 + 1,05) = 𝑋 ∙ (1,052 + 1)

1000 ∙ (1,1576 + 1,1025 + 1,05) = 𝑋 ∙ (1,1025 + 1)

1000 ∙ 3,3101 = 𝑋 ∙ 2,1025

𝑋 ≅ 1574

A alternativa A é a resposta correta.

16. Em uma loja, um computador está sendo vendido de duas formas:

0 1 2 3

A

1000 1000 1000

0 1 2 3 4

A

X X






− à vista, por um preço P igual a R$ 4.500,00 ou

− a prazo, sem juros, com pagamento em 3 parcelas de R$ 1.5000,00 cada,

sendo a primeira dada como entrada e as outras vencendo daí a 30 e 60 dias

da data da compra.

O proprietário da loja consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa

de 5% ao mês. Ele deseja oferecer um desconto no preço à vista desse

computador, mas não quer ter prejuízos. Dessa forma, o valor mais próximo da

taxa de desconto máximo que ele pode oferecer sobre o preço P é de

(A) 9,23%

(B) 4,68%

(C) 4,70%

(D) 4,96%

(E) 5,25%

Observação:

Conforme gabarito preliminar, a questão foi anulada pela banca. Em

consequência, foi atribuída a todos os candidatos.

17. Uma pessoa contraiu uma dívida a ser paga pelo Sistema de Amortização

Constante − SAC em 40 prestações mensais e consecutivas. Se a primeira

prestação, que vence ao completar um mês da data do empréstimo, é de R$

3.000,00 e a décima é igual a R$ 2.550,00, então a última prestação é de

(A) R$ 1.200,00

(B) R$ 1.000,00

(C) R$ 1.050,00

(D) R$ 1.100,00

(E) R$ 1.150,00

Resolução:

Eis uma questão diferente do que a banca usualmente cobra, pois não foi

informado o valor da dívida. Logo, temos que empregar um pouco de raciocínio

matemático para podermos resolvê-la.

Estudando o modelo SAC, vimos que cada prestação é a soma de uma

parcela de amortização com outra de juro:






𝑃 = 𝐴 + 𝐽

Lembramos que a amortização é constante, e que o juro pago é

proporcional ao valor devido (saldo devedor), as prestações são dadas por:

{𝐴 + 𝐽1 = 3000𝐴 + 𝐽10 = 2550

Do sistema de equações, tiramos que:

𝐽1 − 𝐽10 = 3000 − 2550 = 450

Mas o valor de cada parcela de juro é dado por:

𝐽𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑆𝐷𝑘−1

Além disso, o saldo devedor é calculado com a fórmula:

𝑆𝐷𝑘 = (𝑛 − 𝑘) ∙ 𝐴

Assim, temos:

𝐽𝑘 = 𝑖 ∙ (𝑛 − (𝑘 − 1)) ∙ 𝐴

Calculando os valores de J1 e J10, temos:

𝐽1 = 𝑖 ∙ (40 − (1 − 1)) ∙ 𝐴 = 𝑖 ∙ 40 ∙ 𝐴

𝐽10 = 𝑖 ∙ (40 − (10 − 1)) ∙ 𝐴 = 𝑖 ∙ 31 ∙ 𝐴

𝐽1 − 𝐽10 = 𝑖 ∙ 40 ∙ 𝐴 − 𝑖 ∙ 31 ∙ 𝐴 = 9 ∙ 𝑖 ∙ 𝐴

Inserindo o valor da diferença dos juros que já obtivemos anteriormente,

temos:

9 ∙ 𝑖 ∙ 𝐴 = 450 ⟹ 𝑖 ∙ 𝐴 = 50

Voltando ao valor da primeira prestação, temos:

𝑃1 = 𝐴 + 𝐽1 ⟹ 3000 = 𝐴 + 40 ∙ 𝑖 ∙ 𝐴 ⟹ 3000 = 𝐴 + 40 ∙ 50 ⟹ 𝐴 = 1000

A última prestação será dada por:

𝑃40 = 𝐴 + 𝐽40 = 𝐴 + 𝑖 ∙ 𝐴 = 1000 + 50 = 1050

A alternativa C é a resposta correta.






18. Considere a tabela abaixo, com taxa de 4% ao período. Use somente duas

casas decimais em seus cálculos.

Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulação de capital para pagamento

único é dado por , o fator de valor atual de uma série de pagamentos é

dado por e o fator de acumulação de capital de uma série de

pagamentos é dado por

Um empresário tomou em um banco um empréstimo no valor de R$ 94.550,00,

a ser pago em 36 meses. Será utilizado o Sistema Francês de Amortização, à

taxa de 4% ao mês, com parcelas mensais e consecutivas, a primeira vencendo

um mês após a data do contrato. Sobre a terceira prestação desse empréstimo,

é verdade que

(A) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$ 93.500,00.

(B) seu valor é de R$ 5.200,00.

(C) sua cota de amortização é R$ 1.266,22.

(D) sua parcela de juros é R$ 3.682,61.

(E) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestação.

Resolução:

Como vimos em nosso curso, a prestação de um fluxo de caixa uniforme

postecipado é calculada pela fórmula:

𝐶 = 𝑃 ∙ [(1 + 𝑖)𝑛 − 1

(1 + 𝑖)𝑛 ∙ 𝑖]

A tabela apresentada na questão mostra que, para 36 parcelas, o valor

do fator de valor atual (ou fator de valor presente) é 18,91. Assim, temos o

valor de cada parcela:

𝐶 = 𝑃 ∙ 18,91 ⟹ 𝑃 =94550

18,91= 5000






Sabemos que, no sistema Francês, as prestações são fixas, ou seja, todas

elas serão de R$ 5.000,00. Precisamos, então, montar a tabela até a 3ª

prestação:

k SDk-1 Jk Pk Ak SDk

1 94550 5000

2 5000

3 5000

Os juros são sempre calculados em função do saldo devedor:

𝐽𝑘 = 𝑖 ∙ 𝑆𝐷𝑘−1

Assim, podemos calcular os juros do primeiro mês:

𝐽1 = 0,04 ∙ 94550 = 3782

A prestação sempre será a soma da amortização e dos juros, ou seja,

será dada pela fórmula já estudada:

𝑃 = 𝐴 + 𝐽

Logo, a amortização será calculada por:

𝐴𝑘 = 𝑃 − 𝐽𝑘

Assim, podemos calcular o valor da amortização do primeiro mês:

𝐴1 = 𝑃 − 𝐽1 = 5000 − 3782 = 1218

Por fim, o saldo devedor do mês atual será o saldo do mês anterior,

menos a amortização do mês atual:

𝑆𝐷𝑘 = 𝑆𝐷𝑘−1 − 𝐴𝑘

𝑆𝐷1 = 94550 − 1218 = 93332

Podemos, então preencher a primeira linha da tabela:


1 94550 3782 5000 1218 93332

2 93332 5000

3 5000

Repetindo esse mesmo raciocínio para a 2ª e 3ª prestações, chegamos à

seguinte tabela:







1 94550 3782 5000 1218 93332

2 93332 3733,28 5000 1266,72 92065,28

3 92065,28 3682,61 5000 1317,39 90747,89

A alternativa D é a resposta correta.

19. Na tabela abaixo, têm-se os fluxos de caixa de dois projetos, A e B.

Sabe-se que a taxa mínima de atratividade é de 20% e os valores presentes

líquidos dos dois projetos são iguais. Nessas condições, o valor de E é, em reais,

(A) 5.832,17

(B) 4.485,60

(C) 4.533,00

(D) 4.965,00

(E) 5.170,00

Resolução:

Vamos começar calculando o VPL do projeto A:

𝑉𝑃𝐿𝐴 = −8000 +4998

1,2+

6192

1,22= −8000 + 4165 + 4300 = 465

Agora, basta calcularmos o VPL do projeto B, lembrando que ambos são

iguais:

𝑉𝑃𝐿𝐵 = −6000 +4020

1,2+

𝐸

1,22= 465

−6000 + 3350 +𝐸

1,22= 465 ⟹

𝐸

1,44= 3115 ⟹ 𝐸 = 4485,6

A alternativa B é a resposta correta.






20. No fluxo de caixa abaixo, a taxa interna positiva de retorno é de 20% ao

ano.

O valor de K é

(A) R$ 5.000,00

(B) R$ 117,84

(C) R$ 260,00

(D) R$ 714,00

(E) R$ 3.896,00

Resolução:

A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de juros que torna nulo o

valor presente líquido (VPL) de um determinado fluxo de caixa.

Logo, basta calcularmos o VPL desse investimento, a uma taxa de 20%

a.a.:

𝑉𝑃𝐿 = −(5𝐾 + 1300) +3𝐾

1,2+

4𝐾 − 128

1,22= 0

Multiplicando tudo por 1,22=1,44, temos:

−(5𝐾 + 1300) ∙ 1,44 + 3𝐾 ∙ 1,2 + 4𝐾 − 128 = 0

−7,2𝐾 − 1872 + 3,6𝐾 + 4𝐾 − 128 = 0

0,4𝐾 = 2000 ⟹ 𝐾 = 5000

A alternativa A é a resposta correta.


professor: custódio nascimento · note que a alternativa de investimento era deixar o capital...

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