probabilidad y estadística

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPROFESORADO TÉCNICO

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1. MODELOS MATEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS

Un modelo es un esquema teórico, generalmente expresado en forma matemática, que representa una realidad compleja, y que se utiliza para facilitar su comprensión y estudiar su comportamiento. En consecuencia, el modelo de un evento se presenta en forma de ecuaciones matemáticas que relacionan a las variables que concurren en él.

Si la magnitud de las variables corresponde a un solo valor, o a un rango de valores, se dice que se trata de un modelo determinístico.

Si no es posible definir con exactitud el valor de la variable, o de las variables, será factible elaborar un modelo probabilístico.

Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho en proceso o por venir. SE dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible predecirlo con un nivel de confianza.

Al evento también se lo denomina suceso o fenómeno.

Generalmente, se simula el evento por un conjunto de variables relacionadas entre sí. Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre ellas.

Si las variables (una o varias de estas) no son predecibles con exactitud se dice que el evento es aleatorio.

Generalmente las variables representan atributos y propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos. De esta manera se dice que las variables tienen una magnitud.

Ejemplos

• Modelo determinístico: es el de la caída libre . Las condiciones de validez de este modelo de caída son: cuerpo puntual (suficientemente pequeño), la gravedad constante (cercano a la Tierra), sin aire ( en un tubo con vacío). En estas condiciones se podría predecir la altura a la que se desplaza un cuerpo transcurrido en un tiempo t.

• Modelo probabilístico (o estocástico): analizar los resultados posibles al lanzar una moneda y luego asignar con algún criterio la probabilidad de ocurrencia a dicha asignación. Este modelo está representado en esta distribución de probabilidades por los resultados posibles. Otros ejemplos pueden ser considerar una situación met``eorológica (cantidad de lluvia que caerá en una tormenta y en un lugar específico), cantidad de bacterias en un litro de leche, tiempo de duración de un herramienta agraria, etc.

¿Qué diferencia fundamental existe entre un modelo y otro?

El modelo determinístico usa consideraciones específicas para predecir resultados mientras el probabilístico usa las mismas consideraciones para especificar una distribución de probabilidades.

2. DEFINICIONES

a) Se llama espacio muestral asociado a una experiencia aleatoria al conjunto de todos los posibles resultados de la misma. Se designa con la letra E.

Un espacio muestral puede ser discreto (formado por puntos sueltos) o continuo. Los espacios discretos pueden tener un número finito o infinito de valores.


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Actividad propuesta

Determina el espacio muestral de cada experiencia aleatoria. Clasifica en discreto o continuo.

• Lanzar una moneda.• Lanzar un dado.• Lanzar dos dados.• Lanzar una moneda hasta que salga cara.

b) Se llama suceso a cualquier subconjunto de E.

Si E es un conjunto finito con n elementos, hay sucesos.

Los sucesos formados por un solo elemento se llaman sucesos elementales. También se consideran sucesos al conjunto total E (suceso seguro) y al conjunto vacío (suceso imposible).

Al conjunto de todos los posibles sucesos lo llamaremos S.

Ejemplo

Si jugamos a los dados podemos apostar por cualquiera de las seis caras. Pero también podemos apostar por “par” o por “mayor que 4”. Los conjuntos obtenidos son sucesos.

3. ÁLGEBRA DE SUCESOS

a) Operaciones con sucesos

Dados dos sucesos A y B, su unión , su intersección , su diferencia , son también sucesos.

El suceso se llama suceso contrario o complementario del suceso A.

Dos sucesos A y B disjuntos, es decir, tales que , se llaman incompatibles.

b) Como los sucesos pueden operarse unos con otros, obteniendo nuevos sucesos, se habla de Álgebra de sucesos. Y al conjunto de todos ellos, se llama ( sigma – álgebra)

Utilizando diagramas de Venn, el suceso seguro E lo representaremos como un rectángulo y los demás sucesos por medio de círculos. Los puntos interiores al círculo constituyen el suceso A; los exteriores forman el suceso contrario o complementario,

E

A


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• Unión

Dados dos sucesos A y B, se define el suceso A unión B ( ), como el suceso consistente en que se cumpla al menos uno de los dos, A o B (por lo tanto, también se cumple si se cumplen los dos a la vez).

• Intersección

Se define la intersección de los sucesos A y B como el suceso consistente en que se cumplan ambos A y B a la vez.

Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible , se llaman incompatibles. En caso contrario, los sucesos son compatibles.

Actividad propuesta

Sugiere ejemplos de sucesos incompatibles y compatibles.

• Diferencia

Dados dos sucesos A y B, se define el suceso diferencia como aquel que consiste en que se cumpla A pero no B.


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• Propiedades

Las más empleadas son las siguientes:

Actividad propuesta

Supongamos que hay dos tipos de semilla 1 y 2. Si A y B son los sucesos “ser comprador de la semilla 1” y “ser comprador de la semilla 2”. Analiza

4. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD

Al realizar un experimento aleatorio no hay seguridad del resultado que obtendremos: hay incertidumbre. Pues bien, la probabilidad es una medida de esa aleatoriedad.

• DEFINICIÓN DE LAPLACE

La regla de Laplace dice: “la probabilidad de un suceso A, se obtiene dividiendo el número de casos favorables al A entre el número total de casos posibles”.


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Este es un enfoque de la probabilidad a priori, y en él se supone que cada caso tiene la misma probabilidad de ocurrir.

• DEFINICIÓN A PARTIR DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS

Un segundo enfoque consiste en definir la probabilidad de un suceso a partir de un número muy grande de observaciones, de las cuales determinaremos la frecuencia relativa del suceso considerado.

A esta probabilidad la llamamos a posteriori, pues se establece después de haber realizado el experimento. Así, si un experimento se ha realizado n veces y en h de ellas se ha verificado el suceso A, decimos que:

Esta definición la analizaremos cuando veamos Estadística.

• DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD

Esta definición es más abstracta. Parte de unos principios que llamamos axiomas (aceptados como evidentes), a partir de los cuales se deducen las demás propiedades.

Sea E el conjunto de resultados posibles (espacio muestral) de un experimento aleatorio. Se llama función de probabilidad a cualquier función de P(E) en R que asigna a cada suceso A un número real P(A), cumpliendo los siguientes axiomas:

(1) Para cada suceso A, la probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1. Es decir:

(2)

(3) Si A, B son sucesos incompatibles:

o Algunas consecuencias:

(1)(2) Si , donde son sucesos incompatibles dos a dos ( ),

entonces:


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En particular, si se tiene

(3) Si el espacio muestral se descompone en sucesos elementales incompatibles, digamos

Entonces:

(4) Si A y B son dos sucesos cualesquiera,

Aclaración: un suceso es elemental cuando consta de un solo elemento.

Actividad propuesta

En una empresa productora de conservas hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 robos, B funciona en 8 de cada 10; y los dos a la vez lo hacen en 6 de cada 10 robos. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada caso de robo no funcione ninguna alarma?

5. ESPACIOS MUESTRALES EQUIPROBABLES

Sea E un espacio muestral que contiene n elementos, E = {a1, a2, a3,…., an}, si a cada uno de los elementos de E le

asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, p i por tener n elementos E, entonces estamos transformando

este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones:

• Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a

cero, pi 0.

• La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

• Dados dos sucesos A y B, la probabilidad de A condicionada por B, denotada por ) se define así:

Del mismo modo se define :


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De lo anterior se desprende que:

Actividad propuesta

Si en una clase de secundaria hay 19 muchachos (H) y 16 muchachas (M), y sabiendo que 4 chicos y 3 chicas son zurdos (Z), calcula las siguientes probabilidades:

a)b)

• Dos sucesos A y B son independientes si

En consecuencia, so dos sucesos son independientes se verifica que:

Este resultado es de gran utilidad cuando se repite varias veces un mismo experimento aleatorio.

Así, si, son sucesos independientes, entonces:

Actividad propuesta

Las probabilidades de que una planta A y otra B perduren en excelentes condiciones dentro de 25 años, son

0,8 y 0,85; respectivamente. Halla la probabilidad de que dentro de 25 años:

a) Vivan los dos.b) Ninguno viva.c) Viva uno de los dos.d) Viva sólo la planta B.

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