problemas e algoritmos -...
TRANSCRIPT
![Page 1: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/1.jpg)
Problemas e Algoritmos Em muitos domínios, há problemas que pedem a saída
com propriedades específicas quando são fornecidas entradas válidas.
O primeiro passo é definir o problema usando estruturas adequadas (modelo), a seguir utilizar um método que resolva o problema.
Um método seria seguir uma sequência de passos para chegar a uma resposta desejada, a sequencia de passos é chamada de algoritmo.
![Page 2: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/2.jpg)
Algoritmos
Definição: Um algoritmo é um conjunto finito de instruções precisas para realizar uma operação computacional ou resolver um problema”
Abu Ja’far Mohammed Ibin Musa Al-Khowarizmi(780-850)
![Page 3: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/3.jpg)
AlgoritmosExemplo: Descrever um algoritmo que possa encontrar o
valor máximo(maior) em uma sequência finita de números inteiros.
Solução: Realizamos os seguintes passos:1. Coloque como máximo temporário o primeiro número inteiro da
sequência.
2. Compare o próximo número inteiro da sequência com o máximo temporário e, se aquele for maior que este, coloque-o como máximo temporário.
3. Repita o passo anterior se houver mais números inteiros na sequência.
4. Pare quando não houver mais números inteiros na sequência. O máximo temporário neste ponto será o maior inteiro da sequência.
Abu Ja’far Mohammed Ibin Musa Al-Khowarizmi(780-850)
![Page 4: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/4.jpg)
Propriedades dos Algoritmos Input: Um algoritmo tem um valor de entrada, ou inicial, de um
conjunto específico. Output: Para cada conjunto de valores de entrada, um algoritmo
produz valores de saída de um determinado conjunto. Os valores de saída, ou finais, são as soluções para o problema.
Correctness(Exatidão): Um algoritmo deve produzir valores de saída corretos para cada conjunto de valores iniciais.
Finiteness (Finitude): Um algoritmo deve produzir o valor final desejado depois de um número de passos finito para qualquer entrada.
Effectiveness(Efetividade): deve ser possível realizar cada passo de umalgoritmo de modo exato e em uma quantidade de tempo finita.
Generality: O algoritmo deve funcionar para todos os problemas da forma desejada, não apenas para um determinado conjunto de valores de entrada.
![Page 5: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/5.jpg)
Encontrando o Máximo Elementoem uma sequência finita O algoritmo em pseudocodigo:
Este algoritmo tem todas as propriedades listadas?
procedure max(a1, a2, …., an: inteiros)max := a1
for i := 2 to nif max < ai then max := ai
return max{max é o maior elemento}
![Page 6: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/6.jpg)
Alguns Exemplos de Problemascom Algoritmos
1. Problemas de Busca (Searching ): encontrar a posição de um elemento em particular em uma lista
2. Problemas de Ordenação (Sorting): colocar os elementos de uma lista em ordem, por exemplo, crescente.
3. Problemas de Otimização: encontrar uma solução para o problema dado que determine o valor ótimo (máximo ou mínimo) de algum parâmetro avaliado sobre todas as possíveis entradas.
![Page 7: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/7.jpg)
Algoritmos de Busca Algoritmo de busca linear
Algoritmo de busca binária
Algoritmo de ordenação
Bubble sort
Insertion sort
Algoritmo Guloso (Voraz) usados para problemas de otimização
Exercício: Implementar um algoritmo que para uma lista dada de n números inteiros, encontre a primeira e a ultima ocorrência do maior inteiro da lista.
![Page 8: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/8.jpg)
O Problema da Parada
Problema que não pode ser resolvido usando-se qualquer procedimento
![Page 9: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/9.jpg)
Crescimento de funções
Tanto na ciência da computação quanto na matemática, muitas vezes preocupa a rapidez com que uma função cresce.
Na ciência da computação, deseja-se entender a rapidez com que um algoritmo pode resolver um problema à medida que o tamanho da entrada aumenta para: Comparar a eficiência de dois algoritmos diferentes que resolvem o
mesmo problema. Determinar se é prático usar um algoritmo específico à medida que
a entrada aumenta.
Duas das áreas da matemática onde as questões sobre o crescimento das funções são estudadas são: Teoria dos números Combinatória
![Page 10: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/10.jpg)
Crescimento de funções
Big-O: Estimador de crescimento de funções
Estimar o crescimento sem se preocupar com as constantes multiplicadoras ou termos de ordens menores.
Podendo-se assumir que operações diferentes usadas em um algoritmo levam o mesmo tempo.
![Page 11: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/11.jpg)
Big-O NotationDefinição: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções do conjunto de inteiros ou do conjunto de números reais para o conjunto de números reais. Dizemos que 𝑓(𝑥) é 𝑂(𝑔(𝑥)) se houver constantes C e k tal que
sempre que x > k. Lê-se como “f(x) é big-O de g(x)”
As constantes C e k são chamadas de parâmetros da relação f(x) é O(g(x)).
Somente um par de parâmetros é necessário.
![Page 12: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/12.jpg)
Ilustração do Big-O
f(x) é O(g(x))
A parte do gráfico de 𝒇(𝒙) que satisfaz𝒇 𝒙 < 𝑪𝒈(𝒙) está em azul
𝒇 𝒙 < 𝑪𝒈 𝒙 para 𝒙 > 𝒌
![Page 13: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/13.jpg)
Utilizando a Definição de Big-OExemplo: Mostrar que 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 é 𝑂 𝑥2 .Solução: Pode ser estimado o tamanho de 𝑓(𝑥) quando x > 1, pois:
x < x2 e 1 < x2 quando x > 1Assim:
0 < 𝑥2 + 2𝑥 + 1 < 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑥2 = 4𝑥2
Sempre que x > 1
Assim, podem-se tomar C = 4 e k = 1 como parâmetros para mostrar que
𝑓 𝑥 é 𝑂 𝑥2
![Page 14: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/14.jpg)
Utilizando a Definição de Big-O Isto é:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 < 4𝑥2
Quando x > 1
Não é necessário usar valor absoluto, pois, as funções são positivas quando 𝑥 é positivo.
![Page 15: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/15.jpg)
Ilustração do Big-O𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 é O(𝑥2)
![Page 16: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/16.jpg)
Matrizes Matrizes são usadas para representar relações entre elementos de conjuntos.
Exemplo: redes de comunicações
Definição: uma matriz é uma tabela numérica arranjada em um número m de linhas e um número n de colunas.
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
::::
a...aa
a...aa
A
![Page 17: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/17.jpg)
Matrizes A i-ésima linha de A é:
miaaa inii 121
nj
a
a
a
mj
j
j
12
1
A j-ésima coluna de A é:
![Page 18: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/18.jpg)
Matrizes – Notações e terminologia
Amxn: matriz A com m linhas e n colunas
Anxn: matriz quadrada de tamanho n
𝑎11𝑎22 ……𝑎𝑛𝑛 : diagonal principal de A
aij: elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A
[aij]: denota uma matriz A onde a dimensão está definida
![Page 19: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/19.jpg)
Exemplos de matrizes
210
532A
64
32B
0
2
1
C
4311 E
542
321
101
D
![Page 20: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/20.jpg)
MatrizesDefinição: Uma matriz quadrada A=[aij] em que todos elementos fora da
diagonal são iguais a zero, isto é, aij=0 para ij, é chamada de matriz diagonal.
30
04F
500
030
002
G
Exemplos:
![Page 21: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/21.jpg)
MatrizesDefinição: Duas matrizes mxn A=[aij] e B=[bij] são ditas iguais se aij=bij
para 1im e 1jn.
644
250
132
A
z
y
x
B
44
25
12
Exemplo:
A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.
![Page 22: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/22.jpg)
Aritmética de matrizesDef.: Se A=[aij] e B=[bij] são duas matrizes mxn, então a soma de A e B é a
matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por:
205
143A
230
354B
Exemplo:cij = aij + bij (1im , 1jn)
035
297
22)3(005
315443BAC
![Page 23: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/23.jpg)
Aritmética de matrizesDefinição: Uma matriz cujos elementos são todos nulos é chamada de
matriz nula e é denotada por 0.
000
00032O
000
000
000
33O
Exemplos:
![Page 24: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/24.jpg)
Propriedades da soma de matrizesTeorema:
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A+ (B + C)
c) A + 0 = 0 + A = A
![Page 25: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/25.jpg)
mn2m1m
ij
n22221
n11211
pnpj2p1p
n2j22221
n1j11211
mp2m1m
ip2i1i
p22221
p11211
ccc
c
ccc
ccc
bbbb
bbbb
bbbb
aaa
aaa
aaa
aaa
Aritmética de matrizesDef.: Se A=[aij] é uma matriz mxp e B=[bij] é uma matriz pxn, então o
produto de A e B (AxB) é a matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por:
p
k
kjikpjipjijiij babababac1
2211 njmi 1,1
![Page 26: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/26.jpg)
Produto de matrizes
321
432A 32
35
22
13
B 23
??
??C 22
332211532231
342312542332C
Exemplo:
414
2020C
![Page 27: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/27.jpg)
Propriedades do produto de matrizes As propriedades básicas do produto de matrizes são
dadas pelo seguinte teorema:
Teorema:
a) A(BC) = (AB)C
b) A(B + C) = AB + AC
c) c) (A + B)C = AC + BC
![Page 28: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/28.jpg)
Propriedades do produto de matrizes Note que, dadas duas matrizes Amxp e Bpxn, então
A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:
1. o produto B.A pode não ser definido
2. (m=n) e B.A é definida mas A.B B.A (tamanho)
3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B B.A
4. A.B = B.A
![Page 29: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/29.jpg)
Propriedades do produto de matrizesExemplos:
23
12A 22
32
11B 22
321
432A 32
5243
2851
2914
B 43
21
12A 22
51
15B 22
![Page 30: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/30.jpg)
Multiplicação de matrizesQuestão: quantas operações são necessárias para calcular o
produto Cmxn de duas matrizes Amxp e Bpxn?
Resp.:
- Há mxn elementos no produto de Amxp e Bpxn
- Para encontrar cada elemento são necessárias p (x) e p (+)
- Logo, um total de m.n.p (x) e m.n.p (+) são usadas
![Page 31: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/31.jpg)
Questão: Em que ordem as matrizes A1(30x20), A2(20x40) e A3(40x10) devem ser multiplicadas (matrizes de inteiros) para usar o menor no possível de operações?
-A1(A2A3) 20.40.10 para obter a matriz 20x10 A2A3
+ 30.20.10 para multiplicar por A1 = 14000
- (A1A2) A3 30.20.40 + 30.40.10 = 36000 (!)
Multiplicação de matrizes
![Page 32: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/32.jpg)
Matriz identidade Definição: a matriz diagonal nn na qual todos os elementos da
diagonal são 1’s é chamado de matriz identidade de ordem n e é denotada por In.
1...000
:::::
0...100
0...010
0...001
I
Nota: se A é uma matriz mn, vale:
Im.A = A.In = A
![Page 33: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/33.jpg)
Potências de matrizes Pode-se definir potências de matrizes quadradas.
Se A é uma matriz quadrada nxn, temos:
Ap = A.A...A
p vezes
onde: A0 = In
Também se pode provar as leis de exponenciação:
ApAq = Ap+q
(Ap)q = Ap.q
![Page 34: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/34.jpg)
Matrizes transpostasDefinição: Se A é uma matriz mxn, então a matriz nxm:
t
ij
t aA onde:
é chamada de transposta da matriz A.
Exemplos:
ji
t
ij aa nj1emi1
261
012
543
A
205
614
123
A t
0
3
1
B 031Bt
![Page 35: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/35.jpg)
Propriedades de matrizes transpostasTeorema: Se A e B são matrizes, então:
205
014
543
A
Exemplo:
a) (At)t = A
b) (A+B)t = At + Bt
c) (A.B)t = Bt.At
Definição: Uma matriz A=[aij] é chamada simétrica se At=A
se A é simétrica, A deve ser uma matriz quadrada.
![Page 36: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/36.jpg)
Matrizes booleanas Matrizes constituídas apenas de zeros e 1’s são frequentemente
utilizadas para representar estruturas discretas (como as relações -parte II).
00100
10101
00110
B
Definição: Uma matriz booleana é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns.
Exemplo:
![Page 37: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/37.jpg)
Operações com matrizes booleanasDef.: sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes booleanas,
0be0ase0
1bou1ase1c
ijij
ijij
ij
0bou0ase0
1be1ase1d
ijij
ijij
ij
1) AB=C=[cij] é a junção de A e B, dada por:
2) AB=D=[dij] é o encontro de A e B, dado por:
Note que A e B devem ter o mesmo tamanho
![Page 38: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/38.jpg)
Operações com matrizes booleanasExemplo: Calcule a junção e o encontro de:
010
101A
011
010B
Solução:
011
111
001110
011001BA
010
000
001110
011001BA
![Page 39: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/39.jpg)
Operações com matrizes booleanasDef.: Sejam as matrizes booleanas A=[aij] (mxp) e B=[bij] (pxn). O produto
booleano de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por:
cij = (ai1b1j) (ai2b2j) ... (aipbpj)
Denota-se este produto por AB
Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que:
- a adição é substituída por
- a multiplicação é substituída por
![Page 40: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/40.jpg)
Produto booleanoExemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde:
01
10
01
A
Note que #-colunas de A deve ser = #-linhas de B
110
011B
100110110011
110011100110
100110110011
BA
011
110
011
000101
101000
000101
BA
![Page 41: Problemas e Algoritmos - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/kathya/Disciplinas/matematica_discreta... · Definição: Sejam e funções do conjunto de inteiros ou](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052422/5c42344993f3c338b4258dff/html5/thumbnails/41.jpg)
Operações com matrizes booleanasTeorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então:
1) a) A B = B Ab) A B = B A
2) a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C)
3) a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C)
4) A (B C) = (A B) C