probleme rezi 2

8/16/2019 Probleme Rezi 2

1/61

14. CALCULUL LA FLAMBAJ AL BARELOR DREPTE

14.1. Introducere.

La barele drepte de lungime mare solicitate la compresiune apare fenomenul

de pierdere al stabilităţi elastice sau de flambaj.

Dacă lungimea barei este mai mare decât cea mai mică dimensiune a sec-

ţiunii transversale de 10-15 ori atunci trebuie sa se ia în considerare i fenomenul

de flambaj.

Datorită comple!ităţii fenomenului i importanţei calculului" pentru ele-mentele de construcţii civile i industriale" calculul la flambaj este reglementat prin

#$%# 1010&'0-(&.

La calculul de flambaj al elementelor de re)istenţă se utili)ea)ă două metode

de calcul i anume *

- metoda coeficientului de siguranţă. %ceastă metodă este utili)ată pentru

calculul la flambaj al elementelor din componenţa diferitelor maini i organe de

maini+

- metoda coeficientului ϕ. %ceastă metodă este utili)ată pentru calculul la

flambaj al elementelor de re)istenţă de la construcţiile civile i industriale+

,ele două metode de calcul au la ba)ă relaţia*

cap

f

P

P c =

1.1/unde*

c este coeficientul de siguranţă la flambaj+

f P

este forţa critică care produce flambajul elementului de re)istenţă+


2/61

cap P

este sarcina capabilă care solicită elementul de re)istenţă fără să

producă flambarea acestuia.

lambajul elementelor de re)istenţă este influenţat atât de forma geome-trică i dimensiunile elementului de re)istenţă cât i de caracteristicile mecanice i

elastice ale materialului din care este confecţionat acesta.

14.2 Metoda coeficientuui de !i"uran#$.

,onform relaţiei lui 2uler" forţa la care o bară dreaptă de secţiune constantă

îi pierde stabilitatea este*

2

f

m in

2

f l

EI P

⋅=

π

1.3/

unde*

-− f P

este forţa de compresiune" aplicată a!ial" care produce flambajul unei

bare drepte de secţiune constantă+

-2 caracteristica elastică a materialului din care este confecţionată bara+

-4min

− este momentul de inerţie a!ial minim al secţiunii transversale+

- f l

− este lungimea de flambaj a barei. %ceasta este influenţată de legăturile

barei" astfel în figura 1.1 sunt pre)entate lungimile de flambaj pentru diferite

moduri de legare a barei.

Dacă se raportea)ă forţa critică de flambaj la aria secţiunii transversale*


3/61

2

2

2

m in

f

2m in

2 f

2 f

f

E

i

l

E

A

I

l

E

A

P

λ

π π π σ =

=

==

1./

-unde*

i

l f = λ

1.a/ este coeficientul de subţirime sau de )velteţe i repre)in-tă

raportul dintre lungimea de flambaj ra)a de inerţie minimă+

Pf Pf Pf Pf

f

f

f

f

f %

f

f

f

f

f %2⋅ f %&'(⋅ f %&')⋅

a* +* c* d*

Pf Pf Pf

ig. 1.1.


4/61

6elaţia 1./ este valabilă numai când tensiunea σf ia valori în dome-niul de

proporţionalitate a curbei caracteristice σf 7σ p.

Dacă tensiunea de flambaj σf " depăete limita de proporţionalitate σ p a

materialului relaţia 1./ nu mai este valabilă.

La limită vom avea*

σ

λ π

p

0 E

=

1./

Dacă λ8λ0" re)ultă σf ≤σ p i flambajul produce o solicitare în domeniul

elastic.

Dacă λ8λ0" re)ultă σf 8σ p i flambajul produce o solicitare în domeniul

elastico-plastic.

9n funcţie de valorile lui λ se poate trasa curba caracteristică σf :fλ/ pe care

se pot defini domeniile de solicitare a barei" conform figurii 1.3.

Din diagrama pre)entată în figura 1.3 se disting următoarele domenii*

- porţiunea %; pentru λ7λ1" repre)intă domeniul plastic" în acest domeniu bara

nu flambea)ă până la atingerea limitei de curgere. 9n acest ca)*

σ σ c f =. 1.5/

- porţiunea ;," pentru λ17λ7λ0" repre)intă domeniul elastico-plastic. $en-

siunea din bară este cuprinsă între tensiunea corespun)ătoare limitei de pro-

porţionalitate i cea corespun)ătoare limitei de curgere.


5/61

f

c

,

,a!tic ea!to-,a!tic

ea!tic

A

B

C

D

c

1"<

3"

1 &

a/

ig. 1.3.

9n acest ca) tensiunea de flambaj se determină cu relaţia empirică a lui

$etma=er-4asins>i*

λ λ ba f −= 1.


6/61

l A I E

A P

f

f

f 3

min

3

π σ ==

1.(/

9n construcţia de maini" metoda coeficientului de siguranţă este metoda de

calcul la flambaj.

$abelul 1.1

Materiau λ σ ba f −= λ 0 λ 1

@L( MPa240

c =σ

0-1"13λ 105


7/61

( )c

P

A

P

P c

ef

ef

ef

f

ef

ba>

⋅+==

λ

pentru ca)ul cândλ λ λ 01


8/61

Dacă λ λ λ m axef 0 ≤≤

atunci relaţia 1.10/ este corect utili)ată" bara fiind

solicitată în domeniul elastic.

Dacă λ λ 0ef <

atunci relaţia 1.10/ nu mai este valabilă i ca atare tre-buie să

se facă un calcul de verificare.

Dacă în urma calculului de verificare re)ultă că dimensiunile secţiunii

transversale nu sunt corespun)ătoare sunt prea mari sau prea mici/ atunci se

adoptă o nouă valoare pentru dimensiunile transversale" după care se reia cal-culul

de verificare. ?rin încercări succesive se determină valorile dimensiunii

transversale care să respecte condiţiile de verificare.

A,ica#ia 14.1.

#ă se dimensione)e biela unui mecanism ce este repre)entată în figura 1.

tiind că este confecţionată din @L53 i se

impune un coeficient de siguranţă de c:.3.

( ) ( ) 433

y a33 ,4312a2a4a3a6 I =−=

( ) ( ) 433

z a833 ,4

12

aa4a2a3 I =

+=

I I z min =

a652 ,0a10

a833 ,4

A 4

4min

min

I i ===

Din relaţia 1.10/ va re)ulta*

1) 0

A A

&&

4aa a

3

a

A-A

ig. 1..


9/61

=⋅⋅

⋅⋅= 4

2

2

833 ,4210

f a

l c P

π

mm558 ,4833 ,4210

3002 ,3154

2

2=

⋅⋅⋅⋅=

π

%dopt a:5mm

#e reia calculul de verificare pentru dimensiunea adoptată.

mm4!6 ,35652 ,0imin =⋅=

306 ,86 4!6 ,3

300 ==λ

" MPa21 ,254306 ,86 !4 ,35!! f =⋅−=σ # 1055 ,6351021 ,254 P 32

f ⋅=⋅⋅=

$23 ,415

55 ,63c ==

,oeficientul efectiv pentru dimensiunea a:5mm depăete cu mult valoa-rea

coeficientului de siguranţă impus.

%dopt a:"< mm.

mm18 ,36 ,4652 ,0im in =⋅=

81 ,318 ,3

300== λ

MPa15 ,226 81 ,3!4 ,35!! f =⋅−=σ

%# 853 ,4! 6 ,41015 ,226 P 2 f =⋅⋅=

$1 ,315

853 ,4! c ==


10/61

Ealoarea coeficientului de siguranţă are valoarea coeficientului de sigu-ranţă

impus" cu o diferenţă foarte mică" în consecinţă valoarea a:"< mm este valoarea

bună.

A,ica#ia 14.2.

#ă se determine sarcina capabilă ce o poate suporta bara din figura 1.

tiind că este confecţionată din @L ( i se impune un coeficient de siguranţă c:.

4424

y z min mm10256 ,6 38

301

64

38 I I I ⋅=

−

⋅===

π

22222

mm04 ,42! 38

301

4

38

&

' 1

4

& A =

−⋅=

−= π π

$mm8!!6 ,404 ,42!

10256 ,6

A

4min

min I

i =⋅==

mm5002502l 2l f =⋅=⋅=

$5 ,1028!!6 ,4

500

i

l

min

f ===λ

;ara este solicitată în domeniul elasto-plastic

i vom avea în acest ca) * MPa2 ,185 ,10212 ,1304 f =⋅−=σ

%# ! ,8004 ,42! 2 ,18 P f =⋅=

∅

5

∅

&

P%6

2)&

ig. 1.


11/61

$%# 1 ,204

! ,80

c

P P

f cap ===

%dopt ?:30 >F.

OBO7EALA

A,ica#ia 1.2.

#ă se determine sarcina ma!imă capabilă să o suporte un arc elicoidalconfecţionat din @L cu τc : (00 Gpa" τ0 :


12/61

Pmin=0,2

Pmax=1,3

f

[mm]fmax=24,1fmin=3,7

0

2 ,

200 ( ( ;

450450

B’’

min=ct.

L (mL,0L)

L’ (mLp,0Lp)

E (min,0)C (+1,0)

(0,1p) !’

(0,1) !

a

m

B’

"%

c

ma

1

( ) ( *+

(

( ⋅+⋅⋅

= − "

6

12 ,1

3502

ma ( ( ⋅+⋅=

,10502 ,! ma =+⋅ ( (

unde*

$6

1

600

60035022

0

01 =−⋅

=−⋅

=(

( ( )

a/ b/

ig. 1.13.

Dacă ţinem seama de relaţiile de definiţie ale elementelor ciclului de

solicitare variabilă obţinem cea de a doua ecuaţie necesară soluţionării problemei*

τ m τ a. τ min. 3,! MPa$

Din cele două ecuaţii se obţine*

τ a. 123,2 MPa /i τ max. τ min 2 τ a . 123,2 2 3,! . 202,8 MPa$

,u valoarea tensiunii ma!ime calculate se poate determina sarcina capabilă


13/61

2

400 ,

2

400

450

B’’

B’L (mLP, 0LP)

"(m#, 0)C’ (4$0, 0)

%=0,&a

m

0

'

't

ma!imă/ la care poate lucra arcul*

$%# 01 ,1408

8 ,2028

&8

' P

3

m ax

3

m ax =⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

= π ( π

#e adoptă*?:1 >F.

Deoarece nu pot fi reglate valorile sarcinilor ce solicită arcul decât prin

săgeţile corespun)ătoare se vor calcula aceste săgeţi i se va trasa caracteristica

arcului fig.1.13"b/

,mm!04 ,381081

1240102 ,08

'

n & P 8 f

43

33

4

3

m inm in =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=

"

$mm52 ,1881081

12401018

'

n & P 8 f

43

33

4

3

m axm ax =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=

.

?entru a satisface condiţia de re)istenţă la oboseală arcul trebuie să lucre)e

între f min: "( mm i f ma!: 1&"5 mm.

A,ica#ia 1..

?entru secţiunea periculoasă a arborelui din figura 1.1"a/ reali)at din @L

cu σc : &0 G?a" σ0 : 00 G?a" σ-1 : 00 G?a" τc : 00 G?a" τ0 : 30 G?a" τ-

1 : 330 G?a"

% σ

ε γ ⋅ = 3 1 ,

"

% τ

ε γ ⋅ = 2 8 ,

" solicitat la încovoiere de un moment variabil

G : 3 >Fm" cu 6 σ : - 0"< i la torsiune de un moment variabil cu 6 τ : 0"3.

0"00/ %


14/61

ig. 1.1.

#ă se determine*

a/ re)istenţa la oboseală a materialului la încovoiere pentru ciclul respectiv+

b/ re)istenţa la oboseală a piesei la încovoiere pentru ciclul respectiv+c/ coeficientul parţial de siguranţă la încovoiere+

d/ re)istenţa la oboseală a materialului la torsiune pentru ciclul respective+

e/ re)istenţa la oboseală a piesei la torsiune pentru ciclul respectiv+

f/ momentul de torsiune capabil" ma!im i minim ce acţionea)ă simultan cu

cel de încovoiere dacă se impune un coeficient de siguranţă global de c : 1"


15/61

ψ σ σ

σ σ =

−=

⋅ −=−

2 2 200 400

4000 51 0

0

,

.

,u relaţia 1.1/ se obţine re)istenţa la oboseală a materialului*

( ) ( ) ( ) ( )σ

σ

ψ

MPa=

+ ⋅ + − = ⋅

− ⋅ + + =−

2

1 1

2 300

1 0 6 0 5 1 0 6 333 31

, , , ,

.

b/ Itil)ând relaţia 1.1/ sc obţine re)istenţa la oboseală a piesei*

( ) ( ) ( ) ( )σ

σ

ψ ε γ

σ p

%

MPa=+ ⋅ + − ⋅

⋅

= ⋅

− ⋅ + + ⋅ =−

2

1 1

2 300

1 0 6 0 5 1 0 6 3 1116 31

, , , ,$

c/ ?entru a determina coeficientul de siguranţă parţial" la încovoiere trebuie

să determinăm elementele ciclului de solicitare i pentru aceasta mai întâi

mărimile geometrice ale secţiunii*

I mm y = ⋅

⋅ −

− ⋅

⋅− ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

π 80

641

25

802

16 8

122 36 8 16 1 643 10

4 4 32 6 4 ,

I mm z = ⋅ ⋅ −

− ⋅

⋅ = ⋅π 80

641

25

802

16 8

121 86 10

4 4 36 4 ,

"

I I I mm p z y= + = ⋅362 106 4 ,

"

I

z mm y

ymin

max

,= = = ⋅ =1643 1040

416506

3

"

I

mm p

p= = ⋅ =max

,3 62 10

400!0

6 3

"


16/61

L (mL, 0L)

2

320 ,

2

320

=33,&0450

B’’

B’

L (mLP, 0LP)

"(m#, 0)C’ (400, 0)

%=0,2

a

m

0

ig. 1.1.

iar tensiunile la încovoiere sunt*

σ maxmin

,= = ⋅

= M

MPa2 10

4108048 6

6

"

σ σ σ min max , , ,= ⋅ = − ⋅ = − MPa0 6 48 6 2 21"

σ σ σ

m MPa= +

=max min ,2

24

"

σ σ σ

a MPa= −

=max min ,

2

38 5

.

%plicând relaţia 1.15/ se obţine*

0"330/ %

13

220


17/61

c%

a m

σ σ

σ

ε γ σ ψ σ

=

⋅ ⋅ + ⋅

=⋅ + ⋅

=−1 3003 1 38 5 0 5 !5

2 388 , , , ,

,

.

d/ ?entru a determina re)istenţa la oboseală a aceluiai material la torsiune

se trasea)ă diagrama scBemati)ată" de tip #erensen pentru tensiuni tangenţiale fig.

1.1/.

#e determină ungBiul ϕcorespun)ător ciclului cu 6 σ : 0"3.

#e duce dreapta de 6 τ: -0"< măsurând ungBiul de la a!a ori)ontală 0τm"

ϕ τ τ

τ

= −

+ =

−

+ =acan acan ,

,

,1

1

1 0 2

1 0 2

33 6

"

#e determină valoarea coeficientului ψ cu relaţia 1.13/*

( ) ( ) $5455 ,0

6 ,015455 ,02 ,01

22022

0

01 =−+⋅+

⋅=

−⋅= −

τ

τ τ ψ τ

Itili)ând relaţia 1.1/ se obţine re)istenţa la oboseală a materialului*

( ) ( ) ( ) ( )τ τ

ψ

MPa= + ⋅ + − = ⋅+ ⋅ + − ⋅ =−

21 1

2 2201 0 2 0 5 1 0 2 2 8

302 51 , , , ,

,

*

e/ Din relaţia 1.1/ se obţine re)istenţa la oboseală a piesei*

( ) ( ) ( ) ( )τ

τ

ψ ε γ

τ p

%

MPa=+ ⋅ + − ⋅

⋅

= ⋅+ ⋅ + − ⋅

=−2

1 1

2 220

1 0 2 0 5 1 0 2 2 81521

, , , ,

f/ ,a să determinăm momentul de torsiune capabil trebuie aflat coeficien-tulde siguranţă parţial la răsucire din relaţia 1.33/*

c c c

c cτ

σ τ

σ

= ⋅

−= ⋅

−=

2 2 2 2

2 388 1 8

2 388 1 6

2 156 , ,

, ,

,

.


18/61

%vând valoarea re)istenţei la oboseală a piesei i coeficientul de siguranţă se

poate determina momentul de torsiune capabil*

M

c

%#m

pmax

,

,= ⋅ = ⋅ ⋅ =−τ

τ

152

2156

0!30 10 6 36 6

#e adoptă* Gt ma! : < >Fm i Gt min : 6 τ×Gt ma! :1"3 >Fm.

7TATIC EDETERMIATE

A,ica#ia 1&.1.2.

#ă se ridice nedeterminarea i să se trase)e diagramele de eforturi pentru

bara din figura 10.. #ă se determine deplasarea pe verticală a punctului >.

- sistemul este simplu static nedeterminat+

$ 7 11

101

−=

$m EI

1m∑ ⋅= 9

#e va aplica metoda lui EeresceagBin*

$ EI

PL05208 ,0

2

L

3

2

2

L

2

L

2

PL

2

1

EI

1 3

10 −=

⋅+⋅⋅⋅−=


19/61

324

24

>

P

P

L'3 L'3

J

7B

M&

.1

2

PL

1L

T

8P9

0"(333

0"3((&

M

8PL9

0"3333

0"1&C

0"1&C0"3((&

0"5.

8PL9

.:

8L9

0"5

1

ig. 10.


20/61

$ EI

L18!5 ,0

2

L

3

2

2

L

2

L

2

L

2

1

2

L

2

1

2

L

2

L

2

L

EI 2

1

2

L

3

2

2

L

2

L

2

1

EI

1

3

11

=

=

⋅+⋅⋅⋅+

⋅+⋅⋅+

+

⋅⋅⋅⋅=

deci*

$ P 2!!8 ,0 P 18!5 ,0

05208 ,0 7 1 =

−−=

Deplasarea pe verticală a punctului > este*

⇒⋅⋅⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅−

− ⋅⋅⋅⋅⋅=

2

L

3

2

2

L PL138 ,0

2

1

2

L

2

1

2

L PL138 ,0

2 L

32

2 L PL5 ,0

21

EI 21:%

$ EI

PL10365 ,6 :

33

%

−⋅=⇒

A,ica#ia 1&.1..


bara din figura 10.. #ă se determine sarcina capabilă prin metoda re)istenţelor

admisibile i prin metoda stării limită" dacăσc:30 G?a+ c:1"


21/61


22/61

ig. 10..

$cm54

6

4

6

;b 3

22

z =⋅=⋅=

- sistemul este simplu static nedeterminat+

$ 7 11

101

−=

?entru re)olvare se aplică metoda lui EeresceagBin. Deoarece panta

diagramei m nu se modifică pe porţiunea 3- se va considera întreaga suprafaţă a

diagramei G0.

+

−⋅

⋅⋅−=∑ ⋅= L6 ,0

3

2 L6 ,0 L6 ,0

2

1m EI m11 9

$ L18 ,0 L6 ,03

2 L ,0 L6 ,0

2

1 3=

−⋅

⋅⋅−+

Fecunoscuta J1va avea valoarea*

$ P 16! ,0 L18 ,0

PL03 ,0 7

3

3

11

101 =

−−=−=

?entru fig. 10.." e" avem*

$ P 16! ,0 0 M 21

$ P 222 ,0> 2 =⇒

⇒=⋅+⋅+⋅−⇒=∑ 0 L6 ,0 P L6 ,0 P 16! ,0 L ,0> 0 M 12


23/61

$ P !!8 ,0> 1 =⇒

Din diagrame" fig. 10..f" g" B" re)ultă secţiunea periculoasă*

==

−=

PL133 ,0 M

P !!8 ,0?

P 16! ,0 #

$ @ 4$ P $B

1. metoda re)istenţelor admisibile*

⇒

=

⋅=

⇒

=

≤=

PL133 ,0 M

c

M

c

M

max

c z max

c

a

a z

maxmax σ

σ σ

σ σ

$%# !5 ,50 # ,!51$501200133 ,06 ,1

2401054

L133 ,0c

P

3c z

cap ==⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=⇒ σ

%dopt*

$%# 50 P cap =

3. metoda stării limită*

2 L1 L L M M 2 P C C ⋅+⋅⋅=⋅

$ L6 ,0

M 5

L6 ,0

M

L3 ,0

M 2 P L L L L ⋅

⋅=

⋅+

⋅⋅

=

" L3 ,01 ⋅=

C $ L6 ,02 ⋅=

C

# 3!5$84

12006 ,06 ,1

5 ,22404525

L6 ,0c

B 5 P

pccp

=

=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅

=⇒

σ

%dopt*

?L

E1

GL

GL

θ3 θ1 δ

ig. 10.5.


24/61

$%# 85 P cp =

A,ica#ia 1&.1.4.

?entru cadrul din fig.10.


25/61


26/61

ig.10.


27/61

[ ] EI

Pa332 ,3 1F a4 Pa833 ,0

EI

1 2

G =−⋅⋅−= H

.

c/ Deplasarea pe verticală a punctului D se obţine din înmulţirea diagramei

reale de momente fig.10..

#istemul fiind simetric i încărcat antisimetric" pe a!a de simetrie va avea

eforturile F i G nule. $ăind pe a!a de simetrie acest cadru vom introduce numai

eforturi $ notate în tăieturi cu J1 i J3 i obţinem sistemul de ba)ă se observă că

datorită acestui fapt gradul de nedeterminare care este < s-a redus la 3./.


28/61

#criem funcţiile de eforturi momente de încovoiere pentru cele trei încărcări

ale sistemului de ba)ă*

- pentru încărcarea cu sarcina e!terioară*

0 M =α +

∈2

,0 π J

+

0 M x =+

[ ]a ,0 x ∈+

2

x p5 ,1 21x M 1

⋅⋅=

+a4 ,0 x1 ∈

+

- pentru încărcare cu o sarcină unitară în locul" pe direcţia i sensul lui J1*

JJ @ina1m1 ⋅⋅="

"2

,0

∈ π J

0m x1 ="

Ka ,0 x ∈

am1 x1 =

"

Ka4 ,0 x1 ∈


29/61


30/61

0m2 =J"

"2

,0

∈

π J

x1m x1

⋅="

Ka ,0 x

∈ +am

1 x2 =

" Ka4 ,0 x1 ∈

.

%plicând relaţiile 10.5/ obţinem*

" pa16 'xa2

x p5 ,1'@m M EI 41

a40

21

1010 −=∫ ⋅⋅∫ ⋅⋅−=⋅⋅=

" pa16 'xa2

x p5 ,1'@m M EI 4

1a4

021

2020 −=∫ ⋅⋅∫ ⋅⋅−=⋅⋅=

331

a40

220

222111 a!85 ,4a4

4'xa' a @ina'@m EI =⋅

+=⋅∫ +∫ ∫ ⋅⋅⋅=⋅=

π JJ

π

3a40 1212112 a4'xaa'@mm EI EI =∫ ⋅⋅=∫ ⋅⋅==

+3a4

0 12a

022

222 a333 ,4'xa'x x'@m EI =∫ +∫ =∫ ⋅=.

@bservaţie*

#e obţin mult mai rapid aceste deplasări dacă se utili)ea)ă combinat metoda

GoBr-Ga!Nell pentru barele curbe/ i metoda EereceagBin pentru barele

drepte/. ?entru aceasta se trasea)ă diagrama G0" pentru sarcina e!terioară aplicată

pe sistemul de ba)ă fig. 10.(" g/ i diagramele m1i m3" pentru câte o sarcină

unitară aplicată pe structura sistemului de ba)ăîn locul lui J1i J3 fig. 10.(" f i B/.

#e obţin re)ultatele*


31/61

EI m pa a a pa M δ 10 12 4

0

1

312 4 16 = ⋅ = − ⋅ ⋅ = −∑ Ω

+

EI m pa a a pa M δ 20 22 4

0

1

3 12 4 16 = ⋅ = − ⋅ ⋅ = −∑Ω + EI EI m a a a am δ δ 12 21 2

3

14 4= = ⋅ = ⋅ ⋅ =∑ Ω

+

EI m a a a a a a am δ 22 23

2

1

2

2

34 4 333= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∑ Ω ,

"

i din combinarea celor două metode re)ultă*

EI m '@ m a a ' a a a am δ α α π

11 1

2

1

2 2

02 3

14 4 !85= + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∫ ∑ ∫ Ω @in ,

.

#istemul de ecuaţii canonice devine*

4 !85 4 16 1 2 , ⋅ + ⋅ = 7 7 pa"

4 4 33 16 1 2⋅ + ⋅ = 7 7 pa ,"

care admit soluţiile*

7 pa1 1126 = ,i

7 pa2 2 653= ,.

,u aceste valori s-au trasat diagramele de eforturi fig. 10.(" c" d" e/.#e

observă caracterul simetric al diagramei $ i cel antisimetric al diagramelor F i

G.

?entru a obţine deplasarea pe verticală a punctului > utili)ăm metodaEereceagBin care presupune trasarea diagramei reale prin suprapunerea de efecte*

M M m 7 m 7 = + +0 1 1 2 2"

pe care o înmulţim cu ordonata din diagrama mv obţinută prin aplicarea unei sarcini


32/61

unitare în locul" pe direcţia i sensul deplasării cerute pe structura sistemului de

ba)ă fig. 10.(" i/. #e obţine*

+

−⋅⋅⋅+

−⋅⋅−= a42

1a4 pa126 ,1aa4

4

3a4 pa12

3

1

EI

1: 2

%

EI

pa!! ,1! Ka4

2

1a4 pa653 ,2a

4

=

−⋅⋅⋅+

.

A,ica#ia 1&.1.=.

#ă se ridice nedeterminarea i să se trase)e diagramele de eforturi pentru inelul din fig. 10.&" a. #ă se calcule)e deplasarea peori)ontală a punctului >.

,adrul este simetric i încărcat simetric. #e poate tăia inelul după una din

a!ele de simetrie. Din condiţia de ecBilibru a acestei jumătăţi de cadru re)ultă că

valoarea forţelor a!iale din tăieturi este2

P

i deci singura necunoscută este

momentul încovoietor din secţiunile făcute notat cu J1.

Deplasările

δ 10

i

δ 11

se determină prin metoda GoBr-Ga!Nell" iar funcţiilede eforturi vor fi*

( ) ( ) M P

a P

a Pa

02 2

12

1α α α α α = ⋅ − ⋅ − = + − @in c@ @in c@

"

α π

∈

02

,

m1 1= −"

[ ]α π ∈ 0,


33/61

P2

P

P

P

P

a

>

24:ct. P

P2

P2

P2

α

<1


34/61

EI M m '@ Pa

a ' Paδ α α α π

10 0 1 02

222

1 1 0 422= ⋅ = + − − ⋅ ⋅ = −∫ ∫ F@in c@ F ,"

$a' a'@m EI L 0

2111 ⋅=⋅=⋅=⋅

∫ ∫ π α δ

π

Ealoarea necunoscutei 7 1este*

7 Pa110

11

0 1366 = − =δ

δ ,

.

,u această valoare se trasea)ă diagramele de eforturi fig. 10.&" c" d" e/. #e

observă caracterul antisimetric al forţei tăietoare care se anulea)ă la

α π 04

=

pentru

care se obţine M Paα 0 0 0!051= , $

Deplasarea punctului > pe ori)ontală se determină prin metoda GoBr-

Ga!Nell*

M m

EI '@%

%

L= ⋅ ⋅∫

unde *

( )1366 ,0c@ @in2

Pam 7 M M 10 −+=⋅+= JJ α

π ∈

02

,

este funcţia moment real de pe bară" iar

m a% = ⋅ ⋅1 @inα [ ]α π ∈ 0,

este funcţia moment pentru o sarcină unitară aplicatăîn locul i pe direcţia

deplasării cerute pe structura sistemului de ba)ă fig. 10.&" f/.


35/61

( )∫ =⋅⋅⋅−+= 20

3

% EI

Pa1488 ,0' a @ina1366 ,1c@ @in

2

Pa

EI

12

π JJJJ

.

A,ica#ia 1&.1.(.


grinda continuă din figura 10.C. #ă se determine deplasarea pe verticală a punc-

telor 5 i


36/61

( )( )

=⋅+⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅+⋅

=⋅+⋅⋅+⋅++⋅⋅+

0 pa2 ,3 pa41 ,06 a5 pa2 a5a5F M 2a5 M

0 pa01 ,1 pa6! ,06 a5 M a5a4F M 20

33232

3332

⋅=⋅+⋅

⋅−=⋅+⋅ −3

32

4F

332

pa3 ,6 M a20 M a5

pa08 ,10 M a5 M a


37/61


38/61

ig. 10.C.

+

⋅=⋅+⋅

⋅=⋅−⋅−3

32

332

pa3 ,6 M a20 M a5

pa32 ,40 M a20 M 36

31a⋅ M 2.46,!1 pa3⇒ M 2.1,50! pa2

pa5 ,13 pa08 ,10F 5

1 M a pa08 ,10F

5

1 M 332

33 ⋅+⋅−=⋅−⋅−=

⇒ M 3.0,!02 pa2

#e calculea)ă reacţiunile*

M 2.> 1⋅4ap⋅4a⋅2a ⇔ 1,50! pa2

.> 1⋅4a8⋅ pa2

⇒> 1.1,623 pa M 3.> 1⋅ap⋅a⋅4,5a > 2⋅5apa⋅2a

pa11 ,4a5

pa6 pa5 ,40 pa623 ,1 pa!02 ,0>

2222

2 =−+⋅−⋅

=⇒

M 3.pa⋅!a > 4⋅5a 2pa⋅2a

pa34 ,2a5

pa4 pa! pa!02 ,0

>

222

4 =

++⋅

=⇒

∑ M 1.0

⇒pa⋅16a > 4⋅14a 2pa⋅11a> 3⋅a3pa⋅!ap⋅a⋅4,5a > 2⋅4a.0

pa18 ,0a5

a4 pa11 ,4 pa5 ,40 pa21 pa22 pa14 pa34 ,2 pa16 >

2222

3 =⋅−+−+⋅−

=⇒

Eerificare* ∑ = y.0 ⇒ 12pa

2 . 3pa2> 1 > 2 > 3 > 4

orţele tăietoare din diagramă au valorile*

? 1. > 1.1,623 pa"

? 2 @ . > 1p⋅4a.2,3!! pa"


39/61

? 2 ' . ? 2 @ > 2.2,3!! pa4,11 pa.1,!42 pa"

? 5 @ . ? 2 ' p⋅3a .1,258 pa"

? 5 ' . ? 5 @ 3pa .1,!42 pa"

? 3 @ . ? 5 ' p⋅2a .0,258 pa"

? 3 ' . ? 3 @ > 3 .0,66 pa"

? ! .pa"

? 4 ' . ? ! .pa"

? 4 @ . pa > 4.1,34 pa"

? 6 ' . ? 4 @ . 1,34 pa"

? 6 @ . ? 6 ' 2pa .0,66 pa. ? 3 ' $

Gomentele încovoietoare din diagramă au valorile*

M 1.0" M ! .0"

M 2.1,50! pa2" M 3.0,!02 pa

2" M 4.2 pa2"

M 6 .pa⋅5a> 4⋅3a.2,02 pa2"

M 5.> 1⋅!ap⋅!a⋅3,5a> 2⋅3a.1,623pa⋅!a24,5pa24,11pa⋅3a.0,!82 pa2$

?entru secţiunile periculoase din diagrame avem*

"a623 ,1 p

pa623 ,1 x01 ==

"a!42 ,1 p

pa!42 ,1 x02 ==

"a!42 ,1

p

pa!42 ,1 x03 ==

" pa31! ,12

a623 ,1a623 ,1 pa623 ,1> M 21 x01 =⋅⋅−⋅=


40/61

" pa01 ,0a!42 ,1> 2

a!42 ,1a4F p a!42 ,1a4F > M 22

2

1 x02=⋅+

+⋅−+⋅=

$ pa!35 ,0a!42 ,1 pa3 Ea!42 ,1a3F > 2

Ea!42 ,1a! F p Ea!42 ,1a! F > M 22

2

1 x03=⋅++⋅+

+⋅−+⋅=

#ecţiunea periculoasăva fi*

=

−=2' pa02 ,2 M

pa34 ,1? 6 BP

?entru determinarea deplasărilor pe verticală a punctului ) fig. 10.10.a/ se

aplică ecuaţia lui ,lape=ron între punctele 2i " ca) în care avem*

,

,a

a 3a

3

,

,

1"135 pa3

0"5 pa3

M

M

5

<.

2Pa

3a a

0 L

' A

1

112 =⋅

0 L

' A

2

323 =⋅

a. b.

ig. 10.10.

+⋅++⋅+⋅=

−+

−a2 M a3a2F M 2a3 M

a2

::

a3

:: EI 6 352

3525


41/61

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+ aa2 pa5 ,0

3

2

2

1a5 ,1a3 pa125 ,1

3

2

a3

16 22

dar* v3: v:0" atunci*

pa333 ,0 pa125 ,1F 6 a2 pa!02 ,0a5 pa!82 ,0F 2a3 pa50! ,1:a

EI 5 332225 ++⋅+⋅−+⋅−=⋅

EI

pa43!8 ,0:

4

5 −=⇒

?entru determinarea deplasărilor pe verticală a punctului = fig. 10.10.b/ se

aplică ecuaţia lui ,lape=ron între punctele i 4" ca) în care putem scrie*

0F 6 a3 M a3a2F M 2a2 M a3

::

a2

:: EI 6 46 3

46 36 +⋅++⋅+⋅=

−+

−

dar* v: v:0" atunci*

a3 pa2F a5 pa02 ,22a2 pa!02 ,0:a

EI 5 2226 ⋅−+⋅⋅+⋅=⋅

$ EI

pa1208 ,3:

46 =⇒

A,ica#ia 1&..2.

#ă se ridice nedeterminarea i să se trase)e diagramele de eforturi pentru bara din figura10.3.

#istemul este simplu static nedeterminat" iar pentru re)olvarea acestuia se vaaplica ecuaţia celor trei momente relaţia 10.1/.

23

22 pa824 ,1a3 pa4a4> pa M =⋅−⋅+−=

⇒


42/61

⇒

( ) pa!06 ,3 pa13824 ,1a4

1> 23 =+=

2

12 pa824 ,1a5 ,1 pa2a4> a4a33

1

a3 p2

1

M =⋅+⋅+

+⋅⋅=⇒

⇒

( ) pa16 ,2 pa824 ,15 ,10a4

1> 21 −=+−=

22

21 pa5 ,1a5 ,2 pa2a4> a! pa4a8!06 ,3 pa M =⋅+⋅+⋅−⋅+−=

⇒

⇒

( ) pa03! ,1 pa648 ,55 ,1a4

1> 22 −=−=

Eerificare* = y =∑ 0

⇒ E1 E3 E3: - 0"5pa.


43/61

1 3 . 5 < (

, a 3"5a 1"5a a 3a a

2,a

4,a

,a2

7B

1'),a2

2,a

1

3

1"&(5pa3

4,a

3

pa3

,a2

T

M

Kpa

Kpa3

1"5

0"


44/61

2cuaţia celor trei momente este*

L M L L M L M A '

L

A '

L1 1 1 2 2 2 3

12 1

1

23 3

2

2 6 0⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅

=F

Din diagrame avem valorile*

L1.4a" L2.4a" M 1.1,5pa2" M 3.pa

2$

%tunci ecuaţia celor trei momente va fi sub forma*

A '

L a pa a

a a pa23 3

2

2 31

4

1

23 4

0 4

32 5

⋅= ⋅ ⋅ + +

= ,

deci*

4 1 5 2 8 4 6 4 53125 02 22 2a pa a M a pa a pa⋅ + ⋅ ⋅ + − + ⋅ = , F ,

⇒

M pa

a pa

2

322 18!5

16 1824= − = , ,

.

,%L,ILIL D2?L%#%64L@6

A,ica#ia ..1.

#ă se determine rotirea i deplasarea din punctul >/ pentru grinda din figura

C.13.a.


45/61

>

31

P

a 3a

Pa

M

.F.

T1f T1f

T2f

d*

c*

+*

a*

Pa

Pa Pa

> 1 1 3

ig. C.13.

Diagrama de momente este repre)entată în figura C.13.b." iar grinda fictivăîn figura C.13.c.

?entru determinarea forţei tăietoare fictive i a momentului de încovoiere

fictiv din punctul >/ se desparte grinda în două tronsoane. Eom avea în acest ca)*


46/61

1O ?entru tronsonul 1-3. Din ecuaţia de momente faţă de punctul 3 fig. C.13.d/

vom obţine*

$ Pa3

2

a2

a2

3

2a2 Pa

2

1

2 f 1? =

⋅⋅

=

3O ?entru tronsonul 1->

vom avea*

"5 a3

p

3 a3 p

324)

24)

p

>a*

+*

c*

d*

1"


47/61

$ Paa3

2a Pa

2

1a 3

f 1%f ? M =⋅⋅+⋅=

6otirea i săgeata din punctul >/ vor fi*

" EI 6 Pa!

EI z

2

z

%f % ? −==ϕ

$ EI

Pa

EI z

3

z

%f

%

M : ==

A,ica#ia ..2.

#ă se determine depla-sarea i rotirea din punctul > pentru grinda din figura

C.1.a.

?entru a uura calculul se va aplica metoda suprapunerii efectelor.

9n figura C.1.b este repre)entată diagrama de mo-mente produsă de forţa

concentrată pa/" iar în figura C.1.c este repre)entată diagrama de momente

produsă de forţa distribuită p/.

Prin)ile reciproce de rigiditate 24)/ împreună cu modul de încărcare suntrepre)entate în figurile C.1.c i d.

Eom avea în acest ca)*


48/61

( )

$ pa82 ,1a3 pa5 ,43

1

a6 ,12

pa25 ,2 pa65 ,4a4 pa4

2

1a6 ,1

2

pa2 pa8 ,2?

32

222

22

f %

−=⋅+

+⋅+

+⋅−+⋅+

−=

$ pa1! ,0

aa34

3a3 pa5 ,4

3

1a4a6 ,1

3

1

2

a6 ,1 pa25 ,2a4a6 ,1

3

2

2

a6 ,1 pa65 ,4

a43

2

2

a4a4a4a6 ,1

3

1

2

a6 ,1 pa2a4a6 ,1

3

2

2

a6 ,1 pa8 ,2 M

4

222

222

f %

=

=

+⋅+

+⋅

⋅+

+

⋅+

+

⋅

⋅+

+⋅

⋅+

+⋅

⋅−=

6otirea i săgeata din punctul >/ vor fi*

, EI

pa82 ,1

3

% −= H

4%

EI pa1! ,0: =

.

... Ecua#ia ceor trei !$"e#i a ui Ca,e3ron*

2ste utili)ată pentru calculul săgeţilor în trei puncte consecutive i" i1" i3

de pe bară.

Dacă se consideră o bară" încăr-cată cu un sistem de forţe oarecare" a cărei rigiditate estevariabilă în trepte" atunci se poate împărţi bara în diferite porţiuni care sunt determinate de punctele în care rigiditatea barei este discontinuă sau'i de punctele în care suntdiscontinuităţi ale sarcinilor.

,

P1

P2 P

4)1 4)3 4) iiD1 iD3

a*

+* Gi

GiD1 GiD3

ig. C.1


49/61

2cuaţia celor trei săgeţi se scrie luându-se în considerare cele două porţiuni

de pe bară delimitată de punctele i" i1" i3.

9n figura C.1


50/61

%plicând ecuaţia C.35/ pentru cele două grupe de puncte" vom obţine*

z z z

2101

I 2

a2aP

I 2

a2

I aP 5

a2

:::: E 6 ⋅−

+⋅−=

−+

− ++

( )

+⋅−+⋅−=

−+

−

z z z

3212

I

a

I 2

a2aP 2

I 2

a2aP 5

a

::

a2

:: E 6

34) 4)

1 3

P P

3a a

5?a

?a

G

a*

+*

c*10 3 34) 4)

3a aε

ig. C.1(.

Dar v0:v1:0 i în acest ca) vor re)ulta următoarele ecuaţii*


51/61

z

22

I

P a6

a2

: E 6 −=

−

z

2

322 I

P aa ::a2: E 6 −=

−+

de unde va re)ulta*

z

2

2 I

P a2: =

i

$ I

P a5 ,4:

z

2

3 =

A,ica#ia ..).

#ă se determine valorile săgeţilor din punctele 1" >" " pentru grinda din

figura C.1&.a" tiind că este confecţionată din oţel" iar secţiunea transversală este

constantă i are 4):1(10 cm.


52/61


53/61

ig. C.1&

F'm

15 >Fm

5"< >Fm

& >F

3

(


54/61

Dacă se aplică ecuaţia C.35/ pentru cele trei puncte i dacă se dă factor

comun 4)va re)ulta*

( )23

32323323122121

13

23

12

12 z

l

' A6 l M l l M 2l M

l

::

l

:: EI 6

⋅⋅+⋅++⋅+⋅=

−+−=

9n acest ca) valorile termenilor utili)aţi vor fi*

v3 : 0+ v : 0+ G1 : 0+ v1 este valoarea care trebuie determinată+

l13 : 1"3 m+ l3 :"3 m+ G3 : -5"< >Fm+ G : -15 >Fm+

&"1Fm3 ve)i figura C.1&.c/+

d : 1"< m.

Ea re)ulta pentru săgeata din punctul 1/*

( )

( ) ( )

$mm352 ,2m002352 ,0

2 ,3

6 ,184 ,1636 2 ,3152 ,32 ,16 ,452

101!10102106

2 ,1

l

' A6 l M l l M 2

EI 6

l :

86

23

32323323122

z

121

==

=

⋅⋅+⋅−+⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅=

=

⋅+⋅++−=

−

C.0/

?entru determinarea săgeţii din punctul >/ se iau în considerare porţiunile

de grindă delimitate de punctele 3->-. Deoarece în punctul >/ nu este rea)em" se

va considera un rea)em arbitrar" conform figurii C.1&.d.

%plicând ecuaţia C.35/ pentru cele trei puncte va re)ulta*


55/61

( )

⋅+

⋅+

+⋅++⋅+⋅=

−+

−

l

' A

l

' A

l M l l M l M l

::l

::

3%

33%

% 2

2% 2

3% 33% % 2% % 223%

3%

% 2

2% z

6

2 EI 6

9n acest ca) valorile termenilor utili)aţi vor fi*

v> valoarea ce trebuie determinată+ v3 : v : 0+

L3> : l> : 1"< m+ G3 : -5"< >Fm+ G> : -


56/61

G3 : -5"< >Fm+ G : -15 >Fm+ G : -15 >Fm+

l3 : "3 m+ l : 0"( m+

%3 :

3

R"3R(Fm ve)i figura C.1&.c/

d3 : 1"< m

Ea re)ulta pentru săgeata din punctul /*

( )

( ) ( )

mm4 ,32m0324 ,0

2 ,3

6 ,184 ,1636 ! ,015! ,02 ,31522 ,36 ,45

101!10102106

2 ,3

l

' A6 l M l l M 2l M

EI 6

l :

86

23

22334434233232

z

344

==

=

⋅+⋅−+−⋅+⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅−=

=

⋅⋅+⋅+++⋅⋅−=

−

A,ica#ia .4.5.

#ă se determine deplasarea punctului > pentru bara din figura de mai jos fig.

C.1/. 6igiditatea barei este constantă.

?entru re)olvarea acestei probleme se utili)ea)ă ecuaţia lui ,lape=ron*

( )

⋅+

⋅+⋅+++⋅=

−+

−⋅

2

323

1

1122321211

2

32

1

12

L

' A

L

' A6 L M L L M 2 L M

L

::

L

:: EI 6

> 1.a

a5 ,4a p5 ,1 pa10 2 ⋅⋅+

N > 1.!,86 pa

> 3.a

5 ,4a p5 ,1a4 pa2 ⋅⋅+⋅

N > 3.!,64 pa

#e cunosc v1:v:0+ L1:


57/61

A23.

a38

a p5 ,1

3

2 L M

3

2 2⋅

⋅⋅=⋅

.3,3!5 pa3

a3

1

a5 ,1 pa3!5 ,3 L

' A 3

2

323

⋅⋅=⋅

M

3

2

323

pa685 ,1 L

' A

=⋅

2

a6 a6

8

a36 p5 ,1

3

2

3

a6 a4a6

a6

a4a2 pa2

2

1' A' A' A

2O 1

O 12

D 1

D 12112 ⋅⋅

⋅⋅+

+⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅+⋅=⋅

M

444112 pa6! ,10! pa81 pa6! ,26 ' A =+=⋅


58/61

9nloc

uind în

ecuaţia lui

,lape=ron

M

a

a

%S13

3aa

("


59/61

M

=

+

a3

:

a6

: EI 6 22

6,16pa2F6a3aE 6F1,685pa31!,45pa3 E

T al barei din figura de mai jos fig.C./*

#e aplică metoda EereceagBin*

" L M 3

1 A1 ⋅⋅= " L M

2

1 A2 ⋅⋅=

A3.ML"

∑ ⋅

= EI

m M Ω δ

" EI

m Q M % ∑ ⋅= 9 ∑ ⋅= " EI

m: > M % 9 ∑ ⋅=

EI mD M

% 9 H


60/61

mPu

a

%3

a

3a

2,a

p

24

%1

%

."5

."5

.

G

Kpa

aa

a34

3

mu

Ka

1

1 1

mv

Ka

a2

3

2

3a

mS

1

1>

ig. C..

( )( ) ( )

−

⋅⋅−+−⋅−+

−

⋅⋅−= a3a2 pa4

2

1a3a2 pa5 ,4a

4

a3 pa5 ,4

3

1

EI

1

222%

⇒ EI

pa125 ,4

4

% =


61/61

( ) ( )( )

−

⋅⋅−+−⋅−+

⋅⋅−= a

3

4a2 pa4

2

1aa2 pa5 ,4aa3 pa5 ,4

3

1

EI

1: 222%

N EI

pa32 ,14:

4

% =

( ) ( )( ) ( )

−

⋅⋅−+−⋅−+−

⋅⋅−= 1a2 pa4

2

11a2 pa5 ,41a3 pa5 ,4

3

1

EI

1 222% H

M

$

EI

pa5 ,1! 3

% = H

probleme rezi 2

Documents