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Processus alatoiresTraitement des Signaux

Mineure TSI

Thierry CHONAVEL

ENST Bretagne

thierry.chonavel@enst-bretagne.fr

avril 2007

Table des matires

1 Introduction 6

1.1 Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Motivation d'un cours de signal alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Quelques problmes classiques de traitement du signal alatoire . . . . . . . 8

1.4 Ce qu'il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Processus alatoires 10

2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Loi d'un processus alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Processus du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Oprations classiques dans L2(,A, P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Continuit en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Drivabilit en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.4 Intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Stationnarit et ergodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Stationnarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 Ergodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

2

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Spectre de puissance 21

3.1 Spectres densit : Densit Spectrale de Puissance (DSP) . . . . . . . . . 21

3.2 Mesure spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Reprsentation spectrale 27

4.1 Transforme de Fourier d'un processus et mesure spectrale . . . . . . . . . 27

4.2 Intgrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Filtrage. 32

5.1 Filtrage des processus stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.1 Filtrage passe bande et chantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.2 Filtre drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Processus particuliers importants 37

6.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.5 Processus cyclostationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.6 Processus circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

6.7 Processus multivaris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.8 Chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.8.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.8.2 Espace d'tat ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Transformations non linaires des processus. 48

7.1 Dtecteur quadratique et limiteur satur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.1.1 Dtecteur quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.1.2 Limiteur satur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1.3 Thorme de Bussgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2 Modulation en amplitude des processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2.1 Modulation en phase et en quadrature. . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2.2 Reprsentation analytique et modulation BLU. . . . . . . . . . . . 51

7.2.3 Reprsentation de Rice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2.4 Dmodulation en prsence de bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8 Prdiction linaire. 57

8.1 Esprance conditionnelle et prdiction linaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 Prdiction linaire horizon ni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 Filtrage adapt 61

9.1 Problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.2 Expression du ltre adapt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4

10 Processus spectres rationnels 65

10.1 Equations aux dirences et processus spectres rationnels . . . . . . . . . 65

10.2 Reprsentation d'tat des modles ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.3 Identication des processus ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3.1 Identication de la partie AR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3.2 Identication de la partie MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

11 Notions d'estimation statistique 70

11.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.2 Estimation empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.2.1 Squence d'observations indpendantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.2.2 Processus ergodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.3 Notions d'estimation paramtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.3.1 Borne de Cramer-Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.3.2 Estimateur du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 74

11.3.3 Estimateur linaire sans biais de variance minimale . . . . . . . . . 74

11.3.4 Mthodes de moindres carrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.4 Estimation bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.4.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.4.2 Cot bayesien et estimateurs bayesiens . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

12 Estimation spectrale non paramtrique 78

12.1 Estimateurs empiriques de la moyenne et des covariances . . . . . . . . . . 78

12.1.1 Processus linaires, et absolue sommabilit des covariances . . . . . 78

5

12.1.2 Moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12.1.3 Coecients de covariance empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12.2 Estimation empirique de la DSP : le priodogramme . . . . . . . . . . . . . 81

12.2.1 Cas des processus linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

12.2.2 Cas des processus harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.3 Lissage du priodogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.3.1 Fonctions intgrales du priodogramme . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.3.2 Priodogramme liss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

12.3.3 Priodogramme moyenn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

13 Estimation spectrale paramtrique 87

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

13.2 Estimation spectrale des modles AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

13.3 Estimation spectrale des modles ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

13.3.1 Estimation de la partie AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

13.3.2 Estimation de la partie MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

13.4 Synthse de ltres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A Annexe - Critre de Dirichlet 93

Classement bibliographique. 96

Bibliographie. 96

Notations et abrviations. 98

Chapitre 1

Introduction

1.1 Avertissement

Ce document expose des notions relatives aux signaux alatoires, encore appels processusalatoires, et au traitement des signal alatoire. Il se dveloppe suivant trois directions

1. La notion de processus alatoire qui permet de dcrire des expriences alatoires dontle rsultat n'est pas simplement dcritau moyen d'une variable alatoire valeurscalaire ou vectorielle mais par un signal alatoire. Dans ce contexte, le signal ala-toire peut tre vu chaque instant comme une variable alatoire. Mais ici, on estgalement amen s'intresser la suite des vari