problemas resueltos y propuestos de redes basica

Problemas resueltos l' propuestos ile Electrotecnia Bsica

Ing. Esteban Amador Martnez

Editorial Pueblo y Educacin

1

- '

Este libro, en tus manos de estudiante, es instrumeto de trabajo para co_shuir.t.~,J educacin. CudaJ> . :. . . :. para que-sirva tambin a Jos compaeros que te sigan.

Edicin: Prof. Caridad Arce Crespo Diseo: Vivan Lechuga Rodrguez Ilustracin: Roberto Surez Yeras

Primera reimpresin, 1988

. . . .Est~:J,;n Amador Martnez, 1985 Editorial Pueblo y Educacin, 1985

EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIN Calle 3ra. A No. 4605, entre 46 y 60, Playa, Ciudad de La Habana

SNLC:RB 01.27380.9

1

Prlogo

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""2 . Q .- '/ . . XL 1 -- 1 1

El presente libro ha sido concebido como complemento de/texto de Elec-trotecnia bsica utilizado actualmente para la imparticin de la propia asiR-natura. en las dVerentes especialidarles no elctricas de inf.(eniera. en la Educacin Superior. Su objetivo fundamental es el de brindar al estudiante una herramienta til para la ejercitadn de los diferentes temas abordado.s en esta asignatura.

Est dividido en captulos que abarcan los temas de mayor importancia. en la misma secuencia J' con el mismo enfoque que en e/ libro de texto. pre-sentando dos series. adecuadamente graduadas. de problemas resueltos .v problemas propuestos antecedidos por las definiciones necesarias y princi-pios fundamentales . relacionados con cada tema tratado.

El contenido abordado inclu.ve las aplicaciones de las leyes fundamen-tales de la electricidad. sistema de nmeros complejos. circ:uiios en serie. en paralelo y en serie-paralelo. circuitos trifsicos balanceados. diferentes tipos

' de mquinas elctricas y seleccin de los diSpositivos necesarios para su ade~ cuada instalacin y protecdn.

Deseamos expresar n~estro reconcx:imiento a todos los que. de una for-ma u otra. han colaborado en la realizacin de este libro. espedal'merue / Candidato a Dotor en Ciencias T(,.nicas Mariano Zerquera Izquierdo. Prqfesor Aiix.iliar dei Depa-rtamento de Electroenergiica de la Facultad de. lngenieria Elctrica de la Universidad Central de Las Villas. por sus valio sas sugerencias y !.(ti/ colaboracin:

El autor Santa Clara. /9X3

ndice. \f~,,

CAPTULO 1 CIRCUITOS DE CORRIEN1E D/Rr-"C1A _ Y SUS ELEMENTOS/ 6 /\ Introduccin/6 Problemas resueltos/14 Problemas propuestos/51

CAPTULO 2 CORRIENTES Y TENSIONES AL11:.'RNAS/ 5BJ..... Introduccin/58 Problemas resueltos/62 Problemas propuestos/72

CAPTULO 3 FASORES Y ALGEBRA COMPLE"JA/ 78 } Introduccin/78 ~ Problemas resueltos/84 Problemas propuestos/94

J 1

CAPTULO 4 CIRCUITOS MONOFASICOS DE CORRIENTf.: v ALJERNA/96 ""\ Introduccin/96 Problemas resueltos/! 02 Problemas propuestos/139

CAPTULO 5 POTENCIA Y ENERGA EN CIRCUITOS , DE CORRIENTE: ALTE'RNA/ 147 . J.< Introduccin/14 7 Problemas resueltos/154 Problemas propuestos/171

CAPTULO 6 CIRCUITOS TRIFASICOS BALANCEADOS/ 174 Introduccin/174 Probl~mas resueltos / 180 Problemas propuestos/195

CAPTULO 7 TRANSFORMADORES/ 199 { Introduccin / 199

/

Problemas resueltos/205 Problemas propuestos/235

CAPTULO 8 MQUINAS TRIFSICAS ASINCRNICAS)(_ O DE INDUCCIN/ 240 lntroduccin/240 ; Problemas resueltos/214 7 Problemas propuestos/265

CAPTULO 9 MQUINAS DE CORRIEN11:.. D/Rl::CTA/ 268 J - --- lntroduccin/268 . A

Problemas resueltos/27 5 Problemas propuestos/296

CAPTULO 10 INSTALACIN Y PR07ECCIN DE MOTORES ELCTRJ('OS/ 302 Introduccin/302 Problemas resueltos/323 Problemas propuestos/344

B/BL/OGRAFA/350

~

CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA Y SUS ELEMENTOS

INTRODUCCIN

Captulo 1

El anlisis y la solucin de los circuitos de corriente directa son de gran importancia. toda vez que en estos se aplican las leyes fundamentales de la electricidad y diferentes mtodos de solucin de circuitos elctricos que son tambin aplicables. con sus caractersticas particulares. en circuitos de corriente alterna. A continuacin se establecen las definiciones ms importantes. as como los ejercicios destinados a crear habilidades en los estudiantes en el an-lisis de estos circuitos. Se aclara que se utilizarn. como convenio. las letras minsculas para re-presentar las magnitudes variables con el tiempo. mientras que las mays-culas servirn para representar las que no varan con el tiempo.

LEY DE OHM

La diferencia de potencial u entre los terminales de un elemento de resis-tencia pura es directamente proporcional a la intensidad de la corriente i que circula a travs de l. La constante de proporcionalidad Rse denomi-na resistencia elctrica del elemento y su unidad de medida es el ohm (U). La expresin matemtica de esta ley es la siguiente:

u =iR. (1.1)

6

La potencia disipada (p) en un resistor R en el cual una corriente i pro-duce una cafda de tensin* u. viene dada por la expresin:

p = ui = i2R. (1.2)

Cuando se trate de una fuente o bateria cuya fuerza electromotriz (fem) sea .:ae valor e. y la corriente que drcula a travs de ella sea i. la po-tencia relacina~a con esta puede calcularse mediante la ecuacin:

p =ei. (1.3)

Ahora bien. una' batera puede entregar o tomar energia del circuito en que se encuentre conectada. Cuando la corriente que circula a travs de la batera posea un sentido coincidente con el sentido de polaridades (de menos (-) a ms ( +)). esta entrega energa al circuito en que se encuen-tra conectada. En caso contrario. la bateria recibe carga.

LEYES DE KIRCHHOFF

Ley de las corrientes La suma de las intensidades de corriente que entran a un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de l. Al considerar positivas las corrientes que entran y negativas las que salen, esta ley establece que la suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nodo es igual a cero: De acuerdo con el grfico mostrado en la figura 1.1, puede afirmarse que:

o tambin:

(1.4)

Fig. 1.1

En el libro de texto Electrotecnia bsica se utiliz voltaje por tensin elctrica. En este libro se utiliza simplemente tensin. (N. del E.)

7

Ley de las tensiones En un circuito cerrado o malla, la suma de todas las subidas de pot~ncial es igul a la suma de todas las cadas de potencial existentes, o sea, la su-ma algebraica de las diferencias de potencial en todo circuito cerrado o malla es nula.

' Subidas de L tensin = ' . Cadas de L tens.ip En el circuito de la figura 1.2 se tiene que:

o bien:

Fig. 1.2

R

--------~c::J~--------~

l i 1+'' (1.5)

Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff, es necesario tener en cuenta lo si-guiente :

a) Considerar como sentido de circulacin de la corriente a travs de cada circuito, el sentido de las agujas del reloj. Aunque este convenio es arbi-trario y no es imprescindible su estricta aplicacin. sirve para sistematizar la solucin de los problemas.

b) Al plantear las ecuaciones de tensin de Kirchhoff, debe recorrerse el circuito cerrado o malla en el mismo sentido de circulacin de las corrien-tes antes supuesto (el mismo sentido de las agujas del reloj). Como en el caso anterior, este convenio se sugiere igualmente a fin de sistematizar el procedimiento de solucin de los problemas.

e) Las fuerzas electromagnticas de las bateras o fuentes que contenga la malla han de sumarse algebraicamente, considerando como positivas las bateras cuyo sentido de polaridades (de menos (-) a ms ( +) coincida con el sentido en que se recorre el circuito, y como negativas las contrarias.

8

Es de suma importanci recordar que:

La polaridad de la diferencia de potencial a travs de un resistor depen- de de1 sentido de circulacin de la corriente a travs de este. Consid-rese, como convenio, que siempre es positivo el borne del resistJr por donde entra la corriente, y negativo el otro borne (fig. 1.3a y b). La polaridad de la diferencia de potencial a travs de una batera es in-dependiente del sentido de circulacin de la corriente a travs de ella. Considrese positivo el extremo correspondiente a la barra mayor del smbolo utilizado para su representacin grfica, y negativo el contrario (fig. 1.3c y d).

Recorrido del observador (de+ a--.:. ____ ..,.. + R

a) -----lc::::JI-----

------~ 1 Senti(jo de la corriente

El observador detecta una cada de potencial

Recorrido del observador (~-a+)

----~

E 1 + e) ---.-~~-----

_--.. -~ 1 Sef1!ido de

- .la corriP-nte

El observador detecta una subida de potencial

Fig. 1.3

b)

Recorrido del observador (de- a+)

----~

R + ----lc::::JI----

...... ._ ___ 1 Sentido de la corriente

El observador detecta una subda de potencial

d)

Recorrido del observador (de- a+) ____ ....,

_EI~----1 + -Sentido de

.. la orriente

El observador detecta una subida de potencru

Supong~se que en todos los casos mostrados, se recorre el circuito de iz-quierda a derecha.

RESISTORES CONECTADOS EN SERIE

En todo circuito en serie, la magnitud comn a todos los componentes de este es la corriente (fig. 1.4). La resistencia equivalente 1\,q de varios resistores conectados en serie p~ see un valor numricamente igual a la suma de todos los valores de las re-sistencias individuales, o sea:

(1.6)

9

R, R R.l R,

..

~~

Fig. 1.4

RESISTORES CONECTADOS EN PARALELO

En todo circuito en paralelo. la magnitud comn a todas las componentes de este es la tensin (fig. l. S) .

_.

Fig. 1.5

La resistencia equivalente ~q de varios resistores conectados en paralelo posee un valor numricamente igual al inverso de la suma de los inversos de todos los valores de las resistencias individuales. es decir:

1 ~=-------

1 1 1 1 +-+-+ ... +-(l. 7)

Rl R2 R) R,

Cuando se trate solamente de dos resistores conectados en paralelo. la ecuacin (1. 7) se convierte en la siguiente:

(1.8)

10

SOLUCIN DE REDES MEDIANTE EL MTODO DE CORRIENTES DE RAMA

Este mtodo de solucin de redes se aplica en los casos en que se desee co-nocer el comportamiento de varios de lo~ elem:etitos que componen una red dada. Definase. en primer lugar. que nodo o unin es el punto de un circuito. comn a dos o ms elementos de este:); en segundo. que rama de una red es la trayectoria que siguen las cargas elctricas entre dos nodos o unio-nes. Para utilizar este mtodo de solucin. es necesario:

l. Asignar a las corrientes un sentido de circulacin arbitrario. Como nor-ma. utilcese siempre el sentido dado por el giro de las agujas del reloj. 2. Aplicar la ley de las corrientes de Kirchhoff. n -l veces. siendo n el nmero de nodos o uniones de la red. 3. Aplicar la ley de las tensiones de Kirchhoff (r-(n - 1)) veces. siendo r el nmero de ramas de que consta una red. 4. Resolver las ecuaciones as obtenidas para calcular los valores de las corrientes de rama.

SOLUCIN DE REDES MEDIANTE EL MTODO DE CORRIENTES DE MALLA

Este mtodo de solucin de redes. al igual que el analizado anteriormente (de corrientes de rama). puede ser utilizado en los casos en que se requiere determinar el comportamiento de cantidades elctricas en varios de los elementos componentes de la red. Este mtodo presenta una gran ventaja sobre el de corrientes de rama. el cual consiste en que. luego de practicarlo brevemente. puede escribirse la forma de solucin para cualquier corriente de malla mediante determinan-tes por simple inspeccin de la configuracin del circuito. Deben escribirse tantas ecuaciones de tensin como mallas posea el circui-to. no requirindose para la solucin las ecuaciones de corriente. Como convenio a seguir. tambin se sugiere que se les asignen a las dis-tintas corrientes el sentido de circulacin coincidente con el de giro de las agujas del reloj y. al plantear las ecuacio.nes de tensin de K irchhoff. re-correr las mallas en el mismo sentido asignado a las corrientes. En la figura 1.6 se ilustra un circuito en el que se representan las corrien-tes de malla y rama. de donde se comprende que:

11

1, __.

+l ~N ~ /

-------.. Fig. 1.6

l .....

- ---

+'

Adems. se observa que 11 puede ser sustituido por la diferencia entre /1 e / 11 por circular ambas corrientes en scnttdos opuestos a travs de la rama central. o sea:

REDUCCI1\' DE REDES

Este mtodo resulta de mucha utilidad cuando no se requiere calcufar las magnitudes elctricas en los diferentes puntos del circuito. sino solamente en los extremos de la fuente de alimentacin. lo que requiere de un pro-ceso de simplificacin de la red. Esto es posible hacerlo siempre que no se encuentre incluida en la seccin de la red sometida a simplificacin nin-guna rama que posca un elemento activo (fuente de energa elctrica). Al aplicar este mtodo. los resistores que componen el circuito que se de-sea simplifil.:ar. deben ser combinados comenzando desde el punto de la red ms alejado de la fuente de alimentacin - no incluida en el proceso de reduccin- avanzando hacia dicha fuente. Es de suma importancia te-ner en cuenta que no es posible perder de vista los puntos entre los cuales se desea simplificar la red. Gno de los medios del que es posible valerse para simplificar redes pasivas con efectividad. adems de las conocidas operaciones con circuitos en se-rie. paralelo o serie-paralelo. es la conversin delta a estrella o estrella a delta.

CONVERSIN DELTA A ESTRELLA Y ESTRELLA A DELTA

El circuito pasivo de tres terminales formado por los tres resistorcs R1 R 2 y R 1 dispuestos en la forma mostrada en la figura l . 7a y b. constituye una conexin llamada delta.

12

Por otro lado. el circuito pasivo formado por tres resistores Ra. Rb y R,;. dispuestos en la forma representada en la figura l. 7c y d integran una co-nexin en estrella.

(/ (/

h

a)

R2 = R.,R, + Rb Re + RcRa

R, RJ = R.,R, + R,Rc + Rfla .

Re

TEOREMA DE THVENIN

(1.13)

(1.14)

Este teorema constituye una de las :n4~ tiles herramientas en la solucin de redes, especialmente cuando se desee estudiar el comportamiento de uno de los elementos de una red por separado. El teorema de Thvenin aplicado a circuitos de corriente directa establece que :

l. Cualquier circuito activo. energizado con una o ms fuentes de tensin. puede ser sustituido por una fuente de tensin. de fem Ern en serie con un resistor Rm. como se muestra en la figura l.8. /

/ _,

~ A Rm

A

RED + EH ACTIVA

L ORIGINAL B 1 Fig. 1.8

' ' ( . . . . 2. La tensin equival~te de Thvenin es el que aparece entre los tertriiri.ales A y B, inedido en circuito ~bierto.

3. t resistencia de Th'venin

R1-20 U

+

+ t: 100 V

Fig. 1.9

Solucin:

De acuerdo con lo analizado previamente. se asigna a la corriente el sen-tido de circulacin dado por el giro de las agujas del reloj. la cual produce en los resistores R1 y R2 del circuito. cadas de tensin con la polaridad mostrada en la figura l. 9. Sobre la base de lo establecido en la ecuacin (1.6) . la R.q es:

El valor de la corriente circulante puede calcularse mediante la aplicacin de la segunda ley de Kirchhoff (ec. l. 5). al circuito. De acuerdo con lo que se sugiere. el circuito se recorre en el sentido dado por el giro de las agujas del reloj y se obtiene:

Al sustituir valores:

100- 20 1-:)0 1=0.

de .donde:

1 = lOO V . = 2 A. so u

Tambn pudo haberse realizado el clculo utilizando el valor del resistor equivalente previamente determinado. o sea :

15

Al sustituir valores se tiene que:

100-50 1 =0

I =2 A. ,;

l . 2 En el circuito en serie de la figura 1.10, las fuerzas electromotrices de las bateras 1 y 2 son de 10 y 2 V. y los resistores R1 y R 2 de lOO y 50 U, respectivamente. Calcular:

a) Magnitud y sentido de la corriente. b) Polaridad y magnitud de la cada de tensin en el resistor R 1 e) Potencia disipada en resistor R1

a R 1 = 100 U b

-- R,~SO!i T ~---------------~c::J~------------~

Fig. 1.10

Solucin:

a) Al seguir las recomendaciones dadas previamente, puede plantearse la segunda ley de Kirchhoff (ec. 1.5), en el circuito cerrado en cuestin. y se obtiene:

Por tanto:

l = E 1 + E2 _ E, + E2 R1 +R2 Req

Al sustituir los valores numricos correspondientes se obtiene que:

16

l = 10 V +2 V toO U +50 U

lO V +2 V ------- = 0.08 A. 150!!

El signo positivo obtenido en el valo,r de la corriente indica que realmente su sentido de circulacin coincide con el supuesto prevJamente. b) Una vez determinado el sentido de circulacin de la c'orriente la travs del circuito. es posible afirmar que existe una cada de tensin desde el punto a hacia el b (fig. 1.10). Por el contrario. existe una subida de ten-sin desde el punto b hacia el a. El valor de dicha diferencia de potencial es:

Uab = lR1 =0.08 A 100 U =8 V.

e) La potencia en el resistor R 1 es. de acuerdo con la ecuacin 1.2. la si-guiente:

P = l 2R = (0.08 A) 2 100 U = 0.64 W.

J. 3 En el circuito mostrado en la figura 1.11 existe una cada de tensin desde el punto a hacia el b de 20 V. y desde b hacia d. una cada de ten-sin de 40 V. Determinar:

a) Magnitudes de las fuerzas electromotrices E 1 y Er b) Potencia entregada al circuito y consumida por este.

a h

" Fig. 1.11

Solucin:

a) Partiendo de la base de que existe una cada de tensin desde el punto a hacia el b. y tambin desde el punto b hacia el d. puede concluirse que la corriente circula a travs del circuito en el sentido dado por el giro de las agujas del reloj. De acuerdo con los datos de que se dispone. puede plantearse. de acuerdo con las ecuaciones (1.1) y (1.5). lo siguiente:

(1)

17

.;

Al sustituir valores en la ecuacin (1) puede calcularse el valor de la corriente, es decir:

Con este resultado pueden sust'kuirse valores en la ecuacin (2) obtenin-dose:

40 = 5 2 + 5 4 + E 2

de donde:

Para determinar el valor de la fem E 1 puede aplicarse nuevamente la se-gunda ley de K irchhoff. en l circuito cerrado. resultando como conse-cuencia:

o sea:

b) De acuerdo con lo planteado anteriormente. la potencia entregada al circuito proviene solamente de la batera de fem E1 mientras que la ba-tera de fem E 2 consume potencia del circuito. por tanto:

Potencia entregada (P,) =E1 1=90 V 5 A =450 W.

La potencia consumida por los resistores y la batera E2 del circuito tiene el valor siguiente :

Potencia consumida

Al sustituir valores :

P"=lOV-5 A+5 2 A 2 (4+2+4+6) 12=450W.

Debe notarse cmo se cumple el principio de conservacin de la energa. puesto que ha quedado demostrado que la energa entregada al circuito es numricamente igual a la consumida por l.

18

l. 4 Si a los terminales de una batera cuya fem es de 24 V se conectan dos resistores en paralelo de 12 y 6 U. como se ilustra en la figura 1.12.cal- . cular:

a) Corriente a travs de cada resistor. b) Corriente t.otal del circuito. . '-\, e) Potencia disipada en cada resistor. , .~~ !"!:' d) Potencia total absorbida por el circuiio.

a -.. / .. /2 + t,

+ E = 24 V -- J~ 1 = I2n --

Fig. 1.12

Solucin:

a) Por constituir este un circuito conectado en paralelo, la tensin resulta la magnitud comn en l, es decir. el valor de 24 V se aplica simultnett-mente a los resistores R 1 y R2 De acuerdo con la ecuacin (1.1). se tiene que:

E 24 V E 24 V 11=- =-- =2 A; 12=-. =-- =4 A. R1 12 U R2 6 U

b) Al aplicar la primera ley de Kirchhoff (ec. 1.4) en el nodo a del cir-cuito. s.e obtiene el valor de la corriente total l. o sea:

e) La potencia disipada en cada uno de los resistores se calcula mediante la ecuacin (1.2):

19

d) La potencia total absorbida por el circuito es:

Pr=PR +RR =(48 +96) W = 144 W. 1 2

Obsrvese que siempre se cumple el principio de conservacin de la ener-ga, ya que la potencia entregada por la nica batera del circuito es igual a la potencia consumida por este, o sea:

Pent = E / = 24 6 = 144 W.

J. 5 En el circuito que se muestra en la figura 1.13, calcular:

a) Valor de la corriente /. b) Potencia disipada en el resistor de 5 U .

.... , + F:~ 12V

15 n 20 u

Fig. 1.13

Solucin:

a) Para calcular el valor de la corriente 1 entregada por la fuente de 12 V. es necesario calcular la resistencia equivalente del circuito en primer tr-mino. Este resistor equivalente queda integrado por los resistores de 15 y 20 U conectados en paralelo entre sf. y esta combinacin en serie con el resistor de 5 U. Al aplicar primeramente la ecuacin (1.8). se tiene que;

R,q 20 . 15 =8,57 U. 1 20 +15

El circuito resultante de esta transformacin se muestra en la figura 1.14. El resistor equivalente total (R.q ) del circuito puede obtenerse mediante la ecuacin (1. 6) por constituir uh circuito en serie. Por tanto:

R.q,=5+R,q =5H+8.57!2=13,57 U. 1 .

20

5H

..,., + E ~ 12V

R ~ 8.57U ~ . {

e ; z t z. , + lz.. ,Zt. C-],Ll_f.. ---- - - - '2..

Fig. 1.14 fll..

El circuito equivalente resultante se muestra en la figura 1.15 .

..... ,

11 ~ 13.57 ~ '"

Fig. 1.15

En estas condiciones es posible calcular la corriente total del circuito en-tregada por la batera. la cual circula a travs del resistor equivalente R, ,

1,

total del circuito. la que resulta ser la misma corrienie que pasa a travs del resistor de 5 U en el cii:,cuito original mostrado en la figura l . 13. Lue-go:

1=..5_= 12 V ==0.884A. R,q2 13.57 u

b) Con el resultado obtenido es posible calcular la potencia elctrica trans-formada en calor en el resistor de 5 n mediante la ecuacin (1 . 2) :

PR =12 RI=(0.884 A) 2 5!2=3.9 w. 5 .

l. 6 Determinar en el circuito most rado en la figura l. 16 :

a) Magnitudes de las corrientes / 1 12 e 11. b) Potencia tomada por el circuito. e) Potencia entregada al circuito.

21

Debe utilizarse el mtodo de corrientes de rama en la solucin del proble-ma olanteado.

.!!

.... 1 +E~,..sov ---

Fig. 1.16

Solucin:

a) En primer lugar se asigna a las corrientes el sentido convenido. En se-gundo lugar se determina que el circuito posee solamente dos nodos, a y b, por tanto n = 2. En tercer lugar, el nmero de ramas- es 3, (r = 3). De acuerdo con lo establecido anteriormente, el nmero de ecuaciones a utilizar es: Ecuaciones de corriente: (n-1) =(2-1) = 1 Ecuaciones de tensin': (r-(n-1)) =(3-(2-1)) =2. Las ecuaciones a plantear son, de acuerdo con las dos leyes de Kirchhoff, las siguientes:

Ecuacin de corriente: 1

(1)

Ecuaciones de tensin:

(2)

(3)

Al sustituir la ecuacin (1) en la (2) y reducir trminos semejantes se tiene que:

(4)

(5)

22

Al multiplicar la ecuacin (5) por 3 para calcular el valor de /1 se obtiene: 50 V . . t\ ~ / ~

12 = --- = -0,909 A. 1\~ /./ 55 u ~' /,/~ ~

.... u _:./

-5(0,909) +20 /l =50. '-/ ,. . ' . ,..\)

,,"~/ ,..,,.. //\V

o sea:

11 =50 V -5 U (0,909 A) = 2.27 A.

, 20U

' \ V ' ".;\ ._, ,

't _ .. "SLJL (..\'>'-0:, /

\ \) . \ v\: / (, , / QA'\

/

Con los valores obtenidos de 11 e / 1 puede determinarse la magnitud de / 1 mediante la ecuacin (1) , de donde se obtiene:

11 = -0.909 A +2.27 A= 1.36 A.

b) La potencia es absorbida-en el circuito exclusivamente por los resistores de este, ya que en este caso, ambas bateras entrean potencia. Como con-secuencia, guede afirmarse que la potencia consumida (Pcons> es:

Pcons =(1,36 A) 1 10 U+( -0,909 A) 1 S U +(2,27 A) 1 20 U+ +(1,36 A} 1 . 30 u=

=18,496 w +4,13 w +103,1 w +55,5 w =181,226 w.

e) La potencia entregada

J. 7 Mediante el mtodo de las corrientes de rama. calcule en el circuito de la figura l. 17:

a) Magnitud de la corriente a travs de cada resistor. b) Potencia disipada en cada reo;io;tor del circuito.

, 10 !l

+ F, = 40V

~ -

L...---~ ~--' ____ .;;__j

Fig. 1.17

Solucin:

a) Nmero de las ecuaciones de corriente:

n-1=3-1=2.

Nmero de ecuaciones de tensin :

(r-(n-1)) =(5-(3-l)) =3.

Ntese que entre los nodos a y a' no existe componente elctrico alguno. Por tanto, ambos se pueden considerar el mismo punto, o sea. el mismo nodo a. Como consecuencia. el circuito consta de 3 nodos. denominados en la figura l. 17 por a. b y c. Estas ecuaciones son :

(!)

(3)

(4)

24

80 + 100 ls =0.

De la ecuacin (3) se deduce que:

1 = -40 V =2 A. 2 -20 u .

Asimismo, de la ecuacin (5) se obtiene que: .

-80 V ls = = -0,8 A.

100!2

Al sustituir (6) y (7) en (4), resulta lo siguiente:

20(2) -10 /J-60-100(-0,8) =0

40-10 ll - 60 +80 = 0

-60 V 1- =6 A. .1- -10 u

Al sustituir los valores de (6) y (8) en (1) :

11 =2 A+ 6 A = 8 A.

Al sustituir (7) y (8) en (2), se obtiene:

(5)

(6) '

(7)

/

(8)

El signo negativo obtenido en el resultado de la corriente 15 indica que esta circula realmente en sentido contrario al supuesto. Las dems corrientes poseen realmente el sentido inicialmente considerado.

b) Potencia disipada en el resistor de 20 U:

Potencia disipada en el resistor de 10 U:

P10 = 10 /i = 10 U (6 A) 2 = 360 W.

Potencia disipada en el resistor de 100 U:

P100 =100 l;=lOOU (-0,8 A)l=64 W.

25

1.8 En eJ circuito de la figura 1.18. calcular la tensin en los nodos 1 y 2 con respecto al ~odo 3. que es la referencia elegida. Utilice el mtodo

de corrient;,, de rama. ~) rJa .... . 6U H2 1s 6U 1- '3 . 2 .....

1 , '3 3

' , ' Fig. 1.18

Solucin:

Ecuaciones de corriente Las ecuaciones de corriente. en nmero de n -1 = 3 -1 = 2. son las si-'guientes:

Ecuaciones de tensin

(1)

(2)

Las ecuaciones de tensin. en nmero de (r- (n -1)) = (5- (3 -1)) = 3. son:

(3)

(4)

(5)

Al sustituir las ecuaciones (1) y (2) en las ecuaciones (3); (4) y (5). se tie-ne:

(6)

(7)

(8)

26

Al combinar trminos se llega a las ecuaciones siguientes:

12-81 +2 1, = 0 z "/: '"{}, 1 ~, .._ ')],_ . !!> (10)

(11)

La solucin simultnea de las ecuaciones (9). (10) y (11) da los resultados siguientes:

1, = 1.22 A: 1, = - 1.096 A: / 5 = - 2.68 A:

11 = 11 - 11 = 1.22 A-( - 1.096) A = 1.22 A + 1.096 A= 2.316 A

La tensin existente en el punto (1) con respecto al punto (3) de referencia (tf_3) es precisamente la diferencia de potencial producida por la corrien-te / 1 en el resistor de 2 U. por tanto:

U1 _ 3 =2 12 =2U (2.316 A) =4.632 V.

! El- signo positivo obtenido en el resultado implica que el potencial del pun-1 to 1 est a 4.632 V por encima del potencial del punto (3).

De forma similar. el potencial del punto (2) con respecto al punto (3) to-mado como referencia es:

U2 - 3 =5 14 =5 U 1.584 A =7.92 V.

Tambin en este caso, el potencial del punto (2) est por encima del po-tencial de referencia. de acuerdo con el signo positivo obtenido en la ten-sin calculada.

l . 9 En el circuito de la figura l. 19 calcular la potencia disipada en cada uno de los resistores que lo componen. Utilice el mtodo de corrientes de malla para solucionarloo

.. ....

'+ .r:.-=24Vr ' .,.g 1 -- 1, _ - /11

Fig. 1.19

27

Solucin:

De acuerdo con lo planteado nteriormente. deben trazarse en el circuito original las trayectorias de las dos posibles corrientes de malla. I1 e In.

Obsrvese que a travs del resistor de 3 !2 de la rama central circulan si-multneamente las corrientes I1 e In. ambas en sentido contrario. de acuer-do con los convenios establecidos. Ntese adems. que el resistor de 3 !2 se recorre en el sentido de la corriente I1 y en sentido opuesto a la corrien-te I 11 Por tanto. en el resistor de 3 n. I1 producir una cada de tensin e 111 una subida de tensin. Sobre esta base. la ecuacin de Kirchhoff co-rrespondiente a la malla de la izquierda es:

(1)

Al plantear la ecuacin correspondiente a la malla de la derecha. se ob-serva que el propio resistor de 3 H se recorre en el mismo sentido de I11 y en sentido contrario a I1 por lo que In produce una cada de tensin. mientras que I1 produce una subida de tensin al recorrer la malla en el sentido establecido. Sobre esta base. la ecuacin correspondiente a dicha malla es:

-3(/n-I1) -6 I11 =O. (2)

Al reducir trminos semejantes en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene :

-8 I1 +3 I11 = -24

3 I1 -9 I 11 =0.

Al aplicar determinantes:

28

D= 1-8

1 3

3

-9

Il =-1- 1-24 D : O

In=-1 -83 D

1=72-9 =63

3 1= 216 =3 ,43 A -9 63

-24

1 = _I!:_ = 1.143 A. o 63

(3)

De acuerdo con los resultados obtenidos puede calcularse la potencia di-sipada en cada uno de los resistores del circuito:

= 15.69 w.

1. JO Calcular la diferencia de potencial existente entre los extremos de los resistores del circuito de la figura 1.20.

Fig. 1.20

Solucin:

El circuito mostrado consta de 3 mallas. por lo cual deben plantearse 3 ecuaciones de tensin de Kirchhoff. Dichas ecuaciones son las siguien-tes:

(1)

(2)

(3)

Al sustituir valores en las ecuaciones(!). (2) y (3) St! obticn-::

48 - 3 / -5(/ -/11) = (4)

-5{/n -71) -4 /11 -6(/11 -/m) =0 (5)

(6)

Al reducir trminos semejantes resulta:

-8/1 +5 /11 = -48 (7)

5 /1 -15 /11 + 6 / 111 = O (8)

6 /11 -14 /111 =0. (9)

Al aplicar determinantes. se obtienen los resultados siguientes:

/ 1 =8.015 A: /11 =3.224 A e /111 = 1.382 A.

De los resultados obtenidos puede calcularse la diferencia de potencial a travs de: R1 R 2 R.~. R4 y R5 es decir: . .

UR =(/1-/11)R2 =(8.015 -3.224)A 5 U =23.95 V 2 .

Los signos positivos obtenidos en los resultados de las tres corrientes de malla implican que estas poseen realmente los sentidos de circulacin su-puestos. Luego. en los resistores R1, R, y R5 existe una caida de tensin en el sentido de las corrientes que circulan a travs de cada uno. Sin em-bargo, el terminal superior del resistor R 2 posee un potencial mayor que el inferior. puesto que. a travs de este. predomina la polaridad de la cai-da de tensin producida por /1. Mediante un razonamiento similar. se de-duce que el terminal superior de R4 posee un potencial ms alto que el in-ferior.

J. 11 En el circuito mostrado en la figura 1.21. calcular la potencia disi-pada en cada uno de los resistores que lo componen.

30

R1

=8 H

+ +

E3 = 12V

Fig. 1.21

Solucin:

Con el objetivo de calcular la potencia disipada en cada uno de los resis-tores del circuito. es necesario determinar el valor de las corrientes a tra-vs de cada uno de ellos. Al utilizar el mtodo de corrientes de malla. las ecuaciones de Kirc}lhoff necesarias son las siguientes:

(1)

-4(/11 -/1) -12 / 11 -24 -6(/11 -/m) =O (2)

(3)

Al reducir trminos semejantes, se obtiene:

-15 11 + 4 / 11 + 3 /111 = -6 (4)

(5)

3/1 +6/11 -9/m=-12. (6)

Al aplicar determinantes para la solucin de las ecuaciones (4). (5) y (6), resulta:

/ 1 =0.389 A; /11 = -0.759 A e Im =0.957 A.

31

Por consiguiente. los valores de potencia disipada en cada resistor son:

PR =nR1 =(0.389 A)2 8 12=1.21 w

1

PR =(/m-/1 ) 2 R4 =(0.957 A-0.389 A)2 312=0.968 W

4

l. 12 Calcular la resistencia equivalente existente entre los puntos a y h del circuito mostrado en la figura 1.22.

{/ 20U 12!!

4!!

h

Fig. 1.22

Solucin:

De acuerdo con lo sealado anteriormente, debe comenzarse a reducir la red desde el extremo ms alejado de los puntos entre los cuales debe cal-cularse R,q. teniendo sumo cuidado de no perderlos de vista. Aunque pue-de pensarse en la posibilidad de convertir una de las dos deltas de que consta el circuito en su estrella equivalente, una rpida ojeada a dicho cir-cuito revela que esta conversin complicara innecesariamente el proceso. en lugar de simplificarlo.

Luego. la primera conversin consistira en hallar R,.q . resultante de la combinacin en paralelo de los resistores de 4 y 6 U, id que da como re-sultado. de acuerdo con la ecuacin (1.8):

32

4 u . 6 !! (4 +6) u

= 24 !!2 =2.4 u. lO U

El circuito resultante de dicha conversin se muestra en la figura 1.23. en la cual se observa fcilmente que es posible reducir a un solo resistor equivalente (R.q ) la combinacin en serie de los resistores de 12 y 2,4 U.

2

R = 2,4 U '11

Fig. 1.23

Acorde con la ecuacin (1.6) se tiene que:

R.q = 12 U+ 2,4 U= 14,4 U. 2

En la figura 1.24 se ilustra el circuito que resulta de realizar esta reduc-cin. En l se observa claramente que los resistores de 11 U y de 14,4 U quedan conectados en paralelo. Al aplicar la ecuacin (1.8) nuevamente :

R,q 11 14,4 U 11 U R.q3 = R,q +11 = (14,4+11)U =

2

=6,236 u.

Fig. 1.24

El circuito se reduce al que se muestra en la figura 1.25. En este se ob-serva que R,q

3 queda en serie con S U, por lo que:

R.q =6,236 U +5 U =11,236 U. 4

33

(/ 20 u

R ; 6,236 U 1\'J

b

Fig. 1.25

La transformacin realizada conduce al circuito mostrado en la figu-ra 1.26. El prximo paso consiste en reducir a un solo resistor equivalente la combinacin en paralelo de los resistores de 11,236 y 3 U, lo cual se realiza mediante la ecuacin (1.8), o sea:

Fig. 1.26

3 n 11,236 n = 2 368 n. (3 + 11,236) n '

a 20 u

h

Una vez ms es posible dibujar el circuito resultante, el cual se ilustra en la figura l. 27. Finalmente, debe utilizarse la ecuacin (l. 6) para halliu la resistencia equivalente entre los puntos a y b:

Rab =20 n +7.368 n =22,368 n.

a 20 u

b Fig. 1.27

34

Por tanto, puede afirmarse que la resistencia equivalente que ofrece el cir-cuito mostrado en la figura l. 22 vista desde los puntos a y b es de 22,368 n. Dicho con otras palabras, el circuito de la figura l . 22 puede ser reempla-zado por el circuito equivalente simplificado mostrado en la figura 1.28.

a

R,. ~ 22.368 !!

h

Fig. 1.28

l . 13 Hallar la resistencia equivalente existente entre los puntos a y b en el circuito de la figura 1.29 mediante el mtodo de reduccin de redes.

Fig. 1.29

Solucin: -d--En el circuito considerado puede observarse cmo la red pasiva de la fi-gura no posee sus elementos intercalados en serie, ni en paralelo ni en se-rie-paralelo. En este caso es posible pensar en reducir la red mediante al-guna de las configuraciones conocidas, por ejemplo, logrando convertir una de las dos deltas que integran el circuito en cuestin en su estrella equivalente. (Ntese la diferencia que existe entre la posibilidad de acome-ter esta transformacin en este problema y en el problema 1.10. Vase que en este caso se logra una notable simplificacin. mientras que en el caso anterior el circuito se complicaba apreciablemente.)

35

Al proceder a col'lvertir. por ejemplo la delta compuesta por los resistores de 25, 10 y S U en su estrella equivalente, se obtiene. de acuerdo con las ecuaciones (1.9), (1.10) y (1.11). y la figura 1.30:

10 n. 2s n R.,.= (10 +25 + S)U =

6'25

U 10 n. s n

~ = (10 +25 +5)U =l,2S U . 25 U S U

Re =3,125 U. (10 +25 +S)U

{/ h

Fig. 1.30

El circuito resultante de esta transformacin es el que se muestra en la fi-gura 1.31. en el cual se le nombra e al punto intermedio entre los resis-tores en serie-paralelo y el de 3,125 n.

{/

Fig. 1.31

36

La resistencia equivalente del Circuito serie-paralelo incluido entre los puntos a y e de la figura 1.31 puede calcularse mediante las ecuaciones (1.6) y (1.8) de la forma siguiente:

RU< = (15 .... 6.25)U (5 + 1.25)U = 21.25 U 6,25 U = 4.83 U. (15 +6.25)U +(5 + 1.25)U 27,25 U

El circuito resultante de esta transformacin se muestra en la figu-ra 1.32a. Este, a su vez, puede reducirse a un circuito ms sencillo me-diante la utilizacin de la ecuacin (1.6). El resultado final ser el valor de la resistencia equivalente buscada entre los puntos a y b (fig. 1.32b), o sea:

Rab =4,83 u +3.125 u =7,955 n.

-tK~ !l 3.1~~ 1!

"' ,, ,

,, t Fig. 1.31

1. 14 Obtener la resistencia eqUivalente que presenta el circuito de la figu-ra l. 33 entre los puntos a y b.

Fig. I.D

L

r

37

Solucin:

Corno puede observarse, con respecto a los puntos a y b. la red analizada no constituye un circuito serie, paralelo ni serie-paralelo. Es necesario buscar un mtodo de solucin. Se observa que los resistores de 5, 6 y 4 U constituyen una delta. Si esta se convierte en su estrella equivalente. resulta el circuito mostrado en la figura 1.34. de acuerdo con las ecu.aciones (l. 9), (1.10) y (1.11).

R = 4 n 5 u = 1,33 u a (4 +5 +6)U

Rb= 4U 6U =1.6 n

(4 +5 +6)U 'D= 5U 6U '"< ----=2U.

(4 +5 +6)U

2!! h xu

Fig. 1.34

El circuito obtenido queda muy simplificado, puesto que se ha convertido en el circuito serie-paralelo de la figura 1.35a, el que, al reducir a un solo resistor los dos resistores en serie que componen cada una de las ramas en paralelo, se transforma a su vez en el de la figura l. 3 5 b.

R, 2 !!

,

38

2 !2

3.33 ~2

r h) -----------~

Fig. 1.35

El clculo de la resistencia equivalente Rab es ahora muy sencillo. partien-do de las ecuaciones (1.6) y (1.8), es decir:

Rab =2 U+ 3,33 U 9,6 U =4.47 U. (3,33 +9,6)U

Por tanto, el circuito equivalente simplificado, correspondiente al original mostrado en la figura 1.33, es el que aparece en la figura 1.36.

a

h

Fig. 1.36

l. 15 Calcular la magnitud de la corriente entregada al circuito de la figu-ra 1.37 por la batera de 12 V conectada entre los puntos a y b.

+.'; 12V

4!2

Fig. 1.37

39

Solucin:

Al utilizar el mtodo de reduccin de redes para resolver este circuito, basta determinar la resistencia que l ofrece a la fuente de 12 V entre los puntos a y b para calcular la corriente entregada por la misma, haciendo uso de la ley de Ohm.

Al comenzar a trabajar desde el extremo ms alejado de la red aplican-do la ecuacin (1. 8) a los resistores de 5 y 2 n conectados en' paralelo, se obtiene el circuito mostrado en la figura l. 3 8:

5 n. 2 n R.ql ~ (5 + 2) n

Fig. 1.38

= 1,428 u.

(/

4!l

Los resistores de 1,428 y 3 n quedan conectados en serie, por lo que al aplicar la ecuacin (1.6) se obtiene el circuito mostrado en la figura 1.39, puesto que:

R.q =3 n + 1.428 u =4,428 n. 2

/1 h 5H

4H

Fig. 1.39

Puede observarse claramente cmo los resistores de 4,428 y 6 n resultan 'conectados entonces en paralelo. Al utilizar la ecuacin (1.8), se obtiene

el circuito mostrado en la figura 1.40.

40

4,428 n. 6 n R,q = =2,547 n.

3 (4,428 +6)U

11 h 5!2

-1!2

Fig. 1.40

La conexin en serie de los resistores de 2, 54 7 y 9 U lleva al circuito equi-valente de la figura 1.41, ya que :

R,q =2,547 u +9 n = 11.547 u. 4

a h

Fig. 1.41

El paso siguiente consiste en hallar la resistencia equivalente de la co-nexin en paralelo de los re_ 1 .. -.Jres de 11.54 7 y 8 U, de cuyo clculo re-sulta el circuito de la figura 1.42, teniendo en cuenta que:

Fig. 1.42

8 u. 11,547 n =4,726 n.

(8 + ll,547)U

({

41

Se procede a calcular la resistencia equivalente de los resistores de 4, 726 y 4 U, conectados en serie. Como resultado se obtiene el circuito de la fi- . gura 1.43, pues:

R.q =4 u +4.726 u =8,726 u. 6

a b

su

-R = 8.726 U

'fl ,,

Fig. 1.43

Resta calcular la resistencia equivalente R.q = Rab constituida por la co-nexin en paralelo de 8, 726 y 5 U. El circtiito resultante final se ilustra en la figura 1.44.

1) - 5 u . 8, 726 u ''-ab- (5 + 8, 726) u = 3,18 u.

R ,~ = R,h = 3.18 U b

~-----~t:::J~----------~0 Fig. 1.44

De acuerdo con la ley de Ohm, la corriente entregada por la batera de 12 V al circuito que le ofrece una resistencia equivalente entre los puntos a y b de 3,18 U, es:

E 12 V 1=-- = =3,77 A.

R 3,18 U

l. 16 Determinar la intensidad de la corriente circulante a travs del re-sistor de 20 U en el circuito mostrado en la figura 1.45, mediante la apli-cacin del teorema de Thvenin.

12 u 42 u

+ .':' ., 24\' 8U 20 u

Fig. 1.45

42

Solucin:

De acuerdo con lo establecido anteriormente. el primer paso a seguir en la solucin del problema, es calcular el valor de la resistencia de Thvenin (RTH). la cual debe determinarse mediante el circuito confeccionado con este propsito, eliminando el resistor de 20 U a travs del cual se desea calcular la corriente circulante, dejando abiertos los terminales a y b, y cortocircuitando la fuente de tensin de 24 V. El circuito resultante se muestra en la figura 1.46. Al analizar este circuito a travs de los termi-nales abiertos a y b, se observa que la resistencia total que presenta el cir-cuito viene dada por la combinacin del resistor de 42 U en serie con la combinacin de los resistores de 8 y 12 U en paralelo entre s{.

811

h

Fig. 1.46

Por consiguiente, puede afirmarse, de acuerdo con las ecuaciones (1.6) y (1.8), que:

R~'H =42 n + 8 u 12 11 =46,8 n. . (8 + 12)11

El segundo paso a seguir consiste en calcular la tensin de Thvenin, la cual puede determinarse mediante la figura l. 4 7.

12 11 4211 a

8U

b

Fig. 1.47

Como la tensin de Thvenin, de acuerdo con su definicin, es la tensin en circuito abierto entre los puntos a y b, la cual puede ser determinada al calcular la cada de tensin a travs del resistor de 8 U (en el resistor

43

de 42 i2 no existe calda de potencial alguna por encontrarse abierto el cir-cuito en el punto a). se comprende que debe ser determinado el valor de la corriente como cosa inmediata. De acuerdo con la propia figura 1.47. se tiene que:

1= 24 V =L2A. (12 +8)U

Como consecuencia, la calda de tensin en el resistor de 8 U es la siguien-te:

uTH =8 n 1.2 A =9.6 v.

El circuito equivalente de Thvenin correspondiente se presenta en la fi-gura 1.48. del cual puede encontrarse fcilmente el valor de la corriente de Thvenin (/TH). que coincide con la intensidad de la corriente buscada a travs del resistor de 8 U.

11111

. -li>.R U a

20 u

Fig. 1.48

Luego:

Um 9 6 V 1m =1 = -.....:..:.:.- = ' =0,144 A,

R 7H +20 (46,8 +20)U

es decir. la corriente circulante a travs del resistor de 20 n del circuito original (fig. 1.45). de igual valor que la corriente de Thvenin, tiene un valor de 0,144 A.

1.17 En el circuito de la figura 1.49. hallar la potencia disipada en el re-sistor de 3 U, al sustituir el circuito entre los puntos a y b por su equiva-lente de Thvenin.

44

4U 6U

+ E1-12V a + -- JU ---b

Fig. 1.49

Solucin:

Para calcular la resistencia equivalente de Thvenin debe dibujarse el cir-cuito equivalente que aparece en la figura 1.50, de acuerdo con lo estable-cido anteriormente.

4U L

a

h

Fig. 1.50

En dicho circuito equivalente puede observarse que la resistencia de Th-venin vista desde los puntos a y b tiene, sobre la base de lo establecido por la ecuacin (1.8). el valor siguiente:

6 U 4 U = 24 U2 = 2.4 U. (6 +4)U 10 U

Mediante el circuito mostrado en la figura l . 51. es posible calcular la corriente de Thvenin (/TH) aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

12-4/-6/-6 =0.

o sea:

6V 1=- =0.6 A.

lO U

45

+ f.> llV

b

Fig. 1.51

De igual forma puede plantearse en la seccin derecha del circuito que:

o sea:

Um =Una =6 U 0,6 A +6 V =9,6 V.

Debe observarse que al utilizar la notacin Una se ha querido expresar la diferencia de tensin existente entre los puntos b y a -en el sentido de b hacia a-. Como se ha comprobado que el sentido de la corriente 1 es el mismo sentido dado por el giro de las agujas del reloj (/ con signo positi-vo), se comprende que el punto a posee un potencial ms elevado que el punto b; luego, de b hacia a existe una subida de tensin. Por esta razn, debe ser considerada como tal en la ecuacin anterior destinada a deter-minar la magnitud de esta tensin. El circuito equivalente de Thvenin es el mostrado en la figura l. 52.

3!2

b

Fig. 1.52

46

En este circuito. la corriente de Thvenin es:

lrH =-E..:.::TH.:.-.. = 9.6 V. =l. 77 A. Rm t3 (2.4 +3)U

Por tanto. la potencia disipada en el resistor de 3 U es la siguiente:

1.18 En el circuito que se muestra en la figura 1.53. calcular la caida de tensin producida en el resistor de 6 U mediante la aplicacin del teorema de Thvenin.

4U

15 u 6!2

22 u

7U

Fig. 1.53

Solucin:

1) (.~lculo de la resistencia de Thvenin (Rm) : De acuerdo con el procedimiento a seguir se retira del circuito el resistor de 6 U y se cortocircuitan las fuentes existentes en el circuito. La red resultante aparece en la figura l. 54.

Al hallar la resistencia equivalente (R,q) de la combinacin en paralelo de los resisto res de 22 y 7 U resulta lo siguiente:

R = 7U22U =5.31 U. q (7+22)U

El circuito resultante se muestra en la figura l. 55.

Al detetminar el valor de la resistencia equivalente de la combinacin en serie de R,q y el resistor de 11 U. se obtiene:

1

R,q =R,q + 11 = 16.31 U. 2 1

\ 47

JIU .-.....-,_ 4U

1" ll a

b

22U

7U

Fig. 1.54

11 u 4U a

15 u

b

Fig. 1.55

El circuito que se obtiene corno resultado aparece en la figura l . 56. 4U a

15 u

b

Fig. 1.56

En este mismo circuito debe calcularse la resistencia Req resultante de la combinacin en paralelo de R,

4 con el resistor de 15 U~ Por tanto:

2

_ R,42 15 16.31 U . 15 U ~43 - ~ + 15 - (16.31 + 15)U = 7'813 U.

2

48

1 i 1

)

Como se observa en la figura 1.57. la resistencia equivalente que existe en-tre los puntos a y h. posee el valor siguiente:

4U a

R ~ 7.813 U ''1 .

h

Fig. 1.57

2) Determinacin de la tensin de Thvenin: Para determinar la tensin en circuito abierto entre los puntos a y h (U m). es necesario calcular el valor de la corriente circulante a travs del resis-tor de 15 U. para lo cual se utilizar el mtodo de las corrientes de malla 'ig. l. 58) :

12-11I1-15 I1-22 (I1-I11 ) = O

9 - 22(111 -I1) - 7 In = O

-48 I1 +22 In= -12

22I1 -29In=- 9.

15 u

22 u

+

Fig. 1.58

49

Al resolver este sistema de ecuaciones. se obtiene:

11 =0.6013 A: In =0.766 A.

Por tanto. la tensin en circuito abierto entre los puntos a y b puede cal-cularse al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la rama abierta:

Al sustituir el valor de /1 en la ecuacin anterior. se obtiene:

Uab = UTH =4.52 V.

El resultado indica que. al recorrer el circuito desde a hacia b. existe una cada de tensin de 4.52 V. El circuito equivalente de Thvenin se presenta en la figura 1.59. Median-te este puede determinarse que:

4.52 V = ------ =0.254 A. (11.813 +6)U

b

Fig. 1.59

Por consiguiente. la diferencia de potencial producida a travs del resistor de 6 U es:

UR =6 u. 0.254 A= 1.524 V. 6

Obsrvese que el punto con ms alto potencial. de acuerdo con el sentido de ITH. es el borne superior de dicho resistor.

50

PROBLEMAS PROPUESTOS

l. 19 Determine si existe cada o subida de potencial en cada uno de los ca-sos mostrados en la figura 1.60 si siempre se supone el sentido de recorri-do del observador de izquierda a derecha. Las flechas indican el sentido de circulacin de la corriente.

R R

a) e>c---;CJ~o----o o) e>o----ICJI----oo _., ,.,.,_

-----tll-lt~. -0 d),_ -~ ~1 14-

Fig. 1.60

Respuestas: a) Caida de tensin: b) subida de tensin: e) subida de ten sin: d) subida de tensin.

l. 20 Un circuito elctrico consta de un resistor de lO U conectados en se-rie con otro de 5 U. Calcule la resistencia equivalente del circuito. Respuesta: Req = 15 U. l. 21 Si en un circuito elctrico se dispone de dos resistores conectados en paralelo y los valores de las resistencias de estos son 3 y S U, calcular la resistencia equivalente de la combinacin. Respuesta: Req = 1.87 U. l . 22 Determine el valor de la fem {E) del circuito mostrado en la figu-ra 1.61 para que. entre los puntos a y b. exista una caida de tensin de lO V. Respuesta: E =88 V.

2U

ra--~--~~------.b

IHl

E

51

1.23 Si entre los puntos a y b de la ftgura 1.62 se produce una cada de tensin de 30 V y entre los puntos b y e existe una cada de tensin de 9 V. Calcular los valores de las fuerzas electromotrices E1 y E2

2U

Fig. 1.62

Respuestas: E 1 = 51 V; E1 = 9 V.

1.24 Una batera cuya fem es de 6 V alimenta a tres resistores conectados en serie. de 3 U cada uno. Calcular la corriente entregada por la batera a la combinacin en serie de dichos resistores. Respuesta: 1 = 0.667 A.

1.25 Una bateria que posee una fem de 12 V alimenta dos cargas conec-tadas en paralelo de 4 U cada una. Determinar: a) Corriente entregada por la batera a la combinacin en paralelo. b) potencia suministrada a cada carga y e) potencia disipada en la batera. 'Y~~ Respuestas: a) 1 = 6 A; b) P = 36 W a cada una; e) P = 72 W ~f :)... 1.26 En el circu~to que se muesf~~n la figura 1.63. calcular el v'a\~r de la corriente 1 y la potencia disipada en el resistor de 6 U. Respuestas: 1 = 3.21 A; P = 64.15 W.

R.-4 !l '

Fig. 1.63

1.27 En el circuito presentado en la figura 1.64. detemtinar. mediante el mtodo de corrientes de ramas: a) valores de las corrientes / 1 12 e l, a tra-

52

'

1

1 1

1

l

vs de los resistores R1 Rr y RJ. y b) si ambas bateras entregan o no

+ E2=6V _ ........ _ ._____r-Fig. 1.66

+

Fig. 1.67

Respuestas: PR = 80 W: PR = 360 W: PR = 64 W. 1 2 3

l. 31 Calcular las diferencias de potencial existentes entre los puntos a y o (tierra) y b y o. en el grfico de la figura 1.68. Utilice en la solucin el mtodo de las corrientes de malla. Respuestas: Uao = 10 V: Ubo =0.

X ~ 20V lO V

- IOV

--Fig. 1.68

54

l. 32 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b que presen-ta el circuito de la figura 1.69.

4U 5U

a

6U

b

..

Fig. 1.69

Respuesta: R,b = 3.33 U. l. 33 Determinar el valor de la resistencia equivalente existente entre los puntos a y b en el circuito de la figura l. 70. Respuesta: Rab = 11.34 U.

4n

/1

5U

' h 7U

Fig. 1.71

Fig. l. 72

Fig. 1.73

56

4!2

2!2

'

~/ ~ \ 1

1. 3 7 Hallar el circuito equivalente de Thvenin en los terminales a y h del circuito activo mostrado en la figura l. 74. Respuesta: Rm = 3.09!!; (.'m= 1 V.

3!!

Fig. 1.74

a

b

5 !!

~-E~20V

+

l . 38 Obtener el circuito equivalente de Thvenin en los terminales a y h del circuito activo .dado en la figura l. 75. Respuestas: RTH = 6. 92 !!; UTH = 8 V.

5 !2 }----,---{:.:j:!:!J----11 + -1.~ ,. o(/

+ 7 !!

L----------------4-----------------------~h

Fig. 1.75

57

CORRIENTES Y TENSIONES ALTERNAS

INTRODUCCIN

Captulo 2

Con frecuencia se hace necesario obtener las expres1ones mstantneas de las ondas de tensin o corriente. sinusoi_dales o no sinusoidales. as como calcular sus valores eficaz y medio. con el propsito de realizar operacio-nes matemticas con estas. En el presente captulo se ejercitan estos aspectos que resultan bsicos pa-ra la compresin del contenido de los captulos subsiguientes. Cid o Evolucin completa de valores de una onda alterna variable con el tiempo. Periodo

Diferencia de fase Se define la diferencia de fase entre dos ondas variables con el tientpo, de igual frecuencia. a la fraccin del periodo (no mayor que la mitad de este) que separa sus puntos correspondientes. Circuitos de resistencia pura Estos circuitos constan solamente del parmetro resistencia. En ellos existe coincidencia de fase entre la corriente y la tensin (fig. 2.1).

Wl

Fig. 2.1

Circuitos de inductancia pura Estos circuitos constan solamente del parmetro inductancia. cuya unidad de medida es el henry. simbolizada por H. En ellos existe un retraso de fase de 90 de la corriente con respecto a la tensin (fig. 2. 2).

Circuito de capacitancia pura Estos circuitos constan solamente del parmetro capacitancia. cuya uni-dad de medida es el farad. simbolizada por F. En ellos existe un adelanto de fase de 90 de la corriente con respecto a la tensin (fig. 2. 3) .

..

Fig. 2.2

Fig. 2.3

60

j

Valor eficaz o efectivo Dada una .corriente alterna con cua1qu1er forma de onda y los efectos ca-lorifics que produce en un resistor R. la corriente eficaz es la intensidad que debera-poseer una corriente directa para producir en dicho resistor R idntica cantidad de calor. durante el mismo tiempo. que la corriente peridica considerada. Es decir. el valor eficaz de una funcin peridica i(t). la cual posee un perodo T. es. por definicin:

1 = V ~ iT(i(t)) ldt. (2.4) U na expresin similar pudiera ser obteruda para el caso de la tensin efi-caz. De acuerdo con la ecuacin (2_. 4{, "el valor eficaz de una onda sinusoidal cuya expresin instantnea es 1'!,_.- i sen rot es: .

' ~

1= -'-~2.

donde i es la amplitud de la onda sinusoidal, en ampere.

Impedancia reactiva inductiva (XL)

(2.5)

Trmino utilizado tcnicamente para denominar al producto roL. La dife-rencia de potencial efectiva producida a travs de un inductor viene dada por la expresin:

UL = coL/ = 2 '!ffLI. (2.6)

De acuerdo con la definicin anterior. la impedancia reactiva inductiva es igual a :

(2.7)

Impedancia reactiva capacitiva Trmino utilizado tcnicamente para denominar a la relacin 1/(ci>C). La diferencia de potencial efectiva producida a . travs de un capacitor viene dada por la expresin:

1 1 Ve = -- 1 = - -1.

2!J!O (t)c (2.8)

De acuerdo con la definicin anterior. la impedancia reactiva capacitiva es igual a:

1 Xc = --- =- -

2'/ffC

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1 Un capacitor de 10 p.F se conecta a una fuente de 24 V, 60Hz. Calcular la corriente que circula a travs de este.

Solucin:

De acuerdo con lo establecido' en 1m ecuacin (2.8). puede afirmarse que el valor de la corriente que Circula a travs del capacitor es:

l=-u = .'u Xc 1

=21(CU=

2n/C

= 2n60 HzlO 10-6 F 24V=0.09 A

1=90 mA.

2. 2 Calcular la inductancia de una bobina a travs de la cual se produce una caida de tensin de 66 V al circular una corriente de 6 A. siendo la frecuencia de la tensin de la red de 60 Hz. Solucin:

En concordancia con lo establecido en la ecuacin (2. 6). se tiene que:

L = UL = 66 V = 0.029 H. 2 rifl 2 n 60 Hz 6 A

2. 3 Una corriente elctrica est dada por la funcin

i=2.5 sen(21 S13 +30") A.

Determinar: a) frecuencia en hertz: b) valor de i en t =0: e) valor eficaz de la corriente.

Solucin:

a) De acuerdo con la ecuacin (2.2) se tiene que:

( = .!:._ = 21 513 = 3 425.6 Hz. 2n 6.28

b) Al hacer t = O en la expresin de la corriente i, se tiene que, para esta condicin:

i=2.5 sen(21 5l3t+30") =2.5 sen 30=

= 2.5 0.5 = 1.25 A.

62

e) El valor eficaz de la corriente, por tratarse de una onda sinusoidal es. en concordancia con la ecuacin (2.5)

1 = _!_ = 25A = 1 77 A ~2 ~2 . .

2. 4 Si a travs de un circuito dado circula una corriente cuya expresin instantnea es i = 5,6 sen (377t +40") A, la cual produce a travs de los propios terminales una tensin de valor u =200 sen (377t +60") V. calcu-lar:

a) Valor instantneo de la corriente para t =0. b) Valor instantneo de la tensin para t =0,001 s. e) Dibujar las ondas de tensin y corriente. mostrando la diferencia de fa-se entre ellas.

Solucin:

a) El valor instantneo de la corriente para t =0 es:

i = 5.6 sen (377 O+ 40") = 5.6 sen 40 = 3.6 A.

b) El valor instantneo de la tensin para t = 0.001 s resulta:

u=200 sen (377 0.001 +60) =200 sen (0.377 +60") V.

Al convertir los radianes a grados para poder realizar la suma dentro del parntesis. se obtiene:

u =200 sen (21.6 +60") =200 sen 81.6= 197.85 V.

Nota: Debe recordarse que para convertir radianes a grados se multiplican los radia-nes por 57,3, puesto que 360=27t radianes.

e) Ambas ondas pueden ser trazadas al tener en cuenta que entre ellas existe una diferencia de fase de 20, puesto que:

En la figura 2.4 se muestra el grfico en funcin del tiempo de las ondas de tensin y corriente. 2. 5 Una fuente de tensin sinusoidal de 220 V, valor eficaz y 400 Hz, se aplica a un resistor de 250 n. Considrese que la onda de tensin pasa por cero cuando t =0. a) Escribir la ecuacin instantnea de la tensin. b) Escribir la ecuacin instantnea de la corriente. e) Trazar un

u, i

u /

Fig. 2.4

Solucin:

a) La ecuacin instantnea de la onda de tensin es: u = sen cot = sen 2n ft.

Con esta expresin se cumple la condicin requerida de que u =O cuando t =0. Al sustituir valores de acuerdo con la ecuacin (2.5), se obtiene:

u=220 ~2 sen (2n40Q)t=311,12 sen (2 513 t) V. . -b) Como se sabe, en un circuito de resistencia pura no existe diferencia de fase alguna entre las ondas de tensin y corriente, razn por la cual la ex-presin instantnea de la corriente que circula a travs del circuito es:

A A

;. u u 2; z = z sen cot =- sen cot =- sen 7ft. R R

Al sustituir valores en la ecuacin anterior, se tiene que:

. 220 ~2 z = sen (2n 400 t) = 1,24 sen 2 513 t A.

250

e) El diagrama de la variacin en funcin del tiempo, correspondiente, es el que se muestra en la figura 2.5. En este han sido seleccionadas arbitra-riamente las escalas correspondientes a la tensin y a la corriente.

2. 6 Determinar la ecuacin instantnea de la cada de tensin producida a travs de un inductor con una inductancia pura de 20 mH, cuando cir-cula por l una corriente de i = 20 sen (10 000 t + 30") A.

64

1

1

~

=311.12 V

/=O.R8A

wt

Fig. 2.5

Solucin:

Para determinar el valor eficaz de la cada de tensin producida a travs del inductor puede aplicarse la ecuacin (2.6), teniendo en cuenta que el

valor eficaz de la corriente es 1 = 2~ = 14,14 A, o sea: ~2

UL =WL/=10 000.20 10-J 'H 14,14 A =2 828 V.

El valor mximo de la tensin es:

u~. =.Ji. 2 828 =4 ooo v.

Al saber que en un circuito de inductancia para la tensin est 90 en ade-lanto de fase en relacin con la corriente, la expresin instantnea de la tensin es:

ut. = 4 000 sen (10 000 t + 30 + 90") = 4 000 sen (10 000 + 120") V.

4. 7 Calcular la expresin instantnea de la corriente que circula a travs de un capacitor de 5.JF, si a travs de este se produce una tensin uc =2,2 sen (5 654,8 t +90) V. Solucin:

De acuerdo con la relacin existente entre el valor mximo y el valor efi-caz de una onda sinusoidal, se tiene que el valor eficaz de la tensin pro-ducida a travs del capacitor es:

Uc = 2~-V = 1,55 V. ~2

65

La corriente circulante tiene como valor eficaz (ver ecuacin 2.8):

U e 1 = -- = 1,55 V 5 654,8 5 10-6 F =0,044 A =44 mA.

1

wC A partir del resultado obtenido anteriormente, y tener en cuenta que la corrien~e en un circuito de capacitancia pura est en adelanto de fase de 90 en relacin con 1a tensin a trays del capacitor, se tiene que:

i =0,044 ~2 sen (5 654,8t + 90 + 90) =0,06 sen (5 654,8t + 180; A.

2. 8 Encontrar los valores medib y eficaz de una, corriente que presenta la forma de onda mostrada e.n la figura 2.6.

i

~ 20

5

10

5 ~

o 5 10 15 20 25 30 35 -40 t(~ ) Fig. 2.6

Solucin:

Valor medio De acuerdo con la ecuacin (2.3), se tiene que:

1( 1 l (2s to lmed = T .t i(t) dt =30 (.1 O dt + }

5 5 dt + h

5 20 dt )=

1 =- (0 + (25 -5) 5 +20(30-25)) =6,67 A.

30

Valor eficaz De acuerdo con la ecuacin (2.4) resulta:

y 1 5 i25 30 ) 1= _ 0 2 dt+ 52 dt+I 20 2 dt 30 o 5 25

66

=

!.

T f

1 - . = \...:_ (O +25(25-5) +400 (30-25)) =9,13 A. V30

2. 9 Un equipo elctrico consume_ una corriente, de 10 A durante 20 s. Se desconecta la alimentacin por 30 s y despus consume 100 A durante 20 s

. para luego repetirse el ciclo peridicamente. Cul es el valor eficaz de l.a corriente consumida por el equipo?

Solucin:

El valor eficaz de la corriente, segn la ecuacin (2.4), es el sW.uiente:

= .. ]J_ ( (20

lOldt +('o 0 2 dt + r*\oo1 dt) . =53,72 A. 't10 k J2o Jso

2.10 Determinar el valor eficaz de la tensin con forma de onda trian&ular mostrada en la figura 2 .. 7.

o -:-20 - 10

1 Fig. 2. 7

Solucin:

El periodo T de esta onda es de 40 s. La curva puede considerarse inte-grada por las funciones siguientes:

-20

De acuerdo con la ecuacin (2.4) se tiene que el valor eficaz de la onda es:

U="/ ...!... Ir' (t+10)2dt+(

u

5V

o

Fig. 2.9

Solucin:

2 3 6

De acuerdo con los intervalos a considerar dentro del perodo de la onda T =; 2 s, se tiene que:

o

Fig. 2.10

Por tanto, de acuerdo con ecuacin (2.3), el valor medio es:

1 [ 8 i) 8 /med=-( (-t+8) dt+ (--t)dt)=4A , 6 -- 3 3 3

Adems. el valor eficaz. segn la ecuacin (2.4), es:

1 = ~ j_ ([ ( _!_t + 8) 2dt + (3

(- _!_t) 2dt )=4,62 A. 6 - 3 3 Jo 3

2.14 Determinar el valor eficaz de la onda de corriente mostrada en la fia gura 2.11.

J o 2 3 4 5 6 7 t (s)

Fig. 2.11

70

Solucin:

Periodo de la onda: 5 s

i(t) = 2..r = 5t 1

i(t) = _.!Q_ t + 10 = -5t + 10 2

i(t) =0.

Al aplicar la ecucin (2.4), se tiene que:

1 = ~ + (f (51) 2dt + f

Solucin:

Valor medio De acuerdo con la ecuacin (2.3) se tiene que:

1 LT 1 rl 1 =- idt =- 20 e 120'dt = med T O 0,1

= (0,1)~~120) ~-1201 J:l )= = -1,67 (e- 12 -e0) =1,67 A.

Valor eficaz

De acuerdo con la ecuacin (2.4), se tiene que:

1 = .. /_1 e i2dt = .. 1 _1_ t 1 400 e 2401 dt = V T.o V 0,1 Jo

= 400 (e .. 2401 -eoloo.J )=4,08 A. ( -0, 1)( -240) J


2.16 Calcular la capacitancia de un capacitor que, al ser coneetado a una fuente de 120 V, 60 Hz, consume una corriente de 1 A. Respuesta: C = 22, 1 .t.F. 2.17 Si a travs de un inductor de 0,003 H se produce una cada de ten-sin de 120 V cuando circula por ella una corriente de 3 A, determinarla frecuencia de la tensin aplicada. Respuesta: f = 2 123 Hz.

2.18 La expresin instantnea de una tensin viene dada por u =6 sen (10 000 t +60") V. Calcular: a) frecuencia de la onda en hertz, b) valor de la tensin instantnea en t =O, e) valor eficaz de la tensin. Respuestas: a) f = 1 591 Hz; b) u= 5,2 V; e) U = 4,24 V.

2.19 Cuando una carga determinada se le aplica una fem cuya expresin instantnea es e= 120 sen (1 000 t-30") y a travs de esta circula una corriente de valor i = 30 sen (1 000 t) A, calcular: a) valor instantneo de la corriente para t =0, b) valor instantneo de la fem para t =0,002 s, e) diferencia de fase entre la tensin y la corriente. Respuestas: a) i =0; b) 119,46 V; e) (?=30 . .----

72

' 2. 20 A un resistor de 50 U se le aplica una tensin cuya expresin instan-tnea es u= 130 sen (2 000 t + 30) V. a) Escribir la ecuacin instantnea de la corriente circulante a travs de este. b) Calcular la frecuencia de la tensin aplicada. Respuestas: a) i = 2,6 sen (2 000 t + 30, A; b) f = 318,3 Hz. 2. 21 Cuando a un inductor se le aplica una tensin, cuya expresin instan-tnea es u =622,25 cos 377t V, circula una corriente de 3 A de valor efi-caz. Determinar: a) valor de la inductancia, b) expresin instantnea de la corriente. Respuesta: a) 0,389 H; b). i =4,24 cos (377 t-90) A.

2. 22 Calcular la capacidad de un capacitar al cual se le aplica una tensin u= 380 sen 377t V y circula a travs de l una corriente de valor eficaz de 4 A . .Escriba la ecuacin instantnea de dicha corriente. Respuestas: C =39.5,uF; i = 5.66 sen (377 t +90) A.

2. 23 Calcular el valor eficaz de una corriente cuyo grfico en funcin del tiempo se muestra en la figura 2.13.

~

25

20

15 -1 10

5 ~

1 1~

o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.1 (s)

Fig. 2.13

Respuesta: 1 = 11,67 A.

2. 24 Determinar los valores medio y eficaz de la onda que se muestra en la figura 2.14. Respuestas: lmed = 1,67 A; 1 = 2,89 A.

73

j

\

-n.l 11.2 IU 0.4 0.5 0.6 (!.7-; (s . Fig. 2.14

2. 25 Calcular el valor eficaz de la onda peridica de corriente que se muestra en la figura 2. 15.

/~

.\ ..-

'

-() 2 (l . (1 6 () t (s) ~ ;\

Fig . 2.15

Respuesta: 1 = 3,6 A.

2. 26 Determinar el valor medio y el valor eficaz de la onda de tensin que se muestra en la figura 2.16. Respuesta: Umed =0; U=3,46 V.

2. 27 Calcular el valor medio y el valor eficaz de la sinusoide de la figu-ra 2.17. Respuestas: Umed =O; U= 10,6 V.

74

u

6V

o

-6V

Fig. 2.16

u

u"=15V

o

Fig. 2.17

2. 28 Determinar los valores medio y eficaz de la semisinusoide obtenida f1 la salida de un rectificador de media onda y que se muestra en la figu-ra 2.18. f/?:--:=--r Respuestas:.~!.:_~A; 1 = ?.!_~~

75

l

ISA

Fig. 2.18

u r

~- .

o

Fig. 2.19

u

8V

O T ~------------~--~--------~

Fig. 2.20

76

1.19 Calcular los "valores medio y eficaz de la onda que se obtiene a la sa-lida de un rectificador de onda completa, la cual se muestra en la figu-ra2.19. Respuestas: U,ed=1,644 V; U=8,48 V.

l . .JO Hallar los valores medio y eficaz de la onda representada en la figu-ra 2.20. Respuestas: Umed=4 V; U=S,46 V.

77

FASO.RES Y L.GEBRA COMPLEJA

INTRODUCCIN

Capitulo 3

Frecuentemente se requiere realizar operaciones matemticas con ondas sinusoidales de la misma frecuencia, ya sea en fase de tiempo o con cierto ngulo de fase entre ellas. Dichas ondas sinusoidales pueden representarse mediante notacin fasorial. En el presente capitulo se ejercitan diversas operaciones con nmeros complejos, expresados en diferentes formas, con el propsito de que los estudiantes adquieran habilidades en la utilizacin de estos nmeros, atendiendo a la importancia bsica de estos en la ejer-citacin de esta asignatura. Se llama nmero a la expresin de la cantidad computada con relacin a una unidad. El conjunto de nmeros reales, puede ser representado mediante puntos de una recta, llamada _eje real (fig-. 3.1), correspondiendo cada punto sobre dicho eje a uno y solamente uno de estos nmeros. Las operaciones fun-damentales (suma, resta, multiplicacin y divisin), realizadas con nme-ros reales, originan a su vez nmeros reales. La raz cuadrada de un n-mero real positivo es tamben un nmero real, mientras que la raz' cua-drada de un nmero real negativo no es un nmero real, por lo cual no corresponde a ningn punto sobre el eje real. ,

1 8 J3 -2 2

-5 -4 -3 -2 -1 o 2 3 4 5 6 Fig. 3.1

78

La rafz cuadrada de un nmero negativo constituye un nmero imagina-rio. El conjunto de nmeros imaginarios puede representarse mediante puntos de una recta llamada eje imaginario (fig. 3.2). La unidad sobre di-cho eje es la R , la que se designa con la letra j, es decir:

1 =..J -1,

siendo las potencias sucesivas .de la unidad imaginaria:

P=(-1); P=PJ=(-1)J=-J;J4 = Ul) 2 =1; P=J4j=J;... (3.1)

)4

)3

)2

)1

o

-)1

-)2

-)3

-)4

Fig. 3.2

NMEROS COMPLEJOS

Un nmero complejo est compuesto por una componente real y una com-ponente imaginaria. Por ejeml'-lo: a+ jb es un nmero complejo, donde a Y b son nmeros reales y j =V -1 (a es la parte real y b es la parte ima-ginaria del nmero).

79

tanto., mediante un n~ero complej~. Los fasores pueden expresarse en di-ferentes formas, las ms utilizadas de las cuales son: la forma rectangular y la forma polar.

Forma rectanf.(ular

Considrese un fasor ~que forma un ngulo (/)con la referencia. Este pue-de descomponerse en dos componentes: a, a lo largo del eje horizontal de-recho de referencia y b a lo largo del eje a 90 con el de referencia. lo que puede expresarse al escribir el fasor de la forma siguiente:

~=a +}h. (3.2)

De acuerdo con lo establecido en la expresin (3. 1), el fa sor podr encon-trarse en cualesquiera de los cuatro cuadrantes del plano complejo, en dependencia de los signos respectivos de las partes real e imaginaria. Ob-srvese que el .simbolo j denota rotacin de 90 de la cantidad a la cual se encuentra unido, en sentido contrario al giro de las agujas del reloj. De forma similar, -j implica una rotacin de 90 en el sentido de giro de las agujas del reloj .

Forma polar

Es posible especificar la longitud del fasor y su posicin angular con res-pecto al eje ' horizontal derecho, en lugar de hacerlo en fucin de sus com-ponentes a lo largo de ambos ejes como en la forma rectangular, o sea, un fasor en forma polar queda especifi~ado como:

donde (/) representa la rotacin experimentada por la cantidad Z a travs del ngulo + (/). El signo positivo en el ngulo representa un giro en sen-tido contrario al de las agujas del reloj; el signo negativo representa un gi-ro en sentido opuesto.

CONJUGADO DE UN NMERO COMPLEJO

El conjugado de un nmero complejo ~ =a + jb es el nmero complejo que resulta de invertir el signo a la parte imaginaria del nmero complejo ori-ginal, o sea, en este caso ~' =a-jb. En el caso de que el nmero se en-cuentre expresado en forma polar:

'-r Z=Z/(fJ

el nmero conjugado se obtiene al invertir el signo del ngulo, o sea (fig. 3.3):

~'=Z~

80

~

Fig. 3.3

CONVERSIN DE FORMA RECTANGULAR A POLAR

Cuando se dispone de un fasor expresado en forma rectangular, las can-tidades conocidas son las dimensiones de sus componentes sobre los ejes real e imaginario. Por tanto, para convertir de la forma rectangular a po-lar, es necesario utilizar las relaciones siguientes:

Clculo de la magnitud o mdulo del fasor (fig. 3.4):

z =val +bl. ngulo con respecto a la referencia:

qJ=tan -1b/a=sen-1 a/Z=cos-1 b/Z.

CONVERSIN DE FORMA POLAR A RECTANGULAR

(3.3)

(3.4)

Cuando se dispone de un fasor expresado en forma polar, las cantidades conocidas son. la magnitud o mdulo del fasor y el ngulo que forma con el eje de referencia. Por tanto, para convertir de la forma polar a la forma rectangular, deben utilizarse las relaciones siguientes: Clculo de la componente sobre el eje real (fig. 3. 4) .

Re ( ~) = a = Z cos

j

Fig. 3.4

SUMA DE DOS N MEROS COMPLEJOS

Los nmeros complejos pueden sumarse exclusivamente cuando se encuen-tran expresados en forma rectangular. Sean los nmeros l.= a + jb y X= e+ jd. La suma es:

l+[=(a+jh) +(c+Jd) =(a+c) +J(h+d) .

DIFERENCIA DE DOS NMEROS C.OMPLEJOS

(3. 7)

Como en el caso de la suma, los nmeros co{nplejos pueden restarse exclu-sivamente cuando se encuentr~n expresados en forma rectangular. Sean los nmeros l. =a + jb y X= e +}d. La diferencia es: r

l.- X=(a +Jh) -(e +Jd) =(a-e) +J(h-d).

PRODUCTOS DE DOS NMEROS COMPLEJOS

(3.8)

La operacin de multiplicacin de los nmeros complejos puede realizarse cuando estn expresados tanto en forma rectangular como en forma polar.

Producto de dos nmeros comrlejos expresados en forma rettangular Sean los nmeros complejos l.= a + jb y X= e + jd. Su producto ser:

l. X=ac+jad+}bc~+P bd=(ac-bd) +J(ad+hc). (3.9)

82

j ,

l Producto de dos nmeros complejos expresados en forma polar Sen los nmeros complejos ~ = Zffi y I = Y[! . Su producto se ob-tendr al multiplicar sus mdulos y sumar algebraicamente sus ngulos, o sea:

(3.10)

Como se observa, la multiplicacin de nmeros complejos expresados en forma polar resulta ms sencilla que en forma rectangular.

DIVISIN DE DOS NMEROS COMPLEJOS

i a operacin de divisin de los nmeros complejos pue~e realizarse tanto en forma rectangular como en forma polar.

Divisin de nmeros complejos expresados en forma rectangular

Esta divisin se realiza al eliminar la j del denominador, lo que se logra al multiplicar y dividir la fraccin por el conjugado del denominador. Sean los nmeros complejos ~=a + jb y I =e+ jd. Su cociente ser:

z -=-- = I

a +Jb

e +id c-jd (ac +bd) +j(bc-ad) . -- = ..;,_ __ ~....:;..;. __ ...,:_ =

ac +bd . bc-ad = +;---c2 +dl el +dl

Divisin de nmeros complejos expresados en forma polar

(3.11)

Sean los nmeros complejos ~ = ZL!A. y I = Y L_p . Su cociente se ha-llar al dividir sus mdulos y restar sus ngulos:

z z ~ =- rpl-rpl . (3 .12) . .r y

Como puede observarse, la operacin de dividir resulta ms sencilla en forma polar que en forma rectangular.

REPRESENTACIN DE UN FASOR EN FORMA INSTANTNEA

Para expresar un fasor en forma instantnea se hace necesario atender a la ecuacin general de una onda sinusoidal:

A

-=a sen wt (3 .13)

donde a es la amplitud de dicha onda [ver ecuacin (2. 5) ]. 83

CONVERSIN DE LA FORMA POLAR A LA FORMA INSTANTNEA

Si se tiene un fasor 4. =AL!!... expresado en forma polar, podr represen-tarse en forma instantnea si se procede de la forma siguiente: -Multiplicar el valor efectivo de la onda (mdulo del fasor en forma po-

lar) por rafz de dos, a fin de calcular su amplitud:

" _,-a =.A.v2. [ver ecuacin (2.5)]

-Sumar a wt, algebraicamente, el valor de la diferencia de fase del fasor con relacin al origen de tiempo, tomando en cuenta su propio signo, o sea:

4. =.AL!!... =a sen (wt + rp) = .A~2 sen (Cd + rp).

Adems, para un fasor 4. =Al -rp se tiene que:

4. = AL..=!!_ = a sen ( wr- rp) = =.A~2 sen (wt-rp).

(3.14)

(3 .15)

Una vez que el fasor se exprese en forma instantnea, se deber represen-tar mediante una letra minscula, puesto que ya constituye una cantidad variable con el tiempo.

PROBLEMAS RESUELTOS

3.1 Sumar los nmeros ~~ = 2 + j3 y ~l = 3 -jl . Solucin:

De acuerdo con la ecuacin (3 . 7), se tiene que:

~~ +~2 =(2 +j3) + (3-jl) =(2 + 3) + j(3 -l ) =

=5 +J2.

3. 2 Sumar los nmeros complejos ~~ = -2-}4 y ~1 = 3 - j2. Solucin:

De acuerdo con la ecuacin (3. 7). se obtiene:

~~+~2 =(-2+3) +j(-4-2) =l-j6.

84

J.J Restar el nmero complejo ~2 =4-j2 del nmero complejo ~1 =3 +j6.

Soluci6n:

De acuerdo con la ecuacin (3.8), puede escribirse:

~1-~2 = (3 +j6) -(4-j2) =3 +j6-4 +j2 =

=(3-4) +j(6 +2) = -1 +j8.

J.4 Restar el nmero ~1 =3 +J2 del nmero ~2 = -2-}4. Soluci6n: .

De acuerdo con la ecuacin (3.8), se tiene que:

~2-~1 =(-2-}4) -(3 +J2) = -S-j6.

J.5 Multiplicar los nmeros complejos: ~~ =2 +j3 y ~2 =3-)2. Soluci6n:

En concordancia con lo establecido en la expresin (3.9), resulta:

~1~2 =(2 +j3) (3-J2) =12 +jS.

J. 6 Multiplicar los nmeros complejos ~~=SI 36,8 y ~2 = 3/-12 . Solucin:

Al atender lo establecido en la expresin (3.10), se obtiene:

J. 7 Hallar el cociente que resulta de dividir el nmero 6 + j3 por el nme-ro 4-)2.

Solucin:

De acuerdo CQn la expresin (3.11), este cociente puede ser calculado al multiplicar ambos miembros de la relacin por el conjugado del denomi-nador, o sea:

6 +j3 4-)2

4 +)2 4 +J2

= 18 +}24 =0,9 +jl.2. 20

J. 8 Hallar el cociente resultante de dividir el nmero 4/ 30 por el n-mero 3J20o .

85

Solucin:

Al tener en cuenta lo expresado en la ecuacin (3.12), resulta:

130 4 = 1,33/ 30-20 = l,33L..!Q:. 3/20

3. 9 Convertir el fasor expresado en forma rectangular por 4 + j3, a la for-ma polar.

Solucin:

1. Trazar el grfico que representa el nmero complejo, destacando en l que el ngulo es menor de ~so (fig. 3.5).

j

o

Fig. 3.5

2. Calcular el mdulo del fasor mediante la ecuacin (3.3):

Z=~42 +3 2 =5.

3. Calcular el ngulo que forma el fasor con el eje de referencia (ver flgu-ra 3.4):

4. La expresin del fasor en forma polar es, por tanto:

3.10 Expresar el fasor 2-j3 en forma polar.

86

Solucin:

l. Trazar el grfico correspondiente al nmero de cuestin aproximada-mente a escala (fig. 3.6).

o

Fg. 3.6

2. Calcular el mdulo del fasor:

z =~2 1 +3 2 =3,6.

2

-:iJ

3. Calcular el ngulo que forma el fasor con el eje de referencia: ' .

3 - . --q;=tan- 1 -- = -56,3. 7

2 ~~

4. La expresin del fasor en forma polar es, por tanto:

~=3,6/-56,3.

3. 11 Expresar el fasor ~ = 10/ 30o en forma rectangular.

Solucin:

l. Trazar el grfico del fascr aproximadamente a escala (fig. 3. 7).

2. Calcular la parte real del nmero complejo mediante la ecuacin (3.5):

R,(Q =a=lO(cos 30) =8,66.

87

o

Fig. 3.7

3 ... Calcular la parte imagjnaria del nmero complejo mediante la ecuacin (3.6):

4. Por consiguiente, la expresin en forma rectangular del grfico es:

?.: = 8,66 +}S.

3.12 Expresar el fasor {! = SOJ-40" en forma rectangular. Solucin:

l. Trazar el grfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3. 8) .

-:ib

Fig. 3.8 -j

88

2. Calcular la parte real del nmero complejo:

R, UD =a =SO(cos-40, =50 cos 40=38.3.

3. Calcular la parte imaginaria de~ nmero complejo:

4. La expresin del fasor en forma rectangular resulta:

fl = 3S.3 -j32,14. '

3.13 Expresar el fasor ~ = 15/100o en forma rectangular.

Solucin:

l. Trazar el grfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3. 9) .

.i

Fig. 3.9


R, (~) =a=15 cos 100=15 (-0,174) =-2,6.

3. Calcular la parte imaginaria del nmero complejo:

Im (~) =b=15 sen 100=15(0,984) =14.77.

89

4. La expresin del fasor en forma rectangular es:

~= -26 +}14,77.

3.14 Expresar el fasor ~ = 12/190: en forma rectangular.

Solucin:

l. Trazar el grfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3.10).

Fig. 3.10 -)


Re(~) =a=12 cos 190=12 cos (180+10) =12(-cos 10") =

= 12 ( -98,5) = -0,302.

3. Calcular la parte imaginaria del nmero complejo:

= 12 sen (180 + 10)

= 12 (-sen 10")

= -2.08.

4. La expresin del fasor en forma rectangular es, por tanto:

~= -11,8-}2,08.

90

3.15 Resolver las operaciones que se plantean a continuacin.:

a) (3 + j4)(7 + j6) (5 +j6)

b) (3-j5)(6+j19) (5 +j7)(9-j3)

e) (6-j4)(5 +j9) -(7 +j6) (5-j10)(4 +j9) +(5-Ji) -(7 +j10)

d) (-6-j8)(-S +j3)(4 +jS) (6 -Ji)( -S -jl4)(1S + j10)

2f30 +4/50 -3/-30 e)

5/-15

Solucin:

a) Como las operaCiones a realizar son las de multiplicacin y divisin ex-clusivamente, es ms cmodo trabajar si se convierten los nmeros com-plejos a forma polar. Al seguir el procedimiento establecido se obtendr el resultado siguiente:

(3 +j4)(7 +j6) Sj53,13o . 9,22~ 5,9/43,S4 . = S +j6 7,81/S,19o

b) En este caso estn incluidas las operaciones de suma, multiplicacin y divisin con nmeros ~omplejos. Para realizar la suma, es recomendable trabajar en forma rectangular, mientras que en la multiplicacin y divisin se aconseja trabajar en forma polar. Puede procederse, sobre esta base, de la forma siguiente:

(3-jS) +(6 +j9) =(9 +j4)

(S +Ji) =8,6/54,4 .

(9-j3) =9,49/-18,43.

Por tanto. la expresin original puede escribirse como sigue:

(3-jS) +(6 +j19)

(S +Ji)(9-j3) 9 +j4 =---------------------8,6/ 54,4 . 9,49/-18,43

91

Las operaciones que quedan por realizar son exclusivamente de divisin Y multiplicacin, razn por la cual el numerador de la fraccin debe ser convertido a forma polar, es decir:

9 +}4 =9,84/ 23,96.

Al sustituir este valor en la expresin anterior, se obtiene:

9,84/23,960 =0,121/-12,oo . 8,6/ 54,4 . 9,49/-18,43

e) Al seguir el procedimiento recomendado, es decir, realizar las opera-ciones de suma y resta con los nmeros complejos expresados en forma rectangular y las operaciones de multiplicacin y divisin con los nmeros complejos expresados en forma polar, deben seguirse los pasos siguientes:

(6-}4)(5 +/)) -(7 +j6)

------------------------- = (5 -j10)(4 + /)) + (5 -Ji) -(7 + }10)

= 7,21/-33,6 10,29/60,94 -(7 +}6)

11,18/-63,43 9,85/66,04 +(5-}7)-(7+}10)

74,19/27,34 -(7 +}6) =--~~==~~~~----=

110,12/2.61 o + (5 -)7) -(7 + }10)

(65,9 +}34,07) -(7 -}6) 58,9 +)28,07 = --------------------- = --------- = 110 +}5,014 +5-)7-7-}10 108-}11,986

= 65,25/25,480 =0,6/31,810 . 108,66/-6.33

=

d) Al seguir el procedimiento establecido y tener en cuenta que las ope-raciones a realizar son exclusivamente de multiplicacin y divisin, se pro-cede de la forma siguiente:

92

..;.(_-_6 -..:J....;i8)~( -_5_+....;J;...i3 )~(4_+....;1;...'5);.... = (6-)7)(-5-}14)(15 +}10)

r

10/233,13 . 5,83/149,04 . 6,4/51,34 =~==~~==~~~~--9,21!-49,40 . 14,86/250,3 . 18/33,7

1

\

= _:3.:..:73:.:.:,1:.:2::/4=3=3=51=0-

2 463.5/234,65 = 01511850

.

e) De acuerdo con lo recomendado, y debido a que las operaciones a rea-lizar son las de suma, resta y divisin de nmeros complejos. debe proce-derse de la forma siguiente:

_ 1,73 +j1 +2,57 +3,06-(2,6-jl,5) = - 5/-15

= 1, 7 + 5,56 =-5_,8..;;;/=73=0--- = 1.16/880 .

5/-15 5/-15

3.16 Expresar el fasor K= 3/20 en forma instantnea. Solucin:

Al atender a lo expresado en Introduccin se tiene que:

t.=3Vlsen (c.ot +20e) =4,24 sen (wt +20").

3.17 Expresar el fasor 4 = 5J-30o en forma instantnea. Solucin:

De acuerdo con lo planteado en Introduccin se procede de la forma si-guiente:

-.=5v2sen (cot-30) =7,07 sen (wt-30).

3.1,8 Expresar el fasor !_= 141,42 sen (wt-60) en forma polar.

Solucin:

Al considerar que en este caso se desea realizar el :>roceso inverso de lo planteado en los ejemplos anteriores, se procede de la forma siguiente:

" i -[ = -=- = 141.42/\'2 = 100

v2

Luego:

L = 1001 -60 .

93


3.19 Sumar los nmeros complejos (3 + }2); (4 -}5); ( -2 -}3). Respuesta: (5 -}6). -3.20 Sumar los nmeros complejos (-3-}2); (4 +}5);(-10 +}5). Respuesta:-9 + }8. 3.21 Restar el nmero complejo (-4 +j3) del nmero (8 +}2). Respuesta: 12 -}1.

3.22 Restar el nmero (8-}2) del nmero (7 +}3). Respuesta: - 1 +}S.

3. 23 Multiplicar los nmeros complejos ~~ = 3 + }4 y ~2 = 4-}S. Respuesta: 32 + }1. 3.24 Multiplicar los nmeros complejos ~~ = -4-}6 y ~2 =4 +}S. Respuesta: 14-}44.

3. 2 5 Dividir el nmero complejo ~~ = 8 - }6 por el nmero complejo ~2 =6 +}5. Respuesta: 0,295 -jl,24S.

3. 26 Dividir el nmero complejo ~~ = -4 - }5 por el nmero complejo ~2 =5 +}5. Respuesta: -0.9-/.),l .

3.27 Convertir el fasor expresado en forma rectangular como 10 +}lS, a la forma polar. Respuesta: 18,02/ 56,3o .

3. 28 Expresar el fasor - 4 -}2 a la form~ polar. Respuesta: 4,47 / 206,56 .

3. 29 Expresar el fasor dado en forma polar como 20j -30o , en for-ma rectangular. Respuesta: 17,32 - }10.

3. 30 Convertir el fasor ~~ = 35/lOOo a forma rectangular. Respuesta: - 6,08 + }34,4 7. 3. 31 Realizar la siguiente operacin con nmeros complejos:

(10 + }4)(5 -}3) (4-}2)

Respuesta: 14,04/ 17,4 =13,4 +}4,2.

3. 32 Resolver las siguientes operaciones planteadas con nmeros comple-jos:

94

(3 +}6) +(4-}5)

(7 - }4) ( -4 - }2)

Respuesta: O, 196/-140,47 .

3. 33 Calcular el nmero complejo que resulta de la expresin siguiente:

(7-jlO) -(4 +j3)(2 +j2) (6 + j5)( -5 --j4)(3 -jl)

Respuesta: 0,155/-318,25 =0,155/41, 75

3. 34 Resolver la expres~n siguiente:

6~ +3J-45 +4~ / 5J40o

Respuesta: 1,994 1 -!J,4o

95

CIRCUITOS MONOFSICOS DE CORRIENTE ALTERNA

INTRODUCCIN

Captulo 4

En este captulo se plantean diversas problemticas relacionadas con cir-cuitos de corriente alterna de diferentes configuraciones (serie, paralelo o serie paralelo) y se hace nfasis en las relaciones corriente-tensin, as como en las expresiones utilizadas en el clculo de la impedancia de di-chos c.ircuitos.

IMPEDANCIA

Se llama impedancia a la relacin existente entre la diferencia de poten-cial alterna entre dos puntos y la corriente circulante a travs de estos. Su unidad de medida es el ohm (.U).

Z= y =...H:... (4.1) - 1 L

La impedancia es un operador fasorial y no un fasor. Posee una parte real y una imaginaria. La parte real se denomina impedancia resistiva (R) y la parte imaginaria impedancia reactiva (X). La impedancia reactiva puede ser inductiva o capacitiva. Como los efectos de las impedancias reactivas inductivas y capacitivas sobre un mismo circuito son opuestos, se considera, como convenio, la impedancia reactiva inductiva de signo positivo y la capaCitiva de signo negativo. Por consiguiente, la expresin general de la impedancia es:

Z=R jX. (4.2)

96

IMPEDANCIAS CONECTADAS EN SERIE

En forma similar a lo expuesto anteriormente, referente a resistores conec-tados en serie para circuitos de corriente directa, en circuitos de corriente alterna la impedancia equivalente de varias conectadas en serie es la si-guiente:

~q = z~ + z2 + ~~l + ... + z, = j . (4.3) En forma rectangular se tiene que:

(4.4)

de donde se deduce que:

(4.5)

(4 .6)

En el caso de impedancias reactivas capacitivas se mantiene la ecua-cin (4.6), pero la suma se compone de cantidades negativas.

Circuitos de corriente alterna de impedancia resistiva pura (R) Los circuitos de corriente alterna a los que se considera solamente com-puestos por resistores se denominan de resistencia pura o circuitos R. La expresin de la tensin UR a travs del resistor o resistores, es:

flR = IJ1, (4.

problemas resueltos y propuestos de redes basica

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