probabilidade para administração

8192019 Probabilidade para Administraccedilatildeo

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Probabilidade I

Departamento de Estatiacutestica

Universidade Federal da Paraiacuteba

Prof Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 0514 1 1



Introduccedilatildeo

983241 983152983154983151983158983265983158983141983148 983153983157983141 983158983151983139983274 983143983137983150983144983141 983157983149 983137983157983149983141983150983156983151983086

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Probabilidade Condicional


EXEMPLO 1 Um lote eacute formado pelos seguintes artigos 80 natildeo defeituosos e20 defeituosos Dois artigos satildeo retirados do lote SejamA = 1o artigo defeituoso e B = 2o artigo defeituoso Calcule P (A) eP (B ) (a ) com reposiccedilatildeo e (b ) sem reposiccedilatildeo

(a) Se extrairmos com reposiccedilatildeo cada vez que estivermos extraindodo lote existiratildeo 20 peccedilas defeituosas em um total de 100 AssimP (A) = P (B ) = 20100 = 15

(b) Se estivermos extraindo sem reposiccedilatildeo eacute ainda verdade queP (A) = 15 Mas e sobre P (B ) Eacute evidente que para calcularmosP (B ) eacute necessaacuterio conhecer a composiccedilatildeo do lote no momento dese extrair a segunda peccedila Isto eacute devemos saber se A ocorreu ounatildeo





Em muitas situaccedilotildees informaccedilotildees preliminares podem alterar as probabilidadesde eventos

EXEMPLO 2 A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente setivermos informaccedilotildees adicionais tal como a situaccedilatildeo climaacutetica no dia anterior

EXEMPLO 3 Seja A = uma mulher estaacute graacutevida Seja B = exame de farmaacutecianegativo Sabendo da ocorrecircncia de B a probabilidade de A (ela estar graacutevida)

seraacute alterada

EXEMPLO 4 A probabilidade de um indiviacuteduo ter cirrose pode ser afetada pelofato dele ser ou natildeo alcooacutelatra

Iremos estudar agora como a informaccedilatildeo de que um evento B ocorreu afeta aprobabilidade de ocorrecircncia de um evento A

Usaremos a notaccedilatildeo P(A|B) para representar a probabilidade condicional de A

dado que ocorreu o evento B





Sempre que calcularmos P (A|B ) estaremos essencialmente calculando P (A)em relaccedilatildeo ao espaccedilo amostral reduzido B em lugar de considerar o espaccediloamostral original Ω

EXEMPLO 5 Diagrama de Venn




Exemplo 6

983120983141983154983143983157983150983156983151983157983085983155983141 983137 983157983149983137 983137983149983151983155983156983154983137 983140983141 983137983140983157983148983156983151983155 983141983149 983156983154983274983155 983139983145983140983137983140983141983155 983155983141 983141983148983141983155

983143983151983155983156983137983158983137983149 983140983141 983157983149 983150983151983158983151 983152983154983151983140983157983156983151 983119983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155 983141983155983156983267983151 983137 983155983141983143983157983145983154

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149 983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088 983092983088983088

983118983267983151 983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983118983267983151 983155983137983138983141 983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983109983160983141983149983152983148983151

983089 983120(983155983145983149)

983090 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092 983120(983118983267983151 983164 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088 983089983088983088983088

983125983149983137 983140983137983155 983154983141983155983152983151983155983156983137983155 983273 983155983141983148983141983139983145983151983150983137983140983137 983137983151 983137983139983137983155983151 983108983141983156983141983154983149983145983150983141983098





983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088

983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149

983118983267983151

983118983267983151 983155983137983138983141983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088

983092983088983088

983089983086983088983088983088

983123983151983148983157983271983285983141983155

983089983086 983120(983155983145983149)

983090983086 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091983086 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

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983101 983090983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983090983093

983101 983092983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092983093

983101 983092983088983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092





Avaliando os exemplos anteriores podemos concluir que

Quando calcularmos P (A) estaremos nos perguntando quatildeo provaacutevel seraacuteestarmos em A sabendo que devemos estar em Ω

Quando calcularmos P (A|B ) estaremos nos perguntando quatildeo provaacutevelseraacute estarmos em A sabendo que devemos estar em B

Dado que B ocorreu o espaccedilo amostral relevante natildeo eacute mais Ω masconsiste em resultados contidos em B

A uacutenica forma de A ocorrer dado que B ocorreu eacute se um dos resultados dainterseccedilatildeo (AcapB ) ocorrer




Probabilidade CondicionalEXEMPLO 7 Dois dados satildeo lanccedilados Considere os eventos A =a soma dosresultados eacute igual a 10 e B =o primeiro nuacutemero eacute maior ou igual ao segundo

Calcule P (A) P (B ) P (B |A) e P (A

|B )





Definiccedilatildeo 61 (Probabilidade Condicional)

Seja (Ω

P ) um espaccedilo mensuraacutevel Se B isinΩ e P (B gt 0) a probabilidadecondicional de A dado B eacute definida por

P (A|B ) = P (AcapB )

P (B )





Observaccedilatildeo 61 Se P (B ) = 0 P (A|B ) pode ser arbitrariamente definida Algunslivros consideram P (A|B ) = 0 nesse caso Contudo eacute mais plausiacutevel considerarP (A|B ) = P (A)

Importante Se A e B satildeo desenhados de modo que as aacutereas de A B e AcapB

sejam proporcionais agraves suas probabilidades entatildeo P (A|B ) eacute a proporccedilatildeo doevento B ocupada pelo evento A

PERGUNTA P (A|B ) A isin eacute realmente uma probabilidade em A

RESPOSTA Precisamos verificar os axiomas





DEMONSTRACcedilAtildeO

(1) Para todo A isinΩ segue que P (A|B )ge 0Eacute verdade pois como P (AcapB )ge 0 e P (B )gt 0 temos que


P (B ) ge 0

(2) P (Ω|B ) = 1Eacute verdade pois P (Ω|B ) =

P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )

(3) Seja (A1 A2 isinΩ) tal que Ai capA j = empty para i = j entatildeo

P (infin

i =1 Ai |B ) =infin

i =1 P (Ai |B )Eacute verdade pois P (

infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin

i =1 Ai )capB )P (B )

= P (infin

i =1(Ai capB ))P (B )

=infin

i =1 P (Ai capB )P (B )

=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )





IMPORTANTE Como valem os axiomas as propriedades de probabilidade satildeomantidas (Ex P (Ac |B ) = 1minusP (A|B ))

IMPORTANTE Temos entatildeo duas maneiras de calcular a probabilidadecondicional P (A|B )

(I) Empregando a definiccedilatildeo anterior em que P (AcapB ) e P (B ) satildeocalculadas em relaccedilatildeo ao espaccedilo amostral original Ω

(II) Diretamente pela consideraccedilatildeo da probabilidade de A em relaccedilatildeoao espaccedilo amostral reduzido B

Voltando ao exemplo inicial Qual a probabilidade da segunda peccedila ser defeituosa(P (B ))

P (B |A) = 1999 porque se A tiver ocorrido entatildeo na segunda extraccedilatildeo restaratildeosomente 99 peccedilas das quais 19 delas seratildeo defeituosas De modo similar temosque P (B |Ac ) = 2099




Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9




Exemplo 10Exemplo Estatiacutesticas dos uacuteltimos anos do departamento estadual de estradassatildeo apresentadas na tabela a seguir contendo o nuacutemero de acidentes incluindoviacutetimas fatais e as condiccedilotildees do principal motorista envolvido soacutebrio oualcoolizado Vocecirc diria que o fato do motorista estar ou natildeo alcoolizado interferena ocorrecircncia de viacutetimas fatais

Motoristaviacutetimas Fatais Natildeo Sim

Soacutebrio 1228 275

Alcoolizado 2393 762




Probabilidade CondicionalExemplo 11 Uma turma de estatiacutestica teve a seguinte distribuiccedilatildeo das notasfinais 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados 8 do sexomasculino e 14 do feminino foram aprovados Para um aluno sorteado dessaturma denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se oaluno foi aprovado Calcule

(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11


P b bilid d C di i l




Exemplo 12 Verifique se satildeo vaacutelidas as afirmaccedilotildees

(a) Se P (A) = 13 e P (B |A) = 35 entatildeo A e B natildeo podem serdisjuntos

(b) Se P (A) = 12 P (B |A) = 1 e P (A|B ) = 12 entatildeo A natildeo podeestar contido em B


Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13






A mais importante consequecircncia da definiccedilatildeo de probabilidade condicional eacute

obtida ao se escreverP (AcapB ) = P (A|B )P (B )

P (AcapB ) = P (B |A)P (A)

Teorema 61 (Regra do Produto)Seja A1 A2 An isinΩ com P (capn

i =1Ai )gt 0 entatildeo

P (A1capA2cap capAn ) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1capA2) P (An |A1capA2cap capAn minus1)






Demonstraccedilatildeo Faremos por induccedilatildeo Para n = 2 pela definiccedilatildeo de

probabilidade condicional temos que P (A1 capA2) = P (A1)P (A2|A1)

Suponha que o resultado eacute vaacutelido para n = k ou sejaP (A1 capA2 cap capAk ) = P (A1)P (A2|A1) P (An |A1 capA2 cap capAk minus1) Assim paran = k + 1 temos que

P (A1 capA2 cap capAk cap Ak +1) = P [(A1 capA2 cap capAk )capAk +1] =

P (A1capA2cap

capAk )P (Ak +1|A1capA2cap

capAk ) = P (A1)P (A2|A1)

P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











Observaccedilatildeo 62 Podemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade da

ocorrecircncia conjunta dos eventos

Voltando ao exemplo inicial das peccedilas defeituosas Qual a probabilidade de queambas as peccedilas sejam defeituosas





Probabilidade CondicionalExemplo 14 Das pacientes de uma cliacutenica de ginecologia com idade acima de40 anos 60 satildeo ou foram casadas e 40 satildeo solteiras Sendo solteira aprobabilidade de ter tido um distuacuterbio hormonal no uacuteltimo ano eacute de 10

enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30

(a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter umdistuacuterbio hormonal e ser solteira

(b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposiccedilatildeo qual eacutea probabilidade de pelo menos uma ter o distuacuterbio






Exemplo 15 Sabe-se que 80 dos pecircnaltis marcados a favor do Brasil satildeo

cobrados por jogadores do Flamengo A probabilidade de um pecircnalti serconvertido eacute de 40 se o cobrador for do Flamengo e de 70 em caso contraacuterioUm pecircnalti a favor do Brasil acabou de ser marcado Qual a probabilidade dopecircnalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido





Probabilidade CondicionalDefiniccedilatildeo 62 Dizemos que os eventos B 1 B 2 B k formam uma particcedilatildeo doespaccedilo amostral Ω quando (i)B i capB j = empty para todo i = j (ii)cupk

i =1B i = Ω e(iii)P (B i )gt 0 para todo i

Explicando Quando o experimento eacute realizado um e somente um dos eventosB i ocorre

Seja A um evento qualquer referente a Ω e B 1 B 2 B k uma particcedilatildeo de Ωpodemos escrever entatildeo A = (AcapB 1)cup (AcapB 2)cup cup (AcapB k )





Teorema 62 (Teorema da Probabilidade Total)

Seja B 1 B 2 B n uma particcedilatildeo de Ω com P (B i )gt 0 para todo i = 1 n Entatildeo para todo A isin tem-se que

P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )





Demonstraccedilatildeo Pela regra do produto temos que P (B i )P (A|B i ) = P (AcapB i )Como para i = 1 n os eventos AcapB i satildeo disjuntos temos que

n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n

i =1 P (AcapB i ) = P [n

i =1(AcapB i )] = P [Acap (n

i =1 B i )] =

P (A)

Importante Esse resultado representa uma relaccedilatildeo extremamente uacutetil porquefrequentemente P (A) pode ser difiacutecil de ser calculada diretamente No entanto

com a informaccedilatildeo adicional de que B i tenha ocorrido seremos capazes decalcular P (A|B i ) e em seguida empregar o teorema acima


Ilustraccedilatildeo



ccedil





ccedil





Voltando ao exemplo inicial Qual a probabilidade da segunda peccedila ser defeituosa(P (B )) se as retiradas satildeo sem reposiccedilatildeo





EXEMPLO 16 No exemplo da Cliacutenica qal a probabilidade de uma pacienteescolhida ao acaso ter tido um distuacuterbio hormonal





EXEMPLO 17 Um determinado produto eacute produzido por trecircs faacutebricas 1 2 e 3Sabe-se que 1 produz o dobro de peccedilas que 2 e 2 e 3 produzem o mesmonuacutemero de peccedilas Sabe-se tambeacutem que 2 das peccedilas produzidas por 1 e por 2

satildeo defeituosas enquanto que 4 daquelas produzidas por 3 satildeo defeituosasTodas as peccedilas produzidas satildeo colocadas em um depoacutesito e depois uma peccedila eacuteextraiacuteda ao acaso Qual a probabilidade de que uma peccedila seja defeituosa





Teorema 13 (Teorema de Bayes)

Seja B 1 B 2 B n uma particcedilatildeo de Ω com P (B i )gt 0 para todo i = 1 n Entatildeo para todo A isin com P (A)gt 0 e para todo j = 1 2 n tem-se que

P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )





Demonstraccedilatildeo

Na expressatildeo do lado direito o numerador eacute P (AcapB j ) pela regra do produto Odenominador eacute P (A) pelo teorema da probabilidade total Portanto pela definiccedilatildeode probabilidade condicional o teorema estaacute demonstrado

Importante Este resultado eacute uacutetil quando conhecemos as probabilidades dos B i eas probabilidades condicionais de A dado B i mas natildeo conhecemos diretamentea probabilidade de A

Observaccedilatildeo 63 A foacutermula de Bayes eacute agraves vezes chamada de foacutermula deprobabilidades posteriores As probabilidades P (B i ) podem ser chamadasprobabilidades a priori e as P (B i |A) probabilidades a posteriori


EXEMPLO 18







EXEMPLO 19 Considere que no exemplo 1 um produto eacute escolhido e eacuteverificado ser defeituoso Qual a probabilidade dele ter vindo da faacutebrica 3


EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




Probabilidade CondicionalEXEMPLO 21 Ana Rafaela entrega a Rosivan uma carta destinada ao seu



EXEMPLO 21 Ana Rafaela entrega a Rosivan uma carta destinada ao seunamorado para ser colocada no correio Entretanto ele pode esquecer comprobabilidade 01 Se natildeo se esquecer a probabilidade de que o correio extravie

a carta eacute de 01 Finalmente se foi enviada pelo correio a probabilidade de que onamorado natildeo a receba eacute de 01

(a) Se o namorado de Ana Rafaela natildeo recebeu a carta qual aprobabilidade de Rosivan ter esquecido de colocaacute-la no correio

(b) Avalie as possibilidades desse namoro continuar se acomunicaccedilatildeo depender das cartas enviadas


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 22 Em um exame haacute trecircs respostas para cada pergunta e apenas



EXEMPLO 22 Em um exame haacute trecircs respostas para cada pergunta e apenasuma delas eacute certa Portanto para cada pergunta um aluno tem probabilidade 13de escolher a resposta certa se ela estar advinhando e 1 se sabe a resposta Um

estudante sabe 30 das respostas do exame Se ele deu a resposta correta parauma das perguntas qual eacute a probabilidade de que a adivinhou





Jaacute consideramos eventos A e B que natildeo podem ocorrer conjuntamente(AcapB =empty) Tais eventos satildeo denominados mutuamente excludentes

Se A e B forem mutuamente excludentes entatildeo P (A|B ) = 0 porque aocorrecircncia de B impede a ocorrecircncia de A

Em muitas situaccedilotildees saber que B jaacute ocorreu nos daacute alguma informaccedilatildeobastante definida referente agrave probabilidade de ocorrecircncia de A

Existem poreacutem muitas situaccedilotildees nas quais saber que algum evento B

ocorreu natildeo tem qualquer interesse quanto aacute ocorrecircncia ou natildeo ocorrecircnciade A

EXEMPLO 23 Um dado equilibrado eacute jogado duas vezes Seja A =o primeirodado mostra um nuacutemero par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6

Os eventos A e B satildeo inteiramente natildeo relacionados Saber que B ocorreu natildeofornece qualquer informaccedilatildeo sobre a ocorrecircncia de A









Definiccedilatildeo 63 (Independecircncia de dois eventos)Sejam A e B eventos em (Ω P ) A e B satildeo eventos independentes se

P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )

A condiccedilatildeo de independecircncia pode tambeacutem ser expressa na seguinte formaalternativa e equivalente

P (AcapB ) = P (A)P (B )

Importante Diremos que os eventos A e C satildeo condicionalmente independentesdado B se P (AcapC |B ) = P (A|B )P (C |B )

Definiccedilatildeo 64 (Independecircncia de vaacuterios eventos)

Os eventos A1

A2

An em (Ω

P ) satildeo independentes se para toda coleccedilatildeode iacutendices 1le i 1 lt i 2 lt lt i k le n e 2le k le n tivermos

P (Ai 1 capAi 2 cap capAik ) = P (Ai 1)P (Ai 2) P (Aik )









Proposiccedilatildeo 61 Se A e B satildeo independentes entatildeo A e B c tambeacutem satildeoindependentes (e tambeacutem Ac e B e ainda Ac e B c )


P (AcapB c ) = P (A)minusP (AcapB ) Como A e B satildeo independentes entatildeoP (AcapB ) = P (A)P (B ) Substituindo temos queP (AcapB c ) = P (A)minusP (A)P (B ) = P (A)(1minusP (B )) = P (A)P (B c )



EXEMPLO 24 S P (AcupB) 0 8 P(A) 0 5 P(B) d t i l d



EXEMPLO 24 Se P (AcupB ) = 08 P (A) = 05 e P (B ) = x determine o valor dex no caso de

(a) A e B serem mutuamente exclusivos(b) A e B serem independentes


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 25 Em uma certa populaccedilatildeo a probabilidade de gostar de teatro eacute de



p p ccedil p g13 enquanto que a de gostar de cinema eacute 12 Determine a probabilidade degostar de teatro e natildeo de cinema nos seguintes casos

(a) Gostar de teatro e gostar de cinema satildeo eventos disjuntos(b) Gostar de teatro e gostar de cinema satildeo eventos independentes(c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema(d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema eacute de 18(e) Dentre os que natildeo gostam de cinema a probabilidade de natildeo

gostar de teatro eacute 34


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 26 Suponha que em um levantamento estatiacutestico efetuado em



p qdeterminada populaccedilatildeo verificou que o nuacutemero de casais hipertensos eacute de 72Se nessa mesma populaccedilatildeo 23 de indiviacuteduos do sexo masculino e 18 do

sexo feminino satildeo hipertensos entatildeo existe dependecircncia (ou associaccedilatildeo) entre ofato de o homem e a mulher do casal apresentarem hipertensatildeo


Probabilidade CondicionalEXEMPLO 27 Uma caixa conteacutem 5 bolas brancas e trecircs bolas pretas Duas



bolas satildeo retiradas simultaneamente ao acaso e substituiacutedas por trecircs bolas azuisEm seguida duas novas bolas satildeo retiradas da caixa Calcule a probabilidade de

que essas duas uacuteltimas bolas sejam da mesma cor




Introduccedilatildeo

983241 983152983154983151983158983265983158983141983148 983153983157983141 983158983151983139983274 983143983137983150983144983141 983157983149 983137983157983149983141983150983156983151983086

983086983086983086983086983086983086983086983086983086983086983086983086983086983086 983123983141 983137983156983145983150983143983145983154 983156983151983140983137983155 983137983155 983149983141983156983137983155983084 983139983148983137983154983151983073983073983073
















seraacute alterada














Exemplo 6

983120983141983154983143983157983150983156983151983157983085983155983141 983137 983157983149983137 983137983149983151983155983156983154983137 983140983141 983137983140983157983148983156983151983155 983141983149 983156983154983274983155 983139983145983140983137983140983141983155 983155983141 983141983148983141983155

983143983151983155983156983137983158983137983149 983140983141 983157983149 983150983151983158983151 983152983154983151983140983157983156983151 983119983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155 983141983155983156983267983151 983137 983155983141983143983157983145983154

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149 983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088 983092983088983088

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983118983267983151 983155983137983138983141 983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983109983160983141983149983152983148983151

983089 983120(983155983145983149)

983090 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092 983120(983118983267983151 983164 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088 983089983088983088983088

983125983149983137 983140983137983155 983154983141983155983152983151983155983156983137983155 983273 983155983141983148983141983139983145983151983150983137983140983137 983137983151 983137983139983137983155983151 983108983141983156983141983154983149983145983150983141983098





983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088

983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149

983118983267983151

983118983267983151 983155983137983138983141983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088

983092983088983088

983089983086983088983088983088

983123983151983148983157983271983285983141983155

983089983086 983120(983155983145983149)

983090983086 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091983086 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092983086 983120(983118983267983151983164983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141) 983101 983097983093983087983090983093983088 983101 983088983084983091983096

983101 983090983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983090983093

983101 983092983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092983093

983101 983092983088983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092















|B )






Seja (Ω



P (B )

















P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω























































seraacute alterada














Exemplo 6

983120983141983154983143983157983150983156983151983157983085983155983141 983137 983157983149983137 983137983149983151983155983156983154983137 983140983141 983137983140983157983148983156983151983155 983141983149 983156983154983274983155 983139983145983140983137983140983141983155 983155983141 983141983148983141983155

983143983151983155983156983137983158983137983149 983140983141 983157983149 983150983151983158983151 983152983154983151983140983157983156983151 983119983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155 983141983155983156983267983151 983137 983155983141983143983157983145983154

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

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983089 983120(983155983145983149)

983090 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

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983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088 983089983088983088983088

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983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088

983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149

983118983267983151

983118983267983151 983155983137983138983141983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088

983092983088983088

983089983086983088983088983088

983123983151983148983157983271983285983141983155

983089983086 983120(983155983145983149)

983090983086 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091983086 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092983086 983120(983118983267983151983164983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141) 983101 983097983093983087983090983093983088 983101 983088983084983091983096

983101 983090983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983090983093

983101 983092983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092983093

983101 983092983088983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092















|B )






Seja (Ω



P (B )

















P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω

















































Exemplo 6

983120983141983154983143983157983150983156983151983157983085983155983141 983137 983157983149983137 983137983149983151983155983156983154983137 983140983141 983137983140983157983148983156983151983155 983141983149 983156983154983274983155 983139983145983140983137983140983141983155 983155983141 983141983148983141983155

983143983151983155983156983137983158983137983149 983140983141 983157983149 983150983151983158983151 983152983154983151983140983157983156983151 983119983155 983154983141983155983157983148983156983137983140983151983155 983141983155983156983267983151 983137 983155983141983143983157983145983154

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

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983118983267983151 983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983118983267983151 983155983137983138983141 983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983109983160983141983149983152983148983151

983089 983120(983155983145983149)

983090 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092 983120(983118983267983151 983164 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088 983089983088983088983088

983125983149983137 983140983137983155 983154983141983155983152983151983155983156983137983155 983273 983155983141983148983141983139983145983151983150983137983140983137 983137983151 983137983139983137983155983151 983108983141983156983141983154983149983145983150983141983098





983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088

983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149

983118983267983151

983118983267983151 983155983137983138983141983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088

983092983088983088

983089983086983088983088983088

983123983151983148983157983271983285983141983155

983089983086 983120(983155983145983149)

983090983086 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091983086 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092983086 983120(983118983267983151983164983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141) 983101 983097983093983087983090983093983088 983101 983088983084983091983096

983101 983090983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983090983093

983101 983092983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092983093

983101 983092983088983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092















|B )






Seja (Ω



P (B )

















P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω












































983089983088983088 983089983093983088 983089983093983088

983089983090983093 983089983091983088 983097983093 983091983093983088

983095983093 983089983095983088 983093 983090983093983088

983114983151983267983151 983120983141983155983155983151983137 983122983141983139983145983142983141 983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141 983124983151983156983137983148

983123983145983149

983118983267983151

983118983267983151 983155983137983138983141983124983151983156983137983148 983091983088983088 983092983093983088 983090983093983088

983092983088983088

983089983086983088983088983088

983123983151983148983157983271983285983141983155

983089983086 983120(983155983145983149)

983090983086 983120(983122983141983139983145983142983141)

983091983086 983120(983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141)

983092983086 983120(983118983267983151983164983107983137983149983152983145983150983137 983111983154983137983150983140983141) 983101 983097983093983087983090983093983088 983101 983088983084983091983096

983101 983090983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983090983093

983101 983092983093983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092983093

983101 983092983088983088983087983089983086983088983088983088 983101 983088983084983092















|B )






Seja (Ω



P (B )

















P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω






















































|B )






Seja (Ω



P (B )

















P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω













































Seja (Ω



P (B )

















P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω
























































P (B ) ge 0


P (ΩcapB )P (B )

= P (B )P (B )


P (infin

i =1 Ai |B ) =infin


infin

i =1 Ai |B ) = P ((

infin


= P (infin


=infin


=infin

i =1P (Ai capB )

P (B ) =infin

i =1 P (Ai |B )














Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω





















































Exemplo 8




Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Exemplo 8




Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Exemplo 9












(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω



















































(a) P (AcupM c )

(b) P (Ac capM c )

(c) P (A|M )

(d) P (M c |A)

(e) P (M |A)





Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω












































Exemplo 11










Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω
















































Ri R lti



Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Risco Reltivo


E l 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Exemplo 13


Exemplo 13



Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































Exemplo 13





















P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω



























































P (A1capA2cap



P (Ak +1|cap

k

i =1 Ai )











































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω

















































































P (A) =n

i =1

P (B i )P (A|B i )






n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω












































n

i =1 P (B i )P (A|B i ) =n



i =1 B i )] =

P (A)







ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































ccedil





ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω











































ccedil























P (B j |A) = P (A|B j )P (B j )

n

i =1 P (A|B i )P (B i )










EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω
















































EXEMPLO 18









EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω

















































EXEMPLO 20




EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω












































EXEMPLO 20




EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω












































EXEMPLO 20





































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω













































































P (A|B ) = P (A) ou P (B

|A) = P (B )





Os eventos A1

A2

An em (Ω









































probabilidade para administração

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