problema 3. abcd o m€¦ · , atunci din teorema lui thales obținem și din (1) rezultă că ....
TRANSCRIPT
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Problema 3. Fie ABCD un patrulater convex, O punctul de intersecție al diagonalelor, M un punct de pe
segmentul AB și N un punct de pe segmentul CD. Să se arate că punctele O, M și N sunt coliniare dacă
și numai dacă AM D N O B O C BM C N O A O D .
Soluţie. Dacă notăm , , ,AM D N O B O C
a b c dBM C N O D O A
, atunci:
1
1 1
aO M O A O B
a a
1
1 1
bO N O D O C
b b
1
,O D O B O C d O Ac
1
1 1
bdO N O A O B
b c b
O, M, N sunt coliniare
1
11 11
1
1 1
a
a aO M O N ac abcd
bd bd
b c b
AM D N O B O C BM C N O A O D .
A doua soluție: Observăm că BM O A O B D N
AM D N O B O C BM C N O A O DAM O C O D C N
(1)
I. Să presupunem că O, M, N sunt coliniare.
Dacă MN BC , atunci din teorema lui Thales obținem BM O C
AM O A și
D N O D
C N O B , deci
1BM O A O B D N
AM O C O D C N .
Dacă MN BC , fie P MN BC . Aplicăm
teorema lui Menelaus în triunghiurile ABC și DBC cu
transversala PM și obținem:
1PC BM O A
PB AM O C și 1
P C O B D N
P B O D C N .
Comparând aceste două relații deducem că are
loc și relația (1).
II. Să presupunem că are loc relația (1).
Dacă ON BC , atunci din teorema lui Thales obținem D N O D
C N O B și din (1) rezultă că
BM O C
AM O A . Aplicând reciproca teoremei lui Thales în triunghiul ABC, obținem OM BC .
Cum ON BC și OM BC deducem că punctele O, M, N sunt coliniare.
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Dacă ON BC , fie P ON BC . Aplicăm teorema lui Menelaus în triunghiul DBC cu
transversala PO și obținem 1P C O B D N
P B O D C N . Folosind relația (1) rezultă 1
PC BM O A
PB AM O C .
Conform reciprocei teoremei lui Menelaus rezultă că punctele P, O, M sunt coliniare. Deoarece
N O P deducem că punctele O, M și N sunt coliniare.