probabilitas dan statistika bab 3 harapan matematik
DESCRIPTION
Probabilitas dan Statistika BAB 3 harapan matematik. Pembahasan. Rataan Peubah Acak Variansi dan Kovariansi Rataan dan Variansi dari Kombinasi Linear Peubah Acak Teorema Chebyshev. Rataan peubah acak definisi 1. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PROBABILITAS DAN
STATISTIKABAB 3
HARAPAN MATEMATIK
PEMBAHASAN Rataan Peubah Acak Variansi dan Kovariansi Rataan dan Variansi dari Kombinasi
Linear Peubah Acak Teorema Chebyshev
RATAAN PEUBAH ACAKDEFINISI 1 Misalkan X suatu peubah acak dengan
sebaran probabilitas f(x). Nilai rataan atau nilai harapan dari X adalah
bila X diskrit, dan
bila X kontinu.
x
xxfXE )()(
dxxxfXE )()(
CONTOH 1 Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan
dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog
Jawab :
Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia . Distribusi peluang X adalah…
Beberapa perhitungan sederhana menghasilkan f(0) = 1/35, f(1) = 12/35 , f(2) = 18/35 dan f(3) =4/35
3,2,1,0,
3
73
34
)(
xxx
Xf
Jadi…
Jadi, bila suatu panitia beranggota 3 orang dipilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka rata-ratanya akan beranggota 1,7 kimiawan
35
43
35
182
35
121
35
10)(XE
7,17
12
TEOREMA 1 Misalkan X merupakan peubah acak
dengan sebaran probabilitas f(x). Nilai rataan atau nilai harapan peubah acak g(X) adalah
jika X diskrit dan
jika X kontinu.
)()()]([)( xfxgxgEXg
dxxfxgXgEXg )()()]([)(
CONTOH 2 Banyaknya mobil X yang masuk ke
suatu pencuci mobil setiap haria antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi peluang :
x 4 5 6 7 8 9
P(X=x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6
Misalkan g(X) = 2X-1 menyatakan upah, dalam ribuan rupiah, para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut.
Jawab :
= (7)(1/12) + (9)(1/12) + (11)(1/4) + (13) (1/4) + (15)(1/6) +(17)(1/6)
= Rp 12,67
9
4
)()12()12()]([X
xfxXExgE
DEFINISI 2 Misalkan X dan Y merupakan peubah acak
gabungan dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y). Nilai rataan atau nilai harapan peubah acak g(X,Y) adalah
jika X dan Y diskrit, dan
Bila X dan Y kontinu.
x y
yxfyxgYXgEYXg ),(),()],([),(
dxdyyxfyxgYXgEYXg ),(),(),([),(
CONTOH 3 Misalkan X dan Y peubah acak dengan
distribusi peluang gabungan pada Tabel 2.6 hal 75. Hitunglah nilai harapan g(X,Y) = XY
= (0) (0) f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) +
(1)(0) f (1,0) + (1)(1) f(1,1) + (2)(0) f(2,0)
= f(1,1) = 3/14
2
0
2
0
),()(X Y
yxxyfXYE
VARIANSI DAN KOVARIANSIDEFINISI 3 Misalkan X merupakan suatu peubah acak
dengan sebaran probabilitas f(x) dan nilai tengah µ. Ragam x adalah
jika x diskrit, dan Jika X kontinu
Akar kuadrat positif dari ragam, disebut simpangan baku X.
)()()[( 222xfxXE
x
dxxfxXE )()()[( 222
CONTOH 4 Misalkan peubah acak X menyatakan
banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A adalah
x 1 2 3
f(x) 0,3 0,4 0,3
Dan untuk kantor B adalah
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada variansi kantor A
Jawab : Untuk kantor A diperoleh
dan
= (1-2)2 (0,3)+ (2-2)2 (0,3)+ (3-2)2 (0,3)=0,6
0,2)3,0)(3()4,0)(2()3,0)(1()( XE
)()2(23
1
2xfx
x
Untuk kantor B diperoleh :
Dan
= (0-2)2 (0,2) + (1-2)2 (0,1) +(2-2)2 (0,3)+(3-2)2 (0,3) + (4-2)2 (0,1)
=1,6
Jelas..variansi banyaknya mobil yang digunakan untukKeperluan dinas lebih besar untuk kantor B daripadauntuk kantor A.Rumus yang lebih mudah diberikan oleh teoremaBerikut :
Ragam peubah acak X adalah (Teorema 2)
0,2)1,0)(4()3,0)(3()3,0)(2()1,0)(1()2,0)(0()( XE
)()2(24
0
2xfx
x
2
222 )( XE
TEOREMA 3 Misalkan X merupakan sebuah peubah
acak dengan sebaran probabilitas f(x). Ragam peubah acak g(X) adalah
jika X diskrit
jika X kontinu.
)(])([}])({[ 2)(
2)()(
2xfxgXgE
x
XgXgXg
)()(])([}])({[ 2)(
2)()(
2xdxfxgXgE XgXgXg
DEFINISI 4 Misalkan X dan Y merupakan peubah acak
dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y). variansi dari X dan Y adalah
Jika X dan Y diskrit
jika X dan Y kontinu
x y
yxyxXY yxfyxYXE ),())(())([(
dxdyyxfyxYXE YXYXXY ),())(()])([(
TEOREMA 4 Peragam dari dua peubah acak X dan Y
dengan nilai tengah masing-masing µX dan µY diberikan oleh
YXXY XYE )(
RATAAN DAN VARIANSI DARI KOMBINASI LINEAR PEUBAH ACAK Jika a dan b merupakan konstanta,
makaE(aX+b) = aE(X)+b
akibat dari teorema di atas adalah: Dengan membuat a=0, kita lihat bahwa
E(b)=0 Dengan membuat b=0, kita lihat bahwa
E(aX)=aE(X)
Nilai harapan penjumlahan atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X adalah penjumlahan atau perbedaan dari nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lainE[g(X)±h(X)] = E[g(X)]±E[h(X)]
Nilai harapan dari penjumlahan atau perbedaan dua fungsi atau lebih dari peubah acak X dan Y merupakan penjumlahan atau perbedaan dari nilai harapan fungsi itu. Dengan kata lainE[g(X,Y)±h(X,Y)] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)]
Akibat dari teorema di atas adalah
Dengan membuat g(X,Y) = g(X) dan h(X,Y) = h(Y) kita lihat bahwa E[g(X)±h(Y)]=E[g(X)]±E[h(Y)]
Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, kita lihat bahwa E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
X dan Y adalah dua peubah acak bebas, maka
E(XY) = E(X)E(Y)
Jika a dan b merupakan konstanta maka
Akibat dari teorema tersebut adalah Dengan membuat a=1
dengan membuat b=0
22222 aa XYaX
222 XbX
22222 aa XaX
Jika X dan Y adalah peubah acak dengan sebaran probabilitas gabungan f(x,y) maka
Akibat dari teorema tersebut adalah Jika X dan Y adalah peubah acak bebas,
maka
Jika X dan Y merupakan peubah acak bebas, maka
XYYXbYaX abba 222222
22222YXbYaX ba
22222YXbYaX ba
Jika X1, X2,…….,Xn adalah peubah acak bebas, maka
222221....... ...22
1
2
2211 Xnnxxaxaxa aaaxnn
TEOREMA CHEBYSHEV
Probabilitas bahwa setiap peubah acak X akan mengambil suatu nilai di dalam k simpangan baku dari nilai tengah paling sedikit adalah 1-1/k² P(µ-kσ<X<µ+kσ)≥1-1/k²
CONTOH Suatu peubah acak X mempunyai
rataan µ=8, variasi = 9, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a P(-4<X<20), dan b P( 6 ).
Jawab :a. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)]
15/16b. P( 6 ) = 1–P( < 6)
= 1–P(-6 < X -8 < 6) = 1–P[8-(2)(3)<X< 8+(2)
(3)] 1/4
2
8X 8X
8X