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MOVIMENTO RETILÍNEO
Prof. Fábio de Oliveira BorgesCurso de Física I
Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense
TEMPO E DESLOCAMENTOEm cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos.
Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixoorientado, relativamente a um ponto de referência, geralmentetomado como a origem (x = 0). Exemplo:
O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posiçãocom o decorrer do tempo.
Um conceito importante é o da relatividade do movimento: suadescrição depende do observador. Já a escolha da origem éarbitrária.
A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupadospelo objeto que se movimenta.
VELOCIDADE MÉDIAMovimento mais simples
Movimento retilíneo uniforme
gráfico = reta x(t) = at+b
Característica principal deste movimento em percursos iguais, x=x3-x2=x2-x1,são descritos em intervalos de tempos
Logo, a velocidade média é definida como:
são descritos em intervalos de temposiguais, t=t3-t2=t2-t1.
VELOCIDADE MÉDIA
• Se x > 0 vm > 0 (movimento para a direita, ou no sentido dex crescente);• Se x < 0 vm < 0 (movimento para a esquerda, ou no sentidode x decrescente, “marcha à ré”).de x decrescente, “marcha à ré”).
Graficamente, v representa o coeficiente angular da reta nográfico posição (x) tempo (t).
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIAA velocidade escalar média é uma forma de descrever a “rapidez” comque um objeto se move. Ela envolve apenas a distância percorrida,independentemente da direção e do sentido:
Em muitas situações vm=|vm|. Entretanto, essas duas velocidadespodem ser bastante diferentes. Exemplo: partícula parte de O, descreveuma circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido umuma circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido umtempo T. Neste caso:
A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída dequalquer indicação de direção e sentido.
DESLOCAMENTOO deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de
tempo (t2t1) é a diferença entre a posição final (x2) no instante t2 e aposição inicial (x1) no instante t1. Se fizermos t2=t, t1=t0 ex(t1)=x(t0)=x0 na equação da velocidade média, obtemos a “leihorária” do movimento retilíneo uniforme:
Graficamente:Graficamente:
MAIS DE VELOCIDADE MÉDIAQualquer movimento retilíneo não uniforme chama-se
“acelerado”.
Vamos estender a ideiacontida na equação davelocidade média a ummovimento aceleradodefinindo a velocidade médiaentre dois instantes de
Corresponde a velocidade média requerida por um movimentouniforme que partindo de x1 em t1, chegue a x2 em t2.
entre dois instantes detempo:
VELOCIDADE INSTANTÂNEAO que significa “velocidade num dado instante de tempo t”?
Em uma experiência de quedalivre com bolinhas, o gráfico xt tem asforma de uma parábola (fig. Ao lado),x = at2, onde a 5 m/s2, temos:
x(t)=5 t2
Qual é a velocidade instantânea paraQual é a velocidade instantânea parat= 2 s ? ( I) t = 1; II) t = 0,1; III)t = 0,01; ......)
VELOCIDADE INSTANTÂNEAConcluímos que: 15m/s < v < 25m/s; 19,0m/s < v < 21,0m/s; 19,95m/s < v < 20,05m/s . Isso sugere que o valor de v é:
v = 20 m/s para t = 2sEste valor é obtido da sequência anterior, quando t0 .Assim
Note que: t0 x0 , mas o quociente x/t 20m/s
VELOCIDADE INSTANTÂNEAAssim, para uma função x(t), o limite
Chama-se derivada de x em relação a t no ponto t0. No exemploanterior:
Exemplo: Calcule a derivada de x(t)=at2+bt+c, onde a, b e c = cte
VELOCIDADE INSTANTÂNEAA velocidade instantânea v(t) num instante t qualquer descrito porx=x(t) é dada por:
Da interpretação geométrica, a velocidade instantânea v(t0)representa o coeficiente angular da tangente ao gráfico xt no pontot0. Isto é o que chamamos de “declive” da curva no ponto.
VELOCIDADE INSTANTÂNEAInterpretação geométrica da derivada.
ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES NA FISICA I
f(t) df(t)/dt
a f(t) + b g(t) a df(t)/dt + b dg(t)/dt
a = cte 0
un nun-1un nun-1
sen(t) cos(t)
cos t - sen(t)
et et
ln(u) u-1
O PROBLEMA INVERSOAgora, conhecendo a velocidade instantânea v(t) entre um dado
instante inicial t0 e um instante final t, vamos calcular o espaçopercorrido entre estes dois instantes, x(t)-x(t0).
Se um movimento for uniforme, asvelocidades instantânea e média seconfundem, v=vm=cte, e o gráfico é umareta paralela ao eixo das abscissas.Pela definição de velocidade média, oPela definição de velocidade média, oespaço percorrido entre t0=0 e t é:
Então, x(t)-x0 é numericamente igual a área da porção do gráfico vtlimitada pelas ordenadas t0=0 e t.
O PROBLEMA INVERSOConsideremos agora um movimento não-uniforme, em que v é
uma função qualquer de t.vamos subdividir o intervalo [ta,tb]
em um grande número de intervalosde largura t. Se t for infinitesimal,a velocidade variará muito pouconestes intervalos, e podemosaproximar a velocidade média desteaproximar a velocidade média desteintervalo pelo valor da velocidadeem um de seus extremos. Assim:
O PROBLEMA INVERSOSe prosseguirmos até tb, teremos:
Soma da área de todos os retângulos entre ta e tb.
no limite em que ti 0, temos:
Este limite é chamado de integral definida de v(t) entre os extremos ta
e tb, e é representada por:
ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES NA FISICA I
f(t) F(t)
a f(t) + b g(t) a F(t) + b G(t)
a = cte at
un, n -1 un+1/n+1un, n -1 un+1/n+1
sen(t) - cos(t)/
cos t sen(t)/
et et/
u-1 ln|u|
MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
Aceleração é a medida da “rapidez” de variação da velocidadecom o tempo, ou seja, a aceleração mede a “velocidade de variaçãoda velocidade”.
Por analogia com a velocidade média, podemos definir a aceleraçãomédia no intervalo [t1,t2] por:média no intervalo [t1,t2] por:
ACELERAÇÃO MÉDIA
Observando a figura aolado, podemos concluir que:
1. Se v>0 e cresce a>0
2. Se v>0 e decresce a<02. Se v>0 e decresce a<0
3. Se v<0 e decresce a<0
4. Se v>0 e cresce a>0
5. Se v = cte a = 0
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
A aceleração média pode ser variável durante o movimento.
Por analogia com o já dito, para definir a aceleração instantâneano ponto p1, imaginamos que o ponto p2 da Figura se aproximacontinuamente do ponto p1, de modo que a aceleração média sejacalculada em intervalos cada vez menores.
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
ou seja, a aceleração instantânea é a derivada em relação ao tempoda velocidade instantânea. Logo:
Com está definição a aceleração instantânea passa a ser a segundaderivada da posição com relação ao tempo.
A interpretação geométrica da aceleração instantânea(“derivada”) e que em um gráfico de vt, a(t) é o coeficiente angularda tangente à curva no ponto correspondente ao instante t.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICACom o auxílio da interpretação geométrica da derivada como o
coeficiente angular da tangente à curva e sabendo que v=dx/dt ea=dv/dt, podemos interpretar os gráfico a seguir.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Derivação
Integração
MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Um movimento retilíneo chama-se uniformemente aceleradoquando a aceleração instantânea é constante (independe do tempo):
Podemos usar as técnicas de solução do “problema inverso” paradeterminar a lei horária de um movimento uniforme acelerado.
Consideremos o movimento durante umintervalo de tempo [t0,t], onde t0 é o “instanteinicial” ( no gráfico ao lado t0=0).
que é a área do retângulo ao lado com t0=0.
MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
O valor v(t0)=v0 da velocidade no instante inicial chama-sevelocidade inicial, então;
Vamos agora obter a lei horária do M.R.U.A.aplicando a ideia de integração abaixo no
A velocidade é uma função linear com o tempo no M.R.U.A.
aplicando a ideia de integração abaixo nográfico ao lado.
MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
A área de um trapezóide (gráfico vt ao lado)pode ser calculada como a soma das áreashachurada de um retângulo e de umtriângulo dentro do intervalo [t0=0,t].
Então,
MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
O valor x(t0)=x0 da posição no instante inicial chama-se posiçãoinicial.
lei horária do M.R.U.A. em função dos valores iniciais v0 e x0., o seu
gráfico é uma parábola.
MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Vamos agora, exprimir a velocidade no M.R.U.A. em função daposição. Para tanto, devemos eliminar o tempo t-t0;
Assim,
que é a expressão procurada.
MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Vamos agora, exprimir o M.R.U.A. em função da velocidade etempo. Para tanto, devemos eliminar a aceleração;
Assim,
que é a expressão procurada.
EQUAÇÕES DO MOVIMENTO RETILÌNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
QUEDA LIVREA aceleração constante de um corpo em quedalivre denomina-se aceleração da gravidade, eseu módulo é designado por g.
g = 9,80m/s2 = 980 cm/s2 = 32,2 pés/s2
(valor próximo à superfície terrestre)
O valor exato varia de um local para outro, demodo que normalmente fornecemos o valor deg na superfície terrestre com somente doisg na superfície terrestre com somente doisalgarismos significativos (9,8 m/s2).
ATENÇÃO: Como g é o módulo de umagrandeza vetorial, ele é sempre um númeropositivo. Se você considerar que o sentidopositivo está para cima, a aceleração énegativa (para baixo) e igual a -g. Tenhacuidado com o sinal de g na queda livre.
QUEDA LIVREComo o movimento em queda livre é um movimento retilíneouniformemente acelerado, se considerarmos a origem do referencial nasuperfície da terra, as equações de M.R.U.A. são transformadassubstituindo a por –g.
EXEMPLO: UMA MOEDA EM QUEDA LIVRE
Uma moeda de 1 euro é derrubada da Torre de Pisa. Ela parte dorepouso e se move em queda livre. A) Calcule sua posição e suavelocidade no instante t=3,0 s. B) Sabendo que a Torre de Pisa
mede 57m de altura, calcule avelocidade adquirida e o tempogasto pela moeda ao atingir o solo.(despreze a resistência do ar)
EXEMPLO: DOIS CORPOS COM ACELERAÇÕES DIFERENTES
Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15,0 m/s quandopassa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidadeindica 10,0 m/s. Um policial que estava parado no local da placaacelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleraçãoconstante de 3,0 m/s2
(a) Qual o intervalo desde o início da perseguição até o momento emque o policial alcança o motorista? (b) Qual é a velocidade do policialnesse instante? (c) Que distância cada veículo percorreu até essenesse instante? (c) Que distância cada veículo percorreu até essemomento?
FIM