Produto interno, externo e misto

Definicao: Chama-se norma (ou comprimento) do vector u ao comprimento do segmentode recta [OP ] e representa-se por ||u||.

Definicao: Sejam a =−→OA e b =

−−→OB dois vectores nao nulos. Dizemos que θ e o angulo

formado pelos vectores a e b, e denotamos θ = ](a, b) se θ for o menor dos angulosdefinido pela semi-recta com origem em O que passa pelo ponto A e pela semi-rectacom origem em O que passa pelo ponto B.

Convencao: Se algum dos vectores e o vector nulo convenciona-se que o angulo e zero.

Definicao: Sejam u =−−→OX e a =

−→OA dois vectores com u 6= −→

0 .Seja U o ponto deinterseccao da recta que passa por A e e perpendicular a u com a recta OX. Aprojeccao ortogonal do vector a sobre o vector u e, por definicao, o numero real projuadefinido por:

||−−→OU || , se u pertence a semi-recta de origem no ponto O e que passa pelo ponto X.

−||−−→OU || ,caso contrario.

1

Propriedades:

• A projeccao ortogonal de um vector a sobre um vector u nao nulo nao depende danorma de u, ou seja, para qualquer λ > 0 tem-se:

projua = projλua

• Dados tres vectores a, b, e u tais que u 6= −→0 ,

proju(a + b) = projua + projub

PRODUTO INTERNO

Definicao:

Sejam a e b dois quaisquer vectores de R3 e seja θ o angulo formado por a e b . Chamamosproduto interno dos vectores a e b ao numero real

a|b = ||a|| ||b|| cosθ

2

Observacoes:

||a|| =√

a |a|Em particular a|a = 0 ⇔ a =

−→0 e

a|a > 0, se a 6= −→0

Reparemos ainda quea|b = ||a||projab, se a 6= −→

0 ea|b = ||b||projba, se b 6= −→

0projab = ||b||cosθ, θ = ](a, b) se a 6= −→

0

Propriedades:

1. a|b = b|a2.λ(a|b) = (λa)|b = a|(λb), λ ∈ R

3. (a + b)|c = a|c + b|c4. a|(b + c) = a|b + a|c

Definicao:

Sejam v1, v2, . . . , vk vectores de R3

Dizemos que (v1, v2, . . . , vk) e uma sequencia ortogonal de vectores se os vectores v1, v2, . . . , vk

sao ortogonais dois a dois, isto e,vi|vj = 0 se i 6= j

Dizemos que uma base (e1, e2, e3)de R3 e uma base ortogonal se e uma sequencia ortog-onal de vectores.

Dizemos que e uma base ortonormada se e uma base ortogonal constituıda por vectoresde norma 1.

Observacoes:

1. Se (v1, v2, . . . , vk) e uma sequencia ortogonal de vectores nao nulos de R3 entao e umasequencia de vectores linearmente independentes e, portanto k ≤ 3.

2. Sejam (e1, e2, e3) uma base ortonormada de R3 e x um vector de R3 . Entao existemx1, x2, x3 ∈ R tais que x = x1e1 + x2e2 + x3e3.

Os co-senos directores do vector x relativamente a (e1, e2, e3) sao dados por

x1

||x1|| ,x2

||x2|| ,x3

||x3||

Teorema:

Sejam (e1, e2, e3) uma base de R3 . Entao, dados dois vectores u = u1e1 + u2e2 + u3e3

e v = v1e1 + v2e2 + v3e3, temos:

u|v =3∑

i,j=1

(uivj)(ei|ej)

Alem disso, se a base (e1, e2, e3) e ortonormada,

u|v = u1v1 + u2v2 + u3v3

3

Corolario:

Seja (e1, e2, e3) uma base ortonormada de R3 . Entao para um vector u = u1e1 + u2e2 +u3e3 de R3 , tem-se:

||u|| =√

u21 + u2

2 + u23

O produto externo e o produto misto

Definicao:

Seja (e1, e2, e3) uma base de R3 eP = M(idR3 ; (e1, e2, e3); ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))).Dizemos que (e1, e2, e3) e uma base directa de R3 se |P | > 0. Se|P | < 0 dizemos que a

base e inversa.

Observacao: A base canonica de R3 e directa.

Definicao: Sejam u e v dois vectores de R3 . Chamamos produto externo ou produto vectorial dovector u pelo vector v, ao vector de R3 , que denotamos por u×v ou por u∧v definidodo seguinte modo:

1. Se ue v sao linearmente dependentes entao u× v =−→0 .

2. Se u e v sao linearmente independentes, u× v e o vector perpendicular aos vectores ue v de norma igual a

||u||||v||sen(θ)

tal que(u, v, u×v) e uma base directa de R3, sendo θ o angulo formado pelos vectores ue v.

Observacoes:

• O produto externo nao e comutativo.• O produto externo nao e associativo.

Definicao:

Sejam u , v e w tres vectores de R3 . Ao numero real (u × v)|w chamamos produtomisto dos vectores u , v e w (por esta ordem).

Propriedades do produto misto:

Sejam u , v e w tres vectores de R3 . Entao:

1. (u× v)|w = 0 se, e so se, os vectores u ,v e w sao linearmente dependentes;

2. (u× v)|w > 0 se, e so se, (u, v, w) e uma base directa de R3 ;

3. (u× v)|w < 0 se, e so se, (u, v, w) e uma base inversa de R3

4. (u× v)|w = (w × u)|v = (v × w)|u;

5. (u× v)|w = −(v × u)|w = −(w × v)|u = −(u× w)|v;

6. (u× v)|w = u|(v × w).

4

Propriedades do produto externo:

Sejam u , v e w tres vectores de R3 e λ um numero real. Entao:

1. u× v = −v × u;

2. λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv);

3. (u + v)× w = (u× w) + (v × w);

4. u× (v + w) = (u× v) + (u× w).

Teorema:

Seja (e1, e2, e3) uma base ortonormada directa de R3 . Entao

u× v = (α2β3 − α3β2)e1 + (α3β1 − α1β3)e2 + (α1β2 − α2β1)e3

para quaisquer vectores de R3

u = α1e1 + α2e2 + α3e3 e v = β1e1 + β2e2 + β3e3.

Observacao: Nas condicoes do teorema anterior e usual escrevermos simbolicamente:

u× v =

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

α1 α2 α3

β1 β2 β3

∣∣∣∣∣∣

5

Teorema:

Seja (e1, e2, e3) uma base ortonormada directa de R3 . Entao dados tres vectores

u = u1e1 + u2e2 + u3e3, v = v1e1 + v2e2 + v3e3, e w = w1e1 + w2 e2 + w3e3 temos:

(u× v)|w =

∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣

Aplicacoes

1. Considere-se o seguinte paralelogramo

A area do paralelogramo e dada por

||−−→OC ×−→OA||

6

2. Sejam u =−→OA, v =

−−→OB e w =

−−→OC tres vectores nao complanares de R3 . Entao os

vectores u , v, e w definem um paralelipıpedo de volume nao nulo :

O volume deste paralelipıpedo e dado por

∣∣∣(−→OA×−−→OB

)|−−→OC

∣∣∣

7

RECTA E PLANO

Representacao cartesiana da recta

Definicao:

Designa-se por representacao cartesiana de uma recta a uma equacao ou sistema de equacoescujas solucoes sao as coordenadas dos seus pontos em relacao a um certo referencial.

Dado um ponto P = (a, b, c) duma recta e um vector u = (u1, u2, u3) com a direccaodessa mesma recta, um ponto qualquer (x, y, z) da recta e dado por:

(x, y, z) = (a, b, c) + λ(u1, u2, u3), λ ∈ REQUACAO VECTORIAL DA RECTA

x = a + λu1

y = b + λu2

z = c + λu3

, λ ∈ R

EQUACOES PARAMETRICAS DA RECTA

Para u1 6= 0, u2 6= 0 e u3 6= 0,

x− a

u1=

y − b

u2=

z − c

u3EQUACOES NORMAIS DA RECTA

Estas equacoes vem:

Para u1 = 0, u2 6= 0 e u3 6= 0,

x = a ey − b

u2=

z − c

u3

Para u1 6= 0, u2 = 0 e u3 6= 0,

y = b ex− a

u1=

z − c

u3

Para u1 6= 0, u2 6= 0 e u3 = 0,

z = c ex− a

u1=

y − b

u2

Se u1 = 0, u2 = 0 e u3 6= 0,

X ∈ R ⇔ x = a e y = b

Se u1 = 0, u2 6= 0 e u3 = 0,

X ∈ R ⇔ x = a e z = c

Se u1 6= 0, u2 = 0 e u3 = 0,

X ∈ R ⇔ y = b e z = c

8

Para u3 6= 0 temos ainda que se:

m =u1

u3, n =

u2

u3, p = a− cu1

u3e q = b− cu2

u3,

Entao

{x = mz + py = nz + q

EQUACOES REDUZIDAS DA RECTA

Representacao cartesiana do plano

Dado um ponto P = (p1, p2, p3) dum plano e dois vectores u = ( u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3)linearmente independentes, um ponto qualquer (x, y, z) do plano definido pelo ponto P epelos vectores u e v e dado por:

(x, y, z) = (p1, p2, p3) + λ( u1, u2, u3) + µ(v1, v2, v3), λ, µ ∈ REQUACAO VECTORIAL DO PLANO

x = a + λu1 + µv1

y = b + λu2 + µv2

z = c + λu3 + µv3

, λ, µ ∈ R

EQUACOES PARAMETRICAS DO PLANO

9

Por outro lado sabemos que

X ∈ P ⇔ X ∈ P + 〈 u, v〉 ⇔⇔ −−→

PX ∈ 〈 u, v〉 ⇔ −−→PX | (u× v) = 0 ⇔

⇔∣∣∣∣∣∣

x− p1 y − p2 z − p3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣= 0

Assim os pontos do plano P sao os pontos de R3 que sao solucao da equacao linear nasvariaveis x, y e z:

ax + by + cz + d = 0EQUACAO GERAL DO PLANO

Sabemos que (a, b, c) sao as coordenadas dum vector perpendicular ao plano P.

INCIDENCIA E PARALELISMO

• Sejam P1e P2 dois planos, P1e P2 verificam uma e uma so das condicoes:

a) P1 = P2

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b) P1e P2 sao estritamente paralelos

c) A interseccao de P1 com P2 e uma recta

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• Seja P1 um plano eR1 uma recta, P1 eR1 verificam uma e uma so das condicoes:a) R1 ⊆ P1

b) R1 e estritamente paralela a P1

c) A interseccao de R1 com P1 e um ponto, ou seja, a recta R1 e o plano P1 saoconcorrentes.

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• Sejam R1 e R2 duas rectas, R1 e R2 verificam uma e uma so das seguintescondicoes:

a) R1 = R2

b) R1 e R2 sao estritamente paralelas

c) R1 e R2 sao concorrentes

d) R1 e R2 sao enviezadas.

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DISTANCIAS

• Distancia entre dois pontosSejam P = (a, b, c) e Q = (x, y, z) dois pontos de R3 .

Entao:

d(P,Q) = ||−−→PQ|| =√

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

• Distancia de um ponto a um planoP = (x0, y0, z0) ∈ R3 P um planoSeja R a recta perpendicular ao plano P que passa pelo ponto P . Se Q e o ponto de

interseccao desta recta com o plano P .

d(P,P) = d(P, Q) = ||−−→PQ||

M ∈ P, w⊥P

d(P,P) =∣∣∣projw

−−→MP

∣∣∣ =

∣∣∣w|−−→MP∣∣∣

‖w‖

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Se o plano P esta representado pela equacao vectorial:

X = M + λ u + µv, λ, µ ∈ R

Dado que o vector u× v e perpendicular ao plano P, da equacao anterior vem:

d(P,P) =∣∣∣proju×v

−−→MP

∣∣∣ =

∣∣∣u× v|−−→MP∣∣∣

‖u× v‖

Se o plano P e representado pela equacao geral

ax + by + cz + d = 0

d(P,P) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2

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• Distancia dum ponto a uma recta

Sejam P um ponto de R3 e R uma recta. Dado um ponto M da recta R sabemos que:

d(P,R) =∥∥∥−−→MP

∥∥∥ senθ

Se u e um vector director da recta entao:

d(P,R) =

∥∥∥u×−−→MP∥∥∥

‖u‖

Se S e a recta que passa pelo ponto P e e perpendicular e concorrente no ponto Q coma recta R, entao :

d(P,R) = d(P, Q) = ||−−→PQ||

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• Distancia entre dois planos

Sejam P e P’ dois planos

1. Se os planos sao coincidentes

d(P,P ′) = 0

2. Se os planos P e P’ se intersectam segundo uma recta entao:

d(P,P ′) = 0

3. Se os planos P e P’ sao estritamente paralelos a distancia entre P e P’ e igual adistancia de um ponto qualquer de P ao plano P ′.

d(P,P ′) = d(P,P ′)com P ∈ P

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• Distancia de uma recta a um plano

1. Se a recta e o plano sao concorrentes:

d(R,P) = 0

2. Se a recta R e paralela ao plano P

d(P,R) = d(P,P), P ∈ R

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• Distancia entre duas rectas

1. Se as rectas sao concorrentes:d(R,R′) = 0

2. Se as rectas sao paralelas:

d(R,R′) = d(P,R′), P ∈ R

3. Se a recta R e paralela ao plano P que contem a recta R′, i. e., R e R′ sao enviezadas,e u e v sao os vectores directores de R e R′ respectivamente

d(R,R′) =

∣∣∣u× v|−−→QP∣∣∣

‖u× v‖ , P ∈ R, Q ∈ R′

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ANGULOS

• Angulo de duas rectas

Sejam R1 e R2 duas rectas cujos vectores directores sao u e v respectivamente

](R1,R2) = Arc cos|u|v|‖u‖ ‖v‖

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• Angulo de uma recta com um plano

Seja P um plano, R uma recta e R′ uma recta perpendicular a P

](R,P) =π

2− ](R,R′)

Se w e um vector director da recta e u e v sao os vectores directores do plano entaok = u× v e um vector director de R′ e:

](R,P) = Arc sen|w| k|‖w‖ ‖k‖

Se o plano P e representado pela equacao geral ax + by + cz + d = 0

vem que k = (a, b, c) e sendo w = ( w1, w2, w3)

](R,P) = Arc sen|aw1 + bw2 + cw3|√

a2 + b2 + c2√

w21 + w2

2 + w23

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• Angulo de dois planosSejam P1e P2 dois planos e k1 e k2 dois vectores perpendiculares a P1e P2 respectiva-

mente

](P1,P2) = Arc cos|k1|k2|‖k1‖ ‖k2‖

Suponhamos que a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e a2x + b2y + c2z + d2 = 0 sao as equacoesgerais de

P1e P2 respectivamente,

](P1,P2) = Arc cos|a1a2 + b1b2 + c1c2|√

a21 + b2

1 + c21

√a2

2 + b22 + c2

2

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