probabilidades6

3.9. SISTEMAS M/G/1 CON DIFERENTE PRIORIDAD 89

Figura 3.19: Valor esperado de entidades vs trco en un sistema M/G/1

Ejemplo 3.11 Determine la relacin entre los valores esperados del tiempo de permanencia

en la cola entre un sistema M/D/1 y uno M/M/1, considerando que cursan el mismo trco.

En este caso exp = 0 = . Luego:

E {Tq}0E {Tq}exp

=2 {Ts}0 + 12 {Ts}exp + 1

=12

El valor esperado del tiempo de permanencia de un sistema M/D/1 es la mitad del valor

esperado del tiempo de permanencia en la cola de un sistema M/M/1.

3.9. Sistemas M/G/1 con diferente prioridad

En algunos sistemas es comn tener entidades con diferentes priodridades de manera que

se tienen entidades con diferentes categoras. Dichas prioridades pueden ser relevantes o no

relevantes.

Cuando la prioridad es relevante, al llegar al sistema una entidad con prioridad de ndice

mayor, dicha entidad es atendida, interrumpiendo a la entidad que est siendo atendida.

Cuando la prioridad no es relevante, al llegar al sistema una entidad con prioridad de ndice

mayor, debe esperar a que sea despachado la entidad que est siendo atendida.

Se considera a continuacin el caso de prioridad no-relevante. Al llegar la entidad, se ubica

junto con los de menor prioridad, esperando a que termine la entidad que se est atendiendo

y que atiendan a los de prioridad de ndice superior. Sea p = 1, 2, 3 r el ndice de prioridad,

90 CAPTULO 3. SISTEMAS DE ESPERA

Figura 3.20: Relacin entre sistemas determinsticos y exponenciales

siendo p = 1 la prioridad ms alta. Se considera entonces que una entidad de prioridad pllega al sistema en el instante t0, lo cual determina que debe esperar un tiempo Tq(p) ycomienza a ser atendido en el instante t1 = t0 + Tq(p). Tal como se muestra en la gura3.21.

Ntese que se tienen las siguientes variables:

T0 es el tiempo que debe esperar la entidad con prioridad p a que sea despachada laentidad que se est atendiendo.

El tiempo que deben esperar las entidades que estaban en el momento de llegar la en-

tidad con prioridad p, y tienen prioridades iguales o superiores a p, para ser atendidas.

pk=1

T (k)

El tiempo que deben esperar las entidades que tienen prioridades superiores a p, mien-tras la entidad con prioridad p espera en el sistema.

p1k=1

T (k)


Figura 3.21: Diagrama de estado de un sistema M/G/1 con prioridades

De lo anterior se observa un reordenamiento de la cola, cada vez que llega una entidad

con prioridad superior a las que estn en el sistema. Luego:

Tq(p) = E {T0}+p

k=1

T (k) +p1k=1

T (k) (3.168)

Suponiendo que un mensaje de prioridad k tiene un tiempo de despacho 1/k, y que elnmero de los que estaban antes de t0 es N

(k):

E {T (k)} = E {N(k)}

k(3.169)

Tomando N(k) como el nmero total de entidades con prioridad k, el trco ofrecido dedichas entidades es:

k =kk

= E {N(k)} E {N (k)} (3.170)donde k es la tasa de llegada de entidades con prioridad k. Usando la ecuacin de Little1.23:

E {N(k)} = kE {T (k)} = k (E {Tq(k)}+ E {Ts(k)})

= k

(E {Tq(k)}+ 1

k

)= kE {Tq(k)}+ k (3.171)

Reemplazando 3.171 en 3.170:

E{N(k)

}= kE {Tq(k)} (3.172)


Reemplazando 3.171 en 3.169:

E {T (k)} = kE {Tq(k)} (3.173)

El nmero de entidades con prioridad k que llega durante el tiempo de espera de unaentidad con prioridad p est dado por:

E {Nq(p)} = kE {Tq(p)} (3.174)Luego:

E{T (k)

}=kE {Tq(p)}

k= kE {Tq(p)} (3.175)

Reemplazando 3.173 y 3.175 en 3.168:

E {Tq(p)} = E {T (p)}+p

k=1

E {T (k)}+p1k=1

E{T (k)

}

= E {T0}+p

k=1

kE {Tq(k)}+ E {Tq(p)}p1k=1

k (3.176)

Luego, para la prioridad ms alta p = 1:

E {Tq(1)} = E {T0}+ 1E {Tq(1)}

Luego:

E {Tq(1)} = E {T0}1 1 (3.177)

Para la siguiente prioridad p = 2:

E {Tq(2)} = E {T0}+ 1E {Tq(1)}+ 2E {Tq(2)}+ E {Tq(2)} 1

= E {T0}(1 +

11 1

)+ (1 + 2)E {Tq(2)}

Luego:

E {Tq(2)} = E {T0}(1 1) (1 1 2) (3.178)

En general:

E {Tq(p)} = E {T0}(1p1k=1 k) (1pk=1 k) (3.179)Queda entonces determinar E {T0}. Para ello se realiza una comparacin entre las ecua-ciones 3.167 y 3.179, resultando, para un sistema M/G/1 sin prioridades:

E {Tq} = E {T0}1 (3.180)


De acuerdo con lo anterior:

E {T0} = 12E{T 2s}(3.181)

donde:

E{T 2s}=

1

rk=1

kE{Ts(k)2

}(3.182)

Luego, el valor esperado del tiempo de permanencia en la cola para un sistema M/G/1

con prioridades es:

E {Tq} = 1

rk=1

kE {Tq(k)} (3.183)

Ejemplo 3.12 Dos tipos de mensajes (control y datos) llegan a un concentrador, el cual

despacha a 9600 bps. Se tiene un trco ofrecido de = 0.5, y el sistema tiene prioridadesno relevantes: Los mensajes de control tienen un ndice de prioridad mayor que los mensajes

de datos, en efecto p(control) = 1 y p(datos) = 2. Adems se tiene que:

La longitud promedio de los mensajes de control es de 48 bits y de los mensajes de

datos es de 960 bits.

La tasa de llegada de los mensajes de datos es 4 veces la tasa de llegada de los mensajes

de control.

Los mensajes de control son de longitud ja y la varianza de la longitud de los mensajes

de datos es dos veces el cuadrado de su valor esperado.

De acuerdo a lo anterior:

Determine el trco ofrecido de los mensajes de datos y de los mensajes de control.

Determine el segundo momento del tiempo de despacho de los mensajes de datos y de

los mensajes de control.

Compare el valor esperado del tiempo de permenencia en la cola con el de un sistema

M/G/1 sin prioridades.

Se tienen las siguientes estadsticas:

E {L(1)} = 48bits V ar {L(1)} = 0

E {L(2)} = 960bits V ar {L(2)} = 2E {L(2)}2

luego:

E {Ts(1)} = 11

=E {L(1)}

c=

489600

= 0.005 segundos


E {Ts(2)} = 12

=E {L(2)}

c=

9609600

= 0.1 segundos

V ar {Ts(2)} = V ar {L(2)}c2

= 2[E {L(2)}

c

]2= 2

[12

]2= 0.02 segundos2

Con respecto al trco ofrecido se tiene que:

1 + 2 =11

+22

= 0.5

Luego:

0.0051 + 0.12 = 0.5

(0.005+ 0.4)1 = 0.5Resolviendo:

1 = 1.23 mensajes/segundo 2 = 4.94 mensajes/segundo

= 1 + 2 = 6.17 mensajes/segundo

Los trcos ofrecidos por los mensajes son:

1 = 0.00615 Erlangs 2 = 0.494 Erlangs

Se procede a calcular el segundo momento del tiempo de despacho para cada tipo de

mensaje.

E{T 2s (1)

}= V ar {Ts(1)}+ E2 {Ts(1)} = 0 + (0.005)2 = 2.5 105segundos2

E{T 2s (2)

}= V ar {Ts(2)}+ E2 {Ts(2)} = 0.02+ (0.1)2 = 0.03 segundos2

E{T 2s}==

1

(1E

{Ts(1)2

}+ 2E

{Ts(2)2

})= 0.024 segundos2

E {T0} = 12E{T 2s}= 0.074 segundos

Tomando la ecuacin 3.167, para un sistema M/G/1 sin prioridades:

E {Tq} =E{T 2s}

2(1 ) =E {T0}(1 ) = 148 ms

Y el sistema M/G/1 con prioridades:

E {Tq(1)} = E {T0}(1 1) = 74.5 ms

E {Tq(2)} = E {T0}(1 1)(1 1 2) = 149 msEn conclusin, en un sistema sin prioridades, los mensajes de control presentan un

tiempo de espera igual a los mensajes de datos, lo que puede presentar fallas operativas.

3.10. EJERCICIOS 95

3.10. Ejercicios

E 3.1 Utilice la ecuacin 3.5 para gracar la probabilidad de que existan 0,1,2 y 3 usuarios

en un sistema M/M/1, de acuerdo a los valores de trco ofrecido r = . En este sentido,la grca ser de las curvas de las probabilidades p(0), P1, P2 y P3, vs . Utilice los valores:r = = 0, 0.1, 0.2, 0.3, ... , 0.8, 0.9, 1.0

E 3.2 Del ejercicio 3.1, halle los valores de donde p(n) = 0,5, n = 0, 1, 2, 3

E 3.3 Demuestre que, para un sistema M/M/1:

P {N } =n=

p(n) = (3.184)

donde P {N } es la probabilidad de que existan ms de entidades en el sistema.

E 3.4 Demuestre que, para un sistema M/M/1:

V ar {N} = (1 )2 (3.185)

Donde N es una variable aleatoria que determina el nmero de usuarios en el sistema, el cualsigue la distribucin de probabilidad dada en la ecuacin 3.5, y V ar {N} es la varianza delnmero de entidades en el sistema. Compare este resultado con la varianza de una variable

aleatoria con funcin de distribucin de probabilidad geomtrica. Qu tipo de experimentos

se pueden describir con un sistema M/M/1?

E 3.5 Demuestre, utilizando la ecuacin 3.18, que la probabilidad de que el tiempo de per-

manencia de una entidad en un sistema M/M/1 sea mayor que un tiempo t se determinapor:

P {T t} = exp ( [ ] t) t 0, > (3.186)

E 3.6 Demuestre, utilizando la ecuacin 3.26, que la probabilidad de que el tiempo de per-

manencia de una entidad en la cola de un sistema M/M/1 sea mayor que un tiempo t sedetermina por:

P {Tq t} = exp ( [ ] t) t 0, > (3.187)

E 3.7 Demuestre, utilizando la ecuacin 3.26, que la probabilidad de que existe alguna en-

tidad en la cola de un sistema M/M/1 se determina por:

P {Tq > 0} = , > (3.188)

E 3.8 Un sistema de cmputo procesa trabajos en serie. El tiempo de proceso (despacho)

de cada trabajo est distribudo exponencialmente con un valor esperado de 3 minutos. Los

trabajos llegan a una tasa de 1 trabajo cada 4 minutos. Halle los siguientes parmetros:


a. El valor esperado del nmero de trabajos que permanecen en el sistema.

b. El valor esperado del nmero de trabajos que permanecen en la cola.

c. El valor esperado del tiempo de permanencia en el sistema.

d. El valor esperado del tiempo de permanencia en la cola.

E 3.9 Un sistema de cmputo procesa trabajos en serie. El tiempo de proceso (despacho) de

cada trabajo est distribudo exponencialmente con un valor esperado de 3 minutos. El valor

esperado del tiempo en que los trabajos permanecen en el sistema es de 30 minutos. Halle

los siguientes parmetros:

a. El valor esperado del nmero de trabajos que permanecen en el sistema.

b. El valor esperado del nmero de trabajos que permanecen en la cola.

c. El valor esperado del tiempo de permanencia en la cola.

E 3.10 Utilice las ecuaciones 3.48 y 3.58 para gracar la probabilidad de sistema ocupado

y desocupado y el ndice de congestin en un sistema M/M/3 y M/M/4, de acuerdo a los

valores de trco cursado . En este sentido, la grca ser de las curvas de las probabilidadesPc, p(0), P {N c} vs . Utilice los valores: = 0, 0.1, 0.2, 0.3, ... , 0.8, 0.9, 1.0

E 3.11 Del ejercicio 3.10, halle los valores de donde Pc = 0,5, p(0) = 0,5 y P {N c} =0,5

E 3.12 Demuestre, utilizando la ecuacin 3.69, que la probabilidad de que exista algn servi-

dor disponible de un sistema M/M/c se determina por:

P {Tq = 0} = 1 Erl2,c (r) (3.189)

E 3.13 Demuestre, utilizando la ecuacin 3.69, que la probabilidad de que existe alguna

entidad en la cola de un sistema M/M/c se determina por:

P {Tq > 0} = Erl2,c (r) (3.190)

E 3.14 Demuestre, utilizando la ecuacin 3.69, que la probabilidad de que existe algun tiem-

po de permanencia en la cola de un sistema M/M/c se determina por:

P {Tq > t} = Erl2,c (r) exp ( (c ) t) , t > 0 (3.191)

E 3.15 Demuestre, utilizando las ecuaciones 3.100, 3.101, 3.102 y 3.103, las siguientes

relaciones entre un sistema M/M/1 de capacidad 2 y un sistema M/M/2:

Erl2,2 (2)Erl2,1 ()

=2

1 +

E {N}M/M/2E {N}M/M/1

=2

1 +

3.10. EJERCICIOS 97

E {Nq}M/M/2E {Nq}M/M/1

=2

1 +

E {T}M/M/cE {T}M/M/1

=2

1 +

E {Tq}M/M/cE {Tq}M/M/1

=2

1 +

donde = /(2)

E 3.16 Se tienen en funcionamiento 30 mquinas. En caso que alguna falle, es enviada a

un sistema de reparacin, el cual cuenta con 5 mesas. Si todas las mesas estn ocupadas, la

siguiente mquina que entra en reparacin se almacena en una bodega, hasta que exista una

mesa disponible. Si el tiempo promedio de fallo de las mquinas es de 6 meses, y el tiempo

promedio de reparacin es 1.5 meses, halle:

la probabilidad de que todas las mquinas estn en funcionamiento.

la probabilidad de que se estn reparando 2 mquinas.

la probabilidad de que permanezcan 2 mquinas en la bodega.

la probabilidad de que todas las mesas estn ocupadas.

E 3.17 Demuestre, para un sistema de espera con un nmero m de usuarios nito, que sim >> c, las tasas de llegada son constantes e iguales a m

E 3.18 Un grupo de 100 fuentes de mensajes de datos enva mensajes a una lnea de 1200

bps. El valor esperado de la longitud del mensaje es de 200 bits y cada fuente genera un

mensaje cada 20 segundos. El acceso a la lnea est controlado por un concentrador de

mensajes en espera. Determine:

la probabilidad de que un mensaje entre directamente a la cola.

El valor esperado del tiempo de permanencia en la cola.

la probabilidad de que un mensaje est en la cola por ms de 1 segundo.

El porcentaje de uso de la lnea.

E 3.19 Determine los valores esperados de entidades en el sistema y en la cola, y del tiempo

de permanencia en el sistema y en la cola, para un sistema M/G/1, con las siguientes

distribuciones de probabilidad del tiempo de despacho:

Distribucin uniforme, con rango entre 0 y 5.

Distribucin Gamma, con parmetro de forma igual a 2.


Distribucin Weibull, con parmetro de forma igual a 2 y parmetro de escala igual a

3.

Distribucin Bernoulli, donde la probabilidad de que el sistema pueda despachar una

entidad es igual a 0.8.

Distribucin Geomtrica, donde la probabilidad de que el sistema pueda despachar una

entidad es igual a 0.8.

E 3.20 Basado en el ejemplo 3.10 y usando la gura 3.20, determine cunto trco adicional

requiere un sistema M/D/1 para que se mantenga un valor esperado de entidades en el

sistema igual al de un sistema M/M/1 con trco ofrecido exp = 0.5.TIP. Ntese que en un sistema M/M/1, cuando exp=0.5, E {N}exp = 1.

E 3.21 Los trabajos que realiza un servidor se clasican en 5 clases y se conforma una

disciplina de servicio con prioridades no-perentorias. Suponiendo que la tasa de llegada de

cada una de las 5 clases es de 10 trabajos por segundo, el tiempo promedio de procesamiento

es 10 ms y el segundo momento es de 120 ms2, determinar:

El valor esperado del tiempo de permanencia en la cola para cada clase de trabajo.

El valor esperado del tiempo de permanencia en la cola de todos los trabajos. Utilice

3.183.

El valor esperado del tiempo de permanencia en la cola, si no se utilizan prioridades

y la disciplina de atencin es FCFS.

E 3.22 Si el tiempo de servicio Ts es una variable aleatoria con distribucin Gamma deprametros n, , como se describe en la ecuacin 3.16:

a. Muestre en una grca la distribucin para n = 0.5, 1, 2, 3, , y = 1.b. Determine la distribucin que se obtiene con n = 1.

c. Determine la distribucin que se obtiene con n.d. Presentar en una grca los tiempos de espera normalizados E {T} y E {Tq} en unsistema de espera M/G/1 en funcin del trco para n = 0.5, 1, 2, 3,

probabilidades6

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