prof. dr. e. larek17.06.20091 komplizierte technologische abläufe können übersichtlich mit...
TRANSCRIPT
![Page 1: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/1.jpg)
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 1
Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden.
![Page 2: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/2.jpg)
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 2
Die lineare Algebra erlaubt eine vereinfachte Darstellung komplizierter ökonomischer Probleme, die dann mit der vorhandenen Computertechnik effektiv bearbeitet werden können.
![Page 3: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/3.jpg)
2. Matrizen2.1 Matrizenoperationen2.1.1 Addition und Subtraktion2.1.2 Multiplikation einer Matrix mit einem
Skalar2.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einer
Matrix2.2 Eigenschaften von Matrizen2.3 Lineare Abhängigkeit und Rang2.4 Anwendungen
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 3
![Page 4: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/4.jpg)
Ein rechteckiges Schema von m•n geordneten Elementen aik wird Matrix A genannt.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 4
mnm
n
aa
aa
aaa
1
2221
11211
![Page 5: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/5.jpg)
Das Format oder der Typ einer Matrix A wird durch das geordnete Paar (m, n) angegeben.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 5
Vektoren sind Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte.
![Page 6: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/6.jpg)
Zwei Matrizen A und B sind dann und nur dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und alle entsprechenden Elemente überein stimmen.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 6
![Page 7: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/7.jpg)
Wenn in einer Matrix A alle Zeilen und alle Spalten miteinander vertauscht werden, erhält man die transponierte oder gestürzte Matrix AT .
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 7
T
43
01
52
405
312
![Page 8: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/8.jpg)
Eine quadratische Matrix A ist vom Format oder vom Typ (n, n) bzw. von der Ordnung n.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 8
Eine quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn AT = A gilt.
![Page 9: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/9.jpg)
Eine Blockmatrix oder Hypermatrix ist eine Matrix, deren Elemente wiederum Matrizen sind.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 9
![Page 10: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/10.jpg)
Für die Addition von zwei Matrizen A und B gelten das Kommutativgesetz
A + B = B + A
sowie das AssoziativgesetzA +B +C = (A +B) +C = A +(B +C).
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 10
![Page 11: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/11.jpg)
Man multipliziert eine Matrix A mit einem Skalar k, indem man jedes Element aik mit dem Skalar k multipliziert.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 11
kA = Ak = (k aik )
![Page 12: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/12.jpg)
Das Skalarprodukt aT b zweier Spaltenvektoren a und b entsteht durch paarweise Multiplikation der Elemente dieser beiden Vektoren und anschließender Addition.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 12
c = aTb = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = a bi ii
n
1
![Page 13: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/13.jpg)
Zwei Matrizen A und B heißen verkettet, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 13
![Page 14: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/14.jpg)
Das Produkt C zweier verketteter Matrizen A und B besitzt die Elemente cik , die aus dem Skalarprodukt
der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B
berechnet werden.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 14
![Page 15: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/15.jpg)
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 15
b11 b12 b1k b1p
b21 b22 .C = A B .
.
bn1 ... bnk bnp
a11 a12 a1n c11
a21 a22
ai1 ... ain cik
am1 amn cmp
![Page 16: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/16.jpg)
Für die Matrizenmultiplikation gelten das Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC und das Assoziativgesetz ABC = (AB)C = A(BC) , falls die Zwischensummen und
Produkte existieren.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 16
![Page 17: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/17.jpg)
In einer Nullmatrix 0 sind alle Elemente null.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 17
Eine Einheitsmatrix E ist eine Diagonalmatrix mit aii=1 für alle i.
In einer Diagonalmatrix D sind alle Elemente aik = 0 für i ≠ k .
![Page 18: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/18.jpg)
Eine orthogonale Matrix A ergibt bei Multiplikation mit der Transponierten AT die Einheitsmatrix E .
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 18
AT A = A AT = E
![Page 19: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/19.jpg)
Eine Matrix ist regulär, wenn die Determinante det(A) ≠ 0 ist.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 19
Für eine singuläre Matrix A erhält man die Determinante det(A) = 0 .
![Page 20: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/20.jpg)
Die Matrix A-1 ist inverse Matrix von A , wenn A A-1 = A-1 A = E gilt.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 20
![Page 21: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/21.jpg)
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 21
Jede reguläre Matrix A besitzt eine eindeutig bestimmte inverse Matrix A-1 .
![Page 22: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/22.jpg)
Der Vektor an ist Linearkombination der Vektoren
a1 , a2 , ... , an-1 , wenn
an = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln-1 an-1
für gebildet werden kann.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 22
l Ri
![Page 23: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/23.jpg)
Der Vektor an ist eine konvexe Linearkombination der Vektoren
a1 , a2 , ... , an-1 ,
wenn an = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln-1 an-1
für li R mit li ≥ 0 und
gebildet werden kann.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 23
1
1
1n
iil
![Page 24: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/24.jpg)
Die Vektoren ai mit i = 1, 2, ... , n heißen linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkom- bination der übrigen Vektoren darstellen lässt.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 24
![Page 25: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/25.jpg)
Es sind höchstens m Vektoren ai der Ordnung m voneinander linear unabhängig.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 25
Sind n Vektoren gegeben, so beschreibt der Rang r die Anzahl linear unabhängiger Vektoren.
![Page 26: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/26.jpg)
Die Matrix A hat den Rang r , wenn es eine Unterdeterminante der Ordnung r gibt, die ungleich null ist, und alle Unterdeterminanten höherer Ordnung verschwinden.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 26
![Page 27: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/27.jpg)
• Der Rang r einer Matrix A vom Typ (m, n) ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m oder n.
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 27
![Page 28: Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070310/55204d7349795902118c8577/html5/thumbnails/28.jpg)
Der Rang einer Matrix A ändert sich nicht, wenn
Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 28
das k-fache einer Reihe zu einer anderen Reihe addiert wird.
eine Reihe mit einem Faktor k multipliziert wird oder
die Matrix transponiert wird,
zwei Reihen miteinander vertauscht werden,