problemas de algebra linear¶ - departamento de matemáticappinto/al0708/... · 2007. 9. 26. · 1...

Instituto Superior TécnicoDepartamento de MatemáticaSecção de Álgebra e Análise

Problemas de Álgebra LinearLEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ

1o Semestre 2007/2008

Paulo Pintohttp://www.math.ist.utl.pt/˜ppinto/

Conteúdo

1 Sistemas lineares de equações e álgebra matricial 21.1 Matrizes e Sistemas lineares de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Determinante 7

3 Espaços lineares (vectoriais) 93.1 Vectores geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Bases e dimensão de espaços lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Coordenadas de um vector numa base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Valores próprios e vectores próprios 14

5 Produtos internos 155.1 Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Complemento, projecções e bases ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Transformações lineares 186.1 Representação matricial de transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Transformações injectivas/sobrejectivas e bijectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Algumas Aplicções 237.1 Formas quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Mı́nimos quadradros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.3 Equações diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Alguns problemas resolvidos 278.1 Resolução de alguns exames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Exames sem resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1

1 Sistemas lineares de equações e álgebra matricial 2

1 Sistemas lineares de equações e álgebra matricial

Números complexos

1.1 Verifique que as inclusões N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C são todas estritas. Será que isto implica que, p.ex.,#N 6= #Z??

1.2 Escreva na forma a + bi os seguintes números complexos:

(a) (2− i)2 (b) 24−3i (c) 1+i1−i (d) (i)n, n ∈ N.

1.3 Escreva os seguintes números na forma polar z = ρeiθ:

(a) 7 (b) -2i (c)√

1− i (d) 3√−i.

1.4 Seja p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn um polinómio de coeficientes reais (i.e. todos os coeficientesak ∈ R) e na variável complexa z.(a) Mostre que p(z̄) = p(z) para qualquer z ∈ C.(b) Conclua que se λ = a + ib, com a, b ∈ R e b 6= 0, é raiz de p(z), então λ̄ também o é.(c) Mostre que se n = 3 e p(z) tem uma raiz com parte imaginária não nula, então p possui três raizesdistintas.(d) Calcule todas as raizes de p(z) = 5 + 9z + 8z2 + 4z3.

1.1 Matrizes e Sistemas lineares de equações

1.5 Escreva a matriz A = [aij ]i,j=1,··· ,4 definida por

(a) aij =

1 se i = j,−1 se j = i + 1,0 caso contrário.

(b) aij = j2 (c) aij =

{−aji para todo i, jj para j > i.

1.6 Sejam A =

[1 π −12 3

√3

], B =

[−1 2 33 2 −1

], C =

[1 2

], D =

[π

3

].

(a) Calcule, se posśıvel, A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD.(b) Calcule, se posśıvel, AT , AT B, CD e DT CT .

1.7 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2×2 tais que AB 6= BA. Será que (A+B)2 = A2 +2AB +B2?(b) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A então temos A2 = A.

Resolução: (a) Há muitas – use por exemplo as seguintes A =

[1 10 0

]e B =

[0 01 1

].

1.8 Prove que {A ∈ Mat2×2(R) : AB = BA, para qualquer B} = {aI : a ∈ R} onde I designa a matrizidentidade do tipo 2× 2. Generalize para matrizes n× n.


Resolução: Dada uma matriz A ∈ {A ∈ Mat2×2(R) : AB = BA, para toda B} escrever as condiçõesque provêm de AB = BA quando fazemos B ∈ {

[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}.

Sistemas lineares

1.9 Quais das seguintes equações são equações lineares em x, y e z?(a) x + π2y +

√2z = 0, (b) x + y + z = 1, (c) x−1 + y + z = 0, (d) xy + z = 0.

1.10 (a) Decida qual dos seguintes pontos (0, 0), (−1, 1), (1,−1), (1, 1) é a solução do sistema

x + y = 0−x− 2y = 12x + 2y = 0.

(b) Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (1,−1, 0, 0), (1,−1, 0, π), (0,−1, 1, 3), (0,−1, 0, 3) sãosolução do sistema linear seguinte, nas incógnitas (x, y, z, w):

{x + y + 2z = 0−x− 2y − z = 1.

1.11 Resolva cada um dos sistemas de equações lineares, utilizando o método de Eliminação de Gauss:

(a)

x + y + 2z = 8−x− 2y + 3z = 13x− 7y + 4z = 10,

(b)

3x + 2y = 16x + 4y = 09x + 6y = 1,

(c)

{x + y + z + w = 12x + 2y + 2z + 3w = 1,

(d)

2x + 8y + 6z = 204x + 2y − 2z = −23x− y + z = 11,

(e)

2x + 8y + 6z = 204x + 2y − 2z = −2−6x + 4y + 10z = 24,

(f)

y + z = 23y + 3z = 6y + x + y = 0.

1.12 Escreva cada sistema linear do problema 1.11 na forma matricial e aplique o método de Eliminaçãode Gauss, à matriz aumentada, para confirmar o resultado obtido no problema 1.11. Indique o conjuntosolução.

1.13 Discuta, em função do parâmetros α e β, cada sistema de equações cuja matriz aumentada é:

(a)

α 1 1 11 α 1 11 1 α 1

(b)

α 0 β 2α α 4 40 α 2 β

Solução (a) Para α 6= 1 e α 6= −2 o sistema é posśıvel e determinado. Para α = 1 sistema é posśıvel eindeterminado. Finalmente para α = −2, o sistema é imposśıvel.(b) O sistema é posśıvel e determinado se α 6= 0 e β 6= 2. É imposśıvel para α = 0 e β 6= 2. Nos restantescasos, o sistema linear é posśıvel e indeterminado (i.e. β = 2 e qualquer α).

1.14 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada é

1 2 −α 12 −1 −1 β9 −2 1 −1

.

(a) Calcule as caracteŕısticas de A e da matriz aumentada[

A b]

em função dos parâmetros α e β.


(b) Discuta o tipo de solução do sistema em função dos parâmetros α e β.1

Resolução: Usando eliminação de Gauss temos

264

1 2 −α 12 −1 −1 β9 −2 1 −1

375

−→−2L1+L2−9L1 + L3

264

1 2 −α 10 −5 2α− 1 β − 20 −20 1 + 9α −10

375 −→−4L2 + L3

264

1 2 −α 10 −5 2α− 1 β − 20 0 α + 5 −4β − 2

375 .

(a) Donde

car A =

{3, α 6= −52, α = −5 , car [A|b] =

3, α 6= −5, β ∈ R3, α = −5 e β 6= −1/22, α = −5 e β = −1/2

.

(b) Analisando novamente a matriz em escada de linhas obtida em a) concluimos que o sistema é im-posśıvel quando α = −5 e β 6= −1/2. É determinado quando α 6= −5 e indeternminado quando α = −5e β = −1/2.

1.15 Quais das seguintes matrizes estão em escada de linhas? Indique as respectivas caracteŕısticas.

(a)

1 0 00 1 00 0 1

(b)

1 0 00 1 00 0 0

(c)

0 1 00 0 10 0 0

(d)

0 1 00 0 10 0 1

(e)

3 1 −10 0 00 0 1

(f)

3 1 −10 0 10 0 0

(g)

0 00 00 0

(h)

[0 0 00 0 0

](i)

001

(j)

[0 0 1

]

1.16 Determine o conjunto solução de cada sistema homogéneo Au = 0 associada a cada matriz A doproblema 1.15, indicando o número de variáveis livres.

1.17 Em cada sistema do problema 1.10, compare as caracteŕısticas da matriz dos coeficientes dasincógnitas com a caracteŕıstica da matriz aumentada.

1.18 Sejam x0 e x1 duas soluções do sistema linear Ax = b. Prove que:(a) Para qualquer real λ, xλ = λx0 + (1− λ)x1 é solução de Ax = b,(b) xλ − xλ′ é solução do sistema homogéneo associado Ax = 0 para quaisquer λ, λ′ parametros.Conclua que se Ax = b tiver duas soluções distintas, então o conjunto solução é infinito.

1.19 Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna não nula, decida o valor lógica de cada umadas seguintes afirmações:(a) Se x1 é solução de Ax = b e y1 é solução do sistema homogéneo associado Ay = 0, então x1 − y1 ésolução de Ax = b.(b) Se x1 e x2 são duas soluções de Ax = b, então x1 − x2 é solução de Ax = b.(c) Se x1 e x2 são duas soluções de Ax = b, então x1 − x2 é solução de Ax = 0.(d) Se A é invert́ıvel, então x = 0 é a única solução de Ax = 0.

1Note que num sistema Ax = b: car(A) = car [A|b] sse o sistema é posśıvel (portanto imposśıvel sse car [A] 6= car [A|b]).Mais car (A) = car [A|b]=número de incógnitas sse é posśıvel determinado e posśıvel indeterminado sse car (A) =car [A|b] 6=número de incógnitas


1.20 Determine um sistema linear de equações cujo conjunto solução seja dado por S:(a) S = {(1 + t, 1− t) : t ∈ R};(b) S = {(1, 0, 1)};(c) S = {(t, 2t, 1) : t ∈ R};(d) S = {(t, s, t + s) : t, s ∈ R};(e) S = ∅.

1.21 Sejam Aα =

[α −1 01 α 1

0 0 α

], x =

[x1x2x3

], b =

[1

1

1

]onde α ∈ C é um parâmetro complexo. Considere

a seguinte lista de afirmações:

I) Existe um único valor de α para o qual car(Aα) 6= 3.

II) O sistema homogéneo Aαx = 0 é posśıvel para qualquer valor de α.

III) O sistema Aαx = b é posśıvel para qualquer valor de α.

IV) O sistema Aαx = b é determinado para infinitos valores de α.

A lista completa de afirmações correctas éA) II e IV B) II e III e IV C) I e II e III e IV D) I e II

Matrize Inversa

1.22 Sejam A,B ∈ Matn×n(R) invert́ıveis. Prove que AB também é invert́ıvel e que (AB)−1 = B−1A−1.

Resolução: Temos que provar que existe uma matrix X tal que X(AB) = (AB)X = I, onde I designa amatriz identidade n× n. Mas como sugere o enunciado, X = B−1A−1. Provemos p.ex. que X(AB) = I:

X(AB) = B−1A−1(AB) = B−1(A−1A)B = B−11B = B−1B = 1,

onde na segunda igualdade usa-se associatividade a da multiplicação matricial, na terceira igualdade ahipótese de A−1 ser a inversa de A e na última igualdade a hipótese de B−1 ser a inversa de B.

1.23 Prove que

[a b

c d

]−1= 1ad−cb

[d −b−c a

]sempre que ad− cb 6= 0.

1.24 Sendo A = [aij ] uma matriz n×n, define-se o traço de A, tr(A), como sendo a soma dos elementosda diagonal pincipal, i.e. tr(A) =

∑nk=1 akk.

(a) Prove que tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(A) = tr(AT ) onde AT designa a matriz transposta de A(b) Prove que tr(AB) = tr(BA).(c) Se B = S−1AS para alguma matriz invert́ıvel S, então prove que tr(A) = tr(B).

Resolução: As aĺıneas (a) e (b) seguem directamente das definições. Use a aĺınea (b) para resolver (c).

1.25 Sejam A,B,C matrizes n× n, tais que A e B são invert́ıveis. Resolva a seguinte equação matricialem X: AXB = C.


Resolução: Como A é invert́ıvel A−1A = I onde I designa a matriz identidade n× n. Portanto multi-plicando à esquerda por A−1 obtém-se

AXB = C ⇔ A−1AXB = A−1C ⇔ IXB = A−1C ⇔ XB = A−1C.

De forma similar, multiplica-se à direita esta última equação por B−1 e conclui-se que X = A−1CB−1.

1.26 Seja A ∈ Matn×n(R) tal que Ak = 0 para algum k ∈ N, k 6= 1. Prove que (I − A)−1 = I + A +A2 + · · ·+ Ak−1.

1.27 Seja A =

10 7 4−17 −12 −74 3 2

.

(a) Verifique que A3 é a matriz nula. Prove que A não é invert́ıvel.(b) Calcule (I + A + A2)(I −A).

Resolução: Facilmente calcula-se A3 por definição de produto de matrizes. Supor que A é invert́ıvel,então como o produto de matrizes invert́ıveis é invert́ıvel, conluimos que A2 e A3 também são invert́ıveis.Mas A3 não é invert́ıvel. Alternativelmente, verifique que car (A) = 2 6= 3. Donde A não é invert́ıvel.Use o problema 1.26.

1.28 Seja A tal que (7A)−1 =

[3 42 3

]. Calcule A.

Resolução: Note que (7A)−1 = C significa que 7−1A−1 = C, i.e. A = 7−1C−1. Neste caso concreto,

A = 17

[3 −4−2 3

].

1.29 Quando posśıvel, inverter as seguintes matrizes:

A =

[1 11 2

], B =

[1 11 1

], C =

3 5 0−1 −2 −21 2 1

, D =

0 a 0 0 0b 0 c 0 00 d 0 e 00 0 f 0 g0 0 0 h 0

.

Resolução: Usando o método de Gauss-Jordan temos[

1 1 1 01 2 0 1

]−→

−L1 + L2

[1 1 1 00 1 −1 1

]−→

−L2 + L1

[1 0 2 −10 1 −1 1

].

Portanto A é invert́ıvel porque car (A) = 2 e A−1 =

[2 −1−1 1

]. A matriz B não é invert́ıvel pois

car (B) = 1 6= 2 assim como a matriz D para quaisquer valores dos parâmetros a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R. Amatriz C é invert́ıvel.

2 Determinante 7

1.30 Aproveite a matriz A do problema 1.29 para resolver o sistema

{x + y = 8x + 2y = 10

.

Resolução: Como A é invert́ıvel, de Ax = b obtém-se x = A−1b multiplicando à esquerda por A−1.Portanto pelo exerćıcio 1.29

[x

y

]=

[2 −1−1 1

][810

]=

[62

].

1.31 Discuta a invertibilidade da matriz Aα, em função do parâmetro α, onde Aα =

0 1 1 11 1 −1 14 4 −α2 α22 2 −2 α

.

Faça a discussão do sistema homogéneo associado Aαx = 0.

2 Determinante

2.1 Seja A uma matriz n× n e B. Decida se cada afirmação seguinte é verdadeira:(a) Seja B a matriz que se obtém de A fazendo uma troca de linhas Li ←→ Lj com i 6= j. Entãodet(A) = det(B).(b) Seja B a matriz que se obtém de A multiplicando uma linha de A por um escalar não nulo k. Entãodet(A) = 1k det(B).(c) Seja B a matriz que se obtém de A substituindo a linha Li de A por Li + αLj , para qualquer escalarα. Então det(A) = det(B).(d) Sendo AT a matriz transposta de A, det(A) = det(AT ).(e) det(αA) = αn det(A).

2.2 Seja A =

a b c

d e f

g h i

tal que det(A) = −5. Calcule

(a) det(3A) (b) det(A−1) (c) det(−2A−1) (d) det((−2A)−1) (e) det(A3) (f) det

a g d

b h e

c i f

2.3 Mostre que det

b + c a + c a + ba b c

1 1 1

= 0 para quaisquer a, b, c ∈ R. Será que A é invert́ıvel para

algum a, b, c ∈ R?2.4 Para que valores de k a matriz A é invert́ıvel?

(a) A =

1 2 43 1 6k 3 2

(b) A =

[k − 2 −2−2 k − 2

].

2 Determinante 8

2.5 Use a Regra de Laplace para calcular os determinantes das matrizes

A =

1 π −10 2 03 4 5

, B =

1 −2 3 01 0 0 −10 −3 1 40 2 −1 0

, C =

0 5 1 0 20 3 2 1 −11 0 2 0 0−1 0 3 2 11 −3 −2 −1 1

.

2.6 (a) Calcule det(Ax − λI) onde Ax =

1 0 0 x0 1 x 00 x 1 0x 0 0 1

onde x é um parâmetro real e I designa a

matriz identidade do tipo 4× 4.(b) Determine os valores de λ (em função de x) para os quais Ax − λI é singular.(c) Para que valor (ou valores) de x a matrix Ax é invert́ıvel?

2.7 Seja A ∈ Matn×n(R) tal que AAT = I.(a) Prove que det(A) = ±1.(b) Encontre uma matriz A tal que AAT = I e det(A) = −1.

2.8 Seja A =

1 −2 36 7 −1−3 1 4

.

(a) Calcule det(A) e justifique que A é invert́ıvel.(b) Determina a entrada-(1,3) da matriz inversa A−1.

2.9 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando a regra de Cramer.

(a)

{7x− 2y = 33x + y = 5

(b)

x− 3y + z = 42x− y = −24x − 3z = −2

2.10 Seja A =

[a b c

a 1 2

b 2 4

]. Sabendo que det(A) = 5, considere a seguinte lista de afirmações:

I) det

[a 1 2

a b c

4b 8 16

]= −20.

II) 2a 6= b.III) det(−3A) = −135.

A lista completa de afirmações correctas éA) I B) II C) I e II e III D) I e II

2.11 Seja A =

3 2 1 −11 2 2 0

3 4 4 0

3 1 0 0

. Considere a seguinte lista de afirmações:

3 Espaços lineares (vectoriais) 9

I) A matriz A é não invert́ıvel.

II) A entrada-(1,4) da matriz inversa de A é igual a 0.

III) A matriz 13A2 é invert́ıvel.

A lista completa de afirmações correctas éA) I B) II e III C) II D) III

3 Espaços lineares (vectoriais)

Subespaços lineares

3.1 Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuaisde adição de vectores e multiplicação por escalares):(a) {(0, 0)}.(b) {(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 0}.(c) {(x, y) ∈ R2 : x + y = π}.(d) {(x, y) ∈ R2 : ax + by = k}.(e) {(x, y) : x ∈ N0, y ∈ R}

3.2 Considere o espaço linear V = R3 com as operações usuais. Diga, justificando, quais dos seguintessubconjuntos de R3 são subespaços lineares de V :(a) {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1},(b) {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 0},(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0, x− y = 0},(d) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0,−x + y + 3z = 0}.

3.3 Considere o conjunto F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0, x− z + w = 0, x− w = 0}.(a) Quais os vectores u1, u2 e u3 pertencem a F , onde u1 = (0, 0, 0, 0), u2 = (1,−4, 2, 1) e u3 = (1, 4, 2, 1),(b) Prove que F é um subespaço de R4.

3.4 (a) Seja A uma matriz real n ×m. Prove que V = {(x1, · · · , xm) ∈ Rm : A

x1x2...

xm

=

0

0

..

.

0

} é um

subespaço linear de Rm.(b) Use (a) para resolver o problema 3.3 (b).

3.5 Considere V o espaço linear das funções reais de variável real. Diga, justificando, quais dos seguintessubconjuntos de V são subespaços lineares de V :(a) {f ∈ V : f(x) = f(−x)},(b) {f ∈ V : f cont́ınua},(c) {f :∈ V : f diferenciável e f ′(x) = f(x)} onde f ′ designa a derivada de f ,


(d) {f ∈ V : f é 3 vezes diferenciável e f ′′′(x)− f ′′(x) + πf ′(x) = 0,∀x}(e) {p ∈ V : p polinómino},(f) Pn := {p(x) =

∑ni=1 αix

i : grau de p ≤ n} onde n é fixo,(g) {p ∈ Pn : grau p = n},(h) {p ∈ Pn : grau de p ≤ n e p(1) = 0}.

3.6 Considere V = Matn×n(R) os espaço linear das matrizes n×n. Diga, justificando, quais dos seguintessubconjuntos de V são subespaços lineares de V :(a) {matrizes triagulares superiores},(b) {X ∈ V : X é invert́ıvel},(c) {X ∈ V : Tr(X) = 0},(d) {X ∈ V : XT = X} onde XT designa a transposta da matriz X,(e) {X ∈ Mat2×2(R) : AX = XA}, onde A =

[0 1−1 0

].

3.1 Vectores geradores

3.7 Considere em R2 o conjunto de vectores S = {(1, 1), (−1,−1)}.(a) Mostre que o vector (3, 3) é combinação linear de vectores de S.(b) Mostre que o vector (0, 1) não é combinação linear de vectores de S.

3.8 No espaço linear R3 considere os vectores v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (1, 1, 0). Mostre que osseguintes vectores são combinações lineares de v1, v2 e v3:(a) v = (3, 3, 3) (b) v = (2, 1, 5) (c) v = (−1, 2, 0).

3.9 Determine o valor de k para o qual o vector v = (1,−2, k) ∈ R3 é combinação linear dos vectoresv1 = (3, 0,−2) e v2 = (2,−1,−5).

3.10 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3:(a) {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}.(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}.(c) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1), (2, 1, 3)}.

3.11 Considere, no espaço linear P2 dos polinómios de grau menor ou igual a 2, os vectores p1(x) =2 + x + 2x2, p2(x) = −2x + x2, p3(x) = 2− 5x + 5x2 e p4(x) = −2− 3x− x2. O vector p(x) = 2 + x + x2pertence à expansão linear L({p1, p2, p3, p4})? Podem p1, p2, p3 e p4 gerar P2?

3.12 Considere A1 =

[1 11 1

], A2 =

[0 −11 1

], A3 =

[0 01 1

]e A4 =

[0 00 1

]no espaço linear

V =Mat2×2(R). Prove que S = {A1, A2, A3, A4} gera V . Escreva A =[

1 03 4

]como combinação linear

de matrizes de S.


3.2 Independência linear

3.13 Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:Em R2:(a) {(1, 1), (2, 2)},(b) {(1, 1), (1, 2)},Em R3:(c) {(2,−1, 4), (3, 6, 2), (2, 10,−4)},(d) {(6, 0,−1), (1, 1, 4)},(e) {(4, 4, 0, 0), (0, 0, 6, 6), (−5, 0, 5, 5)}.3.14 Determine o única valor de a que torna os seguintes vectores linearmente dependentes:v1 = (1, 0, 0, 2), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 0, 1, a).

3.15 Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearente independentes:Em P2:(a) {2− x, 1 + x},(b) {1 + x, 1 + x2, 1 + x + x2},Em P3:(c) {1 + x + x3, 1− x− x2 + x3, x2},(d) {1, x, x2, x3},No espaço das funções reais de variável real:(e) {cos2(t), sin2(t), 2},(f) {t, cos(t)},Em Mat2×2(R):

(g) {A1 =[

1 11 1

], A2 =

[0 −11 1

], A3 =

[0 01 1

], A4 =

[0 00 1

]}.

3.16 (a) Seja {v1, v2, · · · , vn} um conjunto de vectores linearmente independente de Rn e A ∈ Matn×n(R)uma matriz invert́ıvel. Prove que {Av1, Av2, · · · , Avn} também é um conjunto de vectores linearmenteindependente.(b) Sejam v1, v2 e v3 vectores linearmente independentes em R3. Prove que então w1 = v1 + v2 + v3,w2 = 2v2 + v3 e w3 = −v1 + 3v2 + 3v3 são vectores linearmente independentes.

3.3 Bases e dimensão de espaços lineares

3.17 (a) Encontre um conjunto de vectores S num espaço linear V tal que S gere V mas com os vectoresde S linearmente dependentes.(b) Encontre um cojunto de vectores S num espaço linear V tal que S não gere V mas com os vectoresde S linearmente independentes.

3.18 Indique uma base e a respectiva dimensão para cada espaço linear:(a) {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}.(b) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}.(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0, x− y = 0}.(d) {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z = 0, x− y = 0, y + w = 0}.


3.19 Seja A =

1 5 92 6 103 7 114 8 12

. Determine a dimensão dos seguintes espaços lineares, indicando uma base

em cada caso:(a) Núcleo de A (b) Espaço linhas de A (c) Espaço colunas de A.

3.20 Encontre a caracteŕıstica, bases para o núcleo, espaço das linhas e das colunas das matrizesseguintes:

[1 5 92 6 10

],

[1 −43 −12

],

[0 0 00 0 0

],

1 52 63 7

,

1 2 −12 4 30 0 −24 8 12

e

1 −3 2 2 10 3 6 0 −22 −3 −2 4 43 −3 6 6 35 −3 10 10 5

.

Para cada matriz A verifique que: dim Nuc(A)+ car(A)= número de colunas de A.

3.21 Encontre bases e respectivas dimensões para os seguintes espaços lineares:(a) V = {p ∈ P3 : p(1) = 0};(b) V = {p ∈ P2 : p(0) = p(1) = 0};(c) V = {

[a b

c d

]∈ Mat2×2(R) : a + 2b = 0};

(d) {A ∈ Mat2×2(R) : A = AT };(e) {A ∈ Mat2×2(R) : A

[0 −11 1

]=

[0 −11 1

]A}.

3.22 Sejam E = L({(1, 1, 1), (1, 2, 2)}) e F = L({(0, 1,−1), (1, 1, 2)}).(a) Determine a dimensão de E + F .(b) Determine a dimensão de E ∩ F .

3.23 Determine as dimensões de E ∩ F e E + F :(a) E = L({(1, 1,−1,−1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 2)}) e F = L({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1)});(b) E = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z = 0} e F = ({(x, y, z, w) ∈ R4 : x + w = 0, y + w = 0};(c) E = L({1 + x + x2, 1 + x2}) e F = L({3 + 2x + 3x2}) em P2.

3.24 Seja V = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0}. Considere a seguinte lista de afirmações:I) O conjunto {(1, 0, 1), (0, 2, 0)} é uma base de V .

II) dim(V ) = 2 e {(1, 0,−1), (0, 1, 0)} forma uma base de V .

III) V = Nuc(A) onde A =

[1 0 10 1 0

].

IV) V = Nuc(A) onde A =

[1 0 −13 0 −3

].


A lista completa de afirmações correctas éA) I e III B) II e III C) I e IV D) II e IV

3.25 Para cada β seja Vβ = {(x, y) ∈ R2 : x − βy = 1 − β2, −βx + y = 1 − β}. Considere a seguintelista de afirmações:

I) O conjunto Vβ é um subespaço linear de R2 para um único valor de β.

II) dim(V1) = 1 e {(1, 1)} é uma base de V1 (onde V1 designa Vβ fazendo β = 1).

III) As coordenadas de v = (a, b) na base ordenada {(1, 1), (1,−1)} são (a−b2 , a+b2 ).

A lista completa de afirmações correctas éA) I B) I e II C) II e III D) I e III

3.4 Coordenadas de um vector numa base

3.26 (a) Seja BC = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B = {v1 = (1, 1), v2 = (−1, 0)} duas bases de R2. En-contre a as coordenadas vBc do vector v = (3, 4) na base Bc assim como as coordenadas vB do mesmovector v na base B.

3.27 Considere V = L({v1, v2, v3}) onde v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1,−1) e v3 = (1, 2, 2, 0).(a) Encontre uma base para V e indique a respectiva dimensão.(b) Quais são as coordenadas do vector v = (2, 4, 4, 0) na base ordenada de (a)?

3.28 Encontre as coordenadas do vector v = (1, 2,−3) numa base do espaço linear E = {(x, y, z) ∈ R3 :x + y + z = 0} à sua escolha.

3.29 Seja B = {v1, v2} a base do subespaço linear W de R3, onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 1). Considerea seguinte lista de afirmações:

I) (1, 2, 1) ∈ W .

II) W = {(x, y, z) : x− z = 0}.

III) As coordenadas vB do vector v = (2, 3, 2) na base B são vB = (2, 1).

IV) Se vB = (3,−1) são as coordenadas de v na base B, então v = (2, 3, 2).

A lista completa de afirmações correctas éA) I e IV B) II e III C) I, II e IV D) I, III e IV

4 Valores próprios e vectores próprios 14

4 Valores próprios e vectores próprios

4.1 Seja A =

[1 22 1

]. Considere ainda os vectores v1 = (0, 0), v2 = (2, 1), v3 = (−1, 1), v4 = (2, 3)

e v5 = (2, 2). Identifique os que são vectores próprios e A. Diga ainda quais são os valores própriosassociados.

4.2 Seja A =

0 1 00 1 00 1 0

.

(a) Determine o polinómio caracteŕıstico de A e o seus valores próprios.(b) Mostre que os vectores v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) determinam um base de R3

constitúıda por vectores próprios de A.

4.3 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre os valores próprios e bases para os espaços próprioscorrespondenntes:

(a) A =

[3 08 −1

], (b) A =

[10 −94 −2

](c) A =

[0 34 0

](d) A =

[0 00 0

]

(e) A =

4 0 1−2 1 0−2 0 1

(f) A =

5 0 11 1 0−7 1 0

(g) A =

0 0 2 01 0 1 00 1 −2 00 0 0 1

.

4.4 Seja A =

[1 20 3

].

(a) Determine o polinómio caracteŕıstico de A.(b) Determine os espaço próprios e indique as respectivas dimensões.(c) Prove que A é diagonalizável e indique uma matriz S que diagonalize A, i.e. matriz S tal que tal queSAS−1 é uma matriz diagonal.(d) Calcule A9.

4.5 Considere as matrizes

A =

0 0 00 0 110 −4 4

B =

1 1 11 1 11 1 1

.

(a) Determine os valores e vectores próprios de A e de B.(b) Diga, justificando, se existe alguma das matrizes A ou B é diagonalizável.

4.6 Considere, para cada parâmetro real α, a matriz Aα e o vector vα definidos por:

Aα =

α 0 0 α1 0 0 12 0 0 23 0 0 3

, vα =

α

123

.

5 Produtos internos 15

(a) Determine o escalar λ ∈ R, em função do parâmetro, tal que Aαvα = λvα.(b) Discuta as dimensões do Nuc(Aα) e do espaço CAα gerado pelas colunas de Aα, em função de α.(c) Determine, em função de α, bases para Nuc(Aα) e CAα .(d) Determine, em função de α, os valores próprios de Aα.(e) Identifique os valores de α para os quais Aα é diagonalizável.

4.7 (a) Seja A uma matriz n× n invert́ıvel, λ um valor próprio de A e v um vector próprio associado aovalor próprio λ. Prove que então λ−1 é valor próprio da matriz inversa A−1. Indique um vector próprioassociado a este valor próprio.(b) Se v é um vector próprio comum às matrizes A e B, então prove que v também é um vector própriode AB.

4.8 Seja p(λ) = det(A − λI) o polionómio caracteŕıstico de uma matriz real do tipo n × n e E(λ) =Nuc(A− λI). Decida sobre o valor lógico das seguintes proposições:(a) Temos p(λ) = 0 se e só se dim E(λ) 6= 0.(b) A matriz é invert́ıvel se e só se 0 e valor próprios de A.(c) Se a matriz B se obtém de A aplicando o método de Gauss, então os valores próprios de A e Bcoincidem.(d) Se A é simétrica A = At, então é diagonalizável.(e) Se λ e µ são valores próprios distintos de A, u vector próprio associado ao valor próprio λ, v vectorpróprio associado ao valor próprio µ, então u + v é um vector próprio associado ao valor próprio λ + µ.(f) O conjunto {λ ∈ C : dim Nuc(A− λI) = 0} é infinito.

4.9 Seja A matriz 2 × 2, v1 e v2 dois vectores próprios de A associados aos valores próprios λ1 = 1 eλ2 = −1, respectivamente. Considere a seguinte lista de afirmações:

I) O vector −v1 − v2 não é vector próprio de A.

II) λ1 + λ2 é um valor próprio de A.

III) A matriz A é diagonalizável.

IV) A é invert́ıvel.

A lista completa de afirmações correctas éA) I e III B) III e IV C) I e II e III e IV D) I e III e IV

5 Produtos internos

5.1 Identifique as aplicações 〈, 〉 : Rn × Rn → R que definem um produto interno,Em R2:(a) 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 + x2y2.(b) 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 + x1y2 + x2y2.


(c) 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = −2x1y1 + 3x2y2.(d) 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x2y1y2 + x1y2.Em R3:(e) 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3.(f) 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + 2x1y2 + x2y2 + 3x1y3 + x2y3 + x3y3.(g) 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x3x1y2 + x1y2.

5.2 Determine um produto interno de R2 tal que 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 2. Será único?

5.3 Usando o produto interno usual e os vectores u = (1, 1, 2, 2) e v = (−2,−2,−1,−1), calcule:(a) ||u||, (b) ||v||, (c) ||u|| − ||v||, (d) ||u− v||, (e) || u||u|| ||, (f) projvu, (g) projuv, (h) ](u, v).

5.1 Ortogonalização de Gram-Schmidt

5.4 Usando o produto interno usual, verifique quais dos seguintes conjuntos constituem uma base ortog-onal de R3.(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},(b) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0,−1,−1)},(c) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0, 1,−1)},(d) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1)}.

5.5 Determine uma base ortogonal para cada espaço linear E que se segue.(a) E = R2.(b) E = {(x, y) : x + y = 0}.(c) E = L({(1,−1), (−2, 2)}).(d) E = L({(1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}).

5.2 Complemento, projecções e bases ortogonais

5.6 Seja E um espaço Euclideano de dimensão finita e F = L({u1, · · · , uk}).(a) Prove que o complemento ortogonal F⊥ = {u ∈ E : 〈u, u1〉 = 0, 〈u, u2〉 = 0, · · · , 〈u, uk〉 = 0}.(b) Conclua que se considerarmos o produto interno usual em Rn e A a matriz k × n cujas linhas sãoformadas pelos vectores u1, · · · , uk, então F⊥ = NucA. Em particular F⊥⊥ = L(A).

5.7 Considere R3 munido com o produto interno usual e F = L({u1}) onde u1 = (1, 1, 1).(a) Determine uma base ortonormada para F .(b) Determine uma base para o complemento ortogonal F⊥ de F .(c) Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal de F , i.e. base ortonormal para F⊥.

5.8 Considere R3 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0}.(a) Determine uma base ortonormada para F .(b) Determine uma base para o complemento ortogonal F⊥ de F .(c) Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal de F , i.e. base ortonormal para F⊥.


5.9 Considere R4 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y = 0}.(a) Calcule uma base ortogonal para F⊥.(b) Determine a projecção ortogonal de p = (1, 1, 1, 1) sobre F e F⊥.(c) Calcule dist(p, F ) e dist(p, F⊥).

5.10 Seja W o plano de R3 definido pela equação x− 2y + z = 0.(a) Determine a(s) equações (cartesianas) da recta perpendicular a W que passa pelo ponto p = (1, 0, 0).(b) Determine a equação catersiana do plano paralelo a W que passa no ponto p = (1, 0, 0).

5.11 Considere em R4 o produto interno usual.(a) Determine uma base para o complemento ortogonal E⊥ de E = L({(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}). E umabase ortogonal para E⊥.(b) Determine uma base para o complemento ortogonal de Nuc

[1 1 1 1

].

(c) Calcule o ângulo entre v = (1, 1, 1, 1) e w = (1, 0, 0, 0).

5.12 Determine uma base para o complemeto ortogonal de Nuc(

0 0 0 01 0 0 12 0 0 2

).

5.13 Em P2, considere a a seguinte aplicação P2 ×P2 → R:

〈p(x), q(x)〉 = p(0)q(0) + p′(0)q′(0) + p′′(0)q′′(0),

(a) Prove que esta aplicação define um produto interno em P2.(b) Calcule ||p(x)|| para cada polinómio p(x) = a + bx + cx2 de P2.(c) Calcule o ângulo entre os polinómios p(x) = 1 e q(x) = 2 + x2.(d) Encontre uma base para o complemento ortogonal E⊥ de E = L({p1(x)}) onde p1(x) = 1 + x2.(e) Calcule as distâncias de p(x) = 1 a E e a E⊥, i.e. dist(p,E) e dist(p,E⊥).(f) Escrevendo p(x) = a0 +a1x+a2x2 e q(x) = b0 + b1x+ b2x2, encontre uma matriz simétrica A tal que:

〈p(x), q(x)〉 =[

a0 a1 a2

]A

b0b1b2

5.14 No espaço linear E = Mat2×2(R) considere o produto interno

〈A,B〉 = tr(ABt),

e o subespaço linear F = {[

x y

z w

]∈ Mat2×2(R) : x + w = 0, y − z = 0}.

(a) Encontre uma base para F .(b) Encontre uma base para F⊥.

(c) Calcule dist(A,F ) onde A =

[0 11 0

].

6 Transformações lineares 18

5.15 Decida sobre o valor lógico das seguintes proposições:(a) Existem produtos internos em R2 que satisfazem ||(1, 0)|| = 0.(b) Para cada a ∈ R, existe um produto interno em R2 tal que ||(1, 0)|| = a.(c) O ângulo entre e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) é π/2 para qualquer produto interno.(d) Seja E um subespaço linear de Rn. Então dist(0, E) = dist(0, E⊥) = 0, para qualquer produtointerno.(e) O 0 é o único ponto de Rn que satisfaz dist(0, E) = dist(0, E⊥) = 0.(f) Se E ⊆ F então F⊥ ⊆ E⊥.(g) Para qualquer subespaço linear E do espaço Euclideano Rn temos que E⊥ ⊆ {0}⊥.(h) Usando o produto interno usual se F = Nuc(A), então F⊥ = L(A).

5.16 Considere em R4 um produto interno e {v1, v2, v3, v4} uma base ortonormada de R4. Denote porF o subespaço de R4 gerado pelo vector v1. Considere a seguinte lista de afirmações:

I) ||v1 + v2 + v3 + v4|| =√

2 para algum produto interno.

II) ||v1 + v2 + v3 + v4|| = 2, independentemente do produto interno.

III) dim(F⊥)=2.

IV) {v2, v3, v4} é uma base ortogonal de F⊥.

A lista completa de afirmações correctas éA) I e III B) I e IV C) II e III e IV D) II e IV

6 Transformações lineares

6.1 Considere as transformações P : R3 → R2 e T : R3 → R3 definidas como se segue:

P ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z), T ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z, 2x + 2y + 4z),

e os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−1, 0, 1).(a) Calcule P (u), P (v), P (u + v), P (u) + P (v), P (3u) e 3P (u).(b) Calcule T (u), T (v), T (u + v), T (u) + T (v), T (3u) e 3T (u).

6.2 Considere a transformação linear T : P2 → P2 tal que T (p)(x) = p′(x)+p(x) e considere os polinómiosp1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2 e p4 = 1 + 2x + 3x2.Calcule T (p1), T (p2), T (p3), T (p4) e T (p1 + 2p2 + 3p3).

6.3 Sejam E e F espaços lineares e T : E → F uma transformação linear. Prove que então T transformao vector nulo 0E de E no vector nulo 0F de F , i.e. T (0E) = 0F .


6.4 Determine quais das seguintes transformações são lineares:Em Rn:(a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x, y)(b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x + 1, y)(c) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x, y2)(d) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x + 2y + z, y − 3z, 0)(e) T : R2 → R3, T (x, y) = (x, 2x + 3y, x + y)(f) T : R2 → R3, T (x, y) = (x, 2x + 3y, 1)

Em Pn na varável x e onde p′ designa a derivada de p:(g) T : P2 → P2, T (p)(x) = xp′(x) + p(x)(h) T : P2 → P3, T (p)(x) = x2p′(x) + p(x + 1)(i) T : P2 → P2, T (p)(x) = p(x + 1) + p(x− 1)(j) T : P2 → P3, T (p)(x) = p(−1) + p(0) + p(1)(l) T : P3 → P2, T (p)(x) = p(0)p′(x)

Em Matn×n(R):

(m) T : Mat2×2(R) → Mat2×2(R), T([ a b

c d

])=

[b + 2c 03c + a d− a

]

(n) T : Matn×n(R) → Matn×n(R), T (X) = X + Xt(o) T : Matn×n(R) → Matn×n(R), T (X) = SX onde S é uma matriz fixa(p) T : P2 → Mat2×2(R), T (p) =

[p(−1) p(0)p(0) p(1)

].

6.5 Considere a transformação linear T : R2 → R2 tal que T (1, 1) = (3, 3) e T (1,−1) = (1,−1). CalculeT (1, 0) e T (0, 1) e determine a expressão genérica T (x, y).

6.1 Representação matricial de transformações lineares

Matriz mudança de base

6.6 (a) Seja Bc = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B = {v1 = (1, 1), v2 = (−1, 0)} duas bases de R2. Encontreas coordenadas vBc do vector v = (3, 4) na base Bc, assim como as coordenadas vB do mesmo vector nabase B.(b) Qual é a matriz mudança de base S da base canónica para a base B? e a da B para a base canónica?(c) use estas matrizes e relacione vB com vBc.

6.7 (a) Prove que A1 =

[1 11 1

], A2 =

[0 −11 1

], A3 =

[0 01 1

]e A4 =

[0 00 1

]constituem uma

base para o espaço linear V =Mat2×2(R).(b) Determine a matriz mudança de base S da base canónica de Mat2×2(R) para a base {A1, A2, A3, A4}.(c) Encontre as coordenadas de A =

[a b

c d

]na base canónica de Mat2×2(R) e na base {A1, A2, A3, A4}.


Representação matricial: caso geral

6.8 Considere a transformação linear T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x + y, x + 2y). Em cada aĺınea,determine a representação matricial M(T ;B, B) na base ordenada B = {v1, v2}:(a) v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)(b) v1 = (2, 0), v2 = (0, 2)(c) v1 = (0, 1), v2 = (1, 0)(d) v1 = (1, 1), v2 = (1,−1).

6.9 Considere a transformação linear T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x + z, z + y). Em cadaaĺınea, determine a representação matricial M(T ; B,B) na base ordenada B = {v1, v2, v3}:(a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)(b) v1 = (0, 3, 0), v2 = (0, 0, 3), v3 = (3, 0, 0)(a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)

6.10 Considere a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x+y, z +3y). Em cada aĺınea,determine a representação matricial M(T ; B1, B2) nas bases ordenadas B2 = {w1, w2, w3} no espaço departida e B2 = {v1, v2} no espaço de chegada:(a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) w1 = (1, 0), w2 = (0, 1)(b) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1) w1 = (1, 0), w2 = (0, 1)(c) v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1) w1 = (1, 1), w2 = (0, 1)

6.11 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base canónica é representada pela matrizA =

[1 22 1

]. Calcule mediante uma matriz mudança de base apropriada:

(a) a representação matricial de T na base v1 = (3, 0), v2 = (0, 3)(b) a representação matricial de T na base v1 = (1, 1), v2 = (1, 2)

6.12 Encontre as representações matriciais das transformações lineares do exerćıcio 6.4 nas basescanónicas.

6.13 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base B = {(1, 1), (1, 2)} é representada pela matrizA =

[3 21 2

]. Calcule T (x, y).

6.2 Transformações injectivas/sobrejectivas e bijectivas

6.14 Seja T : R3 → R3 a transfrmação linear definida como se segue:

T ((x, y, z)) = (x, y + 2z, y + 2z)

(a) Calcule T ((1, 1, 1)) e T ((1,−3, 3)) e verifique se T é injectiva.(b) Verifique que não existe um vector u tal que T (u) = (0, 0, 1). Conclua que T não é sobrejectiva.


6.15 Considere as transformações lineares do problema 6.4.(a) Indique as que são injectivas ou sobrejectivas. Nos casos em que o espaços de partida e de chegadacoincidam e a transformação fseja bijectiva, determine a transformação inversa T−1.(b) Se T é não injectiva, então encontre uma base para o núcleo de T .(c) Se T é não sobrejctiva, então encontre uma base para a imagem de T .

6.16 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por

T (x, y, z) = (x + y, x + y − z).

(a) Calcule a matriz que representa T nas bases canónicas.(b) Calcule uma base para o núcleo de T . A transformação é injectiva?(c) Calcule uma base para a imagem de T . Será T sobrejectiva?(d) Resolva a equação linear T (x, y, z) = (1, 1).(e) Existe algum (a, b) ∈ R2 tal que a equação T (x, y, z) = (a, b) seja imposśıvel?(f) Existe algum (a, b) ∈ R2 tal que a equação T (x, y, z) = (a, b) seja indeterminada?

6.17 Seja T : R3 → R4 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x− y, x, x− z).(a) Represente T matricialmente nas bases canónicas.(b) Será T sobrejectiva ou injectiva?(c) Determine um vector v ∈ R4 tal que T (u) = v não tenha solução.

6.18 Decida o valor lógico das seguintes proposições:(a) Existem transformações lineares injectivas de R8 para R6.(b) Existem transformações lineares sobrejectivas de R8 para R6.(c) Existem transformações lineares injectivas de R6 para R8.(d) Existem transformações lineares sobrejectivas de R6 para R8.(e) Existem transformações lineares injectivas de Mat2×2 para P2.

6.19 Seja S =

[1 22 1

]e a transformação T : Mat2×2(R) → Mat2×2(R) dada por

T (X) = tr(X)S

onde tr(X) designa o traço da matriz X.(a) Prove que T é uma transformação linear.

(b) Considere a base canónica Bc = {[

1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]} de Mat2×2(R). Calcule

a matriz que representa T nesta base.(c) Encontre uma base para o núcleo de T e verifique se T é injectiva.(d) Encontre uma base para a imagem de T e verifique se T é sobrejectiva.(e) Encontre os valores e vectores próprios de T .(f) Verifique se T é diagonalizável.


6.20 Seja T : P2 → P2 a transformação linear definida por

(Tp)(x) = x2p′′(x)− 2p(x).

(a) Calcule a matriz que representa T na base canónica {p1, p2, p3} onde

p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2.

(b) Calcule uma base para o núcleo de T e conclua que T não é injectiva nem sobrejectiva.(c) Resolva, em P2, a equação linear x2p′′(x)− 2p(x) = 1.

6.21 Considere2 a transformação linear T : P2 → P2 que na base {1, x, x2} é representada pela matriz

A =

0 0 00 0 110 −4 4

.

(a) Determine os valores e vectores próprios de T .(b) Diga, justificando, se existe alguma base de P2 cuja representação matricial de T é uma matrizdiagonal.

6.22 Seja T : P2 → P2 a aplicação definida como se segue T (p(x)) = p(x + 1).

I) T não é uma transformação linear.

II) p(x) = 1 + x + x2 é uma solução da equação linear T (p(x)) = 3 + 3x + x2.

III) A transformação linear T é bijectiva.

IV) O polinómio p(x) = 5 é um vector próprio de T .

A lista completa de afirmações correctas éA) I B) II C) III D) II e III e IV

6.23 Seja T : R3 → R4 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x − y, x, x − z) eA = M(T ; BcR3 , BcR4) a representação matricial de T nas bases canónicas de R3 e R4, respectivamente.Considere a seguinte lista de afirmações:

I) A =

1 2 0

1 −1 01 0 0

1 0 −1

.

II) A =

[1 1 1 1

2 −1 0 00 0 0 −1

].

III) A transformação linear T é sobrejectiva.2Confronte este problema com o problema 4.5

7 Algumas Aplicções 23

IV) A transformação linear T é injectiva.

A lista completa de afirmações correctas éA) I B) II C) I e III D) I e IV

6.24 Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?

A) Se x1 é solução de Au = 0 e x0 solução de Au = b, então x0 + πx1 é solução de Au = b.

B) Se b é solução de Au = b então o escalar 1 é valor próprio de A.

C) Seja B = {v1, v2} a base do subespaço linear W de R3, onde v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 1). Então:as coordenadas uB do vector u = (2, 3, 2) na base B são uB = (2, 1). Se vB = (3,−1) são ascoordenadas de v na base B, então v = (2, 3, 2).

D) Seja W = {(x, y, z, w, t) ∈ R5 : x + y + z = 0} e p = (1, 1,−2, 0, 0). Então: dim(W⊥) = 1,dim(W ) = 4 e dist(p,W⊥)=0.

E) Existe uma transformação linear T : R3 → Mat3×3(R) sobrejectiva.

F) Seja T : P2 → P2 definida por T (p(x)) = p(−1) − p(1)x2 onde P2 designa o espaço linear dospolinómios de grau menor ou igual a 2. Então T é uma transformação linear.

G) O polinómio p(x) = π − πx2 é um vector próprio da transformação definida em F).

H) Os valores próprios de A =

1 0 β0 β 0β 0 1

são {β, 1 + β, 1− β}.

I) A matriz A definida em H) é invert́ıvel sse β ∈ {0, 1,−1}.

J) O vector (0, 1, 0) é um vector próprio de A definida em H) cujo valor próprio associado é λ = 1+β.

K) A matriz A definida em H) é uma matriz diagonal para qualquer β.

L) A matriz A definida em H) é diagonalizável para qualquer β.

A lista completa de afirmações verdadeira é:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

7 Algumas Aplicções

7.1 Formas quadráticas

7.1 Sendo A = [aij ] ∈ Matn×n(C) define-se a matriz transconjugada de A a matriz A∗ cuja entrada-(i,j)é āji o complexo conjugado da entrada-(j,i) de A. Uma matriz A diz-se hermiteana se A = A∗. Se todas


as entradas de A forem reais, então uma matriz hermiteana também diz-se simétrica. Dadas as seguintesmatrizes diga quais são matrizes hermiteanas:

[1 22 3

],

[1 2−2 3

],

[1 i−i 3

],

[i i

−i 3

], onde i =

√−1.

7.2 Seja A ∈ Matn×n(C) e 〈u, v〉 =∑

uiv̄i o produto interno usual em Cn. Prove que:

〈Au, v〉 = 〈u, A∗v〉.

7.3 Classificar as seguintes formas quadráticas, em definids positivas, definidas negativas, semidefinidaspositivas, semidefinidas negativas ou indefinidas:(a) Q(x, y) = x2 + y2 + 2xy.(b) Q(x, y) = 2x2 + 2y2 + 2xy.(c) Q(x, y) = −3x2 + 2yx− 2y2.(d) Q(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + 4yx.

(e) Q(x, y, z, w) =[

x y z w]

3 0 0 00 1 α 00 α 2 00 0 0 7

x

y

z

w

, onde α é um parâmetro.

7.4 Seja A uma matriz real simétrica n× n. Prove que A2 é definida positiva se e só se A for invert́ıvel(não singular).

7.2 Mı́nimos quadradros

7.5 Seja A =

4 13 −14 1

, b =

1022

, u =

[−23

]e v =

[−11

].

(a) Calcule Au e Av e compare estes vectores com b.(b) Diga se u pode ser uma solução de mı́nimos quadrados para a equação Ax = b.(c) Determine o sistema normal associado AT Ax = AT b e determine a(s) suas soluções.Compare com (b).

7.6 Determine todas as soluções de mı́nimos quadrados para a equação Ax = b:

(a) A =

1 1−1 1−1 2

, b =

70−7

.

(b) A =

1 1 01 1 01 0 11 0 1

, b =

3124

.

7.7 Um produtor de aço obteve os seguintes dados:

Ano 1997 1998 1999 2000 2001 2002vendas anuais (em milhões de euros) 1, 2 2, 3 3, 2 3, 6 3, 8 5, 1


Vamos representar os anos de 1997 a 2002 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente, e representar o ano porx. Seja y a venda anual (em milhões de euros).(a) Encontre a recta de mı́nimos quadrados relacionando x e y.(b) Use a equação obtida em (a) para estimar as vendas no ano de 2006.

7.8 Seja A uma matriz cujas colunas são linearmente independentes e b um vector ortogonal a todas ascolunas de A. Prove que a única solução de mı́nimos quadrados de Ax = b é x = 0.

7.9 Considere as matrizes A =

1 11 21 3

e b =

3212

3

.

(a) Verifique que o sistema Ax = b é imposśıvel.(b) Determine todas as soluções de mı́nimos quadrados associadas ao sistema Ax = b.(c) Foi observado que os lucros obtidos pela venda de um automóvel novo na União Europeia nas 3primeiras semanas foram:

Semana 1 2 3Lucros (em milhões de euros) 1, 5 0, 5 3

Vamos representar as semanas por x e o lucro semanal por y. Encontre a recta y = α + βx de mı́nimosquadrados relacionando x e y. Use a recta obtida para estimar os lucros na semana 6.

7.3 Equações diferenciais ordinárias

7.10 Das funções y1(t) = e2t, y2(t) = e2t + π, y3(t) = πe2t, y4(t) = e2t+π quais são solução da equaçãodiferencial y′(t) = 2y(t)?

7.11 Determine a solução geral dos seguintes sistemas de quações diferenciais.

(a)

{y′1 = 3y1 + y2y′2 = 5y1 + y2

, (b)

{y′1 = 3y1 + 2y2y′2 = y1 + y2

(c)

y′1 = 3y1 + 2y2y′2 = y1 + y2y′3 = y2 − y3

7.12 Para cada um dos sistemas do problema anterior determinte a solução que verifica as condições(a) y1(0) = 0 e y2(0) = 0.(b) y1(0) = 2 e y2(0) = 1.(c) y1(0) = −1, y2(0) = 1 e y3(0) = 0.

7.13 (a) Mostre que a matriz A =

[2 1−2 5

]é diagonalizável, indicando uma matriz diagonal D e

matriz mudança de base S tais que D = SAS−1.(b) Encontre a única solução do seguinte sistema de equações diferenciais:

{2y1(t) + y2(t) = y′1(t)−2y1(t) + 5y2(t) = y′2(t)


com as condições y1(0) = 1, y2(0) = −1.

7.14 Considere o seguinte sistema de equac cões diferenciais com valor inicial:

y′1 = y1 + 2y2y′2 = 3y2y1(0) = 8 e y2(0) = 5.

A solução deste sistema é:A) y1(t) = 3et + 5e3t, y2(t) = 5e3t B) y1(t) = 8et, y2(t) = 5e3t

C) y1(t) = 3e3t + 5et, y2(t) = 5et D) y1(t) = 3et + 5e2t, y2(t) = 5e3t.

7.15 Escreva as seguintes equações diferenciais na froma de um sistema de equações diferenciais deprimeira ordem e determine a solução geral das equações iniciais.(a) y′′ − y − 6y = 0.(b) y′′′ − 6y′′ − 6y = 0.

8 Alguns problemas resolvidos 27

8 Alguns problemas resolvidos

8.1 O sistema linear

x + z = 3

x + 2y + 2z = 6

3y + 3z = 6

na forma matricial é

1 0 11 2 20 3 3

x

y

z

=

366

.

Consideremos então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss:

1 0 1 | 31 2 2 | 60 3 3 | 6

−→−L1+L2

1 0 1 | 30 2 1 | 30 3 3 | 6

−→− 3

2L2+L3

1 0 1 | 30 2 1 | 30 0 32 | 32

.

Logo,

x + z = 3

2y + z = 3

32z =

32

⇔

x = 2

y = 1

z = 1.

8.2 O sistema linear

3z − 9w = 6

5x + 15y − 10z + 40w = −45

x + 3y − z + 5w = −7é equivalente a

0 0 3 −95 15 −10 401 3 −1 5

x

y

z

w

=

6−45−7

.


0 0 3 −9 | 65 15 −10 40 | −451 3 −1 5 | −7

−→

L1↔L315L2

1 3 −1 5 | −71 3 −2 8 | −90 0 3 −9 | 6

−→−L1+L2

−→

1 3 −1 5 | −70 0 −1 3 | −20 0 3 −9 | 6

−→

3L2+L3

1 3 −1 5 | −70 0 −1 3 | −20 0 0 0 | 0

.


Logo,

x + 3y − z + 5w = −7

−z + 3w = −2⇔

x = −3y − 2w − 5

z = 3w + 2.

As incógnitas y e w são livres e as incógnitas x e z são não livres. A solução geral do sistema é:

X =

x

y

z

w

=

−3y − 2w − 5y

3w + 2w

,

para quaisquer y, w ∈ R, isto é, o conjunto solução é dado por:

S = {(−3y − 2w − 5, y, 3w + 2, w) : y, w ∈ R} .

Neste exemplo o sistema tem infinitas soluções e diz-se posśıvel e indeterminado.

8.3 Seja a ∈ R. O sistema linear

x + 2y + z = 3

x + y − z = 2

x + y +(a2 − 5) z = a

é equivalente a

1 2 11 1 −11 1 a2 − 5

x

y

z

=

32a

.


1 2 1 31 1 −1 21 1 a2 − 5 a

−→−L1+L2−L1+L3

1 2 1 30 −1 −2 −10 −1 a2 − 6 a− 3

−→−L2+L3

1 2 1 30 −1 −2 −10 0 a2 − 4 a− 2

.

Se a = 2, então o sistema é posśıvel e indeterminado:

x + 2y + z = 3

−y − 2z = −1⇔

x = 3z + 1

y = −2z + 1,a incógnita z é livre, as incógnitas x e y são não livres e a solução geral do sistema é

X =

x

y

z

=

3z + 1−2z + 1

z

,

para qualquer z ∈ R, isto é, o conjunto solução é dado por:

S = {(3z + 1,−2z + 1, z) : z ∈ R} .


Assim, se a = 2, o sistema tem infinitas soluções e diz-se posśıvel e indeterminado.Se a = −2, o sistema não tem solução e diz-se imposśıvel.Se a 6= −2 e a 6= 2, o sistema tem a solução única:

X =

x

y

z

=

(a + 5)/(a + 2)a/(a + 2)1/(a + 2)

e diz-se posśıvel e determinado.

8.4 (Inversão de Matrizes)

(i) Seja A =

1 1 12 1 42 3 5

. Tem-se

[A | I] =

1 1 1 | 1 0 02 1 4 | 0 1 02 3 5 | 0 0 1

−→−2L1+L2−2L1+L3

1 1 1 | 1 0 00 −1 2 | −2 1 00 1 3 | −2 0 1

−→

L2+L3

−→

1 1 1 | 1 0 00 −1 2 | −2 1 00 0 5 | −4 1 1

−→

15L3

1 1 1 | 1 0 00 −1 2 | −2 1 00 0 1 | −4/5 1/5 1/5

−→−2L3+L2

−L3+L1

−→

1 1 0 | 9/5 −1/5 −1/50 −1 0 | −2/5 3/5 −2/50 0 1 | −4/5 1/5 1/5

−→

L2+L1

−→

1 0 0 | 7/5 2/5 −3/50 −1 0 | −2/5 3/5 −2/50 0 1 | −4/5 1/5 1/5

−→−L2

−→

1 0 0 | 7/5 2/5 −3/50 1 0 | 2/5 −3/5 2/50 0 1 | −4/5 1/5 1/5

.

Portanto A é invertv́el e

A−1 =

7/5 2/5 −3/52/5 −3/5 2/5−4/5 1/5 1/5

.

(ii) Seja A =

1 2 31 1 20 1 1

. Tem-se

[A | I] =

1 2 3 | 1 0 01 1 2 | 0 1 00 1 1 | 0 0 1

−→−L1+L2

1 2 3 | 1 0 00 −1 −1 | −1 1 00 1 1 | 0 0 1

−→

L2+L3


−→

1 2 3 | 1 0 00 −1 −1 | −1 1 00 0 0 | −1 1 1

.

Logo, A é singular e como tal não é invert́ıvel.

8.5 (Regra de Laplace para calcular um determinada entrada da matriz inversa)Seja

A =

1 0 04 5 67 8 9

.

A entrada (2, 3) da matriz A−1 é dada por

(A−1)23 =1

det A

((cofA)T

)23

=1

det A((−1)3+2 det A32

)=

1−3

(−det

([1 04 6

]))= 2.

8.6 (Regra de Cramer)O sistema de equações lineares

2x + y = 8

−x + 2y + 4z = 7

−x + z = 1pode ser resolvido usando a regra de Cramer:

x =

∣∣∣∣∣∣∣

8 1 07 2 41 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0−1 2 4−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

= 13, y =

∣∣∣∣∣∣∣

2 8 0−1 7 4−1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0−1 2 4−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

= −18 e z =

∣∣∣∣∣∣∣

2 1 8−1 2 7−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0−1 2 4−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

= 14.

8.7 Sejam E = L({(1, 1, 1), (1, 2, 2)}) e F = L({(0, 1,−1), (1, 1, 2)}).(a) Determine a dimensão de E + F .(b) Determine a dimensão de E ∩ F .

Resolução: (a) Temos que E + F = L(E ∪ F ) = L({(1, 1, 1), (1, 2, 2), (0, 1,−1), (1, 1, 2)}).Escrevendo as componentes destes vectores como linhas de uma matriz e usando eliminação de Gauss

1 1 10 1 −11 1 21 2 2

→

1 1 10 1 −10 0 10 0 0

obtemos uma matriz de caracteŕıstica 3 pelo que a dimensão de E + F é 3.


(b) Como os vectores (1, 1, 1), (1, 2, 2) são linearmente independentes, por não serem múltiplos um dooutro, a dimensão de E é 2. Analogamente se vê que a dimensão de F é 2. Dado que dim E + F = dimE+ dim F− dim E ∩ F e pela aĺınea anterior dim E + F = 3, temos que a dimensão de E ∩ F é 1.

8.8 (Uma matriz com valores próprios distintos)

A =

1 5 −10 −2 1−4 0 3

O polinómio caracteŕıstico é dado por

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣

1− λ 5 −10 −2− λ 1−4 0 3− λ

∣∣∣∣∣∣∣=

= (1− λ) (−2− λ) (3− λ)− 20 + 4 (2 + λ) == (1− λ) (−2− λ) (3− λ) + 4λ− 12 == (3− λ) [(λ− 1) (λ + 2)− 4] == (3− λ) (λ2 + λ− 6) == (3− λ) (λ− 2) (λ + 3) .

Os valores próprios de A são os valores de λ para os quais det(A− λI) = 0. Logo, os valores próprios deA são

λ1 = 3, λ2 = 2 e λ3 = −3.Os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ são os vectores não nulos u ∈ R3 para os quais

(A− λI) u = 0,

isto é, são os vectores não nulos de Nuc (A− λI).Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ1 = 3. Tem-se

Nuc (A− λ1I) = Nuc

−2 5 −10 −5 1−4 0 0

= L ({(0, 1, 5)}) .

Logo, o subespaço próprio Eλ1 é dado por

Eλ1 = Nuc (A− λ1I) = L ({(0, 1, 5)}) .

Os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ1 = 3 são

u = (0, s, 5s) , com s ∈ R\ {0} .

Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ2 = 2. Tem-se


−1 5 −10 −4 1−4 0 1

= L ({(1, 1, 4)}) .



Eλ2 = Nuc (A− λ2I) = L ({(1, 1, 4)}) .

Os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ2 = 2 são

u = (s, s, 4s) , com s ∈ R\ {0} .

Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ3 = −3. Tem-se


4 5 −10 1 1−4 0 6

= L ({(3,−2, 2)}) .


Eλ3 = Nuc (A− λ3I) = L ({(3,−2, 2)}) .

Os vectores próprios de A associados ao valor próprio λ3 = −3 são

u = (3s,−2s, 2s) , com s ∈ R\ {0} .

8.9 Determine todos os vectores e valores próprios da transformação linear T : R2 → R2 representadaem relação à base canónica de R2 pela matriz A =

[1 −2−2 4

].

Resolução O polinómio caracteŕıstico de A é:

p(λ) = det(A− λI) = det[

1− λ −2−2 4− λ

]= (1− λ)(4− λ)− 4 = λ2 − 5λ,

pelo que os valores próprios de T (os mesmos que os de A) são {0, 5}. Resta-nos encontrar os vectorespróprios associados a cada valor próprio. O espaço próprio E(0) associado a valor próprio λ=0 é E(0) =Nuc(A − 0I) = Nuc(A), cuja base é {(2, 1)}. Portanto os vectores próprios associados ao valor próprioλ=0 são {(2a, a)} para qualquer escalar a não nulo.Finalmente, o espaço próprio E(5) associado ao valor próprio λ = 5 é

E(5) = Nuc(A− 5I) = Nuc[−4 −2−2 −1

],

cuja base é {(1,−2)}, donde {(b,−2b) : b 6= 0} são os vectores próprios associados ao valor próprio λ = 5.

8.10 Seja A ∈ Matn×n(R) matriz invert́ıvel.(a) Prove que 0 não é valor próprio de A.(b) Encontre os valores e vectores próprios de A−1 em função dos de A.


Resolução: (a) Comece por notar que, por definição, 0 é valor próprio de A sse 0 é raiz do polinómiocaracteŕıstico p(λ) = det(A− λI), i.e. 0 = p(0) = det(A− 0I) = det(A). Pelo que 0 é valor próprio de Asse detA = 0, ou seja sse A não é invert́ıvel. Conclusão: A invert́ıvel sse p(0) 6= 0.(b) Seja λ valor próprio de A. Por (a), λ 6= 0. Vamos agora provar que 1/λ é valor próprio de A−1.Usando propriedades dos determinantes temos:

det(A−1 − 1λ

I) = det(A−1 − 1λ

A−1A) = det(A−1) det(I − 1λ

A) = det(A−1) det(1λ

λI − 1λ

A) =

det(A−1) det(−1

λ(A− λI)

)=

(−1λ

)ndetA−1 det(A− λI),

pelo que λn det(A) det(A−1−1/λI) = (−1)n det(A−λI). Portanto λ é valor próprio de A sse 1/λ é valorpróprio de A−1.Seja v um vector próprio de A associado a um valor próprio λ. Portanto Av = λv por definição. Aplicandoa inversa de A em ambos os membros desta igualdade obtemos A−1Av = λA−1v, logo v = λA−1v.Portanto A−1v = 1λv. Assim concluimos que v também é vector próprio de A

−1 associado ao valorpróprio 1/λ.

8.11 Prove que A =

[2 30 2

]não é diagonalizável.

Resolução: O polinómio caracteŕıstico de A é

p(λ) = det(A− λI) = det[

2− λ 30 2− λ

]= (2− λ)2,

pelo que A tem λ = 2 como único valor próprio (com multiplicidade algébrica dupla). O respectivo espaço

próprio E(2) = Nuc

[0 30 0

]cuja base é formada por um só vector e1 = (1, 0). Como a multiplicidade

geométrica deste valor próprio λ = 2 não é igual à sua multiplicidade algébrica, conclui-se de imediatoque a matriz A não é diagonalizável.

8.12 Para cada α ∈ R, seja Aα =

1 2 02 1 00 0 α

.

(a) Encontre os valores próprios de Aα e respectivas multiplicidades algébricas. Diga, quando Aα éinvert́ıvel e nesse(s) caso(s), calcule os valores próprios de A−1α .(b) Determine base para cada espaço próprio E(λ) de Aα.(c) Prove que Aα é diagonalizável para qualquer α, e encontre uma matriz mudança de base Sα e matrizdiagonal Dα tal que Aα = S−1α DαSα.(d) Faça a aĺınea anterior usando a matriz A−1α (sempre que A−1α exista).(e) Prove que 〈u, v〉 = uAαvt não mune R3 com um produto interno (para todo o α).

Resolução: (a) O polinómio caracteŕıstico de Aα é (usando a regra de Laplace):

p(λ) = det(A− λI) = det

1− λ 2 02 1− λ 00 0 α− λ

=

((1− λ)2 − 4

)(α− λ) = (λ + 1)(λ− 3)(α− λ),


pelo que os valores próprios de Aα são {−1, 3, α}. As multiplicidades algébricas são todas simples, quandoα 6∈ {−1, 3}. Se α = −1 a multiplicidade algébrica de λ = −1 é dois, e a de λ = 3 é um. No caso α = 3,a multiplicidade algébrica de λ = 3 é dois, e a de λ = −1 é um.A matriz Aα é invert́ıvel sse α 6= 0, e os valores próprios de A−1 são {−1, 1/3, 1/α} (ver exerćıcio 8.10).(b) Caso α /∈ {−1, 3}:

• O espaço próprio associado a λ = −1 é E(−1) = Nuc(A− (−1)I) = Nuc

2 2 02 2 00 0 α + 1

.

Pelo que a base de E(−1) é {(−1, 1, 0)}.

• O espaço próprio associado a λ = 3 é E(3) = Nuc(A− 3I) = Nuc

−2 2 02 −2 00 0 α− 3

.

Portanto {(1, 1, 0)} é uma base para E(3).

• O espaço próprio associado a λ = α é E(α) = Nuc(A− αI) = Nuc

1− α 2 02 1− α 00 0 0

.

Logo {(0, 0, 1)} é uma base para E(α).Falta investigar dois casos singulares. No caso α = −1, {(−1, 1, 0), (0, 0, 1)} forma uma base para E(−1),enquanto {(1, 1, 0)} forma uma base para E(3). No caso α = 3, {(−1, 1, 0)} forma uma base para E(−1),e {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} forma uma base para E(3).(c) A matriz Aα é diagonalizável para todo o α porque é simetrica ATα = Aα. (Alternativelmente,

verifique que a multiplicidade algébrica e geométrica de cada valor próprio coincidem.)Sendo Sα = M(id;Bvp, Bc) a matriz mudança de base, as colunas de Sα são formadas pelos vectoresque provêm das bases dos espaços próprios, e as entrada na matriz diagonal Dα são os valores próprios

correspondentes aos vectores próprios em Sα. Assim, e em todos os casos, Sα =

−1 1 01 1 00 0 1

, Dα =

−1 0 00 3 00 0 α

. Note que se Aα representa a transformação linear Tα na base canónica, Sα é a matriz

mudança de base (da base formada por vectores próprios para a base canónica) e Dα representa Tα nabase formada pelo vectores próprios (verifique!).(d) A matriz é invert́ıvel sse α 6= 0. Os valores próprios de A−1 são pelo exerćıcio 8.10, {−1, 1/3, 1/α}.As bases para os espaços próprios E(−1), E(1/3) e E(1/λ) de A−1 coincidem (novamente pelo exerćıcio8.10) com as bases para os espaços próprios E(−1), E(3) e E(α) de A, respectivamente. Temos trivial-mente A−1α = S−1α D−1α Sα, onde Sα e Dα são as matrizes calculadas em (c).

(e) Observe que Aα tém pelo menos um valor próprio negativo (para qualquer α)!

8.13 Considere a matriz A =

1 0 10 2 01 0 1

e x(t) =

(x1(t), x2(t), x3(t)

)para cada t ∈ R.

(a) Encontre a solução geral do sistema de equações diferencias x′=Ax, onde x′(t)=(x′1(t), x′2(t), x

′3(t)).


(b) Calcule a solução de x′(t) = Ax(t) que passa no ponto x(0) = (1, 1, 1).

Resolução: (a) • Comece por observar que A é simétrica, portanto A é diagonalizável. Vamos encontrar,em primeiro lugar, matriz mudança de base S e matriz diagonal D tais que S−1AS = D.O polinómio caracteŕıstico de A é p(λ) = −λ(λ − 2)2, pelo que os valores próprios de A são {0, 2}. Ovector (−1, 0, 1) forma uma base para E(0), enquanto (1, 0, 1), (0, 1, 0) fornecem uma base para o espaçopróprio E(2). Logo

S =

−1 0 10 1 01 0 1

, D =

0 0 00 2 00 0 2

.

• De seguida, vamos resolver o sistema de equações diferenciais y′ = Dy. Como D é diagonal, a soluçãogeral desta equação é imediata: y(t) = (c1e0t, c2e2t, c3e2t) = (c1, c2e2t, c3e2t) com c1, c2, c3 constantes.• Finalmente, a solução geral de x′ = Ax obtém-se da de y′ = Dy da seguinte forma

x(t) = Sy(t) =

−1 0 10 1 01 0 1

c1c2e

2t

c3e2t

=

−c1 + c3e2t

c2e2t

c1 + c3e2t

.

(b) Já vimos em (a) que a solução geral de x′ = Ax é x(t) = (−c1 + c3e2t, c2e2t, c1 + c3e2t). Falta-nosdeterminar os valores das constantes c1, c2, c3, pelo que temos de usar a condição x(0) = (1, 1, 1) daseguinte maneira:

(1, 1, 1) = x(0) = (−c1 + c3, c2, c1 + c3)donde c1 = 0, c2 = 1, c3 = 1. Portanto x1(t) = e2t, x2(t) = e2t e x3(t) = e2t.

8.14 No espaço dos polinómios reais de grau menor ou igual a 3, P3, considere os vectores v1 = 1 + x3,v2 = 1 + x2 + x, v3 = x− x3, v4 = 1− x.(a) Verifique que B = (v1, v2, v3, v4) é uma base de P3.(b) Sendo T : P3 → P3 a transformação linear tal que

T (y1v1 + y2v2 + y3v3 + y4v4) = (y1 + y2)v3 + (y3 + y4)v1

determine a imagem, o núcleo e os subespaços próprios de T .(c) Escreva a matriz C que representa T em relação à base B2 = (1, x, x2, x3) e diga justificando se C édiagonalizável.(d) Resolva a equação T (p(x)) = 3v3.

Resolução:(a) Escrevendo as componentes destes vectores em relação à base B1 = (1, x, x2, x3) de P3 como linhas

de uma matriz e usando eliminação de Gauss

1 0 0 11 1 1 00 1 0 −11 −1 0 0

→

1 0 0 10 1 1 −10 1 0 −10 −1 0 −1

→

1 0 0 10 1 1 −10 0 −1 00 0 0 −2


conclúımos que, dado que a dimensão do espaço das linhas da matriz é 4, também a expansão linearL({v1, v2, v3, v4}) tem dimensão 4 (igual à dimensão de P3), donde B = (v1, v2, v3, v4) é uma base de P3.

(b) Como T (v1) = v3, T (v2) = v3, T (v3) = v1, T (v4) = v1, a matriz que representa T em relação àbase B (ou seja M(T ; B)) é

A =

0 0 1 10 0 0 01 1 0 00 0 0 0

.

O espaço de colunas desta matriz é L({(0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)}), e logo ImT = {v ∈ P3 : vB ∈ C(A)} =L({v3, v1}). O núcleo de A é

{(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y = 0 e z + w = 0} = {(−y, y,−w, w) : y, w ∈ R} =L({(−1, 1, 0, 0), (0, 0,−1, 1)}), e logo

Nuc T = {v ∈ P3 : vB ∈ Nuc(A)} = L({−v1 + v2,−v3 + v4}).O polinómio caracteŕıstico p(λ) de A é

p(λ) = det

−λ 0 1 10 −λ 0 01 1 −λ 00 0 0 −λ

= (−λ) det

−λ 0 10 −λ 01 1 −λ

=

(−λ)((−λ) det

[−λ 01 −λ

]+ det

[0 1−λ 0

])=

= (−λ)(−λ3 + λ) = λ2(λ2 − 1) = λ2(λ− 1)(λ + 1). Logo os valores próprios de T são 0, 1,−1.O subespaço próprio associado a 0 é o núcleo de T , que já foi determinado.

Temos A− 1I =

−1 0 1 10 −1 0 01 1 −1 00 0 0 −1

.

Usando eliminação de Gauss

−1 0 1 10 −1 0 01 1 −1 00 0 0 −1

→

−1 0 1 00 −1 0 01 0 −1 00 0 0 −1

→

−1 0 1 00 −1 0 00 0 0 00 0 0 −1

,

conclúımos queNuc (A − 1I) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : −x + z = 0 e y = 0 e w = 0} = {(x, 0, x, 0) : x ∈ R} =

L({(1, 0, 1, 0)}) donde o subespaço próprio de V associado a 1 é o subespaço L({v1 + v3}).

Temos A + 1I =

1 0 1 10 1 0 01 1 1 00 0 0 1

.

Usando eliminação de Gauss


1 0 1 10 1 0 01 1 1 00 0 0 1

→

1 0 1 00 1 0 01 0 1 00 0 0 1

→

1 0 1 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

,

conclúımos queNuc (A− 1I) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + z = 0 e y = 0 e w = 0} = L({(−1, 0, 1, 0)}) donde o subespaço

próprio de V associado a −1 é o subespaço L({−v1 + v3}).

(c) Seja G = M(id; B,B2) =

1 1 0 10 1 1 −10 1 0 01 0 −1 0

.

A matriz G−1 é a matriz M(id; B2, B) e pode ser determinada (determine!) pelo método de Gauss-Jordan ou usando a matriz dos cofactores, i.e.

G−1 =12

1 1 −2 10 0 2 01 1 −2 −11 −1 0 −1

.

Sendo A = M(T ; B) temos que C = M(T ;B2) = GAG−1 (calcule C!).

Dado que, pelas aĺıneas anteriores, sabemos que a soma das dimensões dos subespaços próprios de Té 4, a transformação T é diagonalizável ou seja P3 admite uma base B3 constitúıda por vectores própriosde T . A matriz D de T em relação a esta base é diagonal e C é semelhante a D, por representar T emrelação a outra base de P3. Logo C é diagonalizável.

(d) As soluções da equação T (p(x)) = 3v3 são exactamente os elementos da imagem completa inversaT−1(v3). Sabemos que T (v1) = v3 pelo que T (3v1) = 3v3 e logo as soluções da equação dada são oselementos de 3v1 + NucT . Se quisermos descrever em extensão este conjunto obtemos 3v1 + NucT ={(3− a)v1 + av2 − bv3 + bv4 : a, b ∈ R} , dado que

Nuc T = L({−v1 + v2,−v3 + v4}) = {−av1 + av2 − bv3 + bv4 : a, b ∈ R}.

Ideia para uma resolução alternativa: As coordenadas do vector 3v3 em relação à base B são (0, 0, 3, 0) elogo

T−1(v3) = {v ∈ V : vB é solução de AX =

0030

}. Resolvendo este sistema obtemos o conjunto

solução pretendido.

8.15 Em R3, considere o seguinte produto interno:

〈(x, y, z), (a, b, c)〉 = 2xa + xb + ya + yb + zc

o qual se fixa em todas as aĺıneas que se seguem.(a) Prove que 〈·, ·〉 é de facto um produto interno em R3.


(b) Encontre uma base ortogonal para E = L({e1, e2}) onde e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1, 0).(c) Determine uma base para o complemento ortogonal E⊥. Verifique que dim(E) + dim(E⊥)=dimR3.(d) Encontre a representação matricial da projecção ortogonal PE : R3 → R3 na base canónica. Qual éa representação matricial de PE⊥?(e) Calcule o ponto de E mais próximo de e3 = (0, 0, 1).(f) Calcule a distância de v = (2, 0, 1) a E⊥.

Resolução (a) Sejam u = (x, y, z), u′ = (x′, y′, z′), v = (a, b, c) ∈ R3 e λ ∈ R. O axioma da simetriaverifica-se porque 〈u, v〉 = 2xa + xb + ya + yb + zc = 2ax + bx + ay + by + cz = 〈v, u〉. Por outro lado,

〈λu + u′, v〉 = 2(λx + x′)a + (λx + x′)b + (λy + y′)a + (λy + y′)b + (λz + z′)c = λ〈u, v〉+ 〈u′, v〉pelo que o axioma da linearidade é verificado. Finalmente, falta provar o axioma da positividade, i.e.〈u, u〉 ≥ 0 para todo u ∈ R3 e 〈u, u〉 = 0 sse u = (0, 0, 0). Para esse fim, é suficiente observar que〈u, u〉 = 2x2 + 2xy + y2 + z2 = x2 + (x + y)2 + z2.

Resolução alternativa de (a): comece por notar que 〈u, v〉 =[

x y z]A

a

b

c

onde A =

2 1 01 1 00 0 1

,

pelo que a simetria e a linearidade são óbvias. Para provar a positividade, é suficiente aplicar o critério:

A = At, det[2] > 0, det

[2 11 1

]= 1 > 0 e detA > 0

(ou então verifique que os valores próprios de A são todos positivos).(b) Note, em primeiro lugar, que {e1, e2} é uma base de E. Aplicamos de seguida o processo de ortogo-nalização de Gram-Schmidt para obter a base ortogonal {w1, w2}:w1 = e1w2 = e2 − 〈e2,w1〉〈w1,w1〉w1 = e2 −

12e1 = (

−12 , 1, 0).

(c) Por definição E⊥ = {u ∈ R3 : 〈u, e〉 = 0, para todo o e ∈ E}. Como e1, e2 geram E,

E⊥ = {u = (x, y, z) : 〈u, e1〉 = 0 = 〈u, e2〉} = {u ∈ R3 : 2x + y = 0 = x + y} = Nuc[

2 1 01 1 0

].

Donde e3 = (0, 0, 1) base (ortogonal) de E⊥.(d) Note que PE⊥(e1) = (0, 0, 0) = PE⊥(e2) porque e1, e2 pertencem a (E⊥)⊥ = E. Mais, PE⊥(e3) = e3

porque e3 ∈ E⊥. Logo a matriz PE⊥ que representa PE⊥ é PE⊥ =

0 0 00 0 00 0 1

. Como PE + PE⊥ = I,

a matriz PE que representa PE na base canónica é PE = I − PE⊥ =

1 0 00 1 00 0 0

.

(e) O ponto de E mais próximo de e3 = (0, 0, 1) é dado por PE(e3). Por (d), PE(e3) =

1 0 00 1 00 0 0

001

.

Donde PE(e3) = (0, 0, 0). Ou então, como e3 ∈ E⊥, PE⊥(e3) = e3, PE(e3) = (0, 0, 0).(f) A distância é dada por

dist(v,E⊥) = ||PE(v)|| = ||(2, 0, 0)|| =√〈(2, 0, 0), (2, 0, 0)〉 =

√8 = 2

√2.


8.16 Considere em R4 o produto interno usual e sejam E=L((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1)

), F=L((1, 0, 0, 1)).

(a) Será que E⊥ ⊆ F⊥? Calcule dimE, dimE⊥, dimF e dimF⊥.(b) Determine base ortogonal para E.(c) Determine base ortogonal para E⊥ (o complemento ortogonal de E).(d) Calcule a distância de p = (1, 1, 0, 0) a F .(e) Encontre as equações cartesianas da recta R paralela a F que passa no ponto p = (1, 1, 0, 0).(f) Encontre as equações do 2-plano P que passa no ponto p = (1, 1, 0, 0) e é perpendicular a E.(g) Encontre a matriz que representa PF⊥ : R4 → R4 na base canónica. Verifique que PF⊥ ◦PF⊥ = PF⊥ .

Resolução (a) Sim, porque F ⊂ E. Temos que dimE = dimE⊥ = 2, dimF = 1 e dimF⊥ = 3.(b) Sendo v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 1, 1, 1) base para E, vamos aplicar o processo de ortogonalização deGram-Scmidt para obter uma base ortogonal {w1, w2} para E:w1 = v1 = (1, 0, 0, 1)w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1 = (

−12 , 1, 1,

12).

(c) Em primeiro lugar temos que encontrar uma base {s1, s2} de E⊥, e de seguida apelar ao processo deortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal {t1, t2} de E⊥.

Como v1, v2 geram E,

E⊥ = {u = (x, y, z, w) : 〈u, v1〉 = 0 = 〈u, v2〉} = Nuc[

1 0 0 10 1 1 1

]

cuja base é s1 = (−1,−1, 0, 1) e s2 = (0,−1, 1, 0). Finalmente, aplicando Gram-Schmidt:t1 = s1 = (−1,−1, 0, 1)t2 = s2 − 〈s2,t1〉〈t1,t1〉 t1 = (0,−1, 1, 0)−

13(−1,−1, 0, 1) = (13 , −23 , 1, −13 ).

(d) A distância de p a F é dist(p, F ) = ||PF⊥(p)||. Agora ou se usa uma base ortonormada {u1, u2, u3}de F⊥ e então3 PF⊥(p) = 〈p, u1〉u1 + 〈p, u2〉u2 + 〈p, u3〉u3, ou se usa o facto de PF + PF⊥ = I, i.e.

PF⊥(p) = p− PF (p) = p−〈p, (1, 0, 0, 1)〉

〈(1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 1)〉(1, 0, 0, 1) = (12, 1, 0,

−12

).

Portanto dist(p, F ) =√

6/2.(e) Primeiro vamos encontrar uma base para F⊥. Como estamos a usar o produto usual de R4, temosque F⊥ = Nuc

[1 0 0 1

], cuja base é {(−1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}. Donde F = {(x, y, z, w) :

−x+w = 0, y = 0, z = 0}. Como a recta R é paralela a F , as equações de R obtêm-se das de F impondoa condição p ∈ R (originando eventualmente equações não homogénias). Facilmente se constata que asequações cartesianas de R são: −x + w = −1, y = 1, z = 0.

Note que F = Nuc

−1 0 0 10 1 0 00 0 1 0

.

(f) Vimos em (b) que {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1)} é uma base de E, pelo que as equações cartesianas de E⊥são: x + w = 0, y + z + w = 0. Como o 2-plano P é paralelo a E⊥ e p ∈ P, concluimos que as equaçõescartesianas de P são: x + w = 1, y + z + w = 1.

3Recorde que dada uma base ortonormada {ui} de um espaço E, PE(w) =P

i〈w, ui〉ui. De forma similar, dada umabase ortonormada {vj} de E⊥, PE⊥(w) =

Pj〈w, vj〉vj . Mais: PE(w) + PE⊥(w) = w para todo o vector w.


(g) Como dimF é menor que dimF⊥, vamos encontrar a matriz que representa PF e depois usa-se o factode PF⊥ = I − PF . Sendo {e1, e2, e3, e4} a base canónica de R4, PF (ei) = 〈ei,(1,0,0,1)〉〈(1,0,0,1),(1,0,0,1)〉(1, 0, 0, 1), comi = 1, 2, 3, 4. Pelo que

PF (e1) = (1/2, 0, 0, 1/2), PF (e2) = (0, 0, 0, 0), PF (e3) = (0, 0, 0, 0), PF (e4) = (1/2, 0, 0, 1/2).

Pelo que a matriz que representa PF⊥ é

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−

1/2 0 0 1/20 0 0 00 0 0 0

1/2 0 0 1/2

=

1/2 0 0 −1/20 1 0 00 0 1 0

−1/2 0 0 1/2

.

8.17 Seja E um espaço Euclideano de dimensão n, F um subespaço linear de E, PF : E → E a projecçãoortogonal sobre F e PF a matriz que representa PF numa base de E.(a) Prove que o conjunto dos valores próprios de PF é um subconjunto de {0, 1}.(b) Será PF diagonalizável?

Resolução: Se F=E ou F={0E} o exerćıcio é trivial. Para fazer os outros casos observe que se λ é valorpróprio de PF então λ2 também é valor próprio de P 2F . De seguida use o facto de P

2F =PF . Finalmente

PF é diagonalizável, tomando, p. ex., a base B = BF ∪BF⊥ de E, onde BF (resp. BF⊥) é uma base de F(resp. F⊥). Indique então S e D tais que S−1PF S = D, com D matriz diagonal.

8.18 Prove que a distância de um ponto (x0, y0, z0) ao plano Pd de equação ax + by + cz = d é|ax0 + by0 + cz0 − d|

(a2 + b2 + c2)1/2.

Resolução: O plano P0 que passa na origem (0, 0, 0) e é paralelo a Pd tem equação cartesiana dada porax+by+cz = 0. Por outro lado {(a, b, c)} é uma base para o complemento ortogonal P⊥0 e (0, 0, d/c) ∈ Pdse c 6= 0. Note que (a, b, c) 6= (0, 0, 0), pelo que se b 6= 0, podemos usar o ponto (0, d/b, 0) ∈ Pd, ou ainda(a/d, 0, 0) ∈ Pd se a 6= 0. Portanto (denotando por PP⊥0 a projecção ortogonal sobre P

⊥0 ) temos

dist((x0, y0, z0),Pd

)= ||PP⊥0 ((x0, y0, z0)− (0, 0, d/c))|| = ||

〈(x0, y0, z0 − d/c), (a, b, c)〉a2 + b2 + c2

(a, b, c)||

donde o resultado.

8.19 Seja T : P → P2 a transformação linear cuja matriz na base canónica é

1 1 11 1 11 1 1

.

(a) Prove que p(x) = 1− x2 e q(x) = 1− 2x + x2 são vectores próprios de T . Indique os valores própriosassociados.(b) Verifique se T é diagonalizável.


8.1 Resolução de alguns exames

Instituto Superior Técnico

Departamento de Matemática

Secção de Álgebra e Análise

TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR (04/NOVEMBRO/2005)LEIC-Alameda Duração: 1h:30m

Nome do Aluno:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Número do Aluno:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Curso:−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Turma:−−−−−−−−−−−−−−−−−Advertência: há 8 enunciados parecidos.... mas distintos

preencher por Aluno DocentePergunta Resposta(pág.) Classificação

Grupo I 1Grupo II (a)Grupo II (b)Grupo II (c)Grupo II (d)Grupo III (a)Grupo III (b)

TOTAL

GRUPO I (4 valores)Perguntas de escolha múltipla

Cotação de cada pergunta de escolha múltipla: 1v. Resposta em branco: 0v. Resposta errada: -0,3v.

Respostas do Grupo I (a preencher pelo Aluno)1 2 3 4

1. Seja Sγ o sistema de equações lineares representado matricialmente por

1 0 10 3 γ−1 0 −1

X =

20−γ2

onde γ é um parâmetro real. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A) Existem infinitos valores de γ para os quais o sistema de equações Sγ é posśıvel.B) Existe exactamente um valor de γ para o qual o sistema é posśıvel.

C) Existem exactamente dois valores de γ para os quais o sistema Sγ é posśıvel e tem grau deindeterminação 2.


D) Existe mais do que um valor de γ para os quais o sistema Sγ é posśıvel e tem grau deindeterminação 1.

2. Seja A =

[1 11 0

]e B tal que B−1 =

[1 10 1

]. Considere a seguinte lista de afirmações:

I) (AB)−1 =

[1 01 −1

].

II) Nuc(B) = {(0, 0)}.III) Nuc(A + B−1) = Nuc(A) + Nuc(B−1).

A lista completa de afirmações correctas é

A) I B) II C) I e II D) III

3. Considere o espaço linear V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0} e os vectores v1 =(1,−1, 1,−1), v2 = (−1,−2, 3, 0), v3 = (0, 0, 1,−1) e v4 = (0,−3, 4,−1). Considere a seguintelista de afirmações:

I) Os vectores v1, v2, v3, v4 são linearmente independentes.

II) Os vectores v1, v2, v3, v4 geram V , mas não geram R4.

III) A dimensão de V é 3 (isto é, dim(V ) = 3).


A) II B) II e III C) III D) I e III

4. Seja W = L({v1, v2}) o espaço gerado pelos vectores v1 = (1, 1, 1) e v2 = (0,−1, 1). Considere aseguinte lista de afirmações:

I) Se (1, 2) são as coordenadas do vector u ∈ W na base {v1, v2}, então u = (1,−1, 3).II) O conjunto {v1 + v2, v1 − v2} constitui uma base para W .

III) Existe um vector v3 de R3 tal que v3 /∈ W e {v1, v2, v3} é uma base de R3.


A) I e II e III B) II e III C) I e III D) I e II

———————————————————————————————————————–

Nesta parte, Grupos II e III, apresente todos os cálculos e justificações relevantes

GRUPO II (4,5 valores)


Para cada parâmetro real k, seja Ak =

1 k k1 1 kk 1 1k k 1

, u =

x

y

z

e b =

13−1−3

.

a) Discuta a caracteŕıstica de Ak em função do parâmetro k.

b) Faça a discussão das dimensões do espaço das colunas e do núcleo de Ak.

c) Determine uma base para Nuc(A−1) (onde A−1 é a matriz Ak para k = −1).

d) Verifique se (2, 1, 0) é solução do sistema linear A−1u = b. Encontre o conjunto solução de A−1u = b.

GRUPO III (1,5 valores)

Seja E = {f : R → R} o espaço linear das funções reais de variável real munido com as operaçõeshabituais. Considere os subconjuntos E+ e F de E definidos como se segue:E+ = {f ∈ E : f(x) > 0, para qualquer x ∈ R},F = {g ∈ E : g(x) = log(f(x)), para alguma função f ∈ E+}.

a) Prove que E+ não é subespaço linear de E.

b) Prove que F é subespaço linear de E.

Resolução do Teste

Escolha múltipla: Grupo I

A chave para esta vers~ao de teste é:1 2 3 4D C B A

Problema 1. Aplicando o método de eliminaç~ao de Gauss temos:

[1 0 1 2

0 3 γ 0

−1 0 −1 −γ2

]−→

L1+L3

[1 0 1 2

0 3 γ 0

0 0 0 2− γ2

].

Portanto o sistema Sγ é possı́vel se e só se 2 − γ2 = 0. Em ambos os casos γ = ±√

2cada sistema Sγ é possı́vel e determinado. Além disso, para estes casos o número de variáveislivres é igual a 1 = grau de indeterminaç~ao. O sistema Sγ é impossı́vel para cada γ talque γ 6= ±√2. Portanto a única afirmaç~ao verdadeir

problemas de algebra linear¶ - departamento de matemáticappinto/al0708/... · 2007. 9. 26. · 1...

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