Indice

CAPTULO I: Conceptos bsicos de probabilidad 1.1 Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso 1.2 Probabilidad 1.3 Probabilidad condicional 1.4 Independencia estadstica 1.5 Probabilidad total 1.6 Regla de bayes

CAPTULO II: Variable aleatoria unidimensional 2.1 Variable aleatoria 2.2 Variables aleatorias discretas y continuas 2.3 Distribucin de probabilidad 2.4 Funcin de variables aleatorias (cambio de variables) 2.5 Esperanza 2.6 Varianza y desvo estndar 2.7 Variable aleatoria mixta 2.8 Variable aleatoria condicionada o truncada 2.9 Variable aleatoria mezcla

CAPTULO III: Variable aleatoria bidimensional y n-dimensional 3.1 Variable aleatoria bidimensional y n-dimensional 3.2 Distribucin de probabilidad conjunta 3.3 Distribuciones marginales 3.4 Distribuciones condicionales 3.5 Independencia de variables aleatorias 3.6 Esperanza condicional y regresin 3.7 Esperanza, varianza, covarianza y correlacin 3.8 Funcin de variables aleatorias (cambio de variables) 3.9 Distribucin del mximo y el mnimo

CAPTULO IV: Proceso de Bernoulli 4.1 Experimento y proceso de Bernoulli 4.2 Distribucin binomial 4.3 Distribucin geomtrica 4.4 Distribucin de Pascal

CAPTULO V: Proceso de Poisson 5.1 Proceso de Poisson 5.2 Distribucin de Poisson 5.3 Distribucin exponencial negativa 5.4 Distribucin gamma

CAPTULO VI: Distribucin normal y teorema central del lmite 6.1 Variable aleatoria normal 6.2 Teorema central del lmite 6.3 Aproximacin de binomial y Poisson por normal

CAPTULO VII: Otras distribuciones particulares 7.1 Distribucin multinomial 7.2 Distribucin hipergeomtrica 7.3 Distribucin uniforme continua 7.4 Distribucin ji-cuadrado. 7.5 Distribucin t-Student. 7.6 Distribucin F 7.7 Distribucin beta.

CAPTULO VIII: Estimadores 8.1 Estimadores 8.2 Mxima verosimilitud 8.3 Estimadores ms comunes

CAPTULO IX: Intervalo de confianza 9.1 Intervalos de confianza 9.2 Intervalo de confianza para la media de una poblacin 9.3 Intervalo de confianza para la varianza y el desvo de una poblacin 9.4 Intervalo de confianza para una proporcin 9.5 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias 9.6 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones

CAPTULO X: Ensayo de hiptesis 10.1 Ensayos de hiptesis 10.2 Ensayos de hiptesis para la media de una poblacin. 10.3 Ensayos de hiptesis para una proporcin. 10.4 Ensayos de hiptesis para la varianza de una poblacin. 10.5 Ensayos de hiptesis para la diferencia de dos medias. 10.6 Ensayos de hiptesis para la diferencia de dos proporciones 10.7 Ensayos de hiptesis para comparar dos varianzas desconocidas. 10.8 Prueba de bondad de ajuste

CAPTULO XI: Estimacin bayesiana 11.1 Estimacin bayesiana 11.2 Distribuciones particulares

APNDICE A: Clculo combinatorio A.1 Clculo combinatorio A.2 Aplicacin: Estudio de los juegos de azar

APNDICE B: Otros problemas de probabilidad B.1 Suma de cantidades desconocidas de probabilidades B.2 Considerar varias distribuciones al mismo tiempo

APNDICE C: Simulacin Para generar una muestra Para calcular una probabilidad

APNDICE D: Tablas D.1 Normal estndar acumulada D.2 Fractiles de la normal estndar D.3 Fractiles de la t-Student D.4 Fractiles de la chi-cuadrada D.5 Fractiles de la F

APNDICE E: Resumen de frmulas

El siguiente material se encuentra en etapa de correccin y no deber serconsiderado una versin final.Alejandro D. Zylberberg Versin Actualizada al: 4 de mayo de 2004

CAPTULO IExperimento aleatorio, Espacio muestral,Suceso

Experimento Aleatorio

Definicin: Es una accin o proceso que puede tener distintos resultados posibles, y cuyoresultado no se conoce hasta que no se lleva a cabo.

Ejemplos: tirar una moneda tirar un dado extraer una bolilla de un bolillero medir la cantidad de milmetros de lluvia cados elegir un nmero al azar

Espacio muestral

Definicin: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento.

Ejemplos:

1) Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el nmero que sale, el espaciomuestral es:E = {1,2,3,4,5,6}Vemos que el espacio muestral se denota con la letra E.

2) Si el experimento consiste en tomar una lapicera y medirla, el espacio muestral es:E = { x / x + }Vemos que el espacio muestral no tiene por qu ser un conjunto finito. Como en este casoel resultado puede ser cualquier nmero real positivo, E tiene infinitos elementos.

3) Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver con qu letraempieza el ttulo, el espacio muestral es:E = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, , O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z}Vemos que los resultados posibles del experimento, es decir, los elementos del espaciomuestral, no tienen necesariamente por qu ser nmeros. En este caso son letras.

4) Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qu sale, el espacio muestral es:E = {cara, ceca}Aunque tambin podramos haber respondido E = {cara, ceca, canto} si considerramoscomo un resultado posible el caso en que la moneda caiga de cantoVemos que el conjunto de resultados posibles para un experimento es subjetivo.Generalmente adecuamos el espacio muestral a lo que consideramos posible o no posible,y a los fines del experimento. Por ejemplo, en este caso una solucin posible es definir E= {cara, ceca} y determinar que si cae de canto, se tira nuevamente.Esto nos lleva a la siguiente cuestin:

Distintos espacios muestrales de un mismo experimento

Como vimos en el ltimo ejemplo, dado un experimento, no hay un nico e inapelableespacio muestral asociado. De hecho el espacio muestral que definimos para undeterminado experimento es arbitrario. Hay dos aspectos involucrados en dicha cuestin:

1) Cules resultados son posibles y cules imposibles?Eso es lo que ilustramos en el ejemplo anterior.

2) Cmo se escriben los resultados?Este aspecto, quizs el ms trivial, se ve reflejado por ejemplo en el experimento "elegirun mes al azar", cuyo espacio muestral puede ser E = {enero, febrero, marzo, abril, mayo,junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} o bien E = {1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3) Qu es un resultado?Supongamos que ya decidimos que los nicos resultados posibles al tirar una moneda son"cara" y "ceca". Ilustraremos los espacios muestrales, para mayor claridad.

Experimento 1: "tirar una moneda y ver qu sale"

E = { , }En palabras: "puede salir cara, o puede salir ceca".Hay 2 resultados posibles.

Experimento 2: "tirar dos monedas y ver qu sale"

E = { , , }En palabras: "pueden salir dos caras, dos cecas, o una y una".Hay 3 resultados posibles.

Experimento 3: "tirar una moneda de 10 centavos y una de 25 centavos y ver qu sale"

E = { , ,

, }En palabras: "puede salir cara en la de 10 y cara en la de 25, cara en la de 10 y ceca en lade 25, ceca en la de 10 y cara en la de 25, ceca en la de 10 y ceca en la de 25".Hay 4 resultados posibles.

Cmo se explica que si tanto en el experimento 2 como en el 3 arrojamos exactamentedos monedas, haya distinta cantidad de resultados posibles?La diferencia est en que en el experimento 2, las monedas son iguales, y en elexperimento 3 son distintas.En el experimento 3, los resultados:

y

son, obviamente, distintos.Pero en el experimento 2, como las monedas son iguales, los resultados:

y no son distinguibles, y entonces SON el mismo resultado ("una y una").Sin embargo esto tambin es subjetivo, ya que esos resultados no-distinguibles, puedenvolverse distinguibles si consideramos, por ejemplo, el orden en que se tiran las monedas,y entonces podemos tener los resultados distinguibles "sali cara en la primera y ceca enla segunda" y "sali ceca en la primera y cara en la segunda".

En conclusin, al describir el espacio muestral de un experimento, es fundamental tenerbien claro cules resultados sern distinguibles, y cules indistinguibles.

Suceso

Definicin: Es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

1) En el experimento de arrojar un dado y ver qu sale, el espacio muestral es:E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Cualquier subconjunto de E es un suceso, por lo tanto ejemplos de sucesos de esteexperimento pueden ser:

{1} {6} {3, 4} {4, 5, 6} {1, 3, 5} {2, 4, 6}

Tambin podemos expresar estos subconjuntos por comprensin: "que salga un nmero par" "que salga un nmero impar" "que salga un nmero mayor que 3"

Y no olvidemos los siguientes subconjuntos: {}Dicho suceso es conocido como "suceso nulo", "suceso falso" o "sucesoimposible". Adems de la notacin {} se puede usar la alternativa .

{1, 2, 3, 4, 5, 6}Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral(recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de s mismo).Dicho suceso es conocido como "suceso verdadero", "suceso forzoso" o "sucesocierto".

2) En el experimento de tomar una lapicera y medir su longitud en cm.:E = { x / x + }Ejemplos de sucesos (es decir, subconjuntos de E) pueden ser:

{15} {14.2} {17.3333333...} {x + / 10 < x < 15}

3) Si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces podramosdefinir: El experimento consiste en tirar una moneda y ver qu sale. El espacio muestral es E = {cara, ceca} El suceso A es A = {cara}. Vemos que A E. Como dijimos antes, un suceso es unsubconjunto del espacio muestral.

Las palabras "suceso" y "evento" se consideran sinnimas. Esto es porque habitualmente,dado un experimento, su espacio muestral E y un suceso A, si se hace el experimento, y elresultado est comprendido en el suceso A, se dice que "ocurri" A.

Comentarios sobre los sucesos en su calidad de conjuntosComo los sucesos son conjuntos, operar con sucesos es operar con conjuntos.

1) Interseccin de sucesos

Dados A y B dos sucesos, A B es el suceso que ocurre cuando ocurrensimultneamente A y B. Se puede llamar "A interseccin B" o bien "A y B".

Ejemplo:Se tira un dado, y se definen los sucesos:A: que salga menos de 4B: que salga ms de 2

Con lo cual queda:A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5, 6}A B = {3}

2) Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes

Son los sucesos cuya interseccin es nula. Dados los sucesos A y B, son disjuntos A B = .

Ejemplo:Se tira un dado, y se definen los sucesos:A: que salga 1 2B: que salga ms de 4

Con lo cual queda:A = {1, 2}B = {5, 6}A B = Como A y B tienen interseccin nula, no pueden suceder simultneamente.

3) Unin de sucesos

Dados A y B dos sucesos, A B es el suceso que ocurre cuando ocurre A, B, o los dossimultneamente. Se puede llamar "A unin B" o bien "A B".

Ejemplo:Se tira un dado, y se definen los sucesos:A: que salga menos de 4B: que salga 2 6

Con lo cual queda:A = {1, 2, 3}B = {2, 6}A B = {1, 2, 3, 6}

4) Complemento de los sucesos

Dado un suceso A, su "complemento" o "negado" es el suceso que ocurre si y slo si noocurre A (y A ocurre si y slo si no ocurre el complemento de A). El complemento de Ase escribe AC o bien A y se llama "complemento de A", "A negado" o bien "no A".

Ejemplo:Si arrojo un dado, y el suceso A es que salga un 4, entonces elsuceso AC es que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 6. Expresados como conjuntos quedan:

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}A = {sale 4}AC = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 5, sale 6}Observamos que: As como A es un subconjunto de E, AC tambin es un subconjunto de E. A AC = E, es decir, la unin de A y AC forma E. Esto es lgico: O llueve o no llueve.No hay ninguna otra posibilidad. A AC = . Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden ocurrir almismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.

5) Particin del espacio muestralSea el espacio muestral E, y n sucesos A1, ..., An.Si se cumple que: A1 A2 ... An = E "la unin de los sucesos da el espacio muestral" Ai Aj = ij "todos los pares posibles de sucesos tienen interseccin nula"Entonces se dice que A1, ..., An forman una particin de E.

Como ejemplo, volvamos al experimento del dado, y definamos los siguientes sucesos:A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = {3}, A4 = {4}, A5 = {5}, A6 = {6}.Veamos que se verifica: A1 A2 A3 A4 A5 A6 = {1}{2}{3}{4}{5}{6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E. A1 A2 = , A1 A3 = , ..., A5 A6 = .Entonces los A1, ..., A6 que definimos forman una particin de E. Grficamente, lo

podemos ver as:

Hagamos la observacin de que un suceso y su complemento siempre forman unaparticin del espacio muestral, puesto que como vimos antes: A AC = E A AC = El concepto de particin del espacio muestral nos ser til ms adelante al estudiar laprobabilidad total.

Como repaso, veamos algunos ejemplos grficos:

E es el conjunto con todos los resultados posibles del experimento,y el suceso A es un subconjunto de E, porque es un conjunto dedeterminados resultados Este grfico, por ejemplo, puede estarasociado al experimento "elegir una fecha al azar" y el suceso Apuede ser "el da es jueves".Al grfico anterior le agregamos el suceso B: "la moneda es de 25centavos". Vemos que en este ejemplo, los sucesos A y B notienen interseccin, o bien "tienen interseccin nula". Es decir, sondisjuntos (recordemos que A, B sucesos disjuntos A B = )Cambiemos el experimento: "elegir una persona al azar". El sucesoM es: "que la persona sea mujer".

Al grfico anterior le agregamos el suceso R: "que la persona searubia". Vemos que E queda dividido en 4 regiones: las mujeres norubias, las mujeres rubias, los hombres rubios y los hombres norubios.

Si agregamos un tercer suceso: C = "que la persona tenga ojosclaros". El espacio muestral queda dividido en 8 regiones.

"Mujeres rubias de ojos claros"M R C

"Hombres no-rubios de ojos claros"MRC

"Hombres"M

"Hombres de ojos oscuros"MC

Si el suceso H es "la persona es hombre", entonces ese grfico esincorrecto, a menos que sea posible no ser mujer y no ser hombreal mismo tiempo.Si H = M , entonces M H = M M , y como vimos antes:M M = Esta es la forma correcta de hacer el grfico anterior. Para lossucesos que forman una particin, este grfico es correcto y elanterior no. Como vimos antes, un suceso y su complementosiempre son una particin de E. En este ejemplo:M H = E ; M H =

Problemas tpicos

1) Si el suceso A es obtener un 3 al arrojar un dado, describa: el experimento el espacio muestral de dicho experimento el suceso A

Resolucin: El experimento consiste en arrojar un dado. El espacio muestral de dicho experiment es:E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} El suceso A es: A = {3}Observamos que, como todo suceso, A es un subconjunto de E.

2) Si el suceso A consiste en que un nmero real elegido al azar entre 2 y 3 sea mayor que2.8, describa lo mismo que se pidi en el ejercicio 1.

Resolucin: El experimento consiste en elegir un nmero real al azar entre 2 y 3. El espacio muestral de dicho experiment es:E = {x / 2 x 3} El suceso A es: A = {x E / x > 2.8}

3) Dados los experimentos descriptos en 1 y 2, proponga otros sucesos para cada uno.

Resolucin1) Otros sucesos pueden ser: "se obtiene 6", "se obtiene menos de 4", "se obtiene ms de2", "se obtiene 3 6", "no se obtiene 4", etc.2) Otros sucesos pueden ser: "sale menor a 2.4", "sale entre 2.6 y 2.7", "sale exactamente2.71", etc.

4) Describa el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:a) se tira una monedab) se tiran 3 monedas igualesc) se tiran 3 monedas distintasd) se tiran 2 dados igualese) se tiran 2 dados distintosf) se eligen 2 colores primariosg) en una caja hay 4 bolitas negras y 1 bolita blanca. Se van sacando bolitas (sinreposicin) hasta que aparezca una blanca.h) se coloca una pieza en un casillero al azar de un tablero de ajedrez.

Resolucin:

a) E = {cara, ceca}

b) E = {3 caras, 2 caras y 1 ceca, 1 cara y 2 cecas, 3 cecas}

c) Si a las 2 monedas las llamamos X, Y y Z, y anotamos los resultados como nxnynzdonde ni vale "a" si en la moneda i sale cara y "e" si en la moneda i sale ceca, queda:

E = {aaa, aae, aea, aee, eaa, eae, eea, eee}Vemos que "distinguiendo" las monedas, obtenemos 8 resultados posibles, mientras quesi no las distinguimos obtenemos 4 resultados posibles.

d) E = {2 unos, 1 uno y 1 dos, 1 uno y 1 tres, 1 uno y 1 cuatro, 1 uno y 1 cinco, 1 uno y 1seis, 2 dos, 1 dos y 1 tres, 1 dos y 1 cuatro, 1 dos y 1 cinco, 1 dos y 1 seis, 2 tres, 1 tres y 1cuatro, 1 tres y 1 cinco, 1 tres y 1 seis, 2 cuatros, 1 cuatro y 1 cinco, 1 cuatro y 1 seis, 2cincos, 1 cinco y 1 seis, 2 seis}

e) Si a los 2 dados los llamamos X e Y, y anotamos los resultados como nxny donde nxvale el nmero que sale en el dado X y ny vale el nmero que sale en el dado Y, queda:E = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44,45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}Vemos otra vez que "distinguiendo" los dados, obtenemos 36 resultados posibles,mientras que si no los distinguimos obtenemos 21 resultados posibles.

f) Los colores primarios son el amarillo, el azul y el rojo.E = {amarillo y azul, amarillo y rojo, azul y rojo}

g) Hay 2 formas de escribir el espacio muestral de este experimento.Podemos anotar las extracciones, con lo cual los resultados posibles son:E = {B, NB, NNB, NNNB, NNNNB}Tambin podemos hacer referencia al nmero del intento en el cual se logr sacar lablanca. Los resultados posibles son:E = {1, 2, 3, 4, 5}Sin duda la segunda forma es mucho ms ventajosa si queremos procesar informacin.

h) El tablero de ajedrez tiene 8 filas (1-8) y 8 columnas (A-H). En este caso el espaciomuestral puede ser las distintas "coordenadas" en las que se puede poner la ficha, con locual:E = {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, C1, C2, C3, C4,C5, C6, C7, C8, D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, F1, F2,F3, F4, F5, F6, F7, F8, G1, G2, G3, G4, G5, G6, G7, G8, H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7,H8}o bien:E = { (x,y) donde x {A, B, C, E, D, F, G, H} ; y {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} }

5) Un experimento consiste en lanzar un dado. Se definen 3 sucesos:A: sale menos de 3

B: sale ms de 3C: sale 2, 4, 6.Describa los siguientes sucesos:

a) E, A, B, C, AC, BC, CC, A B, A B, B C, B C, A BC. b) Ocurre solamente A.c) Ocurre B, y no ocurre C.d) Ocurre alguno de los trese) Ocurren los tres simultneamentef) Ocurre solamente uno de los tresg) No ocurre ninguno de los tresh) Ocurre a lo sumo uno de los tres

Resolucin:a) Nos abstraemos del hecho de que sale un nmero y nos quedamos directamente con losvalores:E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {1, 2}B = {4, 5, 6}C = {2, 4, 6}AC = {3, 4, 5, 6}BC = {1, 2, 3}CC = {1, 3, 5}A B = {1, 2, 4, 5, 6}A B = B C = {2, 4, 5, 6}B C = {4, 6}A BC = {1, 2, 3}

b) "Ocurre solamente A" significa "A y noB y noC", es decir:A BC CC = {1, 2} {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {1}Lo cual significa que si sale 1, ocurre A y solamente A.

c) "Ocurre B y no ocurre C" significa "B y noC", es decir:B CC = {4, 5, 6} {1, 3, 5} = {5}Lo cual significa que si sale 5, ocurre B y no ocurre C (Y no importa si A ocurre o no).

d) "Alguno de los tres" significa "A B C", es decir:A B C = {1, 2, 4, 5, 6}Lo cual significa que si sale 1, 2, 4, 5 6, eso garantiza que est ocurriendo al menos unode los tres sucesos A, B, C.

e) "Los tres simultneamente" significa "A y B y C", es decir:A B C = {1, 2} {4, 5, 6} {2, 4, 6} = Lo cual significa que no existe ningn nmero que si sale, ocurren A y B y C al mismotiempo.

f) "Solamente uno de los 3" significa "A o bien B o bien C" (con o excluyente), lo cual esequivalente a: (A y noB y noC) o (B y noA y noC) o (C y noA y noB), es decir:(A BC CC) (B AC CC) (C AC BC) = ({1, 2} {1, 2, 3} {1, 3, 5}) ({4, 5, 6} {3, 4, 5, 6} {1, 3, 5}) ({2, 4, 6} {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3}) = {1} {5} = {1, 5}Lo cual significa que si sale 1 sale 5, est ocurriendo uno (y solo uno) de los 3 sucesos.

g) "Ninguno de los tres" significa noA, noB y noC, es decir:(AC BC CC) = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {3}Lo cual significa que si sale 3, no est ocurriendo ninguno de los 3 sucesos.

h) "A lo sumo uno de los tres" significa "o ninguno, o uno", y eso es equivalente a "(noocurre ninguno) (ocurre solamente uno). Usando los resultados obtenidos en f y g,queda:{3} {1, 5} = {1, 3, 5}Lo cual significa que si sale 1, 3 5, no ocurre ninguno, o a lo sumo ocurre uno.

El siguiente material se encuentra en etapa de correccin y no deber serconsiderado una versin final.Alejandro D. Zylberberg Versin Actualizada al: 4 de mayo de 2004 ProbabilidadNo es que hayamos estado evadindola, pero era necesario definir algunos conceptos yrecordar ciertas cuestiones de la teora de conjuntos antes poder responder la pregunta:Qu es la probabilidad?

La probabilidad expresa el grado de certeza de que ocurrir un determinado suceso alhacer un determinado experimento aleatorio. Cuanto ms alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el grado de certeza de queocurrir al hacer el experimento aleatorio. Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como P(A).

Daremos a continuacin cuatro definiciones de probabilidad:

Definicin informal

Informalmente, la probabilidad de un suceso es un nmero real entre 0 y 1.Dicho nmero se puede expresar por ejemplo como 0.2, aunque tambin se lo puederepresentar como fraccin ( 1/5 ), o bien como porcentaje ( 20% ).Si la probabilidad es 0, se sabe que el suceso no ocurrir.Si la probabilidad es 1, se sabe que el suceso ocurrir.Es decir, el 0 y el 1 son los casos lmite.Para valores intermedios, el suceso puede o no ocurrir. En general diremos que unaprobabilidad cercana a 0 es baja, y que una probabilidad cercana a 1 es alta.Si por ejemplo la probabilidad de que maana llueva es 0.9 significa que maana esaltamente probable que llueva. Si en cambio la probabilidad de que un avin se caiga es0.000000001 significa que viajar en avin es bastante seguro.

Cundo es alta una probabilidad? Cundo es baja? Eso es subjetivo. Por ejemplo si aldespertarnos a la maana el pronosticador del tiempo dice que hay 90% de probabilidadesde lluvia, seguramente consideraremos que es un nmero alto, o por lo menos losuficientemente alto como para tomarnos la molestia de llevar un paraguas al salir. Encambio si la probabilidad de que un avin complete un viaje sin caerse fuera ese mismo0.9, dudo mucho que alguien quiera viajar en ese avin. Entonces cundo una

probabilidad es o no alta o baja depende en gran medida del contexto. Es decir, a qu estasociada esa probabilidad.

Ejemplos:

1) Si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces intuitivamentepodemos decir que si la moneda no est cargada, entonces P(A) = 1/2.

2) Si el suceso A consiste en obtener un 3 al tirar un dado honesto (no cargado) entoncesintuitivamente podemos decir que P(A) = 1/6.

3) Si el experimento consiste en tomar a la primera persona que veamos y preguntarle elda de la semana en que naci (supongamos que no la conocemos) entonces si el suceso Aes que la persona haya nacido durante un fin de semana, diramos intuitivamente que P(A)=

2/7.

Esto nos lleva a la segunda definicin que daremos de probabilidad:

Definicin de Laplace

En los 3 ejemplos anteriores lo que hicimos intuitivamente fue contar la cantidad de casosposibles, y luego contar la cantidad de casos contenidos en el suceso A, y responder que P(A) era el cociente entre la cantidad de casos favorables a A y la cantidad de casos totales.Es decir:

P(A) = cantidad de resultados contenidos en Acantidad total de resultados

Esto hace parecer que siempre que sepamos la cantidad de resultados posibles de unexperimento y la cantidad de resultados englobados por el suceso A podemos calcular P(A). Sin embargo, esto es falso.

Volvamos al ejemplo de las monedas:1) Cul es la probabilidad de sacar cara al tirar una moneda no cargada?De acuerdo al razonamiendo intuitivo anterior, los resultados posibles son:

E = { , }Luego, si el suceso A consiste en sacar cara, constituye 1 entre 2 resultados posibles, y enconsecuencia P(A) = 1/2.

2) Cul es la probabilidad de sacar dos caras al tirar dos monedas iguales?L resultados posibles son:

E = { , , }Entonces si A es "sacar dos caras", deberamos decir que sacar dos caras es 1 entre 3resultados posibles, y entonces P(A) = 1/3. Pero ese resultado es incorrecto, ya queintuitivamente sabemos (o deberamos saber) que el resultado correcto es 1/4, y que elerror se debi a que tendramos que haber usado el espacio muestral:

E = { , , , }que tiene 4 resultados posibles en vez de 3. Luego diremos correctamente que P(A) = 1/4.

Pero... Cul es la razn por la cual el espacio muestral que escribimos al final esapropiado y el anterior no? Por qu la cantidad de resultados "correcta" es 4 y no 3, sisegn los que dijimos antes, ambas son formas perfectamente vlidas de escribir elespacio muestral?

Y la respuesta es: porque los 4 resultados de la ltima expresin para E sonequiprobables, mientras que los 3 de la expresin anterior no lo son.

Qu significa que los resultados de E sean equiprobables?Que tienen todos la misma probabilidad.

Y cmo se sabe si los resultados que componen una determina expresin de E sonequiprobables?No se sabe. Se supone.

Lamentablemente, en los problemas reales no existe una forma idnea de determinar siuna determinada expresin de E est compuesta por sucesos equiprobables.En el ejemplo de las 2 monedas, suponemos intuitivamente que el 4 resultados que seobtienen al diferenciar las dos monedas son equiprobables y los 3 resultados que obtienensin distinguiarlas no son equiprobables, porque el suceso "1 cara y 1 ceca" tiene 2 formasdistintas de ocurrir, mientras que "2 caras" y "2 cecas" tienen solamente una forma deocurrir cada una.

Es aceptable suponer equiprobabilidad cuando no se tiene absolutamente ningnconocimiento acerca de las probabilidades de los resultados, y eso incluye no solamente

no conocer ninguna de las probabilidades sino tambin no tener razones que hagan pensarque algunos resultados pueden ser ms probables que otros. Eso fue lo que hicimos en elejemplo de preguntarle a la persona el da de la semana en que naci: como no conocemosa la persona, no tenemos forma de saber qu da de la semana naci, y tampococonocemos nada que nos pueda dar una idea de cules das pueden ser ms probables queotros. En cambio si la pregunta fuera sobre el ao de nacimiento, ya no sera tan aceptablesuponer equiprobabilidad, porque no todos los aos posibles tienen la mismaprobabilidad: por ejemplo si la persona parece ser adulta, los aos recientes tienen menosprobabilidad de ser el ao de nacimiento de la persona que los aos no-tan-recientes.

Pero entonces, Cmo se pueden calcular las probabilidades cuando no se puede suponerequiprobabilidad?Hay dos formas: una consiste en aplicar alguno de los modelos que veremos a lo largo deesta obra. La otra, tiene que ver con la tercera definicin:

Definicin emprica

Esta definicin consiste en asociar las probabilidades de los resultados con susfrecuencias relativas luego de repetir el experimento una determinada cantidad de veces.De ah el nombre "emprica".Es decir,

P A frrel A =frabs A

ndonde frabs(A) es la cantidad de veces que ocurri A en las n veces que se llev a cabo elexperimento.Cuanto ms grande sea n, mejor ser la aproximacin de P(A) por frrel(A).

Ejemplo:Si se quiere tener una idea de cul es la probabilidad de que eligiendo un alumno de lafacultad al azar, ste tenga ojos claros, se puede tomar a 50 alumnos al azar y contarcuntos tienen ojos celestes. Luego si 13 de esos 50 tienen ojos claros, estimaremos que P(A) = 13/50 = 0.26.Si en vez de examinar a 50 alumnos hubiramos examinado a 200, la exactitud esperablesera mayor. Por ejemplo quizs entre los 200 alumnos habra 53 con ojos claros, yentonces P(A) = 0.265.Y si hubiera infinitos alumnos, y tomramos muestras cada vez mayores, nosacercaramos asintticamente al resultado real, que podra ser, por ejemplo, 0.263.

Definicin axiomtica

Las tres definiciones que dimos hasta ahora cumplen con esta cuarta y ltima definicin.La definicin axiomtica consta de los siguientes tres axiomas:

Axioma 1: P(A) 0"La probabilidad no puede ser negativa" Axioma 2: P(E) = 1"La probabilidad del espacio muestral es uno" Axioma 3: A B = P(A B) = P(A) + P(B)"Dos sucesos son disjuntos si y slo si la probabilidad de su unin es la suma de susprobabilidades".

De los tres axiomas, se deducen casi inmediatamente cinco consecuencias:

Consecuencia 1: P(A) 1"La probabilidad tampoco puede ser mayor que uno"Porque como A E, si P(A) > 1 entonces necesariamente P(E) > 1, lo cual va en contradel segundo axioma.

Consecuencia 2: P(A) + P( A ) = 1"Las probabilidades de dos sucesos complementarios suman uno"P(E) = P(A A ) porque como vimos antes A A = EP(A A ) = P(A) + P( A ) por el tercer axioma, porque A y A son disjuntos.y como P(E) = 1, P(A) + P( A ) =1Esto es muy til porque a menudo es ms fcil calcular P( A ) que P(A), y entonces P(A)se obtiene de P(A) = 1 - P( A )

Consecuencia 3: P() = 0"La probabilidad de un suceso imposible es cero"Intuitivamente, si un suceso es el conjunto vaco, es porque no contiene ningn resultado,y entonces nunca podra suceder (de ah el nombre "imposible").Como = , entonces por el tercer axioma:P( ) = P() + P()P() = P() + P()P() - P() = P()P() = 0

Consecuencia 4: A B => P(A) P(B)

"Si un suceso est incluido en otro, su probabilidad es a lo sumo la de ste"Partimos B en A B y A B y aplicamos el tercer axioma:P((A B) ( A B)) = P(A B) + P( A B)P(B) = P(A B) + P(B A )Partimos A en A B y A B y aplicamos el terceraxioma:P((A B) (A B )) = P(A B) + P(A B )P(A) = P(A B) + P(A B )Pero como A B, entonces A B = , con lo cual P(A B ) = 0, y entonces queda:P(A) = P(A B)Y como, segn calculamos antes, P(B) = P(A B) + P(B A ), queda:P(A) = P(B) - P(B A )Y como P(B A ) 0, llegamos lo que queramos demostrar.Observemos que en el caso particular de que A no solamente est incluido en B sino quesea igual a B (la igualdad de conjuntos es un caso particular de inclusin) entonces quedaP(B A ) = 0 y consecuentemente P(A) = P(B).

Consecuencia 5: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)La probabilidad de la unin de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos laprobabilidad de la interseccin.

Tomemos la siguiente particin de E: {C1, C2, C3, C4}donde C1=AB , C2=AB , C3=AB , C4=ABLuego:A = C1 C2 por propiedades de conjuntosB = C1 C3 por propiedades de conjuntosP(A) = P(C1) + P(C2) por el tercer axiomaP(B) = P(C1) + P(C3) por el tercer axiomaA B = C1 C2 C3 por propiedades de conjuntosP(A B) = P(C1) + P(C2) + P(C3) por el tercer axioma dos vecesA B = C1 por propiedades de conjuntosP(A B) = P(C1) porque si X = Y entonces P(X) = P(Y)Juntando todo queda que:P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)es equivalente a:P(C1) + P(C2) + P(C3) = P(C1) + P(C2) + P(C1) + P(C3) - P(C1)Simplificando del lado derecho:P(C1) + P(C2) + P(C3) = P(C1) + P(C2) P(C3)

Con lo cual la tercera consecuencia es vlida.Explicacin intuitiva: Al construir A B "sumando" A y B estamos "contando" dosveces la interseccin; por eso hay que restarla. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)Cuando son disjuntos (el caso contemplado por el tercer axioma) la interseccin es , poreso en la expresin del axioma no hace falta que aparezca restando.

Generalizacin de la quinta consecuencia: Para 3 sucesos:P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)"La probabilidad de la unin de tres sucesos es:

las probabilidades individualesmenos las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 2ms la probabilidad de la interseccin tomada de a 3"

Anlogamente: Para 4 sucesos:"La probabilidad de la unin de cuatro sucesos es:

1) Las probabilidades individuales (sumando)2) menos las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 23) ms las probabilidades de las intersecciones tomadas de a 34) menos la probabilidad de la interseccin tomada de a 4"

Y as sucesivamente, alternando el signo se puede obtener la forma de calcular laprobabilidad de la unin de cualquier nmero de sucesos.

Problemas tpicos

1) Se tiran dos dados no cargados. Indique la probabilidad de que:a) Salgan dos 3b) Salgan dos 4c) No salga ningn 5d) Salga algn 5e) No salga ningn 5 ni ningn 6f) Salgan solamente nmeros pares

ResolucinEl espacio muestral es el siguiente:E = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1), (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) ,(5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

Usamos este espacio muestral porque suponemos que sus elementos son equiprobables. Sihubiramos considerado los dos dados no-distinguibles, entonces el suceso (1,2) tendra 2formas posibles de ocurrir, y como vimos en el ejemplo de las monedas eso nos condujo aun espacio muestral no-equiprobable.Queremos que el espacio muestral sea equiprobable para poder aplicar la definicin deLaplace.Hay 36 formas posibles de tirar los dos dados. Luego contando los resultados includos encada suceso cuya probabilidad se pide, obtenemos:a) 1/36b) 1/36c) 25/36d) "salga algn 5" quiere decir "al menos un 5", es decir, 1 2 cincos. En otras palabras,es el complemento del suceso a anterior. Su probabilidad es 11/36e) 16/36f) 9/36

2) En una determinada poblacin, el 60% de las personas son mujeres, el 35% de la gentetiene ojos claros y el 25% de la gente es rubia. El 20% de la poblacin son mujeres deojos claros. El 10% de la poblacin son mujeres rubias. El 15% de la poblacin sonpersonas rubias y de ojos claros. El 5% de la poblacin son mujeres rubias de ojos claros.Calcule las probabilidades de que al elegir una persona al azar, esta:

a) sea mujer, sea rubia o tenga ojos claros (es decir, que tenga por lo menos una deesas 3 caractersticas.b) tenga ojos oscurosc) sea un hombre no rubio y de ojos oscurosd) tenga cabello rubio o no tenga cabello rubio (alguna de las dos cosas).e) tenga ojos claros y ojos oscuros (las dos cosas simultaneamente).f) La probabilidad de encontrar a una mujer rubia, es menor, igual, o mayor, que lade encontrar a una mujer rubia de ojos claros?

ResolucinDefiniremos los sucesos:

M: la persona es mujer R: la persona es rubia C: la persona tiene ojos claros

Entonces los datos son:P(M) = 0.6 P(C) = 0.35 P(R) = 0.25P(M C) = 0.2 P(M R) = 0.1 P(R C) = 0.15P(M C R) = 0.05

Vamos a resolver el ejercicio de 3 formas distintas.

Forma 1: Aplicando los axiomas de la probabilidad y sus consecuencias para hallar lasprobabilidades pedidas.

a) Nos piden P(M C R). Por la generalizacin de la quinta consecuencia para 3sucesos, sabemos que:P(M C R) = P(M) + P(C) + P(R) - P(M C) - P(M R) - P(C R) + P(M C R)Y en este caso, todos los sumandos del lado derecho de laigualdad son dato. Entonces obtenemos:P(M C R) = 0.6 + 0.35 + 0.25 - 0.2 - 0.1 - 0.15 + 0.05 = 0.8

b) El suceso "tener ojos oscuros" es la negacin del suceso "tenerojos claros". Es decir, es el complemento de C. La segundaconsecuencia nos dice que P(A) + P( A ) = 1, con lo cual:P( C ) = 1 - P(C) = 1 - 0.35 = 0.65

c) Aqu el razonamiento es similar al del punto anterior. Si lapersona elegida es hombre, no-rubio, y de ojos oscuros, no tieneninguna de las 3 caractersticas M, C y R, y sali el complementodel conjunto M C R (lo de afuera de los tres globlos deldiagrama de Venn).La segunda consecuencia dice que P(A) + P( A ) = 1, con lo cual si llamamos:A = M C Rentonces lo que estamos buscando es P( A ), y como conocemos P(A), hacemos:P( A ) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2

d) Estamos buscando P(R R ). Como los sucesos complementarios son disjuntos(porque necesariamente A A = ), por el tercer axioma:P(R R ) = P(R) + P( R ).Luego por la segunda consecuencia:P(R) + P( R ) = 1Este resultado era evidente, porque slo se puede ser rubio o no-rubio. Slo puede llover o no-llover. Por lo tanto la probabilidad de que suceda alguna delas dos cosas es necesariamente 1, porque siempre sucede alguna de las dos cosas.

e) Nos piden P(C C ). C y su complemento no pueden ocurriral mismo tiempo, porque una persona no puede tener ojos claros yojos no-claros simultaneamente (supongamos que las personastienen los dos ojos del mismo color). Entonces como las dos cosasno pueden ocurrir al mismo tiempo, la probabilidad de suinterseccin es necesariamente cero.

f) Las mujeres rubias pueden tener ojos claros u ojos oscuros.Siempre que una mujer sea rubia y de ojos claros, sernecesariamente mujer rubia, pero no al revs, porque el hecho deque una mujer sea rubia no garantiza que adems tenga ojosclaros. Entonces la probabilidad de encontrar una mujer rubia queadems tenga ojos claros es menor que la probabilidad de simplemente encontrar a unamujer rubia. Si lo queremos pensar por la cuerta consecuencia: (M R C) (M R) => P(M R C) < P(M R) (usamos < y no porque es para el caso particular en el cual un conjunto est incluidoen otro porque ambos conjuntos son iguales (recordemos que A = B => A B y B A)

Forma 2: Aplicando los axiomas de la probabilidad y sus consecuencias para hallartodas las probabilidades.

Siendo los datos:P(M) = 0.6 P(C) = 0.35 P(R) = 0.25P(M C) = 0.2 P(M R) = 0.1 P(R C) = 0.15P(M C R) = 0.05

1) En la interseccin triple tenemos 0.05

2) (M C) es la unin de los sucesos disjuntos:(M C R) y (M C R ).Luego:P(M C R) + P(M C R ) = P(M C)

=> P(M C R ) = P(M C) - P(M C R) == 0.2 - 0.05 = 0.15

3) Anlogamente aplicamos lo mismo para (M R ) y para (R C). Es decir, sabemosque la probabilidad del "valo" (M R ) debe dar en total 0.1, y que la probabilidad del"valo" (R C) debe dar en total 0.15.

4) Sabemos que en total P(C) tiene que dar 0.35, por lo cual P( M R C) debe dar0.05.

5) Anlogamente hacemos lo mismo para M y para R.

6) Como sabemos que P(E) debe dar en total 1, la probabilidad de la regin que seencuentra afuera de los 3 conjuntos debe ser 0.2.

Luego las respuestas a las preguntas son inmediatas.

Forma 3: Planteando un sistema y resolvindolo

La tercera forma nos permite un mayor grado de automatizacin (que nos sera til porejemplo si furamos a desarrollar algn tipo de software que resolviera estas cuestiones).

Tomando los tres sucesos, el espacio muestral nos qued divididoen 23 = 8 regiones (el 2 porque al hacer el experimento puede pasarque ocurra o no ocurra (2 posibilidades) ese suceso, y el 3 porqueeso lo aplicamos a cada uno de los 3 sucesos que estamosconsiderando). Tenemos entonces 8 incgnitas.

Comenzamos por ponerle nombre a cada una de lasregiones. Si llamamos xi a P(regin i), entonces porejemplo nos podra quedar como vemos en el grfico.Luego escribimos ecuaciones a partir de los datos quetenemos:

Dato EcuacinP(M) = 0.6 x1 + x2 + x4 + x5 = 0.6P(C) = 0.35 x4 + x5 + x6 + x7 = 0.35P(R) = 0.25 x2 + x3 + x5 + x6 = 0.25P(M C) = 0.2 x4 + x5 = 0.2P(M R) = 0.1 x2 + x5 = 0.1P(R C) = 0.15 x5 + x6 = 0.15P(M C R) = 0.05 x5 = 0.05

Podra parecer que tenemos solamente 7 ecuaciones para las 8 incgnitas, pero tambinsabemos que la probabilidad del espacio muestral es 1, es decir:x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1

El sistema ampliado queda:

1 1 0 1 1 0 0 00 0 0 1 1 1 1 00 1 1 0 1 1 0 00 0 0 1 1 0 0 00 1 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

0 .60 .350 .250 .20 .10 .150 .051

De donde por cualquier mtodo, por ejemplo el de Gauss, obtenemos:x1=0.35 x2 = 0.05 x3 = 0.05 x4 = 0.15x5 = 0.05 x6 = 0.1 x7 = 0.05 x8 = 0.2

Con lo cual ya tenemos todo resuelto y estamos en condiciones de responder sobre lasprobabilidades de cualquiera de los 8 casos o uniones de ellos.Para hallar las respuestas podemos sumar todas las probabilidades xi de las regiones quecumplan con la condicin. Si las regiones que cumplen con la condicin son muchas,podemos hacer 1 - [las probabilidades de las regiones que NO cumplen con la condicin].Luego:

a) 1 - x8 = 0.8b) x1 + x2 + x3 + x8 = 0.65c) x8 = 0.2d) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1e) 0f) mujer rubia: x2 + x5 = 0.1mujer rubia de ojos claros: x5 = 0.050.1 > 0.01

El siguiente material se encuentra en etapa de correccin y no deber serconsiderado una versin final.Alejandro D. Zylberberg Versin Actualizada al: 4 de mayo de 2004 Probabilidad condicional

Supongamos que estamos estudiando el rendimiento de los alumnos de la materiaProbabilidad y Estadstica en un determinado examen.De un relevamiento surge que: el 80% de los alumnos estudi para el exmen el 75% de los alumnos aprob el examen el 15% de los alumnos no estudi para el examen yno lo aprob.Si definimos el experimento de tomar un alumno alazar, y llamamos A al suceso "el alumno tomadoaprob el examen" y B al suceso "el alumno tomadoestudi para el examen", entonces tenemos que:P(A) = 0.75P(B) = 0.8P( A B ) = 0.15Con estos datos y considerando que P(E) = 1, ya podemos hacer el diagrama de Venncorrespondiente y conocer las probabilidades de todas las regiones.

Por ejemplo, si quisiramos evaluar el nivel de los profesores y las clases, nos puedeinteresar responder la pregunta: Cul es la probabilidad de que un alumno que hayaestudiado haya aprobado el examen?

Intuitivamente podemos darnos cuenta de que, al menos bajo ciertas circunstancias, elprocedimiento para encontrar la respuesta podra ser fijarnos, de entre los alumnos queestudiaron, cuntos aprobaron.Los alumnos que estudiaron fueron el 80%.Ese 80% est formado un 70% que aprobaron y un 10% que no aprobaron.Entonces podemos decir que de cada 80 alumnos que estudiaron, 70 aprobaron.Visto de otra forma, si estamos parados en B, la probabilidad de estar al mismo tiempotambin parados en A es 70/80 = 0.875.

La cuenta que hicimos intuitivamente fue calcular la proporcin entre la cantidad dealumnos que [estudi y aprob], sobre el total de alumnos que estudiaron.

Entonces, respondiendo a la pregunta, la probabilidad de que un alumno que estudieapruebe, es decir, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurri B, se escribe P(A/B) yvale:P A /B =

P AB P B

Dicha expresin constituye la definicin de probabilidad condicional, y vale para todo parde sucesos A, B contenidos en el mismo espacio muestral.P(A/B) se lee "probabilidad condicional de A dado B", o bien "probabilidad de A dado B"o bien "probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurri B".Ms abajo se mostrar conceptualmente cmo se llega a esa expresin.

En este ejemplo quedan definidas las siguientes probabilidades:P(A) probabilidad de que un alumno cualquiera apruebeP(B) probabilidad de que un alumno cualquiera estudieP(A/B) probabilidad de que un alumno que estudi apruebeP(B/A) probabilidad de que un alumno que aprob haya estudiado

Y tambin:P(A/ B ) probabilidad de que un alumno que no estudi apruebeP(B/ A ) probabilidad de que un alumno que no aprob haya estudiadoP( A /B) probabilidad de que un alumno que estudi no apruebeP( B /A) probabilidad de que un alumno que aprob no haya estudiado

A modo ilustrativo, calcularemos algunas:

La probabilidad de que un alumno que aprob haya estudiado es la probabilidad de queocurra B(estudi) sabiendo que ocurri A(aprob), es decir:P B /A =

P BA P A

=0 .70 . 75

=0 .933

Notemos que no es lo mismo la probabilidad de que un alumno que estudi apruebe (P(A/B)) que la probabilidad de que un alumno que aprob haya estudiado (P(B/A)).

La probabilidad de que un alumno apruebe sin estudiar es la probabilidad de que apruebedado que no estudi, es decir, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que no ocurri B,o sea:

P A /B =P AB P B

=0 .050 .2

=0 .25

Cmo explicamos desde los conceptos vistos hasta ahora la expresin hallada para laprobabilidad condicional?

Como vimos antes, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurri B es la probabilidadde que ocurran A y B simultneamente dividida la probabilidad de que ocurra B, es decir,intuitivamente, la probabilidad de "estar parados en A, sabiendo que estamos parados enB".Lo que sucede es que el hecho de "estar parados en B" implica que estamos asumiendoque B es cierto. Es decir, estamos calculando probabilidades a condicin de que B ocurra.Eso no se diferencia en nada de considerar, al menos por un momento, que B es nuestronuevo espacio muestral, y que P(A/B) no es otra cosa que P(A) dentro de ese nuevoespacio muestral.Es decir, P(A/B) es en realidad la probabilidad de que ocurra A en un espacio en el queestamos asumiendo que ocurri B.

Pero el B con el que nos quedamos todava no est listo para ser un espacio muestral,porque sus probabilidades no suman 1.Justamente, las probabilidades que tienen en ese grfico no son correctas porque estabanreferidas al espacio muestral E. Hay que adaptarlas respetando dos cosas: Ahora debern sumar 1. No se debe alterar la proporcin relativa que tienen las probabilidades dentro de B.La forma de cumplir con esas dos cuestiones es multiplicar (o dividir) todas lasprobabilidades que estn en B por el mismo factor.

Cul es ese factor? Comencemos por notar que las probabilidades contenidas en Bsuman P(B). Entonces dividiendo todas las probabilidades por P(B), la suma tiene que dar1.

Y al estar dividiendo todas las probabilidades por el mismo nmero, la proporcin semantiene. Ahora ya sabemos por qu aparece el P(B) dividiendo en ladefinicin de probabilidad condicional.

En el ejemplo, P(B) = 0.8Entonces el 0.7 se convierte en 0.7 / 0.8 = 0.875Y el 0.1 se convierte en 0.1 / 0.8 = 0.125Con lo cual ya tenemos todo lo que necesitamos paradescribir nuestro nuevo espacio muestral B.

Para an mayor claridad, podemos cambiarle el estilo a estediagrama de Venn, de modo de hacerlo ms parecido alestilo al que estamos acostumbrados:

Vemos que hicimos para el espacio muestral B el mismo tipo de diagrama quesolemos hacer para el espacio muestral E.Esto es para mostrar que podemos pararnos en

un nuevo espacio muestral (que puede ser unsubconjunto del espacio muestral original) yobtener un espacio muestral tan vlido como eloriginal, con la diferencia de que lasprobabilidades que aparecen en el nuevoespacio muestral estn referidas al nuevoespacio muestral y no al original. Es por eso

que el 0.875 que aparece es P(A) pero referida al espacio muestral B, es decir, P(A/B).

Si se sobreentiende que nos estamos refiriendo al espacio muestral B, entonces no hacefalta escribir P(A/B) y podemos escribir simplemente P(A).

De hecho si lo pensamos, cuando trabajamos en el espacio muestral E, las probabilidadesestn referidas al espacio muestral E, pero como normalmente se sobreentiende que lasprobabilidades estn referidas al espacio muestral E, no hace falta escribir P(C/E) yescribimos directamente P(C).

Una notacin que se suele utilizar es colocarle como subndice al operador P el espaciomuestral al cual se refiere la probabilidad. Entonces P(A/B) se puede escribir tambin PB(A) lo cual se lee "probabilidad de A referida al espacio muestral B" o bien exactamenteigual que antes "probabilidad de A dado B".

Otra cuestin que podemos notar es que hasta ahora nunca nos haban aparecidoprobabilidades multiplicando o dividiendo, sino siempre sumando o restando. Las

probabilidades multiplicando o dividiendo son caractersticas de los cambios de espaciomuestral, tema que hasta ahora no habamos explorado.

Interseccin de sucesos y multiplicacin de probabilidades

De la definicin de probabilidad condicional obtenemos en forma inmediata que:P AB =P A /B P B Esto nos da por fin una forma de calcular probabilidades de intersecciones para los casosen que no conocemos la probabilidad de la unin y entonces no podemos usar:P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Si pensamos P(A B) como P(B A), con la probabilidad condicional obtenemos:P AB =P A /B P B =P B /A P A

Qu sucede con la interseccin de 3 sucesos?La probabilidad de la interseccin es P(A B C).Asociando A y B, y usando probabilidad condicional, hacemos:P ABC =P C AB =P C AB P AB Si ahora aplicamos que P(A B) = P(B/A) P(A) nos queda el siguiente resultado:P ABC =P A P B A P C ABPara n sucesos, podemos generalizar este resultado. Si llamamos A1, A2, ..., An a los nsucesos, nos queda:

P intersecti=1

n

Ai =i=1

n

P Ai /intersectj=1i1

A jEjemplo

El 95% de los gatos de 3 colores son hembras. El 40% de los gatos son son hembras. Altomar un gato al azar, cul es la probabilidad de que sea una hembra de 3 colores?Si el suceso A es que el gato elegido sea de 3 colores y el suceso B es que sea hembra,estamos buscando P(A B). Nos dieron de dato:P(A/B) = 0.95P(B) = 0.4Usando probabilidad condicional calculamos:P(A B) = P(A/B) . P(B) = 0.95 . 0.4 = 0.38

Ejemplo

Se tienen en una caja 3 bolitas negras y 3 bolitas blancas. Cul es la probabilidad desacar 2 bolitas y que resulten ser blancas?Analicemos:Como originalmente hay 3 bolitas negras y 3 blancas, la probabilidad de sacar una bolitablanca es 0.5. Sacamos una bolita y la dejamos afuera.Supongamos que la bolita que sacamos result ser blanca. Cul es ahora la probabilidadde sacar una bolita blanca? Intuitivamente (por ahora) responderemos que 2/5, porquequedan 2 bolitas blancas en las 5 que hay.Ahora le pondremos nombre a estos sucesos:A: que la primera bolita sacada sea blancaB: que la segunda bolita sacada sea blancaEvidentemente lo que estamos buscando es P(A )Vimos que P(A ) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A)Y segn lo que analizamos recin, conocemos P(A) = 0.5, y tambin conocemos P(B/A),porque sabemos cul es la probabilidad de que la segunda bolita sea blanca sabiendo quela primera lo fue. Habamos determinado que era 2/5. Entonces calculamos P(A ):P(A ) = P(A).P(B/A) = 2/5 . 0.5 = 1/5Con lo cual podemos responder a la pregunta: la probabilidad de sacar 2 bolitas y queambas sean blancas, es 1/5.Antes comentamos que cuando aparecan probabilidades multiplicando eso indicabacambios de espacios muestrales. El P(B/A) que usamos es la probabilidad de que ocurra Breferida al espacio muestral A. Es decir, luego de que sacamos una bolita blanca, cuandollega el momento de sacar la segunda bolita el espacio muestral ya no es el mismo que eraantes de sacar la primera (porque la composicin de las bolitas en la caja ya no es lamisma).

Ahora pensemos en un caso ms complejo: cul es la probabilidad de sacar 3 bolitas, demodo tal que las dos primeras sean blancas, y la tercera sea negra?Definimos un nuevo suceso:C: que la tercera bolita sacada sea negraY entonces lo que estamos buscando es P(A C). Aplicando lo estudiado antes, P ABC =P A P B A P C ABP(A) es la probabilidad de que la primera bolita sea blanca, o sea 3/6P(B/A) es la probabilidad de que la segunda bolita sea blanca, dado que la primera fueblanca. Como vimos antes, luego de sacar una bolita blanca queda 3 negras y 2 blancas,con lo cual P(B/A) = 2/5.

P(C / (AB)) es la probabilidad de que la tercera bolita sea negra, dado que de la cajaoriginal se sacaron dos blancas. Al momento de sacar la tercera bolita, quedan 3 negras yuna blanca, con lo cual P(C / (AB)) = 3/4.Luego la probabilidad buscada es:P ABC =

36

25

34=0 .15

Ahora veremos un diagrama que nos podr ser de utilidad en estos casos:En este diagrama se muestra el estado original de la caja, las

probabilidades de sacar una bolita blanca y una bolitanegra, y el estado de la caja luego de sacar ese tipo debolita.

Naturalmente, el diagrama se puede expandir, y sepuede volver a describir las probabilidades de sacar

bolitas blancas y negras en cada caso (es decir, lasprobabilidades de que la segunda bolita que se saque sea blanca o negra) yas sucesivamente. Esta lgica se puede seguir aplicando recursivamente mientras siganquedando bolitas en la caja.Si hiciramos el diagrama de rbol para las primeras 3 bolitas que se extraen, el diagramaquedara as:

Este grfico es una versin ampliada del anterior. Para cada situacin hipottica, se volvia calcular la probabilidad de sacar una bolita blanca o negra, y se volvi a dibujar elestado en que quedara la caja si sucediera que se extrajera una bolita de ese color. Amedida que vamos recorriendo los caminos va cambiando el dibujo de la cajita; esto loque muestra es que va cambiando el espacio muestral a medida que vamos sacandobolitas. Es por eso que las probabilidades que aparecen en las flechas son condicionales,referidas al espacio muestral del que parte cada flecha.

Este diagrama nos proporciona muchsima informacin. Por ejemplo:

Podemos calcular fcilmente lo que habamos calculado antes: la probabilidad de que lasprimeras 2 que se saquen sean blancas y la tercera negra. Simplemente hacemos el caminocorrespondiente, multiplicando, y obtenemos la probabilidad buscada:0.5 . 2/5 . 3/4 = 0.15Pero este es slo uno de los 8 caminos posibles. Todos se pueden calcular de la mismaforma.

No es solamente la probabilidad de los caminos de 3 bolitas la que podemos calcular.Tambin podemos usar el diagrama para calcular las probabilidades de los caminos de 2bolitas. Por ejemplo, la probabilidad de sacar primero 1 blanca y despus 1 negra es:0.5 . 3/5 = 3/10

Todos esos clculos los podemos hacer porque las probabilidades que figuran en eldiagrama son, en realidad, probabilidades condicionales. Por ejemplo, arriba a la derechadice "P(negra) = 3/4". Si los sucesos A, B y C son como los definimos antes, esaprobabilidad que aparece en el grfico no es sino P(C / (AB)). Es decir, el "P(negra) =3/4" que aparece en el grfico significa "la probabilidad de que la tercera bolita extradasea negra, dado que las dos primeras fueron blancas, es 3/4".

Otro tipo de clculo que nos podra interesar hacer es: "cul es la probabilidad de queluego de sacar 3 bolitas, queden dentro de la caja 2 negras y 1 blanca?". Para calcular estaprobabilidad, primero hay que buscar todos los caminos que nos conducen a esasituacin:C1 = B, B, N C2 = B, N, B C3 = N, B, BLuego, la probabilidad de terminar teniendo en la caja 2 negras y 1 blanca es laprobabilidad de haber hecho el camino 1 el camino 2 el camino 3, es decir:P(C1 C2 C3)Como los caminos son disjuntos (porque si se hace uno, es imposible que se hagan losotros), entonces la probabilidad de la unin es la suma de las probabilidades, con lo cual:P(C1 C2 C3) = P(C1) + P(C2) + P(C3)Y usando el diagrama para calcular las probabilidades, obtenemos:P(C1) + P(C2) + P(C3) = 0.5 . 2/5 . 3/4 + 0.5 . 3/5 . 2/4 + 0.5 . 3/5 . 2/4 = 9/20

Adems notemos que: en todas las bifurcaciones, P(blanca) + P(negra) = 1, porque si sacamos unabolita, tendr necesariamente que ser blanca o negra. No hay ninguna otraposibilidad. si sumamos las probabilidades de efectuar cada uno de los 8 caminos que tenemossi sacamos 3 bolitas, esa suma debe dar 1, porque si sacamos 3 bolitas, tendremosnecesariamente que emplear uno de los 8 caminos. No hay ninguna otra posibilidad.Esto tambin se cumple para los caminos que resultan de sacar 2 bolitas, y para losque resultan de sacar 1 bolita.

Por ltimo, recordemos los grficos sirven para mostrar, no para justificar. Si se nos pideuna justificacin, se requiere el tipo de anlisis que hemos hecho "formalmente".

Aplicando dos veces la definicin de probabilidad condicional

La definicin de probabilidad condicional es:P A /B =

P AB P B

Pero como P(A B) = P(B A) y adems:P B /A =

P BA P A

=> P BA =P B /A P A

Combinando las dos expresiones resulta:P A /B =

P AB P B

=P BA P B

=P B /A P A

P B Es decir:P A /B =

P B /A P A P B

o bien P B / A =P A /B P B P A

lo cual puede resultarnos til si tenemos P(A/B) y queremos conocer P(B/A) o viceversa.Recordemos que no son lo mismo.

Ejemplo

El 30% de las personas tiene ojos claros. El 60% de las personas es mujer. Se sabeadems que la probabilidad de que una mujer tenga ojos claros es 0,2. Cul es laprobabilidad de que una persona de ojos claros sea mujer?Trabajaremos con los sucesos:A: la persona extrada tiene ojos clarosB: la persona extrada es mujerEntonces los datos son:P(A) = 0,3P(B) = 0,6P(A/B) = 0,2Y queremos saber P(B/A). Usando el resultado anterior obtenemos:P B /A =

P A/B P B P A

=0,2 0,60,3

=0,4

Problemas tpicos

1) Se tiene que: P(A) = 0.3, P(A/B) = 0.4, P(A B) = 0.2. Calcule P(B) y P(B/A).

Resolucin:Por la definicin de probabilidad condicional, P A /B =P AB

P B .

Despejando P(B), queda: P B =P AB P A /B

. Luego P B = 0 .20 . 4

=0 .5 .

Nuevamente, por la definicin de probabilidad condicional,P B /A =

P BA P A

=0 .20 .3

=0 .67

2) La probabilidad de que llueva en un determinado da es 0.4. Pero si la tribu baila ladanza de la lluvia, la probabilidad de que llueva se duplica. En la aldea tienen lacostumbre de bailar la danza de la lluvia todos los das, a menos que hayan salido a cazarrinocerontes. La tribu sale a cazar rinocerontes el 70% de los das. Calcule la probabilidadde que en un determinado da:

a) lluevab) llueva, sabiendo que la tribu bail la danza de la lluviac) la tribu baile la danza de la lluviad) llueva y la tribu baile la danza de la lluviae) la tribu haya bailado la danza de la lluvia, dado que ese da termin lloviendof) la tribu baile la danza de la lluvia y no lluevag) llueva, sabiendo que ese da la tribu no baila la danza de la lluvia

Resolucin:

Comencemos por definir, para un da cualquiera:A: llueveB: la tribu baila la danza de la lluvia

Los datos que nos dan son:P(A) = 0.4P(A/B) = 0.8P(B) = 0.3 (porque el 70% de los das la tribu est fuera de la aldea cazando rinocerontes)

a) La probabilidad de que llueva es dato, P(A) = 0.4

b) La probabilidad de que llueva, sabiendo que la tribu bail la danza de la lluvia, tambines dato. P(A/B) = 0.8

c) La probabilidad de que la tribu baile la danza de la lluvia es, como calculamos antes, P(B) = 0.3

d) La probabilidad de que llueva y la tribu baile la danza de la lluvia es, por la definicinde probabilidad condicional, P(A B) = P(A / B) . P(B) = 0.24

e) La probabilidad de que la tribu haya bailado la danza de la lluvia, dado que ese datermin lloviendo, es P(B/A). Obtenemos:P B /A =

P BA P A

=0 .240 . 4

=0 .6

f) La probabilidad de que en un determinado da la tribu baile la danza de la lluvia y nollueva, es P(B AC)Por propiedades de conjuntos, sabemos que P(B A) + P(B AC) = P(B), porque (B A) (B AC) = B. Esto tambin puede entenderse como que la probabilidad de que latribu baile y llueva, ms la probabilidad de que la tribu baile y no llueva, es laprobabilidad de que la tribu baile (sin importar si termina lloviendo o no). Mediantecualquiera de las dos justificaciones, P(B AC) = P(B) - P(B A), con lo cual laprobabilidad pedida es P(B) - P(B A) = 0.06Vemos que este resultado es coherente, ya que de acuerdo a los datos, la danza de la lluviasuele ser bastante efectiva.

g) La probabilidad de que llueva, sabiendo que ese da la tribu haba salido a cazarrinocerontes, y por lo tanto no bail la danza de la lluvia, es P(A/BC), es decir,"probabilidad de A dado que no B". Por el teorema de la probabilidad condicional, queda:P A /B =

P AB P B

Por propiedades de conjuntos, sabemos que P(A B) + P(A BC) = P(A), porque (A B) (A BC) = A. Esto tambin puede entenderse como que la probabilidad de quellueva y la tribu baile, ms la probabilidad de que llueva y la tribu no baile, es laprobabilidad de que llueva (sin importar si la tribu baila o no).Entonces P(A BC) = P(A) - P(A B), con lo cual: P A /B =P A P AB P B Adems sabemos que P(B) + P(BC) = 1, con lo cual queda:P A/B =

P A P AB 1P B

Y ya dejamos todo en funcin de valores que ya conocemos. Hacemos la cuenta yobtenemos que P(A/BC) = 0.23

Por ltimo, podramos hacer un grfico para visualizar todo ms claramente:Primero colocamos en la interseccin que P(A B) = 0.24Luego, como P(A) = 0.4, entonces P(A BC) debe ser 0.16, parasatisfacer P(A B) + P(A BC) = P(A).Anlogamente, como P(B) = 0.3, entonces P(B AC) debe ser0.06, para satisfacer P(B A) + P(B AC) = P(B).

Por otro lado, sabemos que la probabilidad total, es decir, la probabilidad de E, debe ser 1.Como la probabilidad total es 1, deducimos el valor que nos falta, es decir, la probabilidadde que no suceda ni A ni B. P(AC BC) vale 1 - 0.16 - 0.24 - 0.06 = 0.54

Si solamente hubiramos querido las respuestas a las preguntas de este problema,podramos haber hecho el grfico, completado con los datos, y obtener las respuestasrpidamente. Hicimos el anlisis expuesto para mostrar una posible justificacin de losresultados obtenidos. Recordemos que no hay una nica forma de aplicar la probabilidadcondicional para llegar al resultado, y tambin que los grficos no constituyen unajustificacin.

3) En una determinada ciudad, el 11% de las personas tiene el cabello rubio y el 89%tiene el cabello negro. En esa poblacin, 49 de cada 100 personas son hombres. Tomandouna persona al azar, existe una probabilidad 0.84 de que esa persona tenga ojos oscuros.El 54.55% de las personas rubias, tambin tienen ojos claros. El 13.73% de las mujeresson rubias. El 42% de las personas son hombres de ojos oscuros. El 41% de las personasno es mujer ni tiene cabello rubio ni ojos claros.Calcule la probabilidad de una persona tomada al azar:

a) Sea una mujer rubia de ojos claros.b) Tenga cabello negro y ojos claros.c) Sea un hombre rubio de ojos oscuros.

Resolucin:Comencemos definir los sucesos y organizar los datos:R: que una persona sea rubiaC: que una persona tenga ojos clarosM: que una persona sea mujerP(R) = 0.11P(M) = 0.51P(C) = 0.16P(C/R) = 0.5455P(R/M) = 0.1317P(CC MC) = 0.42P(CC RC MC) = 0.41

Como el problema es complicado, conviene que hagamos un grfico y vayamoscompletando los valores a medida que los obtenemos:

Vemos que, con 3 sucesos, E queda dividido en 23 = 8 regiones.De las 8 regiones, el nico dato que conocemos que abarca a unasola regin es P(CC RC MC) = 0.41

Por propiedades de conjuntos, como vimos en los ejemplosanteriores,P(CC MC) = P(CC MC R) + P(CC MC RC)con lo cual P(CC MC R) = 0.01. El grfico queda:

Ahora observemos que en R hay 4 regiones, y tambin tenemos 4 datos:P(R) = 0.11P(CC MC R) = 0.01P(C/R) = 0.5455P(R/M) = 0.1317

De las dos condicionales podemos obtener:P(C R) = P(C/R) . P(R) = 0.06P(R M) = P(R/M) . P(M) = 0.07

Podemos escribir a R como R = RCM RCCM RCMC RCCMCPor propiedades de conjuntos, RCM RCMC = RC, con lo cualR = RC RCCM RCCMCCon lo cual P(R) = P(RC RCCM RCCMC)Como esos 3 subconjuntos de R son disjuntos, entonces:P(R) = P(RC) + P(RCCM) + P(RCCMC)Y sabemos que P(R) = 0.11, P(RC) = 0.06 y P (RCCMC) = 0.01Por lo tanto, P(RCCM) = 0.04Y luego P(RCM) = P(RM) - P(RCCM) = 0,03Con lo cual encontramos la probabilidad que nos pedan en a), yel grfico nos queda:

Ahora vamos a aplicar la frmula para la suma de 3 sucesos:P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)En este caso queda:P(R) + P(M) + P(C) - P(R M) - P(R C) - P(M C) + P(R M C)Y sabemos que esta suma da 1 - 0.41 = 0.59El nico valor que no conocemos es P(M C). Lo despejamos:

P(M C) = P(R) + P(M) + P(C) - P(R M) - P(R C) + P(R M C) - 0.59P(M C) = 0.11 + 0.51 + 0.16 - 0.06 - 0.07 + 0.03 - 0.59P(M C) = 0.09De donde obtenemos P(M C RC) = P(M C) - P(M C R) = 0.06

Y ya podemos obtener directamente los dos valores que faltan para completar el grfico:P(C MC RC) = P(C) - P(C MC R) - P(C M R) - P(C M RC)P(C MC RC) = 0.16 - 0.03 - 0.03 - 0.06 = 0.04P(M CC RC) = P(M) - P(M CC R) - P(M C R) - P(M C RC)P(M CC RC) = 0.38 - 0.04 - 0.03 - 0.06 = 0.38

El grfico queda:

En b) nos piden la probabilidad de que una persona tenga cabello negro y ojos claros. Esoes P(C RC) = P(C RC M) + P(C RC MC) = 0.06 + 0.04 = 0.1

En c) nos piden P(R CC MC) = 0.01

4) En una ciudad hay un 60% de mujeres. El 25% de las personas tiene ojos claros. El30% de las mujeres tiene ojos claros. Qu porcentaje de los hombres tiene ojos oscuros?

Resolucin:Podramos tomar los eventos:M: ser mujerC: tener ojos clarosY proceder exactamente igual que en el problema 2, en cuyo caso estaramos buscando: P(CC / MC)Sin embargo, vamos a hacer un planteo un poco diferente, con el objeto de mostrar unmtodo ms general para un tipo de problema que veremos ms adelante.Tomaremos los eventos:M: ser mujerH: ser hombreC: tener ojos claros

O: tener ojos oscurosY estamos buscando: P(O / H)

Comenzaremos por hacer el siguiente esquema:M H

CO

En las 4 posiciones centrales, colocaremos las probabilidades de los 4 casos posibles (M C, M O, H C, H O). En las 4 posiciones perifricas, colocaremos lasprobabilidades propias de cada uno de los sucesos M, H, C y O. Ms adelanteestudiaremos estas ltimas probabilidades con el nombre de "probabilidades marginales". Veamos qu datos nos dan:P(M) = 0,6P(C) = 0,25P(C/M) = 0,3Nos piden:P(O/H)Agregamos los 2 primeros datos al grfico:

M HC 0.25O

0.6Observemos que los hemos colocado en las posiciones perifricas.Adems, como sabemos que una persona slo puede tener ojos claros u ojos oscuros,entonces P(C) + P(O) = 1, con lo cual P(O) = 0.75. Anlogamente, P(M) + P(H) = 1, conlo cual P(H) = 0.4.

M HC 0.25O 0.75

0.6 0.4El tercer dato nos dice:P(C/M) = 0,3Por la definicin de probabilidad condicional, podemos escribir: P C /M =P CM

P M =0 .3

, con lo cual: P CM =P M .P C /M =0,6 . 0,3=0,18Eso nos da el valor de una de las intersecciones, y las intersecciones son las que estn enel centro del grfico. Coloquemos el valor que acabamos de obtener:

M HC 0.18 0.25

O 0.750.6 0.4

Notemos que el porcentaje de personas con ojos claros ser el porcentaje de mujeres conojos claros ms el porcentaje de hombres con ojos claros. Entonces:P(C) = P(C M) + P(C H)Con lo cual:P(C H) = P(C) - P(C M) = 0.25 - 0.18 = 0.07Se ver un mejor acercamiento a ese planteo, en la seccin "probabilidad total" de estemismo captulo.Anlogamente, el porcentaje de mujeres ser el porcentaje de mujeres con ojos claros msel porcentaje de mujeres con ojos oscuros. Entonces:P(M) = P(M C) + P(M O)Con lo cual:P(M O) = P(M) - P(M C) = 0.6 - 0.18 = 0.42Completando el grfico:

M HC 0.18 0.07 0.25O 0.42 0.33 0.75

0.6 0.4Slo resta aplicar una vez ms el mismo razonamiento anlogo para calcular todas lasprobabilidades. Podemos plantear "el porcentaje de hombres es el porcentaje de hombrescon ojos claros, ms el porcentaje de hombres con ojos oscuros" o bien "el porcentaje depersonas con ojos oscuros es el porcentaje de mujeres con ojos oscuros ms el porcentajede hombres con ojos oscuros".Si hacemos el primero, nos queda:P(H) = P(H C) + P(H O)Con lo cual:P(H O) = P(H) - P(H C) = 0.4 - 0.07 = 0.33

Tambin sabemos que como los 4 casos M C, M O, H C, H O son todos los casosposibles, entonces la suma de sus probabilidades debe dar 1.P(M C) + P(M O) + P(H C) + P(H O) = 1Con lo cual:P(H O) = 1 - P(M C) - P(M O) - P(H C) = 1 - 0.18 - 0.42 - 0.07 = 0.33

Luego P O/H =P OH P H

=0 .330 . 4

=0,825

Lo cual indica que el 82,5% de los hombres tiene ojos oscuros.

5) Las revistas pueden estar en castellano, en ingls o en portugus. En cierto puesto dediarios, el 90% de las revistas est en castellano y el 2% est en portugus. El 80% de lasrevistas de computacin est en castellano. El 30% de las revistas es de computacin. Siuna revista est en portugus, hay una probabilidad 0,4 de que sea de computacin. Cules la probabilidad de que tomando una revista al azar, est en ingls y no sea decomputacin?

Resolucin:Observemos que este problema es como el anterior, pero en vez de ser de 2x2 es de 3x2.Planteamos el mismo tipo de diagrama que en el ejemplo anterior:

Castellano Ingls PortugusComputacinNo comput.

Los datos son:P(castellano) = 0.9P(portugus) = 0.02P(computacin) = 0.3P(castellano / computacin) = 0.8P(computacin / portugus) = 0.4Y nos piden:P(ingls computacin)Colocamos los 3 primeros datos:

Castellano Ingls PortugusComputacin 0.3No comput.

0.9 0.02Tambin sabemos que P(no comput) = 0.7 porque como es el negado de un suceso, suprobabilidad es 1 menos la probabilidad del suceso. Visto de otra forma, P(computacin)+ P(no computacin) = 1.Anlogamente, como las revistas tienen que estar necesariamente en uno de los 3 idiomas,entonces P(castellano) + P(ingls) + P(portugus) = 1=> P(ingls) = 1 - 0.9 - 0.02 = 0.08

Castellano Ingls PortugusComputacin 0.3No comput. 0.7

0.9 0.08 0.02

Por el teorema de la probabilidad condicional:P(castellano / computacin) = 0.8 => P(castellano computacin) = 0.8 . 0.3 = 0.24

P(computacin / portugus) = 0.4 => P(computacin portugus) = 0.4 . 0.02 = 0.008Castellano Ingls Portugus

Computacin 0.24 0.008 0.3No comput. 0.7

0.9 0.08 0.02

Luego, por las propiedades ya estudiadas:P(castellano) = P(castellano computacin) + P(castellano no computacin) => P(castellano no computacin) = 0.9 - 0.24 = 0.66Y anlogamente completamos el resto del cuadro.

Castellano Ingls PortugusComputacin 0.24 0.052 0.008 0.3No comput. 0.66 0.028 0.012 0.7

0.9 0.08 0.02

Luego la probabilidad pedida es P(ingls computacin) = 0.052

6) En una caja hay 40 bolitas: 10 negras, 10 blancas, 10 rojas y 10 verdes. Se sacan 4bolitas (sin reposicin). Cul es la probabilidad de que las 4 bolitas extradas sean decolores distintos?

Resolucin:Hay 2 formas de resolver este problema: una es mediante multiplicando probabilidades,como ya se vio, y la otra mediante la definicin de Laplace y el clculo combinatorio,como se ver ms adelante. Aqu resolveremos el problema de la primera forma.Podemos pensar el problema as: sacar 4 bolitas de colores distintos, es como sacarprimero una bolita cualquiera (no importa el color), y luego sacar una segunda bolita (quesea de color distinto a la primera), y luego que la tercera sea de color distinto a la primeray la segunda, y luego que la cuarta sea de color distinto a las 3 primeras. Podramos tomarlos siguientes sucesos:A: que cuando saque la segunda, el color sea distinto al de la primera.B: que cuando saque la tercera, el color sea distinto al de la primera y la segunda.C: que cuando saque la cuarta, el color sea distinto al de las 3 primeras.Y luego podemos buscar P(A B C). Si llamamos D = A B, entonces podemosescribir:P(A B C) = P(C D) = P(C / D) . P(D)P(D) = P(B A) = P(B / A) . P(A)

Ahora analicemos:

Si hay 10 bolitas de cada color, entonces sin importar de qu color sea la primera quesaquemos, quedarn 9 del mismo color, y 30 de otros colores. Entonces cuando saquemosla segunda bolita, nos quedarn 30 bolitas favorables, entre un total de 39 bolitas.Entonces la probabilidad de que la segunda bolita sea de un color distinto al de la primeraes P(A) = 30/39.Luego sacar la segunda bolita, y suponiendo que fue de un color distinto al de la primera,nos quedarn en la caja 38 bolitas, de las cuales 9 sern del color de la primera, 9 serndel color de la segunda y 20 sern de los 2 colores que todava no salieron. Entonces laprobabilidad de que la tercera bolita sea de color distinto al de las 2 primeras, suponiendoque las 2 primeras fueron de colores distintos, no es otra cosa que la probabilidad de Bdado A, y como quedan 20 bolitas favorables de en un total de 38, vale P(B / A) = 20/38.Con esto ya hemos calculado P(D), porque segn habamos determinado antes, vala:P(D) = P(B / A) . P(A) = 20/38 . 30/39

Usando el mismo razonamiento anterior, si suponemos que las primera 3 bolitas extradasfueron de distintos colores, entonces quedan 37 bolitas, de las cuales 9 son del color de laprimera, 9 del color de la segunda, 9 del color de la tercera, y 10 del color que no sali.Entonces la probabilidad de que la cuarta bolita sea de color distinto al de las 3 primeras,suponiendo que las 3 primeras fueron de colores distintos, no es otra cosa que laprobabilidad de C dado D, y como quedan 10 bolitas favorables de en un total de 37, valeP(C / D) = 10/37.Y con esto ya hemos calculado P(A B C), porque segn habamos determinadoantes, vala:P(A B C) = P(C / D) . P(D) = 30/39 . 20/38 . 10/37 = 0.10942

Tambin, sin salirnos del modelo de sucesos sucesivos, podemos pensar el problemacomo un rbol. Sacamos la primera bolita (de cualquier color) y queda:

Y as, multiplicamos 30/39 . 20/38 . 10/37, con lo cual obtenemos el mismo resultado. Porltimo, recordemos que un grfico slo sirve para mostrar informacin, no parajustificarla. Para justificar este resultado, debemos emplear probabilidad condicional.

7) Se tienen en una urna 2 bolas negras, 3 blancas y 4 rojas. Calcule la probabilidad deque al sacar 3 bolas sin reposicin

a) sean 3 blancasb) la primera sea blanca, la segunda negra, y la tercera rojac) sea una de cada color

Resolucin:a)A: la primera bola es blancaB: la segunda bola es blancaC: la tercera bola es blancaSe pide: P(A B C)Lo cual como vimos antes se puede escribir como:P ABC =P A P B A P C ABAnlogamente a como procedimos antes:Tenemos 9 bolas (2 negras, 3 blancas, 4 rojas)Luego P(A) = 3/9Si sacamos una blanca (es decir, nos metemos en el espacio muestral en el cual se asumeque se sac una bola blanca) tenemos 8 bolas (2 negras, 2 blancas, 4 rojas)

Luego P(B/A) = 2/8Si sacamos otra blanca (es decir, nos metemos en el espacio muestral en el cual se asumeque se sacaron dos bolas blancas) tenemos 7 bolas (2 negras, 1 blanca, 4 rojas)Luego P(C / AB) = 1/7Luego, P(A B C) = 6/504 = 0,0119

b)Este ejercicio es muy similar al anterior. Planteamos:A: la primera bola es blancaB: la segunda bola es negraC: la tercera bola es rojaSe pide: P(A B C)P ABC =P A P B A P C ABAnlogamente a como procedimos antes:Tenemos 9 bolas (2 negras, 3 blancas, 4 rojas)Luego P(A) = 3/9Si sacamos una blanca (es decir, nos metemos en el espacio muestral en el cual se asumeque se sac una bola blanca) tenemos 8 bolas (2 negras, 2 blancas, 4 rojas)Luego P(B/A) = 2/8Si sacamos una negra (es decir, nos metemos en el espacio muestral en el cual se asumeque se sacaron una blanca y una negra) tenemos 7 bolas (1 negra, 2 blancas, 4 rojas)Luego P(C / AB) = 4/7Luego, P(A B C) = 24/504 = 1/21

c)Si pensamos este problema como un rbol de los que vimos antes, tenemos un diagramaen el cual de cada punto salen 3 opciones (negra, blanca, roja). Si vamos a considerar lasformas posibles de sacar 3 bolitas, tendremos 3.3.3 = 33 = 27 formas posibles.Las formas posibles de sacar 3 bolitas de distintos colores son 3.2.1 = 6 (primero tenemos3 colores disponibles, luego 2, luego slo 1). Entonces la probabilidad que nos piden es lasuma de 6 caminos, de los 27 que el rbol tiene en total. Vemos que lo que nos pedan ena) y en b) eran simplemente 2 caminos de los 27 que hay.Por lo tanto una de las formas de hallar la probabilidad pedida en c) (ms adelanteveremos otras) es sumando 6 ramas del rbol, cada una de las cuales se obtiene como enlos dos puntos anteriores. Entonces:P(negra, luego blanca, luego roja) = 2/9 . 3/8 . 4/7 = 24/504 = 1/21P(negra, luego roja, luego blanca) = 2/9 . 4/8 . 3/7 = 1/21P(blanca, luego negra, luego roja) = 3/9 . 2/8 . 4/7 = 1/21

P(blanca, luego roja, luego negra) = 3/9 . 4/8 . 2/7 = 1/21P(roja, luego blanca, luego negra) = 4/9 . 3/8 . 2/7 = 1/21P(roja, luego negra, luego blanca) = 4/9 . 2/8 . 3/7 = 1/21Luego la respuesta es 6/21 = 2/7No deja de ser llamativo que las 6 ramas hayan dado lo mismo. Esto es porque en realidadel problema puede ser visto de forma mucho ms simple. Dicha forma ser estudiada msadelante. Pero esta solucin se ofrece porque es mecnica, funciona siempre, se puedeprogramar, y no da lugar a equivocaciones.

El siguiente material se encuentra en etapa de correccin y no deber serconsiderado una versin final.Alejandro D. Zylberberg Versin Actualizada al: 4 de mayo de 2004 IndependenciaDos sucesos son independientes si el hecho de conocer que ocurri uno de ellos no afectala probabilidad de que ocurra el otro.

Consideremos por ejemplo los siguientes sucesos:

A: Argentina le gana hoy a Brasil en el partido de ftbolB: Esta noche hay luna llena

C: Sube el precio de los autos nuevosD: Se reduce la cantidad de gente que compra autos nuevos

Dijimos que dos sucesos son independientes si el hecho de conocer que ocurri uno deellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.Hoy Argentina y Brasil jugarn un partido de ftbol, y con nuestro conocimientofutbolstico llegamos a la conclusin de que la probabilidad de que Argentina le gane hoya Brasil es de 0,6.En ese momento miramos por la ventana y nos damos cuenta de que hoy hay luna llena.Eso modificar nuestra creencia de que la probabilidad de que Argentina le gane a Brasiles 0,6? Es decir, la probabilidad de que gane Argentina en una noche que hay luna llena,podramos decir que es distinta de la probabilidad de que gane Argentina en una nochecualquiera? Probablemente no, a menos que seamos expertos en astrologa y sepamosque los astros afectan el desempeo de los futbolistas de distintos pases.Dicho de otra forma, P(A) = 0,6 y adems P(A/B) = 0,6 (porque el hecho de saber queocurri B no afecta la probabilidad de que ocurra A).Vemos que P(A) = P(A/B) es una forma matemtica de expresar lo que dijimos antes deque dos sucesos son independientes si el hecho de conocer que ocurri uno de ellos noafecta la probabilidad de que ocurra el otro.Supongamos que la historia hubiera sido distinta: Sabemos que la cuarta parte de los dashay luna llena, y entonces P(B) = 0,25. Si alguien nos pregunta: cul es la probabilidadde que el 26 de abril de 1982 haya habido luna llena?, responderemos: 0,25. Luego lapersona nos dice: Ests seguro? Mir que ese da Argentina le gan a Brasil.Modificaremos entonces nuestra respuesta? Probablemente no, a menos que a la luna leguste ponerse llena cuando Argentina le gana a Brasil.

Dicho de otra forma, P(B) = 0,25 y adems P(B/A) = 0,25 (porque el hecho de saber queArgentina le gan a Brasil no afecta la probabilidad de que haya habido luna llena).Observamos entonces que en este ejemplo tambin vale P(B) = P(B/A). Y si hacemos lascorrespondientes cuentas, tambin veremos que se verifica P(A B) = P(A) . P(B)Daremos a continuacin la definicin y luego demostraremos las equivalencias:

Dos sucesos A, B son independientes

P(A/B) = P(A)

P(B/A) = P(B)

P(A B) = P(A) . P(B)

Verificaremos las equivalencias:Si se cumple P(A/B) = P(A), aplicamos la definicin de probabilidad condicional del ladoizquierdo y nos queda: P(A B) / P(B) = P(A), luego P(A B) = P(A) . P(B)Si pensamos el P(A B) como P(B A) y aplicamos nuevamente la definicin deprobabilidad condicional del lado izquierdo, nos queda P(B/A) . P(A) = P(A) . P(B), luegoP(B/A) = P(B), con lo cual verificamos la equivalencia de las 3 expresiones.

Pasando a los sucesos C y D, an sin saber mucho de economa nos imaginamos que debehaber una cierta relacin entre los precios y la cantidad de compradores. No nos resultaraextrao que la probabilidad de que se reduzca la cantidad de compradores de autos nuevosen un pas donde ha aumentado el costo de los autos nuevos sea mayor que en un pascualquiera en el cual no sabemos si aument o no aument el costo de los autos nuevos.Supongamos que del anuario de la sociedad internacional de automviles sacamos lossiguientes datos:En el ao 1995, en el 25% de los pases se redujo la cantidad compradores de autosnuevos. En el 30% de los pases subi el costo de los autos nuevos. Y en el 80% de lospases en los cuales subi el costo, baj la cantidad de compradores. Es decir:P(D/C) = 0,8P(D) = 0,25P(C) = 0,3Vemos que P(D/C) P(D) por lo tanto los sucesos C y D no son independientes, por lotanto tampoco se cumplen las otras dos definiciones y entonces P(C/D) P(C) y tambinP(C D) P(C) . P(D)A continuacin hagamos los diagramas de Venn de los dos ejemplos dados:

Independientes(se cumplen las definiciones)

No independientes(no se cumplen las definiciones)

Casos especiales de dependencia

Sucesos disjuntos:Si los sucesos son disjuntos, el hecho de que ocurra uno implica que el otro no ocurre. Esdecir, en el caso de que sean disjuntos, el hecho que un suceso ocurra no solamente afectala probabilidad de que el otro ocurra, sino que adems la hace directamente cero. Por lotanto los sucesos son fuertemente dependientes.Si el suceso R es que una persona sea rubia y el suceso M es que sea morocha, R M =, y por lo tanto si se sabe que una persona es rubia la probabilidad de que sea morochaes cero y tambin si se sabe que una persona es morocha, la probabilidad de que sea rubiaes cero. Vemos que por tratarse de sucesos disjuntos, el hecho de que ocurra uno hace quela probabilidad no solamente sea afectada sino que adems la hace valer cero.

Un suceso incluido en otro:Si un suceso est includo en otro, al ocurrir el de adentro necesariamente ocurretambin el de afuera. Es decir, el hecho de que haya ocurrido el de adentro modificala probabilidad de que ocurra el de afuera, y de hecho la hace uno.Si el suceso N es haya nubes un determinado da haya nubes y el suceso L es que llueva,notamos que L N. El hecho de saber que un da llovi hace que la probabilidad de quehaya habido nubes sea 1, con lo cual el hecho de saber que ocurri L afecta laprobabilidad de N. Y tambin el hecho de saber que hubo nubes no necesariamenteimplicar que llueva, pero en general afectar la probabilidad de que llueva, porquerecordemos que aceptar que hay nubes implica meterse en un espacio muestral en elcual hay nubes, y por lo tanto todas las probabilidades se modifican porque deben estarreferidas al nuevo espacio muestral.

Visualicemos estos ejemplos mediante diagramas de Venn:

No independientesLos sucesos disjuntos no pueden ser

independientes.

No independientesSi un suceso est includo en otro no pueden

ser independientes

Independencia de los complementos

Dados dos sucesos A, B:A, B indep. A, BC indep. AC, B indep. AC, BC indep.La justificacin es simple, si el hecho de que ocurra A no afecta la probabilidad de B,entonces tampoco afecta la probabilidad de que no ocurra B.Por ejemplo si se sabe que los sucesos:A: Argentina le gana hoy a Brasil en el partido de ftbolB: Esta noche hay luna llenason independientes, y se tiene el suceso:X: Esta noche no hay luna llenaSon A y X independientes? S, porque X = BC, y si A y B son independientes, A y BCtambin lo son. Dicho de otro modo, si el hecho de que gane Argentina no afecta laprobabilidad de que haya luna llena, tampoco afecta la probabilidad de que no haya lunallena. Y tampoco por ejemplo, si la probabilidad de que haya luna llena no afecta laprobabilidad de que gane Argentina, tampoco afecta la probabilidad de que no ganeArgentina.

Problemas tpicos

1) Indique qu puede afirmar acerca de la independencia de los siguientes pares desucesos:

a) Que al tirar una moneda y un dado salga cara en la moneda y 3 en el dado.b) Que la clase sea buena y que los alumnos entiendan.c) Que una lata de arvejas pese ms de 200 g y que contenga ms de 300 arvejas.d) Que llueva y que suene el telfono en los prximos 5 minutos.e) Que llueva y que haya nubesf) Que un nmero sea par y que ese mismo nmero sea imparg) Que al tirar una moneda y un dado salga cara en la moneda y NO salga 3 en eldado.

Haga las aclaraciones que considere necesarias.

Resolucin:

a) Podemos suponer que son independientes, porque no parece que si ocurre una cosa sevea afectada la probabilidad de que ocurra la otra.

b) Podemos suponer que no son independientes, porque la probabilidad de que losalumnos entiendan si la clase fue buena debe ser mayor que si no lo fue, y visto de otromodo, si los alumnos entendieron, la probabilidad de que la clase haya sido buena debeser mayor que si los alumnos no entendieron.

c) Podemos suponer que no son independientes, porque hay una relacin entre el peso dela lata y la cantidad de arvejas que contiene, y como los sucesos "la lata pesa ms de 200g" y "la lata contiene ms de 300 arvejas" son condiciones impuestas sobre esascantidades relacionadas, no pueden ser independientes.

d) Podemos suponer que son independientes. En principio no hay ninguna relacin entreuna cosa y la otra. Pero si tuvisemos ms informacin (por ejemplo, que una ta siemprenos llama para recordarnos que cerremos las ventanas porque que se ha largado a llover)nuestra respuesta podra ser diferente, porque en ese caso el hecho de que ha comenzado allover incrementa la probabilidad de que suene el telfono en los prximos 5 minutosporque puede ser la ta avisndonos que est lloviendo.

e) No son independientes, porque uno est includo en otro.

f) No son independientes, porque son disjuntos.

g) Los suponemos independientes por las mismas razones que en a), o tambin porque elsuceso del dado es el complemento de un suceso que era independiente del de la moneda,entonces tambin es independiente.

2) Determinar si los sucesos A y B son independientes, de acuerdo a los siguientes datos:a) P(A) = 0,3 ; P(B) = 0,2 ; P(A B) = 0,05b) P(A BC) = 0,1 ; P(A B) = 0,2 ; P(A/B) = 0,3

Resolucin:a) P(A) . P(B) = 0,3 . 0,2 = 0,06 0,05 = P(A B), por lo tanto no son independientesb) P(A BC) + P(A B) = P(A) = 0,3 = P(A/B), por lo tanto son independientes

3) Si la probabilidad de que hoy llueva es 0.2 y la probabilidad de que hoy se me acabe latinta de la lapicera es 0.6, calcule la probabilidad de que:

a) llueva y se me acabe la tintab) llueva y no se me acabe la tintac) no llueva y no se me acabe la tinta

Aclare qu suposiciones debe hacer.

Resolucin:Debemos suponer que el suceso de que hoy llueva y el de que se me acabe la tinta sonindependientes (si no, no se podra resolver). Nos dicen que la probabilidad de que lluevaes 0.2, por lo cual la probabilidad de que no llueva es 0.8. Adems la probabilidad de quese acabe la tinta es 0.6, por lo cual la probabilidad de que no se acabe la tinta es 0.4.Resolvemos:

a) Sabemos que cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurransimultneamente es el producto de las probabilidades de que ocurran individualmente.Es decir, los sucesos A y B son independientes P(A B) = P(A) . P(B)Si tomamos A: "que llueva" y B: "que se me acabe la tinta" entonces:P(A B) = P(A) . P(B) = 0.2 . 0.6 = 0.12

b) Si A y B son independientes, entonces A y BC tambin lo son. Entonces vale:P(A BC) = P(A) . P(BC) = 0.2 . 0.4 = 0.8

c) Si A y B son independientes, entonces AC y BC tambin lo son. Entonces vale:

P(AC BC) = P(AC) . P(BC) = 0.8 . 0.4 = 0.32

4) Se tiran 2 dados honestos. Calcule la probabilidad de que:a) No salga ningn 1b) No salga ningn nmero impar.

Resolucin:a) Consideraremos a los dados independientes. Y entonces tomamos los sucesos:A: que no salga un 1 en el primer dado.B: que no salga un 1 en el segundo dado.Y queda:P(A B) = P(A) . P(B) = 5/6 . 5/6 = 0.694Tambin lo podramos haber pensado de acuerdo a lo que vimos cuando estudiamosmultiplicacin de probabilidades. Tomando los mismos sucesos A y B, lo que estamosbuscando es P(A B), lo cual segn vimos se puede escribir como P(A) . P(B/A). En estecaso particular, por considerarlos independientes, P(B/A) termina siendo P(B), y entoncesllegamos al mismo resultado que con el otro planteo es decir P(A) . P(B) = 0.694

b) Nuevamente los consideramos independientes. Y tomamos los sucesos:A: que no salga ningn nmero impar en el primer dado.B: que no salga ningn nmero impar en el segundo dado.Y queda:P(A B) = P(A) . P(B) = 3/6 . 3/6 = 0.25Aqu tambin podramos hacer el mismo razonamiento que antes.

5) La probabilidad de acertarle a un blanco en cada disparo es de 0.6. Cul es laprobabilidad de que, efectuando 5 disparos, se acierte el primero, se falle el segundo, seacierten el tercero y el cuarto, y se falle el quinto?

Resolucin:Si aplicamos el mismo enfoque que en los anteriores, asumiremos que los 5 intentos sonindependientes y haremos:A: acertar el primeroB: fallar el segundoC: acertar el terceroD: acertar el cuartoF: fallar el quinto

P(A