problema compensador

8/16/2019 Problema Compensador

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1. Problema

Diseñar un compensador a través de Bode para el regulador automático de tensión, talque satisfaga las siguientes condiciones:

Tabla 1 Datos del problemaParámetros Requerimientos Compensador T A= 0,05 [s] MF ≥ 70 °

G C (s )=1 + sT 11 + sT 2

K A= 400 PSP = 25

T do' = 7 [s ] t a ≤ 1 [s ]

2. Desarrollo

a !ig" # muestra el diagrama de bloques del regulador automática de tensión $R%&'"

Fig. 1 Diagrama de bloques sistema

(n donde la función de transferencia e la)o abierto del sistema sin compensar estadadada por:

G LASC (s )=

V t V ref

= K a

(sT ´ do +1 )·(sT a +1 ) $*'

Reempla)ando los valores dados de la &abla # se obtiene que:

G LASC (s )= 1142,86

(s2 +20,14 s+2,8571 ) $*'

Para compensar el R%& se utili)ará un compensador en ganancia" Para satisfacer el error en estado estacionario se debe cumplir que $considerando un error a un escalón unitario de

e (∞)= 0.05 ':

1 K 1

≤ 0.05 → K 1 ≥ 20 $*'


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Como se verifica que para el sistema compensado

K 1= lims→ 0

s · G c (s )· G LASC (s ) $*'

(ntonces K 1= G c (0 )· G LASC (0 )= 400 ·G C (0 ) $*'

(s claro que es necesario que el compensador debe aportar con una ganancia de:

K c= G c (0 )≥ 0.05 $*'

Para asegurar el valor del error en estado estacionario se elige el valor menor para + c, esdecir,

K c= 0.05 $*'

(mpleando la siguiente gráfica, se puede determinar la frecuencia de amortiguación a partir del dato del P P otorgada en el enunciado del problema"

!ig" - Relación entre el factor de amortiguación $.'"/ P P


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0bservando la gráfica de la !ig" - se puede observar que para un P P dado de un -12,la frecuencia de amortiguación del sistema debe ser ξ 3*,4"

Con respecto a T 1 / T 2 , estas son determinadas utili)ando la gráfica de la !ig" 5 ,

las cual relaciona las frecuencias normali)adas con el factor de amortiguación $ ξ '"

!ig" 5 Relación entra las frecuencias normali)adas / el factor de amortiguación

De la gráfica anterior se logra observar que para una frecuencia de amortiguacióndeseada de *,4 se tiene que:

ω cg¿

ω(ξ= 0,4 )≥ 0,8 $*'

6na ve) obtenida esta relación se debe determinar el valor de ω para determinar el

valor de la frecuencia de cruce de ganancia deseada $ ω cg¿

'" (l valor de ω se obtiene

utili)ando la ecuación descrita a continuación:

t a= 4ξ · ω

≤ 1 $*'

(valuando los valores dados de la &abla # , se obtiene que la frecuencia normali)ada buscada es:


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ω ≥ 10 [rads ]→ ω = 10 $*'Por lo tanto la frecuencia de cruce de ganancia deseada es:

ω cg¿ ≥ 8 $*'

(l tra)o Bode la !& % sin compensar / compensada sólo en ganancia se muestra aseguir:

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

M

a g n i t u d e ( d B ) System: h2

Frequ ency (r ad/s): 3.02Magnitude (dB): -0.587

10-3

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

System: h2Frequ ency (r ad/s): 3.02Phase (deg): - 95.9

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/ s)

!ig" 4 &ra)o de bode

De la gráfica anterior se puede concluir que la nueva frecuencia de cruce de ganancia para el sistema compensando en ganancia es de -,71 8rad9s

;erificando la condición de fase

180 °+¿G LAsc ( ! ωcg¿ )≥ M F ¿+5 ° 85 °≥ 75 ° $*'

Por lo tanto" c= 0,1 ω cg

¿ = 0,285 = 1T 1 $*'


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% continuación, en la !ig" 1 , se muestra una comparación de la respuesta ante un escalóndel sistema compensado / el sin compensar"

(n ella se observa que el sistema compensado presenta una respuesta muc=a másamortiguada / con un error de estado estacionario cercano al *"*12"

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X: 6.254Y: 0. 9599

Time (seconds)

d a t a

Time Series P lot:

!ig" 1 Respuesta a un escalón

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