processi autoregressivi ar(1) ar(1): eq. alle differenze ricorsiva di ordine 1 matlab: w=randn(n,1)...
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[ ]h n[ ]W n [ ] [ 1] [ ]X n X n W n
Processi Autoregressivi AR(1)
AR(1): eq. alle differenze ricorsiva di
ordine 1
MATLAB:
w=randn(N,1)
x=filter(b,a,w) 22
1
1j f
j fH e
e
White
Gaussian Noise
(WGN)
Filtro IIR di ordine 1
[ ] [ ]nh n u n
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ACF e PSD di un processo AR(1)
2 22 2
2 2
1( )
1 1 2 cos 2j f W
X W j fS e
e f
22
21W
X
2| |
2[ ]
1mW
XR m
f
passa-basso2( )j fXS e 0 :
0.5
0.1
0.2
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N=64 N=1024
Periodogramma del processo di ingresso WGN
22 1ˆ ( ) [ ] ,02
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ], 02
j fkW
fN
NS e W k k
N
W k FFT w n
NW k W N k W k k
2 2( )j fW WS e
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- Generare e graficare tre realizzazioni di un p.a. AR(1) Gaussiano.
Parametri:
Intervallo temporale discreto di osservazione: N=128
Potenza del processo:
Parametro AR(1):
[istruzioni utili: randn, for, filter, subplot, stem]
- Rappresentare i grafici della funzione di autocorrelazione e della densità spettrale di potenza.
Generazione processo AR(1)
0.1, 0.5, 0.9 e 0.9
2 1X
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Esempio di risultati
=0.1
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Esempio di risultati
=0.5
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Esempio di risultati
=0.9
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Esempio di risultati
=-0.9
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Confronto …..
=0.1 =0.9
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Funzione di autocorrelazione (1/2)
= 0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
m
Rx(
m)
Funzione di autocorrelazione, a=0.5
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Funzione di autocorrelazione (2/2)
= - 0.9= 0.9
0 20 40 60 80 100 120
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
m
Rx(
m)
Funzione di autocorrelazione, a=0.9
0 20 40 60 80 100 120
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
m
Rx(
m)
Funzione di autocorrelazione, a=-0.9
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Densità spettrale di potenza (1/2)
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
frequenza
Sx(
f)Densità Spettrale di Potenza
a=0.1
a=0.2a=0.5
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Densità spettrale di potenza (2/2)
= - 0.9= 0.9
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
frequenza
Sx(
f)
Densità Spettrale di Potenza
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
frequenza
Sx(
f)
Densità Spettrale di Potenza
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Esempio di risultati (1/2)
% generazione realizzazioni p.a. AR(1) Gaussiano di potenza unitaria% function [x] = genproar1(Nc,nr,a)
% in: numero di campioni, Nc;% numero di realizzazioni, nr;% coefficiente di reazione, a;
% out: matrice di realizzazioni, una per riga;% uscita su video di grafico delle nr realizzazioni.
sigmaw=sqrt(1-a^2); % calcola la deviazione standard per il processo di forzamento;w=sigmaw*randn(nr,Nc); % genera nr realiz. di durata Nc del processo di forzamento;
for i=1:nr;x(i,:)=filter(1,[1 -a],w(i,:),0); % filtraggio IIR del primo ordine di ogni realiz.;end
figure; % grafica le nr realizzazioni del p.a. AR(1);for i=1:nr; subplot(nr,1,i) stem(x(i,:)) xlabel(‘n’) ylabel(‘x(n)’) axis([0 Nc -2.5 2.5])end
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Esempio di risultati (2/2)
% Funzione di autocorrelazionem=1:Nc;sigmax=sqrt(sigmaw^2/(1-a^2));Rx=sigmax^2*a.^m;figure(2);stem(Rx);axis([0 Nc -sigmax^2 sigmax^2])grid onxlabel('m')ylabel ('Rx(m)')title('Funzione di autocorrelazione')
% Densità spettrale di potenzaaa=[0.1 0.2 0.5]for n=1:3 Nf=1024; Df=1/Nf; f=-0.5:Df:0.5-Df; Sx=sigmaw^2./(1+aa(n)^2-2*aa(n)*cos(2*pi*f)); plot(f,Sx); hold on axis([-0.5 0.5 0 max(Sx)]) grid on xlabel('frequenza') ylabel ('Sx(f)') title('Densità Spettrale di Potenza')end;
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- Generare N campioni di una realizzazione di un p.a. AR(1) Gaussiano,
calcolare e graficare il periodogramma “mediato” su M segmenti dati,
e confrontarlo con la PSD teorica
- Parametri:
Intervallo temporale discreto di osservazione: N=2048
Potenza del processo:
Parametro AR(1):
Numero di segmenti: M=16 (ciascuno di L=N/M=128 campioni)
[istruzioni utili: randn, filter, fft, fftshift, abs, mean]
Periodogramma mediato di processo AR(1)
0.5
2 1X
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Periodogramma: esempio di risultati (1/3)
= 0.5
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
frequenza
DS
P s
timat
a
periodogramma
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
frequenza
DS
P s
timat
a
periodogramma mediato su L blocchi
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Periodogramma: esempio di risultati (2/3)
= 0.9
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
frequenza
DS
P s
timat
a
periodogramma
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
frequenza
DS
P s
timat
a
periodogramma mediato su L blocchi
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Periodogramma: esempio di risultati (3/3)
% Stima spettrale AR(1)clear allclose allclc N=2048;M=16;L=N/M;sigmax=1;a=0.5;sigmaw=sigmax*sqrt(1-a^2);w=sigmaw*randn(1,N);x=filter(1,[1 -a],w,0); Nfft=1024;Df=1/Nfft;f=[-0.5:Df:0.5-Df]; % periodogrammaTDFx=fftshift(fft(x,Nfft));modx=abs(TDFx);modx2=modx.^2;period=modx2./N;figure(1);plot(f,10*Log10(period));xlabel('frequenza');ylabel('DSP stimata');grid on;title('periodogramma');
% periodogramma mediatofor i=1:M TDFxmed(i,:)=fftshift(fft(x(((i-1)*L+1):i*L),Nfft)); modxmed=abs(TDFxmed); modx2med=modxmed.^2; period_med=modx2med./N;end;period_fin=mean(period_med,1);figure(2);plot(f,10*Log10(period_fin));xlabel('frequenza');ylabel('DSP stimata');grid on;title('periodogramma mediato su L blocchi');