processamento de imagem digital - aula 4
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MO443A - Processamento de Imagens DigitaisCapıtulo 3 - Transformacoes de Intensidade e Filtragem
Espacial
Carla Negri Lintzmayer
Maycon Sambinelli
22 de marco de 2012
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un amen os
Os Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade eFiltragem Espacial
Algumas Funcoes Basicas d Transformacao de Intensidade
Negativo de ImagemTransformacoes Logarıtmicas
Transformacoes de Potencia
Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
Processamento de HistogramaEspecificacao de Histograma
Processamento Local de Histograma
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de Imagens
Fundamentos da Filtragem EspacialO Funcionamento da Filtragem Espacial
Convolucao e Correlacao Espacial
Representacao Vetorial da Filtragem Linear
Gerando Mascaras de Filtragem EspacialCarla e Maycon Capıtulo 3 2
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un amen osOs Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade eFiltragem Espacial
Algumas Funcoes Basicas d Transformacao de Intensidade
Negativo de ImagemTransformacoes Logarıtmicas
Transformacoes de Potencia
Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
Processamento de HistogramaEspecificacao de Histograma
Processamento Local de Histograma
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de Imagens
Fundamentos da Filtragem EspacialO Funcionamento da Filtragem Espacial
Convolucao e Correlacao Espacial
Representacao Vetorial da Filtragem Linear
Gerando Mascaras de Filtragem EspacialCarla e Maycon Capıtulo 3 3
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Os Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade e
Filtragem
Todas as tecnicas discutidas nessa aula sao implementadas nodomınio espacial .
As tecnicas de domınio espacial atuam diretamente nos pixelsde uma imagem, diferente do domınio de frequencia queaplica suas operacoes na transformada de Fourier da imagem.
Em geral, as tecnicas no domınio espacial saocomputacionalmente mais eficientes e requerem menosrecursos de processamento
Carla e Maycon Capıtulo 3 4
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Forma dos Processos no Domınio Espacial
g(x, y) = T [f (x, y)] (1)
f (x, y) e a imagem de entrada
g(x, y) e a imagem de saıda
T e um operador em f definido em uma vizinhanca do ponto
(x, y)
Carla e Maycon Capıtulo 3 5
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O Processo
Aplica o operador T aospixels na vizinhanca
Normalmente inicializa-se nocanto superior esquerdo
Varredura pixel por pixel,linha por linha
Pixel da borda da imagem:
IgnoraPreencher a imagem com
uma borda, onde o seutamanho vai depender dotamanho da vizinhanca
Carla e Maycon Capıtulo 3 6
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Filtragem Espacial
Este procedimento e chamado de Filtragem Espacial , no qual avizinhanca, acompanhada de uma operacao predefinida, e chamadade Filtro Espacial
Filtro Espacial tem outros nomes:
Mascara espacial
Kernel
Template
Janela
O Tipo de operacao realizada na vizinhanca determina a naturezado processo de filtragem
Carla e Maycon Capıtulo 3 7
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Filtragem Espacial
A menor vizinhanca possıvel tem tamanho 1 x 1.
Nesses casos dizemos que T e uma funcao de transformacao
de intensidade Procedimentos que o resultado dependem apenas daintensidade em um ponto sao as vezes chamadas de tecnicasde processamento ponto a ponto.
Carla e Maycon Capıtulo 3 8
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Exemplo de Funcao de Transformacao de Intensidade
Carla e Maycon Capıtulo 3 9
un amen os
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un amen osOs Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade eFiltragem Espacial
Algumas Funcoes Basicas d Transformacao de Intensidade
Negativo de ImagemTransformacoes Logarıtmicas
Transformacoes de Potencia
Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
Processamento de HistogramaEspecificacao de Histograma
Processamento Local de Histograma
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de Imagens
Fundamentos da Filtragem EspacialO Funcionamento da Filtragem Espacial
Convolucao e Correlacao Espacial
Representacao Vetorial da Filtragem Linear
Gerando Mascaras de Filtragem EspacialCarla e Maycon Capıtulo 3 10
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Algumas Funcoes Basicas d Transformacao de Intensidade
As transformacoes de intensidade estao entre as mais simples detodas as tecnicas de processamento de imagens.
s = T (r)
r pixel de entrada
s pixel de saıda
Apesar de transformacoes de intensidade serem utilizadas em uma
ampla gama de aplicacoes, iremos nos focar e dar exemplorelacionados ao realce de imagens.
Carla e Maycon Capıtulo 3 11
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Tipos Basicos de Funcoes de Transformacoes de
Intensidade
Carla e Maycon Capıtulo 3 12
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Negativo de Imagem
s = L − 1 − r
Reverter os nıveis de intensidade de uma imagem dessa maneiraproduz o equivalente a um negativo fotografico. Esse tipo deprocessamento e particularmente adequado para realcar detalhesbrancos ou cinzas em regioes escuras
Carla e Maycon Capıtulo 3 13
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Exemplo de Imagem Realcada Pelo Efeito de Negativo
Figura: Uma mamografia mostrando uma pequena lesao
Carla e Maycon Capıtulo 3 14
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Transformacoes Logarıtmicas
s = c log(1 + 4)
c e uma constante
r ≥ 0
Mapeia faixa estreita de baixos valores de intensidade em umafaixa mais ampla
Mapeia uma faixa ampla de altos valores de intensidade em
uma faixa estreita
Carla e Maycon Capıtulo 3 15
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Exemplo de Transformacao Logarıtmica
Carla e Maycon Capıtulo 3 16
T f d P ˆ
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Transformacoes de Potencia
s = crγ
c e γ sao constantes positivas
Quando γ < 1, a transformacao exponencial funciona como alogarıtmica.
Carla e Maycon Capıtulo 3 17
T f ˜ d P ˆ i
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Transformacoes de Potencia
Diferente da logarıtmica a
exponencial tem variasclasses de curvas
γ > 1 tem efeito contrario aode γ < 1
Carla e Maycon Capıtulo 3 18
Di i i L i d P i
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Dispositivos e a Lei de Potencia
Uma serie de dispositivos utilizados para a captura e exibicaode imagens funciona de acordo com uma lei de potencia.
O processo utilizado para corrigir esse fenomenos a resposta alei de potencia e chamado de correcao gama
Carla e Maycon Capıtulo 3 19
E l d C ˜ G
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Exemplo de Correcao Gama
Monitores CRT apresentamuma resposta em relacao atensao que e uma funcao depotencia
1, 8 ≤ γ ≤ 2,5Com γ = 2, 5 seriamproduzidas imagens escuras(ver curva)
Correcao: preprocessar aimagem antes de exibi-la:s = r{12, 5} = r{0, 4}
Carla e Maycon Capıtulo 3 20
E l d C ˜ G
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Exemplo de Correcao Gama
A correcao gama e importante quando uma imagem precisaser exibida na tela de um computador com exatidao
Tentar reproduzir corres com exatidao tambem requer algumconhecimento de correcao gama
Carla e Maycon Capıtulo 3 21
Realce de Contraste Utili ando Transformacoes de
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Realce de Contraste Utilizando Transformacoes de
Potencia
Resonancia magnetica de
uma coluna vertebralImagem predominantementeescura
Uma expansao dos nıveis de
intensidade e desejavel
Carla e Maycon Capıtulo 3 22
Realce de Contraste Utilizando Transformacoes de
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Realce de Contraste Utilizando Transformacoes de
Potencia
Imagem muito clara
Compressoes de nıveis deintensidade e desejavel
Carla e Maycon Capıtulo 3 23
Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
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Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
Uma abordagem complementar aos metodos discutidos nas tres
secoes anteriores consiste na utilizacao de funcoes linearesdefinidas por partes
Carla e Maycon Capıtulo 3 24
Alargamento de Contraste
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Alargamento de Contraste
O alargamento de contraste e um processo que expande a faixa denıveis de intensidade de uma imagem de modo a incluir todo ointervalo de intensidades do meio de gravacao ou do dispositivo deexibicao
Carla e Maycon Capıtulo 3 25
Alargamento de Contraste
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Alargamento de Contraste
Figura: (a) Mostra uma transformacao tıpica utilizada para oalargamento de contraste. (b) Uma imagem de baixo contraste. (c)Resultado do alargamento de contraste obtido definindo(r1, s1) = (rmin, 0) e (r2, s2) = (rmax, L − 1), onde rmin e rmax sao osnıveis mınimo e maximo de intensidade da imagem. (d) resultado dalimiarizacao (r1, s1) = (m, 0) e (r2, s2) = (m, L − 1), sendo m o nıvelCarla e Maycon Capıtulo 3 26
Fatiamento de nıveis de Intensidade
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Fatiamento de nıveis de Intensidade
Enfatiza um intervalo especıfico de nıveis de intensidades
Pode ser implementado de varias formas
Forma 1:
Exibir em branco todos os valores da faixa de interesseExibir em preto os demais
Forma 2:
Clareira a faixa de interesseMantem inalterada as outras faixas
Carla e Maycon Capıtulo 3 27
Fatiamento Por Planos de Bits
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Fatiamento Por Planos de Bits
Em vez de enfatizar faixas de intensidades, poderıamos enfatizar acontribuicao feita a aparencia final da imagem por bits especıficos.
Carla e Maycon Capıtulo 3 28
Fatiamento Por Planos de Bits
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Fatiamento Por Planos de Bits
Carla e Maycon Capıtulo 3 29
Fatiamento Por Planos de Bits
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Fatiamento Por Planos de Bits
Carla e Maycon Capıtulo 3 30
un amen osOs Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade e
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Os Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade eFiltragem Espacial
Algumas Funcoes Basicas d Transformacao de Intensidade
Negativo de ImagemTransformacoes Logarıtmicas
Transformacoes de Potencia
Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
Processamento de Histograma
Especificacao de Histograma
Processamento Local de Histograma
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de Imagens
Fundamentos da Filtragem Espacial
O Funcionamento da Filtragem Espacial
Convolucao e Correlacao Espacial
Representacao Vetorial da Filtragem Linear
Gerando Mascaras de Filtragem EspacialCarla e Maycon Capıtulo 3 31
Processamento de Histograma
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g
O Histograma de uma imagem digital com nıveis de intensidade nointervalo [0, L − 1] e uma funcao discreta h(rk) = nk, onde rk e ok-esimo valor de intensidade e nk e o numero de pixels da imagem
com intensidade rkUm histograma normalizado e dado por p(rk) = rkM N parak = 0, 1, 2,...,L − 1 De modo geral, p(rk) e uma estimativa daprobabilidade de ocorrencia do nıvel de intensidade rk em umaimagem
Carla e Maycon Capıtulo 3 32
Quatro Tipos Basicos de Imagens
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Q p g
Imagens escuras:componentes concentradosno canto inferior
Imagens claras:
componentes concentradasno canto superior
Imagens baixo contraste:histograma estreito
Imagens de alto contraste:cobre uma faixa bem amplada escala de intensidades
Carla e Maycon Capıtulo 3 33
Equalizacao de Histograma
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q ¸ g
Considere por um momento valores contınuos de intensidade, com a variavel r
expressando as intensidades de uma imagem a ser processada. Consideramos que r
esteja no intervalo [0, L − 1]
s = T (r)0 ≤ r ≤ L − 1
T (r) e uma funcao monotonicamente crescente no intervalo 0 ≤ r ≤ L − 1; e
0 ≤ T (r) ≤ L − 1 para 0 ≤ r ≤ L − 1
Em algumas formulacoes que discutiremos mais adiante, utilizamos o inverso:
T (r) e uma funcao estritamente monotonicamente crescente no intervalo
0 ≤ r ≤ L−1
Carla e Maycon Capıtulo 3 34
Equalizacao de Histograma
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q ¸ g
Os nıveis de intensidade em uma imagem podem ser vistoscomo variaveis aleatorias no intervalo [0, L − 1]Um descritor fundamental de uma variavel aleatoria e suafuncao densidade de probabilidade (PDF)Sejam pk(r) e ps(r) as PDFs de r e s, respectivamente. Umresultado fundamental da teoria elementar das probabilidadese que, se pr
(r
)e T
(r
)sao conhecidas e T
(r
)e contınua e
diferenciavel ao longo do intervalo de valores de interesse,entao a PDF da variavel transformada (mapeada) s pode serobjtida utilizando a simples formula:
ps(s) = pr(r) dr
ds Uma funcao de transformacao de especial importancia noprocessamento de imagens tem a forma:
s=
T (r)=
(L − 1)r
0 pr(w)dwCarla e Maycon Capıtulo 3 35
Equalizacao de Histograma
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Para valores discretos, lidamos com probabilidades (valores de
histograma) e somatorios em vez de funcoes de densidade deprobabilidade e integrais.
A forma discreta da transformacao da equacao
s = T (r) = (L − 1) r
0 pr(w)dw
e
sk = T
(rk
)=
(L − 1
)
k
j=0
pr
(r j
)=
(L − 1)M N
k
j=0
n j
A transformacao T (rk) nessa equacao e chamada deequalizacao de histograma
Carla e Maycon Capıtulo 3 36
Equalizacao de Histograma
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Esse metodo e vantajoso pois e um metodo automatico quetem a tendencia de distribuir os pixels entre todos os valoresde intensidade.
A tranformacao inversa de s de volta a r e expressa por:
rk = T −1(sk)
Carla e Maycon Capıtulo 3 37
Especificacao de Histograma
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Em algumas aplicacoes, o realce baseado em um histogramauniforme nao e a melhor metodologia;
Em particular pode ser util especificar o formato dohistograma que desejamos: casamento de histogramas ouespecificacao de histograma.
Carla e Maycon Capıtulo 3 38
Especificacao de Histograma
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Sejam r e z os nıveis contınuos de intensidade das imagens deentrada e saıda, respectivamente e pr(r) e pz(z) as funcoesdensidade de probabilidade contınua correspondentes:
pr(r) pode ser estimada a partir da imagem de entrada;
pz(z) e a FDP especificada que desejamos que a imagem desaıda tenha.
Carla e Maycon Capıtulo 3 39
Especificacao de Histograma
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Seja s uma variavel aleatoria com a propriedade
s = T (r) = (L − 1) r
0
pr(w)dw (2)
cuja forma discreta e a transformacao da equalizacao dehistograma
sk = T (rk) = (L − 1) k
j=0
pr(r j) = (L − 1)M N
k
j=0
n j
Carla e Maycon Capıtulo 3 40
Especificacao de Histograma
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Em seguida definimos z com a propriedade
G(z) = (L − 1) z
0
pz(t)dt = s (3)
cuja forma discreta envolve o calculo da funcao de transformacao
G(zq) = (L − 1)q
i=0
pz(zi) = sk
Carla e Maycon Capıtulo 3 41
Especificacao de Histograma
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De 2 e 3 temos que G(z) = T (r) e, portanto, z deve satisfazer
z = G−1(T (r)) −G−1(s)
Da mesma forma, discretamente
zq = G−1(sk)∗ Em outras palavras, essa operacao nos da um mapeamento de s
em z (um valor de z para cada valor de s).
Carla e Maycon Capıtulo 3 42
Especificacao de Histograma - Resumo
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1 Calcular o histograma pr(r) da imagem de entrada e calcular
a transformacao de equalizacao de histograma (Equacao 2).Arredondar os valores resultantes sk para o intervalo [0,L − 1];
Carla e Maycon Capıtulo 3 43
Especificacao de Histograma - Resumo
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1 Calcular o histograma pr(r) da imagem de entrada e calcular
a transformacao de equalizacao de histograma (Equacao 2).Arredondar os valores resultantes sk para o intervalo [0,L − 1];
2 Calcular os valores de G(zq) para q = 0,1, 2,, L − 1
(Equacao 3). Arredondar os valores para o intervalo [0,L − 1]e guardar em uma tabela.
Carla e Maycon Capıtulo 3 43
Especificacao de Histograma - Resumo
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1 Calcular o histograma pr(r) da imagem de entrada e calcular
a transformacao de equalizacao de histograma (Equacao 2).Arredondar os valores resultantes sk para o intervalo [0,L − 1];
2 Calcular os valores de G(zq) para q = 0,1, 2,, L − 1
(Equacao 3). Arredondar os valores para o intervalo [0,L − 1]e guardar em uma tabela.
3 Para cada sk = 0,1, 2,, L − 1, encontrar o valorcorrespondente para zq utilizando a tabela calculada no passo2 de forma que G(zq) seja o mais proximo de sk. Na duvida,escolher o menor valor de zq, por convencao.
Carla e Maycon Capıtulo 3 43
Especificacao de Histograma - Resumo
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1 Calcular o histograma pr(r) da imagem de entrada e calcular
a transformacao de equalizacao de histograma (Equacao 2).Arredondar os valores resultantes sk para o intervalo [0,L − 1];
2 Calcular os valores de G(zq) para q = 0,1, 2,, L − 1
(Equacao 3). Arredondar os valores para o intervalo [0,L − 1]e guardar em uma tabela.
3 Para cada sk = 0,1, 2,, L − 1, encontrar o valorcorrespondente para zq utilizando a tabela calculada no passo2 de forma que G(zq) seja o mais proximo de sk. Na duvida,escolher o menor valor de zq, por convencao.
4 Formar a imagem especificada:1 equalizar o histograma da imagem de entrada;2 mapear os valores dos pixels equalizados (sk) no valor
correspondente zq na imagem especificada (pelo passo 3).
Carla e Maycon Capıtulo 3 43
Especificacao de Histograma - Exemplo
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Dada uma imagem hipotetica 64 × 64 cujo histograma e dado naparte (a) da figura abaixo
Carla e Maycon Capıtulo 3 44
Especificacao de Histograma - Exemplo
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Deseja-se transformar esse histograma para que ele tenha osvalores especificados (coluna 2) da seguinte tabela:
Carla e Maycon Capıtulo 3 45
Exemplo - Especificacao de Histograma I
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Passos do procedimento:
1 Obter os valores ajustados do histograma equalizado:
s0 = 1; s1 = 3; s2 = 5; s3 = 6; s4 = 6; s5 = 7; s6 = 7; s7 = 7
2 Calcular os valores de G arredondando para o intervalo [0,7]:
G(z0) = 7
0
j=0 pz(z j) = 0, 00→ 0
G(z1) = 71
j=0
pz(z j) = 7( p(z0) + p(z1)) = 0, 00→ 0
G(z2) = 0,00→ 0; G(z3) = 1, 05→ 1; G(z4) = 2, 45→ 2
G(z5) = 4,55→ 5; G(z6) = 5, 95→ 6; G(z7) = 7, 00→ 7
A funcao de transformacao e esbocada na parte (c) da figurados graficos apresentada no inıcio do exemplo.
Carla e Maycon Capıtulo 3 46
Exemplo - Especificacao de Histograma II
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3
Calcular o menor valor de zq, de modo que G(zq) seja o maisproximo possıvel de sk para todos os valores de sk:
Por exemplo, para s0 = 1 temos G(z3) = 1, levando que s0 → z3, o que
significa que cada pixel de valor 1 na imagem equalizada do histograma
seria mapeado em um pixel com valor 3 na imagem do histogramaespecificado.
Carla e Maycon Capıtulo 3 47
Exemplo - Especificacao de Histograma III
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4 Usar os mapeamentos do passo anterior para mapear cadapixel na imagem do histograma equalizado em um pixelcorrespondente na imagem do histograma especificado. Osvalores do histograma resultante aparecem na coluna 3 databela da apresentada no inıcio do exemplo e o histograma eesbocado na figura dos graficos apresentada no inicio doexemplo.
Carla e Maycon Capıtulo 3 48
Comparacao entre Equalizacao e Especificacao de
Histograma I
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Histograma I
Figura: Imagem da lua de marte e seu histograma.
Carla e Maycon Capıtulo 3 49
Comparacao entre Equalizacao e Especificacao de
Histograma II
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Histograma II
Possıvel solucao para melhorar a imagem: equalizacao de histograma?
Figura: Funcao de equalizacao de histograma, imagem do histogramaequalizado e seu histograma.
Carla e Maycon Capıtulo 3 50
Comparacao entre Equalizacao e Especificacao de
Histograma III
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Histograma III
Solucao melhor: especi-
ficacao manual que pre-
serva o formato do his-
tograma original, mas faz
transicao mais suave para
os nıveis da regiao escura
da escala.
Figura: Histograma especificado, funcoesde transformacoes, imagem realcadautilizando os mapeamentos da curva (2) eseu histograma.
Carla e Maycon Capıtulo 3 51
Processamento Local de Histograma
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Os metodos discutidos sao globais – funcao de transformacaoe baseada na distribuicao de intensidade de toda a imagem;
Para realcar detalhes em pequenas areas da imagem: elaborarfuncoes de transformacao com base na distribuicao deintensidade em uma vizinhanca de cada pixel da imagem.
1 Definir uma vizinhanca e ir movendo o centro;2 Em cada posicao central, o histograma dos pontos da
vizinhanca e calculado e uma funcao de equalizacao ou deespecificacao e obtida;
3 A funcao e utilizada para mapear a intensidade do pixel centralda vizinhanca.
Carla e Maycon Capıtulo 3 52
Exemplo - Processamento Local de Histograma
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Figura: (a)Imagem de 8 bits (512×512) com ligeiro ruıdo. (b) Resultadoda equalizacao global de histograma – houve realce do ruıdo. (c)
Resultado da equalizacao local de histograma com vizinhanca 3×3 –realca detalhes significativos contidos nos quadrados escuros.
Carla e Maycon Capıtulo 3 53
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de
Imagens
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Imagens
Seja r uma variavel aleatoria discreta de valores de intensidade em [0,L − 1] e p(ri) o componente do histograma normalizado correspondente a ri.
Podemos considerar p(ri) uma estimativa da probabilidade de aintensidade ri ocorrer na imagem;
O n-esimo momento de r em relacao a sua media e
µn(r) =L−1
i=0
(ri −m)n p(ri)
onde m e a media, dada por
m =
L−1
i=0
ri p(ri)
O segundo momento
µ2(r) =L−1
i=0
(ri −m)2 p(ri)
e a variancia da intensidade (σ2), que e uma medida do contraste de umaimagem.
Carla e Maycon Capıtulo 3 54
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de
Imagens
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g
Costuma-se estimar os valores de media e variancia diretamentedos valores amostrados, sem considerar o histograma:
m =
1
M N
M −1
x=0N −1
y=0 f (x, y)e
σ2=
1
M N
M −1
x=0
N −1
y=0
(f (x, y) −m)2
Carla e Maycon Capıtulo 3 55
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de
Imagens
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g
Dois usos da media e variancia para fins de realce de imagens:
A media e a variancia globais (m e σ2) sao uteis para ajustes maisgerais em termos de intensidade e contraste;
A media e a variancia locais (mSxy e σ2
Sxy) sao utilizadas como base
para fazer alteracoes que dependem das caracterısticas davizinhanca de cada pixel.
mSxy =
L−1
i=0
ri pSxy(ri)
σ2
Sxy=L−1
i=0
(ri −mSxy)2 pSxy(ri)onde pSxy e o histograma dos pixels na regiao S xy.
Carla e Maycon Capıtulo 3 56
Exemplo - Utilizando Estatısticas de Histograma para o
Realce de Imagens
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g
Figura: (a) Imagem gerada por microscopio eletronico. (b) Resultado daequalizacao global do histograma. (c) Resultado do realce utilizandoestatısticas locais de histograma.
Carla e Maycon Capıtulo 3 57un amen os
Os Fundamentos Das Transformacoes de Intensidade eFiltragem Espacial
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Algumas Funcoes Basicas d Transformacao de Intensidade
Negativo de Imagem
Transformacoes Logarıtmicas
Transformacoes de Potencia
Funcoes de Transformacao Linear Definidas Por Partes
Processamento de Histograma
Especificacao de Histograma
Processamento Local de Histograma
Utilizando Estatısticas de Histograma para o Realce de Imagens
Fundamentos da Filtragem Espacial
O Funcionamento da Filtragem Espacial
Convolucao e Correlacao Espacial
Representacao Vetorial da Filtragem Linear
Gerando Mascaras de Filtragem EspacialCarla e Maycon Capıtulo 3 58
O Funcionamento da Filtragem Espacial
Um filtro espacial consiste em
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U t o espac a co s ste e
Uma vizinhanca; e
Uma operacao predefinida realizada sobre os pixels incluıdos navizinhanca.
“A filtragem cria umnovo pixel com coorde-nadas iguais as coorde-nadas do centro da vi-zinhanca, e cujo valor e
o resultado da operacaode filtragem.”
Carla e Maycon Capıtulo 3 59
O Funcionamento da Filtragem Espacial
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Para uma mascara m × n onde m = 2a + 1 e n = 2b + 1 e umaimagem M ×N , a filtragem espacial linear e dada pela expressao:
g(x, y) = as=−a
bt=−b
w(s, t)f (x + x, y + t)
Carla e Maycon Capıtulo 3 60
Convolucao e Correlacao Espacial
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Correlacao e o processo de mover uma mascara pela imagem ecalcular a soma dos produtos em cada posicao.
Correlacao o funcionamento e o mesmo, mas o filtro deve serrotacionado a 180o antes do processo.
Carla e Maycon Capıtulo 3 61
Exemplo - Convolucao e Correlacao Espacial I
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Exemplo - Convolucao e Correlacao Espacial II
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Carla e Maycon Capıtulo 3 63
Exemplo - Convolucao e Correlacao Espacial III
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Carla e Maycon Capıtulo 3 64
Exemplo - Convolucao e Correlacao Espacial IV
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Exemplo - Convolucao e Correlacao Espacial V
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Exemplo - Convolucao e Correlacao Espacial VI
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Carla e Maycon Capıtulo 3 67
Exemplo 2 - Convolucao e Correlacao Espacial
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Exemplo 2 - Convolucao e Correlacao Espacial
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Carla e Maycon Capıtulo 3 69
Exemplo 2 - Convolucao e Correlacao Espacial
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Carla e Maycon Capıtulo 3 70
Convolucao e Correlacao Espacial
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Devemos preencher com zeros a imagem 2-D com pelo menosm − 1 linhas acima e abaixo e n − 1 colunas a esquerda e adireita.
Correlacao:
w(x, y)f (x, y) =a
s=−ab
t=−bw(s, t)f (x + s, y + t)
Convolucao:
w(x, y)f (x, y) =a
s=−ab
t=−b w(s, t)f (x − s, y − t)
Carla e Maycon Capıtulo 3 71
Representacao Vetorial da Filtragem Linear
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Quando o interesse for a resposta caracterıstica (R) de umamascara, pode ser util expressar a soma dos produtos como:
R = w1z1 +w2z2 ++wmn
zmn∑mn
k=1 wkzkwT z
Carla e Maycon Capıtulo 3 72
Gerando Mascaras de Filtragem Espacial
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Para gerar um filtro, devemos especificar os coeficientes da
mascara;Isso depende do que o filtro deve fazer;
Exemplo: substituir os pixels de uma imagem pela intensidademedia de uma vizinhanca 3 × 3.
A media e dada porR =
1
9
9
i=1
zi
que e o mesmo que a equacao de representacao vetorial
mostra, so que parawk=
1
9 .Ou seja: uma operacao de filtragem linear com uma mascara3 × 3 cujos coeficientes sao 1
9, implementa o calculo da media.
Carla e Maycon Capıtulo 3 73