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1Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
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2Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Car aerodynamics, wake visualization
Morelli-Shape (Cd = 0.2)
Mercedes Bionik-Car -> boxfish.
Despite its boxy, cube-shaped body, this tropicis in fact outstandingly streamlined and therefore represents an aerodynamic ideal. With an accurately constructed model of the boxfish the engineers in Stuttgart were able to achieve a wind drag coefficient of just 0.06 in the wind tunnel.
al fish
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3Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Unsteady aerodynamics / insect flight
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4Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Delta wing / over the limit?
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5Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Shock waves
The wave pattern generated by a model of a Porsche 944 in a Mach 3 wind tunnel
shadowgraph of supersonic bullet flying
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6Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
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7Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Jets in a cross-flow
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8Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Vortex rings
Vortex ring collision (90°)
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9Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Slender vortices / trailing vortices
Crow instability
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10Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Beispiele Bereich Maschinenbau
Wärmetauscher: Druckverlust, Wärmeübergang
Brennkammer: Vermischung von Brennstoff und Sauerstoffträger,Wand- und Flammentemperaturen, Schadstoff-Emissionen.
Turbinenschaufeln: Wirkungsgrad, Kühlung.
Kolbenströmungen: Vermischung, Wirkungsgrad, Rußbildung (Diesel).
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11Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
• Aus integralen Erhaltungssätzen der Physik ⇒Grundgleichungen für reibungsfreie Strömungen:
Kontinuitätsgleichung:
Euler Gln.:
Näherung inkompressible Strömung
Rückblick I
( ) 0=ρ+∂ρ∂ udivt
fpgraduurotugradtu
+ρ
−=×++∂∂ 2
21
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12Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Ausblick I
Grundgleichungen für allgemeine Strömungen:
KontinuitätsgleichungNavier-Stokes Gleichungen (Impulsgleichungen)EnergiegleichungZustandsgleichungen der ThermodynamikKonzentrationengradienten in LösungenRandbedingungen
Vertiefung der Stromfadentheorie (kompressibel)
Düsenströmungen: Lavaldüse ÜberschallströmungenVerdichtungsstöße
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13Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Ausblick II
Verdichtungsstöße in 3D-Strömungen
Überschalltriebwerke (Fighter)Gasturbinen(„Schallmauer“ Überschallknall)
Reibungsfreie, inkompressible,2- und 3-dimensionale Körperumströmungen
Tragflügeltheorie konforme Abbildungen:Propeller, Windturbine, StrömungsmaschinenWarum kann ein Fußball (Tennisball) um eine Kurve fliegen?(Bananen-Flanke „Manni Kaltz“)
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14Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Ausblick III
Exakte Lösungen der Navier-StokesGleichungen für inkompressible Strömungen:
Laminare Kanal- und RohrströmungenStrömungen zwischen zwei koaxialen Zylindern
Schleichende Strömungen – Stokes GleichungenSchmierspalt
KonvektionsströmungenFreie KonvektionErzwungene Konvektion
N. St. Gleichungen Grenzschichtgleichungen:Grenzschicht - Theorie
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15Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Ausblick IV
Technisch relevante Strömungen und Strömungen in der Natur sind fast immer turbulent - Turbulenztheorie:
Warum werden Strömungen turbulent?Wie können turbulente Strömungen erforscht und beschrieben werden?
Kenntnisse sind notwendig für sinnvolle numerische Simulationen mit kommerziellen Programmen im Maschinenbau, in der Verfahrenstechnik, bei der Schadstoffausbreitung!
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16Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundlagen der Vektoralgebra
AV V 0→
∫∫
A∫∫
= ⎤⎥⎦
Volumenableitung eines Vektors DivergenzQuellterm
oder auch Dilatation
Volumenableitung eines Skalars oder Vektors
1) geschlossene Fläche mit V
2) bilde über die Eigenschaft
3) Grenzwert aus skalarer Fluss durch die Fläche
Skalarer Fluss des Vektorfeldes durch A, wenn
vergleiche:
Vektorieller Fluss des Vektorfeldes durch A, wenn
≠u∇ ⋅
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17Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Gauß‘scher Integral-Satz
j jV A
D f dV f n dA für j=1, 2, 3=∫ ∫1 1
j j 2 2
3 3
D nEs ist D / x mit D D und n n
D n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ∂ ∂ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Skalar:
Vektor:V V A
D f dV f dV f n dA Skalarprodukt!⋅ = ∇ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
Tensor:
( )1 1
2 j j 2
3 3
Es ist eine Tensormatrix mit Zeilen x , dann ist Dσ ∇ ⋅ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ = σ σ = σ ⋅ σ = ∇ ⋅ σ = ∇ ⋅ σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ ∇ ⋅ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
j j jV V A
D dV dV n dA für j=1, 2, 3⋅ σ = ∇ ⋅ σ = σ∫ ∫ ∫
Beispiel: ( ) ( ) ( )1
0
f x dx f 1 f 0
Ränder!
∂ = −∫
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18Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Reynolds Transport-Theorem
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
V
V A
V V
V
V
Substantielle Änderung einer Volumen-Eigenschaft J(t)
dJ d dV mit der Eigenschaftsdichte , z.B. , u ....dt dt
dV u n dAt
dV u dVt
u u dV
u u dt
= ε ⋅ ε ρ ρ
∂ε= + ε ⋅ ⋅
∂
∂ε= + ∇ ⋅ ε ⋅
∂
⎡ ⎤= ↓ + ε ⋅ ∇ ⋅ + ⋅∇ ⋅ε⎣ ⎦
∂ε⎛ ⎞= + ⋅∇ ⋅ ε + ε ⋅ ∇ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
( )V
V
d u dVdtε⎛ ⎞= + ε ⋅ ∇ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
Gauss-Integralsatz
Produktregel
SubstantielleAbleitung:
( )
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
∂= + ⋅∇∂
…
…
d u vdt t x y
ut
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19Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundgleichungen -Kontinuitätsgleichung
„Die zeitliche Änderung der Masse in einem raumfesten Kontrollvolumen V0 + Massenstrom durch Oberfläche A von V0 = Null“
( )00
0=
∂ρ+ ρ ⋅ =
∂∫ ∫A R VV and
dV u n dAt
Volumenintegral vermöge Gauß‘scher Integralsatz
( ) ( )A V
u n dA u dVρ ρ⋅ = ∇⋅∫ ∫
( ) ( ) ( )ρ
ρ ρ ρρρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 2 3
2
3
uu u u
, , ux y z x y z
uρ ρ ρρ ρ ρ
∂∂ ∂∂ ∂ ∂= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂31 2
1 2 3uu uu u u
x x y y z z
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20Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundgleichungen -Kontinuitätsgleichung
„Die zeitliche Änderung der Masse in einem raumfesten Kontrollvolumen V0 + Massenstrom durch Oberfläche A von V0 = Null“
Kontinuitätsgleichung:
Inkompressible Strömungen:
( ) 0
0
0
div u ,t
u grad divu ,t
d divu .dt
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
∂+ =
∂∂
+ ⋅ + =∂
+ =
div 0,u =
Einstein‘sche Summenkonvention
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21Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundgleichungen – Navier-Stokes-Gleichungen
„Die zeitliche Änderung des Impulses in V0 Inertialsystem+ Impulsstrom durch Oberfläche A von V0 = Σ äußere Kräfte“
Gauß, V0 beliebig und Subtraktion „u · Kontinuitätsgleichung“
Drehimpulserhaltung Symmetrie
Offen: (Strömungsgrößen) ?
σ
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22Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Tensoranalysis / dyad. Produkt
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23Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Drehimpulserhaltung: Symmetrie von
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24Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Normal- und Schubspannung
Normalspannungen: Dehnung u. Stauchung
Schubspannungen: Scherung
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25Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Fluidbewegung allgemein
Fluidbewegung:
u u u v u wx x y x z x
u v v v w vy x y y y z
u w w v w wz x y z z z
DefD
⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
0
0
0
u v u wy x z x
v uv wx yz y
w u w vx z y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟− −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂
⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟− ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ −
∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂
− −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
Ω =
( )u du u D dr D dr rot u dr+ = + +Ω ⋅ = ⋅ + ×
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26Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Rotation und Wirbel
Fluidbewegung allgemein:
Translation
Rotation
Scherung/Dehnung
Rotationsfreie Bewegung auf kreisförmiger Bahn
Potentialwirbel:
Singularität vereint gesamte Wirbelstärke
0ω =Ebene Scherschicht:
Strömung ist drehungsbehaftet, aber keine Wirbelströmung
0ω ≠
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27Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Drehung und Deformation
mittlere Winkelgeschwindigkeit mittlere Schergeschwindigkeit
xy( d d ) u v
dt y xβ αγ
⎛ ⎞+ ∂ ∂= = − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠z
( d d ) v udt x y
β αω⎛ ⎞− ∂ ∂
= = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Winkel-erhaltende Bewegung, z.B. Festkörperrotation
Richtung der Diagonalen bleibt erhalten, z.B. Staupunktströmung
⊕
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28Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Deformations-Tensor
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
⇔
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=i
j
j
i
xu
xu
zw
zw
zv
yw
xw
zu
zv
yw
yv
yv
xv
yu
xw
zu
xv
yu
xu
xu
udef
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−=+
=xw
zu
yw
zv
xv
yu
dtdd
xzyzxy γγαβγ ,,
zw
yv
xu
zyx ∂∂
=∂∂
=∂∂
= εεε ,,
Annahme: Verschiebungsgradient klein => quadr. Terme vernachlässigbar
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29Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Stokes´sche Spannungstensor (1)
x xy xz
xy y yz
xz yz z
1 2p 1 2
1 2
⎛ ⎞ε γ γ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ = − + η γ ε γ + λ ε⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
x y zu v w (Volumendilatation)x y z
div u∂ ∂ ∂ε = ε + ε + ε = + + =
∂ ∂ ∂
( ) 23ii xx yy zz V 0
13 =σ = σ + σ + σ ⇒ λ = η − η
Kinetische Gastheorie 1. Ordnung: Mittelwert der Normalspannungen unabhängig von kinematischen Variablen (keine Dilatationsviskosität: )
Lamé-Konstante
V 0η =
( )def u=
( )div grad p div def u grad ( div u)σ = − + η + λ
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30Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Stokes´sche Spannungstensor (2)
( )div grad p div def u grad ( div u)σ = − + η + λ
Tensoranalysis:
( )div grad p u grad (div u)σ = − + η Δ + λ + η
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31Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundgleichungen – Navier-Stokes-Gleichungen
Allgemein:
Inkompressible Strömungen:
Tensoranalysis: Für jedes Vektorfeld gilt:
div 0=u
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32Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundgleichungen – Navier-Stokes-Gleichungen
Materielle Darstellung der Transportgleichung:
Totales Differential stellt Änderung für mitbewegtes Fluidelement dar
Transportterm Quellterme
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33Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Navier-Stokes-Gleichungen - Näherungen
• Dimensionslose Variablen:
• Wichtige Näherungen:
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34Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Navier-Stokes-Gleichungen Euler Gleichungen
äquivalent:
Achtung!
Terme mit den höchsten Ableitungen entfallen,
![Page 35: Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1 1 · Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1 5 Shock waves The wave pattern generated by a model of a Porsche 944 in a Mach 3 wind tunnel](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022011809/5d56214288c993aa308b6b02/html5/thumbnails/35.jpg)
35Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Navier-Stokes-Gleichungen Stokes Gleichungen
Reibungsdominierte Strömungen, man spricht von
„schleichenden“ Strömungen!!
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36Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Grundgleichungen - Energiesatz
„Die zeitliche Änderungen der Energie (innere und kinetische) in V0 + Energiestrom durch Oberfläche A = Arbeit der Σ äußere Kräfte“
• Gauß
• Subtraktion: Energie · Kontinuitätsgleichung
• Subtraktion: Navier-Stokes-Gleichungen
n
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37Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Energiesatz
Energieerhaltung
- Impulserhaltung (Navier Stokes) * Geschwindigkeit
(mechanischer Energiesatz)
= Energiesatz (1. Hauptsatz der Thermodynamik)
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38Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Energiesatz
mit
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39Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1
Energiesatz – 1. H.S. der Thermodynamik
• Keine Dissipation, ideales Gas, konstanter Druck:
• Keine Dissipation, ideales Gas, konstante Dichte: