Control no lineal UCM-UNED 1

CONTROLNOLINEAL

Curso 2013/2014

1. Unosciladorlinealestdescritoporlaecuacindiferencial:

22 0z z z

Determinarlanaturalezadesupuntosingularenfuncindelparmetro.

2. Encontrarlospuntossingularesdelossistemassiguientes,linealizarlasecuaciones

ensuentornoydeterminarlanaturalezadedichospuntossingulares.

a))1( 22212

21

xxxxxx

b)12

1121

1 xxxxxx

c))1()1(

122

211

xxx

xxx

3. LasecuacionesdeVolterraLotkaparaecosistemassepuedenponerenlaforma

21 1 1 2 1

2 1 2 2 2 1

x x x x xx x x x x x

donde el trmino en representa el efecto de las enfermedades y de la

superpoblacinsobre laspresas yeltrminoenmodelaelefectoretardadoque la

alimentacin tiene sobre el depredador. Fijar dos valores positivos para y .

Encontrar lospuntosdeequilibrio,yestudiarsuestabilidady laposibleexistenciade

ciclolmite.

4. Unodelosmodelosdeecuacionesdiferencialesmsestudiadascomoejemplode

comportamientocaticoeseldeLorenz,quetienenlaforma:

Control no lineal UCM-UNED 2

3213

2132

121

)1()(

bxxxxxxxx

xxx

Con=10,=28,b=8/3,quecorrespondenaunmovimientocaticocuandou=0,

mostrarqueelsistematienetrespuntosdeequilibrio,unodeelloselorigen.Conu=

0, linealizar el sistema en uno de los puntos de equilibrio que no sea el origen y

verificarqueelsistemalinealesinestable.

5. ElmodelocaticodeRsslertienelasecuaciones

1 1 1 2 32

2 1 2

3 1 3

x x x x xx x axx bx cx

Localizarlospuntossingulares,elegirunodeellos(quenoseael0),linealizarentorno

alpuntoydiscutirlaestabilidadoinestabilidad.

6. Considerarelsistemadescritoporlaecuacindeestado

1 22 1 22 3

x xx x x u

Dondelasealdecontrolestcalculadaporu(t)=Kx(t),dondeK=[1,4].Lasealde

controlestlimitadaavaloresu(t)1.

UtilizarlafuncindeMatlabode45paradeterminareldiagramadefasedelasolucin.

Representar en un grfico las soluciones para distintos valores de las condiciones

inicialesmuyprximastodasalpuntodeequilibrio,eintegrarhaciaatrseneltiempo

usando como intervalo de integracin en ode45, [0, 20]. Probar luego con otras

condiciones iniciales que escojas integrando de 0 a 20 seg. Qu se puede extraer

comoconclusindelosresultados?