pró-reitoria de pós-graduação e pesquisa stricto … · obstáculos que foram aparecendo...
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Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Stricto sensu em educação Trabalho de Conclusão de Curso
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA TORNAR A AULA ESPAÇO
DE PROBLEMATIZAÇÃO, PESQUISA E CONSTRUÇÃO
Autora: Eliane Aparecida Martins Orientadora: Profª Drª Jacira da Silva Câmara
Brasília-DF 2009
ELIANE APARECIDA MARTINS
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA TORNAR A AULA ESPAÇO DE PROBLEMATIZAÇÃO, PESQUISA E CONSTRUÇÃO
Projeto de Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação da Universidade Católica de Brasília, como requisito parcial para a obtenção do Título de Mestre em Educação. Orientadora: Profª Drª Jacira da Silva Câmara
Brasília 2009
TERMO DE APROVAÇÃO
Dissertação de autoria de Eliane Aparecida Martins, intitulada “MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA TORNAR A AULA UM ESPAÇO DE PROBLEMATIZAÇÃO, PESQUISA E CONSTRUÇÃO”. Apresentada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Educação da Universidade Católica de Brasília, em 18 de junho de 2009, defendida e aprovada pela banca examinadora abaixo assinada:
___________________________________________ Profª Drª Jacira da Silva Câmara
Orientadora
__________________________________________
Prof. Dr. Afonso Celso Tanus Galvão Membro interno
_____________________________________________
Prof. Dr. Cristiano Alberto Muniz Membro externo
Brasília 2009
Dedico este estudo primeiramente a minha
mãe Zulmira e a meu pai Tirso pelo incentivo
ao estudo desde minha infância; sem o carinho,
a paciência e a dedicação de vocês dois eu não
chegaria até aqui.
Dedico também este trabalho ao meu
marido Geraldo pelo companheirismo e o
carinho. E finalmente dedico as minhas filhas
Izabela e Marina e ao meu filho Felipe, vocês
são maravilhosos e merecem a minha
homenagem. Eu amo todos vocês!
AGRADECIMENTO
Agradeço a Deus pela força espiritual que me sustentou durante essa trajetória de
estudo. Agradeço a Deus também pelo crescimento como pessoa humana ao transpor os
obstáculos que foram aparecendo durante o curso de mestrado.
Agradeço aos professores de modo geral que contribuíram muito para o meu
crescimento profissional. De maneira especial gostaria de agradecer a Profª Drª Jacira pelo
carinho e a gentileza em aceitar ser minha orientadora apesar de saber os problemas que iria
enfrentar. Obrigada Profª Drª Jacira pelos ensinamentos, pela paciência com os meus erros e
pelo bom exemplo de profissional comprometida com a educação.
Agradeço também aos examinadores Profº Dr. Afonso Galvão e ao Profº Dr. Cristiano
por terem aceitado o meu pedido.
Agradeço também as minhas colegas Denise, Jaqueline, Sandra e Marly pela força e
incentivo.
Agradeço de modo geral a todos que direta ou indiretamente contribuíram para que este
trabalho fosse realizado.
“... a escola não deve ser a oficina isolada onde
se prepara o indivíduo, mas o lugar onde, numa
situação real de vida, indivíduo e sociedade
constituem uma unidade orgânica.”
John Dewey
RESUMO
Esta pesquisa teve como objetivo analisar o processo de aplicação da Modelagem Matemática (MM) como método de ensino, em uma turma do 1º ano do Ensino Médio. Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo e dentro dessa abordagem foi utilizada a pesquisa participante. A escola escolhida é uma instituição pública estadual pertencente ao município de Posse localizado no estado de Goiás. A pesquisa foi desenvolvida em uma turma do turno vespertino com 26 alunos. A escolha da série e da turma seguiu os seguintes critérios: maior evasão escolar e menor desempenho dos alunos na disciplina de matemática. Os instrumentos de coleta de dados utilizados foram a entrevista semi-estruturada com a professora, o grupo focal com os alunos e a observação participante. O tema utilizado para aplicação da MM foi a construção de casa, a qual os alunos elaboraram planta baixa de casa, calcularam a quantidades de alguns materiais e fizeram levantamento de custos. Os modelos elaborados pelos alunos foram: planta baixa, fórmulas e tabelas. A coleta de dados referentes a utilização da Modelagem Matemática como método de ensino realizou-se em 38 aulas. Os resultados obtidos através da análise das informações demonstraram que a Modelagem Matemática é capaz de promover maior entendimento dos conteúdos através do trabalho de contextualização. Verificou-se também maior interação entre os alunos e o objeto de conhecimento. Essa maior interação também foi percebida entre os alunos e professora. Uma contribuição importante da MM foi a satisfação dos alunos em estudar matemática e conseguir promover mudanças nas concepções dos mesmos de que matemática é sempre difícil e cansativa. Essa satisfação resultou no aumento de interesse dos alunos em fazer as atividades e consequentemente aumentou a freqüência dos mesmos nas aulas de matemática. A maior dificuldade identificada na realização da MM foi a insegurança do professor, visto que, as atividades proposta eram novas para aquele contexto. O próprio professor declarou não acreditar, de início, nesta forma diferenciada de trabalhar matemática em sala de aula. Essa dificuldade foi superada conforme o professor percebia os bons resultados.
Palavras-chave: Modelagem Matemática. Ensino-aprendizagem da matemática.
Contextualização. Problematização.
ABSTRACT
This research had as a goal to analyze the process of application of the Mathematical Modeling (MM) as education method, in a group of 1st year of high school. It is about a research of qualitative matrix and inside of this approach, it has been used the participant. The chosen school is a state public institution in the city of Posse located in the state of Goiás. The research was developed in a group of 26 pupils in the evening class. The choice of the year class and group followed the following criteria: bigger school evasion and lesser performance of the pupils in disciplines of mathematics. The instruments of collection of the used data had been the interview half-structuralized with the teacher, the focal group with the pupils and the participant comment. The subject used for application of the MM was the house construction, which the pupils had elaborated a low house plan, had calculated the amount of some materials and had made survey of costs. The models elaborated by the pupils were low plan, formulas, and tables. The collection data referring to the use of the Mathematical Modeling as education method has fulfilled in 38 lessons. The results gotten through the analysis of the information had demonstrated that the Mathematical Modeling is capable to promote better understanding of the contents through the contextualization work. It has also been verified a bigger interaction among the pupils and the object of knowledge. This bigger interaction has been also perceived among the pupils and teacher. An important contribution of the MM was the satisfaction of the pupils in studying mathematics and being able to promote changes in the conceptions that mathematics is always difficult and tiring. This satisfaction resulted in the increase of interest of the pupils in making the activities and consequently increased their frequency in mathematics lessons. The biggest difficulty identified in achieving MM was the insecurity of the teacher, since the proposed activities were new to that context. The teacher himself stated not to believe, at fist, in this different way of working mathematics in the classroom. This difficulty was overcome as the teacher to see the good results.
Keywords: Mathematical modeling. Teach-learning of mathematics. Contextualization. Problematics.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Processo de aprendizagem via modelagem ............................................................. 35
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Instrumento de Pesquisa e Objetivos específicos contemplados......................... 46
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO................................................................................................................ 11
JUSTIFICATIVA............................................................................................................. 14
CAPÍTULO I – ELEMENTOS DA PESQUISA.......................................................... 16
1.1 PROBLEMA................................................................................................................ 16
1.2 OBJETIVOS................................................................................................................. 18
1.2.1 Objetivo Geral.......................................................................................................... 18
1.2.2 Objetivos Específicos................................................................................................ 18
1.3 REFERENCIAL TEÓRICO......................................................................................... 19
1.4 DEFINIÇÃO DE TERMOS......................................................................................... 22
CAPÍTULO II - REVISÃO DE LITERATURA............................................................ 24
2.1 ENSINO DA MATEMÁTICA..................................................................................... 24
2.2 O ENSINO DA MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA SÓCIO- CULTURAL
E HISTÓRICA. ................................................................................................................ 27
2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA COMO PROCEDIMENTO MATEMÁTICO........ 32
2.4 MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA DE ENSINO DA
MATEMÁTICA ......................................................... ........................................................ 33
2.5 MODELAGEM MATEMÁTICA EM UMA PERSPECTIVA CURRICULAR........... 39
CAPITULO III - REFERENCIAL METODOLÓGICO .............................................. 43
3.1 PARTICIPANTES ........................................................................................................ 43
3.2 INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS ............................................................ 44
3.2.1 Observação Participante.......................................................................................... 44
3.2.2 Grupo Focal ............................................................................................................. 45
3.2.3 Entrevista Semi-estruturada................................................................................... 46
3.3 COLETA DE DADOS ................................................................................................. 47
3.4 PROCEDIMENTOS .................................................................................................... 47
CAPITULO IV- RESULTADOS E DISCUSSÕES........................................................ 52
3.1 MUDANÇAS NAS CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA- ALUNOS........................ 52
3.2 O PROFESSOR E A MODELAGEM MATEMÁTICA............................................... 56
3.3 AS CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA REFERENTES AO
NÍVEL DE INTERESSE DOS ALUNOS .......................................................................... 62
CAPÍTULO V – CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................ 66
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 70
APÊNDICES .................................................................................................................... 78
APÊNDICE I – Roteiro para observação participante ...................................................... 78
APÊNDICE II – Roteiro da entrevista com o grupo focal (antes)..................................... 79
APÊNDICE III – Roteiro da entrevista com o grupo focal (depois) ................................ 80
APÊNDICE IV- Roteiro da entrevista semi-estruturada com a professora- antes da
aplicação da Modelagem Matemática ............................................................................... 81
APÊNDICE V – Roteiro da entrevista semi-estruturada com a professora- depois da aplicação
da Modelagem Matemática................................................................................................ 82
11
INTRODUÇÃO
De modo geral a educação nos últimos dois séculos vem sendo foco de pesquisa
particularmente nas áreas de Sociologia, Filosofia e Psicologia. Todo esse trabalho de
pesquisa parte da certeza de que o homem necessita refletir sobre o processo que envolve a
educação e contribuir com idéias ou teorias que possam melhorar a qualidade do processo
ensino-aprendizagem.
No Brasil a preocupação com a qualidade do ensino vem intensificando-se há algumas
décadas. O cenário atual da educação brasileira não é um dos melhores; segundo um órgão
oficial de avaliação do Ensino Fundamental e Médio o SAEB, o nível de aprendizagem dos
alunos das escolas públicas manifesta resultados insatisfatórios. Os jovens estão saindo das
escolas sem competências básicas como interpretar, calcular, argumentar, resolver situações-
problema, além de outros.
O ensino da matemática não foge dessa realidade, já que faz parte do processo
educacional. Não se pode negar que na última década, muitas idéias e propostas novas para
se trabalhar a matemática em sala de aula já chegaram à maioria das escolas através dos
PCNs- Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,1997). O livro didático também evoluiu,
abordando os conteúdos de forma mais contextualizada e interdisciplinar.
D’Ambrósio (1986), defende que o ensino da matemática deve ser trabalhado de
forma contextualizada; o professor deve acrescentar no planejamento de suas atividades
elementos do cotidiano dos alunos. O mesmo autor advoga que o professor deve tornar-se um
pesquisador e descobrir como a matemática é usada na cultura que rodeia a escola; ou melhor,
há uma certa matemática vivenciada no cotidiano e o professor pode pesquisar sobre essa
matemática e com isso planejar estratégias de ensino que proporcionem um conhecimento
eficaz. Essas idéias sobre contextualização, embora já conhecidas pela maioria dos
professores de matemática, ainda não fazem parte da sua prática em sala de aula. O resultado
das últimas provas do ENEM (2007) leva a crer que as metodologias de ensino,
principalmente da matemática priorizam a memorização sem significado, não promovem
conhecimento matemático de forma interdisciplinar e contextualizado.
Moysés (1997), em sua pesquisa referente ao ensino-aprendizagem de matemática,
baseada nas teorias de Vygotsky, deixa clara a importância da ação, ou seja, da atividade do
aluno, durante o processo de aprendizagem.
12
As pesquisas evidenciaram que aqueles métodos que mais favoreceram o
desenvolvimento mental são os que levam o aluno a pensar, que o desafiam a ir
mais além. São, sobretudo, aqueles que o levam a começar um processo por meio
de ações externas, socialmente compartilhadas, ações que irão, mediante o processo
de internalização, transformando-se em ações mentais. (MOYSÉS,1997, p.45)
A teoria sócio-histórica de Vygotsky (1984), transportada para o meio escolar, propõe
que, para chegar aos conceitos científicos (conteúdos escolares) primeiro tem-se que passar
pelos conceitos espontâneos. Portanto, é necessário verificar que conhecimento o aluno traz
de sua vivência no cotidiano, o que vai depender muito da interação professor-aluno.
Vygotsky (1984) ressalta a importância do trabalho mediador do professor; ele é o
responsável por articular metodologias adequadas e fazer que o conhecimento matemático
necessário chegue até os alunos. O papel do professor como mediador da instrução remete á
questão da formação deste e as concepções didáticas que ele tem sobre o ensino da
matemática. A construção do conhecimento mediante a interação entre professor e aluno
envolve aquilo que se denomina transposição didática (PAIS, 2001). Vez que o conhecimento
científico, tal como disseminado na academia e na universidade é inaccessível ao aluno de
níveis escolares elementares, lança-se mão da transposição didática com esse propósito. Pais
(2001) preconiza que cabe ao professor realizar a transposição didática, adequando o
conhecimento de matemática aos interesses e necessidades do aluno.
Trabalhar os conteúdos matemáticos de forma significativa, unir teoria e prática ou
buscar elementos na vivência do aluno não é uma idéia nova; alguns estudos já foram feitos
nesse sentido. Carraher, Carraher e Schliemann (2006) observaram a prática de profissionais
tais como mestres de obra, feirantes, pedreiros entre outros e compararam o conhecimento
daqueles profissionais com o de alunos de escolas públicas. O resultado desta pesquisa
demonstrou que os profissionais com escolarização inferior à dos estudantes acertavam mais
as respostas dos problemas contextualizados do que estes, apesar de os estudantes terem
maior capacidade de generalizar o conhecimento. Com isso, chegou-se à conclusão de que a
escola é um ambiente favorável ao desenvolvimento de modelos gerais de resolução de
problemas, superando o entendimento obtido na vida diária. No entanto, a experiência do
trabalho mostrou enriquecer os modelos com significado, tornando-os mais eficazes em sua
aplicação
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A pesquisa citada anteriormente contribuiu para novas reflexões sobre o trabalho
desenvolvido pelo professor de matemática. Nos anos 80 um procedimento matemática vindo
da Matemática Aplicada começa a ser pesquisado como método de ensino da mesma na
educação básica : Modelagem Matemática (MM). Segundo Biembengut (2003), esse método
propõe um ensino pela problematização; é uma oportunidade para os alunos indagarem sobre
situações envolvendo a matemática sem procedimentos fixados previamente e com
possibilidades diversas de encaminhamento. A MM como metodologia de ensino enseja a
criação de modelos matemáticos de situações-problema e a partir daí montar estratégias para
responder as perguntas.
Algumas pesquisas sobre Modelagem Matemática já foram feitas tendo como núcleo
de origem a UNESP-Rio Claro: Biembengut (1990), Burak(1987) e Monteiro (1991); os
resultados relatados são positivos. Trata-se de uma metodologia que pode auxiliar o professor
na transposição didática, criando situações nas quais o aluno gradativamente irá ter contato
com os conceitos da matemática, presentes no contexto cultural e com isso chegar às idéias
científicas que os sustentam. Mas, é importante ir mais além nestas pesquisas, principalmente
em relação à aceitabilidade por parte dos alunos e professores perante essa metodologia. Ou
seja, como a Modelagem Matemática pode alterar toda a rotina da sala de aula; por exemplo,
as ações dos alunos e dos professores, pois todos serão “pesquisadores”. Mudar as regras da
sala de aula e alterar a rotina pode trazer benefícios, dificuldades e até mesmo rejeições. As
percepções dos alunos e professores, os benefícios e dificuldades durante o processo da
Modelagem são elementos que precisam de mais pesquisa. Este estudo tem esta proposta e
quer de alguma forma contribuir para melhoria da qualidade do ensino de matemática.
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JUSTIFICATIVA
Toda preocupação com a qualidade do ensino, como já foi dito, não é algo novo, aliás,
tal preocupação reside também em saber qual a formação que a escola está oferecendo. A
sociedade de hoje requer jovens criativos, independentes, que saibam trabalhar em equipe e
que tenham competências básicas como ler, interpretar e calcular. Uma maneira de o Governo
investigar esta formação foi a criação do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio). Esta
avaliação, segundo INEP (2007), estrutura-se de modo a verificar se o participante é capaz de
ler e interpretar textos de linguagem verbal, visual (fotos, mapas, pinturas, gráficos, entre
outros) e enunciados. Além dessas competências citadas o ENEM pretende também verificar
se o jovem consegue: identificar e selecionar informações centrais e periféricas; inferir
informações, temas, assuntos, contextos; justificar e adequar interpretações; comparar os
códigos e linguagens entre si, além de outros processos cognitivos.
Para que haja essa formação plena, a educação deve alicerçar-se nos quatros pilares
propostos pela UNESCO (DELORS, 1996): aprender a aprender, aprender a ser, a aprender a
fazer e aprender a conviver. As metodologias de ensino de hoje devem privilegiar a
criatividade, a pesquisa, a resolução de situações-problema, o trabalho em grupo, a montagem
de estratégias e a tomada de decisão. A Modelagem Matemática pode ser uma alternativa para
contribuir na formação mais completa do aluno, por isso esse estudo traz informações sobre a
utilização da mesma.
A Modelagem Matemática poderia ser aplicada em qualquer fase do ensino; mas,
neste estudo ela foi investigada no ensino médio. Foi escolhida uma sala de aula onde existem
problemas referentes à evasão escolar e a passividade dos alunos. A Modelagem Matemática
traz uma proposta de trabalho partindo de elementos da realidade. Tudo começa pela
problematização de algum contexto e o aluno vai à busca das respostas elaborando modelos
matemáticos. Neste tipo de trabalho o aluno deve pesquisar e discutir idéias. No
desenvolvimento da Modelagem Matemática há a necessidade, na maioria dos casos, de
visitar os locais onde se originam os problemas. Como já foi dito, esta nova forma de
trabalhar os conteúdos em sala de aula exigirá mudanças de postura tanto do aluno como do
professor.
A importância dessa pesquisa se situa no fato de trazer mais dados sobre a aplicação
dessa metodologia, detectando dificuldades e benefícios. Este estudo coletou e analisou dados
sobre a aplicação da Modelagem Matemática em uma turma de baixo rendimento escolar e
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com evasão acentuada. A análise dos dados levantados nesta pesquisa, demonstrou as reais
contribuições da MM para problemas como o baixo nível de interesse dos alunos em estudar a
matemática.
16
CAPÍTULO I – ELEMENTOS DA PESQUISA
1.1 O PROBLEMA
A matemática como componente curricular só começa a aparecer no final do século
XIX. Segundo Aranha (1996), os conteúdos eram voltados para problemas aritméticos e nesse
período a matemática escolar deveria atender às necessidades do comércio; os alunos eram
treinados para fazer contas, pois futuramente iriam ajudar aos pais nos negócios.
Durante muito tempo os conteúdos aritméticos foram os únicos a serem trabalhados
nas escolas. As metodologias de ensino eram voltadas para a repetição e memorização. Por
causa dessas metodologias tradicionais, a matemática foi recebida desfavoravelmente pelos
alunos. Mas, o ensino da matemática ainda não tinha chegado ao seu pior momento. Segundo
os PCNs, a partir de um movimento chamado Matemática Moderna, por volta dos anos 60 foi
introduzido no Brasil um currículo de matemática importado dos Estados Unidos. Esse
currículo ficou marcado pela nova estrutura proposta que tinha a intenção de aproximar a
matemática escolar da matemática pura (BRASIL,1987).
Essa nova proposta de ensino defendia a idéia de que as aulas de matemática deveriam
trabalhar os conteúdos com rigor científico e não deixar essa missão somente para a
universidade. Os livros didáticos foram estruturados acompanhando essa idéia. Talvez pela
distorção das idéias na implantação desse movimento, a aprendizagem da matemática piorou e
contribuiu para tornar a matemática uma disciplina de difícil aceitação. Além de os conteúdos
serem totalmente abstratos, havia uma carga exagerada de álgebra sem demonstração de
aplicabilidade. As metodologias de ensino da matemática tinham como elementos básicos a
exposição oral do professor, a passividade dos alunos e a resolução de grande quantidade de
exercícios por meio da memorização. Nos anos 90, segundo os PCNs , a matemática atinge
índices elevados de reprovação e é apontada como uma das disciplinas responsáveis pelo alto
índice de evasão escolar. É importante ressaltar que os resultados do SAEB em 1993
demonstraram baixo índice no rendimento escolar.
A criação dos PCNs foi decorrente de muitos debates entre os educadores brasileiros,
oferecendo para o ensino brasileiro princípios e orientação gerais. Este documento trouxe para
o ensino da matemática, em particular, propostas para um novo trabalho em sala de aula. São
idéias revolucionárias, tais como: trabalhar os conteúdos matemáticos de forma
contextualizada e interdisciplinar; incluir a História da Matemática no ensino; Novas
Tecnologias em sala de aula; Temas Transversais (do cotidiano), entre outros. Com isso, os
17
livros didáticos melhoraram, trazendo os conteúdos matemáticos de forma contextualizada,
ensino através de jogos e resolução de problemas e menor quantidade de exercícios de
repetição.
Parece que até agora, conta-se um conto de fadas com final feliz, onde tudo mudou a
partir dos PCNs. Mas, a realidade mostra uma situação bem diferente na qual todas essas
propostas de mudanças não chegaram a sala de aula. Prova disso são os resultados do SAEB
de 2005 os quais não apresentaram progressos significativos no rendimento escolar,
principalmente em matemática. As médias de proficiência em matemática dos alunos do
ensino médio em 1995 foram de 281,9; após 10 anos, em 2005, essa média caiu para 271,3
(INEP,2008)
Os resultados do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) divulgados
pela OCDE (Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico) em 2007,
também revelam resultados negativos colocando o Brasil em 53º lugar. Participaram desta
avaliação 57 países. O Brasil obteve médias superiores apenas às de Quirguistão, Qatar e
Tunísia e semelhantes a Colômbia (INEP,2008).
Um dos motivos que pode estar contribuindo para este cenário negativo da educação é
a concepção tradicional no ensino da matemática decorrente, entre outros problemas do uso
inadequado de metodologias de ensino. As idéias novas podem estar chegando às escolas,
mas não estão sendo vivenciadas. As metodologias utilizadas não exploram a capacidade de
pensar e criar dos alunos os quais ainda estão acostumados a receber os conteúdos de forma
“mastigada” através de exposição oral. São métodos unilaterais da matemática tradicional
tratada na forma do trinômio: (a) definição seca; (b) o professor resolve, o aluno faz; (c) o
professor seleciona os tipos de exercício para serem resolvidos (PAIS,2001; PARRA & SAIZ,
1996). Essa instrução centrada em regras tem sido identificada pela pesquisadora em contatos
diretos com as escolas públicas de Ensino Fundamental e Médio, por meio da supervisão de
estagiários do curso de Licenciatura em Matemática. A pesquisadora, durante suas visitas
notou que há uma postura passiva por parte dos alunos os quais executam o que a professora
pede e não sabem, na maioria das vezes, porque estão estudando certos conteúdos.
Diante deste quadro que inquietava a pesquisadora, a mesma teve a idéia de aplicar
uma metodologia nova para aquele contexto escolar, que é a Modelagem Matemática. E fazer
dessa ação uma pesquisa, visto que, a Modelagem Matemática tem propostas de trabalhos
bem diferentes do que os estudantes estão acostumados. Segundo Biembengut (2003), a MM
como método de ensino promove em sala de aula um ambiente de pesquisa. Neste ambiente é
dado ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema retiradas do mundo real. Os
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alunos utilizam os conteúdos matemáticos para resolver as questões do referido problema e
constroem modelos que auxiliem nessa resolução. Os modelos matemáticos podem ser:
maquetes, tabelas, fórmulas, gráficos, entre outros. Diante de professores e alunos que
convivem com metodologias tradicionais, qual seria a reação e a aceitação dessa nova
proposta de trabalho? Quais as reais contribuições que a modelagem pode dar para o ensino-
aprendizagem da matemática? A Modelagem Matemática contribui para o aumento do
interesse pela matemática nos alunos? Qual o impacto das atividades de Modelagem nas
concepções de matemática dos alunos?
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
Investigar as bases conceituais e o processo de aplicação da Modelagem Matemática e
suas contribuições para a melhoria do ensino-aprendizagem da matemática de alunos do 1º
ano do Ensino Médio.
1.2.2 Objetivos Específicos
- Identificar possíveis mudanças nas concepções de matemática dos alunos que
vivenciaram a Modelagem Matemática;
- Identificar a opinião do professor quanto à utilização da Modelagem Matemática antes
e depois do emprego da mesma;
- Identificar as dificuldades na utilização da Modelagem Matemática por alunos e
professor;
- Identificar contribuições da Modelagem Matemática referente ao nível de interesse
dos alunos.
19
1.3 REFERENCIAL TEÓRICO
Há vários anos a aprendizagem é foco de pesquisa e muitas concepções e teorias
provenientes dessas pesquisas adentram aos ambientes escolares mudando toda a estrutura
pedagógica. Um movimento que influenciou muito com suas idéias e ainda tem seus reflexos
na atualidade escolar é o behaviorismo. Essas idéias incentivaram o ensino pelo treinamento,
repetição, estímulo e resposta. Por essa teoria qualquer pessoa poderia aprender qualquer
coisa de que seja capaz se colocada num tipo de atividade que a condicione para tal
(BIGGE,1977). Durante muito tempo acreditou-se em uma escola fechada onde a maioria dos
conteúdos escolares, principalmente os de matemática não tinham ligações com o mundo fora
da escola.
As últimas décadas testemunharam o acirramento das críticas contra a forma como a
escola vem trabalhando os conteúdos escolares. O desencadeamento das críticas deu lugar a
uma nova tendência em trabalhar os conteúdos escolares: a contextualização do ensino. Na
base dessa tendência revela-se uma forte influência do enfoque sócio-histórico da psicologia
de Vygotsky. Segundo Moysés (1997), na Educação Matemática esta aproximação com
enfoque sócio-histórico é marcada pelo Terceiro Congresso de Educação Matemática, na
Alemanha, em 1976. A partir desse encontro muitos debates e pesquisas surgiram com mais
intensidade sobre o ensinar e o aprender da matemática e sua relação com práticas sociais.
A teoria sócio-histórica de Vygotsky também irá nortear este trabalho. Mas qual é a
relação de Vygotsky com a Modelagem Matemática? Antes de responder essa pergunta faz-se
necessário conhecer alguns marcos da teoria sócio-histórica de Vygotsky: mediação, processo
de internalização, zona de desenvolvimento proximal e formação de conceitos.
Vygotsky (1984) coloca que o signo (instrumento psicológico por excelência) é o
responsável pela mediação não somente do pensamento, como do próprio processo social
humano. Ele inclui entre os signos empregados na comunicação humana a linguagem, os
vários sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os sistemas simbólicos algébricos, os
esquemas, diagramas, mapas, desenhos e todo o tipo de signos convencionais. O uso de tais
signos pelo homem modifica as suas próprias funções superiores. “O uso de signos conduz os
seres humanos a uma estrutura específica de comportamento que se destaca do
desenvolvimento biológico e cria novos processos psicológicos enraizados na cultura”
(VYGOTSKY, 1988, p.54).
O processo de internalização, ou seja, a passagem de elementos sociais do plano
externo para o plano interno, dos elementos psicológicos, é um dos pontos defendidos por
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Vygotsky em sua teoria. Nesta concepção ele deixa bem claro que toda função psicológica
interna foi antes uma função social. É através das interações com os elementos culturais da
vivência do indivíduo que esse processo acontece. A cada função psíquica internalizada
devido à interação social, corresponde uma nova reestruturação mental, implicando dizer, a
nova função irá interagir com outras já existentes e, dessa forma, ocorrerá uma nova
organização. Dessa maneira, a teoria de Vygotsky leva a crer que o aluno ao chegar à escola
traz todo um conhecimento que foi adquirido do seu convívio social. O professor não deve
desprezar essa informação, ao contrário, a partir desse conhecimento desenvolver outros.
A zona de desenvolvimento proximal (ZDP) apareceu nos estudos de Vygotsky devido
ao seu interesse em estudar as interações entre o aprender e o ensinar. A ZDP define aquelas
funções que ainda não amadureceram; que o indivíduo não consegue fazer sozinho sem ser
assistido por outra pessoa (professor). Pesquisas de Vygotsky e seus colaboradores levaram a
perceber que algumas tarefas que as crianças não conseguiam fazer sozinhas, com a ajuda de
adultos poderiam desempenhá-las. Essa constatação põe em relevo a importância do professor
em criar zonas de desenvolvimento proximal, forçando assim a internalização de funções
ainda não desenvolvidas.
[...] a aprendizagem não é, em si mesma, desenvolvimento, mas uma correta organização da aprendizagem da criança conduz ao desenvolvimento mental, ativa todo um grupo de processos de desenvolvimento, e esta ativação não poderia produzir-se sem a aprendizagem. Por isso a aprendizagem é um momento intrinsecamente necessário e universal para que se desenvolvam na criança essas características humanas não-naturais, mas formadas historicamente. (Vygotsky, 1988, p38).
Vygotsky em suas pesquisas sobre a ZDP estuda a formação de conceito. As
conclusões a que ele chegou originaram-se do confrontamento entre o conceito espontâneo e o
conceito científico. Os conceitos espontâneos são aqueles que o indivíduo traz consigo
decorrentes de sua vida social, em contatos diretos com objetos, fatos, fenômenos etc. Os
conceitos científicos, para Vygotsky (1987), são aqueles adquiridos através da prática
intencional e são sistematizados em ambientes escolares. Os dois tipos de conceitos estão
sempre em estreita ligação; há a necessidade de que o desenvolvimento do conceito
espontâneo alcance certo nível para que o conceito científico comece a ser absorvido pelo
aluno. Nesta relação entre os dois conceitos ocorre uma movimentação segundo a qual o
conceito científico desce até a realidade concreta para começar o seu processo de
desenvolvimento e os espontâneos sobem na tentativa de buscar sistematizações e
generalizações mais amplas (VYGOTSKY, 1987).
21
A aquisição de um conceito científico requer atenção efetiva ao assunto em estudo,
dele abstraindo os aspectos que são fundamentais e descartando os secundários. O professor
neste processo tem papel muito importante, pois antes de organizar estratégias de ensino
deverá conhecer um pouco mais os seus alunos; detectar os conhecimentos que eles já trazem
e a partir daí desenvolver outros. De acordo com Vygotsky (1987), o professor é o mediador
entre o aluno e o objeto de conhecimento. Para que os conceitos científicos sejam adquiridos
tem que haver uma interação entre professor e aluno através de planejamento de estratégias
adequadas.
Após a apresentação dos marcos principais da teoria de Vygotsky, mesmo que
resumidamente, torna-se necessário uma reflexão sobre que elementos essa teoria pode
oferecer para embasar a Modelagem Matemática. Barbosa (2004) afirma que essa
metodologia de ensino convida os alunos a discutir matemática partindo de um contexto do
cotidiano. É uma metodologia de ensino que está associada à problematização e à
investigação. Esse autor propõe a existência de dois aspectos a serem observados ao
organizar-se o trabalho referente à Modelagem Matemática. O primeiro é que a questão a ser
pesquisada deve se constituir problema para os alunos. O segundo é que a maioria dos
elementos a serem estudados devem partir do mundo real (social) vivido pelo aluno.
A partir dessas considerações feitas sobre modelagem percebe-se que a parte social
está relacionada à aprendizagem; o estudo da matemática na escola básica deveria ser
desenvolvido a partir de fatos ou fenômenos que acontecem no meio cultural do aluno. Neste
ponto a Modelagem Matemática se aproxima da teoria de Vygotsky. Para o estudioso russo,
para se chegar aos conceitos científicos é necessário desenvolver-se primeiramente os
conceitos espontâneos correspondentes àqueles. Decorre daí ser necessário verificar o que os
alunos já sabem sobre tal assunto matemático; qual a relação deste conteúdo com a realidade
em que o aluno vive.
A Modelagem vai buscar elementos na prática social do aluno, iniciando um processo
de problematização para instigá-lo à pesquisa. O professor explicará oralmente alguns
processos que o aluno não entende, mas sempre irá questionar o mesmo para dar-se conta do
que já é conhecido e o que precisa ser aprendido. Esta postura do professor encontra suporte
na teoria de Vygotsky quando afirma: “o professor, trabalhando com o aluno explicou, deu
informações, questionou, corrigiu o aluno e o fez explicar” (1987, p.98). Este é um processo
complexo e requer que se cumpram etapas mediante questionamentos, correções e reflexões
estabelecidos entre o professor e o aluno resultando em desenvolvimentos cognitivos
importantes.
22
É importante salientar que a teoria de Vygotsky advoga que todo o processo de
aprendizagem decorre das interações sociais. Para se chegar a conceitos científicos é
necessário passar-se por conceitos espontâneos. Assim, o aluno faz as primeiras ligações com
o que já está mentalmente desenvolvido. A Modelagem Matemática é uma metodologia de
ensino que, para ser efetivada, parte de elementos da realidade: e esse é um dos principais
motivos que leva esta pesquisa a partir da abordagem sócio-histórica de Vygotsky.
1.4 DEFINIÇÃO DE TERMOS
É importante neste momento definir alguns termos para melhor entendimento deste
trabalho de estudo.
Contextualização – Segundo Tufano (2001), contextualizar é o ato de situar um indivíduo em
um lugar no tempo e no espaço desejado. Pode-se ir além desta definição situando-a no
contexto educacional. Contextualizar conteúdos escolares significa, em primeiro lugar,
assumir que todo conhecimento envolve uma relação entre sujeito e objeto. Contextualizar no
ensino significa incorporar vivências concretas e diversificadas e também incorporar o
aprendizado em novas vivências. A contextualização requer áreas diferentes, acontecimentos
e dimensões presentes na vida pessoal, social e cultural (QUEIROZ, 2000).
Modelagem Matemática (MM)– É um procedimento matemático utilizado por algumas
áreas de conhecimento (biologia, física, química, matemática aplicada, entre outros) para
resolver problemas oriundos do mundo real. Neste trabalho a Modelagem Matemática será
estudada como método de ensino da matemática de acordo as orientações de Biembengut
(2003). Segunda os autores esta metodologia de ensino propõe um ambiente de aprendizagem
no qual o aluno é convidado a problematizar e a pesquisar situações da realidade por meio da
matemática.
Problematização – A problematização é utilizada como caminho para se chegar ao problema,
o qual quando formulado, tem início o processo de resolução. Nesse processo de resolução
ocorre a construção de conhecimentos matemáticos. A problematização pode ser considerada
como um propósito para estimular as capacidades cognitivas e criativas; pode ser também um
ideal para refletir e dar significado a uma experiência de vida; ou também como uma ação
artística, a arte de formular perguntas; ou, ainda, como um método, meio de chegar ao
conhecimento. (MENDONÇA, 1993).
Sócio- histórica ou sócio-cultural. Este termo é utilizado pelos autores citados nesta
dissertação como tendências que influenciaram a educação. Essas tendências valorizam o
23
meio social em que o aluno vive. Para desenvolver qualquer processo de ensino-aprendizagem
os educadores devem partir da cultura do aluno; coletam elementos da história de vida para,
assim, planejarem estratégias de ensino. Nesta tendência todo o conhecimento matemático
que o aluno trás consigo é aproveitado e desenvolvido. (VYGOTSKY,1987;
D’AMBROSIO,1986; MOYSÉS,1997).
24
CAPÍTULO II- REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo resume-se informação proveniente de fontes bibliográficas de
diferentes naturezas as quais expandem e iluminam as diferentes facetas que integram a
pesquisa. Dá-se prioridade à pesquisa, visto que ela serve de baliza para a presente
investigação. São cinco os subtópicos integrantes do capítulo: (a) Ensino da Matemática, (b)
o ensino da matemática na perspectiva sócio-cultural, (c) Modelagem Matemática como
procedimento matemático,(d) Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino da
Matemática, (e) Modelagem Matemática em uma perspectiva curricular.
2.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA
A disciplina que hoje denominamos de matemática, teve sua origem e seu
desenvolvimento na Europa com a contribuição das civilizações indiana e Islâmica. Essa
disciplina foi levada e imposta ao mundo no período colonial. No mundo contemporâneo este
conhecimento matemático é legitimado como universal em decorrência do papel
predominante que a ciência e a tecnologia determinaram a partir do século XVII na Europa
(D’AMBROSIO, 1999; KNIJNIK, 2004 et al).
Não é novidade que a matemática sempre desempenhou um papel importante para o
processo de desenvolvimento da sociedade. “Hoje se verifica uma maior necessidade em
“entender” e “ ser capaz” de usar essa matemática para resolver problemas do cotidiano e nos
locais de trabalho. Apesar de ser notória a aplicação da matemática na vida diária, o seu
ensino sempre foi marcado por dificuldades. Para superá-las, particularmente no âmbito da
aprendizagem matemática, têm-se empreendido reformas do ensino.
Essas reformas são reflexos de todas as transformações que a sociedade vem passando,
principalmente nos últimos três séculos. As novas exigências sociais fizeram com que o
homem adquirisse mais conhecimentos, em particular, mais conhecimentos matemáticos.
Segundo Onuchic (1999), a própria transformação de uma sociedade estritamente rural para
uma sociedade industrial, e depois para uma sociedade da informação começou a requerer do
homem mais conhecimentos matemáticos. A autora resume esse itinerário histórico nas
seguintes palavras:
Ao passar de uma sociedade rural onde “poucos precisavam conhecer matemática”, para uma sociedade industrial onde mais gente “ precisava aprender matemática” em razão da necessidades de técnicos especializados, daí para uma sociedade da
25
informação onde a maioria das pessoas “ precisa saber matemática” e, agora, caminhando para uma sociedade do conhecimento que exige de todos saber muita matemática, é natural que o homem se tenha interessado em promover mudanças na forma de como se ensina e com se aprende matemática (p.200)
A mesma autora destaca algumas reformas que ocorreram no ensino da matemática no
século XX: o ensino da matemática por repetição; ensino de matemática por compreensão; o
movimento da Matemática Moderna; a Resolução de Problemas. E, nos últimos anos outras
linhas alternativas de trabalho estão surgindo, como, a Modelagem Matemática, a
etnomatemática, os jogos, o uso da informática.
No começo do século XX, verificou-se um ensino da matemática marcado pelo
método da repetição. Essa nova forma de ensinar matemática surgiu por influencia também de
pesquisas vindas da psicologia. As pesquisas de Watson e Skinner, da corrente behaviorista,
resultaram em modelos de ensino. O método desta corrente baseia-se na teoria do reforço, a
qual privilegia a repetição de atividades para assimilação (HALL, 2000). A aprendizagem
consistia na memorização e na repetição dos conteúdos matemáticos. Esse método de ensino
começou a ser criticado, pois não privilegiava a compreensão. Segundo Fiorentini (1995)
John Dewey foi um dos responsáveis pelo início de uma nova tendência no ensino de
matemática: o ensino pela experiência. Para Dewey (1979), o conhecimento é uma atividade
dirigida que não tem fim em si mesmo, mas está voltado para a experiência. Dewey sempre
criticou o ensino mecânico, em que o aluno não percebe a aplicabilidade do conteúdo. Para
ele vida-experiência-aprendizagem não se separam e a função da escola está em possibilitar a
reconstrução continuada que o aluno faz da experiência.
O ensino da matemática pela compreensão muda o foco da aprendizagem do professor
para o aluno, valoriza as atividades realizadas em pequenos grupos, os jogos e o material
concreto. São importantes para esse processo de ensino, os estudos do meio e as atividades
desenvolvidas em ambiente de experimentação e observação, dando oportunidade ao aluno de
vivenciar o método científico.
Segundo Onuchic (2004), as reformas fundadas no behaviorismo de Watson e no
pragmatismo de Dewey não obtiveram o êxito esperado, pois continuavam a propiciar a
aprendizagem apenas de poucos. Já nas décadas de 60 e 70 o ensino da matemática no Brasil
e em outros países começa a ser influenciado por um movimento de renovação conhecido
como Matemática Moderna. Miorim (1998) comenta que a Matemática Moderna baseou-se na
teoria dos conjuntos, apoiada em estruturas lógicas e algébricas. O ensino na matemática,
nessa nova reforma, tinha preocupações excessivas com abstrações e apresentava uma
26
linguagem matemática universal e precisa. O movimento Matemática Moderna trouxe de
volta o formalismo matemático; as apreensões das estruturas matemáticas passaram a ser mais
importante do que o significado. Para os PCNs (BRASIL,1997), o que este movimento
propunha estava fora do alcance dos alunos, principalmente dos alunos das séries iniciais do
ensino fundamental. Os alunos não percebiam a ligação que a aquela matemática apresentada
nos enunciados tinham a ver com a matemática dos problemas e, principalmente, com a
matemática usada fora da escola.
Já na década de 80 esse movimento mostrava-se fracassado, ao se verificar que, além
de não aprenderem a nova matemática, os alunos também não conseguiam trabalhar com as
operações básicas de somar, multiplicar, subtrair e dividir. Kline (1976) foi um dos
educadores matemáticos a criticar esse movimento nos Estados Unidos alegando que
introduzir conceitos unificadores sem experiência para unificar, ou repetir os conceitos
introduzidos sem aplicações concretas é inútil. Kline (1976) sempre acreditou que os
problemas sociais ou legais não exigem o domínio da linguagem técnica, do simbolismo e dos
conceitos abstratos; insistir em ensinar esses procedimentos aos alunos tende a obscurecer o
raciocínio que eles necessitam. Coelho (2005) comenta que o movimento Matemática
Moderna provocou uma grande revolução no currículo e no ensino de matemática, mas não
conseguiu solucionar os problemas de ensino-aprendizagem da disciplina, pelo contrário,
agravou ainda mais a situação.
Até então, as reformas aludidas não haviam obtido sucesso, pelo menos o esperado.
Onuchic (2004), ao refletir sobre as reformas no ensino da matemática, diz que os
questionamentos após tais reformas não pararam: “Estariam estas reformas voltadas para a
formação de um cidadão útil à sociedade em que vivia? Buscavam elas ensinar matemática de
modo a preparar os alunos para um mundo de trabalho que exige conhecimento matemático?”
(p.215).
No final dos anos 70 começa a intensificar-se o interesse por Resolução de Problemas
e suas implicações curriculares. Em 1980, nos Estados Unidos o NCTM--National Council of
Teachers of Mathematics--chamou todos os interessados, pessoas, grupos, para juntos buscar
uma melhor Educação Matemática para todos. Dessa convocação resultou um documento
chamado An Agenda for Action; nele destacou-se a resolução de problemas como foco do
ensino da matemática nos anos 80 (BRASIL, 1997). Durante essa mesma década, foram
criados e desenvolvidos vários recursos para o trabalho com a metodologia Resolução de
Problemas em sala de aula. Esses recursos tinham o formato de coleções de problemas, listas
27
de estratégias, exemplos de atividades e sugestões de como avaliar o desempenho em
Resoluções de Problemas.
A Resolução de Problemas era orientada por concepções diferentes, algumas vezes
discordantes entre si. Para entender melhor essas diferentes concepções, Schoroeder e Lester
(1989) apresentam três modos diferentes de abordar a Resolução de Problemas: ensinar sobre
resolução de problemas matemáticos; ensinar para resolver problemas de matemática; e
ensinar matemática através da resolução de problemas. Apesar desses três caminhos em
abordar resolução de Problema serem diferentes, na prática eles interceptavam–se originando
várias combinações e seqüências.
A Resolução de Problemas foi uma das saídas encontradas por educadores e
professores de matemática para aliviar o mal estar provocado pelo fracasso da Matemática
Moderna. Desde a década de 80 a Resolução de Problemas é foco de pesquisa em várias
universidades (UNICAMP, UNESP - Rio Claro, USP, UFRS, entre outras). Juntamente com
as pesquisas sobre Resolução de Problemas uma nova tendência começa a ganhar força no
Brasil: a tendência sócio-cultural. Essa tendência abre outras linhas de pesquisas sobre o
ensino da matemática como a etnomatemática e a Modelagem Matemática. O próximo tópico
trará mais informações sobre essa nova tendência no ensino da matemática.
2.2 O ENSINO DA MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA SOCIAL, CULTURAL E
HISTÓRICA
No século XX um campo profissional e científico começa a organizar-se e expandir-se
que é a Educação Matemática. De acordo com Kilpatrick (1992) esse campo surgiu devido a
três determinantes. O primeiro foi a grande preocupação dos próprios matemáticos e de
professores de matemática sobre a qualidade de divulgação e socialização das idéias
matemáticas às novas gerações. Tal preocupação dizia respeito tanto a melhoria de suas aulas
quanto à atualização e modernização do currículo escolar da matemática. O segundo fato é
atribuído às universidades européias em incentivar a formação regular de professores
secundarista, já no final do século XIX. O terceiro fato foram os resultados de pesquisas
vindas da psicologia sobre o modo como a criança aprende matemática.
Neste novo movimento chamado Educação Matemática, começa uma forte tendência
de pesquisas sobre o ensino da matemática em uma perspectiva sócio-histórica. Essa nova
tendência propõe trazer para a sala de aula as experiências cotidianas dos alunos. Uma das
bases dessa tendência é a teoria sócio-histórica de Vygotsky. Essa teoria advoga que para se
28
chegar ao conhecimento científico primeiro deve-se passar pelos conhecimentos espontâneos.
Os conhecimentos espontâneos são justamente aqueles adquiridos no meio social que o
indivíduo vive. Ao contrário dos conhecimentos espontâneos os conhecimentos científicos
são elaborados intencionalmente, pressupõem uma relação consciente e consentida entre
sujeito e objeto do conhecimento (VYGOTSKY, 1987). Segundo o mesmo autor, a situação
escolar é, por excelência, o ambiente propício para aquisição do conhecimento científico. As
influências das pesquisas vindas da psicologia através de estudos de Vygotsky reforçam a
idéia de que o contexto vivido pelo aluno deve ser utilizado no processo que envolve o
aprender e o ensinar.
A evolução das pesquisas voltadas à educação, tanto da área da psicologia como de
outras áreas, contribuiu para que o ensino da matemática, particularmente, começasse a ser
tema de vários encontros internacionais. No Terceiro Congresso Internacional de Educação
Matemática, em 1976, na Alemanha, foi que surgiu claramente a tendência de trabalhar a
matemática escolar em uma perspectiva sócio-cultural. Halmenschlager (2001) comenta que
nesse evento contou com a presença de países do Terceiro Mundo, foram abordados
questionamento sobre a posição ocupada pela matemática nos sistemas educacionais.
Ocorreram também debates sobre as conseqüências negativas resultantes de uma educação
matemática inadequada às distintas condições sócio-culturais dos estudantes. Mas, somente
em 1984, no 5º Congresso Internacional de Educação Matemática, realizado na Austrália, é
que se verificou a forte tendência de introduzir as questões socioculturais nas discussões sobre
Educação Matemática. Este congresso mostrou uma mudança qualitativa nas preocupações e
reflexões nessa área do conhecimento (D’AMBRÓSIO, 1999).
No Brasil, na década de 80, pesquisas foram feitas na área de aprendizagem
Matemática com direcionamentos a situações problema do cotidiano. Pode-se destacar
Teresinha Nunes, Analúcia Schliemann e David Carraher, pesquisadores do Mestrado em
Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco. Apesar da base teórica da
pesquisa desses autores estar pautada na teoria construtivista piagetiana, é um trabalho que
fala sobre contextualização, sobre questões como o significado da aprendizagem, a relação
entre conceito científico e conceito espontâneo. Carraher, Schliemann e Carraher fizeram
vários experimentos comparando a forma de resolver os mesmos problemas entre os
estudantes e trabalhadores do cotidiano (mestres-obras, vendedores, pescadores, marceneiros
e cambistas). De um lado trabalhadores que aprenderam a matemática através de suas
vivências diárias e do outro lado alunos que aprenderam a matemática na escola.
29
Em um dos experimentos, confrontaram a forma em que mestres de obras e estudantes
de 7ª série do Ensino Fundamental realizavam cálculos de proporção. Os resultados
demonstraram a superioridade dos mestres de obras em relação aos estudantes, de modo geral.
Mesmo em alguns casos que os mestres de obras não conseguiam chegar à resposta correta,
não ocorriam respostas absurdas porque as respostas foram obtidas por estimativas bastantes
razoáveis. Já os estudantes não conseguiam fazer o uso sistemático do algoritmo da
proporção, aprendido na escola naquele ano. Os estudantes também não tinham um senso
crítico para perceberem que suas respostas, quando absurdas, pudessem assim ser
identificadas por eles. De acordo com os pesquisadores, a experiência profissional favorece o
sentido durante o processo mental, o que não ocorreu com os estudantes. Os estudantes
aprenderiam melhor se fossem levados a lidar com situações mais concretas, pelo menos no
início da aprendizagem, tornando-lhes a lógica do algoritmo mais transparente (CARRAHER,
SCHLIEMAN, CARRAHER, 2006). Esse foi um dos exemplos dos experimentos que eles
fizeram durante essa trajetória de pesquisa que resultou na elaboração de um livro: Na vida
dez, na escola zero. Nesse trabalho de pesquisa desenvolvida por Nunes, Schliemann e
Carraher fica nítida a importância do conhecimento elaborado com base em situações práticas
de vida nas resoluções de problemas matemáticos.
Carvalho (1995), em sua pesquisa de doutorado pela UNICAMP, observou uma turma
de 37 alunos entre jovens e adultos de ensino supletivo. Essa pesquisa tinha como um dos
objetivos estudar a interação entre o conhecimento matemático oriundo da prática e o
conhecimento escolar. Durante a pesquisa também foi observada a cooperação ou o confronto
entre os procedimentos matemáticos adquiridos na prática e os adquiridos no ambiente
escolar. A pesquisadora concluiu em seu trabalho que alunos que têm a possibilidade de
envolver-se com maior autonomia econômica em atividades práticas no meio social
demonstram, em sala de aula, haver construído mediadores matemáticos mais elaborados. Foi
verificado, também, nesta pesquisa, que a lógica das tarefas escolares difere daquela que rege
a prática. Essa diferenciação faz com que exista sempre uma negociação entre professor e
aluno para que a aprendizagem da matemática aconteça. Carvalho (1995) percebeu em sua
pesquisa que em muitos casos os conhecimentos matemáticos vindos da prática nem sempre
se interagem com o conhecimento escolar, parecendo, para o aluno, contraditórios.
A Educação Matemática ao abordar um novo eixo diretor para aspectos sócio-
culturais, acabou criando uma nova área: a etnomatemática. Na década de 80, o pesquisador
brasileiro Ubiratan D’Ambrósio, que sempre esteve à frente dessa linha de pesquisa, define
assim a etnomatemática: “é um programa que visa explicar os processos de geração,
30
organização e transmissão de conhecimentos em diversos sistemas culturais e as forças
interativas que agem entre os três processos”.
Ubiratan D’Ambrosio traz à tona uma questão: se cada grupo de indivíduos tem a sua
cultura, como o ensino de matemática pode ser igual para todos? A abordagem convencional
da matemática escolar dá realce a resolver problemas artificiais. Nesta prática, o aluno
capacita-se tão somente para a descoberta de respostas pré-determinadas, obtidos por meios
de algoritmos e regras formais, cuja construção é realizada de forma mecânica. O ensino de
matemática, nesta perspectiva, é desvinculado da vida dos estudantes com a predominância da
memorização de informações descontextualizadas. Conforme assinala D’Ambrósio (1993, p
120), “aprender não é mero domínio de técnicas, de habilidades, nem a memorização de
algumas explicações teóricas”. Para o autor (1993, p.120) a aprendizagem é entendida como
“[...] a capacidade de explicar, de aprender e compreender, de enfrentar, criticamente,
situações novas”.
Segundo Halmenschlager (2001) as idéias que envolvem a etnomatemática são
complexas; cada cultura requer sua própria etnomatemática. Por outro lado, não se quer
colocar a matemática acadêmica e universal de lado. A matemática acadêmica também é um
uma forma de etnomatemática.
A perspectiva da etnomatemática é ampla e, portanto, não se limita a identificar a matemática criada e praticada por um grupo cultural específico, restringindo-se a essa dimensão local. Considera a matemática acadêmica uma entre outras formas de etnomatemática. Além disso, os saberes matemáticos dos estudantes, construídos na sua prática cotidiana, no mundo social mais amplo, são também incorporados aos conhecimentos transmitidos pela escola (HALMENSCHAGER,2001 p.27).
Pesquisas realizadas no Brasil, demonstram resultados positivos do uso de processos
pedagógicos voltados a idéias etnomatemática. Uma delas é a pesquisa feita por Oliveira
(1998) da UNISINOS do Rio Grande do Sul. Seu trabalho relata uma experiência que buscou
compreender e descrever um processo pedagógico que estabeleceu vínculos com práticas
cotidianas de um grupo social e a matemática escolar. A parte empírica foi realizada com uma
turma de 6ª série do Ensino Fundamental. A coleta de dados foi feita através de observação
participante e entrevistas com alunos. O pesquisador propôs um novo modo de aprender
matemática através das vivências dos alunos na comunidade. Depois de um debate com a
turma, decidiram pesquisar de que modo a matemática estava presente nos afazeres da
comunidade escolar. Os alunos descobriram que a comunidade tem maiores dúvidas em
relação aos produtos comprados em supermercados. O trabalho pedagógico no ensino da
matemática ficou em volta de compras de produtos em supermercados: elaboração de listas de
compras, cotação de preços, elaboração de gráficos referentes a oscilações de preços etc. A
31
família participava junto com alunos nas construções matemáticas. Através de várias etapas
desenvolvidas os alunos puderam perceber que a matemática era útil e poderia resolver vários
problemas da comunidade.
O autor relata que o processo pedagógico realizado na pesquisa, e encontrou
resistência por parte dos estudantes, dos seus familiares e do próprio pesquisador. A
desestruturação das certezas rompeu também com concepções já “naturalizadas” sobre o jeito
correto de se produzir conhecimento matemático escolar. A luta para desenvolver outra
maneira de se trabalhar a matemática contribuiu para o “alargamento” do que era considerado
espaço pedagógico. O espaço pedagógico passou a ser entendido não somente como sala de
aula, mas também, como a casa dos estudantes, sala de reunião da escola e os mercados onde
se realizavam a coleta de preços. Oliveira (1998) aborda outra contribuição deste trabalho
desenvolvido que foi o modo como a comunidade recebeu e utilizou as informações impressas
distribuídas. As listas elaboradas pelos alunos foram úteis na vida cotidiana, e isto fez com
que os estudantes e seus familiares começassem a valorizar mais a escola e o próprio
conhecimento matemático.
Outra pesquisa realizada com base etnomatemática foi a de Gelsa Knijnik , doutora
pela UFRGS começou seus trabalho de pesquisa na área de etnomatemática desde 1991 com
trabalhadores rurais do Movimento do Sem Terra -MST (KNIJNIK, 1995). Este trabalho de
pesquisa que será relatado foi realizado em 1998 pela UNISC, junto ao assentamento do
Movimento do Sem Terra no Rio Grande do Sul no município de Nova Santa Rita. Em uma
das etapas da pesquisa os alunos da 7ª de uma escola estadual, situado no assentamento,
juntamente com a professora de matemática participaram das discussões sobre o cultivo de
um novo produto agrícola: alface. Os alunos participaram ativamente de um projeto de estufas
para o cultivo das alfaces junto com os grupos de agricultores. Para o pesquisador houve um
resgate dos modos próprios do grupo em lidar com o cultivo da alface, e, concomitantemente,
foram sendo estabelecidas conexões entre os saberes populares e os acadêmicos. Essas
conexões possibilitariam um acompanhamento mais preciso do processo produtivo.
Nnijnik (2004) comenta que assumindo uma perspectiva etnomatemática, não há, no
entanto, um relativismo exacerbado, uma visão ingênua de glorificar os saberes populares no
processo pedagógico. Ao contrário, no processo educativo que envolveu a pesquisa as inter-
relações entre os saberes populares e acadêmicos foram qualificadas. Essas inter-relações
possibilitaram que os adultos e jovens que dele participaram, entendessem mais
profundamente a sua própria cultura e tivessem também acesso à produção científica e
tecnológica contemporânea.
32
Outros trabalhos de pesquisas foram desenvolvidos nesta linha da etnomatemáticas
(ABREU, 1988; BANDEIRA, 2002; BURIASCO, 1988; CHIEUS JUNIOR, 2002), todos eles
discutiram a utilização da matemática da vivência dos alunos nos contextos escolares.
Além da etnomatemática, outra linha de pesquisa também começa a ganhar forças no
Brasil a partir da década de 80: Modelagem Matemática. A Modelagem Matemática no Brasil
sobre uma forte influência da tendência sócio-cultural e começa a desenvolver um outro perfil
que será abordado com detalhes nos dois próximos tópico.
2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA COMO PROCEDIMENTO MATEMÁTICO
Desde a antiguidade, percebe-se a incessante busca do homem em resolver seus
problemas através da matemática. Pela própria história verifica-se que foram várias as
situações em que o homem construiu modelos para servir de instrumentos na resolução de
problemas. Essas tentativas de resolver problemas empregando a matemática aproximavam-se
da idéia de Modelagem Matemática. A sociedade com o tempo transformou-se chegando a
um grande desenvolvimento industrial e tecnológico. Toda essa transformação levou o
homem a lidar com situações bem complexas e requerer modelos matemáticos mais
complexos. Os cientistas começaram a usar a Modelagem Matemática como um
procedimento matemático para estudar fenômenos e fatos da realidade.
Os modeladores profissionais da Matemática Aplicada utilizam a MM como atividade
que possibilita a criação de modelos matemáticos destinados tanto a explicar como a resolver
situações problema de diferentes áreas do conhecimento humano. Esses modelos
matemáticos, por sua vez, são construídos recorrendo-se geralmente à álgebra: assim,
utilizam-se equações, ou inequações algébricas, diferenciais e integrais. Esses esquemas são
construídos a partir de relações estabelecidas entre as variáveis envolvidas no fenômeno
analisado (BASSANEZI, 1994). Pelo exposto, vê-se que a MM constitui-se num “método
científico” utilizado por diferentes áreas de conhecimento (por exemplo, Física, Química,
Economia, Ciências Sociais, Humanas, Meio Ambiente, entre outras) para solucionar
problemas com o auxílio da Matemática. Blum (1995, p.5) entende a MM como “ um
processo de construção de modelos que transforma uma situação real em uma situação
matemática, ou um processo todo de resolução de um problema aplicado, ou algumas vezes,
uma maneira de conectar o mundo real com a matemática”.
Alguns exemplos do emprego da MM em áreas de conhecimento mais delimitadas são
fornecidos por Ferreira (2003): por exemplo, a biomatemática, a macroeconomia, a
33
microeconomia e a econometria. Na biomatemática a MM é utilizada para compreender
fenômenos biológicos através da matemática. Geralmente nessa área há um destaque para
problemas que envolvem a dinâmica das populações. Essas populações podem ser: moléculas
bioquímicas, bactérias, neurônios, células, insetos, indivíduos infectados, colônias de abelhas,
etc. A Biomatemática tem trabalhado com problemas vindos de diversas áreas como a
Imunologia, Epidemiologia, Neurobiologia, Sociobiologia, Ecologia, dentre outras. A
macroeconomia também se beneficia da utilização da MM nos estudos referentes à análise de
equilíbrio (equilíbrio de mercado, renda, dívidas) e dinâmica de sistemas (modelo de dívida
externa, renda familiar, mercados, ciclos de maturação).
Mas como a MM é estruturada ? Primeiramente é feito um contato com o problema, há
uma interação sobre o problema e levantamento de dados sobre o mesmo. Após o
levantamento dos dados faz - se o modelo matemático da situação. O modelo matemático
pode ser uma fórmula, tabelas, diagramas, entre outros. Após a construção do modelo, o
mesmo é validado, não deixando de comparar a solução encontrada com a situação real.
Bassanezi (2002), um dos precursores no estudo e na aplicação de Modelagem no Brasil, diz:
“A modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em
problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo
real” (p.61). O mesmo autor comenta que a modelagem matemática além de ser usada pela
Matemática Aplicada como método científico para resolver uma variedades de problemas
pode ser também utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem. O próximo item deste
trabalho abordará com mais detalhes a MM voltada para o ensino da matemática escolar.
2.4 MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA DE ENSINO DA
MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática voltada para a educação teve sua origem nos Estados
Unidos nos anos 60. Nesta época, ocorreu um grande incentivo em levar as ciências para as
escolas e com isso proporcionar aos alunos experiências semelhantes às vividas pelos
cientistas (movimento denominado de Matemática Moderna). Ferreira (2003) informa que em
1983 configurou-se um movimento internacional sobre MM nos Estados Unidos da América
do Norte através do 1st International Conference on the Teaching of mathematical Modelling
and aplications (ICTM-1). Esse evento continua acontecendo em períodos de dois em dois
anos caracterizando-se como um espaço de reflexões e de exposições de pesquisas voltadas a
aplicação da MM no ensino.
34
De acordo com Kaiser-Messmer (1991), existem duas visões que predominam nos
debates internacionais sobre Modelagem no ensino da matemática: a pragmática e a científica.
O mesmo autor esclarece que a primeira visão, também conhecida como corrente pragmática,
defende que o currículo da matemática deve ser estruturado de acordo com as aplicações. Essa
corrente fundamenta que a matemática ensinada deve ser útil à sociedade; valoriza a resolução
de problemas aplicados, incentivando a construção de modelos matemáticos. A segunda visão
ou corrente científica considera toda a estrutura matemática indispensável no ensino da
mesma. A modelagem nesta tendência é vista como forma de ensinar novos conceitos.
Fiorentini (1996) comenta que, aparentemente, o movimento internacional não tem
preocupação em trabalhar a MM a partir de um contexto sócio-cultural. Já no Brasil, as
experiências com MM têm esse caráter sócio-cultural, visto que, têm procurado partir do
contexto vivido pelos alunos e de seus interesses. Esse enfoque sócio-cultural é considerado
pelo mesmo autor uma marca nos trabalhos brasileiros.
Autores como Barbosa (2001a), argumentam que essas duas correntes (pragmática e
científica) têm suas limitações, pois não propõem um trabalho de ensino matemático através
da reflexão, do questionamento da realidade. Esse autor em seu artigo “Modelagem na
educação matemática: contribuições para o debate teórico”, sugere uma terceira corrente: a
sócio-crítica.
As atividades de modelagem são consideradas como oportunidades para explorar os papéis que a matemática desenvolve na sociedade contemporânea. Nem matemática, nem modelagem são fins, mas sim, meios para questionar a realidade vivida. Isso não significa que os alunos possam desenvolver complexas análises sobre a matemática no mundo social, mas que modelagem possui o potencial de gerar algum nível de crítica (2001, p.4)
Nesta linha reflexiva da MM, parte de uma problematização, o professor cria um
ambiente de investigação de situações problemas vindas do meio social. Um dos educadores
brasileiros que contribui para essa forma crítica e reflexiva de conduzir a educação foi Paulo
Freire. Freire (1992), sempre condenou a educação “bancária”, entendida como o ato de
depositar, de transferir, de transmitir valores e conhecimentos ao aluno. A problematização
freiriana defende a relação dialógica entre educadores e educando. O ato do diálogo dá espaço
também para o ato da pergunta e o ato da pergunta está ligado ao ato de existir, de ser, de
estudar, de construir, de pesquisar, de conhecer (FREIRE & FAUNDEZ, 1986). Freire (1982)
dá uma conotação antropológica-política quando diz que a ação educativa deve situar-se na
cultura do aluno. O mesmo autor ainda esclarece que para desenvolver uma educação
libertadora deve-se considerar e respeitar as experiências prévias do educando e a cultura que
35
cada um traz dentro de si. O conhecimento escolar deve partir de um contexto concreto e do
processo de investigação de uma temática significativa.
Ubiratan D’Ambrósio fortalece essa tendência reflexiva e crítica utilizando- a na MM .
D’Ambrósio (1986) acredita que a aprendizagem se concretiza a partir de um ciclo: realidade-
ação-realidade. Este ciclo se dá dentro de um contexto onde há uma interação indivíduo e
meio ambiente, quer dizer, a aprendizagem é produto de um movimento cíclico e dialético
entre reflexão e ação. A realidade é constituída por elementos classificados em concretos e
abstratos. D’Ambrosio denomina os elementos concretos como artefatos e como mentefatos
os elementos abstratos, por exemplo, as idéias. Para ele o indivíduo é observador e parte da
realidade. Esse mesmo indivíduo é quem coleta e adquire as informações sobre uma situação
e busca, por meio da produção de novas idéias (mentefatos) e de objetos concretos
(artefatos), exercer uma ação sobre a realidade. O modelo seria o ponto de ligação entre as
informações captadas pelo indivíduo e sua ação sobre a realidade.
D’Ambrosio explica que o processo de Modelagem Matemática seria o caminho de
criação desse modelo; é através desse processo que desencadeiam as estratégias de ação do
sujeito sobre a realidade. A figura abaixo ilustra bem o processo de aprendizagem via
modelagem referido por D’Ambrósio:
Figura 2-Processo de aprendizagem via modelagem Fonte: D’Ambrósio,1986
A Modelagem Matemática como método de ensino da matemática possibilita criar em
sala de aula um ambiente de aprendizagem diferenciado. Esse novo ambiente de
36
aprendizagem proposto traz uma matemática viva vinculada a movimentos sociais. Na
tendência sócio-crítica as atividades propostas pela Modelagem são oportunidades para
potencializar as reflexões sobre a matemática e seu significado social. Para Barbosa (2001a),
“Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar
e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”
(p.6). Esse caminho de fazer MM privilegia situações-problema com circunstâncias que a
sustente. Essas circunstâncias podem ser o custo de uma reforma residencial, a construção de
uma quadra de esporte, o uso de medicamentos, as compras por financiamentos, o custo com
propaganda de uma empresa, entre outros exemplos possíveis. A matemática é tão real
quanto qualquer outro domínio da realidade, já que, sendo idéias, interfere nas ações e
práticas sociais (SKOVSMOSE, 1994).
No Brasil a divulgação da MM no ensino fundamental e médio foi feita através das
primeiras dissertações de mestrado do curso de pós-graduação em Educação Matemática da
UNESP de Rio Claro, em 1987. A partir daí outras pesquisas foram realizadas em vários
níveis de ensino. Essas pesquisas possuem relatos positivos quanto a aplicação da MM como
estratégia pedagógica: nos ensinos fundamental e médio (BIEMBEGUT, 1990; BURAK,
1987 e 1992; SPINA, 2002), em cursos de ensino superior (FRANCHI,1993 e 2002;
ARAUJO, 2002), na formação de professores (BARBOSA, 2001b), na educação ambiental
(FERREIRA, 2003), na educação de adultos (MONTEIRO,1991), entre outras.
Biembengut (1990) e Burak (1987) são pesquisadores que iniciaram no Brasil um
estudo sobre a aplicação de MM no ensino regular da matemática. Biembengut (1990)
experimentou a MM como método de ensino não somente em cursos regulares de ensino
fundamental e médio, mas também em cursos de graduação e pós-graduação. Através de seus
experimentos com turmas de alunos de Ensino Fundamental e Médio a pesquisadora utilizou
temas de interesse dos alunos; um deles, por exemplo, a investigação sobre o custo da
construção de uma casa. Após reflexões sobre os dados coletados, Biembengut (1990) propôs
algumas etapas para se trabalhar essa metodologia. A pesquisadora comenta que para o ensino
da matemática inserido em um programa pré-determinado, o processo clássico de Modelagem
Matemática deve ser modificado. Esta nova forma de trabalhar MM deve considerar o
momento de sistematização do conteúdo e sempre fazer uma analogia com outras situações
problemas. Biembengut (2003) propõe uma forma adaptada da MM tradicional para trabalhar
com alunos do ensino regular , essa nova forma é estruturada em etapas e é denominado pela
autora de Modelação Matemática.
37
Burak (1992) em seu trabalho de pesquisa (tese de doutorado) além de coletar dados
sobre a aprendizagem dos alunos, coletou dados sobre a prática do professor; buscou verificar
se a utilização de MM pode provocar diferenças nas práticas pedagógicas desse professor.
Participaram dessa pesquisa 40 professores de Ensino Fundamental e Médio. Em encontros
com os professores o pesquisador ofereceu cursos sobre MM e orientou os mesmos na
elaboração de projetos para executar em sala de aula com os alunos. Os dados foram obtidos
a partir de anotações das visitas realizadas, relatórios dos professores e depoimentos de alunos
e professores. Com base nesse trabalho de pesquisa, Burak (1992), propôs oito diretrizes para
a adoção da MM no ensino fundamental e médio:
Escolha de tema. Preferencialmente que o tema seja escolhido pelos alunos. Se o professor
for iniciante, escolher ele (ela) próprio(a) um tema a ser trabalhado com a turma. Com o
tempo, o professor pode trabalhar com mais temas, na mesma turma, tornando assim o
trabalho mais rico. Burak (1987) aconselha no máximo cinco temas. O tema deve abordar
várias atividades da realidade: indústria, comércio, agricultura, pecuária, saúde, brincadeiras
infantis, jogos diversos, temas atuais como meio-ambiente, inflação, ecologia e outros.
Papel do professor. O professor deve dar a liberdade na escolha dos temas tirando dúvidas
sobre os temas e refletindo junto com os alunos sobre sua relevância. A postura do professor
ao trabalhar com MM é diferente da postura tradicional. Na MM o professor é mediador
atendendo aos grupos, sanando dúvidas, colocando novos pontos de vista com relação ao
problema tratado e outros aspectos que permitam aos alunos pensarem sobre o assunto. Não
existe a expectativa de que o (a) professor (a) saiba tudo sobre o tema; se sentir necessidade, o
(a) professor(a) pode organizar uma palestra com um profissional da área de estudo. O
professor pode também envolver os pais nas atividades de Modelagem, estreitando laços entre
escola e família. Cabe ao professor ficar atento para os conteúdos que surgem no
desenvolvimento da Modelagem. Os conteúdos podem surgir em momentos diferentes
daqueles que surgem no ensino realizado de forma tradicional.
Programa previsto e programa trabalhado. Uma das preocupações dos professores de
matemática é o cumprimento dos conteúdos previsto. A Modelagem Matemática contempla
boa parte dos conteúdos previstos, mas há conteúdos algébricos que dificilmente serão
contemplados. O professor poderá reservar uma parte da carga horária para trabalhar esses
conteúdos não contemplados, se for o caso. A ordem de trabalhar os conteúdos na MM é
diferente da ordem no ensino tradicional. Os conteúdos na MM não têm uma seqüência rígida;
aparecem conforme a necessidade do problema em estudo. Em Modelagem os mesmos
conteúdos podem-se repetir em situações diferentes.
38
Trabalho com a Modelagem no ensino fundamental. Dependendo da série do ensino
fundamental , o trabalho de MM difere. Com crianças até a 2ª série os temas são voltados para
jogos, brincadeiras, histórias infantis e mercadinhos. Na 3ª série podem ser tratados temas
envolvendo as zoologias, onde as disciplinas de ciências e geografia são aliadas fundamentais.
Na 4ª série segundo algumas experiências vividas por Burak (1992), temas que envolvem
reforma na quadra da escola,pintura da escola, plantação e horta foram bem sucedidos e
trabalharam todo o conteúdo de matemática previsto para esta série. De 5ª a 8ª a variedade de
temas que podem ser trabalhados aumenta e também foram trabalhados com sucesso nas
pesquisas de Burak (1992): maquetes de construções dentro da escola, doenças contagiosas
infantis, compras (custo, a prazo, a vista, promoções), construção de arquibancadas na quadra
de esporte da escola; horta familiar, e outros.
Trabalho com modelagem no ensino médio. Muitos temas que são trabalhados no ensino
fundamental podem aparecer novamente no ensino médio. Os temas podem ser os mesmos,
mas a maneira de trabalhar é mais profunda exigindo mais reflexões e novos conteúdos. Um
dos trabalhos realizado na pesquisa de Burak (1992) envolvia o projeto de construção de uma
casa. Em um dos momentos desse trabalho de modelagem discutia-se o local da porta e
janelas na parede da casa. O professor aproveitou este momento e trabalhou conteúdos de
geometria analítica: sistema cartesiano, abscissa dos pontos, distância entre dois pontos, ponto
médio de segmentos, condição de alinhamentos entre dois pontos, equação geral da reta, entre
outros conteúdos. O trabalho com a construção civil na MM pode proporcionar aos alunos
ricas reflexões sobre a estreita ligação entre a geometria plana e a espacial.
Duração de uma experiência envolvendo modelagem. A duração do trabalho com MM
depende do tema escolhido, do interesse dos alunos pelo tema e dos problemas levantados a
partir desse tema. Pelas experiências de Burak (1992), temas que envolvem construção civil
podem ter duração de um semestre devido à diversidade de informações e conteúdos que
podem ser trabalhados. Mas o professor iniciante deve começar com projetos de MM com
duração curta, de pelo menos duas semanas. Com o tempo o professor vai adquirindo
confiança e maior habilidade em trabalhar MM e pode propor atividades com maior duração.
Temas como: horta escolar, arborização, água e esgoto, energia elétrica podem durar de 1 a 3
meses que correspondendo 15 a 45 horas-aulas.
Método de Modelagem e reestruturação curricular. Tradicionalmente quando se pensa em
reestruturar o currículo existe a preocupação com mudanças de metodologias e de conteúdos,
a partir disso o professor vai executar a nova proposta. A reestruturação curricular da
matemática voltada para modelagem deve propor uma discussão sobre as concepções de
39
ensino da matemática. As novas concepções oferecidas atualmente deixam bem clara a
estreita ligação entre número, medidas e geometria. Atualmente, esta falta de articulação tem
sido responsável pela compartimentalização dos conteúdos, e em conseqüência de um ensino
também fragmentado. Já que as novas concepções sinalizam para um trabalho de ensino da
matemática mais significativo e descompartimentado a MM pode ser uma solução. A
modelagem oferece a alternativa de trabalhar os conteúdos de forma mais articulada, sendo
assim é uma proposta que pode operacionalizar as mudanças curriculares necessárias.
Da avaliação da Modelagem. A avaliação na MM ocorre durante o processo; é uma
avaliação contínua durante toda a execução das diversas atividades. Dessa maneira, a
avaliação permite levar em consideração vários aspectos: iniciativa, discernimento,
participação, criatividade, capacidade de interação, persistência nos objetivos propostos, além
da compreensão do conteúdo matemático. Nesta prática educativa a avaliação deverá ter
sempre o caráter de reorientação do método.
As pesquisas de Biembengut (1990) e Burak (1987) iniciaram um percurso em busca
de melhor organização, estrutura e procedimentos que devem contemplar a aplicação da MM
no ensino. Essas pesquisas de uma forma ou de outra devem contribuir para que o currículo de
matemática e a formação do professor de matemática sejam repensados. A modelagem
Matemática se difere das metodologias até hoje utilizadas em sala de aula. Não se trata
somente em uma nova metodologia, vai mais além: é uma nova concepção de como ensinar
matemática.
2.5 MODELAGEM MATEMÁTICA EM UMA PERSPECTIVA CURRICULAR
Currículo pedagógico pode ser definido segundo a Enciclopédia Mirador
Internacional (1982) como “um conjunto estruturado de disciplinas e atividades, organizado
com o objetivo de possibilitar que seja alcançada certa meta, proposta e fixada em função de
um planejamento”. Já para Silva (1998), currículo é “o conjunto de todas as experiências de
conhecimento proporcionadas aos estudantes” (p.184). Essas duas definições revelam
acepções distintas do termo currículo, indicando, também, distantes ênfases. Na definição da
Enciclopédia Mirador tem-se uma noção de currículo em seu plano geral, institucional; por
outro lado, na de Silva, a visão de currículo limita-se à sala de aula, ao que o (a) professor (a)
realiza a fim de promover a aprendizagem pelo estudante.
Até a década de 60 as questões curriculares estavam desconectadas dos problemas
sociais (BERTICELLI, 2001). A partir desde período, uma corrente iniciada na Grã-Bretanha
40
e na França com a designação de Nova Sociologia Educacional, propõe uma visão de
currículo abrangendo os aspectos sociológicos da educação. Essa corrente chega ao Brasil
pelo fim da década de 80. Nesse mesmo período, percebe-se a superação da concepção de
currículo como mera lista de disciplinas ou listagem de conteúdos; começa-se a pensar que
todas as atividades da escola são significativas para desenvolvimento do aluno.
As discussões curriculares intensificaram-se, sinalizando para um currículo crítico ou,
ao menos, uma postura crítica diante das questões curriculares. Buscou-se discutir como
proporcionar uma educação básica a todos os brasileiros respeitando as questões e interesses
regionais. O novo currículo que a escola necessita propor está marcado pelos desafios da
sociedade atual. Como já foi dito, surgiram novas tecnologias que revolucionaram a
percepção humana e o nosso modo de construir visões sobre o mundo. Mudaram, com isso, as
formas de pensar e de aprender.
Em quase todos os tópicos desse trabalho de revisão de literatura, percebe-se que na
década de 80 intensificaram-se as reflexões em busca de mudanças na educação,
principalmente, no ensino da matemática. A Modelagem Matemática como metodologia de
ensino começa a aparecer nesse período de intensas reflexões curriculares. Após o fracasso da
Matemática Moderna a disciplina de matemática ficou ainda mais rejeitada pelos alunos;
tornando-se responsável por altos índices de evasão escolar e reprovação (BRASIL, 1987).
Os estudiosos de Modelagem Matemática na educação advogam a necessidade de
desenvolver nos alunos a criatividade, o senso crítico e principalmente o espírito investigativo
(BARBOSA,2001b; BIEMBENGUT,2003). A criatividade, o senso crítico, e o espírito
investigativo podem ser desenvolvidos nos alunos pela MM. O trabalho de pesquisa
desenvolvido por Ferreira (2003) ilustra bem esta situação. Ela utilizou a MM para tratar
problemas sociais e desenvolver o senso crítico do aluno (FERREIRA, 2003). Em sua
pesquisa utilizou questões do meio-ambiente: água, lixo, energia elétrica e desmatamento. A
pesquisadora concluiu que as discussões geradas e o contato com os vários órgãos
responsáveis por dados e informações contribuíram para que os alunos compreendessem a
necessidade da conservação dos recursos naturais com os quais interagem. Essa
conscientização gerou novos hábitos e atitudes em relação aos recursos naturais, visualizando
a matemática como instrumento de análise e interpretação de dados da realidade. Segundo
Ferreira (2003), o currículo de matemática deve proporcionar momentos que auxiliem aos
alunos ver criticamente a realidade social, cultural e política na qual estão inseridos.
Ao demonstrar suas preocupações com o ensino de ciências para o século XXI, Hurt
(2000) recomenda: o currículo desejável deve ser aquele que pode ser vivido e experimentado
41
pelo estudante através de projetos, investigações e experimentos. Para o mesmo autor, os
alunos devem participar da tomada de decisões, formar juízos, e escolher ações que envolvam
elementos de risco, incertezas, valores e ética, com apoio do conhecimento científico e
tecnológico.
Costa (1999) acrescenta que as escolas e currículos devem ser pensados como: “[...]
territórios de produção, circulação e consolidação de significados, como espaços privilegiados
de concretização da política da identidade.” (p.38). Silva (1998) também contribui com essa
idéia acrescentando que é possível nesses territórios ocorrerem narrativas particulares que
podem estabelecer “qual conhecimento é legítimo e qual é ilegítimo; quais formas de
conhecer são válidas e quais não são; o que é certo e o que é errado; o que é imoral e o que é
moral.” (p.56). Voltando ao ensino da matemática pergunta-se: Que sujeito tem-se em mente
formar com o currículo de matemática? Que conhecimentos são necessários para a construção
desse sujeito?
As reflexões até agora fornecidas pela Modelagem Matemática na educação
contribuem para essas questões levantadas. A maneira de trabalhar o ensino da matemática
através da MM é bem diferente da maneira em que o ensino tradicional propõe. Essa nova
maneira de desenvolver o ensino da matemática leva a uma visão curricular diferente daquela
caracterizada pela fragmentação do conhecimento e da disposição linear dos conteúdos. A
Modelagem Matemática como método de ensino pode contribuir para uma nova concepção de
currículo matemático: currículo em rede. Segundo Muniz (2004) esta concepção favorece a
uma integração entre os elementos internos da matemática, assim como, a integração da
matemática com outras áreas do conhecimento humano. O mesmo autor cita os temas
transversais, a pedagogia de projeto e a Modelagem como elementos que contribuem para a
formação de um currículo em rede. Com esta nova visão de currículo em rede a matemática
adquire um contexto mais amplo, permitindo assim, maior interesse sócio-cultural da
comunidade escolar na qual a matemática é utilizada como instrumento de leitura e
interpretação da realidade.
Mudar da visão tradicional sobre o currículo de matemática para uma visão de
currículo em rede não é algo tão simples. Barbosa (2001a) complementa afirmando que essa
mudança envolve o abandono de posturas e conhecimentos adquiridos na formação docente a
adoção de outras concepções. Por mais que os professores achem viável a utilização da MM
como método de ensino, não se pode esperar que a mudança seja instantânea. Barbosa
(2001a) alerta que a integração curricular de modelagem pode assumir formatos diferentes e
42
com isso a comunidade escolar vai criando seu ambiente de aprendizagem conforme as
condições de cada sala de aula, as experiências e confiança de cada professor.
43
CAPÍTULO III - REFERENCIAL METODOLÓGICO
Neste trabalho foi utilizada a pesquisa qualitativa. A pesquisa qualitativa, segundo
Lüdke (1988), tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados. Ela possibilita
trabalhar com valores, crenças, hábitos, atitudes, representações e opiniões. Este tipo de
pesquisa consegue penetrar nas intenções e motivos, a partir dos quais ações e relações
adquirem sentidos. Sua utilização é, portanto, indispensável quando os temas pesquisados
demandam um estudo fundamentalmente interpretativo. Os dados obtidos desse tipo de
pesquisa são predominantemente descritivos, focalizando pessoas, situações, acontecimentos
e inclui, também, transcrição de entrevistas e depoimentos. O pesquisador deve ficar atento e
coletar o maior número possível de elementos presentes na situação estudada através do
contato direto entre pesquisador e sujeitos nela presentes. As características da pesquisa
qualitativa descritas acima justificam a sua escolha como metodologia para o presente estudo.
Dentro da abordagem qualitativa foi escolhida a pesquisa participante, pois a
pesquisadora planejou e aplicou as atividades de Modelagem Matemática juntamente com a
professora. De acordo com Haguette (2003), a pesquisa participante desenvolve-se a partir da
interação entre pesquisadores e membros das situações investigadas. Esse tipo de pesquisa
envolve um processo de investigação, de educação e de ação; pesquisa participante é uma
pesquisa da ação voltada para as necessidades do indivíduo e do grupo (BRANDÃO, 1999,
p.43).
3.1 PARTICIPANTES
A Modelagem Matemática pode ser aplicada a qualquer nível de escolaridade; das
séries iniciais a um curso de pós-graduação (BIEMBENGUT, 2003). No presente caso, a
pesquisa foi desenvolvida no Ensino Médio de uma escola estadual do município de Posse no
Estado de Goiás. Esta escolha deve-se ao fato de que nesta fase de escolaridade não se
percebe a preocupação dos professores em trabalhar a matemática de forma prática ou a partir
de uma problematização. Essa tem sido a observação da pesquisadora, que é supervisora de
estágio do curso de Licenciatura em Matemática e tem contato direto com professores de
matemática e alunos do Ensino Fundamental e Médio. No Ensino Médio, segundo, a
pesquisadora, existe uma preocupação excessiva com a quantidade de conteúdos a serem
trabalhados, talvez por causa da pressão do exame vestibular.
44
Os critérios utilizados para a escolha da instituição foi o número de alunos
matriculados e a escola ser pública. A instituição escolhida possui o maior número de alunos
matriculados no Ensino Médio do município, oferecendo este tipo de ensino nos três turnos. O
corpo discente da escola escolhida é de aproximadamente setecentos alunos no Ensino Médio,
os quais provêem da classe média baixa em sua maioria. A escola possui boa estrutura física,
inclusive laboratório de informática e ciências.
A pesquisa foi desenvolvida no 1º ano do Ensino Médio. O critério utilizado para esta
escolha foi a presença da evasão neste ano escolar. Pelos dados estatísticos da escola a série
que apresentou maior evasão escolar no Ensino Médio foi o 1º ano, com 20,2 % . A pesquisa
aconteceu em uma turma do período vespertino com 26 alunos. Esta turma foi escolhida
porque é uma turma com sérios problemas de motivação para estudar (segundo a
coordenadora e a professora), tem desempenho menor na disciplina de matemática em relação
às outras turmas do mesmo ano da escola.
Como se trata de uma intervenção na realidade, torna-se importante que a
pesquisadora seja aceita pelo professor e que o professor esteja disposto a aplicar uma nova
metodologia e dispor de tempo para planejar todas as ações. A professora do 1º ano escolhido
preenche estes requisitos.
3.2 INSTRUMENTO DE COLETA DE DADOS
Para a coleta de dados esta pesquisa utilizou os seguintes instrumentos: observação
participante realizada em sala de aula da turma do 1º ano do Ensino Médio selecionada para
participar da pesquisa; entrevista com grupo focal antes e depois da aplicação da Modelagem
Matemática com os alunos; entrevista semi-estruturada com a professora da turma antes e
depois da aplicação da nova metodologia.
3.2.1 Observação Participante
A observação para se tornar um instrumento científico precisa ser planejada e o
observador deve estar preparado para realizá-la. A observação participante se justifica pelo
fato de a pesquisadora participar do processo em sala de aula, além de ficar atenta a todas as
reações dos alunos e da professora antes e durante a aplicação da Modelagem Matemática.
Segundo Vianna (2003), a observação participante é uma das fontes mais importantes nas
pesquisas qualitativas em educação. A observação tem como finalidade obter informações da
45
realidade empírica relacionadas aos objetivos enunciados para esta pesquisa, indicando quais
as informações que realmente interessam a pesquisa. “As observações, quando
adequadamente realizadas, são um retrato vivo da realidade estudada” (VIANNA, 2003).
Todos os elementos importantes observados pela pesquisadora foram registrados durante a
realização de 38 observações com a duração de aproximadamente três meses. Para melhor
condução dos registros foi elaborado um roteiro de observação participante (Apêndice I).
3.2.2 Grupo Focal
O grupo focal é um instrumento de pesquisa cuja essência é a entrevista. No grupo
focal a entrevista é realizada com um grupo de pessoas em vez de individualmente. Nesta
modalidade de entrevista grupal, os membros são selecionados por suas características em
comum. Durante o grupo focal, os participantes entrevistados falam, expõem suas idéias e
contribuem para um ambiente de debate. Gibbs (1997) argumenta que esse tipo de entrevista
grupal faz com que o indivíduo na situação de grupo focal modifique seu entendimento e
atitude em relação ao problema em foco. A mesma autora acrescenta que o principal objetivo
dessa modalidade de instrumento de pesquisa é o de captar crenças, sentimentos, atitudes,
experiências e reações dos entrevistados. O grupo focal não pretende chegar a um consenso,
mesmo porque é interessante registrar todas as diferentes posições sobre um tema. Flick
(2004) acentua esse caráter do grupo focal reportando-se a Patton ao afirmar que a entrevista
não é um mecanismo de tomada de decisão; essencialmente ela é uma entrevista. Não é uma
sessão para resolver um problema. Não é um grupo de tomada de decisões. É uma entrevista.
Outra vantagem deste instrumento de coleta de dados é que permite coletar, em pouco
tempo e em profundidade, um volume importante de informação qualitativa a ser utilizada em
avaliações rápidas (ABRAMOVAY; RUA,2003). O número ideal de participantes de um
grupo focal situa-se entre 6 a 8 pessoas com duração de 30 minutos a duas horas.
Recomenda-se duplas de entrevistadores, sendo que, um conduz a entrevista e o outro fica
livre para documentar a pesquisa (FLICK, 2004). Para melhor efetivação das entrevistas foi
elaborado um roteiro de entrevista a ser utilizado com o de grupo focal (Apêndice II e III).
Vale ressaltar que a entrevista com o grupo focal foi gravada.
46
3.2.3 Entrevista semi-estruturada
A entrevista semi-estruturada é considerada um dos principais instrumentos de coleta
de dados pelas vantagens que contempla. A interação que se estabelece entre o entrevistado e
o entrevistador permite colher uma quantidade grande de informações, aprofundarem os
dados fornecidos e realizar correções sobre dados levantados, ouvindo direta e imediatamente
a fonte informante (ALVES, 2003). Através da entrevista pode-se obter, com maiores
detalhes, dados para o desenvolvimento e compreensão das atitudes e motivações em relação
aos comportamentos dos estudantes (BAUER:GASKELL,2003). Na entrevista semi-
estruturada os sujeitos são encorajados a falar com liberdade sobre uma área de interesse,
descrevem situações, comportamentos, idéias, valores e sentimentos. Pode acontecer ainda, no
decorrer da entrevista, alterações na condução das perguntas em função das respostas dadas
pelos entrevistados.
A entrevista semi-estruturada foi realizada com a professora antes e depois da
aplicação da Modelagem Matemática. Para a entrevista a pesquisadora utilizou como guia um
roteiro de perguntas (Apêndice IV e V). Para não perder nenhum detalhe da fala da
entrevistada a entrevista foi gravada.
A tabela abaixo demonstra os objetivos que foram contemplados em cada instrumento
de pesquisa:
Instrumentos de pesquisa Objetivos específicos
Observação
Participante
Grupo
Focal
Entrevista com
a Professora
1-Identificar possíveis mudanças nas concepções de matemática dos alunos que vivenciaram a Modelagem Matemática
X X
2- Identificar a opinião do professor quanto à utilização da Modelagem Matemática antes e depois do emprego da mesma
X
3- Identificar as dificuldades na utilização da Modelagem Matemática por alunos e professor
X X
4- Identificar contribuições da Modelagem Matemática referentes ao nível de interesse dos alunos
X X
Tabela 1. Objetivos específicos e Instrumentos de Pesquisa
47
3.3 COLETA DE DADOS
A aplicação da Modelagem Matemática ocorreu em 28 aulas, começando no mês de
outubro. A coleta de dados seguiu três etapas:
1ª etapa - Duas semanas antes de aplicar a modelagem, a pesquisadora foi apresentada a turma
e freqüentou as aulas de matemática para “familiarizar-se” com a mesma. Este processo foi
importante, pois um dos elementos que contribuem para o sucesso da pesquisa é o
pesquisador ser aceito pelo grupo (THIOLLENT,1988). No início deste período foi realizada
a entrevista semi- estruturada com a professora participante da pesquisa, a qual ainda não
havia tido qualquer envolvimento com a Modelagem Matemática. Após esta entrevista a
pesquisadora marcou dois encontros com a professora para estudo e planejamento das
atividades de Modelagem Matemática. Ao final deste período, a pesquisadora formou um
grupo focal com 9 alunos escolhidos aleatoriamente para o qual foi explicado o “porque” da
formação deste grupo. A explicação sobre grupo focal é apresentada no item 3.2.2 Grupo
focal. Para a realização do grupo focal foi utilizado o roteiro de entrevista previamente
elaborado.
2ª Etapa – Após a realização do grupo focal teve início a aplicação da Modelagem
Matemática pela professora com o auxílio da pesquisadora. Durante o desenvolvimento da
nova metodologia ocorreram encontros entre a pesquisadora e a professora para discussões e
planejamento de novas ações. O comportamento dos alunos e da professora durante o
desenvolvimento da metodologia foi observado pela pesquisadora e os dados obtidos foram
registrados na ficha-roteiro ( Apêndice I).
3ª Etapa - Após o término da aplicação da Modelagem Matemática, efetivou-se novamente o
grupo focal com os alunos e a entrevista semi-estruturada com a professora.
3.4 PROCEDIMENTOS
Muitas situações do dia a dia requerem a utilização de raciocínios matemáticos, sejam
eles simples ou mais complexos como, por exemplo, a verificação de um troco na compra de
uma mercadoria; pesquisas de melhores taxas de juros; condições de pagamento nas compras
com financiamentos; custo da reforma de uma cozinha; controle de ingestão de calorias para
uma dieta balanceada, etc. Muitas dessas situações reais apresentam problemas que exigem
soluções e decisões. Através da Modelagem Matemática quase todos esses problemas de
situações reais ou fenômenos podem ser trabalhados na escola. No desenvolvimento de MM é
48
colocado para o aluno o desafio de problematizar, pesquisar e construir um modelo
matemático da situação real.
Antes de iniciar a Modelagem Matemática é necessário realizar um diagnóstico da
turma: levantamento da realidade socioeconômica, o tempo disponível do aluno para
atividades extraclasse e o nível de conhecimento matemático dos mesmos. A esse diagnóstico
deve ser acrescentado informações sobre o número de alunos e o horário da disciplina, que
constituem elementos fundamentais para o planejamento das aulas.
Modelagem Matemática segundo Biembengut
Biembengut (2003), elaborou através de suas pesquisas, algumas etapas que devem
ser seguidas para o desenvolvimento da Modelagem no ensino da matemática. Estas etapas
são as seguintes:
• Escolha do tema ou modelo matemático. Através do tema (a ser transformado
em modelo matemático) será desenvolvido o conteúdo matemático a ser
desenvolvido em um determinado período letivo. O tema pode ser escolhido pelo
professor depois da análise do diagnóstico da turma ou pode ser escolhido pelos
alunos. Esta etapa é importante porque o tema escolhido deve abranger, não só, o
conteúdo programado pelo professor como também deve ser interessante para o
aluno.
• Interação com o tema. Ao decidir qual a situação real a ser estudada, deve ser
feito um estudo indireto sobre o assunto (livros, revistas especializadas entre
outros) e/ou direto (ir a campo conhecer a realidade e coletar dados). É uma etapa
de reconhecimento e familiarização com o tema. O objetivo dessa etapa é tornar a
situação problema cada vez mais clara na medida em que vai interagindo com os
dados. Esta fase requer habilidade do professor ao demonstrar seu conhecimento e
interesse pelo tema em questão. Essa habilidade contribui significativamente para
a motivação dos alunos. É interessante nessa fase fazer um levantamento de
questões (dúvidas, interesses, necessidades), instigando os alunos a participarem
com sugestões.
• Formulação e resolução das questões (matematização). Esta etapa é muito
importante e desafiante, pois é neste momento que se dá a “tradução” da situação-
problema para a linguagem matemática. Neste momento são levantadas as
questões a fim de levarem os alunos a proporem respostas; mantendo um ambiente
49
de liberdade, estimulando a participação, a descontração e a criatividade do aluno.
Pode-se propor palestra para os alunos com o intuito de obter mais informações
sobre o assunto; perceberem a importância da matemática estudada e também a
valorização do trabalho de outro profissional. Nesta Etapa dos trabalhos são
criados os modelos matemáticos a partir das questões formuladas. Os modelos
elaborados pelos grupos devem utilizar no mínimo, de uma parte dos conteúdos
programáticos da disciplina. Durante o processo de Modelagem Matemática
geralmente existe interrupções para revisar ou conhecer certo conteúdo, com o
objetivo de resolver o problema em foco. Depois de desenvolver o conteúdo
necessário e suficiente para responder ou resolver as questões dessa etapa da
matematização, são propostos, exemplos análogos, contribuindo para a
generalização do conhecimento adquirido.
• Validação do Modelo. Os modelos matemáticos criados pelos alunos podem ser:
uma expressão numérica ou fórmula, diagramas, gráficos, tabelas, representações
geométricas, programas de computadores entre outros. Nesta etapa de validação os
alunos analisam os resultados obtidos e verificam a adequação e importância do
modelo matemático por eles estabelecidos. Após a validação do modelo é
importante organizar um trabalho de apresentação dos resultados, seja ele escrito
ou oral, podendo ser feito através de um seminário.
A Modelagem Matemática na turma do 1º ano do ensino médio.
A aplicação da Modelagem Matemática na turma do 1º ano do ensino médio do turno
vespertino, participante desta pesquisa, foi estruturada conforme as etapas orientadas por
Biembengut (2003), expressas anteriormente.
* Escolha do tema . O Tema para a aplicação da Modelagem Matemática na turma do 1º ano
do ensino médio, foi escolhido pela professora com base no conteúdo previsto para o 4º
bimestre envolvendo cálculo de área de figuras planas referindo-se, especificamente, a
construção de casa. Na cidade em que a pesquisa ocorreu, a construção civil está presente
fortemente na vida da maioria dos alunos devido ao crescimento desta área nos últimos anos.
*Interação com o tema. A problematização do tema efetuou-se através de um debate com os
alunos sobre o tema: o que eles sabem sobre construção de casa e o que gostariam de saber.
No início das atividades os alunos demonstraram timidez. A professora perguntou se a casa
deles era bem dividida ou se tinha algum problema na construção. A partir dessa pergunta os
50
alunos começaram a falar, pois o tema aproximou-se mais da realidade deles. O processo de
interação com o tema ocorreu durante três aulas. A professora levou para a sala de aula
plantas baixas de algumas casas para estudo e discussão. Um mestre de obras foi convidado
pela pesquisadora para visitar a turma e tirar possíveis dúvidas sobre a planta baixa. Nesta
etapa da pesquisa os alunos discutiram sobre a importância do projeto de uma casa (planta
baixa) e elementos importantes que devem ser considerados ao elaborar uma planta (nº de
moradores, profissão do morador, tamanho do terreno, escala, entre outros). Segundo
Skovsmose (2000), quando se cria condições nas quais os alunos são estimulados a
desenvolverem determinadas atividades está se falando em ambiente de aprendizagem.
*Formulação e resolução das questões (matematização). Com a discussão do tema foram
surgindo algumas questões levantadas pelos alunos e respondidas pelo mestre de obras (a
professora e a pesquisadora foram anotando): como faz uma planta baixa utilizando a escala?
Como eu sei se o banheiro não vai ficar pequeno? O que começa primeiro na construção?
Como calcular a quantidade de tijolos? Como eu sei o que vou gastar na construção? Como o
pedreiro acerta direitinho o que está no papel? Entre outras questões. Apesar do engenheiro
responder algumas perguntas feitas pela turma, muitas dúvidas ainda ficaram. A partir de
todas as questões levantadas a professora e a pesquisadora, juntamente com a turma,
selecionaram cinco questões: 1)Como se faz uma planta baixa? ; 2) Como calcular a área
construída e área livre de um terreno?; 3) Como calcular a quantidades de tijolos a ser
utilizado na construção e o custo da compra de tijolos? ; 4) Qual o custo para colocar piso no
banheiro e na cozinha? ; 5) Como é feito o telhado da casa?
Com bases nessas questões selecionadas, a pesquisadora e a professora planejaram as
ações de cada semana para que todas as etapas da Modelagem Matemática fossem trabalhadas
no 4º bimestre. A última questão não foi desenvolvida, porque a turma tinha muita dificuldade
nas resoluções e construções dos modelos e consequentemente o tempo não foi suficiente para
trabalhar essas dificuldades. Esse fato não impediu a concretização das etapas da Modelagem
Matemática e nem a qualidade da coleta de dados.
Nesta etapa a turma foi dividida em duplas para facilitar o entrosamento entre eles.
Deu-se início a resolução da primeira questão. Para facilitar a construção do modelo (planta
baixa) foi entregue para os alunos papel quadriculado. O problema sobre a construção da
planta baixa abordou vários conteúdos matemáticos: paralelismo, perpendicularismo, ângulo
reto, perspectiva de desenho na divisão dos espaços, sistemas de medidas, transformações de
medidas, razão e proporção, escala. O domínio desses conteúdos é condição primordial para a
51
realização do modelo. As dificuldades eram dirimidas pela professora utilizando o quadro
negro e o auxílio da pesquisadora.
A segunda, terceira e quarta questão abordaram os seguintes conteúdos: cálculo de
superfície de retângulos e quadrados, transformações de medidas, razão, proporção,
porcentagem, juros, desconto, tabelas, função do 1º grau. Para incentivar o estudo do custo de
piso e condições de pagamento do mesmo; a professora e a pesquisadora pediram para os
alunos uma pesquisa de preço e condições de pagamento junto a duas lojas de materiais de
construção da cidade.
A resolução de problemas (ou questões) envolve a construção de modelos e para esta
construção os alunos deveriam dominar os conteúdos. Eles apresentaram os seguintes
modelos: planta baixa, fórmulas para cálculo de quantidades de tijolo, fórmulas para calcular
o custo de tijolos e cerâmica e tabelas relacionando quantidades e preços.
*Validação do modelo. Ao término da construção de cada modelo os alunos eram solicitados
a avaliar o mesmo. A planta baixa foi avaliada pelo grupo envolvendo a verificação da
correção das escalas e da adequação das dimensões e posicionamentos dos cômodos. No caso
das fórmulas os alunos estipulavam outros valores para as variáveis dependentes e avaliavam
os resultados. No modelo em forma de tabelas os alunos analisaram se as variações eram
proporcionais. Essas avaliações eram sempre discutidas com a professora e pesquisadora.
Dessa forma a professora e a pesquisadora verificavam o grau de envolvimento dos alunos
com as atividades e de compreensão dos conteúdos abordados. Após a validação dos modelos
deu-se por encerrado a aplicação da MM na turma do 1º ano do ensino médio.
52
CAPÍTULO IV – RESULTADOS E DISCUSSÕES
Estudos voltados para o ensino da matemática são sempre bem vindos, visto que esse
componente curricular apresenta dificuldades referentes ao ensino-aprendizagem dos
conteúdos. Este estudo sobre a Modelagem Matemática contribui para as discussões sobre
aplicação de metodologias alternativas buscando melhorar a qualidade do ensino-
aprendizagem da matemática. Este capítulo apresenta a análise dos dados coletados antes,
durante e depois do desenvolvimento da Modelagem Matemática através dos instrumentos
utilizados na pesquisa: observação participante, grupo focal e entrevista semi-estruturada. A
análise de dados foi organizada em três subtópicos: 1) Mudança nas concepções dos alunos;
2) O Professor e a Modelagem Matemática; 3) Contribuições da Modelagem Matemática
referente ao nível de interesse dos alunos.
3.1 MUDANÇA NAS CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA - ALUNOS
Para identificar as mudanças na concepção de matemática dos alunos foram analisadas
as informações obtidas através do grupo focal. O grupo focal ocorreu em dois momentos,
sendo o primeiro momento antes do desenvolvimento da Modelagem Matemática em sala de
aula e o segundo após o desenvolvimento da mesma.
A matemática é um componente curricular que por muito tempo tem sido identificado
de difícil aceitação pelos alunos. No primeiro momento da realização do grupo focal uma
insatisfação começou a aparecer de forma bem declarada nas respostas apresentadas pelos
alunos às perguntas constantes no roteiro previamente elaborado para este primeiro momento.
Assim, a análise das concepções tem por base as respostas dos participantes. A primeira
pergunta - Vocês gostam de estudar matemática? Apresentou os seguintes resultados: dos
nove alunos entrevistados seis imediatamente responderam que não gostavam, dois disseram
“mais ou menos” e somente um disse que amava. A expressão facial da maioria dos alunos,
após a pergunta, representava algo negativo. A falta de entendimento dos conteúdos foi uma
das justificativas dessa insatisfação, a qual segundo eles, tornava a aprendizagem difícil e
cansativa
Eu acho a matemática muito difícil. Eu tenho muita dificuldade... em resolver
problemas essas coisas assim.(N)
53
Ah! Professora é cansativo. Por que assim...quando está os números... a gente pensa que é pra somar, três mais três , ou para multiplicar... três vezes o três,...aí você resolve e dá o resultado e chega na professora pra mostrar o resultado... aí a professora diz: não você tem que dividir ou tem que somar ... Quando você pensa que está chegando no resultado, a professora diz que é aquilo... ou que aquilo outro, aí se vai tomando raiva da matéria.(G)
Eu acho a matemática cansativa, são muitos cálculos e contas pra fazer, eu não dou conta! Qualquer coisa que você erra, você erra a conta toda. (W)
A partir dessas falas percebe-se que os alunos não entendem o procedimento
matemático que deve ser utilizado no exercício; não há compreensão do processo, por isso
erram tanto. Esses erros acabam gerando cansaço, irritação e sensação de fracasso. Essa falta
de compreensão pode ser conseqüência do método de ensino utilizado pelo professor que
prioriza a memorização de procedimentos matemáticos. Segundo Micotti (1999), a falta de
compreensão pode chegar ao ponto de impedir que a informação tenha significado para o
aluno, comprometendo sua transformação em conhecimento. As dificuldades ou sensação de
fracasso são elementos sempre presentes nas aulas de matemática onde não há o
comprometimento do ensino com a compreensão. No ensino tradicional o foco está no ensino
e não na aprendizagem, acentua-se a transmissão do saber já constituído, estruturado pelo
professor; a aprendizagem é vista como uma impressão, na mente dos alunos, dos conteúdos
apresentados nas aulas.
Apesar da maioria dos alunos não gostarem de matemática, todos acham ela
importante. Isso foi verificado na pergunta: Vocês acham importante estudar matemática?
Todos responderam que sim. Os alunos justificaram a resposta afirmando unanimemente que
a matemática está presente em todos os aspectos do cotidiano.
Tudo que você for fazer hoje tem a matemática no meio. Tudo o que for fazer hoje você tem que usar a matemática. Por isso é que tem que estudar. Igual... eu mesmo, eu trabalho em uma banca, daí eu tenho que estar mexendo com conta direto.(W) É como ele falou, até no seu dia a dia e todo lado que você olha tem matemática. Por exemplo essa mesa, essa cadeira tem que ter uma certa medida, para construir elas , tem fazer uma conta.(R)
Foi perguntado também: Esses aspectos do cotidiano relacionados com a
matemática estão presentes nas atividades desenvolvidas pelo professor em sala de aula.
Todos responderam que não e justificaram dizendo que não entendem a aplicação do que esta
sendo ensinado.
Não tem nada a ver o conteúdo que a gente estuda com o que a gente vai precisar lá fora (U)
54
Pra que a gente vai usar equação no dia a dia da gente, aquilo não tem nada a ver. Do jeito que é ensinado não está me levando a lugar nenhum (N) Do jeito que a gente vê na sala de aula , deixa a cabeça da gente louca (M)
Os alunos são conscientes da importância do conhecimento matemático e afirmam que
ele está presente em muitas situações do mundo real, mas verificam que a metodologia
utilizada pelo professor não relaciona os conteúdos com a realidade. Além do aluno não
entender os procedimentos matemáticos, ele também não percebe a utilidade daquilo que ele
está fazendo, e isso pode estar causando toda a insatisfação em relação às aulas de
matemática. A compreensão dos procedimentos matemáticos pode ser analisado de acordo
com as teorias de Vygotsky (1987) sobre formação de conceitos. Vygotsky (1987) em seus
estudos sobre a formação de conceitos, evidencia a importância do confronto entre conceitos
espontâneo e conceitos científico (discutidos no Referencial Teórico). Os conceitos
espontâneos são aqueles que o aluno desenvolve no decorrer do seu cotidiano e os conceitos
científicos são aqueles sistematizados e transmitidos intencionalmente em ambiente escolar.
Na relação entre esses dois conceitos ocorre uma movimentação segundo a qual o conceito
científico desce até a realidade concreta para começar o seu processo de desenvolvimento e os
espontâneos sobem na tentativa de buscar sistematizações e generalizações mais amplas. As
metodologias de ensino nas aulas de matemática poderiam considerar o conhecimento prévio
do aluno e a partir desse conhecimento desenvolver outros. Pela fala dos alunos os conteúdos
são trabalhados em sala de aula de forma isolada sem nenhuma relação com o mundo real.
Moysés (1997) critica essa forma de trabalho porque ela dificilmente mostra para o aluno a
relação direta e óbvia que há entre escola e vida: “É como se o processo de escolarização
encorajasse a idéia de que no “jogo da escola” o que conta é aprender vários tipos de regras
simbólicas, aprendizagem essa que deve ser demonstrada no seu próprio interior” ( p 59).
Após a aplicação da Modelagem Matemática, conforme descrito anteriormente a partir
da página 19, foi realizado o segundo grupo focal. Nas respostas apresentadas pelos alunos à
primeira pergunta do roteiro previamente elaborado, foi possível identificar mudanças nas
percepções dos alunos referentes à matemática. A primeira pergunta feita para os alunos foi:
Mudou alguma coisa em relação à disciplina de matemática depois dessa nova maneira
como a professora trabalhou? Justifique sua resposta. A maioria respondeu que sim. E a
justificativa da maioria foi porque eles estavam entendendo o que estavam fazendo.
Eu gostei, tinha coisa que eu não sabia e eu aprendi, cálculos que eu não sabia resolver e agora eu aprendi a resolver, e no início eu achava muito difícil e agora não, eu acho mais fácil.(E)
55
É assim porque... os cálculos eu achava que eu tinha muita dificuldade. Mas agora eu vejo que não é tão difícil. Por que os cálculos de antes, aquelas matérias que a gente viu nos primeiros bimestre era... assim... um pouco complicada. Não tinha coisa com coisa, não dava pra resolver... Agora já dá para entender.(M) Eu mesmo não gosto muito de matemática, mais eu acho que é porque ela é cansativa, muita conta que a gente se perde. Na aula da senhora nem todo dia era a mesma coisa, eu entendia o que estava fazendo, eu até ajudei Elevina.(R)
As atividades desenvolvidas durante a aplicação da Modelagem Matemática partiram
de situações da realidade do aluno. Durante a aplicação da MM o aluno realizava os
procedimentos matemáticos para resolver questões que ele mesmo ajudou a elaborar. De
acordo com D’Ambrósio (1986) a aprendizagem se concretiza a partir de um ciclo: realidade-
ação-realidade. Este ciclo acontece através das interações que o aluno faz com o meio em que
vive, quer dizer, a aprendizagem é o resultado de um movimento cíclico e dialético entre
reflexão e ação. D’Ambrosio também evidencia a importância em trazer para a sala de aula
elementos da cultura dos alunos, utilizando esses elementos como forma de interação entre
aluno e os conteúdos matemáticos.
Os alunos durante o segundo grupo focal, citaram em vários momentos a importância
da aplicação dos conteúdos estudados demonstrando que percebiam a aplicabilidade do
conhecimento matemático adquirido.
Agora eu já tenho uma base de como começar uma casa. Já tenho noção (todos riram), antes eu não tinha noção de nada, pra mim... Eu vi que tem que fazer conta e pesquisar tem gente vendendo mais caro as coisas... (E) ...mostrava porque a gente ia fazer os cálculos, porque a gente quer saber! Com a curiosidade de como fazer a casa, a gente foi fazendo os cálculos, as porcentagens. (A) Eu posso dizer que hoje eu sei calcular área de chão e de parede, hoje eu entendo melhor o que é área, era uma coisa que eu não entendia... (R)
Como já foi citado, na metodologia tradicional de ensino da matemática as atividades
desenvolvidas não promovem a interação do aluno com o conteúdo de forma contextualizada;
o aluno não questiona, as atividades são realizadas de forma mecânica e sem compreensão.
Essa forma de ensino se situa na “educação Bancária” a qual Freire (1987) faz referência.
Segundo o autor o professor deposita (como nos bancos) sua sabedoria por meio de
explicação, na cabeça dos que não sabem. Nesta forma de educação o professor é o detentor
de todo o conhecimento e o aluno é aquele que nada sabe. Freire defende a educação
56
problematizadora, onde o aluno questiona, faz perguntas porque, segundo ele, perguntar faz
parte da natureza humana.
“... o início do conhecimento, repito, é perguntar. E somente a partir de perguntas é que se deve sair em busca de respostas, e não ao contrário: estabelecer as respostas, com o que todo o saber fica justamente nisso, já está dado, é um absoluto, não cede lugar a curiosidade nem a elementos por descobrir.” (FREIRE. P & FAUNDEZ,1986 p.46)
Nesta experiência, a Modelagem Matemática desenvolveu mudanças nas aulas de
matemática dos alunos do 1º ano do ensino médio. Os alunos saíram da condição de
receptores de informação para participar do processo de construção do conhecimento. Durante
as aulas os alunos participaram de debates sobre o tema e durante as atividades eles tiveram
espaço para perguntas. A curiosidade estava presente em sala de aula contribuindo
eficazmente para a aprendizagem dos conteúdos matemáticos, segundo as afirmações dos
alunos:
... eu acho diferente porque antes era aquela coisa assim todo mundo já estava enjoando, não queria fazer mais exercício na sala, só copiar . E agora depois que a senhora chegou na sala ficou mais alegre, tirou muitas dúvidas, eu que nunca gostei de matemática estava fazendo os exercícios e estava gostando.(G)
Agora com essas contas da casa, eu aprendi coisa que eu nem sabia que existia,...é... a curiosidade fez a gente gostar das aulas.(R)
A mudança nas concepções dos alunos em relação a matemática foi positiva, eles
perceberam que é possível ser feliz estudando matemática. A Modelagem Matemática como
método de ensino pode realmente provocar mudanças em relação ao gosto pelo estudo da
matemática. Segundo os alunos, a MM pode fazer da aula de matemática um espaço onde
realmente a aprendizagem é efetivada através da interação entre escola e vida.
4.2 O PROFESSOR E A MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste tópico são apresentadas as informações obtidas através do instrumento
entrevista semi-estruturada com a professora. A entrevista semi-estruturada ocorreu em dois
momentos: o primeiro momento foi antes do desenvolvimento da Modelagem Matemática e o
segundo momento depois do desenvolvimento da mesma.
Entrevista semi-estruturada antes do desenvolvimento da Modelagem Matemática
57
A primeira pergunta do roteiro previamente elaborado para entrevista semi-estruturada
foi: Você leciona há quanto tempo no ensino médio? A professora respondeu que ministra
aulas de matemática no ensino médio há nove anos. A professora declarou que no início de
suas atividades na educação não tinha habilitação para lecionar matemática, somente depois
de quatro anos conseguiu concluir o curso de Licenciatura em Matemática. A professora após
a conclusão do curso superior participou de dois cursos de capacitação sobre o ensino
aprendizagem da matemática oferecido pela Secretaria Estadual de Educação do Estado de
Goiás.
Em seqüência ao roteiro de perguntas, foi questionado : quais os problemas que
encontra para lecionar matemática? Um dos problemas mencionados foi a percepção
negativa que o aluno tem da matemática
Tem muito problema. Muito problema, mesmo. Ainda os nossos alunos tem aquela visão que matemática é a pior matéria do mundo, né! ... que não deveria ter esta disciplina, que é difícil demais,... eu acho difícil tirar essa visão deles. É um processo muito longo, porque que está vindo de muito tempo, são poucos os alunos que referem a matemática como uma matéria boa. Você ainda encontra aluno que gosta, mas... são pouquíssimos,né! Existe aluno que gosta e fala que quer fazer matemática. Mas a grande maioria ainda tem um verdadeiro pavor.(D)
Outro problema declarado pela professora foi a falta de interesse por parte dos alunos
em estudar matemática na sala de aula e em casa.
... eles ainda não têm aquela concepção, né!.. assim, que matemática é uma disciplina que tem que ter dedicação, não é só aquela explicação do professor ali na sala e pronto e acabou e pronto, Tem que chegar em casa e estudar e não guardar os cadernos ,né! ... Só que eles não entendem, eles ainda estão com uma cultura de não responder as tarefas de casa ... Eles têm aquela cultura de ficar copiando, eles querem copiar a resposta pronta. É, em geral eu percebo isso sempre.
Quanto à metodologia de ensino utilizada pela professora ela declarou utilizar mais a
metodologia tradicional, pois se ela trabalhar atividades diferentes em sala de aula os alunos
podem dispersar ou pensar que ela está “enrolando” a aula.
Muitas vezes eu vejo a necessidade de ser meio tradicionalista,mesmo. Tem que estar jogando muita atividade para esses meninos fazer, porque não pode se perder... Eles já não têm o hábito, né! de estar fazendo, tem hora que eu sou muito tradicionalista, aí quando eu vejo que está meio “massante” aquela parte tradicionalista de só jogar tarefa, né! e atividade ... aí eu pego e jogo uma coisinha diferente... Mas ainda é complicado,né! ainda me sinto muito tradicionalista pela necessidade que eu vejo de estar sempre tradicionalista, porque o que parece que funciona mesmo é o tradicional.
58
Porque muita inovação e inovação ... também... as vezes a inovação ... eles não sentem que é aula, sente que está enrolando está “embromando”.
Como já foi referido neste estudo, o ensino da matemática pelo método tradicional
realmente conduz a resultados negativos como aqueles mencionados pela professora: o pavor
pela matemática e consequentemente o desinteresse pelo estudo da mesma. Enquanto o
professor não encontra caminhos para mudar as estratégias de ensino, ele tem que conviver
com esse mal estar causado pela falta de interesse dos alunos pela matemática. Segundo
Baldino (1999) apesar dos recém formados em matemática saírem das instituições superiores
motivados a promover as mudanças necessárias em sala de aula, as mudanças não acontecem.
O mesmo autor reforça dizendo que a motivação do recém formado logo desaparece, e há a
dramática evidência de que as concepções e práticas dos professores são rapidamente
absorvidas pelo ensino tradicional e as mudanças são anuladas. Baldino (1999) destaca a
necessidade de refletir sobre a formação de professores de matemática oferecidas pelas
instituições de ensino no Brasil.
Foram feitas perguntas a professora referente ao seu conhecimento sobre MM: Você
conhece a Modelagem Matemática? Você já estudou Modelagem Matemática? A
professora respondeu não conhecer bem, demonstrando ter apenas uma noção do que se trata.
Eu tenho uma noção,né!.. que é uma experiência de aplicações, assim... realmente onde o aluno, ... põe a mão na massa, aonde eles vão ver ali na prática ... que faz sentido, né!... você relacionar matemática do cotidiano com a matemática ali da escola. Então a modelagem faz com que o aluno perceba esta ligação, essa ponte.
A professora também declarou não utilizar formas diferentes de desenvolver as
atividades matemáticas porque é difícil controlar os alunos. Ela diz que trabalha os conteúdos
de forma contextualizada oferecendo exemplos do cotidiano e também declarou que os livros
auxiliam na contextualização:
...os alunos são difíceis, quando a gente coloca alguma atividade, né!... diferente... eles acham que a gente está enrolando a aula. Os alunos de hoje são complicados nada motiva eles ...quando leva para o laboratório de informática só querem ficar em orkut, aí fica difícil, né!.. por isso eu fico em sala mesmo dou muito exercício valendo nota pra não dispersar , mas mesmo assim não querem nada... ... eu procuro trabalhar de forma contextualizada, quando o conteúdo permite. Eu dou exemplos, né! ... da utilização, mas parece que eles nem escutam... o livro hoje em dia ajuda muito o professor na contextualização, ele já traz a utilização do conteúdo...
59
Apesar da professora não acreditar em atividades diferentes como as oferecidas pela
Modelagem Matemática ela permitiu que essas atividades fossem desenvolvidas em sua
turma.
Entrevista semi-estruturada após o desenvolvimento da Modelagem
Nesse segundo momento da entrevista foi possível analisar as informações referentes à
opinião da professora quanto à utilização da Modelagem Matemática como metodologia de
ensino.
Duas perguntas nortearam as respostas da professora referente à mudança de
concepção e sobre as contribuições oferecidas pela Modelagem Matemática. A professora
demonstrou muita satisfação em participar dessa experiência e o motivo dessa satisfação,
destacado em várias falas, foi a maior aprendizagem dos conteúdos a partir de aplicações
práticas.
No começo eles ficaram meio inseguros, ... né! E depois que eles foram pegando, entendendo o que era pra fazer, foram melhorando as concepções sobre área, espaço físico... foi melhorando, pra mim foi muito proveitoso... E vi que realmente teve resultado.(P) O aproveitamento do conteúdo foi bom , eu penso assim: se eu tivesse jogado todo o conteúdo da geometria , por exemplo,no quadro – giz, né!... e tentasse extrair deles tantas concepções, eles poderiam ter muito mais dificuldade. O que não ocorreu com a Modelagem, porque viam e entendiam a aplicação, né! Eles viam o real, e aí permitiu que eles entendessem melhor. No caso do desconto como eu já falei ... eles trabalharam a porcentagem e fizeram.. fizeram conta e fizeram tabela e até fórmula saiu!!! (P) Eu percebi a mudança de alunos que tinham muita dificuldade,né! Mas muita dificuldade mesmo, que eu percebi desde quando eu entrei. Como a aluna E, por exemplo, com o decorrer do período da aplicação essa pessoa cresceu muito e passou tranquilamente de ano. Teve aluno que cresceu muito, eu vi o progresso, parece que antes eles não entendiam nada, isso me preocupava, né! A modelagem ajudou esses alunos, parece que motivou... sei lá eles ficaram diferentes. Eu fiquei feliz com isso. A gente pensa...assim.. é tão difícil de alcançar todo mundo ...e quando a gente percebe, né! Que... um aluno que tem dificuldade está aprendendo a gente fica feliz...(P)
Para Vygotsky (1987) o professor atua como mediador entre o aluno e o objeto de
conhecimento através de estratégias adequadas. Como já foi dito a formação de conceitos,
segundo o mesmo autor, deve-se a um processo de relação entre conhecimentos espontâneos e
conhecimentos científicos. Ao contrário do conhecimento espontâneo, adquirido no meio
social, o conhecimento científico é adquirido intencionalmente. As estratégias de ensino
60
selecionadas pelo professor devem ser dinâmicas onde o professor questiona, a aluno
responde, o professor corrige, o aluno pergunta, o professor explica, enfim, deve haver
sempre uma estreita interação entre aluno e professor. É importante destacar que em termos
cognitivos o questionamento e a correção, por parte do professor, desempenham um relevante
papel na aprendizagem . De acordo com Vygotsky (1987), se o professor bem preparado
conhecer a zona de desenvolvimento proximal do aluno, saberá fazer as perguntas que irão
provocar o desequilíbrio na sua estrutura cognitiva fazendo-a avançar no sentido de uma nova
e mais elaborada reestruturação. Esses procedimentos são utilizados durante o
desenvolvimento da Modelagem Matemática. A professora declarou que a Modelagem
Matemática permitiu maior interação entre aluno e professor e com isso maior participação
dos alunos.
A contribuição que acho, assim também é a de permitir que o professor aproxima mais deles, que haja aquela troca, né!...que eles ficam...assim...eles sabem que tem que aprender e chamam mais o professor. Eles participam mais, porque quando a gente está explicando lá no quadro, muitas vezes eles nem participam,né! nem perguntam!!! nem questionam!! E a Modelagem permitiu essa aproximação. (P) Deu pra mim perceber, o quanto a criação, a participação do aluno no processo foi importante...(p)
As atividades realizadas fora de sala de aula permitiram que o aluno fizesse mais
relações do conteúdo matemático com o mundo real e com isso a aprendizagem aconteceu
com mais facilidade. A professora afirmou que foi importante o trabalho de contextualização
proposto pela Modelagem Matemática.
Foi importante fazer as visitas nas construções. E como foi, eu acho que foi isso que... que levou eles a dedicar mais. Pra mim eles puderam ver aquilo que a gente estava falando em sala, né! [...] Aquela discussão lá na obra sobre quantos tijolos tem no metro quadrado, eles perceberam no real o que é um metro quadrado e contaram os tijolos que estavam dentro, eu gostei daquela demonstração. [...] na hora de fazer a planta, porque no começo parece, assim... que eles estavam meio inseguros na hora de dividir os cômodos. Pra mim eles conseguiram visualizar, adquiriram maior visão espacial ... Com a visita as construções ficou mais claro, né ... e eles conseguiram fazer as atividades em sala com mais facilidade.
Biembengut (2003) afirma que as atividades oferecidas no processo da Modelagem
Matemática incentivam os alunos a estudar situações-problema por meio da pesquisa
61
aumentando o seu nível de interesse e aguçando o seu senso crítico. Um dos problemas que o
aluno tinha que resolver era a quantidade de tijolos necessários para a construção da casa e o
custo desse material. O trabalho de motivação iniciou com a palestra do mestre de obras e
depois outras atividades foram propostas como: o debate sobre como construir casas, as
visitas em construções e a construção da planta baixa. Ao fazer os cálculos para responder a
questão sobre quantidade de tijolos os alunos utilizaram conhecimentos matemáticos já
adquiridos além de aprender e revisar cálculo de área, porcentagem, juros simples e função do
1º grau. Ficou bem evidente que a aprendizagem dos novos conteúdos foi facilitada pelo
envolvimento dos alunos com o contexto da construção civil. A teoria de Vygotsky sobre
formação de conceito evidencia-se neste fato.
A curiosidade impulsionava os alunos a fazer os cálculos e aprender os procedimentos
matemáticos. A matemática segundo os PCNs (BRASIL,1997) tem um grande potencial para
a formação básica do aluno por que pode despertar a curiosidade e instigar a capacidade de
generalizar, projetar, prever e abstrair, auxiliando na estruturação do pensamento e no
desenvolvimento do raciocínio lógico.
O ensino da matemática prestará sua contribuição a medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. (BRASIL, 1997)
Quanto às dificuldades encontradas na utilização da Modelagem Matemática, a
professora declarou sua insegurança em alguns momentos na realização das atividades.
Segundo ela essa insegurança foi superada conforme percebia os bons resultados.
Olha posso falar a verdade... essa experiência serviu para tirar aquele pavor, assim de ficar pensando será que vai funcionar? Eu não te disse mas estava preocupada, pois aquela turma não é fácil, estava com medo até de atrapalhar a sua pesquisa. Quando a gente planejava, né! eu tinha medo de não dar certo. A Modelagem permitiu assim ampliar minha visão e estou mais encorajada em aplicar nas novas 1urmas que virão no ano que vem, eu vi que pode dar certo. Sair de sala é possível, deixar eles sentirem mais a matemática no dia a dia. (P)
... eu tava com medo, eu até queria que vc aplicasse em outra turma onde tem menos problemas, onde os alunos são mais, ...assim... interessados. Mas eu me surpreendi, eles seguiram direitinho todo o processo, foram trabalhando, né! (P) Uma das dificuldades que eu senti foi a insegurança inicial, será que vai dar certo? Como eu devo fazer.Como é que eu devo fazer para ficar melhor. Acho que a ansiedade, né! É um problema a gente sofre, antes do tempo.Acha que falta um pouco de segurança...
62
Biembengut (2003) esclarece que uma das condições necessárias para o
professor colocar em prática a Modelagem Matemática como método de ensino é a audácia.
O professor precisa ter um grande desejo em modificar a sua prática e disposição em aprender
e conhecer, pois esse novo trabalho proposto pela MM abre caminhos para descobertas
significativas.
A experiência vivida pela professora, participante dessa pesquisa, favoreceu mudanças
no desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem. Contribuíram para isso sua
disposição para conhecer o novo e a coragem de realizar mudanças na rotina de sua sala de
aula.
4.3 CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA REFERENTES AO NÍVEL
DE INTERESSE DOS ALUNOS
Nesta parte da análise de dados serão apresentadas as informações obtidas através do
instrumento observação participante. A observação participante ocorreu em duas etapas sendo
a primeira antes da aplicação da Modelagem Matemática em um total de10 aulas. A segunda
etapa ocorreu durante o desenvolvimento da MM perfazendo um total de 28 aulas.
A turma de alunos do 1º ano de ensino médio, participante da pesquisa, apresentava
problemas com motivação para estudar e apresentava também baixo rendimento na disciplina
de matemática. Como dito anteriormente, estes elementos contribuíram para a escolha da
turma. Nessa etapa, antes do desenvolvimento da Modelagem Matemática, a professora estava
finalizando o ensino do conteúdo sobre Progressão Aritmética. Foi observado que a maioria
dos alunos não sabia o significado de cada elemento da fórmula da Progressão Aritmética,
levando os alunos a cometerem erros na utilização da fórmula. Essa sucessão de erros irritava
os alunos, os quais afirmavam não saber mais nada.
A maioria dos alunos não sabia desenvolver os procedimentos matemáticos
necessários para resolver as atividades de Progressão Aritmética e nem entendia a aplicação
da mesma. Isso foi observado pela pesquisadora ao auxiliar os alunos a pedido da professora.
Muitos alunos ficavam copiando as respostas dos colegas e um grupo de cinco alunos não
realizavam nenhuma atividade proposta pela professora. Nessas duas semanas que
antecederam a aplicação da modelagem a média da freqüência foi de 16 alunos em uma turma
de 26 alunos. Verificou-se também que quando a aula acontecia no último horário era difícil
para a professora manter todos os alunos em sala até o final da aula.
63
A segunda etapa da observação participante ocorreu durante a utilização da
Modelagem Matemática. A mudança de comportamento dos alunos foi nítida. Nesta fase da
Modelagem Matemática dedicada a interação com o tema foi importante para a motivação,
foram propostas atividades como debates, entrevista com o mestre de obras e visitas a
canteiros de obras. Durante essas atividades a professora e a pesquisadora incentivavam os
alunos a perguntar sobre o tema e essa abertura às perguntas foi gerando maior interação entre
aluno e objeto de estudo.
Ah! Professora, na minha casa a construção não foi certa, tem muita rachadura... (N) É preciso mesmo planejar pois tem muita casa torta e os quartos as vezes são pequenos demais...(R) Esse negócio de banheiro na cozinha não é certo mesmo, fazendo a planta já pode ver isso!! (D)
A etapa de interação com o tema sendo estudada por meio da Modelagem Matemática
mudou a rotina da sala de aulas, e isso foi fundamental para o aumento do interesse dos
alunos em realizar as atividades propostas. Apesar dos alunos demonstrarem dificuldades em
elaborar a planta baixa os mesmos não desistiram, todos os grupos fizeram a sua planta. Outro
elemento verificado pela pesquisadora, que detectou aumento de interesse, foram os inúmeros
pedidos de orientações feitos pelos alunos à professora e à pesquisadora. Burak ( 1993) afirma
que o papel do professor no desenvolvimento da Modelagem Matemática assume
características diferentes do papel do professor na forma tradicional de ensino. Na proposta de
trabalho oferecida pela MM o professor tem o papel de mediador da relação entre ensino-
aprendizagem, isto é, ele orienta o trabalho, tira as dúvidas , questiona respostas e coloca
novos pontos de vista com relação ao problema, permitindo assim, que os alunos pensem mais
sobre o assunto.
A etapa da Modelagem Matemática sobre resolução das questões (matematização) foi
a mais trabalhosa e muitos erros de cálculos foram detectados. Os erros poderiam gerar
cansaço e desistência dos alunos. A desistência não ocorreu e isso pode ser explicado pelo
bom trabalho de orientação feito pela professora e pela pesquisadora, que utilizou o erro como
instrumento de aprendizagem.
O exemplo a seguir ilustra uma das utilizações do erro como instrumento de
aprendizagem. Em uma das atividades desenvolvidas durante a MM os alunos tinham que
calcular a área das paredes da casa. Os dados necessários para este cálculo eram obtidos a
partir da interpretação dos dados da planta baixa elaborados por eles. Dois grupos erraram ao
64
calcular a área de superfície do chão. Eles não conseguiram ter uma visão tridimensional da
planta nem identificar o dado correto referente à altura das paredes. Foi necessário colocar
réguas na planta baixa representando as paredes ou utilizar a sala de aula como exemplo de
um cômodo da planta. Após essas representações concretas eles conseguiram identificar o
erro cometido. O erro para os alunos já não era mais motivo de irritação e sim oportunidade
de aprendizagem.
Como já foi mencionado, as atividades de Modelagem Matemática permite maior
interação entre aluno e professor. Através dessa interação o professor pode encontrar
caminhos para que o aluno descubra onde errou e porque errou. “Ao procurar identificar,
mediante a observação e o diálogo, como o aluno está pensando, o professor obtém as pistas
do que ele não está compreendendo e pode interferir para auxiliá-lo” (BRASIL,1997, pg 59).
Durante o desenvolvimento do processo de Modelagem a professora e a pesquisadora
refletiam juntamente com os alunos a importância de descobrir o erro e identificar o que
ocasionou o mesmo. O erro deixa de ser um ponto de chegada para alunos fracassados e se
torna a oportunidade para o recomeço ou uma simples etapa de todo o processo de
aprendizagem. Essa maneira diferente de trabalhar com o erro do aluno, durante o
desenvolvimento da MM, possivelmente contribuiu para o aumento do interesse do aluno de
participar das atividades.
Outra informação importante obtida pela observação participante foi que o aumento do
interesse pelas atividades refletiu na freqüência dos alunos nas aulas de matemática. A média
de freqüência da primeira etapa de observação participante foi de 16 alunos e na segunda
etapa aumentou para 22 alunos correspondendo a um aumento de 37%. O aumento de
freqüência às aulas certamente está relacionado ao aumento de interesse dos alunos.
Todo mundo ficava mais curioso pra fazer mais ainda, e não era assim. Ninguém queria, assim... ficar saindo de sala eu achei eles mais interessados. (E) ...eu lembro que antes quando chegava segunda feira, batia o sinal todo mundo pensava: Ah! aula dupla de matemática. E a aula demorava a passar, uns até iam embora.(W) ...foi mais interessante, eu não gostava de matemática, eu quase não gostava. E agora eu não queria perder as aulas porque eu estava gostando da matéria (R)
As informações obtidas na observação participante são positivas e identificaram que
realmente a Modelagem Matemática é capaz de aumentar o interesse dos alunos
possibilitando uma aprendizagem mais significativa no que se refere à matemática.
65
É importante ressaltar que a única dificuldade identificada durante a observação da
utilização da MM foi lidar com a ansiedade dos alunos. Os grupos solicitavam a presença da
professora ou da pesquisadora ao mesmo tempo e não tinham paciência em esperar. Todos os
grupos queriam mostrar seus modelos e compartilhar descobertas. Havia grupos que
necessitavam de mais tempo para orientações que outros, devido ao tipo de dificuldades e isso
não era compreendido pela maioria dos alunos. Algumas vezes, para manter a ordem, a
professora interrompia as atividades para refletir, junto com os alunos, sobre os problemas
causados pela falta de paciência. Conforme o tempo foi passando os alunos ficaram mais
compreensivos.
Foi importante conscientizar os alunos sobre a necessidade do ato de perguntar,
demonstrar cálculos e expor suas idéias, mas também da necessidade de respeitar o tempo de
orientação para cada grupo, sendo uma questão de boa educação. Essa dificuldade em atender
a todos os alunos fez com que a pesquisadora e a professora buscassem também outra
solução: a interação entre os alunos. Alguns alunos que desenvolviam as atividades com
maiores facilidades eram solicitados pela professora para ajudar outros colegas com
dificuldades. A cooperação entre os alunos deve ser visto também como um incentivador da
aprendizagem, que é tão importante quanto a própria interação entre professor e aluno
(BRASIL,1997).
66
CAPÍTULO V – CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este estudo objetivou analisar as bases conceituais e o processo de aplicação da
Modelagem Matemática e suas contribuições para a melhoria do ensino-aprendizagem da
matemática no 1º ano do ensino médio. Objetivou também identificar, após a utilização da
MM, possíveis mudanças nas concepções de matemática dos alunos , bem como contribuições
e dificuldades. As informações obtidas através da coleta de dados possibilitaram maior
conhecimento sobre a utilização da Modelagem Matemática como método de ensino da
matemática.
A partir dos dados coletados foi possível identificar que a Modelagem Matemática é
capaz de promover mudanças referente a concepção de matemática dos alunos. Os alunos
antes da aplicação da MM demonstravam insatisfação com a matemática. Essa insatisfação,
segundo os alunos, deve-se a dificuldades em entender os conteúdos, tornando a matemática
cansativa e difícil. As metodologias de ensino que estavam sendo trabalhadas em sala de aula
não conseguiam aproximar o aluno do objeto de estudo. O fato de não entender o conteúdo
além de não perceber sua relação com a realidade do cotidiano provocou falta de interesse e a
sensação de fracasso.
É importante ressaltar que a matemática é um componente curricular que sempre
apresentou problemas de ensino-aprendizagem. Não foi novidade encontrar uma turma de
alunos que não gostasse de estudar matemática. Mas o que leva a essa insatisfação? No caso
dos alunos que participaram da pesquisa a insatisfação deu-se principalmente pelo fato de não
entenderem os conteúdos e sua aplicação conforme relatado acima. De acordo com Carvalho
(1994) um dos aspectos que devem ser analisados para a discussão sobre as dificuldades dos
alunos em entender matemática é a visão da Matemática que em geral norteia esse ensino: a
matemática é vista como uma área do conhecimento pronta, acabada, perfeita, presente
exclusivamente no mundo das idéias. Essa visão, segundo o autor, faz com que o
conhecimento matemático chegue até aos alunos de forma autoritária, por um professor que
domina e transmite ao aluno passivo esses conhecimentos. Essa visão da matemática
contrapõe-se a idéia de que o conhecimento está em constante construção.
Os dados coletados identificaram que as atividades da MM é capaz de proporcionar
maior entendimento dos conteúdos tendo a contextualização como um dos elementos
responsáveis por esse entendimento. A etapa de interação com o tema foi a mais importante,
na qual a motivação contribuiu para o sucesso da etapa seguinte que foi a resolução de
problemas/ matematização.
67
Além da contextualização dos conteúdos oferecida pela MM , os dados coletados
também apresentam a interação entre professor e aluno como um elemento importante para a
compreensão dos conteúdos. Essa interação teve como elemento fundamental o incentivo,
dado pelo professor, para que os alunos efetuassem perguntas, demonstrassem os resultados
obtidos, fizessem exposição de suas idéias. Esses incentivos favoreceram o aumento da
segurança e autonomia dos alunos. “Os alunos só aprendem a pensar por si próprios se
tiverem oportunidade de explicar os seus raciocínios em sala de aula ao professor e aos seus
colegas.” (CARVALHO, 1994, p.98).
Nas interações que o indivíduo faz com o mundo é possível reelaborar e complementar
os seus conhecimentos e com isso transformar suas ações. A sala de aula não pode ser vista
como um encontro de alunos que nada sabem com o professor totalmente sábio. A sala de
aula deve ser vista como um local de interações entre os principais elementos envolvidos:
alunos, professor e objeto de conhecimento. O professor deve ser o mediador dessas
interações. Pesquisas realizadas por Casassus (2002) sobre fatores que influenciam no ensino,
revelam que um clima emocional favorável dentro de sala de aula favorece no aumento de
rendimento escolar. Para obter esse clima emocional favorável é necessário que no ambiente
de aprendizagem os alunos sejam amigos e que o professor seja menos autoritário e mais
companheiro. Verificou-se também que a Modelagem Matemática pode contribuir para esse
clima emocional favorável, pois promove maior interação entre os alunos e professor.
O trabalho da professora no processo de desenvolvimento da MM foi fundamental,
bem como o planejamento contribuindo para o desenvolvimento tranqüilo das etapas. O
planejamento das ações feito pela professora e a pesquisadora permitiu sempre estar avaliando
as etapas da Modelagem Matemática e aperfeiçoando as novas ações num processo contínuo
de busca pela melhoria de aprendizagem.
Para Perez (1999), a figura do professor é vista como elemento fundamental para que
as transformações que se fazem necessárias na escola e na sociedade ocorram. Segundo o
autor, o professor tem grande relevância no processo educativo e no papel de agente
transformador da realidade. Nesse sentido há a necessidade desse profissional da educação
refletir sobre sua concepção de escola como instituição que transmite o conhecimento e como
local que auxilia o aluno a desenvolver competências, que o ensine a refletir, que o auxilie na
descoberta de novos caminhos para transformar a sociedade em que vive. Para que o aluno
adquira conhecimentos matemáticos e utilize esses conhecimentos como forma de transformar
a sua realidade é preciso que as formas de fazer matemática em sala de aulas sejam
repensadas.
68
D’Ambrósio (1993) afirma: “O professor que insistir em seu papel de fonte e
transmissor de conhecimento está fadado a ser dispensado pelos alunos, pela escola e pela
sociedade em geral”. (p.79). A autora acrescenta que a nova postura do professor é de
organizar e gerenciar o processo de aprendizagem interagindo com o aluno na produção de
novos conhecimentos. O professor para aplicar a Modelagem Matemática tem que ter uma
postura de mediador da aprendizagem e a interação entre professor e aluno acontece
naturalmente no processo. O professor na MM não apresenta os conteúdos de forma pronta e
acabada pela exposição oral, como acontece em métodos tradicionais. Os conteúdos na
Modelagem Matemática aparecem para resolver as questões levantadas pelos alunos e isso
contribui para a reflexão sobre a utilização da matemática como instrumentos para resolver
problemas do mundo real.
O professor para utilizar a MM deve estar disposto a mudar e acreditar em novas
propostas de ensino que possibilitem a formação de um indivíduo crítico e autônomo. O
professor deve acreditar em atividades que tirem os alunos da passividade e promovam a
maior interação entre o aluno e o objeto do conhecimento. Se o professor não se libertar de
idéias tradicionais de ensino dificilmente conseguirá mudar a forma de conduzir as atividades
de matemática e consequentemente não obterá uma aprendizagem de qualidade.
É importante considerar também o tempo para o planejamento das ações da
Modelagem. O sucesso da aplicação da Modelagem Matemática nesse estudo deu-se também
pelo tempo dedicado ao planejamento pela professora e pela pesquisadora. O planejamento é
um momento também de avaliação do processo e organização das atividades. A utilização da
MM requer organização de atividades diversas, tais como: visita ao campo para pesquisa,
palestras, materiais para construções de modelos, entre outros. Com as atividades bem
planejadas aumenta a segurança do professor considerada um elemento importante para
condução das atividades. O ensino aprendizagem da matemática será mais gratificante, uma
vez que o aluno passe a aprender o que lhe desperta interesse, tornando-o então co-
responsável pelo seu aprendizado. O professor também sai ganhando no sentido de que cada
tema trabalhado na MM possibilita aumentar seus conhecimentos.
Não se quer com esse estudo apresentar a Modelagem Matemática como a solução
para todos os problemas do ensino da matemática, mesmo porque os problemas voltados ao
ensino-aprendizagem da matemática não é uma questão somente de metodologia de ensino.
Este estudo apresenta resultados positivos de uma forma diferente de conduzir o ensino-
aprendizagem da matemática. Para uma turma que apresentava problemas de falta de interesse
para estudar matemática a Modelagem Matemática foi uma proposta positiva. É importante
69
que as pesquisas continuem e recomenda-se que a MM seja observada por mais tempo
identificando mudanças não somente no contexto da sala de aula, mas também na escola de
modo geral e na família.
70
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78
APÊNDICE I- Roteiro para observação participante
Data: ________________ Etapa da Modelagem Matemática_________________________________
Nº de alunos:___________________ Conteúdo:______________________________________________
ASPECTOS OBSERVADOS
A)Dificuldades na utilização da Modelagem Matemática (alunos)
B)Contribuições da Modelagem Matemática referentes à passividade dos alunos ( nível de interesse )
C)Condução das atividades de Modelagem Matemática pelo professor
79
APÊNDICE II - Roteiro da entrevista com o grupo focal (Antes)
1- Vocês gostam de estudar matemática? Por quê?
2- É importante estudar matemática? Por quê?
3- Quais dificuldades vocês tem relação da matemática? Por quê?
4- A matemática que aprendem em sala de aula tem auxiliado a resolver situações do
cotidiano?Justifique a resposta
80
APÊNDICE III - Roteiro da entrevista com o grupo focal (Depois)
1- Mudou alguma coisa em relação à disciplina de matemática depois dessa nova
maneira como a professora trabalhou? Justifique sua resposta
2- O que mais vocês gostaram nas aulas de matemática nesses dois últimos meses?
3- Qual foi a dificuldade encontrada em participar das atividades proposta nestes dois
meses (MM)?
4- No primeiro grupo focal vocês propuseram maneiras como matemática deveria ser
ensinada. Agora, concluída a disciplina, em que ela correspondeu ao que vocês
disseram? Em que ela continuou insatisfatória, deficiente?
81
APÊNDICE IV - Roteiro da entrevista semi-estruturada com a professora - Antes da
aplicação da Modelagem Matemática.
1- Você leciona há quanto tempo no Ensino Médio?
2- Quais os problemas que você encontra hoje para lecionar matemática?
3- Muitos professores alegam se sentir mais a vontade no ensino tradicional, outros se
mostram abertos a novas propostas de ensino da matemática. Como você acha como
professor de matemática, tende mais para o ensino tradicional ou não? Justifique
4- Você conhece Modelagem Matemática?
5- Você já estudou Modelagem Matemática?
6- Se você conhece ou estudou sobre MM, qual o seu parecer sobre esta metodologia?
7- Você já aplicou a Modelagem Matemática?
82
APÊNDICE V – Roteiro da entrevista semi-estruturada com a professora - Depois da
aplicação da Modelagem Matemática .
1- Após aplicar a MM seguindo todas as etapas recomendadas por Biembengut (2003),
mudou alguma coisa na sua concepção sobre esta metodologia ?
2- Quais as contribuições que a MM trouxe para as suas aulas de matemática.
3- O que você achou das visitas feitas pelos alunos fora da sala de aula ?
4- Você percebeu se eles tiveram mais interesse pelas aulas de matemática? Ficaram
mais ativos do que era antes?
5- Você encontrou alguma dificuldade nesta nova metodologia? Justifique.
6- Você percebeu mudança nos alunos durante o processo de aplicação da MM? Quais?