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J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 1
problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 2
problema de afectação
• Qual é o objectivo?
2
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 3
problema de afectação
O algoritmo húngaro é quase parecido
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 4
problema de afectação
O
O
O
3
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 5
problema de afectação
O
O
O
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 6
problema de afectação
OOO
4
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 7
problema de afectação
• é solução?
O
O
O
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 8
problema de afectação
• é solução?
O
O
O
5
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 9
problema de afectação
• o que há de comum?
OO
O
OO
O
Zeros Independentes
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 10
problema de afectação
OO
O
OO
O
Zeros Independentes
Quantos são?
6
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problema de afectação
• problema de emparelhamento num grafo bipartido com custos (lucros) associados aos arcos.
• se todos podem executar um conjunto de n tarefas a enumeração completa avalia n! soluções -> inviável
• igual ao problema de transporte, quando as disponibilidades e procuras são iguais a 1 -> altamente degenerado, só tem n variáveis positivas (resultam do emparelhamento), transportes tem n+m-1 variáveis básicas
H M/T20
12186
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problema de afectação
• aplicações– afectação de tarefas
• tempos de desempenho• aptidões específicas
– resolução do caixeiro viajante
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problema de afectação• formulação matemática
H T57
63B
A 1
2
1 2
5 73 6
AB
1
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
2
1 2
2 2
1 1
1 2
0 5 7 3 6
. : 1111
, , ,
0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0
B B
A A
A
A A B B
A A
B B
A B
A B
A A B B
B
A B
Min x x x xs a x x
x xx x
x xx x x
zx x
x xx x
x xx
=+ +
+ +
+ + ++
+ ++ +
=+ =
+ =+ =
≥
1V 2V
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problema de afectação
• formulação matemática– poliedro de afectação é um poliedro
inteiro– total unimodularidade da matriz A
qualquer solução básica tomará valores inteiros embora não seja necessário explicitamente requerer
{ }0,1ijx ∈
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problema de afectação
• a solução de um problema PL é óptima se:– válida para o primal;– válida para o dual;– obedecer às condições de folga complementar.
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problema de afectação
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problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 18
problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 30
problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
A B C Da 0 0 1 3b 0 3 0 1c 1 1 1 0d 1 0 1 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
A B C Da 0 0 1 3b 0 3 0 1c 1 1 1 0d 1 0 1 0
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problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
A B C Da 0 0 1 3b 0 3 0 1c 1 1 1 0d 1 0 1 0
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J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 35
problema de afectação
A B C Da 2 2 5 3b 2 5 4 1c 5 5 7 2d 4 3 6 1
A B C Da 0 0 3 1b 1 4 3 0c 3 3 5 0d 3 2 5 0
A B C Da 0 0 0 1b 1 4 0 0c 3 3 2 0d 3 2 2 0
A B C Da 0 0 1 2b 0 3 0 0c 2 2 2 0d 2 1 2 0
A B C Da 0 0 1 3b 0 3 0 1c 1 1 1 0d 1 0 1 0a A
b Bc Cd D
242
3 Custo = 11
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problema de afectação
• a solução de um problema PL é óptima se:– válida para o primal;– válida para o dual;– obedecer às condições de folga complementar.
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problema de afectação
H T57
63B
A 1
2
1 2
1
2
5 73 6
v v
uu
1V
1 1
2 2
5 03 0
u vu v= == =
1 2 1 2
1 1
1 2
2 2
2 1
1 2
1 1
2 1
2 2
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0
. : 5
736
, i j
zu vu v
u
Max u u v vs a u v
u vu vu vu v livr s
u ve
v
+ + ++ ≤
+
=+ ++ ++
≤+
≤+ ≤
+ + +
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problema de afectação
B
A 1
2
1V 2V
ST
2V T−
1V S− =∅
corte
1 1
2 2
5 03 0
u vu v= == =
20
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problema de afectação
1 2
1
2
5 73 6
v v
uu B
A 12
1V 2V
ST
2V T−
1V S− = ∅
corte
( )( )
min 7 5 0;6 3 0
min 2;3 2
θ = − − − −
= =
1 1
2 2
5 03 0
u vu v= == =
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problema de afectação
1
2
1
2
5 2 73 2 50 2 20
uuvv
′ = + =′ = + == − = −=
1 2
1
2
2 0
7 5 75
0 0 0 00 03 0 06
v v
uu
= =
=
=
−
=
=
==
B
A 1
2
1V 2V
21
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 41
problema de afectação
B
A 1
2
1V 2V
21
AB→→
1 2
5 73 6
AB
custo total=101 2
1
2
2 0
7 5 75
0 0 0 00 03 0 06
v v
uu
= =
=
=
−
=
=
==
1 2 1 2 100 0 0 0u u v v+ + + =
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 42
1 2
6AB
• ••
problema de afectação
1 2
76
AB
••
B
A 1
2
1V 2V
ST
2V T−
1V S− =∅
corteB
A 1
2
1V 2V
22
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 43
problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 44
problema de afectação
23
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 45
problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 46
problema de afectação
24
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 47
problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 48
problema de afectação
25
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 49
problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 50
problema de afectação
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problema de afectação
J.A.Oliveira – DPS – U.Minho 52
problema de afectação
O algoritmo húngaro é quase parecido