ProbabilityProbabilityof Simpleof SimpleEventsEvents

vocabolariovocabolarioEventoEvento: : risultato di risultato di un un esperimentoesperimento..Spazio campionario Spazio campionario omega omega ΩΩ: : insieme di tutti insieme di tutti ii

casi possibili di casi possibili di un un esperimentoesperimento.. EsEs: : nel lancio di nel lancio di un dado: un dado: ΩΩ=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6Eventi incompatibiliEventi incompatibili: non : non possono verificarsipossono verificarsi

insiemeinsieme. . Sono disgiunti Sono disgiunti (( no no casi comunicasi comuni))Eventi indipendentiEventi indipendenti: se : se il verificarsi il verificarsi del primodel primo

evento evento non non influenza influenza il secondoil secondo..Eventi complementari Eventi complementari : : ““EE”” e e ““not Enot E”” sonosono

complementari complementari se se ll’’uno uno èè la la negazione allnegazione all’’altroaltro..Es: Es: nel lancio nel lancio dado: E=dado: E=““n<3n<3”” notE=notE=““nn≥≥33””NB: la NB: la loro unione loro unione forma lo forma lo spazio campionario spazio campionario .. La La somma delle loro probabilità somma delle loro probabilità è 1è 1

definizione classica di probabilitàdefinizione classica di probabilità E=evento E=evento

Si può applicare Si può applicare solo se lo solo se lo spazio campionario spazio campionario ΩΩsoddisfa soddisfa due ipotesidue ipotesi: : Equiprobabile Equiprobabile ee FinitoFinito

ProprietàProprietàP(E) è P(E) è numero compreso fra numero compreso fra 0 e 10 e 1La La probabilità dellprobabilità dell’’evento certo evento certo è 1è 1La La probprob..delldell’’evento impossibile evento impossibile è 0è 0La La probabilità dellprobabilità dell’’evento contrario evento contrario ““notEnotE”” è: è:

P(E) =numero_Casi _ Favorevoli

numero_Casi _ Possibili=C.F.

C.P.

0 ! P(E) !1

P(Certo) = 1

P(IMP) = 0

P(notE) = 1! P(E) P(E)+ P(notE) = 1

Due eventi E, notE sono complementari se sonol’uno l’opposto dell’altro ( notE è contrario a E )

E NotE

Eventi complementari Eventi complementari ((contraricontrari))

P(E) P(NotE)

La probabilità dell’evento contrario NotE è: “1 MENO la probabilità dell’evento E ”

La somma delle probdi E e notE è 1

DA CUI:

Not E

Es:E=“piove” notE=“non piove”

Poiché lPoiché l’’unione di unione di E e not EE e not Eforma lo forma lo spazio campionario spazio campionario

La La probabilitaprobabilita’’ di di un un evento può essereevento può essereespressaespressa::

Come FRAZIONE : Come FRAZIONE : 1/41/4Come PERCENTUALE UNITARIACome PERCENTUALE UNITARIAcompresa fra compresa fra 0 e 1: 0 e 1: 0.250.25come PERCENTUALEcome PERCENTUALE

compresa fra compresa fra 0% e 100% : 0% e 100% : 25%25%

PROBABILITAPROBABILITA’’ CLASSICA CLASSICA

PROBABILITY LINEPROBABILITY LINE

0% 0% 25% 25% 50% 50% 75% 100% 75% 100%

0 0 ¼ or .25 ½ 0r .5 ¾ or .75¼ or .25 ½ 0r .5 ¾ or .75 1 1

Impossible Impossible Non Non molto ugualmente molto certomolto ugualmente molto certo probabilii probabilii probabili probabili probabili probabili

LINEA DELLA PROBABILITALINEA DELLA PROBABILITA’’

Esercizi Esercizi conconESPERIMENTI CLASSICIESPERIMENTI CLASSICI

1) 1) Lancio di una monetaLancio di una moneta2) 2) Lancio di Lancio di un dadoun dado3) 3) Estrazione di una pallina da unEstrazione di una pallina da un’’urnaurna4) 4) Estrazione di una carta da un mazzo diEstrazione di una carta da un mazzo di52 carte ( o 40 carte )52 carte ( o 40 carte )

5) eventi complementari nel mazzo di carte5) eventi complementari nel mazzo di carte6) 6) eventi complementari nel lancio di dueeventi complementari nel lancio di duemonetemonete

1) LANCIO DI UNA MONETA1) LANCIO DI UNA MONETAQual Qual è la è la probabilità che esca probabilità che esca ““TESTATESTA””??Ragiono cosìRagiono così::Ci sono Ci sono 2 2 casi possibili casi possibili ( TESTA o CROCE)( TESTA o CROCE)CC’è’è unun 1 1 caso favorevole caso favorevole ( TESTA)( TESTA)

La La probabilità probabilità è 1 è 1 su su 2 or 0.5 or 50%2 or 0.5 or 50%

P(TESTA) =1

2

LA SOMMAdi tutte le probabilita’ è 1

2) LANCIO DI UN DADOLANCIO DI UN DADOa) a) Qual Qual è la è la probabilità di ottenere probabilità di ottenere 4 ?4 ?RagionoRagiono:: Quanti sono Quanti sono i i Casi Possibili Casi Possibili ??

Ω=1,2,3,4,5,6 ci sono 6 casi PossibiliQuanti Casi FavorevoliQuanti Casi Favorevoli? 1 ? 1 Caso Fav Caso Fav = = 4

b) un b) un numero minore di numero minore di 5 ?5 ?RagionoRagiono:: 4 4 Casi Favorevoli Casi Favorevoli 1,2,3,4 1,2,3,4 su su 6 6 Casi PossibiliCasi Possibili

P(4) =CF

CP=1

6! 0,17 = 17%

P(n < 5) =CF

CP=4

6! 0,67 = 67%

DIAGRAMMA AD ALBERODIAGRAMMA AD ALBERO

LA SOMMA di tutte le probabilita’ è =1

NEI RAMISI SCRIVONOLE PROBABILITA’

2)2) LANCIO DI UN DADOLANCIO DI UN DADOSPAZIO CAMPIONARIO Ω=1,2,3,4,5,6

UnUn’’urna urna contienecontiene:5 :5 palline Rossepalline Rosse,3 Verdi,2 Gialle.,3 Verdi,2 Gialle.Estraggo Estraggo a a caso una pallinacaso una pallina..

Qual Qual è la è la probabilità di ottenere probabilità di ottenere ::a)a)Una pallinaUna pallina““RossaRossa””?? 5 C.5 C.Favorevoli su Favorevoli su 1010

b)b)Una pallinaUna pallina““VerdeVerde””?? 3 C.3 C.FavorevoliFavorevoli su su 1010

c)c)Una pallinaUna pallina““NON VerdeNON Verde””? ? Evento contrarioEvento contrario a a ““VerdeVerde””

3)ESTRAZIONE DI UNA3)ESTRAZIONE DI UNAPALLINA DA URNAPALLINA DA URNA

P(verde) =3

10

P(rossa) =5

10

P(NotVerde) = 1! P(Verde) = 1!3

10=10 ! 3

10=7

10

Diagramma ad alberoDiagramma ad albero

La somma delle probabilità è 1 ( evento certo )La somma delle probabilità è 1 ( evento certo )

3)ESTRAZIONE PALLINA DA3)ESTRAZIONE PALLINA DAURNA [5R,3V,2G]URNA [5R,3V,2G]

4) ESTRAZIONE DI UNA CARTA4) ESTRAZIONE DI UNA CARTADA UNA MAZZO DI 52 CarteDA UNA MAZZO DI 52 Carte

4 semi diversi: Fiori, Picche, Cuori e Quadri10 carte numerate e 3 figure per ciascun seme

4) ESTRAZIONE DI UNA CARTA4) ESTRAZIONE DI UNA CARTADA UNA MAZZO DI 52 CarteDA UNA MAZZO DI 52 Carte

Qual è la probabilità di estrarre:Qual è la probabilità di estrarre: a) Ua) Una carta di na carta di ““cuoricuori””??

b) Un b) Un ““RERE””??

c) Una carta c) Una carta ““rossarossa””??

d) una cartad) una carta““Non CuoriNon Cuori””?? Evento Contrarioa “Cuori”

P(Cuori) =13

52

P(RE) =4

52

P(Rossa) =26

52

P(NotCuori) = 1! P(Cuori) = 1!13

52=52 !13

52=39

52

Estrai una carta dal mazzo di Estrai una carta dal mazzo di 52 carte.52 carte.a) a) Qual Qual è la è la probabilitaprobabilita’’ di estrarre di estrarreuna figurauna figura??

b)b)Qual Qual è la è la probabilitaprobabilita’’ di di NON NON estrarreestrarreuna figurauna figura? ? Evento Contrario a “Figura”

P( figura) =12

52

P(NotFigura) = 1! P(Figura) = 1!12

52=52 !12

52=40

52

5) 5) Esempio Esempio con con Eventi complementariEventi complementari

LANCIO DUE MONETELANCIO DUE MONETETrova la probabilità di ottenereTrova la probabilità di ottenere::

a) a) mai mai TESTA TESTA ?? ragionamento: I CASI POSSIBILI sono 4: TT TC CT CCTT TC CT CC

P(mai T) = P(CC) = 1 caso favorevole su 4 risposta : P(mai T)= 1/41/4

b) b) almeno una voltaalmeno una volta TESTA?TESTA? cioè cioè ((TT TT or or CTCT or or TCTC ) ) ”almeno1voltaT” è Evento Contrario a “MaiT” P(almeno1voltaT)=1 - P(MaiT) =1 - 1/4 = 3/43/4

6) 6) Esempio Esempio con con Eventi complementariEventi complementari

PROBABILITAPROBABILITA’’TOTALETOTALE

REGOLA DI ADDIZIONEREGOLA DI ADDIZIONE

PROBABILITAPROBABILITA’’ DI DI ““A A OO B B””

Estrazione di 1 carta da un mazzo di 52 carte.Qual è la Probabilità di estrarre un ASSO oppureoppure un RE ?

P(ASSO or RE ) = P(Asso) + P(RE) == 4/52 + 4/52 = 8/52

Esempio guida

Non hannoNon hanno casi casi in comune !!! in comune !!!

1 caso REGOLA DI ADDIZIONEPer EVENTI incompatibili (disgiunti)

SE DUE EVENTI A , B SONO INCOMPATIBILI( DISGIUNTI) , LA PROBABILITA’ DI OTTENERE

“A OPPURE B” è LA SOMMA DELLEPROBABILITA’ DEI SINGOLI EVENTI

.P(A U B) = P(A) + P(B)

A B

O = UNIONE

Non hanno casi in comune

1 caso REGOLA DI ADDIZIONEPer EVENTI incompatibili (disgiunti)

regola

P(C or R) = P(C) + P(R) - P(entrambi)= =13/52 + 4/52 –1/52 = 16/52

2 caso REGOLA DI ADDIZIONEPER EVENTI compatibili (non disgiunti)

Esempio guida : Estraggo 1 carta da un mazzo di 52 carte

CC’è’è 1 caso comune: 1 caso comune:il il ““Re di CuoriRe di Cuori””

Sommando P(Cuori)+P(Re) il“RE di Cuori” è contato due volte pertanto devo toglierlo dalla somma.

Qual Qual èè la la Probabilità di estrarreProbabilità di estrarre una carta di una carta di CUORI CUORI oppureoppure un RE?un RE?

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Se due eventi A , B sono COMPATIBILILA PROBABILITà DI “ A or B” ( UNIONE) è :LA SOMMA delle probabilità di ciascunoMENO la probabilità di entrambi.

E = INTERSEZIONE O = UNIONE

2 caso: REGOLA DI ADDIZIONEPER EVENTI compatibili (non disgiunti)

A∩B = ∅

RIEPILOGO : REGOLA DI ADDIZIONEProbabilita’ totale

AndorP(AUB) = P(A) + P(B) P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

or

EVENTI INCOMPATIBILIdisgiunti:no casi comuni

EVENTI COMPATIBILI Hanno casi comuni

2 caso 1 caso

A B

P(A OR B) =Somma delle probabilità di ciascunoMENOla probabilità di entrambi

P(A OR B) = Somma delle probabilità di ciascuno

Estraggo una carta di un mazzo di 52 carte.Qual è la probabilità di estrarre:

1: un asso oppure una figura?

2:2: un un asso oppure una carta Rossaasso oppure una carta Rossa??

3: una carta di picche oppure un fante?3: una carta di picche oppure un fante?

TEST 1 TRY IT YOURSELF

P(Ace)=4/52P(Ace)=4/52P(Figure)=12/52P(Figure)=12/52 gli eventi gli eventi sono disgiunti quindi sono disgiunti quindi non non hanno casihanno casiin in comunecomune

P(Asso OR Figura) = 4/52+12/52 = 16/52

Aces Figures

ANSWER 1

OR

P( Asso oppure una figura)?

P(A U B) = P(A) + P(B)

TEST 1

P(P(AssoAsso)=4/52)=4/52P(P(carta rossacarta rossa)=26/52)=26/52 questi eventi questi eventi NON SONO DISGIUNTINON SONO DISGIUNTI QUINDIQUINDIhanno casi hanno casi in in comune comune ( ( intersezioneintersezione)=)= 2 2 assi rossiassi rossi

P(Asso OR C.rossa) = 4/52+26/52-2/52 = 28/52

Aces Red cards

ANSWER 2

AND ∩ IntersezioneOR U unione

P( Asso oppure carta rossa)?

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

TEST 1

P(P(PicchePicche)=13/52)=13/52P(P(fantefante)=4/52)=4/52 questi eventi questi eventi NON SONO DISGIUNTINON SONO DISGIUNTI QUINDIQUINDIhanno casi hanno casi in in comune comune ( ( intersezioneintersezione)=)= 1 1 fante difante dipicchepicche

P(picche OR fante) = 13/52+4/52-1/52 = 16/52

FANTIPICCHE

ANSWER 3

AND ∩ IntersezioneOR U unione

P(una carta di picche oppure un fanteuna carta di picche oppure un fante)?

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

TEST 1

Qual è la probabilità di estrarre:

1: un numero pari o un 5?

2:2: un numero pari o un numero maggiore di 3??

3: un numero pari oppure un multiplo di 3?3: un numero pari oppure un multiplo di 3?

TRY IT YOURSELF

TEST 2 -LANCIO DADO

1: un numero pari o un 5? Sono disgiunti? SI , sono incompatibili

TEST 2 -LANCIO DADO

P(pari ! o! 5) =3

6+1

6=4

6

2-4-6

P(A U B) = P(A) + P(B)

ANSWER 1

2:2: un numero pari o un numero maggiore di 3??

Sono disgiunti? NO : hanno 2 casi in comune

2-4-6

P(pari _OR _ N > 3) =3

6+3

6!2

6=4

6

TEST 2 -LANCIO DADO4-5-6

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

ANSWER 2

3: un numero pari oppure un multiplo di 3?3: un numero pari oppure un multiplo di 3?Sono disgiunti? NO : hanno 1 caso in comune

2-4-6

P(pari _OR _multiplo3) =3

6+2

6!1

6=4

6

TEST 2 -LANCIO DADO

3-6

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

ANSWER 3