problemas de controle Ótimo em escalas temporais: existência de soluções

Problemas de Controle timo em EscalasTemporais: Existncia de Solues

Iguer Luis Domini dos Santos

CNMAC 2012

Setembro de 2012

Santos, I. L. D. FEIS/UNESP

Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Existncia de Solues

Preliminares Compacidade das Trajetrias Lema de Filippov Existncia de solues Consideraes Finais

Sistemas de Controle

x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b] (1)

I x Rn varivel de estadoI u(t) U(t) varivel de controle

F (t, x) = {f (t, x , u) : u U(t)}

obtemos a incluso diferencial

x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b]. (2)

Hipteses: (2) = (1). Por Lema de Filippov (SIAM - 1962).




Problemas de Controle timo em Escalas Temporais

(Q)

min g(x(a), x(b)) sobre (x , u)x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b)Tu(t) U(t) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C

I A,C Rn; f : T Rn Rm Rn; g : Rn Rn RI U : T Rm uma multifunoI T uma escala temporal: um subconjunto no-vazio e fechado de R.I x AC ([a, b]T,Rn); u : T Rm -mensurvel.I Propsito: Existncia de um processo timo para o problema decontrole timo (Q).




Conceitos Bsicos

Denio

Seja T uma escala temporal. Denimos : T T como

(t) = inf{s T : s > t}

e : T T como(t) = sup{s T : s < t}.

Estamos supondo que inf = supT e sup = inf T.

Denio

Se T uma escala temporal, denimos : T [0,+) como

(t) = (t) t .




Conceitos Bsicos

Denio

I Se A R, denimos AT = A T.I B = {x Rn : x 1}, sendo x a norma euclidiana de x

Denio

Seja T uma escala temporal. Se supT < + denimos

T = T \ ((supT), supT]T

e se supT = + denimos T = T.




Conceito de Derivada

Denio (Derivada )

Seja T uma escala temporal, f : T R e t T. Se R tal que,para todo > 0 existe > 0 de modo que

| f ((t)) f (s) ((t) s) | | (t) s |

para todo s (t , t + )T , dizemos que a derivada delta de f emt e denotamos = f (t).

Denio

Considere uma escala temporal T, uma funo f : T Rn e t T.Dizemos que f -diferencivel em t se cada funo coordenadafi : T R for -diferencivel em t. Neste casof (t) = (f

1(t), ..., f n (t)) .




Clculo em Escalas Temporais

Teorema (Bohner-Peterson (2001))

Considere uma escala temporal T, f : T R e t T. Ento:(i) Se f -diferencivel em t ento f contnua em t.(ii) Se f contnua em t e (t) > t, ento f -diferencivel em t.Alm disso,

f (t) =f ((t)) f (t)

(t).

(iii) Se (t) = t, ento f -diferencivel em t se, e somente se, o limite

lims T t

f (t) f (s)t s

existe como um nmero real. Neste caso

f (t) = lims T t

f (t) f (s)t s

.




Observao

Considere f : T R. Se T = R, temos (t) = t ento f (t) = f (t).Se T = Z ento (t) = t + 1 e f (t) = f (t + 1) f (t).

Teorema (Bohner-Peterson (2001))

Seja T uma escala temporal. Suponha que as funes f , g : T R so-diferenciveis em t T. Ento:(i) A soma f + g : T R -diferencivel em t e vale a relao

(f + g)(t) = f (t) + g(t).

(ii) O produto f .g : T R -diferencivel em t. Alm disso,

(f .g)(t) = f (t)g(t) + f ((t))g(t) =

f (t)g(t) + f (t)g((t)).




Contribuies

I Clculo em escalas temporais: introduzido por Hilger (1988) paraunicar o clculo de diferena e o clculo diferencial.

I Aplicaes da teoria de escalas temporais em diversas reas:Agarwal et al. (2002); Lakshmikantham et al. (1996).

I Clculo das Variaes: Bohner (2004); Hilscher e Zeidan (2004);Malinowska et al. (2011).

I Programao Dinmica: Hilscher e Zeidan (2012); Zhan et al.(2009).

I Existncia de Solues para Incluses Dinmicas: Akin-Bohner eSun (2011); Atici e Biles (2004); Belarbi et al. (2005); Bohner e Tisdell(2005); Chang e Li (2007); Frigon e Gilbert (2011); Santos e Silva(2012).




Contribuies

I Problemas de Controle timo em Escalas Temporais: Hilscher eZeidan (2011); Hilscher e Zeidan (2009); Peng (2012); Peng et al.(2009); Peng et al. (2011); Zhan et al. (2012); Zhan e Wei (2009).

Condies necessrias otimalidade: Hilscher e Zeidan (2011);Hilscher e Zeidan (2009); Peng et al. (2009); Zhan et al. (2012); Zhan eWei (2009).

Existncia de solues para problemas de controle timoescalares: Peng (2012); Peng et al. (2011); Zhan et al. (2012); Zhan eWei (2009).

I Provaremos a existncia de solues para uma classe de problemas decontrole timo descritos por equaes dinmicas vetoriais em escalastemporais.




Medida Exterior

I Usamos uma escala temporal T compacta, sendo

a := minT < maxT := b.

I Denote por F := {[a, b)T : a, b T}. Sendo [a, a)T = .

Denio

Seja E T arbitrrio. Se existe pelo menos uma sequncia de intervalos[aj , bj)T F tal que E

j [aj , bj)T, denimos a medida exterior de E

como

m(E ) = inf{ +

k=1

(bk ak) : E k

[ak , bk)T , [ak , bk)T F}.

Se no existir uma tal cobertura de E denimos m(E ) = + .




Observao Convencionamos que m() = 0.Observao Denotaremos a medida exterior em R por .

Lema (Guseinov (2003))

Se c , d T e c < d ento

m([c, d)T) = d c.

Lema (Cabada e Vivero (2006))

Seja E [a, b)T tal que E {t T : (t) = t}. Ento

m(E ) = (E ).




Conjuntos -Mensurveis

Denio

Um conjunto E T chamado de -mensurvel (Lebesgue-mensurvel) se

m(A) = m(A E ) + m(A (T \ E ))

para cada conjunto A T.

Proposio (Cabada e Vivero (2006))

Tome E T. Ento E -mensurvel se, e somente se, E Lebesguemensurvel.

Corolrio

A famlia de conjuntos -mensurveis uma -lgebra.




-Medida de Lebesgue

Denio

Chamamos a medida m : [0,+] de -medida de Lebesgue edenotamos m .

Denio

Dizemos que uma proposio P vale -quase sempre (-a.e.) emT \ {b}, se o conjunto N dado por

N = {t T \ {b} : P nao vale em t}

tal que (N) = 0.




-Integral de Lebesgue

Denio

Dizemos f : T [,+] -mensurvel se para cada R oconjunto

{t T : f (t) < }

-mensurvel.

Denio

A funo f : T Rn -mensurvel se cada funo coordenadafi : T R -mensurvel.




Denio

Se f : T [,+] -mensurvel e E , denimos integral deLebesgue de f sobre E como em Rudin (1987). Denotamos por

E

f (s)s

e chamamos de -integral de Lebesgue de f sobre E

I Propriedades bsicas e resultados bsicos da teoria de integrao:Bartle (1995), Royden (1968) e Rudin (1987).

I Se f = (f1, ..., fn) : T Rn -mensurvel, denimosE

f (s)s =(

E

f1(s)s, ...,

E

fn(s)s).

I Se E , denotaremos por L1(E ,Rn) o conjunto das funesf : T Rn -mensurveis e integrveis em E .




Arcos

Denio

Diz-se que uma funo f : T Rn absolutamente contnua se paratodo > 0 existe > 0 tal que

ni=1

f (bi ) f (ai ) <

quando ai bi e {[ai , bi )T}ni=1 so intervalos disjuntos satisfazendo

ni=1

(bi ai ) < .

I Tais funes so chamadas de arcos.I Vale o Teorema Fundamental do Clculo.




Arcos

Teorema

Uma funo f : T Rn absolutamente contnua se, e somente se, asseguintes condies so vlidas:(i) -a.e. t [a, b)T a funo f -diferencivel e f L1([a, b)T,Rn)(ii) para cada t T tem-se

f (t) = f (a) +

[a,t)T

f (s)s .

I A prova uma consequncia direta do caso f : T R provado porCabada e Vivero (2005).




Multifunes

Denio

I (,F) um espao mensurvel.I Uma multifuno uma aplicao : Rn que aplica pontosx em subconjuntos (x) de Rn.I Uma multifuno : Rn F-mensurvel quando o conjunto

1(V ) = {x : (x) V 6= }

F-mensurvel para cada conjunto compacto V Rn.

O grco de uma multifuno dado por

Gr := {(, v) Rn : v ()}




Hipteses H1 e H2: Existncia de Solues

(H1) F : T Rn Rn no-vazia, compacta, convexa e Bn-mensurvel. Alm disso, a.e. t [a, b)T a multifunoF (t, .) : Rn Rn possui o grco fechado

(H2) Existe uma funo c : T [0,+) em L1([a, b)T) tal que

F (t, x) (x+ c(t))B

para todo (t, x) T Rn, sendo > 0.

Denio

Considere uma multifuno F : T Rn Rn no-vazia. Dizemos queuma funo x AC (T,Rn) uma trajetria de F se satiszer a seguinterestrio

x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b)T .




Existncia de Solues

(P)

min g(x(a), x(b)) sobre x AC ([a, b]T,Rn)

x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C

sendo A,C Rn.

Teorema (Trajetria tima para (P))

I F : T Rn Rn satisfaz (H1) e (H2).I A compacto e C fechado. A funo g : Rn Rn R semicontnua inferiorI Se (P) possui uma trajetria admissvel ento existe uma trajetriatima.

Prova: UsamosI Compacidade de Trajetrias




Teorema (Compacidade)

I F : T Rn Rn satisfaz (H1) e (H2).I xi : T Rn arcos tal que {xi (a)} limitada.I yi : T Rn funes -mensurveis tal que yi (t) 0 -a.e.t [a, b)TI : T [0,+) em L1([a, b)T) de modo que

yi (t) (t) t T, i

I Se para cada i temos

xi (t) F (t, xi (t) + yi (t)) a.e. t [a, b)T

ento existe {xik} {xi} e uma trajetria x de F tal que xik x .




Existncia de Trajetria tima

(P)

min g(x(a), x(b)) sobre x AC ([a, b]T,Rn)

x(t) F (t, x(t)) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C

Prova: Seja {xi} uma sequncia de trajetrias admissveis tal que

lim g(xi (a), xi (b)) = inf{g(x(a), x(b)) : x (P)} := IP .

I Da "Compacidade"existe {xik} {xi} e uma trajetria x de F talque xik x

I A C fechado (x(a), x(b)) A C x admissvel.I Sendo

IP = lim g(xi (a), xi (b)) = lim inf g(xik (a), xik (b)) g(x(a), x(b)) IP

conclumos que x uma trajetria tima do problema (P)Santos, I. L. D. FEIS/UNESP



Lema de Filippov

I Em tempo contnuo, uma questo de grande relevncia no estudode incluses diferenciais a seleo (h H) de uma funosatisfazendo determinadas propriedades.

I Generalizamos um resultado clssico de seleo mensurvelbastante utilizado na teoria de controle timo: Lema de Filippov.

I Considere a restrio dinmica{x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b)Tu(t) U(t) a.e. t [a, b)T .

(3)

Se (x , u) satisfaz (3) tambm satisfaz

x(t) {f (t, x(t), u) : u U(t)} a.e. t [a, b)T . (4)




Lema de Filippov em escalas temporais

Teorema (Lema de Filippov)

I U : T Rm no-vazia, fechada e -mensurvel.I f : T Rn Rm Rn contnua em (x , u) para cada t xado, e-mensurvel em t para cada (x , u) xado.I Se x AC ([a, b]T,Rn) satisfaz (4) ento existe uma seleo-mensurvel u de U tal que (x , u) satisfaz (3).

Prova:I Propriedades de multifunes (Mensurabilidade).

I Seleo Mensurvel: Castaing e Valadier (1977).




Problemas descritos por equaes dinmicas

I f : T Rn Rm Rn; U : T Rm no-vazia, compacta e-mensurvel

(Q)

min g(x(a), x(b)) sobre (x , u)x(t) = f (t, x(t), u(t)) a.e. t [a, b)Tu(t) U(t) a.e. t [a, b)T(x(a), x(b)) A C

sendo x AC ([a, b]T,Rn) e u : T Rm uma funo -mensurvel.




Existncia de Processo timo

Teorema

I f : T Rn Rm Rn satisfaz:(i) f contnua em (x , u) para cada t xado, e -mensurvel em t paracada (x , u) xado.(ii) o conjunto f (t, x ,U(t)) convexo para cada t T e x Rn.(iii) existem > 0 e c : T [0,+) em L1([a, b)T) tal que

f (t, x , u) x+ c(t)

para todo (t, x , u) T Rn U(t).I A um conjunto compacto e C um conjunto fechado.I Se existe um processo factvel (x , u) ento existe um processo timo(x , u).




Prova:I F : T Rn Rn denida como

F (t, x) = {f (t, x , u) : u U(t)}.

I Usando o Teorema "Trajetria tima para (P)"e o "Lema deFilippov"prova-se a existncia de um processo timo (x , u) para oproblema (Q).




Consideraes Finais

I Usando a teoria da medida em escalas temporais: compacidade dastrajetrias de incluses dinmicas vetoriais: fazendo um paralelo com ocaso contnuo Vinter (2000).

I Foi obtida uma estenso do Lema de Filippov: Filippov (1962).

I Assim como no caso clssico Loewen (1993), Vinter (2000): apropriedade de compacidade de trajetrias tambm pode ser utilizadapara a obteno de solues para problemas de controle timo.

I Em tempo contnuo (incluses diferenciais) o Lema de Filippov usado na obteno de condies necessrias a otimalidade paraproblemas de controle timo padro: Vinter (2000).

I Nos trabalhos de controle timo em escalas temporais: inclusesdinmicas em escalas temporais so pouco exploradas.I Acreditamos que esse trabalho contribui para a explorao dasincluses dinmicas na teoria de controle timo.




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