Ekspektasi Matematika

Chapter 4

- Mean of random variable

- Variance dan covariance of random variable

- Means and Variances of Linear Combinations of

Random Variables

- Teorema Chebyshev

- Potential Misconceptions and Hazards;

Relationship to Material in Other Chapters

Ekspektasi Matematika

Sub Pokok pembahasan :

Ekspektasi matematika atau harga harapan atau

mean(rata- rata) atau sering disebut ekspektasi saja, adalah

satu konsep penting dalam teori dasar statistika. Jika X

adalah sembarang variabel random, maka ekspektasi

matematika dari variabel random X biasanya dinotasikan

dengan E(X) atau µ

4.1 Mean Of Random Variable

rata – rata pada sample acak

• Misalkan dua uang logam dilempar secara bersamaan sebanyak

16 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi angka (A) yang

muncul pada setiap pelemparan, maka X dapat bernilai 0, 1, atau

2. misalkan pada eksperimen tersebut dicatat berapa kali muncul

0, 1, atau 2 sisi angka pada setiap pelemparan. Dan diperoleh

hasil masing - masing 4kali, 7 kali, dan 5 kali. Berapa rata – rata

angka yang akan muncul pada setiap lemparan?

• Mean(rata) atau nilai harapan variabel acak X adalah hal penting

di dalam statistik karena menggambarkan di mana distribusi

probabilitas berpusat

• Rata – rata banyaknya sisi angka muncul pada setiap

pelemparan kedua koin tersebut adalah

• Notasi :

E(X) = nilai harapan / ekpektasi matematika

• Untuk suatu peubah acak diskrit X yang memiliki nilai – nilai yang mungkin

x1, x2, …, xn. Nilai harapan dari X didefinisikan sebagai :

Mengingat P(X=xi ) = f(xi ), maka :

Ruang sampel dari contoh pelemparan dua uang logam :

S = {AA, AG, GA, GG}

Sehingga :

P(X=0) = P(GG) = ¼

P(X=1) = P(AG) + P(GA) = ¼ + ¼ = ½

P(X=2) = P(AA) = ¼

Maka, rata – rata banyaknya sisi angka yang muncul pada pelemparan dua

buah uang logam adalah :

μ = E(X) = (0)(1/4) + (1)(1/2) + (2)(1/4) = 1

• Jadi, bila kita melempar dua uang logam secara berulang – ulang, maka rata

– rata akan memperoleh satu sisi angka yang muncul pada setiap lemparan

• Misalkan X adalah peubah acak dengan distribusi peluangf(x).

Nilai harapan atau rata – rata X adalah :

Untuk X diskrit, dan

Untuk X kontinu.

• Contoh 2. Sebuah panitia beranggotakan 3 orang dipilih secara acak dari 4

orang mahasiswa Tektel dan 3 orang mahasiswa IF. Berapa nilai harapan

banyaknya mahasiswa Tektel yang terpilih dalam panitia tersebut ?

Solution : misalkan X menyatakan jumlah mahasiswa yang terpilih dalam

panitia tersebut. Nilai X yang mungkin adalah 0,1,2 dan 3. distribusi

peluang X adalah

f(x) = C(4,x) C(3, 3-x) / C(7, 3)

simple calculation f(0) = 1/35, f(1) = 12/35, f(2) = 18/35, and f(3) = 4/35.

maka dari itu ,

μ = E(X) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 1.7

Jadi, secara rata – rata terpilih 1,7 orang mahasiswa Tektel dalam panitia yang

beranggotakan 3 orang tersebut.

Theorem 4.1

• Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan distribusi peluang f(x). Nilai

harapan / expected value dalam peubah acak g (x) adalah:

μg(x) = E[g(X)] = Σg(x)f(x)

bila X diskrit, dan

μg(x) = E[g(X)] = Σg(x)f(x)

Bila X kontinu

Contoh 2. banyanknya mobil yang masuk ke tempat cuci mobil antara jam

13.00 – 14.00 setiap harinya mempunyai distribusi peluang :

x 4 5 6 7 8 9

f(x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6

Misalkan g(x) = 2x-1 menyatakan upah dalam (Rp) para kaaryawan yang

dibayar perusahaan pada jam tersebut. Hitunglah harapan pendapatan

karyawan pada jam tersebut

Jawab:

E[(g(X)] = E(2x – 1) =

= (7)(1/2) + (9)(1/2) + (11) (1/4) + (13)(1/4) + (15)(1/6) +

(17)(1/6)

= 12.67

4.2 Variance Covariance Of Random

Variable

• Pada Gambar 1.1 kita memiliki histogram dari dua distribusi

probabilitas diskrit dengan sama RATA-RATA= 2 yang berbeda dalam

variabilitas atau dispersi dari pengamatan mereka terhadap mean.

• Tapi yang paling penting dari variabilitas dari variabel acak X diperoleh

dengan menerapkan Teorema 1.1 dengan g (X) = (X - ft)2. Ini disebut

sebagai varian dari variabel acak X atau varians dari distribusi probabilitas

X dan dilambangkan dengan Var (X) atau simbol , atau hanya dengan 2

untuk yang random variabel yang kita lihat.

Teori 1

•Kuantitas x - u di atas disebut penyimpangan pengamatan dari mean. Karena

penyimpangan ini di kuadratkan dan kemudian dirata-rata 2 akan jauh lebih kecil

untuk satu set nilai-nilai x yang dekat dengan daripada itu akan untuk satu set nilai-

nilai yang bervariasi dari .

Contoh 1. Biarkan variabel acak X merupakan jumlah mobil yang digunakan

untuk tujuan bisnis resmi pada setiap hari kerja yang diberikan. Distribusi

probabilitas untuk perusahaan A adalah ?

Dan untuk perusahaan B

• Buktikan bahwa varians dari distribusi probabilitas untuk perusahaan B

lebih besar dibandingkan dengan Perusahaan A. ?

Untuk perusahaan A, dapat diketahui bahwa

A = E(X) = (1)(0.3) + (2)(0.4) + (3)(0.3) = 2.0,μ

lalu

Untuk Perusahaan B, didapati

μB = E (X) = (0) (0,2) + (1) (0,1) + (2) (0,3) + (3) (0,3) + (4) (0,1) = 2,0,

lalu

• Jelas, varians dari jumlah mobil yang digunakan untuk keperluan bisnis tujuan

lebih besar bagi perusahaan B daripada perusahaan A. Sebuah alternatif dan

pilihan formula untuk mencari , yang sering menyederhanakan perhitungan,

dinyatakan dalam teorema berikut.

Teori 2

Untuk Diskrit

Untuk Kontinu yang awalnya digunakan sigma(penjumlahan) diganti

dengan interasi

Contoh 2. Berikut ini adalah distribusi probabilitas x,x merupakan jumlah

komponen mesin rusak akibat 3 sample mesin uji coba .!

Hitunglah variance menggunakan teorema diatas:

Jawab :

= (0) (0.51) + (1) (0.38) - (2) (0,10) + (3) (0.01) = 0.61.

E(X2) = (0) (0.51) - (1) (0.38) - (4) (0.10) J- (9) (0,01) = 0,87.

lalu

Jika X variabel random dengan distribusi probabilitas f (x). Varians dari

variabel random g (X) adalah

4.3 Means and Variances of Linear Combinations of

Random Variables

Teorema 1. Jika a dan b adalah konstanta, maka

E(aX + b) = aE(X) + b.

Dengan definisi expected value

Integral pertama disebelah kanan adalah E(x) dan Integral kedua sama

dengan 1. oleh karena itu didapati

E(aX + b) = aE(X) + b.

Contoh 1. dengan menggunakan teorema 1 untuk variable acak diskrit f(X) =

2x-1, kerjakan ulang contoh 4.4 dihalaman 115.

x 4 5 6 7 8 9

f(x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6

Teorema 1 : E(2x-1) = 2E(X) - 1

Hasilnya :

• Dengan soal yang sama kerjakan nilai yang bernilai kontinu g(X) = 4x+3

Dengan teorema 1 didapat : E(4X + 3) = 4E(X) + 3

sehingga

4.4 Teorema chebyshev

• (Chebyshev Teorema) Probabilitas bahwa variabel acak X akan

menganggap nilai dalam k standar deviasi dari mean setidaknya

1-1 / k2. Yaitu adalah

• Untuk k = 2, teorema menyatakan bahwa variabel acak X memiliki

probabilitas setidaknya 1-1 / 22= 3/4 dimasukkan dalam dua standar

deviasi dari mean. bahwa, tiga-perempat atau lebih dari setiap

pengamatan yang memasukan distribusi dalam interval μ ± 2σ. Demikian

pula, teorema menyatakan bahwa setidaknya delapan-sembilan dari

setiap pengamatan penurunan distribusi dalam interval μ ± 3σ.

Contoh 1: Suatu variabel acak X memiliki mean μ = 8, sebuah σ varians 2 =

9, dan tidak diketahui distribusi probabilitas. Temukan

(a) P(-4 <X<20),

(b) P(|X - 8|=6).

solution

• Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap distribusi pengamatan, dan untuk itu

hasilnya biasanya rendah. Nilai yang diberikan oleh teorema adalah lebih

berbeda sedikit. Artinya, kita tahu bahwa probabilitas variabel random

dimasukkan dalam dua standar deviasi dari mean yang tidak dapat kurang dari

3/4, tapi kita tidak pernah tahu berapa banyak kemungkinan nilai yang muncul.

• Hanya ketika distribusi probabilitas yang diketahui kita dapat menentukan

probabilitas yang tepat. Untuk itu kita menyebutnya teorema hasil distribusi

bebas. Ketika distribusi spesifik diasumsikan, maka itu tidak akan konservatif di

bab berikutnya. Penggunaan Teorema Chebyshev adalah

diturunkan ke situasi di mana bentuk distribusi itu tidak diketahui.

Materi dalam bab ini sangat mendasar di alam, seperti

yang di

Bab 3. Bahwa dalam Bab 3 kami fokus pada karakteristik

umum probabilitas distribusi, dalam bab ini kita

mendefinisikan jumlah penting atau parameter yang

menjadi ciri sifat umum dari sistem. Mean dari distribusi

mencerminkan tendensi sentral, dan varians atau standar

deviasi mencerminkan variabilitas dalam sistem. Selain

itu, kovarians mencerminkan kecenderungan dua random

variabel untuk "bergerak bersama" dalam suatu sistem.

Parameter penting ini akan tetap mendasar untuk semua

yang mengikuti dalam teks ini.

4.5 Potensi Kesalahpahaman dan Bahaya;

Hubungan dengan Bahan dalam Bab lain

Pembaca harus memahami bahwa jenis distribusi sering didikte

oleh skenario ilmiah. Namun, nilai-nilai parameter harus

diperkirakan dari data ilmiah. Sebagai contoh, dalam kasus

Ulasan Latihan 4.85, produsen kompresor mungkin tahu (materi

yang akan disajikan dalam Bab 6) dari pengalaman dan

pengetahuan tentang jenis kompresor yang sifat distribusi seperti

yang ditunjukkan dalam latihan. Tapi rata-rata μ = 900 akan

diperkirakan dari eksperimen pada mesin. Meskipun nilai

parameter dari 900 diberikan sebagai dikenal di sini, itu tidak

akan diketahui dalam situasi kehidupan nyata tanpa penggunaan

data eksperimental. Bab 9 didedikasikan untuk estimasi.