PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

INTRODUCCION

Los filtros digitales se emplean en el procesado de seales para

eliminar partes no deseadas de la misma, tales como ruido o slo permitir el paso de un cierto rango de frecuencias.

El presente trabajo tiene como fin el consolidar los conceptos aprendidos durante el desarrollo de la unidad dos sobre el diseo de

filtros digitales identificando su terminologa y clasificacin.

En primer lugar se desarrolla una investigacin de los temas planteados por el tutor realizando primero una comparacin entre las

caractersticas y diferencias que presentan los filtros FIR e IIR, para luego estudiar las diferentes formas en que se puede realizar sus

anlisis y verificacin de su comportamiento.

1) Investigacin

a) Realizar un cuadro comparativo donde indique las

caractersticas principales del los filtros IIR y los filtros FIR

COMPARATIVO FILTROS DIGITALES

FIR IIR

Pueden ser montados con eficiencia en

hardware.

Generalmente necesitan un orden mucho ms alto para acercarse al "performance de un filtro IIR. Conclusin: Mayor gasto

computacional

Son filtros del tipo no recursivos, por tal

motivo estos filtros al no tener retroalimentacin no tienen polos, y por lo tanto siempre son estables.

Tienen retro alimentacin, es decir si tienen

polos, por lo que s hay que cuidarse de donde estn para evitar que nuestro sistema pueda volverse inestable.

Estos filtros no tienen una contraparte analgica

Estos filtros si tienen contraparte analgica,

por lo tanto son un cuanto ms naturales a nosotros.

Es necesario un gran nmero de coeficientes para conseguir las prestaciones que dara un filtro IIR de orden mucho menor

Al tener ceros y polos es necesario un menor numero de coeficientes para realizar un determinado filtrado

Pueden disearse con fase perfectamente

lineal.

No garantizan que la fase de su funcin de

transferencia sea lineal.

b) Investigue y plantee por lo menos dos ejemplos de los

siguientes tems

I. Graficas de magnitud logartmica de la respuesta en

frecuencia y diagramas de Bode

La respuesta en frecuencia se define como las diferencias de magnitud y fase entre las sinusoides de entrada y salida. Para

graficar la respuesta en frecuencia, creamos un vector de frecuencias (entre cero o "DC" e infinito) y calculamos el valor de la funcin de

transferencia de la planta a estas frecuencias. Digamos que tenemos el siguiente sistema:

Si G(s) es la funcin de transferencia de un sistema a lazo abierto y w es el vector frecuencia, grafiquemos entonces G(j*w) vs. w. Como

G(j*w) es un nmero complejo, podemos graficar su magnitud y fase (diagrama de Bode).

Ejemplo 1

Para la funcin de transferencia:

[] =50

3 + 92 + 30 + 40

Para ver el diagrama bode de una funcin de transferencia en Matlab utilizamos el comando bode.

>> bode(50,[1 9 30 40]), grid, title 'EJEMPLO 1'

Observando los ejes de la figura la frecuencia est en escala

logartmica, la fase se da en grados, y la magnitud se da como la ganancia en decibeles.

Ejemplo 2

Para la funcin de transferencia:

[] =1

2 + 0.5 + 1

Digitamos en Matlab >> bode(1,[1 0.5 1]), grid, title 'EJEMPLO 2'

II. Filtros prcticos activos

Un filtro activo est compuesto bsicamente por resistencias, condensadores y amplificadores operacionales (rara vez se usan

bobinas). El margen de funcionamiento de un filtro activo depende de las caractersticas del amplificador operacional empleado, por lo que

con los circuitos actuales pueden ir desde cero a varios Megahercios. Entre las principales ventajas de los filtros activos, est la de poder

hacerlo con la selectividad y a la frecuencia que deseemos de manera muy fcil.

TIPOS DE FILTROS ACTIVOS (Crossover). Podemos agrupar los filtros segn la banda de paso en los siguientes

tipos.

Segn su corte: - Filtro pasa bajos, LPF (Low Pass Filter).

Se tarta de un filtro que permite el paso sin atenuacin alguna a las

frecuencias inferiores a la frecuencia de corte, eliminando o atenuando considerablemente todas las superiores.

- Filtro pasa altos, HPF (High Pass Filter). En este caso se trata de lo contrario al anterior, permitir el paso sin

atenuacin alguna a las frecuencias superiores a la frecuencia de corte, eliminando o atenuando considerablemente todas las

inferiores. - Filtro pasa banda, PBF (Pass Band Filter).

Se trata de un filtro que permite el paso de una banda, ms o menos

estrecha de frecuencias, en consecuencia todas las frecuencias superiores e inferiores a las frecuencias de cortes, sern eliminadas o

atenuadas considerablemente.

- Filtro supresor de banda, Notch. Este filtro desempea la funcin contraria al filtro paso de banda, es

decir elimina tan solo la frecuencia para la que ha sido calculada y permite el paso de las frecuencias superiores e inferiores a la

frecuencia del filtro.

Segn su atenuacin: Pueden tener distintas atenuaciones 6, 12, 18, 24, 30 dB/Octava, o

nmero de orden 1, 2, 3, 4, 5, etc, conociendo la atenuacin en dB, podemos calcular el valor de la tensin de salida, teniendo el

nivel de tensin aplicada a la entrada, esta tabla nos puede facilitar este calculo.

Segn su tipo.

Existen varias formulas para calcular los componentes pasivos usados

para realizar un filtro activo, segn esto los ms conocidos son Butterworth, Bessel y Chebychev, ninguno de los tres se adapta a las

caractersticas de un filtro ideal, teniendo en cuenta las de ganancia constante, desfase lineal, pendiente y oscilaciones no deseable.

EJEMPLOS

Filtro pasabanda de segundo orden (Chebyshev y Butterworth)

Explicacin de operacin

El circuito tiene dos polos complejos con amortiguamiento ajustable. Con una apropiada eleccin de R1, R2, C1 y C2 de la figura, la

funcin de transferencia puede hacerse para exhibir un comportamiento deseado

La funcin de transferencia del circuito es:

=

=

() + [( + )] +

El factor de amortiguamiento determina la forma de la curva de

magnitud de la ganancia en la regin cercana a la frecuencia de corte. Valores bajos de este factor causan que la curva de la

respuesta en frecuencia tenga mayor pico cerca del polo de

frecuencia. Este trmino esta relacionado con Q por:

=

La funcin de transferencia se puede poner en la forma clasica para ayudarnos a encontrar el factor de amortiguamiento:

=

+ +

En donde = 2 que es la frecuencia natural resonante del

circuito

Procedimiento de diseo

Existen diferentes criterios para disear este filtro. La que a

continuacin se presenta requiere solo unos clculos simples, la nica desventaja es que los valores de los capacitores son distintos y en

otros criterios de diseo resulta C1 = C2. Los pasos son los siguientes:

Paso 1. Escoger C1 '' y C2 '' de la tabla siguiente de acuerdo con el tipo de filtro requerido.

Paso 2. Usando la frecuencia de corte requerida, se utiliza el siguiente

escalamiento:

1 =

1

2 2

=2

2

Paso 3. Escoger un valor R = R1 = R2 que nos de valores prcticos para C1 y C2 de acuerdo con:

1 =1

2 =

2

A este paso se le llama escalamiento de impedancia.

Paso 4. Calcular el factor de amortiguamiento con la ecuacin antes

dada. Comparar el resultado con los datos de la tabla para verificar que el filtro se ha diseado correctamente.

De acuerdo con la anterior tenemos los siguientes valores de R y C para los filtros

Butterworth

R1 = R2 = 10.8 k C1 = .02 uF

C2 = .01 uF

Chebyshev 3-dB

R1 = R2 = 49.4 k C1 = 0.01 uF

C2 = 1470 pF

III. Anlisis de la transformada de Fourier de seales

en el retraso de grupo y de fase.

El retardo de grupo es una medida muy conveniente de la linealidad

de la fase de la Transformada de Fourier. En muchos casos interesa que la fase sea lo ms lineal posible, lo que significa que todas las

frecuencias experimenten el mismo retardo al atravesar el sistema. Una fase no lineal lleva a una dispersin en tiempo de las diferentes

frecuencias, en lo que se conoce como distorsin de fase.

Un retardo de grupo g con un valor constante entero significa un retardo igual en todas las frecuencias. Si ese valor constante no es

entero, el retardo constante para todas las frecuencias ya no es entero, y hay que aplicar las ideas de interpolacin al hablar de

retardos no enteros.

Un filtro con fase cero slo se puede dar si la respuesta impulsional es simtrica en el tiempo con respecto al origen, es decir, es par.

Recordar de las propiedades de la Transformada de Fourier que una

seal real y par tena una transformada real y par. Estrictamente

hablando habra que decir que la fase no sera cero, sino 0 o , segn el valor real sea positivo o negativo.

Pero siempre que hablemos de fase cero estaremos hablando de

valores reales, ya sean positivos o negativos. Si el filtro es causal no puede ser simtrico con respecto al origen, con lo que no puede tener

fase cero. Sin embargo, si se mantiene la simetra con respecto a un punto la fase seria lineal (pensar en el desplazamiento de una

secuencia simtrica con respecto al origen hasta un punto ).

Con filtros causales esa simetra con respecto a un punto slo se

puede dar en filtros FIR; no es posible obtener un filtro IIR causal simtrico con respecto a un punto. Adems, la fase de los filtros IIR

suele ser bastante no lineal. Sin embargo los filtros IIR son muy deseables en numerosos casos, ya que con ellos es ms factible

obtener unas determinadas especificaciones en la magnitud de la Transformada de Fourier para un orden determinado.

IV. Tcnicas de anlisis espectral.

TRANSFORMADA DE FOURIER (FT) La Transformada de Fourier (FT) de una seal x(t) continua, que es

una particularizacin de la transformada de Laplace con s=jw, se expresa como una suma de funciones exponenciales complejas

peridicas.

Como los procesos numricos son realizados por computadores, es evidente que no es posible de manera prctica evaluar las

transformadas empleando ecuaciones analticas, integrales, etc. Por lo tanto es necesaria la desratizacin de la transformada, lo cual se

logra realizando un muestreo del plano tiempo-frecuencia.

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)

La DFT se define como una operacin lineal que acta sobre un vector

de entrada xN, de N muestras en el dominio del tiempo discreto, que genera coeficientes XN de longitud N:

La DFT proporciona el contenido espectral de una seal,

convirtindolo en un mtodo adecuado para el anlisis de seales

estacionarias. En caso de no ser estacionaria, es necesario el conocimiento de la informacin tiempo frecuencia de la seal.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO (STFT)

Este mtodo consiste en dividir la seal no estacionaria en pequeos

trozos, en los cuales se supone estacionaria, mediante el empleo de una funcin ventana de anchura determinada, que se desplaza y se

multiplica con la seal Al aplicrsele La DFT a cada trozo, se obtiene una distribucin tiempo-frecuencia de esta seal. Este proceso se

encuentra formulado mediante la siguiente expresin:

Representacin grfica de la STFT.

Con lo anterior surge un inconveniente de resolucin que se remonta

al principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual formula que no es

posible la representacin exacta tiempo-frecuencia de una seal, sino tan slo los intervalos de tiempo en los cuales existen determinadas

bandas de frecuencia.

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER CON VENTANA

DESLIZANTE (SDFT)

En este procedimiento se realiza la DFT dentro de una ventana de N

puntos que se va desplazando muestra a muestra. Cada nueva DFT se calcula a partir de los resultados de la anterior DFT, disminuyendo

la cantidad de operaciones a realizar].

En forma general, el algoritmo SDFT para una componente k del espectro puede ser expresado de la siguiente forma:

PERIODOGRAMA

Una forma de estimar la densidad del espectro de potencia (PSD) de una seal es simplemente encontrar la transformada discreta de

Fourier (usualmente hecha con FFT) y tomar la magnitud al cuadrado del resultado. Este estimado es llamado periodograma. El periodograma estimado del PSD de una seal x de longitud N es:

Donde X(k) son los coeficientes de la FFT y estn definidos como:

Y donde la frecuencia fk para cada componente del PSD se puede hallar como:

Donde fs es la frecuencia de muestreo.

A partir de este clculo se extraen tres caractersticas: Potencia promedio.

Potencia mxima. Frecuencia de la mxima potencia.

Estimacin espectral de procesos autorregresivos, de medidas

mviles y mixtos.

En la ltima dcada se ha generalizado el uso de estimas espectrales que parten de bases diferentes a las convencionales, especialmente

en el tratamiento de la extrapolacin de la seal limitada de la que se

parte como dato. Entre los modelos mas recientes utilizados estn

los autorregresivos (AR) y mixtos de medias mviles y autorregresivas (ARMA).

Un modelo autorregresivo de orden m, (AR(m)), tiene la expresin:

Donde f(kT) indica la variable aleatoria obtenida por muestreo del proceso f(t), y () es una sucesin de variables aleatorias normales de media nula y varianza

2 , que son mutuamente ortogonales (

ruido blanco):

Los coeficientes del modelo AR(m) determinan junto con

2la

densidad espectral del proceso f(t)

De esta forma los coeficientes junto con

2 determinan

totalmente el proceso estocstico, no obstante, los coeficientes del

modelo deben cumplir la condicin de que el polinomio

tenga todas sus races exteriores al circulo unidad para garantizar la

estacionalidad del modelo. De forma parecida un modelo ARMA (m,n) tiene la expresin

donde los coeficientes de la parte autorregresiva deben

ser tales que el polinomio

tenga sus races exteriores al circulo unidad.

Ahora la densidad especral del proceso ARMA (m,n) es:

De la definicin del modelo AR(m) y ARMA(m,n) se deduce que el problema de estimacin espectral se reduce a estimar

2 y los

coeficientes k=1,2,.,m en un AR(m), y I=1,,n,K=1,,m en los ARMA(m,n).

Existen diversos mtodos de estimacin de modelos AR y ARMA,

como el mtodo de Burg (MB) y el de cuadrados minimos (MCM) en la estimacin de los coeficientes de modelos AR.

En general, los mtodos de anlisis espectral de modelos AR

proporcionan mayor resolucin de mximos espectrales que los mtodos convencionales. No obstante, se ven afectados por una

considerable varianza de las esimas y las dificultades para fijar el

orden de los modelos.

Fuera de la ptica de la optimizacin cuadrtica, han aparecido diversos meodos de esimacion; son de especial inters los basados en

el principio de mxima verosimilitud, como los de Kay y Burg.

Los modelos ARMA son algo menos manejables que los AR, reo frecuentemente permiten, utilizando menos parmetros, modelar

correctamente los procesos analizados. La menor flexibilidad algortmica procede de la diferente estructura de las ecuaciones

normales que se obtiene para un ARMA(m,n): multiplicando

por y tomando valores esperados se obtiene para cualquier j

entero

Donde:

son la autocorrelacion de f(.) y a correlacion cruzada de (.) y f(.).

EJEMPLO 1

Encontrar los componentes de frecuencia de la seal en un momento

de ruido de una seal dominante.

Primero creamos algunos datos. Considere los datos incluidos en la muestra 1000 Hz. Empezaremos formando un eje de tiempo para

nuestros datos, a partir de t=0 hasta t=.25 en pasos de 1 milisegundo. Luego se forma una seal, x, que contiene ondas seo

de 50 Hz y 120 Hz.

>> t=0:.001:.25;

>> x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);

Agregamos algn ruido aleatorio con una desviacin estndar de 2

para producir un ruido con seal y. Demos una mirada a esta seal

de ruido graficndola. >> y=x+2*randn(size(t)); >> plot(y(1:50)) >> title('Ruido/Tiempo de seal dominante')

Claramente, es difcil identificar los componentes de frecuencia al ver esta seal; Esto es porque el anlisis espectral es demasiado general.

Encontrar la transformada de Fourier discreta de la seal del ruido y es fcil; solo se toma la transformada rpida de Fourier (FFT).

>> Y=fft(y,226);

Calcular la potencia de la densidad espectral, una medicin de la

energa en varias frecuencias, usando la compleja conjugada (CONJ).

Formar un eje de frecuencias para los primeros 127 puntos y usarlo para graficar el resultado. (El resto de los 256 puntos son

asimtricos.)

>> Pyy=Y.*conj(Y)/256; >> f=1000/256*(0:127);

>> plot(f,Pyy(1:128)) >> title('Densidad espectral de la potencia')

>> xlabel('Frecuencia (Hz)')

La acercamos y graficamos solo por encima de 200 Hz. Note los picos

a 50 Hz y 120 Hz. Esas son las frecuencias de la seal original.

V. Mtodos de muestreo en frecuencia en las

telecomunicaciones.

Muchos equipos y dispositivos modernos requieren procesar las

seales analgicas que reciben y convertirlas en seales digitales

para poder funcionar.

Harry Nyquist propuso un teorema que ha tenido efectos profundos

en la teora de informacin as como el diseo prctico de tcnicas de

comunicaciones de datos que implican la digitalizacin de seales

anlogas.

El teorema est basado sobre la asuncin que la transmisin es en

uno canal sin ruido. Este es un concepto muy importante, y utilizado

en el campo de ingeniera de telecomunicaciones.

Para convertir una seal analgica en digital, se debe realizar una

serie de pasos. Es necesario primero realizar un muestreo o sampling

de la seal, es decir, tomar diferentes muestras de tensiones o

voltajes en diferentes puntos de la onda senoidal. La frecuencia a la

que se realiza el muestreo se denomina razn, tasa o tambin

frecuencia de muestreo y se mide en kilohertz (kHz). Durante el

proceso de muestreo se asignan valores numricos equivalentes a la

tensin o voltaje existente en diferentes puntos de la sinusoide, con

la finalidad de realizar a continuacin el proceso de cuantizacin.

Representacin fsica de un sistema de muestreo

En la siguiente figura se ofrece las formas de las tres seales

principales:

S(t): Seal a muestrear .

: Seal muestreadora.

Sd(t): Seal muestreada

Muestreo de seales

Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon)

El muestreo peridico de una seal analgica se realiza cuando

tomamos mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo

cuando se graba una seal de audio a la PC mediante una placa de

sonido, el conversor A/D de la PC estar digitalizando la seal a una

cierta frecuencia tal como 11, 22, 44 kHz, denominada frecuencia

de muestreo. Si la frecuencia de muestreo es muy baja, es decir

mediciones demasiado espaciadas, se perdern detalles de la seal

original. Mediante una simple demostracin grfica se puede ver. En

las figuras A-B-C-D hemos representado cuatros seales distintas (en

lnea azul) muestreadas peridicamente a igual frecuencia (los

crculos rojos denotan las muestras). En A y B las seales aparecen

correctamente representadas por las muestras, en C la velocidad de

muestreo parece insuficiente, y en D las muestras representan una

seal como la de B, es decir la seal de D es un alias de la seal

de B. Este efecto se denomina en ingls aliasing.

Teorema de Nyquist-Shannon

El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece

que la frecuencia mnima de muestreo necesaria para evitar el

aliasing debe ser.

fs > 2.BW

Con fs: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la seal a

muestrear

BW = fmax - fmin

Para seales con fmin = 0, se puede expresar como

fs > 2 .fmax

Para demostrar el teorema se recurre a los conceptos bsicos de

series de Fourier y trigonometra.

A.

B.

C.

D.

2) Analizar y desarrollar los siguientes ejercicios.

a) Convierta un filtro analgico con funcin de transferencia

[] =[ + 0.1]

[( + 0.1)2 + 16]

En un filtro IIR digital por medio de la transformacin bilinear. El filtro

digital debe tener una frecuencia resonante de pi / 2

Respuesta

Se realiza bajo Matlab

Se calcula la respuesta en frecuencia del filtro anlogo:

>> num=[1.0000 0.1000];

>> den=[1.0000 0.2000 16.0100]; >> freqs(num,den)

Como se observa en la figura el filtro anlogo tiene una frecuencia de 4Hz. La transformacin bilineal requiere que la frecuencia de

muestreo sea Fs=2 para que la frecuencia anloga = 4 y la

digital =

2 se cumplam ya que:

= 21 (

2)

>> [B,A]=bilinear(num,den,2)

B =

0.1250 0.0061 -0.1189

A =

1.0000 0.0006 0.9512

Ahora realizamos el clculo de la frecuencia digital:

>> freqz(B,A)

Se observa en la figura que se ha logrado con la transformacin

bilineal la frecuencia resonante que se deseaba ( =

2 o

normalizado ).

b) Repita el inciso anterior para la siguiente funcin de

transferencia

[] =[]

[( + 0.1)2 + 16]

Se calcula la respuesta en frecuencia del filtro anlogo:

>> num=[1.0000]; >> den=[1.0000 0.2000 16.0100];

>> freqs(num,den)

Como se observa en la figura este filtro anlogo tamnbien tiene una

frecuencia de 4Hz. La transformacin bilineal requiere que la frecuencia de muestreo sea Fs=2 para que la frecuencia anloga

= 4 y la digital =

2 se cumplam ya que:

= 21 (

2)

>> [B,A]=bilinear(num,den,2) B =

0.0305 0.0610 0.0305

A =

1.0000 0.0006 0.9512

Ahora realizamos el clculo de la frecuencia digital:

>> freqz(B,A)

Observamos de nuevo en la figura que se ha logrado con la

transformacin bilineal la frecuencia resonante que se deseaba ( =

2 o normalizado ).

CONCLUSIONES

Se logra establecer las diferencias entre los filtros FIR e IIR

identificando sus caractersticas de diseo y de funcionamiento.

Un filtro activo est compuesto bsicamente por resistencias,

condensadores y amplificadores operacionales, se pueden

agrupar segn su corte, su atenuacin y segn su tipo.

El retardo de grupo es una medida muy conveniente de la

linealidad de la fase de la Transformada de Fourier. En muchos

casos interesa que la fase sea lo ms lineal posible, lo que

significa que todas las frecuencias experimenten el mismo

retardo al atravesar el sistema.

Para convertir una seal analgica en digital, se debe realizar

un muestreo o sampling de la seal

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Cassaleth, Indira. Procesamiento Digital de Seales. Universidad

Nacional Abierta y a Distancia UNAD. 2009

Montealegre, Jorge. Introduccin al Procesamiento de Seales.

Universidad Nacional Abierta y a distancia.

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Extrado de:

http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/freq.html#

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Analisis comparativo de algunas teoras en el dominio de la

frecuencia para la deteccin de distorsiones en sistemas

elctricos de potencia. Universidad Tecnologica de Pereira,

Septiembre del 2008. Extraido de:

http://www.utp.edu.co/php/revistas/ScientiaEtTechnica/docsFTP/115

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Revision de metodos de analisis espectral. Extraido de:

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