prof. roberto cristóvão [email protected] aula 15 séries alternadas
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Séries Alternadas
Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos.Exemplos:
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Observação
Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série alternada é da forma
ou
onde o número é um número positivo.
(De fato, )
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O Teste da Série Alternada
Se a série alternada
Satisfizer para todo
então, a série é convergente.
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Exemplo 1
A série harmônica alternada
Satisfaz porque
Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada.
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Exemplo 2
A série é alternada mas,
Assim a condição (ii) não é satisfeita. Em vez disto, olhamos para o limite do n-ésimotermo da série:
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Exemplo 2
O limite não existe, de modo que a série diverge pelo Teste para Divergência.
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Exemplo 3
Teste a série
quanto a divergência ou divergência.Solução: Não é óbvio que a sequência dada por é decrescente. Contudo, consideremos a função associada
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Exemplo 3
Como estamos apenas considerando positivo, vemos que seisto é, Então é decrescente no intervalo Isto significa que e portanto quando
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Exemplo 3
Então, a série dada é convergente pelo Teste da Série Alternada.
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Teste de Estimativa de Séries Alternadas
Se for a soma de uma série alternada que satisfaz
então,
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Exemplo 4
Encontre a soma da série com precisão de três casas decimais.Solução:
então
quando
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Exemplo 4
Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada. Agora note que
Observe ainda que
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Exemplo 4
E pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que
Esse erro menor que não afeta a terceira casa decimal. Assim temoscom precisão de três casas decimais.
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