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PROBLEMAS DE DISTINTOS LIBROS

Problema 1 (CABALLERO Y OTROS (Programación Lineal) Una tienda de electrodomésticos lanza una oferta durante 20 días. Para ello contrata a cuatro vendedores y a tres instaladores durante cuatro horas diarias. La oferta está dirigida a la venta de frigoríficos, lavadoras y vitrocerámicas. Se estima que un vendedor tarda 20 minutos en vender un frigorífico, 16 minutos en una lavadora y 30 en una vitrocerámica, mientras que los instaladores necesitan 15 minutos en instalar un frigorífico, 36 minutos en una lavadora y 21 en una vitrocerámica. Si los precios de venta son 70.000 pts. un frigorífico, 50.000 pts. una lavadora y 60.000 pts. una vitrocerámica, ¿Cuál es la combinación de ventas que maximiza los ingresos de la tienda correspondiente a esta promoción? ¿Habrá contratado a algún vendedor y/o instalador de más?

Problema: Maximizar los ingresos de la tienda correspondientes a la promoción.

Variables que intervienen: x nº frigoríficos

y nº lavadoras

z nº vitrocerámicas Función objetivo: Máx. Ingresos = 70000x + 50000y + 60000z sujeto a:

20x + 16y +30z 19200

15x + 36y + 21z 14400

x,y,z 0

Solución óptima: Variable Valor

x 960

s1 0 s2 0

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Ingresos 67.200.000 No ha contratado a ningún vendedor y/o instalador de más, ya que las variables de holgura (s1 y s2) adquieren valor cero (son un coladero). Problema 2 Un profesor ha llevado a cabo un examen que consta de tres preguntas y está asignando puntuación a cada una de ellas. Para ello decide:

a) El tercer problema debe puntuar como mínimo 2,5 puntos. b) En total deben sumar diez puntos. c) Debido a la dificultad de las preguntas 1 y 2, la diferencia entre la

puntuación de la primera y la segunda deberá ser a lo sumo de un punto.

El profesor conoce que un 50 % del curso resolverá la primera pregunta correctamente, un 30 % la segunda y un 40 % la tercera.

¿Cómo debe asignar los puntos de modo que se maximice la puntuación global del curso?

Problema: Maximizar la puntuación global del curso.

Variables que intervienen: x puntuación primera pregunta

y puntuación segunda pregunta

z puntuación tercera pregunta Función objetivo: Máx. Z = 50x + 30y + 40z sujeto a:

z 2,5 x + y + z = 10

x – y 1

x,y,z 0


x 4,25


3

y 3,25

z 2,50

Z 410,00 (Resolución en archivo puntuac.met , programa “manager”) (Resolución en archivo puntuac.lp, programa “lp88”) Problema 3 En una acería se producen cuatro tipos de acero: A, B, C y D, dependiendo de su contenido en hierro y carbón.

Las instalaciones fabriles están divididas en 4 grandes departamentos: fundición, laminado, corte y bobinado:

- El departamento de fundición trabaja las 24 horas del día. - El departamento de laminado funciona con horas-máquina y horas-

hombre: las 2 máquinas existentes pueden trabajar las 24 horas al día ininterrumpidamente, para lo que se utilizan tres turnos de operarios de 2 hombres cada uno, que trabajan 8 horas.

- En el departamento de corte trabajan operarios al mismo nivel que en el de laminado.

- En el departamento de bobinado se trabaja 12 horas al día. El número de horas que la fabricación de cada tipo de acero requiere en los distintos departamentos es:

Número de horas en el departamento

Fundición Laminado Corte Bobinado

Acero tipo A 2 2 6 -

Acero tipo B 3,5 3 2 -

Acero tipo C 1 4 3 1

Acero tipo D 2 1 4 3

El coste por unidad de medida de acero producido viene determinado

por la relación entre hierro y carbón que se utilice para cada tipo de acero:

Acero tipo A Acero tipo B Acero tipo C Acero tipo D

Hierro 6 9 8 7

Carbón 4 1 2 3

El coste de cada unidad de hierro es de 0,4 unidades monetarias, mientras que el coste de cada unidad de carbón es de 1 unidad monetaria. Debido a la cercanía del almacén del proveedor, el suministro de las materias primas (hierro y carbón) es inmediato y el transporte no supone un plus en el coste de las mismas.


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El acero tipo B está en fase de desaparición, debido a su poca resistencia y alta corrosión, por lo que la empresa ha estimado que la producción máxima del mismo sea de 2 unidades. Los ingresos producidos por cada tipo de acero son 12, 9, 11 y 12 unidades monetarias respectivamente por unidad de medida. ¿Cuál es la producción óptima que maximice los beneficios de la acería?

Problema: Alcanzar la producción óptima que maximice los beneficios de la acería.

Variables que intervienen: x1 acero tipo A

x2 acero tipo B

x3 acero tipo C

x4 acero tipo D Función objetivo: Máx. Beneficios = (12x1 + 9x2 + 11x3 + 12x4) – (6,4x1 + 4,6x2 + 5,2x3 + 5,8x4) sujeto a:

2x1 + 3,5x2 + 1x3 + 2x4 24

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 48

6x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 48

x3 + 3x4 12

x2 2

x1, x2, x3, x4 0


x1 2,11 x2 2,00 x3 9,21 x4 0,93 s1 1,71


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Beneficios 79,80 Dual:

Min. W = 24y1 + 48y2 + 48y3 +12y4 + 2y5 s.a.:

2y1 + 2y2 + 6y3 5,6

3,5y1 + 3y2 + 2y3 + y5 4,4

y1 + 4y2 + 3y3 + y4 5,8

2y1 + y2 + 4y3 + 3y4 6,2 Problema 4 Un agricultor posee una parcela de 800 m2 para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales, manzanos y papayeros. Se pregunta de qué forma repartirá la superficie de la parcela entre las cuatro variedades para conseguir el máximo beneficio sabiendo que:

- Cada naranjo precisa como mínimo de 16 m2, cada peral 4 m2, cada manzano 8 m2 y cada papayero 10 m2.

- Dispone de un total de 1200 horas de trabajo/año (150 jornales), precisando cada naranjo de 30 horas/año, cada peral de 5 horas/año, cada manzano de 10 horas/año y cada papayero de 13 horas/año.

- Los beneficios unitarios son de 50, 25, 20 y 35 unidades monetarias por cada naranjo, peral, manzano y papayero respectivamente.

- El agricultor posee un depósito de 4.000 litros para el regadío de los árboles frutales, el cual es llenado por la empresa suministradora una vez al año. Cada naranjo precisa de 55 litros/año, perales 40 litros/año, manzanos 25 litros/año y papayeros 30 litros/año. El precio de cada litro de agua tratada es de 0,3 unidades monetarias, pagando el agricultor únicamente por el agua consumida.

- El cultivo de papayeros tiene como destino satisfacer la demanda local, por lo que el agricultor ha determinado que para no quedarse con excedentes la superficie de papayeros no puede ser superior a 180 m2.

Problema: Maximizar el beneficio a través del reparto de la superficie dedicada al cultivo.


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Variables que intervienen: x1 naranjos

x2 perales

x3 manzanos

x4 papayeros Función objetivo: Máx. Z = (50x1 + 25x2 + 20x3 + 35x4) – (16,5x1 + 12x2 + 7,5x3 + 9x4) sujeto a:

16x1 + 4x2 + 8x3 + 10x4 800

30x1 + 5x2 + 10x3 + 13x4 1200

55x1 + 40x2 + 25x3 + 30x4 4000

x4 18

x1, x2, x3, x4 0


x1 23,07 x2 54,78 x4 18,00 s1 31,76 Z 1952,97 Dual: Min. W = 800y1 + 1200y2 + 4000y3 + 18y4 s.a.:

16y1 + 30y2 + 55y3 33,5

4y1 + 5y2 + 40y3 13

8y1 + 10y2 + 25y3 12,5

10y1 + 13y2 + 30y3 + y4 26


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Problema 5 Un médico receta a una de sus pacientes una dieta especial de adelgazamiento basada en cinco productos (arroz, pescado, verduras, carne de pavo y fruta fresca) que han de combinarse de manera que cumplan una serie de requisitos mínimos en cuanto a proteínas y calorías, y máximos en cuanto a grasas y colesterol:

- Los requisitos mínimos se sitúan en 15 unidades de proteínas y en 8.000 calorías.

- Los requisitos máximos se sitúan en 9 unidades de grasa y 5 unidades de colesterol.

Los productos que componen la dieta tienen las siguientes unidades por kilogramo:

- El arroz contiene 1 unidad de proteína, 1.000 calorías, 0 unidades de grasa y 0,5 unidades de colesterol.

- El pescado contiene 3 unidades de proteínas, 2.500 calorías, 2 unidades de grasa y 1 unidad de colesterol.

- Las verduras contienen 2 unidades de proteínas, 1.000 calorías, 1 unidad de grasa y 0,5 unidades de colesterol.

- La carne de pavo contiene 8 unidades de proteínas, 3.000 calorías, 4 unidades de grasa y 5 unidades de colesterol.

- La fruta fresca contiene 0 unidades de proteínas, 1.500 calorías, 0 unidades de grasa y 0 unidades de colesterol.

Los precios de los cinco productos básicos son respectivamente de 70, 120, 100, 210 y 90 pesetas el kilogramo. ¿Cuál ha de ser la combinación de productos que cubriendo los requerimientos mínimos y máximos tenga el mínimo coste?

Problema: Minimizar el coste de la dieta propuesta por el médico.

Variables que intervienen: x1 arroz

x2 pescado

x3 verduras

x4 carne de pavo

x5 fruta fresca Función objetivo: Min. Z = 70x1 + 120x2 + 100x3 + 210x4 + 90x5 sujeto a:

x1 + 3x2 + 2x3 + 8x4 15

1000x1 + 2500x2 + 1000x3 + 3000x4 + 1500x5 8000

2x2 + x3 + 4x4 9

0,5x1 + x2 + 0,5x3 + 5x4 5


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x1, x2, x3, x4, x5 0


x2 3,00 x3 2,33 x4 0,17 s2 2333,33 Z 628,33 Dual: Max. W = 15y1 + 8000y2 - 9y3 - 5y4 s.a.:

y1 + 1000y2 - 0,5y4 70

3y1 + 2500y2 - 2y3 - y4 120

2y1 + 1000y2 - y3 - 0,5y4 100

8y1 + 3000y2 - 4y3 - 5y4 210

1500y2 90 Problema 6

Un accionista particular, el 1/1/97, quiere invertir en acciones con cotización oficial, para crear una cartera de valores que maximice su beneficio. Tiene la opción de adquirir entre 6 tipos de acciones (Telefónica, Aceralia, BBV, Banco Santander, Hiberdrola y Ercros), cuyos precios el primer día de cotización son de 2700, 1800, 4750, 2800, 1500 y 160. Deseamos invertir un máximo de 7 millones de pesetas para adquirir dichas acciones. El 31/12/97 vamos a vender las acciones adquiridas a principios de año, y sabemos que las previsiones de la Comisión del Mercado de Valores garantizan que la cotización a finales de año sufrirá un aumento porcentual sobre el valor nominal de lo mostrado en la tabla adjunta:


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Telefónica Aceralia BBV Banco

Santander Hiberdrola Ercros

10% - 12% 15% - 20% 5% - 7% 11% - 13% 7% - 9% 30% - 70%

El accionista teniendo en cuenta dichas previsiones de la Comisión, y para determinar el precio final de venta, hace la media aritmética de los aumentos porcentuales de las acciones.

Telefónica Aceralia BBV Banco

Santander Hiberdrola Ercros

Cotización 1/1/97

2700 1800 4750 2800 1500 160

Cotización 31/12/97

2997 2115 5035 3136 1620 240

Como viene siendo habitual en los últimos años las empresas reparten unos dividendos que suponen un 10% del precio nominal a principio de año (se acogen a este reparto de dividendos todas las empresas salvo Hiberdrola, que este año no reparte dividendos). La comisión que tenemos que pagar a los brokers por la adquisición de dichas acciones es del 3 por 1000 del valor nominal de compra, pero cuando dicho valor nominal es inferior a 1600 unidades monetarias la comisión asciende al 6 por mil. Debido a la privatización de Telefónica, el gobierno no permite adquirir más de 100 acciones por accionista individual. Ya que Ercros tiene un riesgo muy elevado, el accionista no quiere adquirir más de un 15% del presupuesto total.

Dado que tiene cuentas bancarias en los dos bancos (BBV y Santander), decide destinar un mínimo del 10% del presupuesto a la adquisición de acciones para cada uno de los bancos.

Problema: Pretendemos maximizar los beneficios por invertir en Bolsa

Variables que intervienen: x1 acciones de Telefónica

x2 acciones de Aceralia

x3 acciones del BBV

x4 acciones del Banco Santander

x5 acciones de Hiberdrola

x6 acciones de Ercros


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Función Objetivo: Máx. B = (2997x1 + 2115x2 + 5035x3 + 3136x4 + 1620x5 + 240x6) + + (10% · (2700x1 + 4750x3 + 2800x4 + 1500x5 + 160x6)) –

(2700x1 + 1800x2 + 4750x3 + 2800x4 + 1500x5 + 160x6) –

[(3‰ (2700x1+ 1800x2 + 4750x3 + 2800x4)) + (6‰ (1500x5 + 160x6))] sujeto a: (2700 ·1.003)x1 + (1800 ·1.003)x2 + (4750 ·1.003)x3 + (2800 ·1.003)x4 +

+ (1500 ·1.006)x5 + (160 ·1.006)x6 7000000

x1 100

160x6 1050000

4750x3 700000

2800x4 700000

x1, x2, x3, x4, x5, x6 0


x1 0 x2 0 x3 147,36842 x4 1866,40039

x5 0 x6 6562,5 s2 100 s5 4525921,5 B 1867624,8800 Dual: Min. W = 7000000y1 + 100y2 + 1050000y3 – 700000y4 –700000y5 s.a.:

2708,1y1 + y2 558,9

1805,4y1 309,6


11

4764,25y1 – 4750y4 745,75

2808,4y1 – 2800y5 607,6

1509y1 261

160,96y1 + 160y3 95,04 Problema 7 La empresa X, S.A. tiene que distribuir el producto que fabrica, desde tres plantas industriales, a cinco centros de consumo. Las capacidades de producción son respectivamente de 200, 240 y 240 (en miles de unidades). El producto se consume en los cinco centros con unas capacidades respectivamente de 80, 100, 140, 180 y 180 (en miles de unidades). Los costes de transporte desde cada planta industrial a cada centro de consumo vienen dados en la siguiente tabla.

Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Centro 5 Producción

Planta 1 8 2 4 12 18 200

Planta 2 12 8 6 10 14 240

Planta3 10 4 12 8 16 240

Demanda 80 100 140 180 180

¿Cuál será la distribución de la producción para el coste del transporte sea el mínimo?

Problema: Pretendemos minimizar el coste de transporte Variables que intervienen:

x11 Unidades que tenemos que transportar desde la planta 1 al centro de venta 1.

x12 Unidades que tenemos que transportar desde


12

la planta 1 al centro de venta 2.

x23 Unidades que tenemos que transportar desde la planta 2 al centro de venta 3. . .

x35 Unidades que tenemos que transportar desde la planta 3 al centro de venta 5. Función objetivo:

Min C = 8x11 + 2x12 + 4x13 + 12x14 + 18x15 + 12x21 + 8x22 + 6x23 + + 10x24 + 14x25 + 10x31 + 4x32 + 12x33 + 8x34 + 16x35

sujeto a: x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 200 x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 240 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 240

x11 + x21 + x31 = 80 x12 + x22 + x32 = 100 x13 + x23 + x33 = 140 x14 + x24 + x34 = 180 x15 + x25 + x35 = 180

xij 0


x11 20 x12 100 x13 80 x14 0 x15 0 x21 0 x22 0 x23 60 x24 0 x25 180 x31 60 x32 0 x33 0


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x34 180 x35 0 C 5600

COMENTARIO DEL DUAL Las variables yi corresponden a los precios sombra, que serán los costes de oportunidad de cada una de las restricciones del primal. La variable dual es el precio que, en el óptimo, la empresa está dispuesta a pagar por un incremento de recurso disponible. Por tanto, mide el grado de sensibilidad de la función objetivo en el óptimo cuando se varían ligeramente las constantes de restricción. Así pues, podemos considerar los problemas duales como determinar un sistema de precios marginales no negativos de forma que se minimiza el precio total de los recursos y tal que los costes imputados a cada bien sean iguales o mayores que su margen de beneficio unitario. Para la solución óptima del problema, unas restricciones estarán saturadas y otras no. Las variables duales asociadas a las restricciones no saturadas del primal son nulas, y si la variable dual es positiva, el recurso correspondiente se utiliza en su totalidad, es decir, las restricciones están saturadas. Si la variable de holgura asociada a una restricción es positiva nos indicará que los recursos utilizados en producir el output vale más que el margen de beneficios derivado del bien, y sabemos, por las condiciones de holgura complementarias, que la variable del primal asociada a esa restricción es cero, es decir, no se producirá unidad alguna de ese bien. Luego, sólo se producirá de aquellos bienes para los cuales el valor de los recursos utilizados en su producción coincide con su margen de beneficios. Por ejemplo, tomando los datos del problema tipo número 1 (acería.dua):

PRIMAL DUAL

Variable Valor Variable Valor

X1 2,11 Y1 0

X2 2,00 Y2 0,70

X3 9,21 Y3 0,70

X4 0,93 Y4 0,90

S1 1,71 Y5 0,90


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En el primal podemos observar que en la restricción primera hay una variable de holgura no nula. Por tanto, en el dual la variable y1 tomará valor nulo, ya que no supondrá un coste adicional el aumento o disminución en una unidad de las horas de trabajo en el departamento de fundición. Por otro lado, observamos que en el dual no hay variables de holgura, lo que implica que vamos a producir de todos los tipos de acero, ya que el coste de los recursos usados en cada tipo de acero coincide con su margen de beneficios. Los valores de las variables del dual yi (i = 1,2,3,4,5), nos indican en cuanto se ve modificado el coste de producción al variar en una unidad las capacidades respectivas del primal.

Problema 8

El “Banco Canario” está formulando una política de préstamos, en la que se

pueden invertir un máximo de 1.200 millones de pesetas. Los datos de los diferentes

tipos de préstamos con los que el banco trata son los siguientes:

Tipo de Préstamo Tipo de Interés Probabilidad de insolvencia

De coche 0’13 0’07

De vivienda 0’12 0’03

Agrícola 0’125 0’05

Comercial 0’1 0’02

La competencia con otras instituciones financieras del entorno, requiere que el

banco asigne al menos el 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Con

el fin de ayudar a la industria constructora de viviendas de la región, los préstamos para

vivienda deben igualar, al menos, al 5% de los personales, de coche y de vivienda en

conjunto. Asimismo, el “Banco Canario” ha establecido una política que especifica que

el ratio global de los impagados en todos los préstamos no puede exceder del 0’04%.

Solución:

Definición de las variables (en centenas de millones de ptas.)

X1 = préstamos personales Probabilidad Probabilidad

X2 = préstamos para coche de insolvencia de solvencia

X3 = préstamos para vivienda

X4 = préstamos agrícolas 0’10 0’90

X5 = préstamos comerciales 0’07 0’93

0’03 0’97


15

0’05 0’95

0’02 0’98

Primal:

F.O. Max. Z= 0’14 0’90 X1 + 0’13 0’93.X2 + 0’97 X3 + 0’125 0’95.X1 + 0’1

0’98 X5 - 0’1 X1 - 0’07 X2 - 0’03 X3 - 0’05 X4 - 0’02 X5

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 12 inversión

X4 + X5 4’8 (40 % de 12) Préstamos agrícolas y

comerciales

X3 0’5 (X1 + X2 + X3) Préstamos de viviendas

0’1X1 + 0’07 X2 + 0’03 X3 + 0’05 X4 + 0’02 X5 0’04 límite de inpagados

X1+ X2 + X3 + X4 + X5

X1, X2, X3, X4, X5 0 no negatividad

Simplificando, tenemos:

F.O. Max Z = 0’026 X1 + 0’0509 X2 + 0’0864 X3 + 0’06875 X4 + 0’078 X5

Sujeto a: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 12

X4 + X5 4’8

- 0’5 X1 - 0’5 X2 + 0’5 X3 0

0’06 X1 + 0’03 X2 - 0’01 X3 + 0,01 X4 - 0,02X5 0

DUAL

F.O Min. W = 12 Y1 - 4’8 Y2

Sujeto a: 1Y1 + 0Y2 - 0’5 Y3 + 0’06Y4 0’026

1Y1 + 0Y2 - 0’5 Y3 + 0’03Y4 0’0509

1Y1 + 0Y2 + 0’5 Y3 - 0’01Y4 0’0864

1Y1 + 1Y2 + 0 Y3 + 0’01Y4 0’06875

1Y1 + 1Y2 + 0 Y3 - 0’025Y5 0’078

Problema 9. Planificación urbana:

Una empresa posee 800 has. de tierra no urbanizada a orillas de un lago. En el pasado

no se aplicó prácticamente regulación alguna a nuevos desarrollos alrededor del lago.

Las orillas del lago están ahora pobladas con viviendas para veraneantes. Debido al


16

problema de servicio de aguas residuales, las tanquillas sépticas, la mayoría instaladas

impropiamente, están teniendo un gran uso.

Para parar esto las autoridades públicas han aprobado ordenanzas para

construcciones futuras.

1. Solo pueden construirse casas para una familia, para dos o para tres, siendo las de

una familia, al menos, un 50% del total.

2. Para limitar el número de tanquillas sépticas, las viviendas simples, dobles y triples

han de tener un tamaño mínimo de 2,3 y 4 has., respectivamente.

3. Debe establecerse áreas de recreo de una hectárea cada una por cada 200 familias (al

menos).

La empresa está estudiando la posibilidad de desarrollar 800 has. Este nuevo

desarrollo incluirá viviendas simples, dobles y triples. Se estima que el 15% de la

superficie de destinará a la apertura de calles y servidumbres.

Estimación de los ingresos netos

Simples Dobles Triples

Bº Neto por ud. 10.000 12.000 15.000

El coste de la conexión del servicio de aguas es proporcional al Nº de viviendas

construídas. Sin embargo, la empresa estipula que para que el proyecto sea

económicamente viable deben ser recaudados al menos 100.000 u.m. Además, la

expansión de la conexión de aguas mas allá de la capacidad actual está limitada a

200.000 galones por día durante las horas de mayor consumo.

Simples Dobles Triples Areas de recreo

Cte. Unitario del ss. de agua 1000 1200 1400 800

Consumo unitario de agua (gal/dia) 400 600 840 450

Solución

X1 = Nº. de viviendas simples

X2 = Nº. de viviendas dobles

X3 = Nº. de viviendas triples

X4 = Nº. de áreas de recreo

PRIMAL

F.O: Max. Z = 10.000X1 + 12.000X2 + 15.000X3

Sujeto a:

Uso del terreno 2X1 + 3X2 + 4X3 + 1X4 680 ( 85% X 800)

Viviendas simples X1 0’5 0’5X1 -0’5 X2 - 0’5 X3 0


17

X1+X2+X3

áreas de recreo 200 X4 - 1X1 - 2X2 - 3X2 0 X4 X1 + 2X2 + 3X3

200

capital 1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4 100.000

consumo de agua 400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4 200.000

diario

Max. Z = 10.000X1 + 12.000X2 + 15.000X3

Sujeto a: 2X1 + 3X2+ 4X3 + 1X4 680

0’5X1 - 0’5X2 - 0’5X3 0

-X1 - 2X2 - 3X3 + 200X4 0

1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4 100.000

400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4 200.000

DUAL

F.O. Min. W = 680Y1 - 0Y2 - 0Y3 - 100.000Y4 + 200.000Y5

Sujeto a: 2Y1 + 0’5Y2 - 1Y3 + 1000 Y4 + 400Y5 10.000

3Y1 - 0’5Y2 - 2Y3 + 1200 Y4 + 600Y5 12.000

4Y1 - 0’5Y2 - 3Y3 + 1400 Y4 + 840Y5 15.000

1Y1 + 0Y2 + 200Y3 + 800 Y4 + 450Y5 = 0

Problema 10. Reducción de tráfico:

Una empresa está estudiando la posibilidad de introducir un sistema de tránsito

el guaguas que reduzca el tráfico en la ciudad, de manera que se determine el número

mínimo de guaguas que puedan cubrir las necesidades de transporte. Después de recabar

la información necesaria, la empresa ve como el mínimo de guaguas varía según la hora

del día. Estudiando esos datos más a fondo, llegan a la conclusión de que el número de

guaguas requerido puede estar próximo a valores constantes de intervalos sucesivos de

4 horas cada uno (vemos los resultados en el gráfico). Para cumplir con el

mantenimiento diario requerido, cada guagua sólo puede operar durante 8 horas

sucesivas al día.


18

X1 = nº de guaguas que salen a las 12:01 A.M.



X4 = nº de guaguas que salen a las 12:01 P.M.

X5 = nº de guaguas que salen a las 4:01 P.M.

X6 = nº de guaguas que salen a las 8:01 P.M. PRIMAL

Min. Z : X1 + X2+ X3 + X4 + X5+ X6

Sujeto a: X1 + X6 4

X1 + X2 8

X2 + X3 10

X3 + X4 7

X4 + X5 12

X5 + X6 4

0

2

4

6

8

10

12

14

0 4 8 12 16 20 24

horas de salida

nº

de

gu

ag

ua

s

0 4 8 12 16 20 24

horas de salida


19

DUAL

Max . W = -4Y1 - 8Y2 - 10Y3 - 7Y4 - 12 Y5 - 4Y6

Sujeto a: 1Y1 + 1Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 0Y6 1

0Y1 + 1Y2 + 1Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 0Y6 1

0Y1 + 0Y2 + 1Y3 + 1Y4 + 0Y5 + 0Y6 1

0Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 1Y4 + 1Y5 + 0Y6 1

0Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 1Y5 + 1Y6 1

1Y1 + 0Y2 + 0Y3 + 0Y4 + 0Y5 + 1Y6 1

Problema 11. PRODUCCION AGRICOLA

Un experimento social interesante en la región del Mediterráneo es el Sistema

de Kibbutzim, o comunicaciones agrícolas comunales, en Israel. Es igual que algunos

grupos de Kibbutzim se unen para compartir los ss. técnicos comunes y coordinar la

producción. El ejemplo se refiere a un grupo de 3 Kibbutzim, al que se llamará la

Confederación Sur de Kibbutzim.

La planeación global de la C.S.K se hace en su oficina de coordinación

técnica. En la actualidad están planeando la producción agrícola para el próximo

año.

La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible

para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas asigna para

irrigarlo (Tabla 1).

El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo,

y éstas son precisamente las 3 que se están estudiando para la estación venidera.

Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto por area esperado

y en su consumo de agua. Además, el Ministerio de agricultura ha establecido

cantidades máximas de acres que la confederación puede dedicar a estas cosechas.

(Tabla 2)

Los 3 que pertenecen a la C.S. están de acuerdo en que cada Kibbutz se la

misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Cualquier combinación de esta

cosechas se puede sembrar en cualquiera de las Kibbutz. El W al que se enfrenta la

oficina de coordinación técnica consiste en planear cuantas acres deben asignarse a cada

tipo de cosecha en cada Kibbutz.


20

Tabla 1 = datos de recursos para C.S.K

Kibbutz Terrenos para Asignación de Agua

uso (acres) (pies-acre)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

Tabla 2 = Datos de cosechas para C.S.K

Cosecha Cant. Máx. Consumo de agua Rendimiento neto

(acres) (pies - acre/acre) ($ / acre)

Remolacha 600 3 400

Algodón 500 2 300

Sorgo 325 1 100

Cumpliendo con las restricciones dadas, el objetivo es maximizar el rendimiento neto

total para C.S.

Tabla 3 = Vbles. de decisión para el problema de CSK

Cosecha Asignación (acres) Kibbutz

1 2 3

Remolacha X1 X2 X3

Algodón X4 X5 X6

Sorgo X7 X8 X9


21

PRIMAL

Maximizar Z = 400 ( X1+ X2 + X3 ) + 300 (X4 + X5 + X6 ) + 100 (X7 + X8 + X9)

Sujeta a las siguientes restricciones:

1) Terreno: X1 + X4 + X7 400

X2 + X5 + X8 600

X3 + X6 + X9 300

2) Agua: 3X1 + 2X4 + X7 600

3X2 + 2X5 + X8 800

3X3 + 2X6 + X9 375

3) Cosecha: X1+ X2 + X3 600

X4 + X5 + X6 500

X7 + X8 + X9 325

4) Sociales: 3 (X1 + X4 + X7)-2( X2 + X5 + X8) = 0

X2 + X5 + X8 –2(X3 + X6 + X9) = 0

4(X3 + X6 + X9)-3( X1 + X4 + X7) = 0

5) No negatividad: Xj 0 ; para j = 1,2,.......,9

DUAL

Min. W = 400Y1+ 600Y2 + 300Y3 + 600Y4 + 800Y5 + 375Y6 + 600Y7 + 500Y8 +

325Y9 + 0 Y10 + 0 Y11 + 0 Y12

Restricciones:

Y1+ 3Y2 + Y3 + 3Y4 - 3Y5 400

Y1+ 3Y2 + Y3 - 2Y4 + 1Y5 400 Remolacha

Y1+ 3Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5 400

Y1 + 2Y2 + Y3 +3Y4 -3Y5 300

Y1 + 2Y2 +Y3 - 2Y4 + 1Y5 300 Algodón

Y1 + 2Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5 300


22

Y1 + Y2 + Y3 + 3Y4 - 3Y5 100

Y1 + Y2 + Y3 - 2Y4 + 1Y5 100 Sorgo

Y1 + Y2 + Y3 - 2Y4 + 4Y5 100

Problema 12. CONTROL DE LA CONTAMINACION

La compañía Nori & Leets, una de las mayores productoras de acero del mundo

occidental, está localizada en Stell Town que de momento emplea a cerca de 50.000

residentes. La contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la

planta, está arruinando la apariencia de la ciudad y poniendo en peligro la salud de sus

habitantes.

Como resultado durante las elecciones de un nuevo consejo directivo más

responsable, hubo una revuelta entre los accionistas. Los nuevos directores han decidido

seguir políticas de responsabilidad social y están en pláticas con las autoridades de la

ciudad. Juntos han establecido estándares de calidad del aire para la ciudad.

Los 3 tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de

azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca su

emisión anual. El consejo directivo ha dado instrucciones a la gerencia para que el

personal de ingeniería determine cómo lograr estas reducciones.

Reducción requerida en la

Contaminante tasa de emisión anual (millones libras)

Partículas 60

Oxidos de azufre 150

Hidrocarburos 125

La fabricación de acero tiene 2 fuentes principales de contaminación, los altos

hornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro

en acero.

Los medios de abatimiento son:

1) aumentar la altura de las chimeneas

2) usar filtros en las chimeneas

3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos

estos métodos tienen limitaciones.

Reducción de la tasa de emisión con el uso factible máximo del método de

abatimiento para Nori & Leets.


23

Chimeneas más altas Filtros Mejores combustibles

Contaminante Altos Hornos hog. Altos Hornos hog. Altos horno hog.

Hornos abierto Hornos abierto Hornos abierto

Partículas 12 9 25 20 17 13

Oxidos de azufre 35 42 18 31 56 49

Hidrocarburos 37 53 28 24 29 20

Los métodos se pueden utilizar en cualquier nivel fraccionario de su capacidad

de abatimiento. Como operan de manera independiente, las reducciones logradas por

cada método no se ven afectadas en forma sustancial si se usan también los otros

métodos.

La combinación de los 3 métodos a toda su capacidad resulta demasiado caro y

mucho mayor de lo que se pide. Por lo tanto se tendría que utilizar alguna combinación

de los métodos.

Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de

abatimiento, se tomaron en cuenta los costos iniciales o fijos: Costo total anual para el

uso factible máximo del MA.

Método de Abatimiento Altos Hornos Hornos Hogar Abierto.

Chimeneas más altas 8 10

Filtros 7 6

Mejores combustibles 11 9

El plan para disminuir la contaminación consistirá en especificar que tipo de

métodos de abatimiento deben emplearse y a que fracciones de su capacidad para 1)

Altos Hornos y 2) Hornos Hoagres Abiertos. El objetivo es minimizar el costo total sin

violar los requerimientos de la emisión.

PRIMAL

Minimizar: Z = 8X1 + 10X2 + 7X3 + 6X4 + 11X5 + 9X6

Sujeto a: 1) Reducción de emisión de contaminación


24

12X1 + 9X2 + 25X3 + 20X4 + 17X5 + 13X6 60

35X1 + 42X2 + 18X3 + 31X4 + 56X5 + 49X6 150

37X1 + 53X2 + 28X3 + 24X4 + 29X5 + 20X6 125

2) Tecnológicas

XJ 1

3) No Negatividad

XJ 0

Variables de decisión

Método abatimiento Altos Hornos Hornos Hogar Abierto

Chimeneas más altas X1 X2

Filtros X3 X4

Mejores Combustibles X5 X6

Costo mín. ( X1, X2, X3, X4, X5, X6) = (1, 0’623, 0’343, 1, 0’048, 1)

DUAL

Máx. W = -60 Y1 - 150 Y2 - 125 Y3

Sujeto a: 12Y1 + 35Y2 + 37Y3 8

9Y1 + 42Y2 + 53Y3 10

25Y1 + 18Y2 + 28Y3 7

20Y1 + 31Y2 + 24Y3 6

17Y1 + 56Y2 + 29Y3 11

13Y1 + 49Y2 + 20Y3 9


25

Problema 13

Un médico receta a uno de sus pacientes una dieta especial de

adelgazamiento basado en tres productos (arroz, pescado y verduras frescas) que

han de combinarse de manera que cumplan una serie de requisitos mínimos en

cuanto a proteínas y calorías. Estos mínimos se sitúan en tres unidades de

proteínas y en 4000 calorías.

Los productos que componen la dieta tienen las siguientes unidades por Kg:

- el arroz contienen 1 unidad de proteínas y 2000 calorías

- el pescado tiene 3 unidades de proteínas y 3000 calorías

- las verduras frescas poseen 2 unidades de proteínas y 1000

calorías

Si los precios de los tres productos básicos son respectivamente de 70, 120 y

50 pesetas el Kg ¿ cuál ha de ser la combinación de productos que

cubriendo los requerimientos mínimos tenga el mínimo coste

Las ecuaciones del problema son:

Min. F(x) = 70 x1 + 120 x2 + 50 x3

s. a. 2000 x1 + 3000 x2 + 1000 x3 4000

x1 + 3 x2 + 2 x3 3

x1 0 ; x2 0 ; x3 0

Problema 14.

La empresa “A” se dedica al montaje de motocicletas de 500, 250, 125 y 50

centímetros cúbicos. Posee una planta que está estructurada en cuatro


26

departamentos: fabricación de los chasis, pintura, montaje y el departamento de

O.K.- Line o verificación de calidad.

Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos de

motocicletas en los diferentes departamentos son los siguientes:

Sección

Fabricación

Chasis

Sección Pintura Sección

Montaje

Sección O.K.-

Line

Mod. 500 8 6 8 4

Mod. 250 6 3 8 2

Mod. 125 4 2 6 2

Mod. 50 2 1 4 2

La distribución de los trabajadores es la siguiente:

El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores, el de

pintura de 18, el de montaje de 30 y el de O.K.- Line de 10. Todos los trabajadores

realizan una jornada laboral de 8 horas.

Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200000, 140000,

80000 y de 40000 ptas. respectivamente, ¿ cuál ha de ser la combinación óptima de

motocicletas a producir para que el beneficio sea máximo?

Función Objetivo: Max. F(x) = 200000 x1+140000 x2+80000 x3+40000 x4

s.a. 8 x1 + 6 x2 + 4 x3 + 2 x4 200

6 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 144

8 x1 + 8 x2 + 6 x3 + 4 x4 240

4 x1 + 2 x2 +2 x3 +2 x4 80

x1 0 ; x2 0; x3 0; x4 0


27

Problema 15.

Una persona dedicada a la fabricación de artículos navideños produce

bolas, tiras de luces y estrellas luminosas. En la producción de una unidad de cada

artículo utiliza materias primas en las siguientes cantidades:

Bolas Tiras Estrellas

Cable eléctrico -- 2 1 (metros)

Bombillas -- 10 4 (unidades)

Plástico 2 2 10 (bloques)

Papel brillante 2 4 4 (hojas)

Llegado el mes de Diciembre se encuentra con que su almacén proveedor ha

cerrado por quiebra y no le queda tiempo para reemplazarlo. Haciendo inventario

de sus existencias contabiliza 100 m. de cable eléctrico, 400 bombillas, 1000 bloques

de plástico y 560 hojas de papel brillante.

Por otra parte, sabe que, para que las tiendas admitan un determinado pedido,

el número de bolsas ha de ser como mínimo el doble que el número de tiras y

estrellas. El beneficio que proporciona cada unidad de producto es

respectivamente de 5, 8 y 10 ( bolas, tiras y estrellas)

El fabricante se plantea cual debe ser su producción para que el beneficio sea

máximo.

Función objetivo: Max F(x)= 5x1 +8x2 +10x3

s.a. : 2x2 +x3 100

10x2 +4x3 400

2x1 +2x2 +10x3 1000

2x1 +4x2 +4x3 560

x1 2(x2 +x3)

x1 0; x2 0; x3 0


28

Problema 16.

Cierta empresa produce cuatro artículos diferentes utilizando los

materiales A y B. Dada la distancia existente entre el almacén proveedor y

la empresa, el proveedor establece como condición de servir los materiales

que el consumo mínimo mensual de A y B debe ser de 5.600 y de 8.700

unidades.

La estructura del proceso productivo es la siguiente:

Producto (1) Producto (2) Producto (3) Producto (4)

Material A 200 150 100 45

Material B 300 250 180 82

El coste unitario de producción es, respectivamente, de 90, 80, 50,

24.

¿Cuál debe ser la distribución de la producción para que los costes sean

mínimos?

Función objetivo: Min F(x) = 90x1 + 80x2 +50x3 +24x4

s.a : 200x1 +150x2 +100x3 +45x4 5.600

300x1 +250x2 +180x3 +82,5x4 8.700

x1 0; x2 0 ; x3 0 ; x4 0


29

Problema 17.

Una refinería de petróleo destila tres tipos de crudos: el Arabia (ligero),

el Venezuela (medio) y el México (pesado), cuyos precios en el mercado

libre son de 40$, de 36$ y de 32$ el barril, respectivamente.

De cada uno de los crudos en el proceso de destilación y refino se

obtiene gasolina, keroseno y gas-oil, así como unas pérdidas por obtención

de residuos inservibles. Por cada barril de crudo se obtienen los siguientes

barriles de los productos refinados:

GGAASSOOLLIINNAA KKEERROOSSEENNOO GGAASS--OOIILL RREEDDIIDDUUOOSS

1 barril Arabia 0.40 0.20 0.30 0.10

1 barril Venezuela 0.30 0.20 0.40 0.10

1 barril México 0.20 0.30 0.40 0.10

La refinería ha firmado un contrato con una compañía multinacional

para el suministro de 1.500.000 barriles de gasolina, 400.000 de keroseno y

700.000 de gas-oil , durante el próximo año. ¿ Qué cantidad debe adquirir

de cada tipo de crudo para que el coste sea mínimo?

Función objetivo: Min F(x) = 40x1 +36x2 +32x3

s.a. : 0.4x1 +0.3x2 + 0.2x3 1.500.000

0.2x1 +0.2x2 +0.3x3 400.000

0.3x1 +0.4x2 +0.4x3 700.000

x1 0; x2 0; x3 0


30

Problema 18.

Una empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo

en la empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas diferentes (un

trabajador para cada máquina).

La empresa, para realizar la selección, ha probado a 5 trabajadores en las 4

máquinas. Realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas el

mismo trabajo, se ha obtenido la siguiente relación de tiempos.

Trabajadores m1 m2 m3 m4 Máquinas

t1 10 6 6 5

t2 8 7 6 6

t3 8 6 5 6

t4 9 7 7 6

t5 8 7 6 5

Determinar qué 4 trabajadores debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe

asignar cada uno de los trabajadores contratados.

Problema 19.

La empresa “Química, S.A.” busca la definición de su proceso de producción en

base a la fabricación de dos productos A y B. Para ello se consideran relevantes los

siguientes criterios: se quiere conseguir el mayor beneficio posible con la producción y

venta de A y B.

Por otra parte la empresa desea respetar limitaciones relacionadas con las

disponibilidades máximas de 1.000 y 800 unidades, respectivamente. Por otra parte,

también existen limitaciones con la disponibilidad de la mano de obra que alcanza una

cuantía máxima de 1.200 horas/hombre.

Para mantener cierto nivel de actividad se considera que el volumen de

producción total no debe bajar de 400 unidades entre ambos productos. Existe además,

la limitación de no poder trabajar más de 20 días al mes por riesgo a sobrecarga en las

instalaciones y a no poder operar más de 6 horas seguidas en las máquinas que generan

ambos productos. Por razones medioambientales, esta empresa química no puede

producir más de 10.000 productos al mes. Se trata de hallar la función de producción

mensual, teniendo en cuenta los siguientes datos unitarios:

Bº unitario Consumo unit. X Consumo unit. Y Mano Obra Días H/M

Producto A 3 3 1 3h/h 2 2

Producto B 4 1 2 2h/h 1 1


31

Problema 20.

Una entidad financiera tiene 5 tipos de préstamos para sus clientes, que tienen

los siguientes tipos de interés:

Préstamos de 1ª hipoteca .................... 14%

Préstamos de 2ª hipoteca .................... 20%

Préstamos acondicion. vivienda.......... 20%

Préstamos personales.......................... 10%

Préstamos preferenciales.................... 8%

La entidad tiene disponibles para prestar a sus clientes en estas cinco

modalidades de préstamos hasta 250 millones de pesetas. Sin embargo se deben cumplir

las siguientes condiciones de política financiera de la entidad:

a) los préstamos de 1ª hipoteca deben ser al menos el 55% del total de los

hipotecarios.

b) los préstamos de 2ª hipoteca no deben exceder del 25% del total.

c) por razones impositivas para la entidad, que tiene un tipo impositivo

progresivo, el tipo medio de interés del total de los préstamos no debe exceder del 15%.

¿Cual debe ser la distribución de los préstamos de la entidad a fin de que se

maximice la renta de interese y se verifiquen todas las limitaciones de política

financiera?

Problema 21. (de Hiller - Liebermann) La compañía Wyndor Glass produce artículos de vidrio de alta calidad, incluye ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1; los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y en la planta 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha decidido reorganizar la línea de producción. Se dejarán de producir varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto 1) es una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. El otro (producto 2) es una


32

ventana grande (4*6 pies) para vidrio doble con marco de madera. El departamento de Marketing ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de producción en la planta 3, no es obvio qué mezcla de los 2 productos sería la más rentable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de operaciones que estudiara el asunto. Después de hacer algunas investigaciones, el departamento de I. de O. determinó: 1. el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que estará disponible para estos productos. 2. el porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida por minuto. 3. la ganancia unitaria por cada producto. Esta información se resume en la tabla. Como cualquiera que sea la capacidad utilizada por uno de los productos en la planta 3, el otro ya no puede aprovecharla, de inmediato el departamento de I. de O. reconoció éste como un problema de programación lineal clásico de mezcla de productos y emprendió la tarea de formular y resolver el problema. Capacidad usada por unidad de tasa de producción.

Planta Producto 1

Producto 2

Capacidad disponible

1 2 3

1 0 3

0 2 2

4 12 18

Ganancia unitaria

$3 $5

X1= Producto 1 X2= Producto 2 Función Objetivo: Max Z= 3X1+5X2 Restricciones: X1<=4 2X2<=12 3X1+2X2<=18 X1, X2>=0 DUAL: Función objetivo:


33

Min Z = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3 Restricciones: Y1 + 3Y3 >= 3 2Y2 + 2Y3 >=5 Soluciones: PRIMAL DUAL S1 = 2 Y3 = 1 X2 = 6 Y2 = 1.5 X1 = 2 Z = 36 Z = 36 Problema 22. (de Programación Lineal, Metodología y Problemas. Mocholi Arce y Sala Garrido). La empresa ¨A¨ se dedica al montaje de motocicletas de 500, 250, 125 y 50 cc.Posee una planta que está estructurada en 4 departamentos: fabricación de los chasis, pintura, montaje y el departamento de O.k.-Line o verificación de calidad. Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos de motocicleta en los diferentes departamentos son los siguientes:

Sección de Fabricación Chasis.

Sección Pintura

Sección Montaje

Sección O.K.-Line

Mod. 500 8 6 8 4

Mod. 250 6 3 8 2

Mod. 125 4 2 6 2

Mod. 50 2 1 4 2

La distribución de los trabajadores es la siguiente: El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores, el de pintura de 18, el de montaje de 30 y el de O.K.-Line de 10. Todos los trabajadores realizan una jornada laboral de 8 horas. Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200.000, 140.000, 80.000 y de 40.000 pesetas respectivamente, ¿Cuál ha de ser la combinación óptima de motocicletas a producir para que el beneficio sea máximo?. Se trata de un problema de PRODUCCIÓN cuyo objetivo es maximizar los beneficios de una empresa que fabrica 4 modelos de motocicletas. Las restricciones se refieren al máximo de horas de trabajo en cada uno de los 4 departamentos.


34

Función objetivo: Max f(x) = 200.000 X1 + 140.000 X2 + 80.000 X3 + 40.000 X4 Restricciones: 8 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 2 X4 <= 200 6 X1 + 3 X2 + 2 X3 + X4 <= 144 8 X1 + 8 X2 + 6 X3 + 4 X4 <= 240 4 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 2 X4 <= 80 X1,X2,X3;X4 >=0 DUAL: Función objetivo: Min f(x) = 200Y1 + 144Y2 + 240Y3 + 80Y4 Restricciones: 8Y1 + 6Y2 + 8Y3 + 4Y4 >= 200000 6Y1 + 3Y2 + 8Y3 + 2Y4 >= 140000 4Y1 + 2Y2 + 6Y3 + 2Y4 >= 80000 2Y1 + Y2 + 4Y3 + 2Y4 >= 40000 Soluciones: PRIMAL DUAL X2 = 20 Y4 = 10000 S2= 24 S4 = 20000 S3 = 0 Y1 = 20000 X1 = 10 S3 = 20000 Z = 4800000 Z = 4800000 Problema 23. (de Programación Lineal, Metodología y Problemas. Mocholi Arce y Sala Garrido). Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de pollos, una dieta mínima para la alimentación de las aves compuesta de 3 uds. de hierro y 4 uds. de vitaminas. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5 uds. de hierro y 1 ud. de vitamina, cada kilo de harina de pescado, 3 uds de vitamina y cada kilo de cierto pienso sintético 1 ud. de hierro y 2 uds. de vitamina. El granjero se pregunta por la composición de la dieta óptima que minimice el costo de la alimentación, sabiendo que los precios del maíz, la harina de pescado y pienso sintético son, respectivamente, de 20, 30 y 16 pesetas. Se trata de encontrar la combinación de kilos de maíz (X1), de harina de pescado (X2) y pienso sintético (X3) que minimice la función de coste.


35

Se trata de un problema de asignación de dieta, para minimizar los costes de la misma, sabiendo que ésta debe cumplir unos requisitos de contenido mínimo de hierro y vitaminas.

Función objetivo: Min f(x) = 20 X1 + 30 X2 + 16 X3 Restricciones: 5/2 X1 + 3 X2 + X3 >= 3 X1 + 3 X2 + 2 X3 >= 4 X1, X2, X3 >=0 DUAL: Función objetivo: Max f(x) = 3 Y1 + 4Y2 Restricciones: 5/2Y1 + Y2 <= 20 3Y1 + 3Y2 <= 30 Y1 + 2Y2 <= 16 Soluciones: PRIMAL DUAL X2 = 0.67 S1 = 4 X3 = 1 Y1 = 4 Z = 36 Y2 = 6 Z = 36


36

Problema 24. (de Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. Wayne L. Winston) Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados de tiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de empleados de tiempo completo requerido para cada día son:

DÍAS nº de empleados de tiempo completo requerido

1 = lunes 2 = martes 3 = miércoles 4 = jueves 5 = viernes 6 = sábado 7 = domingo

17 13 15 19 14 16 11

Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo, tiene que trabajar 5 días consecutivos y, después, descansar 2 días. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar sólamente empleados de tiempo completo. Formule un P.L. que pueda utilizar la oficina de correos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar. Se trata de un problema de establecimiento del horario de trabajo con 7 variables y 7 restricciones referentes al número mínimo de empleados de tiempo completo requeridos por día.

Variables: Xi = número de empleados que empiezan a trabajar el día i; i= 1,...,7 Función objetivo: Min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 Restricciones: X1 + X4 + X5 + X6 + X7 >= 17 (restricción del lunes) X1 + X2 + X5 + X6 + X7 >= 13 (restricción del martes) X1 + X2 + X3 + X6 + X7 >= 15 (restricción del miércoles) X1 + X2 + X3 + X4 + X7 >= 19 (restricción del jueves) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 >= 14 (restricción del viernes) X2 + X3 + X4 + X5 + X6 >= 16 (restricción del sábado) X3 + X4 + X5 + X6 + X7 >= 11 (restricción del domingo) Xi >= 0 ( i = 1,...,7) (restricción de signo)


37

DUAL: Función objetivo: Max Z = 17Y1 + 13Y2 + 15Y3 + 19Y4 + 14Y5 + 16Y6 + 11Y7 Restricciones: Y1 + Y2 +Y3 +Y4 +Y5 <= 1 Y2 + Y3 +Y4 +Y5 +Y6 <= 1 Y3 +Y4 +Y5 +Y6 +Y7 <= 1 Y1 + Y4 +Y5 + Y6 +Y7 <= 1 Y1 + Y2 + Y5 + Y6 + Y7 <= 1 Y1 + Y2 + Y3 + Y6 + Y7 <= 1 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y7 <= 1 Soluciones: PRIMAL DUAL X4 = 7.33 Y4 = 0.33 X1 = 6.33 Y6 = 0.33 X6 = 3.33 Y7 = 0 X3 = 0.33 Y1 = 0.33 S2= 1.67 S5 = 0.33 S5 = 5 Y3 = 0.33 X2 = 5 S7 = 0 Z = 22.33 Z = 22.33 Problema 25. (Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. Wayne L. Winston). Star Oil Company considera 5 diferentes oportunidades de inversión. En la siguiente tabla se muestran los desembolsos de caja y los valores actuales netos (en millones de dólares).

Salidas caja Inversión 1 Inversión 2 Inversión 3 Inversión 4 Inversión 5

Tiempo 0 11 53 5 5 29

Tiempo 1 3 6 5 1 34

VAN 13 16 16 14 39


38

La compañía dispone de 40 millones de dólares para invertir en el momento actual ( tiempo 0); estima que en un año (tiempo 1) dispondrá de 20 millones de dólares para invertir. Star Oil puede comprar cualquier fracción de cualquier inversión. En este caso, las salidas de caja y los VAN se ajustan de forma correspondiente. Star Oil quiere maximizar el VAN que se puede obtener mediante las inversiones 1 a 5. Formule un P.L. que ayude a alcanzar esta meta. Supóngase que los fondos no usados en el tiempo 0 no se pueden utilizar en el tiempo 1. Solución: Star Oil tiene que determinar qué fracción de cada inversión hay que comprar. Definimos: Xi = fracción de la inversión i comprada por Star Oil ( i = 1,..,5) La meta de la compañía es maximizar el VAN ganado por las inversiones. Se trata de un problema de inversiones con un presupuesto limitado.

Función Objetivo: Max Z = 13 X1 + 16 X2 + 16 X3 + 14 X4 + 39 X5 Restricciones: 11 X1 + 53 X2 + 5 X3 + 5 X4 + 29 X5 <= 40 (restricción del tiempo 0) 3 X1 + 6 X2 + 5 X3 + X4 + 34 X5 <= 20 (restricción del tiempo 1) X1 <= 1 X2 <=1 X3 <= 1 X4 <= 1 X5 <= 1 Xi >= 0; i = 1,...,5. DUAL: Función objetivo: Min Z = 40Y1 + 20Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7 Restricciones: 11Y1 + 3Y2 + Y3 >= 13 53Y1 + 6Y2 + Y4 >= 16 5Y1 + 5Y2 + Y5 >= 16 5Y1 + Y2 + Y6 >= 14 29Y1 + 34Y2 + Y7 >= 39


39

Soluciones: PRIMAL DUAL X2 = 0.20 Y3 = 7.95 X5 = 0.29 Y1 = 0.19 X1 = 1 Y5 = 10.12 S4 = 0.80 Y6 = 12.06 X3 = 1 Y2 = 0.98 X4 = 1 Z = 57.45 S7 = 0.71 Z= 57.45

Problema 26. (J. Faulin y A.A. Juan, Proyecto e-Math, uoc)

Supongamos que pretendemos realizar una encuesta para determinar la opinión de los

españoles acerca del problema de la inmigración. A fin de que la misma sea

representativa desde un punto de vista estadístico, exigiremos que ésta deba cumplir los

siguientes requisitos:

1. Entrevistar al menos un total de 2.300 familias españolas

2. De las familias entrevistadas, al menos 1.000 deben cumplir que su cabeza de

familia no supere los 30 años de edad

3. Al menos 600 de las familias entrevistadas tendrán un cabeza de familia con

edad comprendida entre los 31 y los 50 años

4. El porcentaje de entrevistados que pertenecen a zonas con elevadatasa de

inmigración no debe ser inferior a un 15% del total

5. Finalmente, no más de un 20% de los entrevistados mayores de 50 años

pertenecerán a zonas con alta tasa de inmigración

Además todas las encuestas deberán realizarse en persona

A continuación indicamos el coste estimado en euros de cada encuesta según la edad del

encuestado y si procede o no de una zona con alta tasa de inmigración:

ZONA EDAD 31 AÑOS EDAD 31-50 AÑOS EDAD 50 AÑOS

Tasa de inmigración

elevada

7.50 6.80 5.50


baja

6.90 7.25 6.10

Obviamente, nuestro objetivo será cumplir todos los requisitos anteriores minimizando

el coste.


40

Definimos pues, nuestras variables de decisión (cuántos de cada grupo deben ser

entrevistados) tal como reflejamos en el cuadro siguiente:

ZONA EDAD 31 AÑOS EDAD 31-50 AÑOS EDAD 50 AÑOS


elevada

E1 (A) E2(B) E3(C)


baja

B1(D) B2(E) B3(G)

Y las restricciones vienen expresadas por los requisitos que se han de cumplir.

Luego nuestro modelo matemático es:

Min 7.5 A + 6.8 B + 5.5 C + 6.9 D + 7.25 E + 6.1 F

st

A + B + C + D + E + F >= 2300

A + D >= 1000

B + E >= 600

A + B + C - .15 A - .15 B - .15 C - .15 D - .15 E - .15 F >= 0

C - .2 C - .2 F <= 0

end

gin 6

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE VALUE = 15166.0000

FIX ALL VARS.( 2) WITH RC > 0.000000E+00

NEW INTEGER SOLUTION OF 15166.0000 AT BRANCH 0 PIVOT 4

BOUND ON OPTIMUM: 15166.00

ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4

LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND

RE-INSTALLING BEST SOLUTION...


41

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 15166.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

A 0.000000 7.500000

B 600.000000 6.800000

C 140.000000 5.500000

D 1000.000000 6.900000

E 0.000000 7.250000

F 560.000000 6.100000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 0.000000

3) 0.000000 0.000000

4) 0.000000 0.000000

5) 395.000000 0.000000

6) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 4

BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

Problema 27. (J. Faulin y A.A. Juan, Proyecto e-Math, uoc)

Una compañía de ámbito nacional produce y distribuye una línea de bicicletas de alta competición. La empresa tiene líneas de montaje en dos ciudades: Castellón y Sabadell, mientras que sus principales cadenas de distribución están localizadas en Madrid, Barcelona y Vitoria.

La oficina de Madrid presenta una demanda anual de 10.000 bicicletas, mientras que la de Barcelona solicita 8.000 y la de Vitoria 15.000.

La planta de Castellón puede producir hasta 20.000 bicicletas anuales, por 15.000 la de Sabadell.

Los costes en euros de transporte por unidad son los siguientes:


42

MADRID BARCELONA VITORIA

CASTELLON 2 3 5

SABADELL 3 1 4

La Compañía pretende establecer una plan de distribución que minimice sus costes

anuales.

Para su solución, definimos las variables de decisión que definen las cantidades que

envío desde las plantas montadoras a las ciudades donde tenemos el mercado (p.e CV

indica la cantidad de bicicletas que envío desde Castellón para su venta en Vitoria).

Así pues, nuestras variables de decisión son: CM, CB, CV, SM, SB y SV

La función objetivo: Minimizar Costes, luego:

Min 2 CM + 3 CB + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SV

Y las restricciones son las que establece el estudio de Mercado y la capacidad de

producción de ambas plantas, luego:

CM + SM = 10000

CB + SB = 8000

CV + SV = 15000

CM + CB + CV 20000

SM + SB + SV 15000

siendo todas las variables enteras.

Con el LINDO:

Min 2 CM + 3 CB + 5 CV + 3 SM + 1 SB + 4 SV

ST

CM + SM = 10000

CB + SB = 8000

CV + SV = 15000

CM + CB + CV <= 20000

SM + SB + SV <= 15000

end

GIN 6


43

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 96000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

CM 10000.000000 2.000000

CB 0.000000 3.000000

CV 8000.000000 5.000000

SM 0.000000 3.000000

SB 8000.000000 1.000000

SV 7000.000000 4.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 0.000000

3) 0.000000 0.000000

4) 0.000000 0.000000

5) 2000.000000 0.000000

6) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

problema copiados de libros

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