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Probabilidad y
Estadística
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● Probabilidad, un concepto básico el cual puede considerarse como indefinido, expresando de algún modo un grado de creencia, o la frecuencia límite de una serie aleatoria. Ambos enfoques tienen sus dificultades/deficiencias y la más conveniente axiomización de la teoría de probabilidad es cuestión de gustos. Afortudamente, ambos enfoques llevan al mismo cálculo de probabilidades.
[Diccionario de términos estadísticos (Kendall and Buckland)]
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Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
●Interpretación clásica de probabilidad:
Esta interpretación está basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables).
Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n
Pero, el concepto de “igualmente probable” está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir !¿Qué hacemos cuando los eventos no son igualmente probables?
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Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
●Probabilidad como frecuencia de sucesos:
Aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo condiciones similares.
Pero, ¿cuánto es “mucho”? ¿Qué significa condiciones similares ?
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Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
●Interpretación subjetiva de la probabilidad:
Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo.
Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.
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Teoría de Probabilidades
Aquí veremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad.
Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales.
En resumen:La teoría de probabilidades nos dará una forma de cuantificar que tan verosímil/probable es que ocurra un evento en un experimento
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Conceptos preliminares
Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano.
Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.
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Conceptos preliminares
Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento.Usualmente, denotaremos por “S ” al espacio muestral.
Un posible resultado “x ” de “S ” se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como
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Conceptos preliminares
Cuando se realiza un experimento y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento.
Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral
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Conceptos preliminares
Ejemplo: Experimento: lanzamiento de un dado de seis caras
Espacio muestral S :
Sea A el evento de obtener un número par:
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Conceptos preliminares
Sea B el evento de obtener un número mayor o igual que 2
Vemos que los elementos de conjunto A también están en B
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Teoría de conjuntos
Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que perte-ce al subconjunto que define a A también pertenece al subconjunto que define a B :
o bien
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Teoría de conjuntos
Si dos eventos A y B son tales que
Entonces A y B tienen los mismos elementos, es decir,
y
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Teoría de conjuntos
(Transitividad) Si A, B y C son tres eventos tales que
se sigue entonces que:
y
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Teoría de conjuntos
Conjunto vacío:
Algunos eventos son imposibles de obtener.
Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar un dado. Es decir, el evento está definido por un subconjunto de S sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vacío y se denota por:
Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A:
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Teoría de conjuntos
Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los números naturales {1,2,3, ...}.
Un conjunto es incontable si no es finito ni contable
Conjuntos finitos e infinitos
El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable
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Diagramas de Venn
Una representación gráfica de los resultados de
un experimento son los diagramas de Venn
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Diagramas de Venn
Regiones:
i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al evento B
ii) Resultados que pertenecen al evento B, pero no al evento A
iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y B
iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B
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Teoría de conjuntosAlgunas operaciones elementales entre conjuntos:● Si A y B son dos eventos cualesquiera, la
intersección de A y B esta definida por los resultados que pertenecen a ambos conjuntos, A y B.
● La unión de dos eventos A y B está definida por el conjunto de resultados que pertenecen a A, o a B, o a ambos A y B.
● Complemento: el conjunto de resultados que no pertenecen a A se le llama complemento de A.
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● Para un evento A:
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Teoría de conjuntos
Algunas relaciones entre las operaciones de unión e intersección:● Conmutatividad● Asociatividad● Distributividad● Idempotencia
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● Ejercicio: Una vez vistas las relaciones de conmutatividad, distributividad e idempotencia, muestre que para dos conjuntos A y B se satisface que:
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Ahora consideremos la unión:
Similarmente se podría demostrar la segunda igualdad del ejercicio
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Teoría de conjuntos
Leyes de Morgan:
●
●
●
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Teoría de Probabilidades
Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S.
Pr(A) indicará la probabilidad de que ese evento ocurra.
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Teoría de probabilidadesAxioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,
Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S
Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentesPara una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que
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Teoría de Probabilidades
Definición matemática de probabilidad:
Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3
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Teoría de Probabilidades
Algunos teoremas:
1)
2) Para cada serie finita de eventos disjuntos
3) Para cada evento A
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Teoría de probabilidades
6) Para dos eventos A y B
4) Si entonces
5) Para cada evento A
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Teoría de probabilidades
Ejemplo:
Un paciente visita al médico por un dolor de garganta. Después de examinar al paciente, el médico piensa que el paciente sufre, o una infección bacteriana o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infección viral.
¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infección?
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Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)
Muchos experimentos muestran cierta “regularidad”, i.e., la frecuencia relativa de un evento es aproximadametente la misma en una serie de intentos
A un espacio muestral con posibles resultados se le llama simple, si la probablidad asignada a cada posible resultado es 1/n
Si un evento A en ese espacio contiene m resultados, entonces
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Teoría de probabilidades (espacio muestral simple)
Similarmente, sea el número de resultados de un evento A y el número total de resultados del espacio muestral. Entonces
Ahora, si A y B son dos eventos en S:
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Teoría de probabilidades
● Ejercicio:
Calcule la probabilidad de obtener un as o una pica de un paquete de cartas
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13
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Teoría de probabilidadesEjercicio: supongamos que lanzamos 3 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
Número posible de eventos (C:cara, R:cruz):1 - C C C2 - R C C3 - C R C4 - C C R5 - C R R6 - R C R7 - R R C8 - R R R
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Teoría de probabilidades
Ejercicio: Calcule la probabilidad de obtener de un paquete de cartas: un as o una pica o un número par {2, 4, 6, 8, 10}
Solución:Sea A el evento de obtener un asSea B el evento de obtener una picaSea C el evento de obtener un número par
Se nos pide entonces calcular
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Teoría de probabilidades
Para 3 eventos la probabilidad de la unión está dada por:
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Métodos de conteo
Como hemos visto, para espacios muestrales simples es importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de ahí podemos calcular la probabilidad de un evento.
- Multiplicación
- Permutación
- Combinación
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Métodos de conteoMultiplicación
Regla de multiplicación.Si en un experimento tenemos que:i) el experimento se realiza en dos partesii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean
estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados:
Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja y S está dado por:
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Métodos de conteo
De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados
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Métodos de conteo
Ejemplo:
Lanzamiento de dos dados.
Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36
Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes.
Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la i-ésima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es
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Ejemplo:
Lanzamiento de 6 monedas.
Como cada parte del experimento tiene 2 posibilidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es
2x2x2x2x2x2 = 64
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Métodos de conteo
Permutaciones
Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto.
Nos preguntamos de cuántas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)
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Métodos de conteoRespuesta:
Ejemplo: Cuántos arreglos pueden hacerse con las letras a, b y c?
Respuesta: 3 x 2 x 1 = 3! =6
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
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Métodos de conteo
Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces tenemos que:
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Métodos de conteo
Ejemplo: Sea
¿Cuáles son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior ?
Respuesta:
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Métodos de conteo
Ejemplo:
De un grupo de 25 personas, serán seleccionados un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número de formas posibles de escoger estas dos personas ?
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Conteo con reemplazamientoConsideremos ahora un experimento donde una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja.
Si se hace un total de k selecciones de esta forma, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma: donde :resultado de la i-ésima selección
A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento.
Como existen n posibles resultados para cada una de las bolas/selecciones, el número total de vectores en S es
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Conteo con reemplazamientoPermutaciones con reemplazamiento.
Si en el experimento anterior quisieramos saber la probabilidad del evento A en que cada una de las k bolas seleccionadas sean distintas.
El número de vectores donde los k componentes son distintos está dado por
Como el tamaño del espacio muestral es (y cada selección es igualmente probable, ), entonces la probabilidad del evento A es
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Métodos de conteo
Ejemplo:El problema del cumpleaños (versión simplificada)
Un planeta gira alrededor del sol en 3 días. ¿Cuál es la probabilidad de que Manolo y Juan cumplan años en fecha distinta (sin considerar el año) en ese planeta?Las posibilidades son:
La probabilidad de cada uno de estos resultados es:
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Métodos de conteo
Problema del cumpleaños:
¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas de un grupo de k personas (2< k < 365) festejen su cumpleaños el mismo día.
Supongamos que los nacimientos son independientes (gemelos son excluidos!). Entonces para cada una de las k personas hay 365 posibilidades. Por tanto, el espacio muestral es
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Métodos de conteo
La probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es
Así pues, la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día su cumpleaños es
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Métodos de conteoAlgunos valores de q:
k q
5 0.027
10 0.117
15 0.253
20 0.411
25 0.507
30 0.706
40 0.891
50 0.970