Proiect didactic al lecţiei de matematicăGrupa: C221, profil realProfesor: Pelevaniuc NataliaData: 31.01.2013Numărul lecţiei în modul (conform proiectării didactice de lungă durată): 75-76/128Durata lecţiei: 80 de minuteModulul: Aplicaţii ale derivatelorSubiectul lecţiei: Probleme de maxim şi minim. Optimizări. Oră de sintezăCompetenţe:C1:C2:Subcompetenţele curriculare: S1:S2:S3:S4:Obiectivele lecţiei. La finele lecţiei elevii vor fi capabili:O1: să recunoască probleme de maxim şi minim;O2: să recunoască şi să utilizeze în rezolvarea problemelor practice algoritmul determinării extremului global al funcţiei;O3: să utilizeze derivata funcţiei la rezolvarea unor probleme simple de maxim şi minim;O4: să evidenţieze, în procesul rezolvării de probleme, avantajele pe care le oferă matematica în abordarea, clarificarea şi

rezolvarea unor probleme practice sau situaţii cotidiene.O5: să manifeste curiozitate şi imaginaţie în crearea strategiilor de rezolvare a problemelor;O6:O7:Tipul lecţiei: Lecţie de formare a capacităţilor de dobîndire a cunoştinţelor.Tehnologii didactice:а) forme de învăţare:- frontală;- în perechi;- în grup;

- individuală;b) metode de predare:- metoda expunerii problematizate;- metoda exerciţiului;- metoda asaltului de idei;с) mijloace de învăţămînt:1) Manualul Matematica pentru clasa a XI-a, autori: I. Achiri, ş.a., Editura Prut Internaţional, Chişinău, 2010.2) Fişe de lucru pregătite de profesor;Evaluare: formativă, evaluări orale şi în scris, lucrare independentă (fără aprecieri cu note).

Scenariul lecţiei

Nr. d/o

Secvenţele lecţiei

Tim

pu

l

Ob

iect

ivel

e

Activitatea profesorului Activitatea elevilor

Eva

luar

ea

1. Moment organizatoric

2 min.

Salută elevii. Notează absenţele în registru. Formulează subiectului şi obiectivele lecţiei.

Pregătesc rechizitele pentru lecţie. Elevul deserviciu anunţă elevii absenţi de la oră. Elevii scriu în caiete data şi tema lecţiei de azi.

Vizual

2. Verificarea temei pentru

acasă

7 min.

-Care a fost tema pentru acasă?

-Numiţi funcţia, care aţi obţinut la rezolvarea punctului 2.a, cum aţi lucrat pentru a o determina?

-Ce reprezintă grafic funcţia obţinută?

-Cum aţi lucrat pentru a determina aria maximă a acestui triunghi?

-Cum altfel se putea de rezolvat ultimul punct al problemei?-Explică succint paşii efectuaţi.

-De repetat algoritmul de determinare a extremelor globale şi locale ale funcţiei.-De rezolvat problema 2, de la pagina 158, punctul B.

f : [0 ;a ] → R , f ( x )= x (a−x )2

-Am notat o catetă prin x, atunci cealaltă va fi a - x. Aria triungiului dreptunghic îl determinăm ca semiprodusul catetelor.-Graficul acesteia reprezintă o parabolă, cu

vîrful în ( a2

;a2

8 ), care interesectează axa Ox

în puntele (0 ;0 ) (a;0 ), şi axa Oy în puntul (0 ;0 ).-Deoarece funcţia obţinută este una de gradul II, cunoaştem că ea admite un extrem în

vîrful parabolei, adică în punctul ( a2

;a2

8 ), unde xmax=

a2

, şi deci Amax=a2

8.

-Aplicînd derivata.

-Calculăm derivata funcţiei f (x), obţinem

Evaluare orală

Apreciez corectitu-

dinea rezolvării

f ' ( x )=a2−x, egalăm derivata cu 0 şi obţinem

x=a2

, deoarece f ' ' ( x )=−1<0, ⇒ x=a2

–

punct de maximum local, şi prin urmare

f ( xmax )=a2

8 este maximul local al funcţiei, la

extremele intervalului avem f (0 )=f ( a )=0, deci rămîine maximul funcţiei şi prin urmare

şi aria maximă Amax=a2

8.

3. Reactualizarea cunoştinţelor

şi a capacităţilor

15 min.

O2

O3

-Să ne amintim algoritmul de determinare a extremelor globale ale funcţiei f : [a;b ] → R.

Activitatea cu fişa din Anexa 1.-Formăm grupuri a cîte 4-5 elevi, din băncile vecine. Aveţi la dispoziţie 5 minute pentru fişa de lucru propusă.-Se solicită determinarea extremelor globale ale funcţiei: a) f : [−1 ;2 ] → R , f ( x )=x4−8 x2+3;b) g : (0 ;e )→ R ,g ( x )=x−2lnx;

c) h : R → R , h ( x )= x+1

x2+3;

(Răspusurile corecte sunt prezentate în Anexa 2)– Cum aţi procedat în fiecare situaţie?

-Se află valorile funcţiei la capetele intervalului. -Se află punctele critice ale funcţiei f, adică se rezolvă ecuaţia f ' ( x )=0. Se calculează valorile funcţiei f în punctele critice determinate şi se compară valorile acesteia la capetele intervalului.Cea mai mică din aceste valori va fi minimul global al funcţiei f date.Cea mai mare din aceste valori maximul global al funcţiei date.

Elevii lucrează la însărcinarea propusă de profesor.

Grupurile de elevi care au avut una şi aceeaşi însărcinare, verifică răspunsurile obţinute.Se explică succint rezolvarea fiecărui grup.

Evaluarea orală

Verific corectitu-

dinea expunerei

Urmăresc lucrul

fiecărei echipe

Apreciez răspunsu-

rile

4. Preadarea-învăţarea

materiei noi

15 min.

O1O2O3O4O5

Crearea situaţiei problemă:-Din antichitate s-a păstrat legenda despre o problemă, cunoscută ca problema Didonei.Regina Finikhiei (sec. IX î. Hr.) a hotărît să organizeze o colonie pe malul golfului tunisian din Africa de Nord. Ea l-a convins pe conducătorul tribului local să-i dea doar o porţiune de pămînt, care poate fi împrejmuită de pielea unui bivol. Ostaşii Didonei au tăiat în fîşii înguste pielea respectivă şi Didona a împrejmuit cu frînghia formată din fîşiile tăiate o porţiune de pămînt de pe malul golfului. Astfel a fost instituit oraşul Karphaghen.Aşadar, problema Didonei a constat în determinarea hotarelor lotului de pămînt cu aria maximală, care trebuie să aibă lungimea dată. Această problemă aparţine clasei de probleme numite probleme de minim şi maxim.-Aceste probleme au o mare importanţă aplicativă. Ne vom convinge în cadrul lecţiei de astăzi, în continuare lucrînd cu aşa tip de probleme.Să examinăm problema citită adăugînd, careva date la problemă, fie că lungimea frînghiei obţinute era de 75 m.Să determinăm algoritmul rezolvării problemei. Discutaţi în perechi şi peste 2 minute accept variantele de algoritmi propuşi pentru a rezolva problema.- Ce algoritm de rezolvare a problemei propuneţi? Se acceptă orice idee propusă. Se face generalizarea:

Lucrînd cîte 2, analizează rezolvarea pro-blemei.Notează algoritmul respectiv pe o foaie A4. Astfel apar mai multe soluţii de rezolvare a problemei.

Expun pe rînd ideile apărute.

Evaluarea orală

Urmăresc cum

progresea- ză

efecturarea însărcinării

Apreciez ideile

propuse

- Pentru a transpune rezolvarea problemei de maxim sau minim în limbajul matematic cu ajutorul unei funcţii de o singura variabilă ne vom folosi de următorul algoritm:1. Vom alege un parametru convenabil (de exemplu x) şi vom exprima marimele din problemă prin x. 2. Pentru mărimea, ce trebuie să atingă valoarea maximă sau minimă, vom alcătui o funcţie de variabila x.3. Vom găsi intervalul pe care funcţia trebuie să atingă valoarea maximă (sau minimă).4. Cu ajutorul derivatei vom determina punctele de maxim sau minim pe intervalul obţinut.5. Vom afla mărimea necunoscută din problemă şi dacă se cere şi valoarea maximă sau minimă.-Deci să revenim la cazul particular din problema noastră.

-Ce vom nota cu x?-Cum vom determina cealaltă latură?

-Cum vom alcătui funcţia de x, aplicînd care formulă?

-De ce anume această relaţie aplicăm?

-În continuare cum vom proceda?Monitorizează rezolvarea problemei.

Elevii îşi fixează în caiete algoritmul de rezolvare a problemelor de maxim şi minim.

Un elev trece la tablă.Scrie condiţiile problemei şi reprezintă desenul.

-Una din laturile dreptunghiului îngrădit.-Ştiind că perimetrul dreptungiului este 75

m, vom obţine că cealaltă latură este 75−2 x

2.-Vom aplica formula pentru calculul ariei

unui dreptunghi, deci A ( x )=x ∙75−2 x

2.

-Pentru că ne interesează lotul de pămînt cu

Ghidez lucrul la

tablă

x 75−2 x2

suprafaţa maximă, deci merge vorba de arie.Rezolvare:

A' ( x )=752

−2 x, iar din A' ( x )=0 avem

752

−2 x=0 ⇒ x=754

, şi deoarece A' ' ( x )=−2

⇒ x=754

– punct de maxim local al funcţiei

date, deoarece ea este o funcţie de gradul II, acesta este unicul punct de maxim al ei.

A ( xmax )=754

∙75−2∙

754

2=

754

∙754

=5625

16 m2.

5. Consolidarea materiei şi formarea

capacităţilor

15 min.

O1O2O4O5

Activitate frontală:Aplicăm algoritmul analizat la rezolvarea unei alte probleme:-De găsit aşa un număr strict pozitiv, pentru care diferenţa dintre el şi cubul său să fie maximă. De aflat diferenţa maximă.-Citiţi primul punct al algoritmului de rezolvare a problemelor de maxim şi minim. Ce trebuie să efectuăm urmărind acest pas?-Citiţi punctul doi al algoritmului de rezolvare a problemei. -Cu ajutorul cărei funcţii, problema se traduce în limbaj matematic?-Ce ne propune punctul trei al algoritmului?-Ce metodă învăţată poate fi utilizată pentru a determina valoarea lui x, cît şi valoarea maximă a funcţiei d?-Citiţi punctul patru al algoritmului. Ce urmează să efectuăm?

Notează condiţia problemei.

Un elev citeşte din caiet primul punct al algoritmului.-Notăm numărul necunoscut prin x.

Un elev citeşte al doilea punct al algoritmului respectiv.-Pentru diferenţă obţinem funcţia d(x) = x - x3 .Pentru valorile lui x vom pune următoarea condiţie x ∈ (0, +∞). -Pentru a afla valoarea lui x, unde diferenţa îşi atinge valoarea maximă, vom cerceta această funcţie cu ajutorul derivatei întîi.-Aflăm d ' (x )=1−3 x2, rezolvăm ecuaţia

d ' (x )=0 ⇔−3 x2+1=0⇔ x2=13

⇔ [ x=√33

x=−√33

Exerciţii orale şi în

scris

Apreciez răspunsurile

elevilor

-Ce concluzie puteţi face?

-Citind ultimul punct din algoritm şi făcînd concluzia din cele determinate pînă acum, ce vom scrie în răspunsul problemei?

. Aflăm semnul lui d ' (x ), deoarece d ' (x )

trecînd prin

√33 îşi schimbă semnul de la +

la – rezultă, că x =

√33 este unicul punct de

maxim pe intervalul (0, +∞) .

Deci diferenţa îşi atinge valoarea maximă în

punctul x =

√33 , iar diferenţa maximă dintre

x şi cubul său este

d (√33 )=√3

3−(√3

3 )3

=2√3

9.

6. Evaluarea 10 min.

O1O2O3O5

Lucrare independentăSe solicită rezolvarea problemei:Legea de mişcare a unui mobil este s ( t )=t3−6 t2+2. Să se determine:a) momentul în care acceleraţia sa este nulă;b) valoarea minimă a vitezei mobilului.Amintim că relaţiile dintre distanţă, viteză, acceleraţie sunt redate prin

Elevii rezolvă independent problema în caiete.

Lucrare indepen-

dentă

formulele: v (t )=s' (t ) ;a ( t )=v ' (t).Rezolvarea problemei propuse este prezentată în Anexa 3.Peste 5 minute profesorul afeşează pe o coală de hîrtie, rezolvarea corectă a problemei.-Care a fost dificultatea întîlnită la această problemă?

Elevii verifică rezolvările personale a problemei cu rezolvarea de pe tablă, corec-tează greşelile.-Răspund la întrebările profesorului.

Verific corectitudi-

nea rezolvărilor

7. Bilanţul lecţiei

15 min.

a) bilanţul cantitativ:-Care este algoritmul de rezolvare a problemelor de maxim şi minim?b) bilanţul calitativ:-Cum consideraţi, ce obiective au fost realizate astăzi la lecţie?-Care dintre obiectivele realizate anterior au fost necesare la lecţia de astăzi?-Să ne amintim cele studiate în modulul dat.* care este rolul primei derivate în studiul funcţiei?

*definiţi noţiunea de punct critic;

*formulaţi teorema despre monotonia unei funcţii derivabile;

*descrieţi algoritmul de determinare a puntelor de extrem local şi a extremelor locale;

Elevii răspund la întrebările formulate.

-Aplicînd derivata de ordin întîi, putem stabili intervalele de monotonie a funcţiei şi puntele de extrem local, şi extremele ei locale;-Punctele în care derivata funcţeiei ia valoarea zero, se numesc puncte critice ale funcţiei date;-Funcţia f este crescătoare (descrescătoare) pe un interval, dacă şi numai dacă f ' ( x )≥ 0 (f ' ( x)≤0).-Se calculează derivata funcţiei f, se rezolvă ecuaţia f ' ( x )=0, se determină semnul funcţiei f ' (x) pe intervalele pe care ea nu se anulează, se stabilesc intervalele pe care f ' (x) îşi păstrează semnul, se determină punctele de extrem local şi extremele locale ale funcţiei f.-Se află valorile funcţiei f la capetele intervalului [ a , b ], f (a) şi f (b), se află punctele critice ale funcţiei f, se calculează valorile funcţiei în punctele critice

Întrebări orale

*descrieţi algoritmul de determinare a extremelor globale;

*care este rolul derivatei a doua în studiul funcţiei?

*definiţi noţiunea de funcţie convexă;

*definiţi noţiunea de funcţie concavă;

*formulaţi teorema despre convexitatea, concavitatea unei funcţii de două ori derivabile;

*definiţi noţiunea de punt de inflexiune;

*descrieţi algoritmul de determinare a intervalelor de concavitate, de convexitate;

*enumăraţi tipurile de asimptote a graficului unei funcţii;*definiţi noţiunea de asimptotă

determinate şi se compară cu valorile acesteia la capetele intervalului, cea mai mică (mare) din aceste valori va fi minimul (maximul) global al funcţiei f pe [ a , b ].-Aplicînd derivata de ordinul doi, putem stabili intervalele de convexitate şi concavitate a funcţiei şi puntele de inflexiune a acesteia;-Funcţia se numeşte convexă, dacă tangenta la graficul funcţiei f se află sub acest grafic.-Funcţia se numeşte concavă, dacă tangenta la graficul funcţiei f se află deasupra acestui grafic.-Funcţia se numeşte concavă, dacă tangenta la graficul funcţiei f se află deasupra acestui grafic.-Dacă o funcţiei este continuă pe [ a , b ], de două ori derivabilă pe (a ,b) şi f ' ' ( x )≥ 0( f ' '(x )≤ 0) pentru orice x de pe (a ,b), atunci această funcţie este convexă (concavă) pe acest interval.-Punctul x0 este punct de inflexiune al funcţiei f, dacă în acest punct funcţia trece din concavă în convexă, sau invers.-Se calculează f ' ' ( x ) şi se rezolvă ecuaţia f ' ' ( x )=0 ale cărei soluţii pot fi puncte de inflexiune ale funcţiei f, se stabilesc intervalele pe care f ' ' ( x ) are semn constant, se determină punctele de inflexiune ale funcţiei f.-Graficul unei funcţii poate avea asimptote orizontale, oblice, verticale.-Dreapta de ecuaţie y = l este asimptotă orizontală la +∞ a graficului funcţiei f, dacă

orizonatală;

*definiţi noţiunea de asimptotă oblică;

*definiţi noţiunea de asimptotă verticală;

*descrieţi paşii parcurşi în reprezentarea grafică a unei funcţii;

Se fac concluzii privind activitatea elevilor în cadrul lecţiei. Se trec notele în registru.

limx→ ∞

|f ( x )−l|=0.

-Dreapta de ecuaţie y = mx + n, m ≠0, este asimptotă oblică la +∞ a graficului funcţiei

f, dacă limx→ ∞

|f ( x )−mx−n|=0.

- Dreapta de ecuaţie x = a, este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei f, dacă ea este asimptotă verticală la stînga, la dreapta sau de amble părţi.-Se stabileşte domeniul de definiţie a unei funcţii, se determină semnul funcţiei şi eventualele semetrii ale graficului, se calculează limite la capetele intervalelor, se stabileşte continuitatea funcţiei, se determină asimptotele, se studiază funcţia cu ajutorul derivatei de ordin întîi, cu ajutorul derivatei a doua, se completează tabloul de variaţie, se trasează graficul funcţiei.

8. Tema pentru acasă

1 min.

De învăţat paragraful 4 din modulul 6, iar pentru repetare luaţi paragrafele 1-3, pentru că la ora ce urmează vom scrie probă de evaluare. Pentru rezolvare luaţi problema B4, de la pagina 164.- Poftim întrebări privind subiectul lecţiei de azi.

Notează tema pentru acasă în caiete.

Anexa 1

Determinaţi extremele globale ale funcţiei:Grupul 1

a) f : [−1 ;2 ] → R , f ( x )=x4−8 x2+3;

Grupul 2b) g : (0 ;e )→ R ,g ( x )=x−2lnx;

Grupul 3

c) h : R → R , h ( x )= x+1

x2+3 .

Anexa 2Soluţia exerciţiilor propuse:

a) f : [−1 ;2 ] → R , f ( x )=x4−8 x2+3;

Rezolvare:Calculăm valoarea funcţiei la capetele intervalului: f (−1 )=1−8+3=−4,

f (2 )=16−32+3=−13.

Calculăm derivata funcţiei f ( x )=x 4−8 x2+3, f ' ( x )=4 x3−16 x.

Determinăm punctele critice al funcţiei date, adică rezolvăm ecuaţia

f ' (x)=0 ,⇔ 4 x3−16 x=0 , ⇔ 4 x (x¿¿2−4 )=0 ⇔[ x=0x2−4=0

⇔[ x=0x=2

x=−2¿ – puntele critice ale

funcţiei date.Calculăm valorile funcţiei în punctele critice determinate: f (0 )=0−0+3=3 ,

f (2 )=16−32+3=−13, f (−2 )=16−32+3=−13.Determinăm din valorile obţinute minimul şi maximul global al funcţiei f:

m=min {f (−1 ) , f (2 ) , f (−2 ) , f (0)}=min {−4 ,−13 ,3 ,−13 }=−13, valoarea minimă a funţiei şi

M=max {f (−1 ) , f (2 ) , f (−2 ) , f (0)}=max {−4 ,−13 , 3 ,−13 }=3, valoarea maximă a funcţiei.

Răspuns: minimul global al funcţiei f este m = -13, maximul global al funcţiei f este M = 3.b) g : (0 ;e )→ R ,g ( x )=x−2lnx;Rezolvare:

Calculăm valoarea funcţiei la capetele intervalului: limx →0

( x−2lnx )=−∞,

limx →e

( x−2lnx )=e−2 ≈ 0,71,

Calculăm derivata funcţiei g ( x )=x−2 ln x, g' (x)=1−2

x.

Determinăm punctele critice al funcţiei date, adică rezolvăm ecuaţia

g '(x )=0 ,⇔1−2x=0 , ⇔

x−2x

=0 ⇔ {x−2=0x≠ 0

⇔{x=2x ≠ 0

⟹ x=2 – punctul critic al funcţiei date.

Calculăm valoarea funcţiei în punctul critic determinat: f (2 )=2−2 ln 2 ≈ 2−1,38=0,62.

Determinăm din valorile obţinute minimul şu maximul global al funcţiei f: m= inf

x∈(0 ;e)g (x)=max {−∞ , e−2,2−2 ln2 }=−∞,

M =¿ x∈(0 ;e)g (x)=max {−∞ , e−2 ,2−2 ln 2 }=e−2 şi aceaste valori nu sunt atinse.Răspuns: minimul global al funcţiei f este m = - ∞, maximul global al funcţiei f este M = e -

2.

c) h : R → R , h ( x )= x+1

x2+3.

Rezolvare:

Calculăm valoarea funcţiei la capetele intervalului: limx→−∞

x+1

x2+3=0, lim

x→+∞

x+1

x2+3=0,

Calculăm derivata funcţiei h ( x )= x+1

x2+3, h

' ( x )= x2+3−( x+1 )2 x

( x2+3 )2 =−x2+2 x+3

( x2+3 )2.

Determinăm punctele critice al funcţiei date, adică rezolvăm ecuaţia

h '( x)=0 ,⇔−x2+2 x+3

( x2+3 )2=0 ,⇔ {−x2+2 x+3=0

( x2+3 )2≠ 0

⇔ { x=1x=−3 – punctele critice ale funcţiei date.

Calculăm valoarea funcţiei în punctele critice determinate: f (1 )=24=1

2, f (−3 )=−2

12=−1

6.

Determinăm din valorile obţinute maximul global al funcţiei f: m=infx∈ R

h(x )=max {−16

, 0 ,12 }=−1

6,

M =¿ x∈R h(x )=max {−16

, 0 ,12 }=1

2 şi această valoare este atinsă.

Răspuns: minimul global al funcţiei f este m = −16

, maximul global al funcţiei f este M = 12

.

Anexa 3Legea de mişcare a unui mobil este s ( t )=t3−6 t2+2. Să se determine:

a) momentul în care acceleraţia sa este nulă;b) valoarea minimă a vitezei mobilului.Amintim că relaţiile dintre distanţă, viteză, acceleraţie sunt redate prin formulele:

v (t )=s' ( t ) ;a (t )=v ' (t).Rezolvare:a) Determinăm acceleraţia funcţiei din relaţia:a (t )=v ' (t), observăm că mai întîi trebuie să

determinăm v(t) din relaţia: v (t )=s' (t ), ⇔ v (t )=3 t2−12 t . Prin urmare acceleraţia

a (t )=v ' (t )=6 t−12. Determinăm valoarea timpului t pentru care a(t) este nulă adică 6 t−12=0 ,⇒ t=2.

b) Punctul de minim al vitezei, poate fi punctul determinat din relaţia v ' ( t )=0, ⇒ t=2, şi

deoarece v ' ' (t )=6>0, ⇒ t=2 – punct de minim pentru funcţia v (t ), iar valoarea minimă al funcţiei

este v (2 )=3∗4−12∗2=12−24=−12.

Răspuns: momentul în care acceleraţia funcţiei date este nulă, este t = 2, valoarea minimă a vitezei mobilului este -12.

Anexa 4Harta Conceptuală, tema „Rolul derivatei I la studiul funcţiei”

Harta Conceptuală, tema „Rolul derivatei II la studiul funcţiei”

Harta Conceptuală, tema „Asimptotele graficului funcţiei”

Harta Conceptuală, tema „Reprezentarea grafică a funcţiei”