prof. dr. h. graßl, angewandte physik 1 angewandte physik schwingungen und wellen
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 1
Angewandte Physik
Schwingungen und Wellen
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 2
Schwingungen:örtlich stationär
Wellen:breiten sich räumlich aus
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Schwingungen und Wellen
Energie-transport
kinetische Energieder Masse
potentielle Energie in Feder
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 4
Bedeutung von Schwingungen und Wellen in Technik und Wissenschaft
Schwingungen:Energiespeicher (Bewegung auf begrenztem Raum,
verwandt mit Rotation) (auch mikroskopisch; z.B. Energie in Gasteilchen)
Zeitmaßstab: Keine Uhr ohne Oszillator
Störeffekte: Materialermüdung durch DauerbelastungGrundform der Existenz: Nullpunktsschwingungen
Wellen (gekoppelte Schwingungen):Energietransport: Meereswellen, 50Hz-Netz, Mikrowellenherd,
Laser
Informationstransport: Schallwellen, Radio, Fernsehen, Funkkommunikation
Materialtransport: Materiewellen, jede Materie
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 5
Angewandte Physik
Schwingungen
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 6
Verschiedene Arten von oszillierenden Systemen
Kippschwinger
Harmonischer Oszillator
Zeit
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 7
1. "Harmonische" Schwingung ohne Reibung
Beispiel Federpendel: 1) träge Masse (~ Verharrung)2) rücktreibende Kraft: Feder (~ Elastizität)Auslenkung hängt sinusförmig von Zeit ab.
Es gibt eine Eigenfrequenz f0
Zeit t
Auslenkung x(t)
Schwingungs-periode T0
Eigenfrequenz f0=1/T0
Geschwindigkeit v(t)
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2. gedämpfte harmonische Schwingung
Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 3) Reibung führt zu Dämpfung der
Schwingung
Zeit t
Auslenkung x nimmt mit Zeit ab
Schwingungs-periode und Frequenz ändern sich: fd < f0
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 9
3. erzwungene harmonische Schwingung
Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 4) sinusförmig variierende Anregung 5) Auslenkung je nach
Anregungsfrequenz 6) Resonanz
Zeit t
Auslenkung x
Schwingungsfrequenz = AnregungsfrequenzAntrieb
Eigenfrequenz Resonanzfrequenz
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 10
Übersicht über harmonische Schwinungen
freie Schwingung erzwungene Schwingung
ung
edäm
pft
gedäm
pft
1)
2) 3)
4)
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 11
wichtige Begriffe eines schwingenden SystemsResonator:Freiheitsgrad(e) (Auslenkung, Amplitude)Resonanz: Eigenfrequenz (freie, ungedämpfte Schwingung)Abwechselnd kinetische Energie / Potenzielle Energie (Energieerhaltung)Reibung: Umwandlung von potenzieller/kinetischer Energie in Wärme
(auch Energie!)zeitliches Abklingen (Dämpfung) der Schwingung durch Reibungverschiedene mögliche Abhängigkeiten der Reibung von 'Geschwindigkeit'
Erreger:periodische Auslenkung, unabhängige Erregerfrequenzsinusförmig (anderer Zeitverlauf möglich: siehe Basketball-Dribbeln)nach Einschwingvorgang: Resonator schwingt mit ErregerfrequenzEinschwingvorgang allgemein: Überlagerung aus Bewegungen mit
Eigenfrequenz (abklingend) und mit Erregerfrequenz ( stationärer Zustand)
Erreger + Resonator "Oszillator"
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12
Beispiele für schwingende Systeme / Oszillatoren
Foucault-Pendel0,2 Hz
Unruh inUhrwerk
2 Hz
Schwingquarz4 MHz
Molekülschwingungx GHz –THzYIG Oszillator
4 GHz
Stimmgabel440 Hz
Stimmgabelquarz32768 Hz
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 13
Lösungsansatz komplex: 00)( tjeaty
yejay tj 20
20
00)(
020
mk
Beschleunigungskraft = Federkraft
Differenzialgleichung
0 kyym
0 ymk
y
mk
0
Resonanzfrequenz
Steifigkeit
Trägheit
y
Freie, ungedämpfte Schwingung; mathematischreibungsfreie Gleitbewegung
gesucht : ( )y t
a kF F ky
ma ky
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 14
Verschiedene Resonatoren / OszillatorenSteifigkeit
Trägheit
0
1CL
Resonanzfrequenz
SteifigkeitsparameterTrägheitsparameter
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 15
Energieerhaltung bei Schwinungsvorgängen
oberer Umkehrpunktunterer Umkehrpunkt
vmax abwärts vmax aufwärts
2 10 02cos ( ) [cos(2 ) 1] t t
kinetische Energie in auf/ab-Geschwindigkeit der Masse
potenzielle Energie in Dehnung/Kompession der Feder
t
t
]1)2[cos(ˆ41
)( 02
pot tyktE
)cos(ˆ)( 0tyty
)(cosˆ21
)(21
)(
022
2pot
tyk
tkytE
Energie pulsiert mit doppelter Frequenz
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 16
Analogie: Oszillatormechanisch / elektrisch
potentielle / elektrostatischeEnergie
kinetische / magnetischeEnergie
http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis
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gedämpfte harmonische Schwingungen
Dämpfung (Reibung) proportional zur Geschwindigkeit (Änderung der oszillierenden Größe)
0 kyydym
RF d v d y
ZugF
ReibungF
FTrägheit
0FederzugReibungTrägheit FFF
)(0
0)( tjt deeyty
0 ymk
ymd
y
gewöhnliche lineare Differentialgleichungallgemeiner Lösungsansatz: gedämpfte harmonische Schwingung
22 0dy y y
schon wieder
eine Differenzial-gleichung!
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 18
gedämpfte harmonische Schwingungen
Dämpfung (Reibung) proportional zur Änderung (Geschwindigkeit) der oszillierenden Größe
)(0
0)( tjt deeyty
ZugF
ReibungF
FTrägheit
mk
0Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
Abklingkoeffizient [1/s]md
2
Zeit t
Abklingzeitkonstante [s]
:1
innerhalb von fällt Amplitude auf1/e vom Anfangswert
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
220 d
vdFR
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Beispiele: Stimmgabel, Quarzschwinger, elektr. Hohlraumresonator, akustischer Hallraum, ...
reale Resonatoren haben immer Dämpfung (Verluste)
Maß für Dämpfung im Verhältnis zu Schwinungsfrequenz:Dämpfungsgrad
Güte Q
0 0
11 Schwingungsdauer Amplitudenabklingzeit 2
Dämpfungsgrad und Güte Q
Anzahl der Schwingungen innerhalb Abklingzeit
12
QT
(dimensionslos)
(dimensionslos)
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verschiedene Bereiche des Dämpfungsgrades Schwingfall
Kriechfall
aperiodischer Grenzfall
Auslenkung klingt schnellstmöglich ab
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Erzwungene Schwingung:Differenzialgleichung von Resonator mit Anregung
maFFF ErregerDämpfungFeder
Antrieb FErreger
Dämpfung
)cos(EErreger tFF
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kF
y
E /ˆ)(
Amplituden- und Phasengang der Resonanz
)(
0
1. Resonator schwingt mit Erregerfrequenz
2. Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab
3. zunehmende Phasenverschiebung
zwischen Erreger und Auslenkung des Resonators
)]([. )()( tj
eingeschw eyty
)(y
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 23
wichtige Eigenschaften der Resonanz:
• Resonanzfrequenz res < 0• res 0 für • Phasenverschiebung
• Bandbreite
bei -3dB = (1/√2) von Maximum der Resonanzkurve
Amplituden- und Phasengang der Resonanz
kF
y
E /ˆ)(
)(
0
res 0
2 22 22 2 20 0
ˆ2 1 2
E EF Fy
m k
02 2 2
0
2 2arctan arctan
1
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 24
Resonanzfrequenz: Frequenz größter Schwingungsamplitude
2Res 1 2
2Res 0 1 2
01 Res
Resonanzfrequenz wird durch Dämpfung etwas kleiner
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 25
Resonanzüberhöhung
Resonanzamplitude
Amplitude bei f 0
Res
20
ˆ 1ˆ 2 1f
yy
für kleine Dämpfung :
Resonanzüberhöhung = Güte
Res
0
0
ˆ 1ˆ 2f
yQ
y
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 26
Resonanzbreite
für kleine Dämpfung :
1Resonanzbreite =
Güte
0
1Q
max
1 ˆ2
y
Resonanzbreite x Resonanzüberhöhung = 1
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Einschwingvorgang bei abruptem Beginn der Anregung
a) freie abklingende Schwingung mit d
b) Anregung mit Frequenz
c) Einschwingvorgang:Überlagerung von a) und b)d) stationäre Schwingung mit Frequenz
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a)
b)
c) d)
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 28
Übergang von Schwingung zu Welle:
gekoppelte Oszillatoren
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 29
k12
2 gekoppelte Schwinger
ohne Kopplung: Kopplungsgrad k12= 0
2 identische Schwinger: gleiche Eigenfrequenzmit Kopplung: Kopplungsgrad k12> 0 2 Eigenmoden:
gleichphasig: gegenphasig:
Allgemeine Bewegung: Linearkombination der beiden Eigenmoden
gleichphasig gegenphasig Linearkombination
mk
0
mkk 12
2
2
01
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 30
2 gekoppelte Schwinger
Allgemeine Bewegung: Linearkombination der Eigenmoden
mk
0 mkk 12
2
2
)2
sin()2
sin(ˆ
)]cos()[cos(2
ˆ
2121
21
tty
tty
y
Schwebung
0 1
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 31
mehrere gekoppelte Schwinger
n Freiheitsgraden Eigenmoden ("Fundamentalschwingungen")n Eigenfrequenzen
Beispiel: 3-atomiges Molekül9 Freiheitsgrade,
davon 6 für Translation und Rotation des Moleküls, 3 interne Freiheitsgrade 3 Schwingungsmoden in der Ebene des Moleküls
3 Schwingungsmoden (hier nur schematisch angedeutet)
Es können auch mehrere Schwingungsmoden aus Symmetriegründen gleiche Frequenz haben:"entartete" Moden
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 32
Ausblick: Anzahl der Freiheitsgrade sehr groß
Energiebändermodelle:kontinuierlicher Bereich von möglichen
EigenfrequenzenEnergie ~ Eigenfrequenzen
Einzelatom Festkörper mit 1023 Atomen
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 33
Angewandte Physik
Wellen
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 34
gekoppelte Schwingungen Welle
einzelnerSchwinger
Transversalwelle
Longitudinalwelle
kein Materietransportaber Energietransport
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 35
Transversalwelle und Longitudinalwelle
Transversalwelle
Longitudinalwelle
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 36
Auslenkung ist Funktion von Ort und Zeit:Frequenz f = /2Wellenlänge 2/kWellenzahl k 2/Phasengeschwindigkeit c = f
harmonische Wellen
c
fc
2
]))((cos[ˆ),( 0 xttytxy
T 2
cx
t
0)](2cos[ˆ),(
x
Tt
ytxy
)cos(ˆ),( 0 kxtytxy
Wellenzahl 2
kk
c
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 37
allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden
ebene stehende Welle in x-Richtung
Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
gesamt 1 2( , ) ( , ) ( , ) ...y x t y x t y x t
ˆ ˆ( , ) cos( ) cos( )y x t y t kx y t kx
- +
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 38
stehende Wellen
http://www.mta.ca/faculty/science/physics/suren/Twave/Twave02.html
eindimensional sich ausbreitende Wellen
gegenläufige Wellen:gleiche Amplitude
stehende Wellen:Wellenknoten und Wellenbäuche
Eine stehende Welle ist die Überlagerung von zwei gegenläufigen Wellen mit gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 39
Welle wird an einer Stelle vollständig reflektiertAmplitude und Wellenlänge (und Frequenz) beider Wellen sind gleich(Welle kommt aus dem Unendlichenund geht auch wieder ins Unendliche)
Welle wird an zwei Stellen vollständig reflektiert:Das geht nur gut, wenn nach zweimaliger Reflexion die Welle wieder mit sich selbst in Phase ist.Resultat, wenn der Spiegelabstand passt: eine stehende Welle mit einer ganzen Anzahl von Wellenlängen auf zweifachem Spiegelabstand (oder einer ganzen Anzahl von halben Wellenlängen zwischen Spiegeln)
Wann gibt es eine stehende Welle?
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Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 40
Reflexion mit Phasenumkehr um 180° Wellenknoten an Spiegeln
Reflexion ohne Phasenumkehr um 180° Wellenbäuche an Spiegeln
Verschiedene Ausformungen der Stehwelle je nach Reflexionsphase an den Spiegeln
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Stehende Wellen und Eigenschwingungsmoden
Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 41
• Welle mit Reflexion an den Enden
• Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen
• allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden
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Schwingungsmoden einer Brücke
• Reflexion an den Enden• Moden: Stehende Wellen verschiedener
Wellenlängen• allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden
Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik 42
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Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden
Wenn Wellen nicht exakt in gleicher Richtung dann keine stehende Welleaber „Interferenz“ (kompliziertere Wellenmuster):
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Auslenkung des Seiles aus gerader Linie z(x,t)Seilwelle
eindimensionale Welle:
ˆ( , ) cos( )z x t z t k x Wellenzahl 2
k
ˆ( , ) j t kx j t jkxz x t ze e e
x
z
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ˆ ˆ( , ) yx zj t kr jk yjk x jk zj tp r t p e p e e e e
Wellen in Ebene (2D), z.B. auf Wasseroberfläche
Wellen im Raum (3D), z.B. Schallwelle
Wellen im Raum, Wellenvektor
; ˆ( , ) cos( ) cos( )x y x yz r t z t k x t k y r xe ye aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
ˆ( , ) cos( ) cos( ) cos( )x y zp r t p t k x t k y t k z
Wellenvektor ,x yk k k
Wellenvektor , ,x y zk k k k
Auslenkung der Oberfläche z(x,y,t)
ˆ ˆ( , , ) yxj t kr jk yjk xj tz x y t z e z e e e
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Oberflächenwellen auf Wasser
Form der Oberfläche nicht sinusförmigTeilchenbewegung nicht nur auf und ab sondern auch
vor und zurückkomplizierter Zusammenhang zwischen Wellenform
Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wassertiefe
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