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Problema resolvido 4.2SOLUÇÃO:
• Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centroide e momento de inércia.
Y=∑ y A
∑ AIx '=∑ ( I+A d2 )
• Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão.
σm=McI
• Calcular a curvatura1ρ=MEI
A peça de máquina de ferro fundido é atendida por um momento M = 3 kN m. Sabendo-se que o módulo de elasticidade E = 165 GPa e desprezando os efeitos dos adoçamentos, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) o raio de curvatura.
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Problema resolvido 4.2SOLUÇÃO:
Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centróide e momento de inércia.
Y=∑ y A
∑ A=
114×103
3000=38 mm
Area, mm2 y , mm y A , mm3
1 20×90=1800 50 90×103
2 40×30=1200 20 24×103
∑ A=3000 ∑ y A=114×103
Ix'=∑ ( I+A d2)=∑ (1
12bh3+A d2)
=(112
90×203+1800×122)+(11230×403+1200×182 )
I=868×103 mm4= 868×10-9m4
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Problema resolvido 4.2
• Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão.
σm=McI
σ A=M c AI
=3 kN⋅m × 0 . 022 m
868×10−9m4
σ B=−M cBI
=−3 kN⋅m× 0 .038 m
868×10−9m4
σ A=+76 .0 MPa
σ B=−131 .3 MPa
• Calcular a curvatura1ρ
=MEI
=3 kN⋅m
(165 GPa ) (868×10-9m4 )1ρ
=20 . 95×10−3m-1
ρ=47 .7 m
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Flexão de Barras Constituidas de Vários Materiais
• Deformação normal varia linearmente.
ε x=−yρ
• Tensões normais variam linearmente
σ1=E1 ε x=−E1 yρ σ2=E2 ε x=−
E2 yρ
• Eixo neutro não passa pelo centroide da sessão composta.
• As forças que atuam no elemento são:
dF1=σ 1dA=−E1 y
ρdA dF2=σ2dA=−
E2 y
ρdA
• Considere uma barra composta por dois materiais E1 e E2.
σ x=−MyI
σ1=σ x σ2=nσ x dF2=−(nE1) y
ρdA=−
E1 y
ρ(n dA ) n=
E2
E1
• Definir uma seção transformada de tal forma que:
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Problema Resolvido 4.3SOLUÇÃO:
• Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão.
• Avaliar as propriedades da seção transversal da barra transformada.
• Calcular a tensão máxima na seção transformada. Esta é a tensão máxima correta para a parte de latão da barra.
• Determine a tensão máxima na parte de aço do barra, multiplicando a tensão máxima para a seção transformada pela razão entre os módulos de elasticidade.
Uma barra feita da união de duas peças de aço (Eaço = 203GPa) e latão (Elatão = 105 GPa). Determinar a tensão máxima no aço e no latão, quando um momento M= 4,5 KN.m estiver aplicado.
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Problema Resolvido 4.3
• Calcular o momento de inércia da seção trasformada.
I= 1
12bT h
3=1
12(0, 567 m ) (0,076 m )3=2 .10−6 m4
SOLUÇÃO:
• Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão.
• Calcular as tensões máximas
(σ latão)max=σm
(σ aço)max=nσm=1, 933× 85,5 MPa
(σ latão )max=85 ,5 MPa
(σ aço)max=(1,933 )(85,5 MPa )
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n=Eaço
Elatão
=203GPa105GPa
=1.933
bT=19mm×(1.933)=36.7mm
σm=M cI
=(4,5 KN )(0,038m)
2×10−6m4 =85,5MPa
Vigas de Concreto Armado• Vigas de concreto submetida a momentos fletores são
reforçadas por barras de aço.
• Para determinar a localização do eixo neutro,
(bx )x2
−n A s (d−x )=0
12b x2+n As x−n A s d=0
• As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da superfície neutra. A parte superior da viga de concreto resiste à carga de compressão.
• Na seção transformada, a área transversal do aço, As, passa a ter a área equivalente nAs onde n = Es/Ec.
• As tensão normais no concreto e no aço
σ x=−MyI
σ c=σ x σ s=nσ x
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Problema resolvido 4.4
SOLUÇÃO:
• Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto.
• Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada.
• Calcular as tensões máximas no concreto e no aço.
•A laje de piso de concreto é reforçada com barras de aço 16 mm de diâmetro. O módulo de elasticidade é de 205 GPa para o aço e 25 GPa para o concreto. Com um momento fletor aplicado de 4,5 KN.m a cada 300mm de largura da laje, determinar a tensão máxima no concreto e no aço.
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Problema resolvido 4.4
• Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada.
300 x(x2 )−3296 (100−x )=0 x=37,1 mm
I=13
(300 ) (37,1 )3+3296 (100−37 ,1 )2=18 ,15 . 106 mm4
SOLUÇÃO:
• Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto.
n=EsEc
=205 GPa25 GPa
=8,2
nA s=8,2 .(402 mm2)=3296 mm2
• Calcular as tensões máximas.
σ c=Mc1I
=4500 KN .m×37,1mm18,15×106mm4
σ s=nMc2I
=8,2(4500KN .m)(62 ,9mm )
18,15×106mm4
σ c=9,2 MPa
σ s=127 ,9 MPa
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Concentração de Tensão
Concentrações de tensão pode ocorrer :
• nas proximidades dos pontos onde as cargas são aplicadas
σm=KMcI
• nas proximidades de mudanças abruptas na seção transversal
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Deformações Plásticas
• No caso de elemento que possui planos de simetria vertical e horizontal, composto de material caracterizado pela mesma relação tensão-deformação em tração e em compressão a linha neutra coincidirá com a linha de simetria horizontal da seção.
• Para qualquer elemento submetido à flexão pura a tensão varia linearmente com a deformação:
ε x=−ycεm
• Se o elemento é feito de um material elástico linear, a linha neutra passa pelo centroide da seção e
σ x=−MyI
• Para um material com uma curva de tensão-deformação não-linear, a localização da linha neutra é encontrada através da expressão:
Fx=∫ σ x dA=0 M=∫−yσ x dA
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Deformações Plásticas• O valor máximo do momento fletor, Ml, provoca
falha do elemento. Esse valor pode ser determinado quando a tensão máxima é igual à resistência última do material.
• RB pode ser usado para determinar o limite de momento fletor, Ml, de qualquer elemento feito do mesmo material e com uma seção transversal da mesma forma, mas com dimensões diferentes.
• O módulo de ruptura em flexão, RB , é encontrado a partir de um valor determinado experimentalmente de Ml considerando uma distribuição linear fictícia de tensões.
RB=M lc
I
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Barras Constituídas de Material Elastoplástico• Barra retangular em flexão feita de um material
elastoplásticoσ x≤σ E σm=
McI
σm=σ E M E=Icσ Y= momento elástico máximo
• A medida que o momento fletor M aumenta, as zonas plásticas expandem-se até que, no limite, a deformação é totalmente plástica.
M=32ME(1−
13
yE2
c2 ) y E= metade da espessura do núcleo elástico
• A medida que yE se aproxima de zero, o momento fletor se aproxima do valor limite.
M p=32M E= momento plástico
k=M p
M E
= fator de forma (depende apenas da forma da seção)
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