PRIRODNI BROJEVI ndash SURADNIČKO UČENJE

Željka Vrcelj prof savjetnik

Željeznička tehnička škola Moravice Moravice Hrvatska

zeljkavrceljskolehr

Sažetak

Rad daje pregled primjene ideja i tehnika rada Glasserove kvalitetne škole u

1 razredu programa za zanimanje ekonomist iz matematike Autorica primjenjuje

suradničko učenje u nastavi tj konstruktivistički pristup učenju te razvojnu perspektivu

poučavanja

Obrazovni materijali bdquoPrirodni brojevi i njihova primjenaldquo dizajnirani su

uzimajući u obzir potrebe i sposobnosti učenika Aktivno učenje u timovima uz

nastavnika ndash voditelja pridonosi razvijanju vještina surađivanja i odnosa pozitivne

ovisnosti Kroz interakciju i komunikaciju ogleda se važnost individualnog i društvenog

iskustva u procesu učenja

Povijesni pregled i primjena brojeva u arhitekturi umjetnosti religiji prirodi i

svakodnevnom životu povećavaju interes učenika za nastavne sadržaje Suradničko

učenje novog gradiva (skup prirodnih brojeva računske operacije s naglaskom na

Gaussovo zbrajanje djeljivost te najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički

višekratnik) kao i uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće bazirano je na

problemskim zadacima i stvarnim situacijama Na taj se način razvija intelektualna

radoznalost kreativni potencijali učenika i istraživački duh te kritičko i analitičko

razmišljanje

Koristeći predložene kriterije samovrednovanja učenici ocjenjuju vlastite

rezultate ali i suradnju u timu

INTEGERS ndash COOPERATIVE LEARNING

Željka Vrcelj prof consultant

Railway Technical School Moravice Moravice Croatia

zeljkavrceljskolehr

Abstract

This paper provides a review of the application of ideas and techniques of work of

Glasser Quality School in the 1st class of the curriculum for the profession Economist in

Mathematics The author applies cooperative learning in the classroom i e

constructivist approach to learning and development perspective in teaching

Educational materials ldquoIntegers and their applicationrdquo are designed taking into

account the needs and abilities of students Active learning in teams with teacher ndash

leader contributes in developing skills of collaboration and a relationship of positive

dependency Through interaction and communication is reflected the importance of

individual and social experience of the learning process

The historical overview and application of numbers in architecture art religion

nature and everyday life increase students interest for teaching contents Cooperative

learning of new matters (set of natural numbers arithmetic operations with emphasis on

the Gauss addition divisibility and the greatest common divisor and least common

multiple) as well as practicing checking knowledge and homework is based on

problematic examples and real situations In this way is developing intellectual curiosity

creative potentials of students and their exploratory spirit as well as critical and

analytical thinking

Using the proposed criteria for self ndash assessment students are evaluating their

own results and cooperation within the team

bdquoSve što sam postigao ili se nadam postići stvoreno je i bit će stvoreno onim

mukotrpnim strpljivim ustrajnim postupkom postupnog dodavanja kojim se gradi

mravinjak dio po dio misao po misao činjenicu po činjeniculdquo

(E Burritt)

Kao profesor matematike u Željezničkoj tehničkoj školi Moravice model

učeničkog tima često koristim Učenicima pomažem u stjecanju primjenjivih znanja i

vještina potičem njihovo kritičko razmišljanje kao i proces samovrednovanja

Kvalitetan rad uvijek je ugodan Obzirom na brzinu tehnoloških i društvenih promjena

učenici kroz obrazovanje trebaju razvijati vlastitu kreativnost i inovativnost kao i

empatičku i interakcijsku komunikaciju

SURADNIČKO UČENJE

Suradničko učenje podrazumijeva zajednički (timski) rad učenika na određenom

problemskom zadatku i nastavna je strategija povezana s konstruktivističkim pristupom

učenju

Razmjena ideja unutar tima povećava interes učenika za nastavne sadržaje ali i

potiče kritičko i analitičko razmišljanje te razvija kreativne potencijale učenika

Razmišljanje na višoj razini predstavlja osnovu razvojne perspektive poučavanja

Učenici su u središtu nastave i aktivno uče kroz osobnu interpretaciju i obradu

informacija na temelju vlastitih iskustava i iskustava drugih Nastavnici ndash voditelji

usmjeravaju rad učenika Pri dizajniranju obrazovnih materijala uzimaju u obzir njihove

potrebe (pripadanje moć sloboda zabava) i sposobnosti

Navedenim učenjem razvijaju se vještine održavanja dobrih međuljudskih odnosa

uzajamno uvažavanje i povjerenje te odnosi pozitivne ovisnosti

Učenike raspoređujem u grupe po četvero U svakoj grupi nalaze se vrlo uspješni

srednje i manje uspješni učenici Samostalnim i suradničkim pristupom pronalaze načine

za rješavanje postavljenih problema Vrijeme izrade pojedinih zadataka je ograničeno

Proučavanje obavezne i izborne literature uz pretraživanje Interneta i

promišljanje nužno je za razumijevanje produbljivanje i primjenu gradiva Učenici

analiziraju i komentiraju odgovarajuće programske sadržaje problemske situacije i

računske zadatke Razvijanje umijeća rješavanja problema izazov je i poticaj za osobnu

kreativnost i istraživanje

Praćenje rada timova povećava pojedinačnu odgovornost učenika Kako rad tima

ovisi o uspjehu pojedinih članova učenici vode računa o izvršavanju svojih zadataka i

podržavaju ostale učenike kroz svoje uloge Time se razvijaju i vještine surađivanja ndash

pomaganje provjeravanje izvršavanja zadatka sažimanje rezultata rada pohvala

Učenici se podučavaju kako kvalitetno pisati aktivno slušati i ohrabriti govorno

učestvovanje članova timova (uz razmjenu argumenata i protuargumenata te

suzdržavanje od kritiziranja) Timovi pomažu jedni drugima u savladavanju gradiva

naizmjeničnom prezentacijom rezultata pojedinih zadataka Uspjeh grupe pridonosi

jačanju samopouzdanja

Iskustveno suradničko učenje podrazumijeva integraciju kvalitetne komunikacije

visoke razine interaktivnosti samovrednovanja te razvijanje vještina nužnih za uspješno

cjeloživotno učenje Uz dovoljno napora i vremena svaki učenik može uspjeti Vizija

kvalitetnih škola je formiranje razreda u kojima su znatiželja i radost stanje duha a

temeljni cilj obrazovni uspjeh za sve učenike

DOMAĆE ZADAĆE

Jedan od razloga bdquoizbacivanjaldquo škole iz svijeta kvalitete učenika su i obavezne

domaće zadaće Stoga je nužno isticati važnost rada na nastavi Učenici mogu kod kuće

(žele li poboljšati ocjenu) dovršiti svoje dnevne radne listove te na jednom od sljedećih

satova objasniti kako su riješili zadatke

Neobaveznim domaćim zadaćama tj seminarskim radovima potičemo

inicijativu odlučivanje i kreativnost učenika I prije obrade pojedinih tema učenici

mogu odgovoriti na postavljena pitanja za usmjeravanje njihovog kritičkog razmišljanja

Za izradu zadaća uz udžbenik sa zbirkom zadataka učenici koriste dodatnu literaturu i

Internet Odabrani zadaci mogu se riješiti i online Ovakvim zadaćama razvija se

sposobnost zaključivanja te logičke i geometrijske procjene Matematički zadaci

uvježbavaju se na primjerima iz stvarnog života Određeni problemski zadaci pružaju

učenicima mogućnost biranja načina učenja ali i prihvaćanja posljedica vlastitog izbora

Samousmjereno učenje razvija intelektualnu radoznalost i istraživački duh i jača

samopouzdanje

Osim pisanog obrazloženja rezultata zadataka učenici iznose zaključke na

nastavi koristeći grafofolije postere ili PowerPoint prezentacije Zadaće mogu

izrađivati i timovi učenika uz kooperativnu prezentaciju

Kreiranje portfolija u određenoj školskoj godini (kvalitetne domaće zadaće

seminarski radovi te projektni zadaci uz osvrt na vlastito učenje i napredak kao i

zabilježena promišljanja poteškoće i dileme učenika) pridonosi ustrajnosti i

pronalaženju vlastitog puta stjecanja znanja Vizija pojedinca ali i izazovi na putu

podložni su misaonoj i matematičkoj obradi

VREDNOVANJE OCJENJIVANJE

Svrha formativne procjene znanja je pružanje pravovremenih i poticajnih

povratnih informacija učenicima tijekom učenja koje će ih usmjeriti u daljnjem radu

Učenici uočavaju nedostatke u trenutačnom znanju i mogu se usredotočiti na njih

Nastavnik prati napredovanje učenika Komentira njihove aktivnosti i radove uz

sugestije za daljnja promišljanja

Sumativnom procjenom znanja utvrđuje se razina postignuća učenika na temelju

definiranih ciljeva učenja Koristi se za ocjenjivanje

Detaljno razrađene kriterije vrednovanja učenici dobivaju uz upute za pojedine

aktivnosti Vrednuje se na primjer razumijevanje nastavnih sadržaja kvaliteta opisa

problema i analize podataka (kao i stil i format) originalnost ideja pristup radu te

prezentacije rezultata

Koristeći predložene kriterije samovrednovanja i učenici ocjenjuju svoje

rezultate kao i rad tj suradnju u timu

Primjer

Kriteriji samovrednovanja timskog rada

(ocjena je rezultat suradnje učenika u timu)

Ocjena 5 minus visoka razina interaktivnosti kvalitetna komunikacija

učenici aktivno uče jedni od drugih (međusobno se potiču

na rad i podržavaju kroz svoje grupne uloge)

4 minus uspješna suradnja članova grupe u procesu učenja

3 minus pojedini učenici surađuju s ostalima u grupi

tek nakon razgovora i poticaja nastavnika

2 minus pojedini članovi grupe ne surađuju ili ometaju grupni rad

1 minus nema pozitivne ovisnosti učenika u grupi niti suradnje

Samovrednovanje je preduvjet kvalitete te učenike treba naučiti ocjenjivati

vlastiti rad

PRIRODNI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA

bdquoGdje je broj tamo je ljepotaldquo (Proclus grčki neoplatonist)

Programski sadržaji nastavne cjeline Prirodni

brojevi obrađuju se u 1 razredu programa za zanimanje

ekonomist 9 školskih sati

Osvrnut ću se na suradničko učenje novog gradiva

uz uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće

(Romain de Tirtoff 20 st

preuzeto iz časopisa

Matematika i škola

Zagreb br 24 2004)

POVIJESNI PREGLED ndash 1 sat

Timovi izvlače jedan od pet listića sa zadatkom za grupu i odgovarajućim tekstom

o povijesnom razvoju arapskih brojki i primjeni brojeva u arhitekturi umjetnosti

religiji prirodi i svakodnevnom životu

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

INTEGERS ndash COOPERATIVE LEARNING

Željka Vrcelj prof consultant

Railway Technical School Moravice Moravice Croatia

zeljkavrceljskolehr

Abstract

This paper provides a review of the application of ideas and techniques of work of

Glasser Quality School in the 1st class of the curriculum for the profession Economist in

Mathematics The author applies cooperative learning in the classroom i e

constructivist approach to learning and development perspective in teaching

Educational materials ldquoIntegers and their applicationrdquo are designed taking into

account the needs and abilities of students Active learning in teams with teacher ndash

leader contributes in developing skills of collaboration and a relationship of positive

dependency Through interaction and communication is reflected the importance of

individual and social experience of the learning process

The historical overview and application of numbers in architecture art religion

nature and everyday life increase students interest for teaching contents Cooperative

learning of new matters (set of natural numbers arithmetic operations with emphasis on

the Gauss addition divisibility and the greatest common divisor and least common

multiple) as well as practicing checking knowledge and homework is based on

problematic examples and real situations In this way is developing intellectual curiosity

creative potentials of students and their exploratory spirit as well as critical and

analytical thinking

Using the proposed criteria for self ndash assessment students are evaluating their

own results and cooperation within the team

bdquoSve što sam postigao ili se nadam postići stvoreno je i bit će stvoreno onim

mukotrpnim strpljivim ustrajnim postupkom postupnog dodavanja kojim se gradi

mravinjak dio po dio misao po misao činjenicu po činjeniculdquo

(E Burritt)

Kao profesor matematike u Željezničkoj tehničkoj školi Moravice model

učeničkog tima često koristim Učenicima pomažem u stjecanju primjenjivih znanja i

vještina potičem njihovo kritičko razmišljanje kao i proces samovrednovanja

Kvalitetan rad uvijek je ugodan Obzirom na brzinu tehnoloških i društvenih promjena

učenici kroz obrazovanje trebaju razvijati vlastitu kreativnost i inovativnost kao i

empatičku i interakcijsku komunikaciju

SURADNIČKO UČENJE

Suradničko učenje podrazumijeva zajednički (timski) rad učenika na određenom

problemskom zadatku i nastavna je strategija povezana s konstruktivističkim pristupom

učenju

Razmjena ideja unutar tima povećava interes učenika za nastavne sadržaje ali i

potiče kritičko i analitičko razmišljanje te razvija kreativne potencijale učenika

Razmišljanje na višoj razini predstavlja osnovu razvojne perspektive poučavanja

Učenici su u središtu nastave i aktivno uče kroz osobnu interpretaciju i obradu

informacija na temelju vlastitih iskustava i iskustava drugih Nastavnici ndash voditelji

usmjeravaju rad učenika Pri dizajniranju obrazovnih materijala uzimaju u obzir njihove

potrebe (pripadanje moć sloboda zabava) i sposobnosti

Navedenim učenjem razvijaju se vještine održavanja dobrih međuljudskih odnosa

uzajamno uvažavanje i povjerenje te odnosi pozitivne ovisnosti

Učenike raspoređujem u grupe po četvero U svakoj grupi nalaze se vrlo uspješni

srednje i manje uspješni učenici Samostalnim i suradničkim pristupom pronalaze načine

za rješavanje postavljenih problema Vrijeme izrade pojedinih zadataka je ograničeno

Proučavanje obavezne i izborne literature uz pretraživanje Interneta i

promišljanje nužno je za razumijevanje produbljivanje i primjenu gradiva Učenici

analiziraju i komentiraju odgovarajuće programske sadržaje problemske situacije i

računske zadatke Razvijanje umijeća rješavanja problema izazov je i poticaj za osobnu

kreativnost i istraživanje

Praćenje rada timova povećava pojedinačnu odgovornost učenika Kako rad tima

ovisi o uspjehu pojedinih članova učenici vode računa o izvršavanju svojih zadataka i

podržavaju ostale učenike kroz svoje uloge Time se razvijaju i vještine surađivanja ndash

pomaganje provjeravanje izvršavanja zadatka sažimanje rezultata rada pohvala

Učenici se podučavaju kako kvalitetno pisati aktivno slušati i ohrabriti govorno

učestvovanje članova timova (uz razmjenu argumenata i protuargumenata te

suzdržavanje od kritiziranja) Timovi pomažu jedni drugima u savladavanju gradiva

naizmjeničnom prezentacijom rezultata pojedinih zadataka Uspjeh grupe pridonosi

jačanju samopouzdanja

Iskustveno suradničko učenje podrazumijeva integraciju kvalitetne komunikacije

visoke razine interaktivnosti samovrednovanja te razvijanje vještina nužnih za uspješno

cjeloživotno učenje Uz dovoljno napora i vremena svaki učenik može uspjeti Vizija

kvalitetnih škola je formiranje razreda u kojima su znatiželja i radost stanje duha a

temeljni cilj obrazovni uspjeh za sve učenike

DOMAĆE ZADAĆE

Jedan od razloga bdquoizbacivanjaldquo škole iz svijeta kvalitete učenika su i obavezne

domaće zadaće Stoga je nužno isticati važnost rada na nastavi Učenici mogu kod kuće

(žele li poboljšati ocjenu) dovršiti svoje dnevne radne listove te na jednom od sljedećih

satova objasniti kako su riješili zadatke

Neobaveznim domaćim zadaćama tj seminarskim radovima potičemo

inicijativu odlučivanje i kreativnost učenika I prije obrade pojedinih tema učenici

mogu odgovoriti na postavljena pitanja za usmjeravanje njihovog kritičkog razmišljanja

Za izradu zadaća uz udžbenik sa zbirkom zadataka učenici koriste dodatnu literaturu i

Internet Odabrani zadaci mogu se riješiti i online Ovakvim zadaćama razvija se

sposobnost zaključivanja te logičke i geometrijske procjene Matematički zadaci

uvježbavaju se na primjerima iz stvarnog života Određeni problemski zadaci pružaju

učenicima mogućnost biranja načina učenja ali i prihvaćanja posljedica vlastitog izbora

Samousmjereno učenje razvija intelektualnu radoznalost i istraživački duh i jača

samopouzdanje

Osim pisanog obrazloženja rezultata zadataka učenici iznose zaključke na

nastavi koristeći grafofolije postere ili PowerPoint prezentacije Zadaće mogu

izrađivati i timovi učenika uz kooperativnu prezentaciju

Kreiranje portfolija u određenoj školskoj godini (kvalitetne domaće zadaće

seminarski radovi te projektni zadaci uz osvrt na vlastito učenje i napredak kao i

zabilježena promišljanja poteškoće i dileme učenika) pridonosi ustrajnosti i

pronalaženju vlastitog puta stjecanja znanja Vizija pojedinca ali i izazovi na putu

podložni su misaonoj i matematičkoj obradi

VREDNOVANJE OCJENJIVANJE

Svrha formativne procjene znanja je pružanje pravovremenih i poticajnih

povratnih informacija učenicima tijekom učenja koje će ih usmjeriti u daljnjem radu

Učenici uočavaju nedostatke u trenutačnom znanju i mogu se usredotočiti na njih

Nastavnik prati napredovanje učenika Komentira njihove aktivnosti i radove uz

sugestije za daljnja promišljanja

Sumativnom procjenom znanja utvrđuje se razina postignuća učenika na temelju

definiranih ciljeva učenja Koristi se za ocjenjivanje

Detaljno razrađene kriterije vrednovanja učenici dobivaju uz upute za pojedine

aktivnosti Vrednuje se na primjer razumijevanje nastavnih sadržaja kvaliteta opisa

problema i analize podataka (kao i stil i format) originalnost ideja pristup radu te

prezentacije rezultata

Koristeći predložene kriterije samovrednovanja i učenici ocjenjuju svoje

rezultate kao i rad tj suradnju u timu

Primjer

Kriteriji samovrednovanja timskog rada

(ocjena je rezultat suradnje učenika u timu)

Ocjena 5 minus visoka razina interaktivnosti kvalitetna komunikacija

učenici aktivno uče jedni od drugih (međusobno se potiču

na rad i podržavaju kroz svoje grupne uloge)

4 minus uspješna suradnja članova grupe u procesu učenja

3 minus pojedini učenici surađuju s ostalima u grupi

tek nakon razgovora i poticaja nastavnika

2 minus pojedini članovi grupe ne surađuju ili ometaju grupni rad

1 minus nema pozitivne ovisnosti učenika u grupi niti suradnje

Samovrednovanje je preduvjet kvalitete te učenike treba naučiti ocjenjivati

vlastiti rad

PRIRODNI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA

bdquoGdje je broj tamo je ljepotaldquo (Proclus grčki neoplatonist)

Programski sadržaji nastavne cjeline Prirodni

brojevi obrađuju se u 1 razredu programa za zanimanje

ekonomist 9 školskih sati

Osvrnut ću se na suradničko učenje novog gradiva

uz uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće

(Romain de Tirtoff 20 st

preuzeto iz časopisa

Matematika i škola

Zagreb br 24 2004)

POVIJESNI PREGLED ndash 1 sat

Timovi izvlače jedan od pet listića sa zadatkom za grupu i odgovarajućim tekstom

o povijesnom razvoju arapskih brojki i primjeni brojeva u arhitekturi umjetnosti

religiji prirodi i svakodnevnom životu

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

bdquoSve što sam postigao ili se nadam postići stvoreno je i bit će stvoreno onim

mukotrpnim strpljivim ustrajnim postupkom postupnog dodavanja kojim se gradi

mravinjak dio po dio misao po misao činjenicu po činjeniculdquo

(E Burritt)

Kao profesor matematike u Željezničkoj tehničkoj školi Moravice model

učeničkog tima često koristim Učenicima pomažem u stjecanju primjenjivih znanja i

vještina potičem njihovo kritičko razmišljanje kao i proces samovrednovanja

Kvalitetan rad uvijek je ugodan Obzirom na brzinu tehnoloških i društvenih promjena

učenici kroz obrazovanje trebaju razvijati vlastitu kreativnost i inovativnost kao i

empatičku i interakcijsku komunikaciju

SURADNIČKO UČENJE

Suradničko učenje podrazumijeva zajednički (timski) rad učenika na određenom

problemskom zadatku i nastavna je strategija povezana s konstruktivističkim pristupom

učenju

Razmjena ideja unutar tima povećava interes učenika za nastavne sadržaje ali i

potiče kritičko i analitičko razmišljanje te razvija kreativne potencijale učenika

Razmišljanje na višoj razini predstavlja osnovu razvojne perspektive poučavanja

Učenici su u središtu nastave i aktivno uče kroz osobnu interpretaciju i obradu

informacija na temelju vlastitih iskustava i iskustava drugih Nastavnici ndash voditelji

usmjeravaju rad učenika Pri dizajniranju obrazovnih materijala uzimaju u obzir njihove

potrebe (pripadanje moć sloboda zabava) i sposobnosti

Navedenim učenjem razvijaju se vještine održavanja dobrih međuljudskih odnosa

uzajamno uvažavanje i povjerenje te odnosi pozitivne ovisnosti

Učenike raspoređujem u grupe po četvero U svakoj grupi nalaze se vrlo uspješni

srednje i manje uspješni učenici Samostalnim i suradničkim pristupom pronalaze načine

za rješavanje postavljenih problema Vrijeme izrade pojedinih zadataka je ograničeno

Proučavanje obavezne i izborne literature uz pretraživanje Interneta i

promišljanje nužno je za razumijevanje produbljivanje i primjenu gradiva Učenici

analiziraju i komentiraju odgovarajuće programske sadržaje problemske situacije i

računske zadatke Razvijanje umijeća rješavanja problema izazov je i poticaj za osobnu

kreativnost i istraživanje

Praćenje rada timova povećava pojedinačnu odgovornost učenika Kako rad tima

ovisi o uspjehu pojedinih članova učenici vode računa o izvršavanju svojih zadataka i

podržavaju ostale učenike kroz svoje uloge Time se razvijaju i vještine surađivanja ndash

pomaganje provjeravanje izvršavanja zadatka sažimanje rezultata rada pohvala

Učenici se podučavaju kako kvalitetno pisati aktivno slušati i ohrabriti govorno

učestvovanje članova timova (uz razmjenu argumenata i protuargumenata te

suzdržavanje od kritiziranja) Timovi pomažu jedni drugima u savladavanju gradiva

naizmjeničnom prezentacijom rezultata pojedinih zadataka Uspjeh grupe pridonosi

jačanju samopouzdanja

Iskustveno suradničko učenje podrazumijeva integraciju kvalitetne komunikacije

visoke razine interaktivnosti samovrednovanja te razvijanje vještina nužnih za uspješno

cjeloživotno učenje Uz dovoljno napora i vremena svaki učenik može uspjeti Vizija

kvalitetnih škola je formiranje razreda u kojima su znatiželja i radost stanje duha a

temeljni cilj obrazovni uspjeh za sve učenike

DOMAĆE ZADAĆE

Jedan od razloga bdquoizbacivanjaldquo škole iz svijeta kvalitete učenika su i obavezne

domaće zadaće Stoga je nužno isticati važnost rada na nastavi Učenici mogu kod kuće

(žele li poboljšati ocjenu) dovršiti svoje dnevne radne listove te na jednom od sljedećih

satova objasniti kako su riješili zadatke

Neobaveznim domaćim zadaćama tj seminarskim radovima potičemo

inicijativu odlučivanje i kreativnost učenika I prije obrade pojedinih tema učenici

mogu odgovoriti na postavljena pitanja za usmjeravanje njihovog kritičkog razmišljanja

Za izradu zadaća uz udžbenik sa zbirkom zadataka učenici koriste dodatnu literaturu i

Internet Odabrani zadaci mogu se riješiti i online Ovakvim zadaćama razvija se

sposobnost zaključivanja te logičke i geometrijske procjene Matematički zadaci

uvježbavaju se na primjerima iz stvarnog života Određeni problemski zadaci pružaju

učenicima mogućnost biranja načina učenja ali i prihvaćanja posljedica vlastitog izbora

Samousmjereno učenje razvija intelektualnu radoznalost i istraživački duh i jača

samopouzdanje

Osim pisanog obrazloženja rezultata zadataka učenici iznose zaključke na

nastavi koristeći grafofolije postere ili PowerPoint prezentacije Zadaće mogu

izrađivati i timovi učenika uz kooperativnu prezentaciju

Kreiranje portfolija u određenoj školskoj godini (kvalitetne domaće zadaće

seminarski radovi te projektni zadaci uz osvrt na vlastito učenje i napredak kao i

zabilježena promišljanja poteškoće i dileme učenika) pridonosi ustrajnosti i

pronalaženju vlastitog puta stjecanja znanja Vizija pojedinca ali i izazovi na putu

podložni su misaonoj i matematičkoj obradi

VREDNOVANJE OCJENJIVANJE

Svrha formativne procjene znanja je pružanje pravovremenih i poticajnih

povratnih informacija učenicima tijekom učenja koje će ih usmjeriti u daljnjem radu

Učenici uočavaju nedostatke u trenutačnom znanju i mogu se usredotočiti na njih

Nastavnik prati napredovanje učenika Komentira njihove aktivnosti i radove uz

sugestije za daljnja promišljanja

Sumativnom procjenom znanja utvrđuje se razina postignuća učenika na temelju

definiranih ciljeva učenja Koristi se za ocjenjivanje

Detaljno razrađene kriterije vrednovanja učenici dobivaju uz upute za pojedine

aktivnosti Vrednuje se na primjer razumijevanje nastavnih sadržaja kvaliteta opisa

problema i analize podataka (kao i stil i format) originalnost ideja pristup radu te

prezentacije rezultata

Koristeći predložene kriterije samovrednovanja i učenici ocjenjuju svoje

rezultate kao i rad tj suradnju u timu

Primjer

Kriteriji samovrednovanja timskog rada

(ocjena je rezultat suradnje učenika u timu)

Ocjena 5 minus visoka razina interaktivnosti kvalitetna komunikacija

učenici aktivno uče jedni od drugih (međusobno se potiču

na rad i podržavaju kroz svoje grupne uloge)

4 minus uspješna suradnja članova grupe u procesu učenja

3 minus pojedini učenici surađuju s ostalima u grupi

tek nakon razgovora i poticaja nastavnika

2 minus pojedini članovi grupe ne surađuju ili ometaju grupni rad

1 minus nema pozitivne ovisnosti učenika u grupi niti suradnje

Samovrednovanje je preduvjet kvalitete te učenike treba naučiti ocjenjivati

vlastiti rad

PRIRODNI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA

bdquoGdje je broj tamo je ljepotaldquo (Proclus grčki neoplatonist)

Programski sadržaji nastavne cjeline Prirodni

brojevi obrađuju se u 1 razredu programa za zanimanje

ekonomist 9 školskih sati

Osvrnut ću se na suradničko učenje novog gradiva

uz uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće

(Romain de Tirtoff 20 st

preuzeto iz časopisa

Matematika i škola

Zagreb br 24 2004)

POVIJESNI PREGLED ndash 1 sat

Timovi izvlače jedan od pet listića sa zadatkom za grupu i odgovarajućim tekstom

o povijesnom razvoju arapskih brojki i primjeni brojeva u arhitekturi umjetnosti

religiji prirodi i svakodnevnom životu

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

računske zadatke Razvijanje umijeća rješavanja problema izazov je i poticaj za osobnu

kreativnost i istraživanje

Praćenje rada timova povećava pojedinačnu odgovornost učenika Kako rad tima

ovisi o uspjehu pojedinih članova učenici vode računa o izvršavanju svojih zadataka i

podržavaju ostale učenike kroz svoje uloge Time se razvijaju i vještine surađivanja ndash

pomaganje provjeravanje izvršavanja zadatka sažimanje rezultata rada pohvala

Učenici se podučavaju kako kvalitetno pisati aktivno slušati i ohrabriti govorno

učestvovanje članova timova (uz razmjenu argumenata i protuargumenata te

suzdržavanje od kritiziranja) Timovi pomažu jedni drugima u savladavanju gradiva

naizmjeničnom prezentacijom rezultata pojedinih zadataka Uspjeh grupe pridonosi

jačanju samopouzdanja

Iskustveno suradničko učenje podrazumijeva integraciju kvalitetne komunikacije

visoke razine interaktivnosti samovrednovanja te razvijanje vještina nužnih za uspješno

cjeloživotno učenje Uz dovoljno napora i vremena svaki učenik može uspjeti Vizija

kvalitetnih škola je formiranje razreda u kojima su znatiželja i radost stanje duha a

temeljni cilj obrazovni uspjeh za sve učenike

DOMAĆE ZADAĆE

Jedan od razloga bdquoizbacivanjaldquo škole iz svijeta kvalitete učenika su i obavezne

domaće zadaće Stoga je nužno isticati važnost rada na nastavi Učenici mogu kod kuće

(žele li poboljšati ocjenu) dovršiti svoje dnevne radne listove te na jednom od sljedećih

satova objasniti kako su riješili zadatke

Neobaveznim domaćim zadaćama tj seminarskim radovima potičemo

inicijativu odlučivanje i kreativnost učenika I prije obrade pojedinih tema učenici

mogu odgovoriti na postavljena pitanja za usmjeravanje njihovog kritičkog razmišljanja

Za izradu zadaća uz udžbenik sa zbirkom zadataka učenici koriste dodatnu literaturu i

Internet Odabrani zadaci mogu se riješiti i online Ovakvim zadaćama razvija se

sposobnost zaključivanja te logičke i geometrijske procjene Matematički zadaci

uvježbavaju se na primjerima iz stvarnog života Određeni problemski zadaci pružaju

učenicima mogućnost biranja načina učenja ali i prihvaćanja posljedica vlastitog izbora

Samousmjereno učenje razvija intelektualnu radoznalost i istraživački duh i jača

samopouzdanje

Osim pisanog obrazloženja rezultata zadataka učenici iznose zaključke na

nastavi koristeći grafofolije postere ili PowerPoint prezentacije Zadaće mogu

izrađivati i timovi učenika uz kooperativnu prezentaciju

Kreiranje portfolija u određenoj školskoj godini (kvalitetne domaće zadaće

seminarski radovi te projektni zadaci uz osvrt na vlastito učenje i napredak kao i

zabilježena promišljanja poteškoće i dileme učenika) pridonosi ustrajnosti i

pronalaženju vlastitog puta stjecanja znanja Vizija pojedinca ali i izazovi na putu

podložni su misaonoj i matematičkoj obradi

VREDNOVANJE OCJENJIVANJE

Svrha formativne procjene znanja je pružanje pravovremenih i poticajnih

povratnih informacija učenicima tijekom učenja koje će ih usmjeriti u daljnjem radu

Učenici uočavaju nedostatke u trenutačnom znanju i mogu se usredotočiti na njih

Nastavnik prati napredovanje učenika Komentira njihove aktivnosti i radove uz

sugestije za daljnja promišljanja

Sumativnom procjenom znanja utvrđuje se razina postignuća učenika na temelju

definiranih ciljeva učenja Koristi se za ocjenjivanje

Detaljno razrađene kriterije vrednovanja učenici dobivaju uz upute za pojedine

aktivnosti Vrednuje se na primjer razumijevanje nastavnih sadržaja kvaliteta opisa

problema i analize podataka (kao i stil i format) originalnost ideja pristup radu te

prezentacije rezultata

Koristeći predložene kriterije samovrednovanja i učenici ocjenjuju svoje

rezultate kao i rad tj suradnju u timu

Primjer

Kriteriji samovrednovanja timskog rada

(ocjena je rezultat suradnje učenika u timu)

Ocjena 5 minus visoka razina interaktivnosti kvalitetna komunikacija

učenici aktivno uče jedni od drugih (međusobno se potiču

na rad i podržavaju kroz svoje grupne uloge)

4 minus uspješna suradnja članova grupe u procesu učenja

3 minus pojedini učenici surađuju s ostalima u grupi

tek nakon razgovora i poticaja nastavnika

2 minus pojedini članovi grupe ne surađuju ili ometaju grupni rad

1 minus nema pozitivne ovisnosti učenika u grupi niti suradnje

Samovrednovanje je preduvjet kvalitete te učenike treba naučiti ocjenjivati

vlastiti rad

PRIRODNI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA

bdquoGdje je broj tamo je ljepotaldquo (Proclus grčki neoplatonist)

Programski sadržaji nastavne cjeline Prirodni

brojevi obrađuju se u 1 razredu programa za zanimanje

ekonomist 9 školskih sati

Osvrnut ću se na suradničko učenje novog gradiva

uz uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće

(Romain de Tirtoff 20 st

preuzeto iz časopisa

Matematika i škola

Zagreb br 24 2004)

POVIJESNI PREGLED ndash 1 sat

Timovi izvlače jedan od pet listića sa zadatkom za grupu i odgovarajućim tekstom

o povijesnom razvoju arapskih brojki i primjeni brojeva u arhitekturi umjetnosti

religiji prirodi i svakodnevnom životu

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

Osim pisanog obrazloženja rezultata zadataka učenici iznose zaključke na

nastavi koristeći grafofolije postere ili PowerPoint prezentacije Zadaće mogu

izrađivati i timovi učenika uz kooperativnu prezentaciju

Kreiranje portfolija u određenoj školskoj godini (kvalitetne domaće zadaće

seminarski radovi te projektni zadaci uz osvrt na vlastito učenje i napredak kao i

zabilježena promišljanja poteškoće i dileme učenika) pridonosi ustrajnosti i

pronalaženju vlastitog puta stjecanja znanja Vizija pojedinca ali i izazovi na putu

podložni su misaonoj i matematičkoj obradi

VREDNOVANJE OCJENJIVANJE

Svrha formativne procjene znanja je pružanje pravovremenih i poticajnih

povratnih informacija učenicima tijekom učenja koje će ih usmjeriti u daljnjem radu

Učenici uočavaju nedostatke u trenutačnom znanju i mogu se usredotočiti na njih

Nastavnik prati napredovanje učenika Komentira njihove aktivnosti i radove uz

sugestije za daljnja promišljanja

Sumativnom procjenom znanja utvrđuje se razina postignuća učenika na temelju

definiranih ciljeva učenja Koristi se za ocjenjivanje

Detaljno razrađene kriterije vrednovanja učenici dobivaju uz upute za pojedine

aktivnosti Vrednuje se na primjer razumijevanje nastavnih sadržaja kvaliteta opisa

problema i analize podataka (kao i stil i format) originalnost ideja pristup radu te

prezentacije rezultata

Koristeći predložene kriterije samovrednovanja i učenici ocjenjuju svoje

rezultate kao i rad tj suradnju u timu

Primjer

Kriteriji samovrednovanja timskog rada

(ocjena je rezultat suradnje učenika u timu)

Ocjena 5 minus visoka razina interaktivnosti kvalitetna komunikacija

učenici aktivno uče jedni od drugih (međusobno se potiču

na rad i podržavaju kroz svoje grupne uloge)

4 minus uspješna suradnja članova grupe u procesu učenja

3 minus pojedini učenici surađuju s ostalima u grupi

tek nakon razgovora i poticaja nastavnika

2 minus pojedini članovi grupe ne surađuju ili ometaju grupni rad

1 minus nema pozitivne ovisnosti učenika u grupi niti suradnje

Samovrednovanje je preduvjet kvalitete te učenike treba naučiti ocjenjivati

vlastiti rad

PRIRODNI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA

bdquoGdje je broj tamo je ljepotaldquo (Proclus grčki neoplatonist)

Programski sadržaji nastavne cjeline Prirodni

brojevi obrađuju se u 1 razredu programa za zanimanje

ekonomist 9 školskih sati

Osvrnut ću se na suradničko učenje novog gradiva

uz uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće

(Romain de Tirtoff 20 st

preuzeto iz časopisa

Matematika i škola

Zagreb br 24 2004)

POVIJESNI PREGLED ndash 1 sat

Timovi izvlače jedan od pet listića sa zadatkom za grupu i odgovarajućim tekstom

o povijesnom razvoju arapskih brojki i primjeni brojeva u arhitekturi umjetnosti

religiji prirodi i svakodnevnom životu

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

3 minus pojedini učenici surađuju s ostalima u grupi

tek nakon razgovora i poticaja nastavnika

2 minus pojedini članovi grupe ne surađuju ili ometaju grupni rad

1 minus nema pozitivne ovisnosti učenika u grupi niti suradnje

Samovrednovanje je preduvjet kvalitete te učenike treba naučiti ocjenjivati

vlastiti rad

PRIRODNI BROJEVI I NJIHOVA PRIMJENA

bdquoGdje je broj tamo je ljepotaldquo (Proclus grčki neoplatonist)

Programski sadržaji nastavne cjeline Prirodni

brojevi obrađuju se u 1 razredu programa za zanimanje

ekonomist 9 školskih sati

Osvrnut ću se na suradničko učenje novog gradiva

uz uvježbavanje provjere znanja i domaće zadaće

(Romain de Tirtoff 20 st

preuzeto iz časopisa

Matematika i škola

Zagreb br 24 2004)

POVIJESNI PREGLED ndash 1 sat

Timovi izvlače jedan od pet listića sa zadatkom za grupu i odgovarajućim tekstom

o povijesnom razvoju arapskih brojki i primjeni brojeva u arhitekturi umjetnosti

religiji prirodi i svakodnevnom životu

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

Koristila sam udžbenike matematike za 1 razred različitih programa dodatnu literaturu i

Internet

Primjeri listića

1 matematički tekstovi Sumerana Babilonaca i drevnih Egipćana

2 simbolika brojeva u starogrčkih filozofa Pitagore (matematička harmonija)

Filolaja Platona i Plotina

3 tumačenje brojeva u aleksandrijskoj katehetskoj školi (Filon) Indiji i u srednjem

vijeku (Augustin Arapi)

4 odnos brojeva čovjeka i kozmosa za renesanse

5 privlačnost brojeva u 19 i 20 st ndash numerologija moderna umjetnost Istok

susreće Zapad

Svaki član tima treba zasebno pročitati tekst i napraviti zabilješke Učenici za

pripremu imaju 10 minuta Zatim 5 minuta komentiraju bilješke Tada pripremaju poster

A3 formata za usmeno izlaganje predstavnika tima koji će iznijeti zaključke zajedničkog

rada Za izradu postera i pripremu izlaganja imaju 20 minuta

Predstavnici timova će naizmjenično prezentirati ulogu i značenje brojeva u

kulturi drevnih civilizacija europskoj kulturi od antike do 21 stoljeća i neeuropskim

kulturama

Nastavnik može poticajnim komentarima nadopuniti izlaganja učenika

Na satovima dodatne nastave predstavnici timova izradili su postere B1 i C2

formata Koristili su postere timova i ostale prikupljene primjere simbolike brojeva

SKUP PRIRODNIH BROJEVA I OPERACIJE U NJEMU ndash 1 sat

Zadatak

Proradite (svaki član tima zasebno) tekst na 7 str iz knjige

B Janković i I Mrkonjić Matematika za 1 razred ekonomskih škola (udžbenik

sa zbirkom zadataka) Neodidacta Zagreb 2007

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

te odgovarajući priloženi tekst i pismeno odgovorite na postavljena pitanja Na

raspolaganju imate 15 minuta S kolegicom (kolegom) koja sjedi uz vas u 5 minuta

raspravite odgovore na pojedina pitanja

Zatim zajednički pripremite izlaganje predstavnika vašeg tima koji će usmeno

koristeći grafofolije iznijeti vaše zaključke pred ostalim timovima Za pripremu

izlaganja te izradu grafofolija imate 15 minuta

Sretno

Pri izradi odgovarajućeg teksta koristila sam udžbenike matematike za 1 razred

različitih programa

Postavljena pitanja odnosila su se na oznaku način zadavanja i grafički prikaz

skupa prirodnih brojeva zatim na elemente skupa i njihova svojstva na osnovne

računske operacije i odgovarajuće zakone te na stupanj i redoslijed izvođenja operacija

Na primjer Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju Navedi primjer

RAČUNSKE OPERACIJE S PRIRODNIM BROJEVIMA (VJEŽBA) ndash

2 sata

Na svakom od četiri listića nalazi se po 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka

za 1 razred Svaki član tima izvlači jedan od listića izrađuje zadatke (35 minuta) i s

kolegicom (kolegom) koja sjedi uz njega 10 minuta komentira rješenja

Učenici tima pripremaju kooperativnu prezentaciju (za pripremu imaju pola sata)

u kojoj će sudjelovati svi članovi Osim usmenog izlaganja tim predaje jedno

zajedničko pisano obrazloženje rezultata

Primjeri zadataka za vježbu

1 Koji je najveći parni peteroznamenkasti broj

( rješenje 99 998 )

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

2 Napiši najmanji deseteroznamenkasti prirodni broj kojemu su sve znamenke

međusobno različite

( 1 023 456 789 )

3 Izračunaj na najkraći način

a) 287 + 1 589 + 113 + 1 411

b) 999 2 25 2

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

4 Koristeći Gaussovo zbrajanje izračunaj

a) 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10

b) 1 + 3 + 5 + + 135 + 137 + 139

c) 2 + 4 + 6 + + 196 + 198 + 200

d) 18 + 19 + 20 + + 230 + 231 + 232

(primjena komutativnosti i asocijativnosti)

5 Izračunaj na dva načina

41 19 + 19 36 + 23 19

(primjena svojstva distributivnosti)

6 Koja svojstva su primijenjena u jednakosti

3 7 + 7 5 = (3 + 5) 7

(komutativnost pa distributivnost)

7 Vrativši se s tržnice gospođa Silić želi na najbrži način izračunati koliko je potrošila

Kupila je 2 kg jabuka po 7 kn 1 kg krušaka po 13 kn 3 kg naranči i 2 kg banana

oboje po 6 kn te 5 kg krumpira po 4 kn Zapiši izračun

( 2 7 + 13 + (3 + 2) 6 + 5 4 = 77 )

8 Izračunaj

a) 17 + 12 2 ndash 1

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

b) (3 + 8) 5 ndash 2

c) 3 + 8 (5 ndash 2)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

9 Izračunaj

a) (25 + 4 2) (36 2 ndash 18)

b) 11 [(45 ndash 5 8) 2 ndash 9]

c) 1 + 3 [7 + 2 (18 9 ndash 3 5) ndash 3 56]

d) 5 ndash 4 3 [2 + 9 (6 6 ndash 7 3) ndash 6 (3 5 ndash 4 2)] ndash 170 7

e) [(2 + 4 + 6 + + 46 + 48 + 50) 2 ndash 25] (9 11 + 1)

(stupanj i redoslijed računskih operacija)

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ndash 1 sat

Učenici trebaju zasebno pročitati odgovarajući tekst iz udžbenika za 1 razred

ekonomskih škola i priloženi tekst označiti važna mjesta (pojam višekratnika i

djeljivosti kriteriji djeljivosti s 2 3 (9) 6 10 5 4 25 i 8 djeljivost zbroja i produkta)

zapisati zapažanja te riješiti zadatke za vježbu S ostalim članovima tima raspravit će

tekst i rješenja zadataka Za pripremu imaju 15 minuta te još 5 minuta za raspravu

Zatim 15 minuta izrađuju poster A3 formata i pripremaju izlaganje predstavnika

koji će iznijeti zaključke njihova rada Predstavnici timova će naizmjenično opisati

određene pojmove kriterije djeljivosti i komentirati zadatke i rješenja

Primjeri zadataka

1 Navedi višekratnike broja 3 veće od 400 i manje od 420 koji su parni

( rješenje 402 408 414 )

2 Koju znamenku treba napisati umjesto tako da broj 47 bude djeljiv s 9

( 7 )

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

3 Koji je od brojeva 234 510 632 765 918 djeljiv s

a) 6

b) 5

c) 4

Zašto

4 Obrazloži tvrdnju

Izraz 54 + 348 ndash 135 nije djeljiv s 6

5 Da li je produkt 999 1 112 djeljiv s 3 Zašto

(da)

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK ndash 1 sat

Svaki član tima treba u 15 minuta zasebno proraditi odgovarajući tekst iz

udžbenika i pismeno odgovoriti na postavljena pitanja ndash prosti i složeni brojevi

rastavljanje na proste faktore zajednički djelitelj (mjera) i najveći zajednički djelitelj

zajednički višekratnik i najmanji zajednički višekratnik te relativno prosti brojevi

Zatim se 5 minuta raspravljaju odgovori

Učenici tima planiraju kako će najbolje prezentirati informacije tj rezultate rada

koristeći grafofolije koje izrađuju sami Za izradu grafofolija i pripremu izlaganja imaju

15 minuta

Primjer pitanja

Opiši relativno proste brojeve i navedi primjere

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

NAJVEĆI ZAJEDNIČKI DJELITELJ I NAJMANJI ZAJEDNIČKI

VIŠEKRATNIK (VJEŽBA) ndash 1 sat

Učenici tima skupno izrađuju 10 zadataka za vježbu iz zbirki zadataka za 1 razred

i komentiraju rješenja Na raspolaganju imaju 20 minuta

Zaključke rada timova iznosi učenik kojeg izabere nastavnik (ili pomagatelj u

timu ili provjeravatelj ili sažimatelj ili hvalitelj tima) Svaki tim predaje i pisano

obrazloženje rezultata Za pripremu prezentacije rezultata učenici imaju 15 minuta

Primjeri zadataka baziranih na stvarnim situacijama

1 Vrpce duljina 280 cm 168 cm i 448 cm treba razrezati na jednake dijelove Koja je

najveća duljina tih dijelova

( rješenje M (280 168 448) = 56 )

2 Na proslavu Ivinog rođendana doći će 3 4 ili 6 prijatelja Koliko komada kolača

treba najmanje napraviti da svakom uzvaniku pripadne isti broj

( v (3 4 6) = 12 )

PRIRODNI BROJEVI (VJEŽBA I TESTIRANJE) ndash 1 sat

Timovi izrađuju osam kartica s ključnim pojmovima nastavne cjeline Prirodni

brojevi Učenici ih trebaju objasniti Za pripremu imaju 10 minuta

Slijedi provjera znanja Svaki učenik izvlači dvije kartice i pojašnjava pojmove na

njima

Ne ocjenjuju se pojedinačni odgovori već rad tima koji ovisi o uspjehu pojedinih

članova

Zatim učenici timova 10 minuta izrađuju pet problemskih zadataka za testiranje

redoslijeda računskih operacija Test određenog tima rješavaju učenici drugih timova

Svaki učenik zasebno rješava test 10 minuta U narednih 5 minuta testovi se analiziraju

a učenici ocjenjuju vlastiti rad koristeći kriterije samovrednovanja

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

Primjeri kartica s ključnim pojmovima

Zakon asocijacije za zbrajanje i množenje

Kriterij djeljivosti s 3 (9)

Primjeri problemskih zadataka za testiranje redoslijeda računskih operacija

1 S jedne strane školskog hodnika nalaze se četiri učionice (Vidi sliku) Koliko je

parketa potrebno za prekrivanje podova učionica

5

m

7 m 8 m 6 m 6 m

( rješenje (7 m + 8 m + 2 6 m) 5 m = 135 m2 - primjena svojstva

distributivnosti )

2 Izračunaj

[(1 + 2 + 3 + + 38 + 39 + 40) 4 + 5] 7 ndash 7 3 9

(Gaussovo zbrajanje)

PRIRODNI BROJEVI (PISANI ISPIT) ndash 1 sat

Pisani ispit proveden je s problemskim zadacima iz stvarnog života

Pri testiranju učenici mogu koristiti svoje bilješke udžbenik zbirku zadataka i

dodatnu literaturu Pomoć mogu zatražiti od vrlo uspješnih učenika iz razreda ili

nastavnika Ukoliko rad učenika nije zadovoljavajući učenik kod kuće dodatno radi na

testu dok ne postigne potrebnu razinu kvalitete tj dok ne rastumači nastavniku kako je

riješio zadatak (svaki učenik napreduje vlastitom brzinom)

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

Pisani ispit ndash primjer zadatka

Zidove kupaonice visoke 240 cm treba prekriti kvadratnim pločicama Pri postavljanju

pločice ne želimo rezati Duljina kupaonice iznosi 336 cm a širina 224 cm Koju

najveću dimenziju pločica treba nabaviti

( rješenje M (240 336 224) = 16 )

DOMAĆE ZADAĆE

Primjeri

1 Povijesni razvoj arapskih brojki

2 Životopis matematičara Gaussa (Gaussovo zbrajanje)

3 Gaussova formula za računanje datuma Uskrsa tj djeljivost prirodnih brojeva

4 Prosti brojevi ndash povijesni pregled (Euklid Eratostenovo sito Goldbachova

slutnja) i primjena

5 Euklidov algoritam (najveći zajednički djelitelj)

6 Savršeni i prijateljski brojevi ndash zanimljiva svojstva

7 Magični kvadrati (povijesni pregled operacije s magičnim kvadratima svojstva

kvadrata tehnike izrade)

8 Sudoku i kakuro

9 Matematički rebusi

10 Zanimljivosti odnosa među brojevima (čudesno svojstvo broja 481 neobične

tablice)

11 Simbolika zanimljivih i neobičnih brojeva (na primjer 1 3 7 10 13)

UMJESTO ZAKLJUČKA

bdquoNajvažnije sposobnosti presudne za uspjeh u 21 stoljeću sposobnosti su

pojedinca da sudjeluje u timskom radu da nauči druge novim vještinama da

pregovara i da uspješno surađujeldquo

(Brad Greene)

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda

Na tom putu pomažu mi vlastite misli na papiru ljubav strpljenje i sloboda