probabilités. le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. les...
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Probabilités
Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux de hasard. Pierre de Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal (1623-1662), mathématiciens célèbres, posèrent les bases des probabilités.
Pierre de FermatBlaise Pascal
I. Vocabulaire1) Expérience aléatoire
Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions :- Elle conduit à des résultats possibles que l’on peut nommer.- On ne peut pas prévoir ces résultats.
Remarque : Le résultat d'une expérience aléatoire
s'appelle aussi une issue.
Exemple : On lance un dé à 6 faces et on regarde quel nombre on obtient.
Cette expérience est bien une expérience aléatoire car :
- Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.- Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle face on va tomber.
2) Evénement
Un événement dans une expérience aléatoire est constitué de plusieurs issues (ou résultats).
Exemple : On dispose des cinq cartes suivantes. On tire une carte au hasard parmi les
cinq.
Obtenir une reine est un événement.
Obtenir un cœur est un autre événement.
II. Probabilités1) Probabilité et fréquence
Lorsqu’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre : la probabilité de cet événement.
Le lien fût établi par le mathématiciensuisse Jacques Bernoulli (1654-1705)
Exemple : On dispose d’une pièce de monnaie.
Si on lance un très grand nombre de fois cette pièce,et que l’on compte le nombre de fois qu’elle donne pile et le nombre de fois qu’elle donne face, la fréquence de ces deux résultats
va se stabiliser autour de ½.
Remarque : La probabilité d’un événement est en quelque sorte la chance que cet événement se
produise. Avec l’exemple ci-dessus, on a 1 chance sur 2 d’obtenir face…
Nous appelons l’ensemble de tous les résultats possibles l’espace échantillonnal de l’expérience aléatoire et nous pouvons dénombrer au moyen d’une figure appelée arbre de probabilités ou diagramme arborescent.
2) Probabilité et espace échantillonnal
P
FP
P
F
F
l’espace échantillonnal diagramme arborescent
PPPPPFPFPPFFFPPFPFFFPFFF
P
P
P
PF
F
F
F
Voici un diagramme arborescent pour
le lancé de deux dés. Donne l’espace échantillonnal
123456
123456
123456123456
123456
123456
123456
Voici l’espace échantillonal pour le lancé de deux dés
11 21 31 41 51 61
12 22 32 42 52 62
13 23 33 43 53 63
14 24 34 44 54 64
15 25 35 45 55 65
16 26 36 46 56 66
3) Calculer une probabilité
Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la
même probabilité alors la probabilité d'un événement E est égale
au quotient: Nb de résultats favorables à l’événementNb de résultats possibles
P(E) =
Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre
pair ?Quand on lance un dé, il y a 6 résultats possibles.
Le résultat favorable à l'événement « obtenir un chiffre pair »
est « obtenir un 2, un 4, un 6 » donc il y a 3 résultats favorables.
On a alors P (« obtenir un chiffre pair ») = 3/6ou encore 1/2
Remarques : - La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
- La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à 1.
L'événement contraire de
l'événement A est celui qui
se réalise quand A n'a pas
lieu.
On a alors
P( non A ) = 1 - P(A)
Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.
L'événement « non 2 » est constitué de 5
issues « 1 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 ».
On a P(2) = 1/6 Donc P(non 2) = 5/6
Notes importantes :
• Si p est la probabilité qu’un événement se produise alors 0 ≤ p ≤ 1.
• Si p = 1, l’événement est une certitude. • Si p = 0, l’événement est impossible. • Plus p est près de 1, plus l’événement est probable. • Plus p est près de 0, moins probable est l’événement. • Si q est la probabilité que l’événement n’aie pas lieu,
alors q = 1 - p
Calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs
• Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire tous les deux en même temps.– Exemple 1: Un jeu consiste à faire rouler un seul dé.
Vous gagnez si le dé montre un 3 ou un 5. Quelle est la probabilité de gagner ?
– P(3) ou P(5) sont des événement incompatibles alors– P(gagner) = P(3) + P(5)
Note bien la prochaine diapositive!
Évènements incompatibles et " OU"
• Le mot "ou" entre deux évènements dans un problème de probabilité, détermine que ces évènements sont
incompatibles. Il faut donc additionner les probabilités lorsque tu vois le mot "OU "!
• Ainsi, si un événement peut se produire de deux façons incompatibles qui ont les probabilités p1 et p2, alors la probabilité que cet événement se produise est la somme soit p = p1 + p2
• On peut seulement additionner si les événements sont incompatibles.
Calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs
• À ton tour :
Un nombre entier entre 1 à 10 inclusivement est choisi au hasard. Quelle est la probabilité de choisir un nombre pair ou un nombre inférieur à 5 ?
Calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs
Calculer la probabilité d’événements indépendants
• Deux événements sont appelés indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas celle de l’autre.– Exemple 1 :
– Un jeu consiste à faire rouler un dé, puis à lancer une pièce de monnaie. Vous gagnez si le dé montre un 3 et la pièce montre le côté face. Quelle est votre probabilité de gagner ?
Les évènements 3 et face sont des événements indépendants. P(gagner) = P(3) et P(face)
1/6 x 1/2 = 1/12
Note bien la prochaine diapositive!
Évènements indépendant et ET"
• Le mot " et " entre deux évènements dans un problème de probabilité, détermine que ces évènements sont
indépendants. Il faut donc multiplier les probabilités lorsque tu vois le mot " ET "!
Calculer la probabilité d’événements indépendants
• À ton tour:
On tire une bille d’un sac contenant 3 billes vertes, 2 billes bleues et 4 billes rouges. On la remet ensuite dans le sac et on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte et une bille bleue?
P(verte et bleue) = P(verte) x P(bleue)
= 3/9 x 2/9
= 6/81
= 2/27
3) Etude d’une expérience à deux épreuves On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
Calculer la probabilité de l’évènement E :
« On obtient au moins une fois PILE. »
On schématise les différentes issues avec un arbre de probabilités.
P
F
12
12
P
F
12
12
P
F
12
12
(P ; P)
Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.
1 1 12 2 4
(probabilité d’obtenir deux piles)
(P ; F) 1 1 12 2 4
(probabilité d’obtenir pile puis face)
(F ; P) 1 1 12 2 4
(probabilité d’obtenir face puis pile)
On a P(E ) = 1 1 14 4 4
=34
La probabilité que l’évènement E se réalise est de ¾.
23
familles de 4 enfants :
P(nombre de filles)
FG
F
F
F
F
F
FG
G
G
G
G
Nombre
de Filles
F ............................ 4
G ............................ 3
F ............................ 3
G ............................ 2
F ............................ 3
G ............................ 2
F ............................ 2
G ............................ 1
F ............................ 3
G ............................ 2
F ............................ 2
G ............................ 1
F ............................ 2
G ............................ 1
F ............................ 1
G ............................ 0
G
Valeurs possibles
0 1 2 3 4
probabilités 0,254
1 0,375
8
3
Simulation
0,062516
1 0,25
4
1 0,0625
16
1
4) Etude d’une expérience à quatre épreuves
Avec remise et sans remise
• Avec remise: expression qui veut dire que tu replace l’objet là où tu l’as pris. Cela n’affect pas le calcul de tes probabilités.
• Sans remise: expression qui veut dire que tu ne replace pas l’objet là où tu l’as pris. Cela affect le calcul de tes probabilités.
• .
Problème avec remise• On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux
cartes au hasard avec remise. Trouve la probabilité que les cartes soient respectivement un ace noir et un 2?
P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2)
= 2/52 x 4/52
= 1/26 x 1/13
= 1/338
Problème sans remise• On brasse un jeu de 52 cartes et on pige
deux cartes au hasard sans remise. Trouve la probabilité que les cartes soient respectivement un ace noir et un 2?
P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2)
= 2/52 x 4/51
= 1/26 x 4/51
= 4/1326
Si il n’y a pas de remise alors il y a une carte de moins lors de la 2ième pige.
Essaie un problème sans remise!
Si il n’y a pas de remise alors il y a une bille de moins lors de la 2ième pige.
• Une boîte contient 8 billes vertes, 12 blanches et 4 bleues. Tu dois tirer deux billes au hasard sans remise. Trouve la probabilité de tirer un bille blanches puis une bleues.
P(blanche et bleue) = P(blanche) et P(bleue)
= 12/24 x 4/23
= 1/2 x 4/23
= 4/46
= 2/23