prof. ricardo mota henriques e-mail: ricardo ... é feito após o cálculo das reatâncias indutiva...
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Graduação em Engenharia Civil
ELETROTÉCNICA (ENE078)
PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES E-mail: [email protected]
Aula Número: 21
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 21 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES
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¾ Em um circuito resistivo puro, os fasores de tensão e de corrente estão em fase.
Retomando da aula passada...
ComportamentotipicomterupoefasorialVtt)=Vseu(wt)→VL°
t.tt#Iseu(wt)-ILvvttI=VsenCwt+ot~h
)•
t.tt#sencwt+oiFVFE
f
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 21 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES
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¾ Nos circuitos indutivos puros, a corrente está 90 graus atrasada da tensão, ou a tensão está 90 graus adiantada da corrente. j (phi) é a letra grega que designa o ângulo de defasagem entre os fasores.
Retomando da aula passada...
Compatamentotipiconotempoebasaial
vµ=vsen(wt)=vLffyttktsencwt.
SOHI-6
vtt7=Vseu(wt+go9=VG°
ittttseulwt
)=IL0°
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¾ Nos circuitos capacitivos puros, a corrente está 90 graus adiantada da tensão, ou a tensão está 90 graus atrasada da corrente.
¾ Como j (phi) representa a defasagem entre os fasores, não é conveniente atribuir-lhe sinal graficamente.
Retomando da aula passada... Comportamentotipicomtevupoefasorial
aIt
VLOEIEO VEE
vttkvseuwt . gotill )=Itu( wt )
vtttvsenlwtlitt )=Isenwt+go9
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Retomando da aula passada...
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USO DOS NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRICIDADE
¾ A parte real dos números complexos é associada às resistências e à potência ativa. Às reatâncias e à potência reativa se atribui a parte imaginária dos números complexos.
¾ Uma reatância indutiva é designada por +jXL. Por ter efeito oposto ao da reatância indutiva, a reatância capacitiva é designada por –jXC.
¾ A resistência elétrica sempre será um número real e positivo.
¾ A potência ativa é um número real e sempre positivo.
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Uso dos complexos em circuitos CA
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¾ A potência reativa é imaginária e positiva, designada por +jQ, se a reatância que lhe deu origem for indutiva; é imaginária e negativa, designada por –jQ, se a reatância for capacitiva.
¾ O ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte é designado por letras gregas como j ou θ.
¾ Multiplicar um fasor por j é o mesmo que fazê-lo girar adiantando-se 90 graus em relação ao ângulo de origem; multiplicar um fasor por –j atrasa-o 90º de sua posição original.
ATENGAO
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Uso dos complexos em circuitos CA
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CIRCUITOS SÉRIE EM CORRENTE ALTERNADA
¾ Em um circuito de corrente alternada que contém um resistor, um indutor e um capacitor em série, o estudo é feito após o cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva: Let : caracteristicasgeraisoivariaeaodeitttevtt )
Xcexcicaracteristicastsptcificniailtlevtt ) SENOIDAIS
XL=wL e X 'c=1/wC '
→w=2!Tf( r ) ( r ) : ZR
-atengao
'
atnesenga
FONTE (H ) ( r ) :£ L
dotSENOIDAL → GMt
(F) ( r )
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¾ As propriedades básicas de um circuito série não sofrem modificações, quando estão presentes resistores, indutores e capacitores. Contudo, é necessário utilizar números complexos para considerar o comportamento particular de cada um destes elementos no circuito de corrente alternada.
¾ Uma vez calculadas as reatâncias, a impedância do circuito terá sempre a forma:
Z = R + jXL – jXC ¾ A impedância representa a oposição total causada
pelos 3 elementos a corrente alternada!
Uso dos complexos em circuitos CA
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¾ O módulo e o argumento (fase) da impedância Z são obtidos fazendo-se, respectivamente:
¾ 𝑍 = 𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2
¾ A representação gráfica da impedância resulta no triângulo da impedância:
Uso dos complexos em circuitos CA
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em que: R = |Z| · cos j X = |Z| · sen j sendo X = XL – XC . O argumento da impedância do circuito série coincide
com o ângulo de defasagem j.
Uso dos complexos em circuitos CA
2=12-14
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¾ A corrente que flui no circuito, fornecida pela fonte, é a mesma em qualquer um de seus elementos:
𝐼 = 𝐼 𝑅 = 𝐼 𝐿 = 𝐼 𝐶
¾ Esta corrente é obtida através da Lei de Ohm:
Uso dos complexos em circuitos CA
= th£14
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¾ As tensões individuais são obtidas pela Lei de Ohm:
¾ A soma fasorial das tensões individuais resultará na tensão aplicada pela fonte:
¾ Sendo nulo o efeito de qualquer elemento R, L ou C no circuito, retira-se das equações o termo correspondente.
Uso dos complexos em circuitos CA
"
Vg=-jXeIjpY⇐R%E
k.LI#DVnXuL90xItColocandoinaconeutenarefincia
Vic referenda ...
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Uso dos complexos em circuitos CA
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CIRCUITOS CA COM COMPONENTES EM PARALELO
¾ As propriedades são as seguintes:
� cada elemento em paralelo fica submetido à mesma tensão da fonte:
R JXL jkc '
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Uso dos complexos em circuitos CA
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• determinadas as reatâncias, as correntes individuais são obtidas pela Lei de Ohm:
� a corrente total fornecida pela fonte é igual à soma fasorial das correntes individuais:
Vamoselesenhar
Osfasorescolocaudo Ic
jfontenarlflinaiaIn
VIntt=Vr=Vl=Vc=VL°.
anteIR=? In?Ic= ? . . .
Itotae=IRtIL+Ic
→.
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Uso dos complexos em circuitos CA
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• a impedância do circuito pode ser calculada de dois modos: - pela Lei de Ohm:
- resolvendo a equação dos inversos:
� se o efeito de um elemento qualquer for desprezível, retira-se das equações o termo correspondente.
to-
noa XIGD
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Uso dos complexos em circuitos CA
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FATOR DE POTÊNCIA ¾ É o co-seno do ângulo de defasagem j entre a corrente
e a tensão da fonte:
¾ O fator de potência pode ser expresso em número decimal (o resultado da extração do co-seno) ou em porcentagem (multiplicando o resultado do co-seno por 100).
¾ Para um circuito resistivo, j = 0º e fp = 1 ¾ Para um circuito indutivo, j = -90º e fp = 0 atrasado ¾ Para um circuito capacitivo, j = 90º e fp = 0 atrasado
mmmnadiantado
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Uso dos complexos em circuitos CA • Resistor
9 A corrente que flui no elemento e a tensão nos seus terminais estão em fase
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0=00 ⇒fp=Ws( 09=1
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Uso dos complexos em circuitos CA • Indutor
9 A tensão entre os seus terminais está adiantada em 90 em relação à corrente que flui nos seus terminais
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0=90 =) fp = cos 1900 ) =Datrasado ( a content
vein depot 's )
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Uso dos complexos em circuitos CA • Capacitor
9 A corrente está adiantada em 90 em relação à tensão nos seus terminais
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.
0=90 =) fp = cos 190° ) = �1�adiantado ( a content
vein antes )
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Uso dos complexos em circuitos CA • Indutor
9 XL reatância indutiva []
• Capacitor 9 XC reatância capacitiva []
• Relação entre os valores de pico ou eficazes de tensão e corrente
LX L
1CX
C
2 2m m
m m ef efV IV XI X V XI
20
( modulo )Resumosobreas
REATAINUAS
( modulo )}
→jXL=2w.
-jxo=Iolmddu :
ttensaoecouentesobreindutousecapaaitousda'=Y¥=× )
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Aula anterior • Fasores
9 Representação de uma senóide por meio de um número complexo
• Para soma de senóides como g(t), podemos utilizar a álgebra de números complexos sob os fasores G 9 A álgebra de fasores só pode ser aplicada a formas de onda
senoidais de mesma frequência!!!
sinm mg t A t G A
21
R
BmBmhR=Beficaz
¥:*.net?E?hxaya*gw¥
2
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Fasores • Por convenção, o módulo será representado pelo valor eficaz da
onda senoidal, e não pelo seu valor de pico 9 Cálculo de potência ativa, reativa e aparente
• Exemplo:
sin2m
mAg t A t G A
69,669,6sin 72 72 49,21 722
4545cos 45sin 90 90 31,82 902
g t t G
g t t t G
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Fasores • Exemplo:
9 Supondo a frequência de 60 [Hz]:
• Fasores são grandezas que variam no tempo 9 Números complexos utilizados para representação de senóides de mesma frequência (a
posição angular relativa entre os fasores é a informação fundamental; a oscilação só é importante quando se quer reconstruir a senóide ao longo do tempo)
10 30 10 2 sin 2 60 30
14,4sin 377 30
G g t tg t t
-Valor
eficaValor de pi co
- Valor de piw
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Impedância • Característica de um circuito geral que relaciona os fasores de
diferença de potencial entre os terminais e a corrente que flui no circuito 9 Z magnitude da impedância [] 9 diferença angular entre a tensão e a corrente [rad] ou [] 9 R componente real da impedância [] 9 X componente imaginária da impedância []
• Número complexo, não um fasor!
vv i
i
VVZ Z Z R jXI I
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Impedância • Resistor:
9 Pela lei de Ohm,
sin 0 02
sin
sin 0 0 02 2
0 0 0 00
0 0
mm
m
m mm
Ve t V t V V
Ve t Ri t i t tRI V Vi t I t I
RRV V RZ V RI V R V
Z R R j
25
( esta'
na referenda)
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Impedância • Resistor:
9 A impedância de um resistor apresenta somente parte real
� Tensão e corrente em fase
0 0Z R R j
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TM A
estananefeincia )
is ,Zia
°RI
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Impedância • Indutor:
9 Pela lei de Faraday,
sin 0 02
sin 2 2 22
2 2 0 20
2 0
mm
mm
L
L L
Ii t I t I I
dv t L i tdt
LIv t LI t V LI
V LIZ L XI I
Z X jX
27
( a coneutena referenda)
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Impedância • Indutor:
9 A impedância de um indutor inclui somente a parte imaginária
� = / 2 � Tensão adiantada em 90 em relação à corrente � Corrente atrasada em 90 em relação à tensão
2 0L LZ X jX
28
Tm B
Vitullo£L=+jXL=XuL9°
. I=lI1llon
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Impedância • Capacitor
9 Da relação entre tensão e corrente em um capacitor
sin 0 02
sin 2 2 22
0 1 0 2 22
2 0
mm
mm
C
C C
Vv t V t V V
di t C v tdt
CVi t CV t I CV
V VZ XI CV C
Z X jX
29
lteusoo na referenda)
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Impedância • Capacitor
9 A impedância de um capacitor inclui somente a parte imaginária
� = - / 2 � Tensão atrasada em 90 em relação à corrente � Corrente adiantada em 90 em relação à tensão
2 0C CZ X jX
30
Tm B
I#90 >V=1V1leon. :c=-jk=xc
-60
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Impedância • Exemplos:
9 Calcule a corrente i(t) Utilizando álgebra de fasores,
100100sin 0 70,71 02
70,71 0 14,14 00 5 0
14,14 2 sin 20sin
v t t V V
V VI AZ R
i t t t A
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Impedância • Exemplos:
9 Calcule a corrente i(t) Utilizando álgebra de fasores,
2424sin 0 16,968 02
16,968 0 5,656 22 3 2
5,656 2 sin 2 8sin 2L
v t t V V
V VI AZ X
i t t t A
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Impedância • Exemplos:
9 Calcule a corrente i(t)
Utilizando álgebra de fasores,
1515sin 0 10,605 02
10,605 0 5,303 22 2 2
5,303 2 sin 2 7,5sin 2C
v t t V V
V VI AZ X
i t t t A
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Impedância • Impedâncias em série
9 Impedância equivalente Zeq
9 Exemplo:
1 2 NZ Z Z Z
1 2 0 900 0
3 4 5 53,13
eq L
eq L
eq
Z Z Z R XZ R j jXZ j
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Impedância • O conceito de impedância em conjunto com a álgebra fasorial
torna a análise de circuitos AC semelhante à análise de circuitos DC
• Exemplo: Considere que o circuito do exemplo anterior seja conectado à seguinte fonte de tensão alternada:
141,4 0 100 0
2E V
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Impedância • Exemplo:
A corrente que flui no circuito é dada por:
100 0 20 53,135 53,13
20 2 sin 53,13eq
EI AZ
i t t A
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Impedância • Exemplo:
A queda de tensão em cada elemento pode ser obtida:
3 0 20 53,13 60 53,13 36 48
60 2 sin 53,13
4 90 20 53,13 80 36,87 64 48
80 2 sin 36,87
R R
R
L L
L
V Z I j V
v t t VV Z I j V
v t t V
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Impedância • Exemplo:
Para validação dos resultados, lei de Kirchhoff para as tensões
pode ser aplicada:
0 100 0 60 53,13 80 36,87 0
100 0 36 48 64 48 0R LE V Vj j j
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Impedância • Exemplo:
Em notação fasorial,
7,07 53,13 5 53,132
I A
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Impedância • Exemplo:
A impedância equivalente do circuito é dada por: Logo, a diferença de potencial entre os terminais da fonte é dada
por:
1 2 6 0 8 90 6 8 10 53,13eqZ Z Z j
10 53,13 5 53,13 50 0
50 2 sineqE Z I V
e t t V40
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Impedância • Exemplo:
A queda de tensão em cada elemento pode ser obtida:
6 0 5 53,13 30 53,13 18 24
30 2 sin 53,13
8 90 5 53,13 40 36,87 32 24
40 2 sin 36,87
R R
R
C C
C
V Z I j V
v t t VV Z I j V
v t t V
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Impedância • Exemplo:
Os resultados podem ser verificados pela lei de Kirchhoff para as
tensões:
050 0 30 53,13 40 36,87 050 18 24 32 24 0
R CE V V
j j
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Condutância � Recíproco da resistência Siemens [S]
9 Susceptância � Recíproco da reatância Siemens [S]
1GR
1BX
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Admitância � Recíproco da impedância Siemens [S]
9 Admitância equivalente de circuitos em paralelo:
9 Logo, a impedância equivalente é dada por:
1YZ
1 2eq NY Y Y Y
1 2
1 1 1 1eq NZ Z Z Z
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Exemplo:
1 1 0,2 0 0,2 05 0
1 1 0,125 90 0 0,1258 90
1 1 0,050 90 0 0,05020 90
RR
LL
CC
Y j SZ
Y j SZ
Y j SZ
45
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Exemplo:
Logo, a impedância equivalente vale:
0,2 0 0,125 90 0,050 90
0,2 0 0 0,125 0 0,050 0,2 0,075
0,2136 20,56
eq R L C
eq
eq
Y Y Y YY j j j j SY S
1 1 4,68 20,56 4,382 1,6440,2136 20,56eq
eqZ j
Y
46
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Analogamente aos circuitos em série, as técnicas utilizadas para análise de circuitos DC podem ser utilizadas para análise de circuitos AC em paralelo
9 Exemplo: Se o circuito do exemplo anterior for conectado a uma fonte de tensão alternada:
Em notação fasorial,
141,4sine t t
141,4 0 100 02
E V
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Exemplo: Se o circuito do exemplo anterior for conectado a uma fonte de tensão alternada:
A corrente entregue pela fonte é dada por:
141,4sine t t
100 0 21,36 20,564,68 20,56eq
EI AZ
48
→
: tin HEt.to± ~ In§2iT£c
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Exemplo: Se o circuito do exemplo anterior for conectado a uma fonte de tensão alternada:
A corrente fluindo em cada elemento pode ser obtida:
141,4sine t t
100 0 20 05 0
100 0 12,5 908 90100 0 5 90
20 90
RR
LL
CC
EI AZEI AZEI AZ
49
→
: tin HEt.to± ~ In§2iT£o
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Impedância • Impedâncias em paralelo
9 Exemplo: Se o circuito do exemplo anterior for conectado a uma fonte de tensão alternada:
O resultado pode ser validado através da aplicação da lei de Kirchhoff
para as correntes:
141,4sine t t
21,36 20,56 20 0 12,5 90 5 9020 7,5 20 12,5 520 7,5 20 7,5
R L CI I I I
j j jj j
50
→
: tin HEt.to± ~ In§2iT£c
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Análise de Circuitos CA • A representação fasorial permite que sejam aplicados os métodos
de análise de circuitos CC para análise de circuitos CA 9 Análise das correntes nos ramos 9 Método das malhas 9 Método dos nós
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Circuitos em Corrente Alternada
• Alguma dúvida? 9 E-mail: [email protected] 9 Sala: 4273, ao lado do R.U. 9 Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira à tarde antes da aula
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