problemas sobre transformaciones 2d

PROBLEMAS RESUELTOS DE COMPUTACION

GRAFICA.

.

Jose Marıa Banon PinarUNIVERSIDAD DEL VALLE MELENDEZ

FACULTAD DE INGENIERIAPROYECTO SABATICO

19 Agosto 2010

Prefacio

El mundo en que vivimos, se encuentra repleto de avances tecnologicos. Enparticular, ello es evidente en el mundo de la computacion y particularmente de laComputacion Grafica. Existe una gran proliferacion de sistemas computarizadoscon interfases graficas. Los juegos virtuales, juegos de video y la enorme variedadde aplicaciones graficas en el desarrollo de software evidencia el gran avance deesta tecnologıa grafica.

Esta monografıa ha sido realizada como mi proyecto sabatico, como profesorde la Escuela de Ingenierıa de Sistemas y Computacion de la Facultad de Inge-nierıa de la Universidad del Valle. Tengo que agradecer, muy comedidamente, atoda la Escuela el haber hecho posible esta realidad.

1

Capıtulo 1

Problemas sobre

Transformaciones

Bidimensionales

1.1. Introduccion

En todos los sistemas graficos, para definir una escena, se necesitan colocar losobjetos que definen la escena en un sistema mundial de coordenadas. Los objetosse definen en su propio sistema de coordenadas. Se necesitan transformacionesque coloquen a los objetos en el sistema mundial de coordenadas [6, 9, 1].

En este capıtulo, se realizan problemas practicos sobre transformaciones en elplano. Principalmente, las transformaciones son: la traslacion, la rotacion, la esca-lacion y la transformacion de corte o de sesgo. Muchas veces, las transformacionesa realizar, es necesario construirlas a partir de transformaciones elementales. Esimportante componer las transformaciones para obtener una transformacion ge-neral y poder crear otras transformaciones a partir de las transformaciones basicasdefinidas [6, 9, 8, 18].

Problema: 1. Sean R y T matrices cualesquiera de rotacion y traslacion res-

pectivamente en coordenadas homogeneas y en el plano Euclıdeo. Verificar que

el producto matricial RT es diferente del producto TR. Es decir las matrices no

conmutan.

Sea la matriz de rotacion general,

2

CAPITULO 1. PROBLEMAS SOBRE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES3

R =

r11 r12 0r21 r22 00 0 1

Y sea la matriz de traslacion general,

T =

1 0 t10 1 t20 0 1

Entonces,

RT =

r11 r12 0r21 r22 00 0 1

1 0 t10 1 t20 0 1

=

r11 r12 r11 t1 + r12 t2r21 r22 r21 t1 + r22 t20 0 1

Sin embargo el producto TR vale,

TR =

1 0 t10 1 t20 0 1

r11 r12 0r21 r22 00 0 1

=

r11 r12 t1r21 r22 t20 0 1

Los resultados son diferentes.TR 6= RT Las matrices no conmutan.

Definicion 1. Una traslacion ,de parametros (δx, δy), es una aplicacion tal que

a cada vector (x, y) le hace corresponder el vector (x′, y′) tal que.

x′ = x + δx

y′ = y + δy

Problema: 2. Mostrar que en el plano R2 una traslacion no se expresa como

una transformacion matricial sino como una suma de vectores.

En efecto, teniendo en cuenta la anterior definicion, en el plano R2 una tras-lacion se escribe,

(

x′

y′

)

=

(

xy

)

+

(

δx

δy

)

lo cual representa una suma de vectores y no una transformacion matricial. Unade las grandes ventajas de trabajar en el espacio afin y por tanto con coordenadashomogeneas, es que la traslacion va a ser escrita en forma matricial.


Problema: 3. Verificar que la expresion de la matriz de traslacion, en coorde-

nadas homogeneas, corresponde a la definicion de traslacion.

La expresion de la matriz de traslacion de parametros (δx, δy) en coordenadashomogeneas es:

1 0 δx

0 1 δy

0 0 1

Aplicando la traslacion al punto (x, y) se tiene

x′

y′

1

=

1 0 δx

0 1 δy

0 0 1

xy1

=

x + δx

y + δy

1

Finalmente, como resultado, se obtiene la definicion de traslacion,

x′ = x + δx

y′ = y + δy

Problema: 4. Sean R(α) y R(β) dos matrices de rotacion, de angulos α y βrespectivamente, en el plano Euclıeo respecto al origen (0, 0) del sistema de re-

ferencia. Demostrar que la trnasformacion R(β)R(α) representa una rotacion

respecto al origen del plano de angulo α + β.

Las matrices R(α) y R(β), en coordenadas homogeneas, se escriben:

R(α) =

cos α − sin α 0sin α cos α 0

0 0 1

, R(β) =

cos β − sin β 0sin β cos β 0

0 0 1

Calculando la tranformacion R(β)R(α), se tiene,

R(β)R(α) =

cos β − sin β 0sin β cos β 0

0 0 1

cos α − sin α 0sin α cos α 0

0 0 1

Realizando el producto, y teniendo encuenta las formulas del cos(α + β) ydel sin(α + β) en funcion de los senos y cosenos de los angulos α y β se llegafinalmente a la expresion:


R(β)R(α) =

cos(α + β) − sin(α + β) 0sin(α + β) cos(α + β 0

0 0 1

= R(α + β)

Es decir la transformacion R(β)R(α) es igual a la tranformacon R(α + β),rotacion aldrededor del origen del plano Euclıdeo con angulo α + β.

Problema: 5. Sean en el plano dos lineas rectas paralelas: l1 y l2. Demostrar que

sus imagenes frente a una traslacion son lıneas rectas paralelas.

la ecuacion de la linea recta l1 en el plano en forma parametrica es,

x = x1 + p t1y = y1 + q t1

donde t1 es el parametrode la recta l1. La ecuacion de la recta l2 paralela a laanterior, se escribe,

x′ = x2 + p t2y′ = y2 + q t2

donde t2 es el parametro de la recta l2. La recta l2 es paralela a la recta l1 pueslos coeficientes p y q que representan la pendiente de las rectas son los mismos.La matriz de traslacion general es,

1 0 δ1

0 1 δ2

0 0 1

Aplicando la traslacion a la primera recta, se obtiene:

1 0 δ1

0 1 δ2

0 0 1

x1 + p t1y1 + q t1

1

=

x1 + p t1 + δ1

y1 + q t1 + δ2

1

La recta trasladada es una recta con la misma pendiente que pasa por el puntotrasladado ((x1 + δ1), (y1 + δ2)).

Asımismo, aplicando la traslacion a la segunda lınea se obtiene:

1 0 δ1

0 1 δ2

0 0 1

x2 + p t2y2 + q t2

1

=

x2 + p t2 + δ1

y2 + q t2 + δ2

1


La recta trasladada es tambien una recta con la misma pendiente que pasapor el punto trasladado ((x2 + δ1), (y2 + δ2)).

Como las pendientes de las rectas trasladadas son las mismas, ellas son para-lelas. En este problema, se deduce que una lınea trasladada es paralela ası misma.La traslacion preserva el paralelismo. Por tanto las lıneas trasladadas a dos lıneasparalelas son tambien lıneas paralelas.

Problema: 6. Sean en el plano dos lineas rectas paralelas: l1 y l2. Demostrar

que sus imagenes frente a una rotacion de angulo β y centro el origen (0, 0) son

lıneas rectas paralelas.

la ecuacion de la linea recta l1 en el plano en forma parametrica es,

x = x1 + p t1y = y1 + q t1

donde t1 es el parametro de la recta l1. La ecuacion de la recta l2 paralela ala anterior, se escribe,

x′ = x2 + p t2y′ = y2 + q t2

donde t2 es el parametro de la recta l2. La recta l2 es paralela a la recta l1 pueslos coeficientes p y q que representan la pendiente de las rectas son los mismos.

La matriz de rotacion de angulo β y centro el origen (0, 0) se escribe:

cos(β) − sin(β) 0sin(β) cos(β) 0

0 0 1

Aplicando la rotacion a la primera recta, se obtiene:


0 0 1

x1 + p t1y1 + q t1

1

=

x1 cos(β) + p cos(β)t1 − sin(β)y1 − q sin(β)t1y1 sin(β) + q sin(β)t1 + cos(β)x1 + p cos(β)t1

1

La recta l1 que pasa por el punto (x1, y1) despues de la rotacion pasa por elpunto rotado (x1 cos(β)+p cos(β)t1− sin(β)y1−q sin(β)t1, y1 sin(β)+q sin(β)t1 +cos(β)x1 + p cos(β)t1).

Asımismo, aplicando la rotacion a la segunda lınea se obtiene:



0 0 1

x2 + p t2y2 + q t2

1

=

x2 cos(β) + p cos(β)t2 − sin(β)y2 − q sin(β)t2y2 sin(β) + q sin(β)t2 + cos(β)x2 + p cos(β)t2

1

La recta l2 que pasa por el punto (x2, y2) despues de la rotacion pasa por elpunto rotado (x2 cos(β)+p cos(β)t2− sin(β)y2−q sin(β)t2, y2 sin(β)+q sin(β)t2 +cos(β)x2 + p cos(β)t2)

Como las pendientes de las rectas rotadas son las mismas, ellas son paralelasentre sı.

Definicion 2. En el plano, la escalacion Ssx,sy de un punto p = (x, y) en coorde-

nadas homogeneas es la aplicacion que le hace corresponder el punto p′ = (x′, y′),tal que x′ = sxx y y′ = syy, en notacion matricial:

Ssx,sy=

sx 0 00 sy 00 0 1

Problema: 7. Dar la expresiones en coordenadas homogeneas en el plano Euclıdeo

de las matrices de reflexion, Rex y Rey, en el eje x y en el eje y respectivamente.

Se puede comprobar que la reflexion respecto al eje y se escribe,

Rey =

−1 0 00 1 00 0 1

La matriz Rey transforma cualquier punto (x, y) en el punto (−x, y), es deciren su simetrico con respecto al eje y.

Ası mismo se comprueba que la reflexion respecto al eje x se escribe,

Rex =

1 0 00 −1 00 0 1

La matriz Rex transforma cualquier punto (x, y) en el punto (x,−y), es deciren su simetrico con respecto al eje x.

Son casos particulares de de la matriz de escalacion:


1. Cuando en la matriz Ssx,syde escalacion se tiene que sx = −1 y sy = 1, es

una reflexion sobre el eje y.

2. y cuando en la matriz de escalacion Ssx,syse tiene que sx = 1 y sy = −1,

es una reflexion sobre el eje x.

Problema: 8. Sean Rex y Rey las matrices, en coordenadas homogeneas, que

expresan respectivamente la reflexion respecto al eje x y al eje y. Se pide, calcular

las matrices que representan la reflexion, en el plano, respecto a la recta y = b y

la refexion en el plano, respecto a la recta x = a.

La reflexion respecto al eje x se escribe,

Rex =

1 0 00 −1 00 0 1

Y la reflexion respecto al eje y se escribe,

Rey =

−1 0 00 1 00 0 1

La matrix de refexion, en coordenadas homogeneas, respecto a la recta y = bse obtiene a partir de la matriz de reflexion respecto al eje x, mediante los trespasos siguientes:

1. Mediante la matriz de traslacion T(0,−b) en el eje y de cantidad −b lleva-mos la recta y = b al eje x o recta y = 0.

2. Aplicamos la matriz de reflexion respecto al eje x.

3. Mediante la matriz de traslacion en el eje y T(0, b) de cantidad b llevamosel eje x a la recta y = b. Es la aplicacion inversa de la primera aplicacionefectuada.

la matriz se obtiene entonces componiendo los tres pasos anteriores, es decires la composicion de las tres matrices senaladas,, como se detalla a continuacion:

T(0, b)RexT(0,−b) =

1 0 00 1 b0 0 1

1 0 00 −1 00 0 1

1 0 00 1 −b0 0 1


Finalmente se obtiene,

T(0,−b)RexT(0, b) =

1 0 00 −1 2 b0 0 1

Similarmente al caso anterior, La matrix de refexion, en coordenadas ho-mogeneas, respecto a la recta x = a va se obtiene a partir de la matriz de reflexionrespecto al eje y, mediante los siguientes pasos:

1. Mediante la matriz de traslacion T(−a, 0) en el eje x de cantidad −a lleva-mos la recta x = a al eje y o recta x = 0.

2. Aplicamos la matriz de reflexion respecto al eje y.

3. Mediante la matriz de traslacion en el eje y T(a, 0) de cantidad a llevamosel eje y a la recta x = a.

la matriz que se obtiene componiendo los tres pasos anteriores es la composi-cion de tres matrices, como se detalla a continuacion:

T(−a, 0)ReyT(a, 0) =

1 0 a0 1 00 0 1

−1 0 00 1 00 0 1

1 0 −a0 1 00 0 1

Finalmente se obtiene,

T(−a, 0)RexT(a, 0) =

−1 0 2 a0 1 00 0 1

Problema: 9. Dar la expresion en el plano y en coordenadas homogeneas de la

matriz de reflexion respecto a la recta x = y.

La recta x = y, en coordenadas parametricas se escribe,

x = ty = t

donde, t es el parametro de la recta. Una solucion consiste en llevar la rectax = y al eje y, realizar la reflexion pedida, y llevar la recta x = y a su posicionde partida.


Mediante una rotacion de -45 grados R−45 llevamos la recta x = y al eje y.

R−45 =

cos − 45 −sin − 45 0sin − 45 cos − 45 0

0 0 1

La matriz Re representa una reflexion en el eje y es decir Re hace corresponderal punto (x, y) el punto (−x, y), su simetrico respecto al eje y.

Rey =

−1 0 00 1 00 0 1

Mediante la matriz R45, que consite en una rotacion de 45 grados, llevamosel eje Y a la recta x = y.

R =

cos45 sin45 0−sin45 cos45 0

0 0 1

Entonces, la solucion consiste en la composicion de las siguientes matrices:

R45ReyR−45

Mediante la matriz de rotacion de -45 grados, R−45, llevamos la recta x = yal eje y.

Aplicamos la matriz de reflexion respecto al eje y.

Mediante la matriz de rotacion de R45 45 grados llevamos el eje y a la rectax = y.

entonces

cos45 −sin45 0sin45 cos45 0

0 0 1

−1 0 00 1 00 0 1

cos45 sin45 0−sin45 cos45 0

0 0 1

En definitiva, haciendo el producto se tiene que la matriz pedida vale,


0 1 01 0 00 0 1

La matriz aplicada al punto (x, y) le corresponde el (y, x).

Problema: 10. Dar la matriz, en coordenadas homogeneas, de la transformacion

que lleva el punto (2, 3) al punto (10, 14).

Se trata de una traslacion. Para ir de (2, 3) a (10, 14) se necesita aplicar unatraslacion con argumentos tx = 10−2 = 8 y ty = 14−3 = 11. Entonces la matrizde traslacion en coordenadas homogeneas sera:

T(8,11) =

1 0 80 1 110 0 1

Comprobacion: aplicando la traslacion al punto (2, 3) nos queda:

1 0 80 1 110 0 1

231

=

10141

La traslacion lleva el punto (2, 3) al punto (10, 14).

Aclaracion: Tanto el punto (2, 3) como el (10, 14), son puntos de R2, ellos seexpresan en coordenadas homogeneas de la forma (2, 3, 1) y (10, 14, 1).

Problema: 11. LLevar mediante una rotacion de 90 grados, el punto (5, 0) si-

tuado en el eje x, al punto (0, 5) situado en el eje y.

La rotacion concentro el origen (0, 0) de angulo π2

o 90 grados, se expresa dela manera siguiente:

0 −1 01 0 00 0 1

Ello debido a que cos(π2) = 0 y sin(π

2) = 1.

Apliquemos la anterior rotacion al punto (5, 0):


0 −1 01 0 00 0 1

501

=

051

=

La rotacion del punto (5, 0) es el punto (0, 5).

Problema: 12. Demostrar que la rotacion inversa de angulo θ es la rotacion de

angulo −θ.

La rotacion R(θ) de angulo θ viene representada por la matriz:

R(θ) =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

Igualmente, la rotacion R(−θ) de angulo −θ viene representada por la matriz:

R(−θ) =

cos(−θ) − sin(−θ) 0sin(−θ) cos(−θ) 0

0 0 1

=

cos(θ) sin(θ) 0− sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

Realizando el producto entre las dos se tiene que es igual a la matriz unidad:

R(θ)R(−θ) =

cos(−θ) − sin(−θ) 0sin(−θ) cos(−θ) 0

0 0 1

cos(θ) sin(θ) 0− sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Lo cual significa que la una es la inversa de la otra.

Problema: 13. Verificar que la matriz inversa de la matriz de traslacion T(a,b)

es la matriz de traslacion T(−a,−b).

Multiplicando las matrices T(a,b) y T(−a,−b) se tiene,

T(−a,−b)T(a,b) =

1 0 −a0 1 −b0 0 1

1 0 a0 1 b0 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

Lo cual significa que la una es la inversa de la otra.


Problema: 14. La Escalacion esta referida con respecto al origen (0, 0). Obtener

la Escalacion respecto a un punto cualquiera (a, b).

Para obtener la matriz de la Escalacion respecto a un punto cualquiera (a, b),se necesitan realizar los siguientes pasos:

1. Se lleva el punto (a, b) al origen (0, 0), mediante la traslacion T(−a,−b), esdecir con la matriz

T(−a,−b) =

1 0 −a0 1 −b0 0 1

2. Se aplica la Escalacion deseada pero respecto al origen (0, 0),

E(sx,sy) =

sx 0 00 sy 00 0 1

.

3. Se lleva el origen (0, 0) al punto (a, b) mediante una traslacion,

T(a,b) =

1 0 a0 1 b0 0 1

xy1

.

Es decir, la Escalacion E(a,b) respecto al punto (a, b) de parametros (sx, sy) es

E(a,b)(sx, sy) = T(a,b)E(0,0)(sx, sy)T(−a,−b)

es decir,

E(a,b)(sx, sy) =

1 0 a0 1 b0 0 1

sx 0 00 sy 00 0 1

1 0 −a0 1 −b0 0 1

Entonces, haciendo operaciones se obtiene la nueva matriz de escalacion E(a,b)

vale:

E(a,b) =

sx 0 a(1 − sx)0 sy b(1 − sy)0 0 1


Problema: 15. Que transformacion lleva el cuadrado B con esquinas diagonales

(1, 1) y (2, 2) en el cuadrado A que tiene dos esquinas diagonales en (3, 3) y (5, 3).

Se lleva el centro del cuadrado B al origen de coordenadas con la siguientetraslacion:

1 0 −1,50 1 −1,50 0 1

Tengamos encuenta que el punto (1,5, 1,5) es el centro del cuadrado B.

Ahora hay que rotar el cuadrado B 45 grados con el fin de posicionar los doscuadrados con la misma orientacion. Esto se realiza con la matriz de rotacionrespecto al origen con el angulo es 45 grados.

√2/2 −

√2/2 0√

2/2√

2/2 00 0 1

Se efectua una escalacion para que los dos cuadrados tengan el mismo lado.El lado de B vale 1. El lado de A vale

√2. Entonces hay que escalar por

√2

mediante la matriz de escalacion siguiente:

√2 0 0

0√

2 00 0 1

Finalmente hay que llevar el centro de B que esta en el origen al centro de A,el cual es (4, 3).

1 0 40 1 30 0 1

Problema: 16. Probar, en el plano Euclıdeo, que las transformaciones de sesgo,

shx y shy, en el eje x y en el eje y respectivamente cuyas expresiones son,

shx =

1 1 00 1 00 0 1

, shy =

1 0 01 1 00 0 1


1. Probar que shx transforma el cuadrado de vertices (0, 0), (1, 0), (0, 1), y

(1, 1), en el paralelepıpedo P cuyos vertices son (0, 0), (1, 0), (1, 1), y (2, 1).

2. Probar que shy transforma el cuadrado de vertices (0, 0), (0, 0), (0, 0), y

(0, 0), en el paralelepıpedo P ′ cuyos vertices son (0, 0), (1, 1), (0, 1), y (1, 2).

En las Figuras 1.1 y 1.2 se muestran las transformaciones de sesgo shx y shy

respectivamente.

Los vertices del cuadrado: (0, 0), (1, 0), (0, 1), y (1, 1), en coordenadas ho-mogeneas se escriben,

001

,

011

,

101

,

111

.

Veamos primeramente la aplicacion de la transformacion de sesgo shx a losvertices del cuadrado,

1 1 00 1 00 0 1

001

=

001

,

1 1 00 1 00 0 1

101

=

101

y

1 1 00 1 00 0 1

011

=

111

,

1 1 00 1 00 0 1

111

=

211

es decir, se obtienen en coordenadas homogeneas los vertices del paralelepıpe-do.

Veamos, la aplicacion de la transformacion de sesgo shy a los vertices delcuadrado da los vertices del paralelepıpedo P .

1 1 00 1 00 0 1

001

=

001

,

1 1 00 1 00 0 1

101

=

111

y


X X

YY

SHx

Figura 1.1: (a) Transformacion de Sesgo shx

X

Y

Y

SHy

X

Figura 1.2: (a) Transformacion de Sesgo shy

1 1 00 1 00 0 1

011

=

011

,

1 1 00 1 00 0 1

111

=

121

es decir, se obtienen en coordenadas homogeneas los vertices del paralelepıpe-do P ′.

Bibliografıa

17

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