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UNIDAD 2
PROBABILIDAD
Universidad Mariano Gálvez
Estadística y probabilidad para Ingeniería
Sección B.
PRESENTA
DRA. EN ING. RITA VICTORIA DE LEÓN ARDÓN(R) DE LEÓN, 2016.
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Recomendaciones
1. Realizar práctica mediante distintos ejercicios
2.Trabajo en equipo
3. Estudio independiente
4. Lecturas complementarias
(R) DE LEÓN, 2016.
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INCERTIDUMBRE
• Falta de seguridad, de confianza o de
certeza sobre algo.
• La imperfección en el conocimiento
sobre el estado o los procesos de la
naturaleza.
(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD
• Un marco conceptual para manejar la
incertidumbre.
• Supone la existencia de información perfecta.
• La probabilidad es un método por el cual se
obtiene la frecuencia de un acontecimiento
determinado mediante la realización de
experimentos aleatorios, de los que se
conocen todos los resultados posibles, bajo
condiciones suficientemente estables.(R) DE LEÓN, 2016.
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Espacio muestral
Experimento
(R) DE LEÓN, 2016.
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EXPERIMENTO
•Algo que pasa, ejemplo: tirar un dado.
(R) DE LEÓN, 2016.
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ESPACIO MUESTRAL: LISTA DE TODO LO QUE PUEDE PASAR
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
E
1
2
3
4
5
6
J
.
.
.
.
.
.
.M(R) DE LEÓN, 2016.
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TIPOS DE ESPACIOS MUESTRALES
• Discretos: son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es
finito. Ejemplo: dados y monedas
• Continuos: espacios en donde el número de sucesos elementales es infinito.
Ejemplo: estatura, longitud de las olas del mar, temperatura.
(R) DE LEÓN, 2016.
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ESPACIO MUESTRAL DE UN DADO
(R) DE LEÓN, 2016.
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DIAGRAMAS DE ÁRBOL
(R) DE LEÓN, 2016.
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ESPACIO CONTINUO DE PROBABILIDAD
1
1
Ω = 𝑥, 𝑦 |0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1
(R) DE LEÓN, 2016.
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COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO
•No importa lo que pase voy a tener una de las salidas no
olvido a nadie.
MUTUAMENTE EXCLUYENTESSi un resultado se obtiene no se puede obtener otro.
(R) DE LEÓN, 2016.
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EVENTO •Subconjunto del espacio muestral.
Ω(R) DE LEÓN, 2016.
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AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
P(𝑬𝟏 ∪ 𝑨𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷(𝑬𝟐)
1) P(Ω)= 1
2) 0 ≤P(A) ≤1
3) Para dos eventos A1 y A2
independientes 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 = ∅
(R) DE LEÓN, 2016.
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LEY UNIFORME PARA DATOS DISCRETOS
• Todas las salidas tienen la misma probabilidad
𝑃(𝐴) =# 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
# 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜
(R) DE LEÓN, 2016.
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1
1
Ω = 𝑥, 𝑦 |0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1
P(x+y ≤ 𝟎. 𝟓) = (𝟏
𝟐)(𝟏
𝟐)(𝟏
𝟐) =
𝟏
𝟖
P(x,y)=(𝟎. 𝟓, 𝟎. 𝟑) = 𝟎
PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS
Área del triángulo
(R) DE LEÓN, 2016.
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4
3
2
1
1 2 3 4
Y
P(X,1)=(1,1) ó (1,2)=
P(x=1)=
P(x+y) impar=
P(min (x,y))=2x
(R) DE LEÓN, 2016.Que el mínimo de los dos pares de números sea igual a 2.
Ver donde esta la X para la respuesta.
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4
3
2
1
1 2 3 4
Y
P(X,1)=(1,1) ó (1,2)= 2/16
P(x=1)=4/16
P(x+y) impar=8/16
P(min (x,y))=5/16(R) DE LEÓN, 2016.
Que el mínimo de los dos pares de números sea igual a 2.
Ver donde esta la X para la respuesta.
X
X
X
X X
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Regla de suma
Regla de Multiplicación
Si A y B son eventos disjuntos
Si A y B son eventos independientes
Para cualquier evento
Reglas de probabilidad
Reglas I.
Reglas II.
Reglas III.
Reglas IV.
Reglas V.
Regla de complemento. Para cualquier evento A
Y
O
(R) DE LEÓN, 2016.
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EL ESPACIO MUESTRAL, A VECES ES MUY GRANDE Y HAY QUE USAR:
Permutaciones Combinaciones
Muestras con
orden y sin
reemplazo
Muestras
sin orden y
sin
reemplazo
(R) DE LEÓN, 2016.
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PERMUTACIÓN
• Un arreglo de un conjunto de objetos.
• Si importa el orden
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COMBINACIÓN
El número de combinaciones de n objetos
distintos tomados de k a la vez.
• Un arreglo de un conjunto de objetos.
• No importa el orden
(R) DE LEÓN, 2016.
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(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
• La probabilidad de que ocurra
un evento B cuando se sabe que
ya ocurrió algún evento A se
llama probabilidad condicional
y se denota con P (B|A). El
símbolo P(B|A) por lo general se
lee como “la probabilidad de
que ocurra B, dado que ocurrió
A”, o simplemente, la
probabilidad de B dado A.
(R) DE LEÓN, 2016.
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Carros
rojos Carros negros
Ω
25%defectuosos5%defectuosos
P(D|R)=0.25
P(D|N)=0.05
(R) DE LEÓN, 2016.
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(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
(R) DE LEÓN, 2016.
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Probabilidad= Funcione I o Funcione II o Funcionen ambos
I
II
Probabilidad=0.95+0.95-0.9025=0.9975(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
(R) DE LEÓN, 2016.
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(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD TOTAL
Partición un evento en
dos eventos mutuamente
excluyentesPartición de un evento en eventos
mutuamente excluyentes
(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD TOTAL
K=𝑷(𝑩 ∩ 𝑨)/P(A)
P(B|A)=𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)/P(A)
P(B|A´)=𝑃(𝐵 ∩ 𝐴´)/P(A´)
P(B|A´)P(A´)+P(B|A)P(A)= P(B)
? ?
(R) DE LEÓN, 2016.
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PROBABILIDAD TOTAL
(R) DE LEÓN, 2016.
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TEOREMA DE BAYES
P(A|B)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
(R) DE LEÓN, 2016.
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GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES
(R) DE LEÓN, 2016.