probabilità ed eventi casuali ( prof. daniele baldissin)
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Probabilità ed eventi casuali
(Prof. Daniele Baldissin)
Problema 1: Lancio di un dado classico ideale
Risultati possibili: 1 2 3 4 5 6 Probabilità associate: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Somma delle probabilità:
16
16
16
16
16
16
1
Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio:
Pr(pari) 36
12
Pr(pari) 16
16
16
36
12
Ci sono 3 possibilità su 6, perciò:
Primo modo di ragionare
Secondo modo di ragionare
12
3
65
4
deve uscire o il 2 o il 4 o il 6, perciò:
Problema 2: Lancio di due dadi
I risultati possibili sono coppie di numeri interi compresi tra 1 a 6. Si possono ottenere, per esempio, con una tabella:
1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Se ci interessa la somma dei punti ottenuti in ogni lancio, al posto delle coppie inseriamo le somme.
2 3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11 12
Problema 2: Lancio di due dadi
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
La successione delle probabilità associate si dice anche distribuzione di probabilità.
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Risultati possibili:
Probabilità associate:
Somma delle probabilità:
21
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
361
Istogramma della distribuzione di probabilità
0
1/ 36
1/ 18
1/ 12
1/ 9
5/ 36
1/ 6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Grafi ad alberoSi tratta di un grafico i cui rami rappresentano i possibili percorsi
fra loro incompatibili dove, in ciascun tratto, è riportata la rispettiva probabilità.
Vediamo un esempio pratico:
Un’urna contiene 10 palline verdi e 7 palline rosse. Si estraggono successivamente due palline, senza rimettere la prima nell’urna.Qual è la probabilità che siano:a) dello stesso colore;b) di colore diverso;c) almeno una rossa?
Ecco come tale situazione può essere rappresentata con un grafo ad albero (V=verde, R= rossa)
Ad esempio, considerato il ramo a sinistra (VV), nel primo tratto figura la probabilità 10/17 che la prima pallina estratta sia verde, nel secondo la probabilità 9/16 che la seconda pallina sia verde nell’ipotesi che la prima sia verde (delle 16 palline ancora nell’urna, solo 9 sono verdi).
Così, nel ramo RV, nel primo tratto figura la probabilità 7/17 che la prima pallina estratta sia rossa, nel secondo la probabilità 10/16 che la seconda estratta sia verde nell’ipotesi che la prima pallina sia rossa (tra le 16 palline rimaste vi sono tutte e 10 le palline verdi).
a) Per la regola della probabilità composta, la probabilità che entrambe le palline siano verdi, ossia che si verifichi l’evento VV, è 10/17 · 9/16 = 45/136.
Analogamente, la probabilità che entrambe le palline siano rosse, ossia che si verifichi l’evento RR, risulta 7/17 · 6/16 = 21/136.
Quindi, la probabilità dell’evento “le palline sono dello stesso colore”, ossia entrambe verdi o entrambe rosse, per la regola della probabilità totale, è 45/136+21/136 = 66/136 = 33/68.
b) Per calcolare la probabilità dell’evento “le palline sono di colore diverso”, anziché sommare la probabilità che la prima sia verde e la seconda rossa con quella che la prima sia rossa e la seconda verde, possiamo sfruttare quanto ottenuto in a) e applicare la regola della probabilità dell’evento contrario; infatti l’evento “le palline sono di colore diverso” è contrario di “le palline sono dello stesso colore”, e quindi la sua probabilità è 1-33/68 = 35/68.
c) La probabilità dell’evento “almeno una pallina è rossa” è la somma delle probabilità dei tre eventi VR, RV, RR. Più rapidamente si può calcolare la probabilità dell’evento contrario a VV (“le palline sono entrambe verdi”): 1-45/136 = 91/136.
Problema 4: Lancio di monete non truccateLancio di tre monete Schema ad albero
II moneta
I moneta
III moneta
CT12
12
T C CT12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
T C CTT C CT
Risultati: TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCCProbabilità: 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
Somma probabilità:
1
88 1
Pr(TTT) 1
8
1
21
21
2Pr(T)Pr(T)Pr(T)
Pr(almeno 2 T) 4
8
1
8
1
8
1
8
1
8Pr(TTT) Pr(TTC) Pr(TCT) Pr(CTT)
Problema 5: Estrazione da un’urna opaca
Estraendo a caso una biglia, qual è la probabilità che sia bianca?
Se in un'urna opaca si mettono 3 biglie nere e 3 bianche, la probabilità che estraendo una biglia a caso essa risulti bianca è evidentemente 3/6 ossia 1/2.
Ma, se si avesse la possibilità di distribuire a piacimento le 6 biglie in 2 urne, sarebbe possibile aumentare la probabilità di estrarre una biglia bianca?
Pr( bianca)2
5 1
5 1
5
Pr(prima bianca o seconda bianca) Pr(prima bianca)Pr(seconda bianca)
Problema 5: Estrazione da un’urna opaca
? ?
Soluzione
Scelta dell’urna
Estrazione biglia
Risultato: bianca nera bianca nera
12
12
1 0 25
35
Probabilità:
Pr bianca 1
21
1
22
5
7
10
1
2
1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
Problema 6: Il modello dell’alberoA1) L’albero delle possibilità (caso simmetrico)
1 1
inizio
su 2
1 1 1 1 su 4
1 1 1 11 1 1 1 su 8B1) L’albero delle probabilità (caso di equiprobabilità)
1/4 1/4 1/4 1/4
inizio
1/2 1/2 somma = 1
somma = 1
somma = 1
Problema 6: Il modello dell’albero
Operazioni sull’albero delle probabilità
p1 p2
p1' p2' p1' p2'
p1 p1' p1 p2' p2 p1' p
2 p2'
e e
+ o
Lungo i rami… si moltiplica “e” logica
In orizzontale… si addiziona “o” logica