primárne matematické vzdelávanie teória, výskum a · pdf...

Elementary Mathematics Education

Primárne matematické vzdelávanie

teória, výskum a prax

Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou

Mathematics Education in Primary School

Theory, Research and Practice

The Conference Proceedings

26. 4. 2017 – 28. 4. 2017 TÁLE

Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax

Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou organizovanej

Fakultou prírodných vied a Pedagogickou fakultou Univerzity Mateja Bela v Banskej

Bystrici s podporou projektu KEGA 003TTU-4/2015 Elektronické kurzy pre vyučovanie

matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných gymnázií a

projektu KEGA 003UMB-4/2017 Implementácia blended learningu do prípravy

budúcich učiteľov matematiky, ktorá sa konala na Táloch, 26. – 28.4.2017.

Vedecký výbor

Pavol Hanzel (Banská Bystrica, SR)

Michaela Kaslová (Praha, ČR)

Pavel Klenovčan (Banská Bystrica, SR)

Gabriela Pavlovičová (Nitra, SR)

Jaroslav Perný (Liberec, ČR)

Iveta Scholtzová (Prešov, SR)

Oliver Židek (Trnava, SR)

Katarína Žilková (Ružomberok, SR)

Organizačný výbor

Pavol Hanzel

Pavel Klenovčan

Ľubica Gerová

Katarína Sebínová

Daniela Guffová

Patrik Voštinár

Recenzenti

Ľubica Gerová

Pavol Hanzel

Pavel Klenovčan

Iveta Scholtzová

Katarína Žilková

Editori

Katarína Sebínová

Ľubica Gerová

Patrik Voštinár

Za pôvodnosť a správnosť jednotlivých príspevkov zodpovedajú ich autori.

Príspevky neprešli jazykovou úpravou.

Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica

Belianum. Vydavateľstvo UMB/Edícia: FPV UMB

ISBN: 978-80-557-1236-9

Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax – Tále 2017

Úvod

„Výučba sú myšlienky a činy. Pozeraj sa svetu

na hodiny a buď o vždy pol kroka vpred.“

Dynamický rozvoj súčasnej spoločnosti prináša so sebou požiadavku na zmenu

v profesijnej príprave učiteľov tak, aby reflektovala na schopnosť jedinca adaptovať sa

na meniaci sa svet a napĺňať jeho víziu. Na túto zmenu treba pripravovať aj

učiteľov - elementaristov. Pracovníci fakúlt pripravujúcich učiteľov primárneho

školstva a učitelia elementárnej matematiky na Slovensku, v Poľsku a v Čechách sa

pravidelne stretávajú na konferenciách EME, aby sa oboznámili s novými odbornými

výsledkami v didaktike matematiky, viedli priateľské diskusie, osviežujúce telo

i matematického ducha každého účastníka. V diskusiách rezonujú závery

medzinárodných kongresov ICME o vyučovaní matematiky.

22. stretnutie učiteľov matematiky - EME 2017, zaoberajúcich sa prípravou

učiteľov elementaristov, už po druhý raz víta svojich účastníkov v hoteli Stupka

v Nízkotatranskom stredisku Tále na konferencii s medzinárodnou účasťou na tému:

Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax.

Konferencia sa koná v dňoch 26. – 28. 4. 2017 pod záštitou dekanky FPV UMB

doc. RNDr. Jarmily Kmeťovej, PhD. Organizátormi sú Katedra matematiky Fakulty

prírodných vied UMB v Banskej Bystrici v spolupráci s Pedagogickou fakultou UMB,

JSMF a Slovenskou matematickou spoločnosťou. Organizácia konferencie EME 2017

bola podporená projektom KEGA 003TTU-4/2015 s názvom Elektronické kurzy pre

vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných

gymnázií a projektom KEGA 003UMB-4/2017 s názvom Implementácia blended

learningu do prípravy budúcich učiteľov matematiky. V rámci riešenia uvedených

projektov sa na konferencii realizujú sekcie:

Matematická a didaktická príprava učiteľov pre primárne vzdelávanie – rozsah,

kvalita a aktuálny výskum

Efektívne využívanie moderných technológií vo vyučovaní matematiky.

Veríme, že rokovanie a závery tejto konferencie obohatia didaktiku matematiky

v príprave učiteľov primárnej školy. Prajeme Vám mnoho nových inšpiratívnych

podnetov k práci a veľa príjemných chvíľ, strávených na konferencii v krásnom

prostredí Nízkych Tatier.

doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc.


Obsah

Výskum vplyvu iUčebnice z hľadiska retencie geometrických poznatkov Erik Bayerl, Katarína Žilková ...................................................................................... 6

Od Stewartovy věty k Pythagorově větě Jaroslav Beránek ......................................................................................................... 11

Utváření představ o pojmu trojúhelník v průběhu základní školy Irena Budínová ........................................................................................................... 16

Matematizace slovních úloh – problém nejen pro žáky, ale i pro jejich učitele Jana Cachová .............................................................................................................. 24

Tablet vo vyučovaní matematiky Soňa Čeretková, Ivana Boboňová, Mária Bernáthová ............................................... 28

Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém

kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky Radka Dofková, David Nocar .................................................................................... 33

Geometrické myslenie študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky Ľubica Gerová, Katarína Sebínová ............................................................................. 38

Matematická gramotnosť vo vzdelávaní súčasných i budúcich učiteľov Jana Hnatová............................................................................................................... 43

Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití geometrie v praxi Jitka Hodaňová ........................................................................................................... 48

Pracovní listy rozvíjející předmatematickou gramotnost u předškolních děti

zařazené do vzdělávání učitelek mateřských škol Michaela Kaslová ....................................................................................................... 53

Intelektovo nadaný žiak a matematika – prípadová štúdia Jana Kojnoková, Alena Prídavková ........................................................................... 58

Pojem štvorec a deti predškolského veku Janka Kopáčová .......................................................................................................... 63

Možnosti využitia softvéru GeoGebra vo vyučovaní matematiky v primárnom

vzdelávaní Lilla Koreňová ............................................................................................................ 67

Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ Radek Krpec, Darina Jirotková .................................................................................. 72

Geometrické kurikulum na 1. stupni Marie Kupčáková ....................................................................................................... 76

Proces třídění v komunikaci učitelky a dítěte (v mateřské škole) Eva Nováková ............................................................................................................ 81

Několik slov k cyklografii Jitka Panáčová ............................................................................................................ 86


Dizajn výskumu optimalizácie výučbových materiálov z matematiky pre primárne

vzdelávanie Edita Partová .............................................................................................................. 92

Význam obrázka pri riešení kombinatorickej úlohy Gabriela Pavlovičová .................................................................................................. 96

Výchova tvořivého učitele Šárka Pěchoučková ................................................................................................... 101

Aktivizace výuky matematiky na 1. stupni ZŠ Jaroslav Perný ........................................................................................................... 105

Interaktívne aplikácie na riešenie slovných úloh z matematiky pre 1. stupeň ZŠ Milan Pokorný .......................................................................................................... 110

Exekutívne funkcie v matematike v primárnom vzdelávaní Alena Prídavková, Edita Šimčíková, Blanka Tomková ........................................... 114

Kombinatorické problémy v prostředí didaktických her na 1. stupni ZŠ Jana Příhonská, Jana Rolečková ............................................................................... 119

Gry i zabawy matematyczne sposobem na myślenie matematyczne dzieci Grażyna Rygał .......................................................................................................... 123

Kooperačné nástroje e-learningu v pregraduálnej matematickej príprave učiteľov

pre primárne vzdelávanie Iveta Scholtzová, Marek Mokriš .............................................................................. 128

Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu Edita Šimčíková, Alena Prídavková, Blanka Tomková ........................................... 132

Stavby z kociek – prostriedok rozvíjania priestorovej predstavivosti v rámci

odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov Dominika Štefková ................................................................................................... 136

Niektoré miskoncepcie pri riešení slovnej úlohy so zlomkami Valéria Švecová ........................................................................................................ 140

Stimulácia kontroly pozornosti prostredníctvom matematických úloh u žiakov

4. ročníka základnej školy Blanka Tomková, Alena Prídavková, Edita Šimčíková ........................................... 146

Rozvíjanie číselných predstáv vo fínskych didaktických prostriedkoch pre

primárny stupeň vzdelávania Anna Vašutová ......................................................................................................... 150

GeoGebra a JavaScript Patrik Voštinár .......................................................................................................... 154

Studentský pohled na praktickou složku učitelské přípravy v matematice 1. stupně Renáta Zemanová, Darina Jirotková ........................................................................ 159

Analýza predstáv štvrtákov o kruhoch Katarína Žilková ....................................................................................................... 163


6

Výskum vplyvu iUčebnice z hľadiska retencie geometrických

poznatkov

The Research of iBook Impact in Term of Geometrical Knowledge Retention

Erik Bayerl, Katarína Žilková

MESC: D44, G54, U64, U74

Abstract

The paper is specialized on description, especially evaluation of experimental

effect’s results by means of created iBook from thema about plane isometry in term of

retention gained knowledge among students at particular grammar school. Mentioned

results of research point to comparison and actually in some tasks are pointed to positive

impact of iBook usage retention gained knowledge of students in compare with

traditional educational methods.

Key words: iBooks textbook, interactivity, dynamic geometry, retention, math

education.

Abstrakt

Príspevok je zameraný na opis a najmä vyhodnotenie výsledkov experimentálneho

pôsobenia prostredníctvom vytvorenej iUčebnice z tematického celku o zhodných

zobrazeniach v rovine z hľadiska retencie získaných vedomostí u žiakov jedného

gymnázia. Uvedené výsledky výskumu poukazujú na porovnateľnosť a v niektorých

úlohách dokonca pozitívnejší vplyv využívania iUčebnice na retenciu získaných

vedomostí žiakov v porovnaní s vyučovaním tradičnými metódami vzdelávania.

Kľúčové slová: iUčebnica, interaktivita, dynamická geometria, retencia, matematické

vzdelávanie.

1. Úvod

Dnešná moderná spoločnosť si vyžaduje aj moderné prístupy ku vzdelávaniu.

Vzdelávanie sa prostredníctvom nových technologických platforiem inovuje na

efektívnejšie, pre žiakov zaujímavejšie. V poslednom období dochádza k čoraz

častejšiemu využívaniu tabletov vo vzdelávaní. Ich implementácia do vzdelávania so

sebou prináša množstvo výhod, ktoré v sebe tablety integrujú. Vzdelávanie

prostredníctvom tabletov, či smartfónov zároveň podporuje aj tzv. mobilné vzdelávanie.

Už dávnejšie výskumy (Wise, Toto a Lim, 2006) poukazujú na to, že moderné

technológie, predstavujú silný faktor vo vzdelávaní, ktorého správne využitie pozitívne

ovplyvňuje učenie a pozornosť žiakov. Course a Chen (2010) zistili, že využívaním

tabletov sa žiaci dokážu ľahšie orientovať a preskúmať problémy, cítia sa pohodlne


7

a zároveň ich používanie podporuje učenie hrou. Galligan, Hobohmand a Loch (2012)

vo svojich výskumoch dospeli k záveru, že študentom využívajúcich tablety vo

vzdelávaní matematiky ich používanie uľahčuje riešenie úloh, uľahčuje predstavivosť

a poskytuje efektívnu spätnú väzbu. Výhody implementácie tabletov do vzdelávania

matematiky potvrdzujú aj mnohé ďalšie výsledky výskumov (Schnackenberg, 2013;

Courtois, DeGrove, Montrieux, Raes, De Marex a Schellens, 2013; Burden a Kearney,

2016). Aby bolo možné naďalej skúmať vplyv využívania spomínaných platforiem ako

sú tablety, či smartfóny, na efektivitu vzdelávania, je potrebné vytvárať edukačné

materiály pre takéto zariadenia. K tvorbe takéhoto edukačného materiálu dochádza už aj

na Slovensku (Voštinár a Hanzel, 2015). Ide o novú oblasť vzdelávania, v ktorej je

potrebné realizovať výskum zameraný na vplyv a efektivitu vzdelávania matematiky

a jej jednotlivých tém prostredníctvom spomínaných platforiem. To bol jeden

z dôvodov, prečo sme sa rozhodli vytvoriť iUčebnicu, ktorú je možné používať nielen

priamo na vyučovacej hodine, ale kdekoľvek prostredníctvom iPad, či iPhonu. V článku

sa zameriavame na to, aký vplyv má využívanie iUčebnice v matematickom vzdelávaní

na kvalitu poznatkov žiakov, resp. na rozvíjanie ich geometrického myslenia vzhľadom

na retenciu nadobudnutých vedomostí v porovnaní s tradičnou formou vzdelávania

matematiky.

2. Dizajn a priebeh výskumu

Aby bolo možné zrealizovať samotný výskum, potrebovali sme vytvoriť iUčenicu

zameranú na zhodné zobrazenia v rovine. IUčenicu sme vytvorili prostredníctvom

bezplatného softvéru iAuthor, ktorý umožňuje integrovať interaktívne a dynamické

prvky (aplety vytvorené v GeoGebre) a zároveň má vytvorená učebnica aj benefity

tradičnej elektronickej učebnice. Naša iUčebnica predstavuje skôr zbierku riešených

úloh dopĺnenú o základné teoretické poznatky o zhodných zobrazeniach. Okrem

bežných statických prvkov (texty, obrázky) je v každej úlohe implementovaný

interaktívny a dynamický applet, ktorý umožňuje meniť polohové a metrické vlastnosti

daných geometrických prvkov. Práve tento prvok bol pre nás a náš výskum

najpodstatnejší a najdôležitejší, keďže sme chceli zisťovať ako aktívne využívanie

interaktívnych a dynamických prvkov vplýva na upevňovanie vedomostí žiakov

v procese vzdelávania, a aký vplyv má na uchovanie týchto vedomostí, ich trvácnosť

s odstupom času.

Keďže bolo našim cieľom odhaliť efektívnosť vplyvu iUčebnice na uchovanie

vedomostí žiakov, za výskumnú metódu sme zvolili experiment. Nezávisle premennou

bola iUčebnica a závisle premennou bola miera uchovaných vedomostí žiakov.

Predpokladali sme, že využívanie iUčebnice bude mať pozitívnejší vplyv na uchovanie

vedomostí žiakov v porovnaní s vedomosťami žiakov, ktorí pracovali s tradičnými

metódami (bez použitia akýchkoľvek interaktívnych a dynamických prvkov). Keďže

išlo o experiment, bolo potrebné zvoliť experimentálnu a kontrolnú skupinu. Vzhľadom

na dostupnosť sa jednalo o dostupný výber žiakov. Po zvolení porovnateľných skupín

prebehlo experimentálne pôsobenie počas 4 týždňov. Experimentálna skupina pracovala

prevažne s iUčebnicou, v edukačnom procese žiaci používali iPady a interaktívnu

tabuľu. Žiaci kontrolnej skupiny používali tradičné rysovacie pomôcky a využívali

tradičné edukačné stratégie.

Po odučení tematického celku boli žiaci otestovaní formou písomného testu, ktorý

obsahoval 5 úloh tematicky zameraných na zhodné zobrazenia v rovine. Počas

testovania používali žiaci oboch skupín len bežné rysovacie pomôcky bez akýchkoľvek


8

interaktívnych prvkov. Keďže nás zaujímala miera uchovaných vedomostí, podrobili

sme obe skupiny opätovnému testovaniu s polročným odstupom. Žiaci opätovne riešili

písomný test obdobným spôsobom s úlohami obdobného typu.

3. Charakteristika výskumného súboru

Výskumný súbor tvorili žiaci 2.ročníka gymnázia v Banskej Bystrici, u ktorých

bola zachovaná kompaktnosť tried. Aby sme zachovali čo najväčšiu objektívnosť,

rozhodli sme sa na začiatku pred samotným výskumom porovnať žiakov všetkých tried

2. ročníka zo všeobecných vedomostí z geometrie. K dispozícii sme mali celkovo

4 triedy. Po zvolení dvoch najporovnateľnejších tried sme obe triedy ešte podrobili

štatistickému porovnaniu rovnocennosti. Na porovnanie sme použili neparametrickú

verziu 2-výberového Mann-Whitneyho testu, ktorý nám potvrdil rovnocennosť

a porovnateľnosť medzi zvolenou kontrolnou a experimentálnou skupinou. Kontrolnú

skupinu tvorilo 28 žiakov a experimentálnu 29 žiakov. Následne sme mohli prejsť

k samotnému experimentu.

4. Analýza a interpretácia výsledkov

Po realizácii experimentu boli žiaci oboch skupín podrobení písomnému testu,

ktorý obsahoval 5 úloh tematicky zameraných na zhodné zobrazenia, ktoré reflektovali

nižšie aj vyššie poznávacie hladiny. Keďže nás zaujímalo, aký vplyv bude mať

používanie iUčebnice na úroveň zapamätania a uchovania vedomostí žiakov, tak sme

podrobili žiakov obdobnému testovaniu s odstupom pol roka. Po vyhodnotení oboch

písomných testov sme pre obe skupiny určili zmenu v počte získaných bodov každého

žiaka pre každú úlohu z testu. Získané rozdiely v počtoch bodov sme následne porovnali

v oboch skupinách a podrobili štatistickému testovaniu. Použili sme Mann–

Whitney test. Formulovali sme nulovú a alternatívnu hypotézu:

H0: Medzi zmenou dosiahnutých výsledkov v teste a posteste v kontrolnej

a experimentálnej skupine nie sú rozdiely.

HA: Medzi zmenou dosiahnutých výsledkov v teste a posteste v kontrolnej

a experimentálnej skupine sú rozdiely.

Overovanie sme realizovali na hladine významnosti 0,05.

Oba testy (test aj postest) obsahovali úlohy rôzneho typu zameraných na zhodné

zobrazenia v rovine. V úlohe 1 mali žiaci zobrazovať lomenú čiaru v osovej a stredovej

súmernosti. Pri riešení úlohy im mala pomôcť štvorcová sieť. V úlohe 2 zisťovali, či je

útvar zobrazený na obrázku osovo alebo stredovo súmerný. Úloha 3 bola zameraná na

určovanie samodružných priamok v stredovej, či osovej súmernosti. Posledné dve úlohy

boli rozdelené do dvoch častí. Časť a) bola zameraná na riešenie konštrukčnej úlohy,

ktoré malo obsahovať všetky časti riešenia úlohy (náčrt, rozbor, postup konštrukcie,

konštrukcia a odpoveď o počte riešení v danej situácii). Časť b) bola zameraná na širšiu

diskusiu o počte riešení a analýzu opísanej konkrétnej situácie.

Očakávali sme, že práve v posledných dvoch úlohách by mohli byť výsledky

v experimentálnej skupine významne lepšie, keďže skúsenosti s využívaním

interaktivity a dynamiky by mohli mať vplyv na rozvoj predstavivosti a abstrakcie práve

v schopnosti žiaka mentálne manipulovať s geometrickými útvarmi a abstrahovať

podstatné prvky.


9

Tabuľka 1. Výsledky Mann-Whitneyho testu.

Sum of Ranks testovacia

štatistika Z p-hodnota

Kontrolná sk. Experimentálna sk.

1.úloha 813,5 839,5 -0,016 0,984

2.úloha 2284,5 1631,5 1,610 0,107

3.úloha 882,0 771,0 -1,109 0,267

4a.úloha 1703,5 1299,5 -2,251 0,024

4b.úloha 757,5 953,5 -1,516 0,129

5a.úloha 1293,0 918,0 1,969 0,049

5b.úloha 707,0 946,0 1,668 0,095

Z uvedených údajov (Tab. 1) je zrejmé, že testovacia štatistika Z sa nachádza

v oblasti nezamietania nulovej hypotézy (-1,96;1,96) pre úlohy 1, 2, 3, 4b a 5b. Zároveň

p-hodnota je pre uvedené úlohy vyššia ako hladina významnosti 0,05. Preto na hladine

významnosti 0.05 nezamietame nulovú hypotézu a predpokladáme, že neexistuje

štatisticky významný rozdiel medzi zmenou dosiahnutých výsledkov úloh 1, 2, 3, 4b

a 5b v teste a posteste medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou.

Zároveň môžeme vidieť (Tab. 1), že testovacia štatistika Z je mimo intervalu

(-1,96; 1,96) pre úlohy 4a, 5a. Zároveň aj p-hodnota je uvedené úlohy nižšia ako hladina

významnosti 0,05. Na základe týchto kritérií zamietame nulovú hypotézu

a predpokladáme, že existuje štatisticky významný rozdiel medzi zmenou dosiahnutých

výsledkov úloh 4a, 5a v teste a posteste medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou.

Zároveň môžeme potvrdiť, že experimentálna skupina má nižšie ohodnotenie poradí

v oboch úlohách (tab. 1, stĺpec Sum of ranks), a teda dosahovala menší pokles

výsledkov ako kontrolná skupina.

Zhrnutím získaných výsledkov môžeme konštatovať, že využívanie iUčebnice vo

vzdelávaní testovaných žiakov malo prinajmenšom porovnateľný vplyv na mieru ich

zapamätania vedomostí. Keďže predchádzajúce výsledky ukazujú, že žiaci využívajúci

iUčebnicu získali prvotne hlbšie a kvalitatívne lepšie výsledky, ktoré sa tým pádom

z hľadiska retencie nadobudnutých vedomostí pevnejšie uchovali, považujeme tento

výsledok za viac ako uspokojivý. Našu spokojnosť s dosiahnutými výsledkami

potvrdzuje aj fakt, že v úlohách zameraných na riešenie konštrukčných úloh sa dokonca

ukázalo, že pokles získaných vedomostí je štatisticky menej výraznejší práve v skupine

používajúcej iUčebnicu.

5. Záver

Cieľom príspevku bolo opísať výsledky experimentálneho pôsobenia iUčebnice

z tematického celku o zhodných zobrazeniach v rovine z hľadiska retencie

nadobudnutých vedomostí žiakov jedného gymnázia. Výsledky experimentu naznačujú,

že používanie iUčebnice má minimálne porovnateľný vplyv na retenciu získaných

vedomostí žiakov ako edukácia tradične používanou formou vzdelávania. Využívanie

iUčebnice by tak mohlo predstavovať ďalšiu vhodnú alternatívu pre vzdelávanie žiakov.

Dokonca v úlohách konštrukčného charakteru sme zaznamenali štatisticky pozitívnejší

vplyv na mieru zapamätania a uchovania vedomostí žiakov práve v skupine

využívajúcej iUčebnicu, čo len podčiarkuje možnosť jej prípadného využívania

v edukačnom procese.


10

Literatúra

BURDEN, K., KEARNEY, M. Future scenarios for mobile science learning. Research

in Science Education, 2016, 46.2: 287-308.

COURTOIS, C., et al. Push or pull? A longitudinal survey study on the acceptance of

tablets in secondary education. In: 7th International Technology, Education and

Development Conference. 2013.

COUSE, L. J., CHEN, D. W. A tablet computer for young children? Exploring its

viability for early childhood education. In Journal of Research on Technology in

Education. 2010, 43 (1), 75-98.

GALLIGAN, L., HOBOHM, C., LOCH, B. Tablet technology to facilitate improved

interaction and communication with students studying mathematics at a distance.

Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching. 2012, 31(4),

363-385.

HANZEL, P., VOŠTINÁR, P. Elektronický kurz „Vybrané kapitoly z diskrétnej

matematiky“. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, roč. 11, 2016, č. 4,

s. 88-96. ISSN 1336–2232.

SCHNACKENBERG, H. L., et al. Tablet technologies and education. International

Journal of Education and Practice, 2013, 1.2: 7.

VOŠTINÁR, P., HANZEL, P. Mobile application – a tool for teachers, pupils and their

families. In Book of Abstracts, 15th Conference on Applied Mathematics Aplimat

2016. Bratislava : Nakladateľstvo STU, 2016. ISBN 978–80–227–4530–7.

WISE, J. C., TOTO, R., LIM, K. Y. Introducing Tablet PCs: Initial results from the

classroom. In: Frontiers in Education Conference, 36th Annual. IEEE, 2006.

p. 17-20.

Mgr. Erik Bayerl

Katedra matematiky FPV UMB

Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica

E-mail: [email protected]

doc. PaedDr. Katarína Žilková, PhD.

Pedagogická fakulta Katolícka univerzita v Ružomberku

Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok



11

Od Stewartovy věty k Pythagorově větě

From Stewart’s theorem to Pythagoras` theorem

Jaroslav Beránek

MESC: G10

Abstract

The article is devoted to teaching mathematics to future teachers at elementary

schools. It contains one not very familiar topic which can be used as the means for

broadening and deepening mathematics teaching, and further as the motivation for

individual study. First, there is given the formulation, the proof and several applications

of Stewart’s theorem while determining the lengths of the median, altitude and axis of

the interior angle in a triangle. In the conclusion, there is shown that under certain

conditions Stewart’s theorem transforms into Apollonius´ theorem and finally to

Pythagoras` theorem.

Key words: Teaching of mathematics, triangle, Stewart’s theorem.

Abstrakt

Příspěvek je věnován výuce matematiky budoucích učitelů prvního stupně

základní školy. Obsahuje málo známé téma, které je možno použít jako zajímavý námět

k rozšíření a zpestření výuky elementární geometrie, a dále jako motivaci

k samostatnému studiu. Nejprve je uvedena formulace, důkaz a několik aplikací

Stewartovy věty při určení délky těžnice, výšky a osy vnitřního úhlu v trojúhelníku.

V závěru je ukázáno, že za jistých předpokladů lze ze Stewartovy věty obdržet větu

Apolloniovu, a následně i větu Pythagorovu.

Klíčová slova: Výuka matematiky, trojúhelník, Stewartova věta.

1. Úvod

Důležitým činitelem ovlivňujícím kvalitu výuky matematiky na 1. stupni základní

školy je kromě promyšleně stanoveného obsahu učiva a kvalitních učebnic rovněž

kvalitní příprava učitelů. Fakulty připravující učitele pro uvedený stupeň školy musí

budoucí učitele připravit nejen na odborně i metodicky správné vedení výuky

matematiky, ale dát jim i jistý matematický nadhled. Proto je nutno hledat témata, která

by výuku matematických disciplín těchto studentů zpestřila a rozvinula jejich znalosti

a přitom nebyla příliš vzdálená od školské matematiky. Jako výhodné se např.

v elementární geometrii jeví využití Stewartovy věty a některých jejích aplikací.

Stewartova věta není dnes běžně známá a není ani součástí učebnic matematiky,

přestože se jedná o jednoduché planimetrické tvrzení týkající se trojúhelníka. V další

části uvedeme její znění i důkaz (viz [1]). Připomeňme jen (viz [2]), že Matthew


12

Stewart (1717-1785) byl skotský matematik. Studoval na Univerzitě v Glasgowě, kde

započala jeho dlouholetá spolupráce s matematikem Robertem Simsonem, se kterým

společně v roce 1749 publikovali dílo Apollonii Pergaei locorum planorum libri II.

Nejvýznamnějším Stewartovým dílem je práce Some General Theorems of

Considerable use in the Higher Parts of Mathematics, obsahující rovněž hlavní téma

tohoto příspěvku, Stewartovu větu. Zabýval se rovněž astronomií, kde přispěl k řešení

Keplerovy úlohy geometrickými metodami (1756).

2. Stewartova věta a její využití

Stewartova věta (viz [1]) vyjadřuje vztah mezi délkami dvou stran trojúhelníku,

délkou příčky ohraničené společným vrcholem těchto dvou stran a libovolným vnitřním

bodem strany třetí a délkami úseků, které tato příčka na třetí straně vytíná. Nechť ABC

je libovolný trojúhelník, nechť X je libovolný vnitřní bod strany AB. Využijeme

označení podle obrázku 1, tedy AC = b, BC = a, CX = x, AX = p, BX = q. Podle

Stewartovy věty platí:

Věta 1: a2p + b

2q = (p + q)(pq + x

2).

Obrázek 1. Stewartova věta-označení.

Důkaz: (viz [1]) Využijeme označení podle obrázku 1, nechť dále značí velikost úhlu

AXC. Podle kosinové věty pro trojúhelníky AXC a BXC platí:

b2 = p

2 + x

2 2px cos ,

a2 = q

2 + x

2 2qx cos (180 ).

První rovnici vynásobíme q, druhou p a obě rovnice sečteme. Dostaneme

b2q + a

2 p = p

2q + q

2p + x

2(p + q) 2pqx cos 2pqx cos (180 ).

Protože platí známý vztah cos (180 ) = cos , máme po dosazení

b2q + a

2 p = p

2q + q

2p + x

2(p + q).

Odtud již Stewartova věta plyne snadnou úpravou.

Dříve než uvedeme využití Stewartovy věty pro některé speciální případy,

dokážeme jedno pomocné tvrzení. Také toto tvrzení se v učebnicích matematiky

základních a středních škol vyskytuje poměrně málo, většinou bez důkazu. Proto pro

úplnost bude uvedeno nyní.

Lemma: Každá z os vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka rozděluje protější stranu

v poměru délek přilehlých stran, tj. při označení podle obrázku 2 (kde CX je osa

vnitřního úhlu při vrcholu C), platí p : q = b : a .


13

Obrázek 2. Důkaz pomocného tvrzení-označení.

Důkaz: Nechť platí označení podle obrázku 2. Podle sinové věty pro trojúhelníky ACX

a BCX platí (sin = sin , protože = 180 ):

sin

p

sin

b ,

sin

q

)180(sin

a

.

Z těchto vztahů vyjádříme p, q a dosadíme do hledaného poměru:

a

b

sin)180(sin

a

sinsin

b

q

p

,

protože sin 0 a sin (180 ) = sin 0. Pomocné tvrzení tedy platí.

a) Určení délky těžnice trojúhelníku

Nechť úsečka CX je těžnicí trojúhelníka ABC v označení podle obrázku 1, platí tedy

p = q = 2

c. Její délku místo x označíme tc . Dosadíme do Stewartovy věty a upravíme

(úpravy uvádíme zkráceně):

a2

2

c+ b

2

2

c = (

2

c +

2

c)(

2

c

2

c + tc

2),

(a2

+ b2)

2

c = c (

4

c 2

+ tc2),

tc = 2

c)ba(2 222 .

Délky zbývajících dvou těžnic dostaneme snadno cyklickou záměnou.

b) Určení délky osy vnitřního úhlu trojúhelníku

Nechť úsečka CX je osou vnitřního úhlu ACB trojúhelníka ABC v označení podle

obrázku 2 (její délku místo x označíme oc), rozděluje tedy tento úhel na dva shodné

úhly, které označíme . Pro úseky p, q na straně AB platí podle pomocného tvrzení vztah

a

b

q

p . Tento vztah spolu se vztahem p + q = c tvoří soustavu rovnic o neznámých p, q

kterou vyřešíme. Řešením obdržíme vztahy pro výpočet p, q v závislosti na délkách

stran trojúhelníka ABC . Platí

ba

bcp

,

ba

acq

.

Tyto vztahy dosadíme do Stewartovy věty a2p + b

2q = (p + q)(pq + x

2) a upravíme.

Uvedeme pouze dosazení a výsledný vztah. Obdržíme

a2

ba

bc

+ b

2

ba

ac

= (

ba

bc

+

ba

ac

)(

ba

bc

ba

ac

+ oc

2), odkud plyne


14

ba

)cba)(cba(aboc

.

Délky zbývajících dvou os dostaneme opět snadno cyklickou záměnou.

c) Určení velikosti výšky v trojúhelníku

Nechť platí označení podle obrázku 2, kde příčka CX je výškou trojúhelníka ABC,

přímky CX a AB jsou na sebe kolmé. Velikost výšky označíme vc, p + q = c. Podle

kosinové věty v trojúhelníku ABC platí a2 = b

2 + c

2 2bc cos.. V pravoúhlém

trojúhelníku AXC platí cos = b

p. Po dosazení za cos do předchozího vztahu a úpravě

dostanemec2

acbp

222 . Ze vztahu q = c – p obdržíme úpravou

c2

bcaq

222 .

Dosadíme za p, q do Stewartovy věty a upravíme:

c2

)cba(2)cba(v

4442222

c

.

Délky zbývajících dvou výšek dostaneme opět cyklickou záměnou.

d) Speciální případy

Uvažujme nyní znění Stewartovy věty v jejím základním tvaru

a2p + b

2q = (p + q)(pq + x

2).

V případě, že příčka CX je těžnicí trojúhelníku ABC, platí p = q. Po dosazení a úpravě

přejde Stewartova věta do tvaru (označení podle obrázku 1)

a2 + b

2 = 2(p

2 + x

2).

Tento vztah bývá uváděn jako tzv. Apolloniova věta nazvaná podle starověkého učence

Apollonia z Pergy, od kterého pochází její slovní geometrická formulace (pro libovolný

trojúhelník): Součet čtverců nad libovolnými dvěma stranami trojúhelníka je roven

dvojnásobku součtu čtverců nad polovinou třetí strany a nad těžnicí na tuto třetí stranu.

Je-li navíc trojúhelník ABC pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu C (v označení

podle obrázku 1) a příčka CX je jeho těžnicí, platí p = q = x, bod X je střed přepony AB,

tedy střed kružnice opsané trojúhelníku ABC (Thaletova kružnice). Dosadíme do

Apolloniovy věty p = x a po snadné úpravě s využitím c = 2p obdržíme Pythagorovu

větu a2 + b

2 = c

2. Zajímavé je, že jsme neobdrželi Pythagorovu větu jako speciální

případ kosinové věty, jak bývá v učebnicích běžně uváděno, ale jako speciální případ

Stewartovy věty.

3. Závěr

V příspěvku byla uvedena Stewartova věta a její využití na výpočet některých

prvků v trojúhelníku, dále věta Apolloniova a věta Pythagorova, které jsou jejími

speciálními případy. Cílem nebylo uvedení původních matematických výsledků.

Záměrem bylo ukázat studentům učitelství pro 1. stupeň ZŠ nepříliš složité téma pro ně

téměř neznámé, na kterém lze mj. zopakovat řada základních geometrických pojmů

(včetně procvičení úpravy algebraických výrazů). Pro studenty se zájmem o matematiku

může toto téma hrát i roli motivační pro další studium matematiky.


15

Literatura

[1] CALDA, E. Stewartova věta a příčky v trojúhelníku. In. Rozhledy matematicko-

fyzikální, ročník 86 (2011), č. 2, s. 1-5. ISSN 0035-9343.

[2] Matthew Stewart (mathematician). Dostupné z

https://en.wikipedia.org/wiki/Matthew_Stewart_(mathematician). Citováno dne

13. 1. 2017.

[3] Apollonius` theorem. Dostupné z

https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius%27_theorem. Citováno dne 15. 1. 2017.

Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.

Katedra matematiky

Pedagogická fakulta MU

Poříčí 7, 603 00 Brno, Česká republika



16

Utváření představ o pojmu trojúhelník v průběhu základní

školy

Development of conceptions of the concept triangle during the basic school

Irena Budínová

MESC: G10

Abstract

Geometric shapes are one of the first subjects in mathematics education during the

early stage of elementary school. Even before entering formal schooling, children gain

some basic information about geometric shapes through their everyday experiences.

Children form conceptions about the concepts on the base of their experiences. Some of

these early conceptions about geometric shapes might be incorrect, which might

negatively impact children’s further understanding of geometric shapes. In this study,

we try to look at how the conceptions of the concept triangle are developed during

elementary and lower secondary school.

Key words: geometry, plane figures, triangle.

Abstrakt

Geometrické útvary jsou jedním z prvních témat, se kterým se setkávají žáci

v průběhu 1. stupně ZŠ. Již v předškolním věku získávají o útvarech jisté poznatky,

které ale nemusí být správné a mohou ovlivňovat vývoj pojmu v pozdějších letech. Ve

studii se pokoušíme zmapovat, jakým způsobem se vyvíjí představy žáků o pojmu

trojúhelník v průběhu 1. a 2. stupně ZŠ.

Klíčová slova: geometrie, rovinné útvary, trojúhelník.

1. Úvod

Představy o geometrických pojmech si žáci utvářejí po celou školní docházku. Již

žáci předškolního věku se setkávají s různými geometrickými útvary a vytváří si o nich

prvotní představy. V tomto období vzniká řada miskoncepcí o geometrických pojmech –

např. didaktické pomůcky, jako jsou čtverce a trojúhelníky, mívají zaoblené rohy, aby

se dítě neporanilo. Nejedná se tedy o čtverec nebo trojúhelník, spíše o útvary se

čtvercovým nebo trojúhelníkovým tvarem, avšak přesto je jim přisouzen název

„čtverec“ a „trojúhelník“. Dále děti připodobňují geometrické útvary k věcem z okolí –

k dopravním značkám, k vlajkám, ke střeše, aj. Cutugno a Spagnolo (2014) v této

souvislosti uvádějí, že mnoho žáků ve věku 11 – 12 let připodobňuje geometrické

útvary k reálným objektům z jejich okolí. To může ale znamenat, že termín pro ně zatím

nemá jasný význam (Cutugno, Spagnolo, 2014).


17

Žáci v prvních dvou ročnících základní školy se o geometrických útvarech

rozhodují na základě toho, jak na ně útvar působí. Pokud jim připomíná něco, co viděli

již dříve a bylo to pojmenováno jako trojúhelník, nazvou to také trojúhelníkem.

Giaquinto (2007) se na utváření geometrických pojmů dívá z pohledu vnímání různých

objektů jedincem. Naše počáteční geometrické představy závisí podle něj na tom, jak

vnímáme dané útvary. Na základě prvotních zkušenosti vzniká percepční pojem –

např. trojúhelník žák pozná podle obrázku. Některý model trojúhelníku na žáka může

působit jako ne-trojúhelník (typicky tupoúhlý trojúhelník postavený na vrcholu), ale

také naopak ne-model trojúhelníku žák může vnímat jako trojúhelník (např.

rovnoramenný trojúhelník postavený na základnu s ustřiženými či zaoblenými vrcholy).

Na základě setkávání s útvary v učebních materiálech nebo v běžném životě

vzniká u žáka prototyp pojmu. Tsamir et al. (2015, citováno z Dindyal, 2015)

poukazuje, že velice často je to nějaký netypický rys (např. velikost nebo orientace),

který přispívá k vytvoření prototypického příkladu. Dětem na 1. stupni ZŠ může použití

několika pozitivních a negativních příkladů pomoci získat pevnější pochopení

geometrického pojmu.

S miskoncepcemi z předškolního vzdělávání je potřeba pracovat v prvních dvou

letech školní docházky. Žák sice stále vnímá útvary percepčně, nezvažuje jejich

vlastnosti, avšak dostane možnost vytvářet si skupiny modelů a ne-modelů, na které

naváže v dalších letech.

Van Hiele (viz např. Tipps, Johnson, Kennedy, 2011) nazval první období, kdy se

žák rozhoduje jen na základě toho, jak na něj útvar působí, jako období vizualizace.

Toto období trvá zhruba do 3. ročníku ZŠ. V té době si žák začne všímat toho, že útvar

má určité vlastnosti, podle kterých se může také rozhodovat. Začne přecházet do období

analýzy. Ve 4. ročníku by již většina žáků měla být na této druhé úrovni. K přechodu

však dojde jen za předpokladu, že žák dostává dostatečné stimuly ve výuce geometrie.

V opačném případě žák stagnuje na úrovni vizualizace a nemusí cítit žádnou potřebu

začít uvažovat jinak než percepčně.

Aktivity na 2. stupni ZŠ by potom měly vést k tomu, že se žák přesune do období

neformální dedukce. Žák by měl již vědět, jaké vlastnosti má daný útvar, ale také by

měl být schopen provádět jednoduché důkazy tvrzení o útvaru. Opět platí, že pokud žák

nedostává dostatečné podněty, může po celý 2. stupeň setrvávat na úrovni analýzy, nebo

dokonce vizualizace.

2. Výzkum geometrického myšlení žáků 4. ročníku ZŠ

V letech 2015 a 2016 jsem ve spolupráci s Katarínou Žilkovou mapovala

žákovské představy o základních geometrických pojmech na základě testu, který

K. Žilková vytvořila společně s J. Kopáčovou (Kopáčová, Žilková, 2015). Testu se

v ČR účastnilo 226 žáků 4. ročníku. V případě trojúhelníku se ukázalo, že prototypem

trojúhelníku je rovnoramenný (více než rovnostranný) trojúhelník stojící na základně.

S podobnými výsledky se setkáváme i v zahraničních výzkumech (např. Cutugno,

Spagnolo, 2014). Výsledky poukazovaly na to, že mnoho žáků 4. ročníku setrvává na

úrovni vizualizace a stále mají o útvarech mnoho miskoncepcí. Zhruba 14 % žáků

neidentifikovalo tupoúhlý trojúhelník stojící na vrcholu jako trojúhelník, asi 20 % žáků

považovalo za trojúhelník různé útvary trojúhelníkového tvaru (se zaoblenými rohy, se

zakulacenými stranami). Tou největší miskoncepcí u trojúhelníku bylo to, že žáci

neměli jasno v tom, které body patří trojúhelníku, a mnozí nepovažovali body ležící

uvnitř trojúhelníku (tj. ne na hranici) za body trojúhelníku (asi 40 % žáků). Mnoho žáků


18

1. stupně se ve výuce setká s tím, že modelují „trojúhelníky“ z dřívek nebo na geodesce

z gumičky. Zde může vznikat nesprávná představa o tom, co to trojúhelník vlastně je.

Jiná možná příčina mohou být obrázky v učebních materiálech, které většinou také

obsahují pouze hranici trojúhelníku a ne jeho vnitřek.

3. Výzkum geometrického myšlení na 1. a 2. stupni ZŠ

Zajímalo mě, jaký je další vývoj žákovských představ o základních geometrických

útvarech. Chtěla jsem vědět důvody, podle kterých se žáci rozhodují o geometrických

útvarech. Podle van Hieleho stupnice by žáci 4. ročníku měli být povětšinou na úrovni

analýzy, tj. měli by být schopni zdůvodnit své rozhodnutí, přitom by se měli rozhodovat

na základě vlastností útvaru, nikoli podle toho, jak na ně útvar působí. V 8. ročníku by

již měli žáci přecházet do úrovně neformální dedukce, jejich zdůvodnění by měla být

preciznější, měli by si uvědomovat více vlastností útvaru. Původní test jsem proto

pozměnila, k otázce např. „který útvar je trojúhelník“ měli žáci také zapsat, proč tak

soudí. U každého útvaru byla rovněž možnost útvar vlastními slovy „definovat“.

Test doposud vyplnilo celkově 130 žáků, a to 40 žáků 4. ročníku, 65 žáků

6. ročníku a 25 žáků 8. ročníku. Testování dále pokračuje, výsledky zatím nejsou

konečné.

Úloha 1: Je útvar na obrázku trojúhelník? Odpověď zakroužkuj a zdůvodni.

ano - ne

ano - ne

proč: ____________________

_____________________

proč: ____________________

_____________________

proč: ____________________

_____________________

proč: ____________________

_____________________

ano - ne ano - ne Jednoznačné výsledky jsem dle očekávání získala v případě 1B (rovnoramenný

trojúhelník stojící na základně), který většina žáků vnímá jako prototyp trojúhelníku.

V tomto případě 100 % žáků 4., 6. i 8. ročníku odpovědělo, že útvar je trojúhelník.

Zajímavé bylo sledovat zdůvodnění žáků. Pro některé bylo určujícím faktorem to, že

útvar má tři strany, nebo že má tři vrcholy, ale také že má rovné strany (bez udání

jejich počtu). Velmi často byla ale odpověď: vypadá jako trojúhelník. Tj. přesně takto

má vypadat trojúhelník. Tato odpověď se nejčastěji objevovala u žáků 4. ročníku

a nejméně často u žáků 8. ročníku. Žákova orientace na prototypický tvar a orientaci

útvaru sice s věkem a přibývajícími zkušenostmi klesá, avšak odpověď je velmi naivní

a neměla by se vyskytovat ani u žáků 4. ročníku. Někteří žáci 8. ročníku byli schopni

zvažovat také součet úhlů trojúhelníku, což je vlastnost, která se učí ve vyšších

ročnících 2. stupně.

Různé odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 1.


19

Tabulka 1. Odpovědi na úlohu 1B.

Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník

Má 3 strany 20 % 12 % 48 %

Má 3 vrcholy 8 % 25 % 4 %

Má rovné strany 0 % 9 % 0 %

Má 3 úhly 3 % 3 % 0 %

Úhly dohromady dávají 180° 0 % 0 % 8 %

Vypadá jako trojúhelník 25 % 12 % 8 %

Žáci k popisu používali různé nepřesné termíny, vrchol např. nazývali jako

„špičku“ nebo „rožek“, stranu jako „čáru“ nebo „hranu“. Přesná terminologie je přitom

jedna z částí geometrického myšlení, kterou je třeba cíleně rozvíjet. Dle Hoffera (1981,

citováno z Dindyal, 2015) jsou verbální dovednosti (tj. správné používání terminologie

a přesné vyjadřování při popisování geometrických pojmů) jednou z pěti dovedností,

které se mají ve výuce geometrie rozvíjet. Těmito dovednostmi jsou vizuální

dovednosti, verbální dovednosti, dovednosti znázorňování a zakreslování, logické

dovednosti a schopnosti aplikace. Na obrázku 1 je ukázka řešení žáka 4. ročníku,

na níž můžeme sledovat potíže a nepřesnosti při vyjadřování.

Obrázek 1. Řešení úlohy 1 žákem 4. ročníku.

Ve výsledcích úlohy 1A (tupoúhlý trojúhelník stojící na vrcholu) se projevilo, že

zaměření na tvar a orientaci klesá s věkem žáků. Celkové výsledky jsou uvedeny

v tabulce 2.

Tabulka 2. Celkové výsledky úlohy 1A.

Je útvar 1A trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník

Ano 70 % 88 % 96 %

Ne 30 % 12 % 4 %

Žáci, kteří volili odpověď „ano“, nejčastěji uváděli zdůvodnění, že útvar má 3

strany. Žáci, kteří zvolili „ne“, uváděli jako zdůvodnění to, že je nakřivo, nebo že

všechny strany nejsou stejně dlouhé, ale objevovala se i další zdůvodnění. Mnoho

žáků neuvedlo žádné zdůvodnění.

Různé odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 3.


20

Tabulka 3. Odpovědi pro úlohu 1A.


Má 3 strany 20 % 12 % 44 %

Má 3 vrcholy 10 % 22 % 4 %

Má 3 strany a 3 vrcholy 0 % 5 % 4 %

Má 3 rovné strany 0 % 10 % 0 %

Má rovné strany 0 % 15 % 0 %

Má 3 úhly 0 % 3 % 0 %

Úhly dohromady dávají 180° 0 % 0 % 8 %

Je nakřivo → ne 10 % 6 % 0 %

Všechny strany nejsou stejně dlouhé

→ ne

10 % 0 % 0 %

Z odpovědi „má rovné strany“ lze soudit, že pro některé žáky není jednoznačné,

zda strana trojúhelníku je automaticky úsečka, zda by se nemohlo jednat i o křivku.

Někteří žáci také zvažovali trojúhelníkovou nerovnost. Na následujícím obrázku

vidíme, že žák 6. ročníku usoudil, že trojúhelník 1A nesplňuje trojúhelníkovou

nerovnost. Trojúhelníkovou nerovnost desinterpretoval a vyložil si ji nesprávně.

Můžeme si všimnout, že měl problémy vyjádřit své myšlenky.

Obrázek 2. Řešení úlohy 1 žákem 6. ročníku.

U úlohy 1C ubývalo nesprávných odpovědí od 4. do 8. ročníku, jak je vidět

v tabulce 4. Žáci, kteří se domnívali, že útvar je trojúhelník, nejčastěji jako zdůvodnění

uváděli, že má 3 strany. Termín „strana“ tedy pro ně není ustálený. Žáci, kteří útvar

nepovažovali za trojúhelník, uváděli, že nemá rovné strany, nebo má více než 3

strany, má více než 3 vrcholy.

Tabulka 4. Celkové výsledky úlohy 1C.

Je útvar 1C trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník

Ano 18 % 9 % 0 %

Ne 82 % 91 % 100 %

Úloha 1D měla ještě vyšší úspěšnost. Jako zdůvodnění žáci uváděli, že nemá

rovný spodek, nemá rovné strany a více logická zdůvodnění, jako má 4 strany, má 4

vrcholy nebo má 4 úhly. Celkové výsledky jsou uvedeny v tabulce 5.


21

Tabulka 5. Celkové výsledky úlohy 1D.

Je útvar 1D trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník

Ano 8 % 3 % 0 %

Ne 92 % 97 % 100 %

Úloha 2: Doplň: Trojúhelník je ___________________________________

Úkolem žáků v úloze 2 bylo vyjádřit vlastními slovy, co je trojúhelník. Nejčastější

odpovědí bylo útvar se 3 stranami. Termín „strana“ přitom u mnoha žáků není správně

vytvořen. Někteří žáci přidali přívlastek geometrický, jen minimum žáků uvedlo, že se

jedná o rovinný útvar. V některých případech zcela chyběl podmět. Mnoho žáků

neuvedlo žádnou odpověď.

Nejčastější odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 6.

Tabulka 6. Odpovědi v úloze 2.

Trojúhelník je … 4. ročník 6. ročník 8. ročník

Bez odpovědi 40 % 17 % 16 %

… geometrický útvar se 3 stranami 30 % 31 % 28 %

… geometrický útvar se 3 stranami

a 3 vrcholy

3 % 9 % 8 %

… geometrický obrazec se 3

vrcholy

3 % 15 % 4 %

… má dvě ramena stejně dlouhá a

větší než spodní

5 % 10 % 0 %

Žák 4. ročníku na obrázku 3 vychází z nesprávné představy, že trojúhelník je

pouze rovnoramenný trojúhelník. Ve větě chybí podmět.

Obrázek 3. Specifikace trojúhelníku žákem 4. ročníku.

Jeden z nejšikovnějších žáků 8. ročníku zmiňuje, že se jedná o rovinný útvar

a přestože jím uvedená definice (obrázek 4) by byla velmi netypická (uvádí vlastnost,

která není vnímána jako definitorická – součet vnitřních úhlů), do této specifikace

spadají opravdu všechny trojúhelníky.

Obrázek 4. Žák 8. ročníku podává jednu z nejlepších odpovědí.


22

Úloha 3. Pro trojúhelník ABC doplň:

Zakroužkuj všechny body trojúhelníku:

A B C D E F Zakroužkuj vrcholy trojúhelníku:

A B C D E F

Zapiš strany trojúhelníku: __________

Již dříve bylo uvedeno, že mnoho žáků 4. ročníku mělo nesprávnou představu

o vnitřních bodech trojúhelníku. Proto mě zajímalo, jak se tyto představy mění

v průběhu 2. stupně ZŠ.

Nejméně problematická byla druhá část, tedy určit vrcholy trojúhelníku. Správnou

odpověď uvedlo 65 % žáků 4. ročníku, 98 % žáků 6. ročníku a 88 % žáků 8. ročníku.

Třetí úkol splnilo správně 35 % žáků 4. ročníku, 74 % žáků 6. ročníku a 72 %

žáků 8. ročníku. Větší část žáků přitom volila označení pomocí krajních bodů, tj.

𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, nežli označení malým písmenem 𝑎, 𝑏, 𝑐. Nejčastějšími chybami bylo

označení 𝐴, 𝐵, 𝐶, případně |𝐴𝐵|, |𝐵𝐶|, |𝐴𝐶|, nebo také 3 cm, 5 cm, 6 cm.

U první části jsme se setkali s rozličným pojetím. Někteří žáci za body

trojúhelníku vnímají pouze jeho vrcholy. Někteří naopak vrcholy za body trojúhelníku

nepovažují, a označili pouze body E a F. Jiní žáci za body trojúhelníku považují pouze

body A, B, C a E. Vyskytly se i další odpovědi. Nejčastější odpovědi jsou uvedeny

v tabulce 7.

Tabulka 7. Které body patří trojúhelníku?


Správně – A, B, C, E, F 8 % 26 % 48 %

Pouze body E, F 18 % 40 % 8 %

Pouze body A, B, C 13 % 2 % 0 %

Pouze bod E 10 % 6 % 28 %

Pouze bod F 18 % 3 % 4 %

Pouze A, B, C, E 3 % 8 % 4 %

Body D, E, F 25 % 5 % 0 %

4. Závěr Je zjevné, že na 2. stupni ubývá miskoncepcí o trojúhelníku. Žáci 8. ročníku např.

nepovažují za důležité aspekty otočení nebo netypický tvar. I u osmáků se však setkáme

s naivním vyjadřováním, používáním nesprávných termínů a desinterpretací některých

faktů.

Mnozí žáci napříč ročníky nemají usazené některé pojmy, jako je např. strana.

Žáci si nejsou jisti, zda je strana úsečka, nebo i křivka

Z výsledků je patrné, že žáci se ve výuce nesetkávají s tím, že by pojem nějakým

neformálním způsobem vymezovali. Proto i žáci 8. ročníku měli velké problémy

s vymezením pojmu. Někteří k popisu používali velmi naivní vyjadřování, někteří

zvažovali jen některé vlastnosti trojúhelníku a neuvažovali protipříklady.

Žáci mají značné problémy s chápáním, které body patří trojúhelníku. V této

souvislosti pro ně může být matoucí práce se dřívky nebo s geodetkou. Tím nechci říci,

že by žáci neměli s těmito pomůckami pracovat – určitě měli, protože pomůcky rozvíjí


23

některé důležité představy. Je však žáky třeba upozornit, že nemodelujeme trojúhelník,

ale pouze jeho hranici.

Podle mého názoru nejsou žáci 8. ročníku na úrovni neformální dedukce, kde by

měli být podle van Hieleho teorie. Dokládá to jejich malá schopnost útvar správným

a vyčerpávajícím způsobem specifikovat. Bez této schopnosti stěží mohou provádět

důkazy některých tvrzení o trojúhelnících.

Literatura

CUTUGNO, P., SPAGNOLO, F. (2014). Misconceptions about triangle in Elementary

school. Diakses tanggal, 24.

DINDYAL, J. (2015). Geometry in the early years: a commentary. ZDM Mathematical

Education. FIZ Karlsruhe.

GIAQUINTO, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study.

Oxford: University Press.

HOFFER, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74,

s. 11 – 18.

KOPÁČOVÁ, J., ŽILKOVÁ, K. (2015). Developing children’s language and reasoning

about geometrical shapes – a case study. In Novotná, H. Moraová, H. (Eds.),

International Symposium. Elementary Maths Teaching. Prague: Charles

University, Faculty of Education.

TIPPS, S., JOHNSON, A., & KENNEDY, L. M. (2011). Guiding Children’s Learning

of Mathematics. Wadsworth, Cengage Learning.

TSAMIR, P., TIROSH, D., LEVENSON, E., BARKAI, R., & TABACH, M. (2015).

Early years teachers‘ concept images and concept definitions: triangles, circles

and cylindres. ZDM Mathematics Education, 47 (3).

Mgr. Irena Budínová, Ph.D.

Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU

Poříčí 31, Brno, Česká republika



24

Matematizace slovních úloh – problém nejen pro žáky,

ale i pro jejich učitele

Mathematizing word problems - a problem not only for students but also for their

teachers

Jana Cachová

MESC: C30

Abstract

The paper deals with the mathematizing word problems (horizontal and vertical)

in the primary education. It shows some of the difficulties of pupils and their teachers. It

is possible to focus the teaching on improving correct ideas and understanding. It is

necessary to strengthen solving as well as creating tasks and challenges - for students

and for future teachers.

Key words: word problems, the horizontal and vertical mathematizing, creating

problems.

Abstrakt

Příspěvek se zabývá otázkami matematizace slovních úloh (horizontální

i vertikální) v primárním vzdělávání. Ukazuje obtíže nejen u žáků, ale i jejich učitelů.

Zlepšení vidí v zaměření vyučovacích přístupů na utváření správných představ a

porozumění, především pak v posílení orientace vzdělávání na řešení, ale i tvoření úloh

a problémů, a to jak u žáků, tak u budoucích učitelů.

Klíčová slova: slovní úlohy, horizontální a vertikální matematizace, tvoření úloh.

1. Ilustrační ukázka na úvod

Ve třetím ročníku děti řeší samostatně úlohu: Kolik pětek je potřeba k zapsání

všech čísel od 100 do 200?

Velmi brzy ukáže výsledek jeden žák, následně několik dalších. Všichni mají

správný výsledek 20. Učitelku to zaráží. Sama úlohu řešila mnohem delší dobu. Vyzve

žáky, aby komentovali svůj postup řešení.

Lukáš: „No, já jsem si řekl, že 200 mínus 100 je 100 a 100 děleno 5 je 20… no a

měl jsem výsledek.“

U: „Myslíš, Lukáši, že by to mohlo platit vždy při podobném zadání?“

L: „To nevím, ale já to dělal takhle.“

U: „Má někdo jiný způsob řešení, děti?“

Žáci: „Ne, my jsme to řešili stejně jako Lukáš.“

U: „Aha, já to řešila jinak. Dobrá, řekněme, že je to asi dobře.“

Učitelka se ani nepokusila pochopit řešení žáků. Pravděpodobně si nevěděla rady,

Lukášův komentář ji viditelně překvapil.


25

2. Matematizace slovních úloh

Úlohu je možné řešit různými způsoby. K dobré představě o vlastnostech čísel

druhé stovky napomůže například stovková tabulka od 101 do 200 (součást tisícového

leporela Das Tausenderbuch, 2012), z níž je počet hledaných číslic dobře vidět (obr. 1).

Lukáš i ostatní s velkou pravděpodobností pouze použili zadaná čísla a provedli s nimi

formální operaci, aby výsledek mohl odpovídat očekávání učitelky.

Obrázek 1. Stovková tabulka druhé stovky z tisícového leporela s vyznačením

výskytu číslice 5.

Těžko s jistotou říci, co bylo příčinou, že většina žáků uchopila úlohu povrchně.

Bez jasné představy o pravidelném narůstání čísel druhé stovky a jejich zápisu

v desítkové soustavě pouze pokusně operovali se zadanými hodnotami. Učitelka nejspíš

zařadila tuto úlohu v dobré víře podpořit rozvoj myšlení žáků. Sama ale nebyla schopna

reagovat na nečekané řešení, které ji zmátlo o to víc, že se žáci dobrali k výsledku, který

považovala za správný.

Mezi příčiny chybné matematizace slovních úloh může často patřit také formální a

šablonovitý přístup k jejich řešení. Příkladem šablonovitého přístupu k řešení slovních

úloh je i striktní požadování jednotného způsobu zápisu slovní úlohy - viz obrázek 2

z jiné školy na začátku druhé třídy. Dívenka úlohu správně vyřešila a zapsala odpověď,

učitelka ale po ní požaduje jednotný zápis, zbytečně obohacený o algebraickou

neznámou x.

Obrázek 2. Ukázka opraveného řešení slovní úlohy.

Za formálním postupem žáků při řešení slovních úloh často stojí převládající tzv.

mechanické vzdělávání. To se projevuje absencí jak horizontální, tak vertikální

matematizace. „…Horizontální matematizací se rozumí proces, v němž je problém

z reality připravován k matematickému zpracování. Horizontální matematizace vede ze

světa reálného života do světa matematiky, tedy např. realita vyjádřená slovní úlohou je

popsána rovnicí. Vertikální matematizace pak znamená matematické zpracování


26

problému. Horizontální matematizace je tedy vytváření matematického modelu reality,

vertikální matematizace znamená fungování modelu. Horizontální matematizace je

důležitou součástí procesu poznání, na ní záleží, zda matematickými prostředky získané

výsledky mají význam pro studovanou část reality…“ (Kuřina, 2016). Podle přístupů

k matematizaci rozlišuje Kuřina v souladu s Treffersem čtyři typy vzdělávání (viz jeho

tabulka – tab. 1):

Tabulka 1.

VZDĚLÁVÁNÍ

Matematizace

Horizontální Vertikální

Mechanické - -

Empirické + -

Strukturalistické - +

Realistické + +

Pokud chybí horizontální matematizace, děti si správně nepředstaví problém,

nedokážou situaci vhodným způsobem modelovat, neznázorňují. Pokud není zastoupena

vertikální matematizace, vztah použitý k řešení dále nefunguje – nedá se zobecnit pro

podobné úlohy. Chceme-li dovést žáka ke správným představám a k porozumění, máme

podle Stehlíkové a Cachové (2006) několik možností:

vést jej k řešení vhodných problémů a samostatné tvůrčí práci,

vycházet ze vztahu matematiky k realitě (pracovat na projektech),

pěstovat umění vidět v matematice (proč a jak něco funguje),

rozvíjet matematickou gramotnost žáka (učit se pro život).

Do výše uvedených možností se promítá jak horizontální, tak vertikální

matematizace. Někde je více zastoupena horizontální (projekty, učení pro život), jinde

vertikální (umění vidět, jak co funguje), konkrétní poměr zastoupení záleží na

charakteru dané situace a učitelově přístupu.

L. Ma (1999) za základ matematiky považuje čísla a početní algoritmy. F. Kuřina

(Hošpesová a kol. 2011) dodává: „… k řešení úloh, ke skutečnému jádru matematiky se

na elementární úrovni hodí spíše klasická aritmetika, algebra a geometrie... Poznat

důkladně vlastnosti čísel, početních operací a strukturu elementární geometrie znamená

i budování aparátu k řešení úloh…“. L. Ma zadávala učitelům netradiční úlohy

z elementární aritmetiky. Ukázala, že existují učitelé, kteří učí, aniž by rozuměli obsahu.

Že ani pro naše budoucí učitele není matematický obsah vždy zcela jasný, dokládají

některé z následujících ukázek úloh, které studenti vytvořili k zadání: Sestavte slovní

úlohu, kterou bude možné vyřešit pomocí výpočtu 198 : 3 + 16.

Andrea: Najdi 3 čísla, jejichž součtem je číslo 198. Jedno číslo je o 16 větší než

ostatní. (Řešení: 198 : 3 = 66; č. 66, 66, 82)

Bára: Maminka měla 198 korun a chtěla je rozdělit mezi 3 děti, nejstarší z nich

dostal o 16 Kč více. Kolik dostalo nejstarší dítě? Adam a Aneta jsou dvojčata a

Petr je nejstarší dítě.

(Řešení: Dvojčata dostala každý 66 Kč, Petr dostal 82 Kč.)

Dana: Adélka, Pepíček a Anička mají celkem 198 kaštanů. Adélka má o 16 více

než Pepíček a Anička. Kolik má kdo kaštanů?

Eva: Na stavbu pyramidy bylo potřeba 198 krychlí. Pyramida se ale stavěla z

kvádrů. Jeden kvádr měl spojené 3 krychle. Při dostavbě zaútočil nepřítel a

muselo se dodat ještě 16 kvádrů. Kolik kvádrů se spotřebovalo?


27

Andree, Báře, ani Daně se nepovedlo dodržet, aby jejich zadání odpovídalo

danému výpočtu. Přitom jim nevadí, že součet všech třech částí převyšuje zadaný celek.

Studenti většinou volili úlohy s rozdělováním kaštanů, peněz nebo bonbonů mezi děti,

neobjevila se zajímavější propojení s realitou. Evino zadání je sice takovým pokusem,

ovšem stále neumělým. Hledání vhodných reálných situací, na které je možné konkrétní

matematický vztah aplikovat, je pro některé studenty učitelství problematické.

Žáci pátého ročníku vymýšleli slovní úlohy k zadanému násobení:

Planeo Elektro nakupuje 222 ks mobilních telefonů. 1 stojí 9032 Kč. Kolik zaplatí

za celý nákup?

Paní vedoucí nakoupila pro svoji firmu 1234 ks zimních bund. Prodávala je po

678 Kč. Všechny bundy byly vyprodány. Kolik Kč si vydělala paní vedoucí?

Ačkoli byly úlohy většinou o nakupování, byly „reálnější“ než počítání kaštanů a

bonbonů.

3. Tvořivý přístup k řešení úloh jako cesta k lepší profesionalitě učitele

Řešení slovních úloh patří neodmyslitelně k vyučování matematice. V přípravě

učitele primárního vzdělávání je zapotřebí posílit nejen jejich řešení, ale zároveň

tvoření. Ukotvení didaktiky v matematických souvislostech, respektující zákonitosti

pedagogiky a psychologie, je základem zvyšování profesionality vyučování v primární

škole. V americké pedagogice se vžil termín L. S. Shulmana didaktická znalost obsahu,

pro Evropu je ale spojení didaktiky a matematiky přirozené (Hošpesová a kol. 2011).

V hodině je důležité vycházet z tvořivé činnosti žáků, vedoucí k nabývání

zkušeností důležitých pro porozumění a formování správných představ o věcech a

jevech. Dobře vedené vyučování může rozvíjet myšlení i celou osobnost, učit správným

pracovním návykům. Ve školské praxi tomu tak často není - nejen v posledních letech.

Už F. Krček a C. Kehr (1889) upozorňují: „…Kvap, s jakým mnozí učitelé vyučují, a

kupení a hromadění učiva, v němž si mnohá škola libuje, jsou trvalosti a drženlivosti

vyučování na převelikou ujmu…“ a „ … pravidla početní se nepodávají, nýbrž

vyhledávají, vyvozují se od žáků cestou názoru a cvičení…“. F. Kuřina vidí jako

pomyslný lék „…orientaci matematického vzdělávání na řešení úloh, tedy na rozvíjení

myšlení ve vyučování…“ (podrobně Hošpesová a kol. 2011). Cestou k dobrému

vyučování je tak práce s vhodnými úlohami a problémy.

Literatura

HOŠPESOVÁ, A., A KOL. Matematická gramotnost a vyučování matematice. České

Budějovice: Jihočeská univerzita, 2011. ISBN978-80-7394-259-5.

KEHR, K., KRČEK. F. Praxe ve škole obecné. Winkler, Brno, 1889.

KUŘINA, F. Matematika jako pedagogický problém. Gaudeamus, Hradec Králové,

2016. ISBN: 978-80-7435-644-5.

STEHLÍKOVÁ, N., CACHOVÁ, J. Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe. In

Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP : Studijní materiály k projektu. 1. vyd.

Praha: JČMF, 2006. ISBN 80-7015-085-8.

WITTMANN, E., MÜLLER, G. Das Tausenderbuch mathe 2000, Klett, Stuttgart, 2012.

PhDr. Jana Cachová, Ph. D.

Katedra matematiky PřF UHK

Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové



28

Tablet vo vyučovaní matematiky

Tablet in Mathematics Education

Soňa Čeretková, Ivana Boboňová, Mária Bernáthová

MESC: Q63,U73

Abstract

Since 2013, several projects dealing with the implementation of tablets in primary

and secondary education have been carried out in Slovakia. The use of tablets in

education create more dynamic learning atmosphere and, subsequently, the

requirements on teacher competence are also being changed. The article offers a

comparison of teachers' and pupils' activities in solving the same mathematical problem

traditionally and using tablets and Samsung School system.

Key words: tablet, mathematics, handout, Samsung School.

Abstrakt

Od roku 2013 sa na Slovensku realizujú viaceré projekty zaoberajúce sa

implementáciou tabletov do vyučovania v primárnom a sekundárnom vzdelávaní.

Využitie tabletov dynamizuje atmosféru vyučovacej hodiny a tým sa výrazne menia aj

požiadavky na kompetencie učiteľa. Článok prináša porovnanie práce učiteľa a žiakov

pri riešení tej istej matematickej úlohy tradične a s využitím tabletov a systému

Samsung School.

Kľúčové slová: tablet, matematika, pracovný list, Samsung School.

1. Digitálne technológie na slovenských školách

Digitálne technológie na slovenských školách začínajú reálne prispievať

k inovatívnemu spôsobu výučby. Nezisková organizácia EDULAB v spolupráci so

spoločnosťou Samsung Electronics Czech and Slovak, s.r.o., začala v roku 2013

realizovať pilotný projekt Škola na dotyk, ktorého cieľom bolo nielen dodať školám

tablety a iné dotykové technológie, ale hlavne vytvoriť dlhodobo fungujúce prostredie

pre ich využívanie vo výučbe (skolanadotyk.sk, 2013).

Inovatívny spôsob výučby pomocou tabletov a dotykových displejov, ktorý sa

realizoval v rámci pilotného projektu Škola na dotyk sa naplno rozbehol v roku 2014 na

všetkých zúčastnených školách. Ide doposiaľ o najväčší projekt svojho druhu na

Slovensku (skolanadotyk.sk, 2014). Do projektu bolo vybratých 12 základných

a stredných škôl z celého Slovenska. Ich výber sa uskutočnil na základe kvality

projektov predložených školami. Každá zo zúčastnených škôl následne získala,

v závislosti od počtu žiakov, približne 30 tabletov, dotykový displej a ďalšie

technológie, ktoré žiaci denne využívajú na vyučovaní (skolanadotyk.sk, 2013). Školy


29

získali nielen technické vybavenie, ale aj softvérovú a didaktickú podporu od

organizátora projektu, neziskovej organizácie EDULAB (skolanadotyk.sk, 2014).

Projekt Škola na dotyk sa v roku 2015 rozšíril aj v univerzitnom prostredí pod

názvom Škola na dotyk Univerzita. Cieľom bolo vytvorenie tabletových učební na pôde

univerzít a začlenenie práce s dotykovými technológiami do bežného vysokoškolského

kurikula so zámerom pripravovať budúcich učiteľov v podmienkach, ktoré ich čakajú

v ich budúcom zamestnaní (skolanadotyk.sk, 2017).

V rovnakom období prebiehal na Slovensku aj národný projekt Elektronizácia

vzdelávacieho systému regionálneho školstva. Jeho cieľom bolo zriadenie a vybavenie

digitálnych učební, vytváranie digitálneho vzdelávacieho obsahu a vyškolenie

vybraných osôb pre zabezpečenie ďalšieho vzdelávania pedagogických pracovníkov.

V rámci národného projektu získali materské, základné a stredné školy na Slovensku

(s výnimkou Bratislavského kraja) moderné digitálne vybavenie, ktoré im umožní

modernizovať výučbu. Spolu 1 026 škôl bolo vybavených modernou tabletovou

učebňou. Partnerom projektu bolo Metodicko-pedagogické centrum, ktoré zodpovedalo

za organizačno-personálne zabezpečenie využívania digitálnych vzdelávacích

materiálov pre moderné formy vyučovania (digiskola.sk, 2017).

Na efektívne využívanie digitálnych technológií vo vyučovaní je potrebné

vytvoriť adekvátne pracovné podmienky pre učiteľov, ktoré im umožnia naplno sa

venovať zvyšovaniu svojich vedomostí a zručností v oblasti digitálnej gramotnosti.

Zdieľanie edukačných aplikácií, či vytvorených metodických materiálov, ale aj zážitkov

a skúseností z používania tabletov vo vyučovaní považujeme za veľmi prínosné a preto

v tomto článku prinášame ukážku matematickej úlohy, ktorú možno riešiť s využitím

tabletu a systému Samsung School.

2. Porovnanie práce s klasickým pracovným listom a práce s tabletom v prostredí

Samsung School

V nasledujúcom texte uvedieme ukážky matematickej úlohy, ktorá je zložená

z troch nadväzujúcich zadaní (úloha 1.1, 1.2 a 1.3). V tabuľkách porovnávame

jednotlivé kroky riešenia a prácu žiakov a učiteľa pri tradičnom vyučovaní a pri práci

s tabletmi. Úloha bola riešená na jednej vyučovacej hodine matematiky v piatom

ročníku v triede, ktorú navštevujú žiaci so všeobecným intelektovým nadaním.

Úloha 1.1 Traja kamaráti sa rozhodli, že na Veľkonočný pondelok pôjdu vyšibať päť

svojich spolužiačok. Nevedeli presne, kde ktorá spolužiačka býva, ale poznali názov

ulice na sídlisku a mali ďalšie informácie, ktoré im mohli pomôcť spolužiačky nájsť.

Pomôžte chlapcom vypátrať adresy dievčat. Spolužiačky Evka, Zuzka, Milka, Lucka a

Katka bývajú takto: Eva býva v činžiaku, ktorý má v susedstve len jeden činžiak a

rovnako býva aj Zuzka. Lucka nebýva pri Evke ani Zuzke. Katka má za susedu Zuzku.

Tabuľka 1. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.1.

Klasický pracovný list Tablet a Samsung School

Žiaci pri hľadaní riešenia zapisujú

ceruzkou, pri omyle prečiarkujú, gumujú,

riešenie na papierovom pracovnom liste

sa stáva neprehľadným.

Funkcia pera v tablete umožňuje

zapisovať riešenie, funkcia gumy

nezanecháva stopu, riešenie je

prehľadné, žiak voľne experimentuje.


30

Učiteľ priebežne zisťuje, aké riešenia

žiaci navrhujú, musí chodiť pomedzi

žiakov, kladie otázky, aby zistil, kto

postupuje v riešení správne.

Učiteľ monitoruje žiakov vo svojom

tablete z jedného miesta, vlastné

správne riešenie aj riešenia jednotlivých

žiakov má v tablete pohotovo pred

sebou.

Učiteľ hľadá správne riešenia

v pracovných listoch jednotlivých

žiakov, ak riešenia hneď hodnotí, zapisuje

na papierový pracovný list body, udeľuje

pečiatky a pod.

Učiteľ vo svojom tablete monitoruje

prácu všetkých žiakov súčasne, správne

riešenie okamžite ohodnotí spätnou

väzbou do tabletu žiaka.

Žiak má svoje riešenie vyriešené na

papierovom pracovnom liste a keď je

vyzvaný, aby s riešením oboznámil

ostatných spolužiakov, musí použiť

tabuľu a prekresliť obrázok.

Riešenie každého žiaka je možné

zdieľať do všetkých žiackych tabletov

naraz, prezentujúci žiak prepne funkciu

pera z písania na ukazovadlo a môže

svoje riešenie okamžite prezentovať

ostatným.

Úloha má dve riešenia, to predstavuje

nové kreslenie na tabuli, vzniká napríklad

riziko, že si predošlé riešenie musíme

kvôli miestu na tabuli zotrieť a pod..

Ďalšie správne riešenie umožní učiteľ

zdieľať do všetkých tabletov - všetkým

žiakom, nič sa nezotiera, nemaže.

Úloha 1.2 Teraz už vieme, v ktorom činžiaku býva, ktorá kamarátka. Ešte musíme zistiť

poschodie a číslo bytu. Číslo poschodia a bytu je výsledok výpočtu aritmetickej úlohy.

Vieme, že každá kamarátka býva v byte, ktorého číslo dáva ciferný súčet 9. Jedno

z dievčat upresnilo: „Ja bývam na prízemí a každá ďalšia kamarátka býva o poschodie

vyššie.



Žiaci riešia 25 aritmetických úloh v obore

malej násobilky. Žiaci zapisujú riešenia

do papierového pracovného listu alebo do

zošitov. Kontrola správnych výpočtov

spočíva v prečítaní výsledkov všetkých

25 výpočtov.

Každý žiak si nahrá zadanie do svojho

tabletu zo spoločne zdieľanej databázy

úloh (napr. Dropbox).

Učiteľ monitoruje na svojom tablete

výsledky každého žiaka. Nie je potrebné

čítať výsledky nahlas. Učiteľ vidí správne

alebo chybné riešenia jednotlivých žiakov.

Ak chce učiteľ upozorniť žiaka na chybu

a vyžaduje, aby žiak prepočítal zadanie

ešte raz, nemusí žiaka upozorniť

menovite, ale využije možnosť

„súkromnej hodiny“ s daným žiakom: na

učiteľskom tablete zdieľa obsah žiakovho

tabletu a podčiarkne chybné výsledky,

ktoré by si mal žiak opraviť.

Žiaci si zoberú pero (ceruzku, pastelku)

inej farby a hľadajú výsledky, v ktorých

je ciferný súčet 9. Opäť môže nastať

situácia že je potrebné opravovať

(gumovať, škrtať).

Žiaci využijú funkciu pera, zmenia farbu

pera. Ak sa žiak pomýli, jednoducho

chybné označenie odstráni a riešenie je

opäť prehľadné.


31

Žiaci zistia, že súčinov s ciferným súčtom

9 je viac ako je dievčeniec. Dôležité je

vrátiť sa k zadaniu úlohy a uvedomiť si,

čo povedala v poslednej vete zadania

spolužiačka (čítanie s porozumením).

Prostredie na tablete je prehľadné a žiak si

rýchlejšie uvedomí dôležitú informáciu

v závere zadania.

Žiaci zmenia farbu pera a už len vyznačia

ako dievčence bývajú od prízemia po

najvyššie poschodie.

Úloha 1.3 Dievčatá sa na príchod chlapcov tešili a pripravovali. Každá ozdobila

kraslicu a použila nasledovné ozdoby:

Ozdobte i vy veľkonočnú kraslicu. Použite tie isté ozdoby – geometrické útvary, ktoré

použili spolužiačky.



Žiaci pri riešení vyfarbujú v papierových

listoch pastelkami.

Žiaci vyfarbujú v tablete pomocou funkcie

pero.

Spoločné prezentovanie riešenia v triede

sa môže uskutočniť presunom stoličiek

do kruhu alebo umiestnením obrázkov na

lavice, pripnutím na nástenku a pod.. Žiaci

svoje riešenia porovnávajú a zistia, že

riešenia sú rôzne a pestré.

Učiteľ monitoruje všetky tablety, vidí

všetky riešenia, svoj tablet zdieľa na

interaktívnu tabuľu a všetci žiaci vidia

riešenia všetkých spolužiakov naraz na

interaktívnej tabuli.

3. Záver

Práca s digitálnym vzdelávacím obsahom a využitie rôznych digitálnych aplikácií

a systémov zdieľania digitálneho obsahu učiteľom a žiakmi počas vyučovacej hodiny

s tabletmi prináša súčasnému učiteľovi výzvy k ďalšiemu, permanentnému vzdelávaniu,

t. j. nadobúdaniu nových kompetencií najmä v oblastiach organizácie vyučovacej

hodiny a primeranej adaptácie obsahu vyučovania do podoby využiteľnej v práci

s tabletmi. Otázka, do akej hĺbky dokáže vyučovanie s využitím tabletov nahradiť

tradičné vyučovanie (napríklad matematiky) a aké nové kompetencie bude musieť

učiteľ zvládnuť, je iba jednou z množstva otázok. Aktuálne sa na súčasné školstvo

kladie výzva vzdelávať generáciu žiakov, ktorej sa hovorí (Pilný a Kučerová, 2014)

„digitálni domorodci“ alebo generácia Y. Táto výzva nemôže byť ignorovaná.

Poďakovanie. Táto práca bola podporovaná Agentúrou na podporu výskumu a

vývoja na základe Zmluvy č. APVV-14-0446.

Literatúra

PILNÝ, I., KUČEROVÁ, T. Manéž informačního věku. 2014, BizBooks. Albatros

Media a.s.. ISBN 978-80-265-0169-5.

digiskola.sk. 2017. Národný projekt: Elektronizácia vzdelávacieho systému

regionálneho školstva. On line [19.1.2017] http://www.digiskola.sk/.


32

skolanadotyk.sk. 2013. Tablety mieria do škôl. On line [19.1.2017]

http://www.skolanadotyk.sk/TYPO3/fileadmin/user_uploads/TS_Skola_na_dotyk

_final.pdf .

skolanadotyk.sk. 2014. Výučba pomocou tabletov sa rozbehla naplno. On line

[19.1.2017] http://www.skolanadotyk.sk/TYPO3/fileadmin/user_

uploads/TS_Skola_na_dotyk_02-1.pdf.

skolanadotyk.sk. 2017. Aktivity. On line [19.1.2017]

http://www.skolanadotyk.sk/aktivity.html.

doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD

Katedra matematiky FPV UKF v Nitre

Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra


PaedDr. Ivana Boboňová, PhD.

Katedra matematiky FPV UKF v Nitre

Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra


Mgr. Mária Bernáthová

ZŠ Benkova 34

949 11 Nitra


http://www.skolanadotyk.sk/TYPO3/fileadmin/user_


33

Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně

ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT

ve výuce matematiky

Analysis of Educational Needs and Competencies of Primary School Teachers in the

Olomouc Region for the Implementation and Use of ICT in Teaching Mathematics

Radka Dofková, David Nocar

MESC: U72

Abstract

The article analyses using ICT in mathematical education by primary school

teachers in Olomouc region: presentational and mathematical software, interactive

whiteboard, using and creating e-learning environments and learning materials, etc. The

article is based on the results of the research realized in schools in 2015/2016, aiming to

identify the training needs of teachers in different areas.

Key words: teaching of mathematics, ICT, teacher, primary school.

Abstrakt

Příspěvek analyzuje užívání ICT prostředků ve výuce matematiky učiteli prvního

stupně ZŠ v Olomouckém kraji: prezentační a matematický software, interaktivní

tabule, využití a tvorba e-learningových prostředí a studijních materiálů apod. Vychází

z výsledků výzkumného šetření realizovaného ve školním roce 2015/2016 na školách,

jehož cílem bylo identifikovat vzdělávací potřeby učitelů v různých oblastech.

Klíčová slova: výuka matematiky, ICT, učitel, první stupeň ZŠ.

Úvodem

Jedním z aktuálních trendů soudobého vzdělávání nejen v matematice je

implementace digitálních technologií do edukačního procesu. Aplikované technologie

jsou využívány ve velké míře (počítače, výukový software, digitální výukové objekty,

mobilní zařízení či interaktivní tabule) pro rozvíjení tvořivosti a kreativity žáků. Tento

potenciál je v poslední době ještě více umocněn rozvojem mobilních technologií

(smartphone, tablet), a proto není divu, že i tyto technologie je potřeba umět efektivně

zapojit do vzdělávacího procesu také v matematice, počínaje již výukou na prvním

stupni ZŠ.

1. Výzkumné šetření

Realizované výzkumné šetření bylo vedeno se záměrem identifikovat vzdělávací

potřeby učitelů 1. stupně základních škol Olomouckého kraje na základě jejich

aktuálních kompetencí k využívání ICT ve výuce matematiky, a to nejen pro potřeby


34

rozšíření nabídky předmětů v rámci dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků, ale i

jako reflexe současné skladby matematické komponenty studijní nabídky realizované

v prezenční i kombinované formě Katedrou matematiky PdF UP v rámci pregraduální

přípravy budoucích učitelů 1. stupně ZŠ.

Učitelé ze škol v Olomouckém kraji byli osloveni buď elektronicky, nebo osobně

členy realizačního týmu. Celková návratnost dotazníku byla 114. U dotazníků

distribuovaných elektronicky lze procentuální návratnost určit velmi těžko. Větší část

(zhruba 2/3) byla shromážděna při osobních návštěvách členů výzkumného týmu

na školách, kde byla návratnost 100%. Analýzy a grafické výstupy byly zpracovány

v programech Microsoft Excel a Statistica.

1.1 Rozdělení respondentů dle délky praxe

U sledovaného vzorku respondentů byla proměnná „délka praxe“ klíčovou

pro další analýzy. Dalo se předpokládat, že začínající učitelé prvního stupně budou mít

jiné požadavky na své další vzdělávání než učitelé, kteří v praxi působí již delší dobu.

V dotazníku se respondenti měli identifikovat s jednou z následujících 4 kategorií:

a. začínající učitelé (do 5-ti let praxe),

b. učitelé s délkou praxe do 15-ti let,

c. učitelé s délkou praxe mezi 15-ti a 30-ti lety,

d. učitelé s praxí delší než 30 let.

Začínajících učitelů odpovědělo celkem 35 (31 %) a tvořili druhou nejpočetnější

skupinu. Učitelů s délkou praxe do 15-ti let bylo 25 (22 %). Nejpočetnější skupinou byli

učitelé s délkou praxe mezi 15-ti a 30-ti lety, tvořilo ji 40 učitelů (35 %). Relativně silně

zastoupenou skupinou (vzhledem ke shromážděnému vzorku respondentů) byli i učitelé

s praxí delší než 30 let. Těch bylo celkem 14 (12 %). Takto vytvořené kategorie byly

analyzovány z hlediska normality rozdělení hodnot této proměnné.

1.2 Struktura dotazníku

Dotazníkové položky byly rozděleny do dvou částí. V první části byly zjišťovány

potřebné informace o osobě respondenta - pohlaví, věk, délka učitelské praxe, způsob

a preferovaná forma dalšího vzdělávání. Většinu odpovědí bylo možno realizovat

výběrem nabízených možnosti, případně doplnit odpověď, která v možnostech obsažena

nebyla. Možnosti poslední položky respondenti seřazovali dle míry vlastní preference

od hodnoty 1 (odpověď s nejvyšší prioritou) po hodnotu 4.

V další části bylo obsaženo 37 dotazníkových položek, formulovaných jako

tvrzení, kdy respondent mohl pomocí pětistupňové škály označit míru svého souhlasu

s uvedeným tvrzením, kde hodnota 1 označovala naprostý souhlas, hodnota 5 naopak

naprostý nesouhlas. Respondenti měli taktéž možnost zvolit „nevím, nedovedu

odpovědět“. Poslední, volitelná, položka byla formulovaná jako volná odpověď, coby

doplnění dotazníku o položku s vysokou důležitostí pro respondenta, která však

v dotazníku nebyla zahrnuta. Tuto možnost žádný z respondentů nevyužil.

Pro získání zpětné vazby o vlastním hodnocení postojů k dosavadním

kompetencím učitelů k využívání ICT ve výuce matematiky si ukážeme výsledky

získané z následujících položek dotazníku:

oblast č. 1: práce s ICT - prezentační software

oblast č. 2: práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba

vlastních interaktivních a dynamických materiálů

oblast č. 3: práce s ICT - interaktivní tabule


35

oblast č. 4: využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní

škole

oblast č. 5: tvorba e-learningových studijních materiálů

1.3 Vyhodnocení sledovaných oblastí z dotazníku

Celkové rozložení absolutních četností odpovědí učitelů dle uvedených oblastí

a jejich poměrové vyjádření je patrné z následujícího grafu (obr. 1):

Obrázek 1. Četnost odpovědí učitelů u jednotlivých oblastí.

Nyní se podíváme podrobněji na jednotlivé oblasti. V položce zkoumající zájem o

vzdělávání v oblasti práce s ICT (prezentačním softwarem), obr. 2, výrazně převažovaly

kladné odpovědi.

Obrázek 2. Práce s ICT - prezentační software.

Další položka (obr. 3) „práce s ICT - matematický software, internetové zdroje,

tvorba vlastních interaktivních a dynamických materiálů“ zaujala téměř 60 %

respondentů (naprostý souhlas 23,7 %, souhlas 36 %).


36

Obrázek 3. Práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba vlastních

interaktivních a dynamických materiálů.

Položka „práce s ICT - interaktivní tabule“ zaujala (s průměrnou hodnotou 2,04)

73 % respondentů s kladným postojem (naprostý souhlas 31,6 %, souhlas 41,2 %),

(obr. 4).

Obrázek 4. Práce s ICT - interaktivní tabule.

Nízký zájem o téma „využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na

základní škole“ (průměrná hodnota 2,80) lze vysvětlit pravděpodobně nedostatečným

rozšířením e-learningu na dotyčných školách případně nižší obeznámeností s tímto

způsobem realizace a podpory výuky. Celkově téma odmítá téměř 20 % respondentů - 7

% naprosto, 12,3 % vyjádřilo svůj nesouhlas (obr. 5).

Obrázek 5. Využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní škole.

Nízký zájem byl také o téma „tvorba e-learningových studijních materiálů“

(průměrná hodnota 3,19), celkem souhlasilo necelých 23 % učitelů z toho pouhá 4,4 %

naprosto. Zde lze usuzovat, že e-learning není na školách, kde oslovení pedagogové


37

působí, dostatečně rozšířen natolik, aby cítili potřebu vzdělávat se v uvedené oblasti

(obr. 6).

Obrázek 6.Ttvorba e-learningových studijních materiálů.

Závěr

Hodnocení jednotlivých položek zkoumající vzdělávací potřeby učitelů v oblasti

ICT bylo víceméně pozitivní. Pouze u dvou položek vyskytujících se v tomto seznamu

je poněkud překvapivý nízký zájem o témata, která jsou, případně budou v blízké

budoucnosti, aktuální i na základních školách: „využití e-learningových prostředí ve

výuce matematiky na základní škole“ a „tvorba e-learningových studijních materiálů“.

Je možné si zde položit otázku, z čeho nízký zájem o uvedená témata pramení.

Zda se jedná pro učitele o nezajímavá, neužitečná témata nebo naopak se jedná o

témata, která jsou natolik dobře známá, že učitelé nepociťují potřebu se jim věnovat ve

svém dalším vzdělávání. Dosažené závěry chápeme jako východiska nejen pro další

zkoumání, ale také pro zkvalitnění pregraduální přípravy budoucích učitelů.

Výzkumné šetření k využívání ICT ve výuce matematiky na základních školách a

s tím související šetření vzdělávacích potřeb učitelů je realizováno v rámci projektu

studentské grantové soutěže UP č. IGA_PdF_2017_014 .

PhDr. Radka Dofková, Ph.D.

Univerzita Palackého v Olomouci

Pedagogická fakulta, Katedra matematiky

Žižkovo nám. 5., 77140 Olomouc, Česká republika


Mgr. David Nocar, Ph.D.

Univerzita Palackého v Olomouci

Pedagogická fakulta, Katedra matematiky

Žižkovo nám. 5., 77140 Olomouc, Česká republika



38

Geometrické myslenie študentov predškolskej a elementárnej

pedagogiky

Geometric thinking of students in preschool and elementary education

Ľubica Gerová, Katarína Sebínová

MESC: D75

Abstract

Development of geometric thinking is a longer process which is necessary to be

supported by manipulation activities from childhood. Quality understanding of

geometric concepts is important for future elementary teachers. The article presents

some factors that tell us about the state of their knowledge and skills during the bachelor

study geometry at university.

Key words: Primary and pre-primary education, geometry, preschool and elementary

pedagogy.

Abstrakt

Rozvíjanie geometrického myslenia je dlhšie trvajúci proces, ktorý je potrebné

podporiť manipulačnými činnosťami od detského veku. Kvalitné pochopenie

geometrických pojmov je dôležité pre budúcich učiteľov – elementaristov. Článok

prezentuje niektoré činitele, ktoré vypovedajú o stave ich vedomostí a zručností počas

bakalárskeho štúdia geometrie na vysokej škole.

Kľúčové slová: Primárne a predprimárne vzdelávanie, geometria, predškolská

a elementárna pedagogika.

1. Úvod

Matematická gramotnosť je podstatným pojmom, ktorý je zdôrazňovaný

v každom štátnom vzdelávacom programe (ďalej len ŠVP) pre príslušné vekové

kategórie od materských po vysoké školy. Mnohé články odbornej verejnosti

v poslednom období poukázali na jej klesajúcu úroveň (napr. Gerová, 2013), (Mokriš,

2010), (Scholtzová, 2010). Výsledky rôznych testovacích meraní žiakov základnej školy

to potvrdzujú (NÚCEM, 2017). Alföldyová s Palkovou (2016, s. 44) poukazujú

„na podpriemernú úroveň vedomostí žiakov na začiatku 5. ročníka ZŠ z tematického

okruhu geometria a meranie“. Na Pedagogickej fakulte UMB v Banskej Bystrici

v príprave budúcich učiteľov - elementaristov je vyučovaný predmet Matematická

gramotnosť 2, ktorý je orientovaný na tento tematický okruh ŠVP. V nasledujúcej časti

uvedieme niektoré výsledky študentov, ktoré preukazujú v tomto predmete.


39

2. Úvod do vyučovania predmetu

Predmet Matematická gramotnosť 2 je vyučovaný v 2. ročníku bakalárskeho

štúdia odboru Predškolská a elementárna pedagogika. V jeho úvode študenti v LMS

Moodle absolvujú vstupný test. Cieľom je dať im spätnú väzbu o ich aktuálnych

vedomostiach a zručnostiach z geometrického učiva základnej školy, ktorého ovládanie

je nutné pre ich ďalšie štúdium. Test pozostáva z 15 úloh. Niektoré úlohy ponúkajú

výber odpovedí zo 4 možností (13), niektoré vyžadujú doplniť krátku odpoveď (2).

Úlohy sú algoritmické a poloalgoritmické, teda na úrovni reprodukcie (9) alebo

prepojenia (6) poznatkov a zručností. Vychádzajú z učiva o rovinných útvaroch

(trojuholníky, štvoruholníky), o telesách (kváder), o podobnosti útvarov, o zhodnom

zobrazení (osová súmernosť), o miere rovinných a priestorových útvarov. Zadanie

štyroch úloh vychádza z reálneho života. Na základe tohto obsahu by mal byť test

pre študenta vysokej školy ľahko zvládnuteľný.

V školskom roku 2016/17 vstupný test vypracovalo 75 študentov. Výsledky sú

vyjadrené v tabuľke 1.

Tabuľka 1. Vstupný test.

Úspešnosť v teste Počet %

100 % 6 8,00

Aspoň 65 % 37 49,33

Aspoň 50 % 47 62,67

Menej ako 33,33 % 6 8,00

0 % 14 18,67

n=75

Na základe dosiahnutých výsledkov v teste možno konštatovať priemerný výkon

študentov z učiva ZŠ. Sú študenti, ktorých úspešnosť bola nulová. To poukazuje na to,

že na učiteľské štúdium sa hlásia študenti, ktorí dosahujú priemernú, príp. podpriemernú

úroveň matematických poznatkov. Neselektuje ich prijímacia skúška z matematiky,

ktorá sa v danom odbore nerealizuje. Vzhľadom na to študenti nie sú nútení zdokonaliť

svoje vedomosti a zručnosti z geometrie pred vstupom na vysokú školu.

Na začiatku vyučovania daného predmetu študenti odpovedajú aj na dve otázky:

1. Ako hodnotím svoje súčasné geometrické vedomosti a zručnosti?

2. Ako mienim nadviazať svojou prácou v predmete na dosiahnutú úroveň

vedomostí a zručností?

Ich odpovede sme zhrnuli v tabuľke 2.

Tabuľka 2. Odpovede študentov.

1. otázka 2. otázka

Úroveň Počet % Počet %

Slabá 41 66,13 Zlepšiť základy učiva 33 53,23

Priemerná 16 25,81 Systematické učenie sa 16 25,81

Dobrá 5 8,06 Doučovanie 6 9,08

Zlepšiť porozumenie textu 5 8,06

Využiť spoluprácu 2 3,23

n=62


40

Študenti sa zaradili do troch úrovní, podľa ich vyjadrenia slabej, priemernej a

dobrej. Uvedomujú si svoju nedostatočnú úroveň na začiatku vyučovaného predmetu.

Na základe toho je pre nich náročnejšie nadviazať na ňu požadovaným učivom

v semestri. Každý študent (aj pri dobrej úrovni vedomostí) konštatoval potrebu

zlepšovať sa v učive ZŠ, lebo ho dostatočne neovláda. Často tiež konštatujú

nedostatočnú pozornosť vyučovaniu geometrie na stredných školách (ďalej len SŠ), a to

v súvislosti s absenciou tohto tematického okruhu, alebo s vyučovaním v obmedzenom

časovom priestore. Ide najmä o školy mimo gymnázií, z ktorých väčšina študentov

prichádza študovať odbor Predškolská a elementárna pedagogika. Časť z nich potrebuje

doučovanie mimo školy, alebo pomoc spolužiakov, pretože podľa ich konštatovania

„nie sú schopní problematiku zvládnuť sami“. Uvedomujú si problémy v porozumení

odborných textov, zadaní úloh, s čím súvisí ich dosiahnutá úroveň verbálnej a

symbolickej terminológie. Okrem teoretických základov študenti vidia svoje rezervy

vo svojom systéme učenia sa a v systematickom prístupe k učeniu sa. Viacerí študenti

uviedli aj viac možností súčasne.

Týmito vyjadreniami študenti len potvrdzujú svoje dosiahnuté výsledky

vo vstupnom teste.

3. Testy na priebežné overovanie vedomostí a zručností

Študenti mohli preukázať svoje predsavzatia zlepšovať sa v priebehu štúdia

predmetu Matematická gramotnosť 2. Ich spätnou väzbou boli aj priebežné výsledky

testov v 13 preberaných témach, ktoré im boli zadané v LMS Moodle, a to: Výstavba

geometrie (T1), Priestorová predstavivosť (T2), Bod, priamka, polpriamka, úsečka (T3),

Rovina, polrovina (T4), Rovinné útvary (T5), Zhodnosť rovinných útvarov (T6),

Polohové vlastnosti a kolmosť v priestore (T7), Niektoré topologické pojmy (T8),

Telesá (T9), Miera rovinných útvarov (T10), Miera priestorových útvarov (T11),

Zhodné zobrazenia (T12), Podobnosť útvarov (T13). Testy vypracovalo 74 študentov.

Dosiahnutú úspešnosť prezentuje tabuľka 3.

Tabuľka 3. Priebežné testy.

Testy Úspešnosť % Testy Úspešnosť %

T1 55,14 T8 49,85

T2 42,16 T9 65,92

T3 43,81 T10 45,05

T4 38,42 T11 48,21

T5 48,65 T12 35,14

T6 34,46 T13 34,64

T7 38,82

Cieľom zadaných testov bolo, aby študent zistil, či si v dostatočnej miere doplnil

učivo geometrie ZŠ a ako dokázal na to nadviazať učivom daného predmetu. Typy úloh

a ich úrovne riešenia boli podobné ako vo vstupnom teste. Úspešnosť v riešení nebola

vyššia ako 66 %. Najslabšie výsledky dosiahli študenti v teste T6 (34,46 %) a

T13 (34,64 %), ktoré sa týkali relácií v geometrii (zhodnosť a podobnosť rovinných

útvarov). S nimi sa v činnosti stretávajú i deti predškolského veku. Uvádzame ukážku

najslabšie vyriešených úloh v T6 (18,92 %) a v T13 (14,86 %):


41

Medzi nimi sú úlohy na reprodukčnej úrovni i úrovni prepojenia poznatkov.

Študenti najviac uspeli v teste T9 (65,92 %) súvisiacim s témou Telesá. Najvyššiu

úspešnosť (82,43 %) dosiahli v algoritmickej úlohe, v ktorej bolo potrebné určiť počet

vrcholov, hrán a stien štvorstena.

Aj keď celková úspešnosť v tomto teste bola najvyššia zo všetkých, nie je

postačujúca. Najlepšie vyriešenou úlohou je úloha na úrovni reprodukcie, nevyriešilo ju

však správne 17,57 % študentov.

Ukazuje sa, že väčšina študentov potrebuje väčší časový priestor na zlepšenie

základov geometrie na úrovni učiva ZŠ, ako majú k dispozícii počas predmetu

Matematická gramotnosť 2. Pretrvávajúce problémy im naznačujú, že musia vynaložiť

ešte viac úsilia a systematickej práce, ako predpokladali na začiatku predmetu. Pomôcť

v tom im môžu aj dobrovoľné konzultácie na vysokej škole, ktoré však využívajú

zriedka.

3. Záver

Potvrdzuje sa, že sa nezvyšuje kvalita geometrických vedomostí a zručností

študentov prijatých na štúdium odboru Predškolská a elementárna pedagogika. V

predchádzajúcom období o nej písala i širšia odborná verejnosť napr. (Gerová, 2016),

(Žilková, 2014), (Kuřina, 2016) a ďalší. Poukázala na príčiny a navrhla i možnosti

riešenia. Tie sú predovšetkým v rukách systematického riešenia problematiky na

celoštátnej úrovni a učiteľov ZŠ a SŠ. Budúci učitelia primárneho a predprimárneho

vzdelávania majú sklon k menej presnej popisnej geometrickej koncepcii, ktorá je však

určená skôr predškolskému a mladšiemu školskému veku. V ich učiteľskej príprave je

preto potrebné klásť väčší dôraz na presnosť a správnosť ich geometrických predstáv.

Na základe sebareflexie sami študenti musia vytrvať v svojej dôslednejšej príprave.

Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu KEGA 003TTU-4/2015

„Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých

4 ročníkoch osemročných gymnázií“.

Uvažujme len konvexné uhly. Ktorý striedavý uhol je zhodný

s uhlom TQR?

(Pri označení uhla zvoľte abecedné poradie bodov ležiacich na

jeho ramenách.)

T6

Trojuholník MNO na obrázku je pravouhlý. Úsečka OP je jeho výška. Ktoré

z trojuholníkov MPO, OPN, MON sú podobné? Označte jednu odpoveď.

1. Iba MPO a OPN. 2. Žiadne dva.

3. Iba OPN a MON. 4. Všetky tri.

T13


42

Literatúra

ALFÖLDYOVÁ, I. – PALKOVÁ, V. 2016. Úlohy z geometrického učiva v rámci

Testovania 5-2015. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas

Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s. 39 – 44.

ISSN 1336-2232.

GEROVÁ, Ľ. 2013. Pripravenosť študentov k štúdiu matematiky na vysokej škole. In

Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou

„Matematika v primárnej škole, Rôzne cesty, rovnaké ciele“. Prešov : PF PU,

2013. s. 69 – 73. ISBN 978-80-555-0765-1.

GEROVÁ, Ľ. 2016. Geometrické predstavy budúcich učiteľov pre predprimárne a

primárne vzdelávanie. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas

Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s. 65 – 69.

ISSN 1336-2232.

KUŘINA, F. 2016. Geometrie jako pedagogický problém. In Studia Scientifica

Facultatis Paedagogicae, Universitas Catholica Ružomberok. Ružomberok :

2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s. 9 – 21. ISSN 1336-2232.

MOKRIŠ, M. 2010. Priestor a tvar – pohľad na matematickú gramotnosť študentov

odboru predškolská a elementárna pedagogika. In Acta Universitatis Palackianae

Olomoucensis „Matematika 4“. Olomouc : PF UP, 2010. s. 182 – 186.

ISBN 978-80-244-2511-5.

NÚCEM. 2017. [online]. Bratislava : 2017. [cit. 2017-02-08]. Dostupné na:

<http://www.nucem.sk/sk/>.

SCHOLTOVÁ, I. 2010. Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru

Predškolská a elementárna pedagogika. In Acta Universitatis Palackianae

Olomoucensis „Matematika 4“. Olomouc : PF UP, 2010. s. 271 – 276. ISBN 978-

80-244-2511-5.

ŽILKOVÁ, K. 2014. Poznatky a predstavy o pravouholníkoch študentov učiteľstva pre

primárne vzdelávanie. In Acta Universitatis Palackianae Olomoucensis

Matematika 6 „Mathematics education in primary school – tradition, inovation“.

Olomouc : UP, 2014. s. 284 – 288. ISBN 978-80-244-4062-0.

PaedDr. Ľubica Gerová, PhD.

Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky

Pedagogická fakulta UMB Banská Bystrica

Ružová 13, 974 11 Banská Bystrica


RNDr. Katarína Sebínová, PhD.

Katedra matematiky

Fakulta prírodných vied UMB Banská Bystrica

Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica



43

Matematická gramotnosť vo vzdelávaní súčasných i budúcich

učiteľov

Mathematical literacy in the education of in-service and prospective teachers

Jana Hnatová

MESC: U75

Abstract

The paper explores the construction task about hexaflexagon as an example of

numeracy development with its practical implication. The task was included in the

Mathematical Literacy course within the training of primary school teachers and in the

We Start with GeoGebra accredited training program for in-service teachers.

Key words: Mathematical Literacy, Hexaflexagon Task, Dynamic Geometry,

GeoGebra.

Abstrakt

Príspevok sa zaoberá ukážkou rozvoja matematickej gramotnosti s presahom

do praxe prostredníctvom konštrukčnej úlohy o hexaflexagone. Úloha bola zaradená

do vzdelávania študentov učiteľstva primárneho vzdelávania v predmete Matematická

gramotnosť a do akreditovaného vzdelávacieho programu Začíname s programom

GeoGebra určeného pre učiteľov zo škôl.

Kľúčové slová: matematická gramotnosť, úloha o hexaflexagone, dynamická

geometria, GeoGebra.

1. Úvod

V súčasnosti na Slovensku prebieha niekoľko rôznych meraní monitorujúcich

dosahovanú úroveň vedomostí a zručností z matematiky žiakov rôznej vekovej alebo

vzdelanostnej úrovne. Nelichotivým zistením, že „zaradením úloh s praktickým

presahom sa úspešnosť ich riešenia znižuje“ a odporúčaním „zaradzovať do výučby viac

aplikačných úloh vyššej kognitívnej úrovne“ (NÚCEM, Testovanie 5, 2015) odbornú

učiteľskú obec pravdepodobne neprekvapíme. Tento fakt však bol podnetom pre

zamyslenie sa nad potrebou zaraďovať aj do vzdelávania súčasných i budúcich učiteľov

úlohy podporujúce rozvoj matematickej gramotnosti s praktickým presahom

do reálneho života.

2. Úloha o hexaflexagone

Úlohami orientovanými na rozvoj matematickej gramotnosti s presahom do praxe

sledujeme schopnosť študenta používať svoje matematické poznatky na pochopenie

a riešenie problémov reálneho života.


44

Ukážka, pomocou ktorej chceme demonštrovať možnosti rozvoja, vychádza

z oblasti zábavnej matematiky. Upravili sme ju však do podoby konštrukčnej

geometrickej úlohy o hexaflexagone. Úlohu sme začlenili do vzdelávania učiteľov

v akreditovanom vzdelávacom programe Začíname s programom GeoGebra na

hodinách matematiky a tiež do vzdelávania študentov bakalárskeho štúdia v predmete

Matematická gramotnosť. Dôvodom začlenenia bol práve praktický presah úlohy, jej

silný propedeutický náboj a v neposlednom rade veľká variabilnosť jej konštrukčného

riešenia s možnosťou využitia klasických rysovacích prostriedkov i dynamických

geometrických systémov.

Znenie úlohy je jednoduché: „Navrhnite predlohu na zhotovenie „magického“

papierového pozdravu v tvare jednoduchého plochého modelu tri-hexaflexagonu.“

Hexaflexagon je „magická“ skladačka vyrobená z prúžka papiera. Ten postupne

skladáme cez rovnostranné trojuholníky do tvaru pravidelného šesťuholníka, ktorý má

na rozdiel od jednoduchého modelu mozaikovo vyskladaných viacero povrchových

plôch. Vychádzajúc z názvu, sa v tri-hexaflexagone skladaním „objavia“ tri plochy.

Samozrejme, na internete nájdeme množstvo voľne stiahnuteľných predlôh

hexaflexagonov aj s rôznymi farebnými či obrazovými aplikáciami. Svoj hexaflexagon

má napríklad Vida! Science Centrum Brno aj kreslené filmy z produkcie Walt Disney

Studio - Inside Out, Zootopia, Moana či Kniha džunglí (obr. 1). Tieto však patria

do skupiny hexa-hexaflexagonov, teda hexaflexagonov so šiestimi mozaikovými

plochami, ktorých konštrukcia je prácnejšia.

Obrázok 1. Ukážky flexagonov dostupných na internete.

Ak chceme v rámci vzdelávacej aktivity vytvoriť vlastný model tri-

hexaflexagonu, potrebujeme: prúžok papiera danej šírky alebo hárok papiera s danými

rozmermi, rysovacie potreby alebo softvér schopný dynamickej konštrukcie, nožničky

a lepidlo. Študent, v pozícii tvorcu predlohy, stojí pred konštrukčnou úlohou zostrojiť

10 zhodných rovnostranných trojuholníkov tak, aby boli rozmery prúžka alebo papiera

vhodne využité. Ďalšou limitujúcou podmienkou praktickej realizácie konštrukčného

postupu je možnosť (pri konštrukcii na papier) resp. nemožnosť (pri konštrukcii na

prúžok papiera) zmysluplne využiť jednotlivé základné rysovacie nástroje.

Pôvodná požiadavka na konštrukciu hexaflexagonu sa teda v prvom kroku

transformovala do dvoch variantov čiastkových konštrukčných úloh:

Úloha 1A: Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ak je daná jeho výška v

s použitím pravítka a uhlomera.

Úloha 1B: Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ak je daná jeho výška v

s použitím pravítka a kružidla.

Konštrukcie navrhnuté študentmi na seminári Matematická gramotnosť sme

vizuálne spracovali v programe GeoGebra (obr. 2).


45

a) b)

c)

d)

Obrázok 2. Konštrukcie rovnostranného trojuholníka podľa zadania úloh 1A

a 1B v programe GeoGebra.

Myšlienkovo podobné typy konštrukcií sa objavovali aj pri zadaní úlohy

vo vzdelávaní učiteľov z praxe. V oboch skupinách jednoznačne dominoval

konštrukčný postup s využitím uhlomeru (obr. 2b). Konštrukčné postupy bez neho sa

objavili len ojedinele, pri študentoch až po praktickej ukážke nemožnosti využitia

uhlomeru pri práci s prúžkom papiera.

V druhom kroku kompletizácie predlohy musí študent – tvorca predlohy zvážiť

konštrukciu ostatných zhodných trojuholníkov. Pri nich je možné vychádzať:

z konštrukcie trojuholníka podľa niektorej z viet sss, sus alebo usu, v súlade so

zadaním nasledujúcej úlohy:

Úloha 2A: Je daný rovnostranný trojuholník ABC. Zostrojte rovnostranný

trojuholník CBD;

z využitia zhodného zobrazenia, konkrétne osovej súmernosti, vychádzajúc

z úlohy:

Úloha 2B: Zostrojte obraz rovnostranného trojuholníka ABC v osovej

súmernosti podľa priamky BC.

Zaujímavým momentom bolo študentmi na seminári navrhnuté intuitívne použitie

osovej súmernosti pri skladaní prúžka papiera bez potreby realizovať konštrukciu

pomocou rysovacích potrieb. Po praktickom vyskúšaní ho však precíznejší študenti

zavrhli ako nepresné. V skupine učiteľov pracujúcich s programom GeoGebra boli oba

typy konštrukcií navrhnuté a pomocou dynamických konštrukcií aj odskúšané.

Oceňovanou sa stala možnosť zostrojenia obrazu trojuholníka v osovej súmernosti

pomocou zabudovaného nástroja Osová súmernosť a možnosť záverečných farebných

úprav. Dynamická konštrukcia navyše umožňovala v prípade využitia posuvníkov

meniť šírku prúžka v predlohe podľa reálnych potrieb a krokovo demonštrovať

konštrukčný postup riešenia úlohy.

Jej funkčnú verziu sme s možnosťou stiahnutia sprístupnili na

https://www.GeoGebra.org/m/m7z58KYy (obr. 3).

Otázke: „Ako postupovať v prípade vytvárania predlohy so žiakmi na primárnom

stupni vzdelávania?“ sa budeme venovať v blízkej budúcnosti.


46

Obrázok 3. Výkres dynamickej konštrukcie tri-hexaflexagonu v programe

GeoGebra.

3. Zhrnutie

Kľúčovou výhodou prezentovanej úlohy je jej prepojenie s praktickým životom

v podobe reálne zhotoviteľného výstupu a presah požiadaviek na konštrukciu predlohy

cez viacero stupňov vzdelávania.

Študentom učiteľstva pre primárne vzdelávanie táto úloha prináša:

zábavnú, časovo primeranú, materiálne a finančne nenáročnú aktivitu so

silným propredeutickým nábojom pre ich budúcich žiakov,

ukážku prepojenia matematiky, konkrétne geometrie s praxou,

opodstatnenie požiadavky zvládnuť počas štúdia elementárnej geometrie na

požadovanej úrovni konštrukcie trojuholníka a zhodné zobrazenia v rovine,

možnosť zapojenia digitálnych technológií do konštrukcie predlohy

a následného grafického spracovania výstupu,

rôznorodosť v podobe náročnejších konštrukcií ďalších flexagonov

(tertaflexagonov alebo octaflexagonov).

Učiteľom z praxe táto úloha a jej výstup umožňuje:

rozšíriť portfólio o novú, ľahko zhotoviteľnú učebnú pomôcku demonštrujúcu

základné vlastnosti rovnostranného trojuholníka a pravidelného šesťuholníka

s potenciálom identifikovať základné vlastnosti a vzťahy medzi stranami

a uhlami v týchto útvaroch,

doplniť zbierku úloh praktického využitia matematiky v edukačnej praxi

s reálne použiteľným materiálnym výstupom,

využiť metodickú variabilitu pri jej zaradení do výučby,

získavať a rozvíjať ďalšie kompetencie či už matematické alebo zamerané na

prácu s počítačom a vhodne zvoleným edukačným softvérom.

Literatúra

MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I., ZEĽOVÁ V. Matematická gramotnosť študentov

odboru Predškolská a elementárna pedagogika na konci 1. stupňa

vysokoškolského štúdia in Acta Paedagogicae Presoves - Nova Sandes. Annus VII.

Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, 2011. s. 102-110.

ISBN 978-80-555-0376-9.

NUCEM. Testovanie 5-2015 Priebeh, výsledky a analýzy. Bratislava: NÚCEM, 2016.

On line [02.02.2017] https://lnk.sk/djmQ.

PRÍDAVKOVÁ, A. Elements of mathematical literacy in primary teacher training in

Mathematics XVI. Czestochowa: Publishing House of Jan Dlugosz University of

Czestochowa, 2011. ISBN 978-83-7455209-7.


47

PÁLKOVÁ, V., PRÍDAVKOVÁ, A. a kol. Matematika pre život : zbierka úloh na

rozvoj matematickej gramotnosti žiakov primárnej školy. Prešov: Prešovská

univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, 2013. ISBN 978-80-555-0743-9.

WALT DISNEY ANIMATION STUDIOS. The Jungle Book - hexaflexagon. 2016. On

line [04.02.2017] https://lnk.sk/exB9.

WALT DISNEY ANIMATION STUDIOS. Zootopia - hexaflexagon. 2016. On line

[04.02.2017] https://lnk.sk/INQS.

RNDr. Jana Hnatová, PhD.

Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta

Katedra matematickej edukácie

17. novembra 15, 08001 Prešov



48

Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití

geometrie v praxi

Mathematics in Elementary School with Focus on Geometry Utilization in Practice

Jitka Hodaňová

MESC: D40

Abstract

The article describes the graphical and non-traditional problems in mathematics.

Subject matters are a part of the article which we can use in mathematical and art

teaching. The article gives item for relation developing between school subjects.

Teachers develop pupils’ mathematical interest with help of geometrical problems.

Geometrical object drawing prepares pupils for technical objects, too. Technical

education must start in the elementary school and it is necessary to use the

comprehensive approach to the educational program.

Key words: geometry, relation between subjects, technical practice.

Abstrakt

Článek je zaměřený na grafické a netradiční úlohy v matematice. Součástí článku

jsou náměty, které je možné využít v hodinách matematiky i v hodinách výtvarné

výchovy. Článek rozvíjí mezipředmětové vztahy. Geometrickými úlohami učitelé

rozvíjí zájem žáků o matematiku. Rýsování geometrických objektů připravuje žáky také

pro technické předměty. Výchova žáků pro technickou praxi musí začít již na 1. stupni

ZŠ a je nutné se zaměřit na komplexní přístup k realizaci vzdělávacího programu.

Klíčová slova: geometrie, mezipředmětové vztahy, technická praxe.

1. Ukotvení matematiky v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní

vzdělávání (RVP ZV)

Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání je kurikulární dokument,

který vymezuje závazné rámce vzdělávání pro jeho jednotlivé etapy. RVP ZV navazuje

svým pojetím na RVP PV (Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání) a

je východiskem pro koncepci rámcových vzdělávacích programů pro střední vzdělávání.

Dále vymezuje to, co je nezbytné a společné pro vzdělávání žáků všech základních škol,

především pak základní učivo a očekávané výstupy v jednotlivých obdobích školní

docházky. RVP ZV také specifikuje úroveň klíčových kompetencí, jíchž by žáci měli

dosáhnout na konci základního vzdělávání. Zároveň také podporuje komplexní přístup

k realizaci vzdělávacího obsahu (Hejný, Kuřina, 2009) a umožňuje volbu různých


49

vzdělávacích postupů, odlišných metod, forem výuky a využití všech podpůrných

opatření ve shodě s individuálními potřebami žáků.

Vzdělávací obsah základního vzdělávání je v RVP ZV orientačně rozdělen do

devíti vzdělávacích oblastí. Vyučovacímu předmětu matematika je věnována celá jedna

vzdělávací oblast s názvem Matematika a její aplikace. Vzdělávací obsah této oblasti je

rozdělen na čtyři tematické okruhy – Číslo a početní operace; Závislosti, vztahy a práce

s daty; Geometrie v rovině a v prostoru; Nestandardní aplikační úlohy a problémy

(Hejný, Kuřina, 2009).

2. Výzkumné šetření zaměřené na využití matematiky v běžném životě

Komplexní přístup při realizaci vzdělávacího programu v matematice na prvním

stupni základní školy zahrnuje rovněž rozvíjení zájmu žáků o matematiku. Zájem žáků

o matematiku se prohlubuje také tím, že ukazujeme žákům význam matematiky pro

praxi a využití matematiky v běžném životě. V rámci souvisislé pedagogické praxe při

výuce matematiky na prvním stupni základních škol jsme se zajímali, zda si žáci na

prvním stupni základních škol uvědomují možnosti využití matematiky v běžném

životě. Naše výzkumné šetření jsme realizovali v pátých třídách základních škol.

Soustředíli jsme se především na to, v jakých oblastech žáci pátých tříd základních škol

využívají matematického vzdělání. Ke sběru dat pro odpovědi jsme zvolili dotazník,

který byl předložený žákům pátých tříd na prvním stupni fakultních základních škol v

Olomouci. Výsledný výzkumný vzorek představoval 71 respondentů. Dotazníky byly

zadávány osobně. Následně byla provedena analýza odpovědí. Žáci pátých tříd

základních škol měli uvést oblasti, ve kterých využívají matematiku v běžném životě.

Tabulka č. 1. Aplikace matematiky v běžném životě.

Kategorie uvedených odpovědí Absolutní četnost

Obchod a peníze 36

Domácí příprava do hodin matematiky 25

Práce s rodiči doma (dílna, zahrada, kuchyně) 10

Sport, hry na PC 6

Řešení zábavných příkladů a hlavolamů 4

Graf č. 1. Aplikace matematiky v běžném životě.


50

Vhodným prostředkem, jak rozvíjet zájem žáků o matematiku je geometrie

v rovině a v prostoru. V hodinách matematiky, které jsou věnovány geometrii, je možné

rozvíjet grafické dovednosti žáků, které podporují vytváření mezipředmětových vztahů,

např. vztah geometrie a výtvarné výchovy. Některé příklady mohou žákům ukazovat

využití geometrie v technické praxi.

3. Geometrie v rovině a v prostoru

V rámci tematického okruhu geometrie v rovině a v prostoru žáci pracují

s geometrickými objekty, a to i v reálných situacích, tedy se zřetelem na objekty kolem

nás. Dokážou určovat polohu objektu v rovině i v prostoru, porovnávají, odhadují, měří

délku, obvod, obsah i velikost úhlu a zdokonalují svůj grafický projev. (RVP ZV, 2007)

Podle RVP ZV řadíme mezi rovinné útvary, se kterými žák na prvním stupni

základní školy pracuje, následující objekty: lomená čára, přímka, polopřímka, úsečka,

čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice, kruh, čtyřúhelník a mnohoúhelník. Žáci na

prvním stupni základní školy si rozvíjí jednak jemnou motoriku, dále pak vizuální a

prostorovou představivost, kompozici a fantazii.

V článku uvádíme několik příkladů, které rozvíjí geometrické znalosti žáků na

prvním stupni základní školy. Současně uvedené příklady ukazují vztah mezi geometrií

a výtvarnou výchovou a geometrií a běžným životem.

4. Grafické úlohy v geometrii na 1. stupni základní školy

Osová souměrnost nemusí být pouze základním učivem. Lze ji využít

prostřednictvím zajímavých úloh jako oživující a motivační prvek během hodin

matematiky napříč všemi ročníky prvního stupně ZŠ.

Příklad č. 1 Osová souměrnost

V levé části obrázků vidíš levou polovinu objektů. Dokresli do obrázků pravé

poloviny objektů.

Obrázek 1. Osová souměrnost.


51

Kružnice a kruh jsou základními geometrickými útvary, se kterými se děti

setkávají již od předškolního věku. Dovednost narýsovat kružnici je součástí

geometrického učiva již ve třetím ročníku prvního stupně. Přesto je práce s kružítkem

pro některé děti poměrně náročná. Následující úlohy slouží jako náměty pro

zdokonalení manipulace s kružítkem.

Příklad č. 2 Konstrukce kružnic - bubliny

Narýsujte libovolný počet kružnic s libovolným poloměrem. Kružnice se mohou

vzájemně překrývat. Kružnice vybarvěte dle fantazie.

Význam této úlohy spočívá v nácviku práce s kružítkem. Je kladen důraz na

přesnost rýsování a na zvládnutí manipulace s kružítkem. Ve výtvarné výchově můžeme

využít tohto nácviku v rýsování kružnic z geometrie např. v tématu vodní svět.

Obrázek 2. Konstrukce kružnic – bubliny.

Příklad č. 3 Kružnice - květina

Ve středu stránky narýsuj kružnici o poloměru 4 cm. Narýsuj druhou kružnici

s týmž poloměrem a se středem ležícím na křivce první kružnice. Středem třetí

kružnice, stále s poloměrem 4 cm, je průsečík obou předešlých kružnic. Tento postup

opakuj ještě 4krát. Vzniklý květ je možné vybarvit dle fantazie (předlohy).

Obrázek 3. Kružnice – květina.

Příklad č. 4 Geometrické objekty v rovině

Narýsujte v rovině libovolný počet obdélníků nebo čtverců. Jednotlivé obdélníky

nebo čtverce je možné barevně zvýraznit.


52

Obrázek 4. Obdélníky. Obrázek 5. Čtverce.

3. Závěr

Tyto úlohy jsou formulovány na stejném principu jako úloha bubliny. Jsou určeny

pro nácvik rýsování kružnic, čtverců a obdélníků, pro upevnění této dovednosti a pro

rozvoj kreativního vyjadřování žáků. Kreativita je základní podmínkou lidské existence.

Rozvíjení kreativity žáků je důležité pro jejich další studium, pro získávání zkušeností a

pro budoucí volbu profesního zaměření.

Zpracováno za podpory projektu Grantový fond děkana PdF UP v Olomouci,

Česká republika.

Literatura

HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy

k vyučování. 2. vyd. Praha: Portál, 2009. ISBN 978-80-7367-397-0.

KRIŽALKOVIČ, K., HÁJEK, J., MALINOVÁ, E., DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky

pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vydání. Praha: SPN, 1989, 269s. ISBN 8004204333.

NOVÁK, B. Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2: pro studium učitelství pro

1. stupeň ZŠ). 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2004, 66s.

ISBN 802-440-916.

STOPENOVÁ, A. Matematika II. Geometrie s didaktikou. Olomouc: Univerzita

Palackého v Olomouci, 2001. 62 str. ISBN 80-7067-978-6.

ZDENĚK, M. Základy výtvarné výchovy: Učebnice pro pedagogické fakulty. 1. vyd.

Praha: SPN, 1987, 291 s.

Online zdroje:

KUCHAŘ, J., A. Grafické a netradiční úlohy ve výuce matematiky na 1. stupni základní

školy. Diplomová práce, Olomouc: Univerzita Palackého, 2016.

Mgr. Jitka Hodaňová, Ph.D.

Pedagogická fakulta UP

Žižkovo nám. 4, 771 40 Olomouc,

Česká republika



53

Pracovní listy rozvíjející předmatematickou gramotnost

u předškolních děti zařazené do vzdělávání učitelek

mateřských škol

Work sheets developing the pre-mathematics literacy used in the process of the

kindergarten teacher´s training

Michaela Kaslová

MESC: B56

Abstract

Work sheets focused on the development of pre-mathematics literacy are

numerous. In the Czech Republic it is not obligatory to review them before the

publishing. This fact influences their quality and produces a lot of problems in practice.

Key words: Quality of worksheet, pre-mathematics literacy.

Abstrakt

Pracovní listy na trhu určené pro rozvoj předmatematické gramotnosti jsou

početné. V ČR nepotřebují recenzní posudek před jejich publikací. To ovlivňuje jejich

kvalitu a působí problémy v praxi.

Klíčová slova: Kvalita pracovních listů, předmatematická gramotnost.

1. Úvod

Pracovní list má relativně mladou historii v kontextu školního prostředí. Podobně

jako Čapek (2015) kladu izolovaný pracovní list na pomezí mezi učebnicí a pracovním

sešitem. V dostupných materiálech k vývoji našeho školství od období Československa

po dnes můžeme spatřovat předchůdce pracovního listu v učitelově práci na tabuli, kdy

„popsal či pokreslil“ celou desku tabule před hodinou a během vyučování s danými

informacemi pracovala celá třída buď ústně, nebo písemně tak, že text z tabule přepsali

do sešitu nebo na papír. Rozvojem nových technologií se objevovaly učitelské -

autorské pracovní listy (dále PL) psané na psacím stroji přes kopírovací papír, později

množení na cyklostylu až se dospělo k jejich množení na kopírce či elektronické

tiskárně. Na popsaných případech šlo dominantně o výtvor učitele. S rozvojem nových

technologií se začalo vyskytovat i kopírování jednotlivých listů od jiných autorů.

V době internetu jsou v nabídce také PL (i anonymní) k volnému stažení. To, co bylo

zpočátku pro PL typické (obsah i forma byly „šité na míru dané skupině žáků), zčásti

vymizelo. Jsou země, kde se nepoužívají učebnice ani pracovní sešity, ale žáci dostávají

od učitele jednotlivé PL a vkládají je do desek. Jejich počet za rok se liší třída od třídy,

stát od státu. Nelze tedy tvrdit, že PL se vyskytují jen tam, kde je nadbytek financí.

Původní role procvičování se rozšiřuje o role nové.


54

Termín „pracovní list“ se vyskytoval zpočátku především v singuláru. Pokud

analyzujeme pracovní sešity jak pro ZŠ, tak pro mateřskou školu, pak na pracovní sešit

můžeme pohlížet jako na specifický soubor pracovních listů, které jsou v matematice

zpravidla svázány. Pokud jde o pracovní sešity v ZŠ, jde vždy o strukturovaný

gradovaný soubor PL provázaných více či méně na učebnice, kurikula. Soubor PL

zaměřený na vybrané téma nazývám doplňkový pracovní sešit. Pracovní sešity pro

mateřské školy však nejsou strukturovány, jde zpravidla o jednotlivé na sobě nezávislé

stránky, nepostihují ani jako celek úplné spektrum toho, co by mělo být obsahem

přípravy dítěte na školu. Frekventovaná témata někdy neplní tolik roli fixace, ale spíš

prohloubení. Do PL ať izolovaných, tak svázaných se předpokládá minimálně grafický

zásah žáka, ne-li víc. V lepším případě je to následná diskuse plynoucí z porovnávání

oněch zásahů. V matematice ani v pre-matematice nejde jen o pouhé doplňování. PL

otvírají svět různých metod řešení, postupů, pro které často v učebnicích nebo v jiném

didaktickém prostředí není prostor. V PL tedy vůbec nemusí jít o tréninkově pojaté

úkoly. Jsou PL, kde se kombinují techniky komunikace, které přímo vybízejí k mluvě,

které podněcují řešitelovu tvořivost. Izolované PL jsou zpravidla nezbytné v outdoorové

matematice se zvláštní roli navíc – v otevřeném prostoru zvyšují pozornost žáka, jsou

oporou pro jeho paměť, jsou prostředím pro odraz jeho emocí, které v nestandardním

prostředí prožívá a podobně.

PL je z pohledu grafického řešení specifický, v matematice vedle aritmeticko-

algebraické symboliky, geometrické symboliky, hláskového písma může obsahovat i

grafy, tabulky obrázky, fotografie, avšak zpravidla je v něm více místa, než je

v učebnici - „je graficky vzdušnější“.

Pokud jde o PL „klasický“, pak obsahuje úkoly relativně uzavřené. Zavádím nový

termín a to „pracovní list polotovar“, kde je to žák, který naznačené úkoly dotváří, pak

teprve řeší (lze i takové PL mezi žáky vyměňovat), takový v mateřské škole není. PL

tištěné pro ZŠ mají většinou doložku ministerstva školství, zejména pokud jsou vázány

na učebnice.

Jak a co dělá řešitel s PL, záleží na tom, jak je práce zadána. Roli zadavatele vždy

alespoň zčásti plní učitel. Nepřesnost v pokynech nebo ve vytištěném zadání mohou

způsobit řadu nedorozumění, zklamání, může to mít dopad demotivující, a pokud se

nedostatek opakuje, může jít o vliv deformující. V mateřské škole záleží zadání na tom,

jak PL učitel pochopil.

2. Pracovní list v mateřské škole

Mezi první soubor PL pro mateřské školy lze pokládat publikaci Albatrosu z roku

1979 Těšíme se do školy, od autorů Vebrerová, Dušková, Hřebejková. Všechny

dostupné pracovní listy po rok vydání 1995 byly podrobeny analýze a dospěla jsem

k jejich detailnější charakteristice, což připouští i kritické pohledy na jednotlivé listy,

zadání, ilustrace a podobně. U PL z pozdějších let byl udělán jen výběr, záměrně autory

neuvádím.

PL v mateřské škole mají svá specifika: na jedné straně listu papíru (zpravidla

formátu A4 nebo B4) je jeden až dva úkoly, výjimečně tři nebo čtyři. List papíru může

být alternován stránkou na interaktivní tabuli, na tabletu nebo obrazovce počítače. Na

PL se objevují většinou obrázky zvířat, dětí a jejich blízkých, dále věcí, které dítě bere

do ruky, ale není to pravidlem. Vzhledem k tomu, že dítě ještě neumí číst, bývá

v záhlaví PL zapsán pokyn k úkolu pro dospělého, který úkol přečte, předpokládá se


55

komentář k zadání. Na PL nenajdeme, na jakou zkušenost by měl PL navázat, ani zda

práce s ním není podmíněna jinak, například již jistou úrovní rozvoje grafomotoriky.

Chybějící poznámky k PL legalizují to, že se dítě pouští na pokyn dospělých do

práce s PL ještě ve fázi, kdy na to není zralé. Pokud se dítě musí stále ještě plně

soustředit na to, jak držet tužku/pastelku a má problém vést čáru tak, jak si ono samo

přeje, pak na to odčerpává pozornost a energii a vlastní podstat řešení úkolu uniká.

Nezkoumá se příliš příčina a nezralost se kompenzuje instrukcemi dospělého. Dítě

respektující dospělého se nakonec podřídí jeho instrukcím a PL se míjí účinkem, není-li

kopii úkolem. Podobně to může dopadnout, když dítě nemá dostatečnou zkušenost

s prostředím, ve kterém se úkol v PL odehrává. Dítě, které má omezenou zkušenost

s poznáváním reálného světa nebo má zkušenosti zasazené do jiných kulturních vzorců,

bude těžko řešit úkoly, které se o tyto zkušenosti opírají.

Cílem pracovního listu v předmatematickém vzdělávání není primárně jeho

zaplnění. V PL by mělo docházet k jistému završení poznávání světa všemi smysly (pro

matematiku dominantně kinezí, hapticky, manipulativně, zrakem a sluchem). PL staví

na jisté míře obecného nebo směřuje k zobecňování. Obrázek, čára, šipka jsou grafické

znaky zastupující svět dítěte, znaky, které lze „číst“ nejen jedno/dvouslovně, některé

dokonce celou větou podle toho, jak je grafický list pojat. Srozumitelnost pracovního

listu tedy spočívá i v kvalitě a srozumitelnosti obrázků, v členění plochy přiměřeně i

k rozvoji vnímání dítěte. Aby dítě mohlo řešit PL, musí grafické komunikaci rozumět,

onen obrázkovo-symbolický svět chápat, interpretovat. Zásah dítěte do PL je rovněž

produktem pochopení dané komunikace, které se v procesu řešení dítě přizpůsobuje,

tedy adaptuje se na dané komunikační grafické kódy. Problém nastává, pokud dítě

neodlišuje zástupnou roli obrázku od reality, za předpokladu, že realitu zná (podívá se

na obrázek psa, pes v jeho představě ožívá, náhle skáče, štěká, je huňatý, třeba i smrdí a

má blechy, má jméno). Pohled mladšího dítěte na obrázek se tedy od pohledu dospělého

značně liší. Pro dospělého obrázek v pracovním listu hraje roli zástupce druhu,

typu … je reprezentantem. Toto jde obtížně předpokládat u dítěte na úrovni konkrétního

myšlení. Nezvládnutý rozpor mezi světem dospělého a světem dítěte vytváří další

předpoklady pro nefunkčnost PL.

Zařazení PL je zajímavé ovšem z mnoha důvodů, nezajímá nás pouhý výstup -

řešení, ale z hlediska diagnostického je významný i celý proces řešení. Na toto není

učitel mateřské školy připraven, ani k tomu není na PL vybízen. Je/není učitel mateřské

školy připraven na to, že:

a. PL nemají recenzní posudky odborníků;

b. PL jsou různé kvality;

c. k PL neexistuje metodický doprovod i s uvedením očekávaného přínosu, nejen

řešení;

d. PL lze řešit i jinak než tužkou;

e. PL má více řešení a vede k diskusi;

f. PL se nemá řešit izolovaně, ale v sérii, ne nutně v jeden den;

g. PL tvoří součást specifické didaktické struktury, která má jak část úvodní,

přípravou a další;

h. že na některé PL musí navazovat opět manipulativní nebo kinestetické aktivity

a tak podobně?

Jak se pracuje s pracovními listy? V praxi najdeme nejrůznější postupy od těch,

kde ve věkově heterogenních třídách pracují všechny děti od 2,5 roku po 7 let s tímtéž

pracovním listem, až po výjimky, kde učitelka čeká na moment, kdy dítě pro PL dozrálo


56

a PL nepoužívá plošně, proces individualizuje vzhledem k procesu zrání dítěte. Na

základě pozorování i na základě diskusí s 300 učiteli (studenti kombinovaného studia či

účastníci kurzů dalšího vzdělávání při různých pedagogických a vzdělávacích centrech

bez bakalářského studia) jsme dospěli k běžnému schématu: učitelka rozdá

PL(zpravidla po dopolední svačině), sdělí dětem zadání a nechá děti individuálně

pracovat, jednotlivé PL kontroluje a děti povzbuzuje a chválí. Dokončené PL se

vyberou a někdy vystaví, někdy si je nesou děti domů, což rodiče chválí. Pokud se dítěti

práce nedaří, učitelky poradí, nebo děti vyzvou ke spolupráci, nebo dokonce práci za

dítě dodělají, či mu nabídnou vzorové řešení, což vede zpravidla k bezduchému

kopírování. Ve schématu chybí jak příprava dítěte na práci s PL např. v podobě

pohybových aktivit, obměny aktivit v PL, tak závěrečná společná diskuse, porovnávání,

kde by se ukázalo, že úkol šlo řešit i jinak. Naopak je relativně významný tlak na unicitu

v řešení jak po stránce obsahu, tak i formy.

Analýza 300 PL, které jsou dominantně nabízeny na trhu, ukázala, že 28 % PL

(Kaslová, Dobrovolná) až 31 % PL (Kaslová) obsahuje závažné chyby či nedostatky;

nezapočítáváme jazykové chyby ani nedostatky technického rázu včetně nepřiměřené

velikosti grafických znaků, nedostatku místa na práci. Všechny ostatní nedostatky lze

začlenit do některé z hlavních skupin:

a. nejasné či nepřesné zadání umožňující různé výklady;

b. chybné nebo nadbytečné užití terminologie (pokud je vůbec nutná);

c. zadání pojato náznakem, nutící řešitele spíše k „vciťování“ než k přemýšlení

(Jak to autor asi chtěl?);

d. naznačeno chybné řešení jako správné;

e. zdůrazňování nepodstatných jevů, respektive jejich protěžování oproti jevům

podstatným, což vytváří předpoklad pro vznik formalismů;

f. zadání opírající se o realitu mimo zkušenost dítěte;

g. zadání kopírující učivo prvního, někdy i druhého ročníku ZŠ (didaktická

chyba – „předbíhání učiva“);

h. volba slov odrážející míru nepochopení problematiky zadavatelem nebo rozpor

mezi formulací zadání a obrázky.

Bylo vybráno 7 pracovních listů s nedostatky, které jsem zadala 260

učitelům/budoucím učitelům mateřských škol. Jejich řešení a poznámky byly

analyzovány (z toho 50 řešení studenty ve spolupráci s Dobrovolnou v roce 2016).

Z 260 osob tří skupin bylo ve skupině P 115 studentů pomaturitního vyššího odborného

vzdělávání nebo bakalářského studia se zaměřením na mateřské školy; ve skupině S

bylo 100 učitelek mateřských škol se středoškolským vzděláním, ve skupině M 45

studentů magisterského studia.

Analýza reakcí odhalila následující: 13 osob rozpoznalo víc než 50 % nedostatků

v zadaných PL, což činí 5 % z celkového počtu. Příčina se ukázala v diskusi: většina

osob nepředpokládala, že by v PL mohla být úskalí, výpovědi byly různé, leckdy

emotivní (Jak to, když je to tištěný!). Rozložení „úspěšných osob“ ve skupinách:

S: 1,0 % (1 ze 100); P: 5,0 % (6 ze 115); M: 13,3 % (6 z 45). Ukázalo se, že z 260 osob

mají studenti magisterského studia rozvinutější kritické myšlení a vyšší předmětovou

odbornost, která jim umožnila identifikovat více nedostatků. Délka praxe se ukázala

jako zcela nevýznamná. Naopak dané PL mylně pokládalo za zcela bezproblémové

15,4 % (40 z 260) s tím, že v dané skupině 40 osob převládaly 70 % učitelky

S: (28 ze 40), pak učitelky P: 22,5 % (9 ze 40) a skupina M: 12,5% (5 ze 40).


57

3. Závěr

Šetření prokázalo, že deficit odborných recenzí k didaktickým materiálům pro

mateřské školy pro předmatematickou gramotnost má negativní vliv na kvalitu

pracovních listů. Ani střední a ani vyšší odborné vzdělání rozhodně nejsou zárukou pro

to, že se učitelka mateřské školy bez doškolení snadno vyrovná s nedostatky

v pracovních listech zaměřených na předmatematickou gramotnost. Samo magisterské

vzdělání učitelek z praxe není stoprocentní zárukou kvality práce s pracovními listy.

Příspěvek podpořen projektem Podpora společenství praxe jako nástroj rozvoje

klíčových kompetencí. Reg.č. CZ.02.3.68/0.0/0.0/16_011/0000660.

Literatúra

ČAPEK, R. Moderní didaktika. Praha: Grada Publishing, 2015. ISBN 978-80-247-3450-7

DOBROVOLNÁ V. Kvalita pracovních listů v ČR pro rozvoj předmatematické

gramotnosti. Diplomová práce, vedoucí M. Kaslová. Praha: UK Pedf, 2016.

PhDr. Michaela Kaslová

UK PedF v Praze

M. Rettigové 4, 116 39 Praha 1



58

Intelektovo nadaný žiak a matematika – prípadová štúdia

The Intellectually Gifted Pupil and Mathematics – the Case Study

Jana Kojnoková, Alena Prídavková

MESC: C42, Q32

Abstract

Individual educational requirements of intellectually gifted pupils require teachers

increased interest in studying their psychological characteristics. The mathematical

problems solving process of pupils shows how good and effective student thinking,

systematic planning process and utilize adopted strategy are. Understanding these

factors affecting success of intellectually gifted pupils may effect a targeted skills

development of intellectually gifted, but also less successful pupils. This paper deals

with cognitive and metacognitive processes of intellectually gifted pupils used while

solving mathematical problems aimed at creating ideas about cube nets.

Key words: Intellectually gifted pupil. Metacognition. Executive functions.

Mathematical thinking development.

Abstrakt

Individuálne edukačné požiadavky intelektovo nadaných žiakov si vyžadujú

zvýšený záujem učiteľov o štúdium ich psychologických charakteristík. Proces riešenia

matematickej úlohy žiakom ukazuje, ako dobre a efektívne žiak premýšľa, systematicky

plánuje postup riešenia, či využíva osvojené riešiteľské stratégie. Pochopenie týchto

faktorov ovplyvňujúcich úspešnosť intelektovo nadaných žiakov môže prispieť

k cieľavedomému rozvoju schopností intelektovo nadaných, ale aj slaboprospievajúcich

žiakov. V príspevku popisujeme kognitívne a metakognitívne postupy intelektovo

nadaného žiaka pri riešení matematickej úlohy zameranej na tvorbu predstavy o sieťach

kocky.

Kľúčové slová: Intelektovo nadaný žiak. Metakognícia. Exekutívne funkcie. Rozvoj

matematického myslenia.

1. Úvod

Školská legislatíva umožňuje vzdelávanie intelektovo nadaných žiakov formou

individuálnej integrácie, ktorá je ale podľa Machů a Kočvarovej (2013) prevažne len

priestorová. Znamená to, že individuálne integrovaný žiak je zaradený do kolektívu

rovesníkov, pričom nie je v plnej miere braný ohľad na jeho potreby a záujmy, jeho

vzdelávaniu sa neprispôsobujú formy, metódy ani obsah vyučovacích predmetov.

Spomenutá teória je však v praxi málokedy skutočnosťou. Osobnosť intelektovo

nadaného žiaka nenechá učiteľa pasívneho, v záujme rozvoja žiaka, ako aj organizácie

vyučovacej hodiny, siahne učiteľ po alternatívnych metódach, či zaujímavých úlohách

a problémoch, ktoré majú potenciál zaujať a budovať poznanie žiaka.


59

Silným faktorom, ktorý ovplyvňuje tieto zmeny pracovného štýlu učiteľa, aj celej

triedy je odlišnosť vnímania intelektovo nadaného žiaka, jeho individualita, jedinečnosť

a pohľad na seba samého. Porozumenie tomu, ako intelektovo nadaný žiak premýšľa,

organizuje svoje myšlienky, plánuje kognitívnu činnosť je pre učiteľa nevyhnutné pri

úspešnej práci s týmto žiakom, ale aj inšpiratívne pri intervencii u slabo prospievajúcich

žiakov. Rozvinuté metakognitívne schopnosti a autoregulatívne stratégie uplatňované

v procese učenia sa sú východiskové pre úspešné exekutívne fungovanie nielen

intelektovo nadaných žiakov.

2. Žiak ABC – žiak s intelektovým nadaním

Žiak ABC (9;2) je žiakom štvrtej triedy základnej školy, ale každý o ňom hovorí,

že sa nespráva ako dieťa. Rád číta, zaujíma sa o zahraničnú politiku a má široký

všeobecný prehľad. Okrem iného, je aj hudobne talentovaný, hrá na hudobnom nástroji,

spieva a tancuje vo folklórnom súbore. Pri nástupe do základnej školy už dokázal

plynulo čítať text s porozumením a písať veľkými tlačenými písmenami, koncentroval

sa pomerne dlhý čas na pracovnú úlohu a mal potrebu verbalizovať spôsob svojho

uvažovania a postup riešenia úlohy. Diagnostická správa psychologického vyšetrenia

potvrdila jeho nadpriemerné schopnosti v oblasti analytického a pojmového myslenia,

preto bol od prvého ročníka ZŠ začlenený do triedy ako žiak s intelektovým nadaním.

Jeho individuálny výchovno-vzdelávací program (IVVP) bol vypracovaný s ohľadom

na rozšírenie požiadaviek zo slovenského jazyka a matematiky.

Triedna učiteľka ho ale vníma ako žiaka, ktorý nemá veľmi rád matematiku. Sám

o sebe hovorí, že matematiku má celkom rád, ale niekedy sa mu nechce, vôbec nemá

rád počítanie príkladov. Jeho pozornosť je hlavne pri povinných úlohách stále viac

rozptýlená. Od prvého ročníka bojuje triedna učiteľka s jeho neustálym „prečo“ a snaží

sa ho presvedčiť o tom, že sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie sú pre neho dôležité.

Žiak ABC má nedostatky v oblasti pamäťového a písomného počítania. Princípu

počtových operácií rozumie veľmi dobre, ale základné spoje u neho nie sú

zautomatizované a to ho spomaľuje pri riešení úloh, ktoré ho zaujímajú, prestáva sa mu

preto dariť a stráca trpezlivosť aj motiváciu. Z uvedeného dôvodu má vo štvrtom

ročníku zmenený IVVP, v oblasti matematiky je väčší priestor venovaný podpore

rozvoja problematických aritmetických schopností. Obsah programu je doplnený

o učivo z iných prírodovedných predmetov. Veľmi ho baví chémia a fyzika, keď

vyrastie, túži stať sa nanofyzikom.

Pri testovaní úrovne jeho matematických a kognitívnych schopností (využitím

štandardizovaných testov) sa potvrdilo, že žiak má nadpriemerné intelektové

schopnosti, ale na druhej strane disponuje nedostatkami v aritmetike. V obidvoch

testoch pristupoval k riešeniu úloh rozvážne, nebral ohľad na stanovený časový limit

a postupoval vlastným pracovným tempom. Počtová batéria testu kognitívnych

schopností (Thorndike, Hagen) identifikovala jeho prirodzenú inteligenciu

so štandardným skóre (IQ) 112, čo je 79. percentil populácie žiakov v danom veku.

Úspešnosť v subtestoch zameraných na porovnávanie a seriáciu a neúspešnosť

v subteste vyžadujúcom tvorbu rovníc potvrdila jeho priemerné aritmetické schopnosti.

V teste matematických schopností Kalkúlia III prejavil schopnosti na úrovni

matematického veku 9;9. Z celkového počtu 29 vyriešených úloh sa objavilo najviac

chýb v obrazcoch symetrických podľa vodorovnej osi.


60

3. Analýza postupov riešenia vybraných úloh

Pri individuálnej práci so žiakom ABC (v čase mimo vyučovania) mu boli

zadávané úlohy s gradovanou náročnosťou, ktoré vytvárali podmienky pre uplatnenie

rôznych riešiteľských stratégií. Prezentované úlohy sú orientované na oblasť

matematiky, kde ide o budovanie konceptu sieť kocky. Pri riešení súboru úloh sa žiak

ABC samostatne pokúsil vytvoriť jednotlivé siete kocky na základe mentálnej predstavy

podporovanej manipulatívnym experimentovaním so štvorcami. Jirotková (2007)

vyjadruje názor, že žiak, ktorý tvorí sieť kocky samostatne, musí prekonávať rôzne

prekážky, čo mu prináša informácie a skúsenosti presahujúce oblasť daného

matematického problému. Napriek náročnosti na čas a vynaloženú energiu žiaka pri

riešení úlohy, je tento spôsob efektívnejší z pohľadu rozvoja inteligencie a osobnosti

žiaka, ktorý sa naučí pracovať s chybou, synchronizovať intelektuálnu a manipulatívnu

činnosť a experimentálne hľadať rôzne stratégie riešenia problému. Okrem

spomenutých edukačných benefitov prináša takýto prístup k riešeniu úlohy aj priestor

pre metakognitívne uvažovanie nad procesom riešenia. V ďalšej časti budú predstavené

zadania úloh, otázky metakognitívneho charakteru a stručná analýza žiakovho prístupu

k riešeniu úlohy.

U1: Nakresli všetky rôzne útvary zložené zo štyroch rovnako veľkých štvorcov.

Susedné štvorce musia mať spoločnú aspoň jednu stranu.

Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy:

Vysvetli, čo je strana štvorca. Vysvetli, čo znamená „musia mať spoločnú práve jednu

stranu“.

Koľko takýchto útvarov sa ti podarilo nájsť?

Sú v tomto prípade symetrické obrazce podobné, alebo rovnaké?

Žiak ABC mal hneď po prečítaní zadania potrebu uistiť sa, či úlohu pochopil

správne (Môže to byť nakreslené napríklad aj takto?) Vzťah „susedné štvorce“

nepochopil po prečítaní zadania úlohy, čo demonštroval vymodelovaním správneho

umiestnenia štvorcov, pričom si myslel, že je to príklad nesprávneho riešenia. Žiak

ABC ďalej chvíľu pokračoval s umiestňovaním vystrihnutých štvorcov, potom kreslil

schémy na základe mentálnej predstavy. Problém pri generovaní riešení úlohy nastal,

keď si všimol, že niektoré útvary sú rovnaké, ale v zobrazení osovo súmerné, prípadne

otočené, a žiak sa zamýšľal nad tým, či aj podobný útvar predstavuje nové riešenie

(obr. 1).

Obrázok 1. Grafické riešenie prvej úlohy žiakom ABC.

U2: Pridaj k nájdeným útvarom jeden rovnako veľký štvorec tak, aby si dostal rôzne

útvary zložené z piatich štvorcov. Nájdi čo najviac takýchto útvarov.


Vysvetli, podľa akého systému si dopĺňal piaty štvorec do obrázka. Dopĺňal si ho

náhodne?

Čo ti tieto obrázky zo štvorcov pripomínajú? Poznáš hru pentomino?

Už pred začatím riešenia tejto časti úlohy si bol žiak jednoznačne vedomý toho, že

sa počet riešení po zmene zadania navýši. Jednotlivé riešenia žiak zakresľoval znova iba

na základe mentálnej predstavy. Proces riešenia bol sprevádzaný aj verbalizáciou

postupu. Pri zakresľovaní riešení pracoval systematicky posúvaním piateho štvorca


61

na novú pozíciu v obrazci a bral pri tom do úvahy aj útvary otočené. V priebehu

hľadania útvarov viackrát povedal, že už našiel všetky riešenia, vzápätí si bol istý, že

ešte nenašiel všetky riešenia a odhodlane hľadal ďalšie. Netradičný bol najmä grafický

prejav žiaka: pri kreslení útvarov najprv načrtol obvod celého útvaru, potom ho rozdelil

na jednotlivé štvorce (obr. 2).

Obrázok 2. Grafické riešenie druhej úlohy žiakom ABC.

U3: Útvary sú zložené z piatich štvorcov. Dokresli jeden štvorec tak, aby vznikla sieť

kocky. Nájdeš viac ako jedno riešenie?


Ktorý geometrický útvar má šesť stien? Vysvetli, ako podľa teba vznikne sieť kocky?

Nájdeš medzi svojimi obrázkami aj taký, ktorý by sieťou kocky nemohol byť? Vysvetli

prečo.

Vystrihni si jeden obrázok siete kocky a pokús sa ju poskladať.

Po prečítaní úlohy sa zistilo, že žiak nepozná pojem sieť kocky. Po krátkom

rozhovore so žiakom o tom, čo je kocka, z čoho sa skladá a vysvetlení toho, ako vzniká

jej sieť žiak získal predstavu o tom, čo je potrebné pri riešení úlohy hľadať. Pri hľadaní

sietí kocky si pomáhal modelovaním jednotlivých prípadov pomocou vystrihnutých

štvorcov. Žiak ale vymodeloval konkrétne riešenie, ktoré mal vytvorené v predstave,

neriešil úlohu metódou pokus-omyl, vystrihnuté štvorce využíval iba na uistenie sa

o správnosti nájdeného riešenia. Celkový čas, za ktorý žiak ABC našiel všetkých 11

sietí kocky bol šesť minút. Na obrázku 3 je zaznačených iba šesť riešení, pretože žiak

vo svojom verbálnom komentári k riešeniu úlohy identifikoval chýbajúcich päť sietí ako

symetrické k už zakresleným.

Obrázok 3. Grafické riešenie tretej úlohy žiakom ABC.

4. Záver

Z analyzovaných ukážok riešenia matematických úloh intelektovo nadaným

žiakom ABC vyplývajú o tomto žiakovi pre učiteľa cenné informácie. Hoci žiak ľahko

stratí pozornosť a má potrebu komunikovať aj to, čo nesúvisí s riešenou problematikou,

prejavuje pri riešení úloh vysokú úroveň uvedomelých aktívnych metakognitívnych

schopností (Vyrosteková 2010). Je schopný verbalizovať proces riešenia, plánovať

jednotlivé kroky riešenia úlohy, dokonca si celý postup riešenia podržať v pamäti

a následne ho vizualizovať na papieri. Tieto schopnosti sú prejavom dobrého

exekutívneho fungovania zabezpečujúceho nielen jeho školskú úspešnosť.

Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV-15-0273

Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií

slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) – kognitívny

stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka.


62

Literatúra

JIROTKOVÁ, D. Budování schématu síť krychle. In Cesty zdokonalování kultury ve

vyučování matematice. 2007, České Budějovice: Jihočeská univerzity v Českých

Budějovicích. ISBN 978-80-7394-052-2.

MACHŮ, E., KOČVAROVÁ, I. et al. Kvalita školy z hlediska péče o nadané žáky.

2013, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíne. ISBN 978-80-7454-316-6.

POLOMČÁKOVÁ, A. Diagnostikovanie a rozvíjanie vybraných kľúčových kompetencií

v školskej matematike – autoreferát k dizertačnej práci. 2013, Košice: UPJŠ.

VYROSTEKOVÁ, K. Metakognícia a diagnostikovanie jej úrovne. In Pedagogická

veda a školská prax v historickom kontexte – zborník z medzinárodnej vedeckej

konferencie konanej dňa 28. januára 2010 v Trnave. 2010, Trnava: Univerzita sv.

Cyrila a Metoda v Trnave. ISBN 978-80-8105-182-1.

Mgr. Jana Kojnoková


Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove

Ulica 17. novembra č. 15, 080 01 Prešov


doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD.


Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove

Ulica 17. novembra č. 15, 080 01 Prešov



63

Pojem štvorec a deti predškolského veku

The Notion of a Square and Pre-school Age Children

Janka Kopáčová

MESC: C51, D71

Abstract

In the VEGA 1/0440/15 project - Geometrical conceptions and misconceptions in

pre-school and primary school children we study children’s and students’ perception of

planar geometrical shapes. In this article we will observe how children aged 4-6

perceive squares - whether they are able to identify and name squares correctly and

which misconceptions occur most often. The aim of this article is not only to ascertain

the current situation, but also propose expedient didactic methods for the prevention and

correction of misconceptions.

Key words: Square, cube, misconception, preschool age, van Hiele.

Abstrakt

V rámci riešenia projektu VEGA 1/0440/15 - Geometrické koncepcie a

miskoncepcie detí predškolského a školského veku sa zaoberáme otázkami, ako vnímajú

deti a žiaci rovinné geometrické útvary. V príspevku sa bližšie budeme venovať

problematike štvorca u detí vo veku 4 až 6 rokov. Zaujíma nás, či dokážu štvorec

správne identifikovať a pomenovať, aké miskoncepcie sú najčastejšie. Cieľom je nielen

zistiť aktuálny stav, ale aj navrhnúť vhodné didaktické postupy na prevenciu a korekciu

miskoncepcií.

Kľúčové slová: štvorec, kocka, miskoncepcia, predškolský vek, van Hiele.

1. Úvod

Dieťa predškolského veku je prirodzene zvedavé a aktívne poznáva svet okolo

seba. Poznávanie dieťaťa je spontánne, prevažne skúsenostné, zážitkové a je silne

emocionálne zafarbené. Vnímanie je základom poznávania skutočnosti, je globálne –

dieťa vníma celok, aj keď sa občas nechá upútať nepodstatným detailom. V tomto veku

hovoríme o názornom (intuitívnom) myslení. Dieťa začína uvažovať v celostných

pojmoch, ktoré vznikajú na základe podstatných znakov (napr. ovocie, jedlo...), ale

uvažovanie je ešte stále silne viazané na vnímané alebo predstavované objekty. Toto

myslenie je prelogické a egocentrické (Sodomková, 2015).

Myslenie a reč sa vzájomne podmieňujú a ovplyvňujú. Reč je nielen základným

prostriedkom komunikácie, ale aj nástrojom myslenia. Reč si deti rozvíjajú najmä

v komunikácií s dospelými, v menšej miere ju ovplyvňujú médiá a rovesníci. Deti sa

učia napodobňovaním verbálneho prejavu osôb, s ktorými žijú a komunikujú.


64

Neopakujú však všetko čo počujú, opakovanie má selektívny charakter. Najčastejšie

opakujú vety, v ktorých je nové slovo alebo slovo v novej situácií (Sodomková, 2015).

2. Metodika výskumu

Súčasťou projektu VEGA 1/0440/15 - Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí

predškolského a školského veku je výskum predstáv detí predškolského veku z oblasti

identifikácie, triedenia, vlastností a pomenovania geometrických útvarov. Cieľom je

preskúmať predstavy detí predškolského veku o geometrických útvaroch a ich

vlastnostiach, identifikovať potenciálne mylné predstavy a identifikovať úroveň

geometrických poznatkov detí podľa definovaných hladín van Hiele teórie.

V rámci projektu sme skúmali deti predškolského veku, mladšieho aj staršieho

školského veku. Teoretický rámec a niektoré výsledky sú sprístupnené v prácach

(Tkáčik, Žilková, 2016 a Kopáčová, Žilková, 2016). V nasledujúcom príspevku sa

budeme venovať len jednému čiastkovému problému – zaujíma nás, či predškoláci

dokážu správne identifikovať štvorec v ľubovoľnej polohe a pomenovať ho.

Našu výskumnú vzorku tvorilo 46 detí vo veku 4 roky 1 mesiac až 6 rokov

4 mesiace, 22 dievčat a 24 chlapcov, väčšina navštevuje materskú školu a pochádza

zo severu Slovenska. Výskum sa realizoval koncom roka 2015.

Výskum prebehol s každým dieťaťom individuálne, formou pološtruktúrovaného

rozhovoru, boli použité modely rovinných geometrických útvarov a jednotné obrazové

predlohy. Z výskumu boli vytvorené videozáznamy, čo nám umožnilo robiť pomerne

podrobnú analýzu.

Modely rovinných geometrických útvarov boli väčšinou vystrihnuté z tvrdého

farebného papiera, pričom farba vo vzťahu k tvaru nehrala rolu. Každý útvar – kruh,

trojuholník, štvorec, obdĺžnik bol ponúknutý vo viacerých veľkostiach.

Obrázkových predlôh bolo 6, každá sledovala iný cieľ. Pre účely nášho článku sa

zoznámime len s prvými tromi. Prvá predloha (hnedá) slúžila na zistenie, či dieťa vie

pomenovať útvar na obrázku. Na druhej predlohe (oranžová) má dieťa ukázať útvar,

ktorý pomenuje výskumník (obrázok 1). Tretia predloha (fialová) je zameraná na

identifikáciu štvorca, či dieťa vie odlíšiť štvorec od ne-modelov štvorca (obrázok 2).

3. Ako deti identifikujú štvorec

Podľa očakávania, deti boli najspontánnejšie pri manipulácií s vystrihnutými

geometrickými útvarmi. Zapojili fantáziu, začali si skladať obrázky a jednotlivé útvary

pomenovávali v závislosti na veku. Štvorročné deti používali domček, okno, ale staršie

sa už snažili použiť správny názov. Štvorec bol najčastejšie chybne pomenovaný ako

kocka.

Obrázok 1. Rovinné geometrické útvary.


65

Na hnedej predlohe (obrázok 1) boli dva štvorce – jeden v tzv. základnej

polohe, druhý pootočený o 45°, a jeden kosoštvorec. Z celkového počtu 46 detí

37 správne pomenovalo štvorec v základnej polohe, pootočený spoznalo a správne

nazvalo len 27 detí. Väčšina za štvorec považovala aj kosoštvorec – len 14 správne

povedalo, že to štvorec nie je.

Ukázalo sa, že pre deti je ľahšia opačná úloha. Keď výskumník na oranžovej

predlohe (obrázok 1) požiadal, aby mu ukázali štvorec, správne ukázalo 40 detí štvorec

v základnej polohe a 34 v pootočenej polohe.

Pre porovnanie kruh správne identifikovali všetky deti, len najmenšie používalo

názov guľôčka a nebolo ochotné sa ho vzdať.

Obrázok 2. Modely a ne-modely štvorca.

Identifikácia štvorca vo fialovej predlohe (obrázok 2) pre deti nebola jednoduchá,

často svoje výpovede menili. Kým na začiatku správne označili len štvorce, po otázkach

výskumníka, ktorý upriamil ich pozornosť na štvorcové tvary, priraďovali aj niektoré z

nich k štvorcom. Pomerne jednoznačne vedeli určiť, že kríž (44 správnych odpovedí)

a obdĺžnik (43 správnych odpovedí) nie sú štvorce. Prekvapivé je, že len 37 detí

označilo štvorec v základnej polohe, mnohé ho prehliadli, čo pripisujeme jeho veľkosti.

Naopak, pootočenie štvorca už nezmýlilo taký počet detí ako predtým, správne ho

zaradilo až 41 detí. Najväčšie problémy robil útvar so zaoblenými vrcholmi – len 16

ho správne nezaradilo k štvorcom a kosoštvorec, ktorý identifikovalo len 13 detí.

Lichobežník deti nepoznali, nevedeli jeho názov, ale neoznačovali ho ako štvorec

(37 správnych odpovedí). Zaujímavé je, že zakrivenie strán prekážalo menšiemu počtu

detí ako zaoblenie vrcholov. Útvar a útvar označilo ako štvorec len 19 detí.

Predstavy detí sú veľmi individuálne a vyhranené. Viaceré deti používajú na

označenie štvorca slovo kocka. Niektoré to chápu ako synonymum slova štvorec, iné na

pokyn „ukáž mi štvorec“ ukazujú pravouhlý trojuholník, pootočený štvorec alebo

kosoštvorec.

4. Záver

Výskum ukázal, už aj najmladšie dieťa dokáže presne identifikovať štvorec v tzv.

štandardnej polohe, priradiť správny názov už nie je také jednoduché. Súhlasíme

s Budínovou (2016), že nie vždy možno jednoznačne zaradiť dieťa do niektorej van

Hiele hladiny. Veľmi často sa dieťa orientuje aj vizuálnou stránkou útvaru, aj sa pokúša

o analýzu – „štvorec má 4 strany a všetky rovnaké“ alebo „štvorec nie je obdĺžnik, lebo

nemá dlhšie...“.

Ukázalo sa, že nepresné používanie pojmov štvorec a kocka má na deti veľmi

silný vplyv. Bežne sa stretávame s vyjadrením, že značka označujúca hlavnú cestu je


66

kosoštvorec, károvaná košeľa a štvorčekový papier sú označované ako kockované,

veľmi často sú ľubovoľné diely stavebnice označované ako kocka. Táto nepresnosť vo

vyjadrovaní robí veľké škody v utváraní správnych predstáv. Pre dieťa je zložité

uvedomiť si, že zmena polohy nepredstavuje aj zmenu tvaru – vyjadrenie o pootočenom

štvorci „nie je to štvorec, lebo je naopak“ , čo je v súlade aj so zistením v iných prácach

(Partová, Žilková, 2016). Netreba zabúdať, že reč a myslenie sa navzájom ovplyvňujú.

Zisťovanie a odstraňovanie nesprávnych predstáv je veľmi zdĺhavý a namáhavý proces

s neistým koncom.

Jedinou cestou na vytváranie správnych predstáv je presné vyjadrovanie

a dostatok aktivít, ktoré deťom umožnia spoznávať geometrické tvary v rôznych

polohách.

Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu VEGA 1/0440/15

Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku.

Literatúra

BUDÍNOVÁ, I. Developing the Conception of the Notion Square at Elementary School.

In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas Catholica

Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s. 45 – 55. ISSN 1336-2232.

KOPÁČOVÁ, J., ŽILKOVÁ, K. Žiacke predstav o štvorcoch. In: Uhlířová, M. (ed.)

EME2016 : Primární matematické vzdělávání v souvislostech. Olomouc :

Univerzita Palackého v Olomouci, 2016 . S. 132-137. ISBN 978-80-905281-3-0.

PARTOVÁ, E., ŽILKOVÁ, K. Uvažovanie detí predškolského veku o plohe a tvare

rovinných útvarov. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas

Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s. 168 – 178. ISSN 1336-2232.

SODOMKOVÁ, S. Předškolní věk. In: Fuchs, E., Lišková, H., Zelendová , E. (eds.)

Rozvoj předmatematických představ dětí předškolního věku. Praha : JSMF, 2015.

s. 7 - 27. ISBN 978-80-7015-022-1.

TKÁČIK, Š., ŽILKOVÁ, K. Geometrické miskoncepcie o štvoruholníkoch u žiakov 9.

ročníka základnej školy. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae :

Universitas Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s. 204 – 215.

ISSN 1336-2232.

RNDr. Janka Kopáčová, CSc.


Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita v Ružomberku

Hrabovská cesta 1

Ružomberok


http://ku.dawinci.sk/?fn=*recview&uid=17033&pageId=resultform





67

Možnosti využitia softvéru GeoGebra vo vyučovaní

matematiky v primárnom vzdelávaní

The possibilities of using GeoGebra software in teaching mathematics in elementary

education

Lilla Koreňová

MESC: D53, G53, U63, U73

Abstract

This contribution intends to point out the possibilities of GeoGebra software as an

effective tool for teaching mathematics in the first stage of primary school. We created

and circulated a questionnaire to determine the use of technology by primary education

teachers in Slovakia and Hungary, and their opinions and experience concerning

GeoGebra software.

Key words: GeoGebra, teaching geometry, primary mathematics education.

Abstrakt

Príspevok chce poukázať na možnosti softvéru GeoGebra ako efektívneho

nástroja vyučovania matematiky na 1. stupni základnej školy. Dotazníkom sme

zisťovali stav vo využívaní technológií učiteľmi primárneho vzdelávania na Slovensku a

v Maďarsku, ako aj ich názory a skúsenosti so softvérom GeoGebra.

Kľúčové slová: GeoGebra, vyučovanie geometrie, primárne matematické vzdelávanie

1. Úvod

Vyučovanie matematiky v primárnom vzdelávaní je zamerané vo veľkej miere na

rozvoj základnej matematickej gramotnosti a rozvíjanie kognitívnych oblastí, ako

zapamätanie, porozumenie a aplikácia (podľa Bloomovej revidovanej taxonómie).

V súčasnosti je veľmi dôležité, aby sa vo vyučovaní využívali také vyučovacie metódy

a formy, ktoré sú pre deti motivujúce a vedú k efektívnejšiemu procesu výučby.

Využitie digitálnych technológií, ako napríklad interaktívnej tabule, tabletov

a smartfónov s vhodným softvérom alebo aplikáciami je vhodná voľba pre deti, ktorí sú

digitálnymi domorodcami. Inovatívne vyučovacie metódy, obohatené o digitálny

rozmer, zákonite prenikajú do škôl. Pre vyučovanie matematiky je jednou z možností

softvér GeoGebra. Softvér GeoGebra je open-source softvér, je dostupný voľne

učiteľom aj žiakom, dynamicky sa vyvíja a je vhodný nielen pre PC a notebooky, ale aj

ako aplikácia pre tablety a smartfóny a zároveň je k dispozícii aj ako webová aplikácia.


68

2. Príklady využitia softvéru GeoGebra

Využitie softvéru GeoGebra v primárnom vzdelávaní môžeme rozdeliť podľa

rôznych kritérií. Je zjavné, že vzhľadom na špecifiká obsahu matematického

vzdelávania aj na digitálne zručnosti žiakov, sa spôsob využitia v primárnom líši od

sekundárneho a terciálneho vzdelávania.

Podľa druhu hardvéru, čo ovplyvňuje aj formu vyučovania, môžeme softvér

GeoGebra použiť:

Premietanie z PC alebo NB cez dataprojektor – táto možnosť najmenej využíva

potenciál tohto softvéru, učiteľ využíva tento softvér prevažne na transmisiu,

animácie vytvorené ako GeoGebra aplety však môžu výrazne zvýšiť názornosť

a tým aj pochopenie učiva.

GeoGebra aplety alebo GeoGebrabooky na interaktívnej tabuli sa okrem

transmisívnej formy, ako sme uviedli vyššie, dajú využiť aj na skupinovú

prácu, didaktickú hru a v niektorých prípadoch aj ako aktivizujúci činiteľ

objavného vyučovania.

GeoGebra aplety, GeoGebrabooky na tabletoch a smartfónoch vytvárajú

možnosť okrem klasického precvičovania – drillu, e-testovania formou

autoevalvácie žiakov aj možnosť konštruktivistického vyučovania, žiackeho

objavovania.

V ďalšej časti uvádzame ukážky GeoGebra apletov a GeoGebrabookov zaradené

podľa možností ich použitia.

Pre interaktívnu tabuľu uvedieme príklady z portálu Geomatech:

Na obrázku č. 1 je aplet vhodný pre interaktívnu tabuľu a frontálnu prácu učiteľa

s triedou. Úlohou žiakov je nájsť algoritmus, ako pracuje „stroj”.

Obrázok 1.

zdroj: http://tananyag.geomatech.hu/material/simple/id/508819#material/1384715

Na obrázku č. 2 je aplet vhodný na precvičovanie jednotiek dĺžky. Deti majú

vložiť do akvária, kde je 20 litrov vody ryby podľa pravidla: každá ryba potrebuje

k životu aspoň 1 liter vody. Súčet dĺžok všetkých rýb má byť aspoň 20 cm. Táto úloha

má viac riešení, preto podporuje kreativitu detí. Precvičujú sa tým počtoví operácie,

relácie viac – menej, ako aj premena jednotiek dĺžky.


69

Obrázok 2.

zdroj: http://tananyag.geomatech.hu/material/simple/id/145788

V rámci nášho výskumu na Základnej škole Hlboká v Bratislave sme sa zamerali

len na možnosti m-learningu s GeoGebrou. Najviac sa podľa našich experimentálnych

skúmaní osvedčila kombinácia manipulatívnych činností s kombináciou Geogebra

apletov na smartfónoch a tabletoch. Práca vo dvojiciach sa ukázala ako najefektívnejšia.

Aktivita: Osová súmernosť (Obrázok 3)

Pre zavedenie pojmu osová súmernosť sme použili objavné vyučovanie a to

kombináciu manipulatávnej činnosti s digitálnymi technológiami. V prvom kroku deti

rysovali na papier rôzne geometrické útvary a priamku. Potom papier prehli pozdĺž

priamky a prekreslili útvar tak, že ho presvietili cez okno. Deti skúmali tieto svoje

„kresby” pomocou zrkadla. V ďalšej časti použili GeoGebrabook dostupný na

https://www.geogebra.org/m/sxhCscUZ.

Obrázok 3.

zdroj: https://www.geogebra.org/m/sxhCscUZ

Pri tejto aktivite mali žiaci dokresliť v štvorčekovej sieti na GeoGebra aplete

útvary osovo súmerné. Niektorí žiaci pracovali na interaktívnej tabuli. Tento

GeoGebrabook má 11 apletov, ktoré majú gradujúcu obtiažnosť.

Táto aktivita deti veľmi motivovala, mali okamžitú spätnú väzbu. Žiaci riešili

úlohy v GeoGebrabooku aj na tabletoch aj na interaktívnej tabuli.

2. Prieskum názorov učiteľov

V rámci výskumu využívania digitálnych technológií na hodinách matematiky na

1. stupni základných škôl sme oslovili viac ako 150 učiteľov na Slovensku a viac ako

100 učiteľov v Maďarsku. Väčšinou išlo o učiteľov, ktorí v minulosti absolvovali ďalšie


70

vzdelávanie učiteľov a tak sme na nich mali kontakt. Oslovili sme aj učiteľov pomocou

Facebooku v ich záujmových skupinách. Na dotazník odpovedalo 107 respondentov,

z toho 35 z Maďarska a 72 zo Slovenska. Čo sa týka pohlavia, 98% respondentov boli

ženy. V elektronickom dotazníku sme v prvej časti zisťovali vybavenie škôl digitálnymi

technológiami. Na základe zistení môžeme predpokladať, že väčšina učiteľov

primárneho vzdelávania na Slovensku aj v Maďarsku môže využívať interaktívnu

tabuľu, ale tablety a smartfóny menej. Učitelia však nebrali do úvahy možnosť, kde by

deti využívali svoje vlastné zariadenia. Podľa našich skúseností veľa detí v tomto veku

už vlastní smartfón alebo tablet, ich použitiu bránia skôr legislatívne podmienky.

V druhej časti sme sa zamerali na zisťovanie návykov a názorov učiteľov z hľadiska

metód vyučovania, ak využívajú digitálne technológie. 52% respondentov uviedlo, že

interaktívnu tabuľu využívajú na vysvetľovanie učiva pomocou interaktívnych

materiálov, 9% uviedlo, že ju používajú aj na elektronické testovanie pomocou klikerov

alebo smartfónov, 51% učiteľov využíva interaktívnu tabuľu aj na prezentáciu žiackych

projektov, 64% učiteľov pomocou interaktívnej tabule hrajú s deťmi didaktické hry.

38% učiteľov uviedlo, že interaktívnu tabuľu využívajú len ako klasickú tabuľu na

písanie. V ďalšej časti 38% respondentov uviedlo, že majú možnosť aspoň niekedy

použiť tablety alebo smartfóny na vyučovaní. Z nich 38% uviedlo, že tablety alebo

smartfóny používajú žiaci na individuálnu prácu (vyhľadávanie údajov na internete),

47% využívajú interaktívne aplety, hlavne HotPotatoes testy alebo aplikácie na

precvičovanie učiva. Zaujímavé boli zistenia ohľadom vyučovacích metód, ktoré

využívajú učitelia v kontexte s digitálnymi technológiami. 78% učiteľov uviedlo, že

digitálne technológie využívajú pri výklade učiva, 30% uviedlo, že technológie

využívajú aj pri objavnom, heuristickom vyučovaní, 42% uviedlo, že technológie

využívajú aj pri projektovom vyučovaní. V poslednej časti sme sa zamerali na

využívanie softvéru GeoGebra na hodinách matematiky. Ukázalo sa, že 56% učiteľov,

ktorí absolvovali školenia zamerané na softvér GeoGebra, používajú tento softvér aj na

hodinách matematiky. Len 16% však si vytvára svoje vlastné GeoGebra aplety, výkresy,

ostatní používajú už hotové materiály z GeoGebratube alebo z portálu Geomatech.

3. Záver

Na základe našich zistení je softvér GeoGebra vhodným prostriedkom pre

primárne vzdelávanie matematiky. Skrýva v sebe veľký potenciál ako pre využitie na

interaktívnej tabuli, ale hlavne ako m-learning, kde žiaci využívajú smartfóny a tablety.

Hlavne možnosť využiť už hotové GeoGebra aplety je z hľadiska učiteľov veľmi

lákavá. Okrem toho, že sa zatraktívni vyučovanie, učitelia majú možnosť vo väčšej

miere nahrádzať transmisívnu výučbu matematiky konštruktivistickými metódami.

Navyše sa zvyšuje takto digitálna gramotnosť žiakov aj učiteľov, čo je tiež veľkým

prínosom.

Poďakovanie: Príspevok vznikol za podpory projektu APVV- 15-0387.

Literatúra:

NEWMANN, D., Johnson, Ch., WEBB, B. Evaluating the quality of learning in

Computer Supported Co-operative Learning. Queen's University elfast,

Information Management Dept. On line [13.1.2003]

http://www.qub.ac.uk/mgt/papers/jasis/jasis.html.


71

GUNČAGA, J. GeoGebra in Mathematical Educational Motivation. Annals: Computer

Science Series, 2011, 9, 75-84.

GUNČAGA, J., KOPÁČOVÁ,J.:A Compaprative study: Turkish and Slovak preservice

primary mathematics teacher´s skills about symmetry.SEMT 13, Tasks and Tools

in Elementary Mathematic, Charles Univesity, Prague , 2013.

HERENDINÉ-KÓNYA, E. A matematika tanítása alsó tagozaton. Nemzedékek Tudása

Tankönyvkiadó, Budapest, 2013.

KOSTRUB, D. Dieťa/žiak/študent – učivo – učiteľ, didaktický alebo bermudský

trojuholník? Rokus, Prešov, 2008.

MOLNÁR, P., a LUKÁČ, S. (2015). Dynamic Geometry Systems in Mathematics

Education: Attitudes of Teachers. International Journal of Information and

Communication Technologies in Education, 2015, 4(4), 19-33.

Doc. PaedDr. Lilla Koreňová, PhD.

Katedra predprimárnej a primárnej pedagogiky

Pedagogická fakulta

Univerzita Komenského v Bratislave

Račianska 59

813 34 Bratislava



72

Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích

učitelů 1. stupně ZŠ

Expectation of Undergraduate Students from Practical Aspects of Preparation in

Teaching for First Level of Primary Schools

Radek Krpec, Darina Jirotková

MESC: D40

Abstract

In this paper, the first part of the research of expectations of the undergraduate

students from the practical aspects of a preparation in a mathematics teaching for the

first level of primary schools is presented. These expectations are consisted of an

identification of incentives, motives and motivations of the undergraduate students for

the purposes of an improvement of the approach to the mathematics teaching. The

experiences and expectations of students are investigated before and after their

professional practice using the method of a questionnaire construction. The aim of the

research is a change in the concept of the professional undergraduate preparation of the

mathematics teaching. The research is focused on the field of study Teaching for

Primary Schools – Level 1 at Faculty of Education od University of Ostrava.

Key words: Faculty teacher, math teacher, professional practice, supervising teacher,

teacher preparation.

Abstrakt

Článek je věnován prvním výsledkům výzkumu, který se zabývá identifikací

podnětů, pohnutek a motivací studentů přispívajících k posunům přístupu k vyučování

matematice v pregraduální přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. Na základě

dotazníkového šetření získáváme zkušenosti a očekávání studentů – budoucích učitelů –

před a po realizaci jednotlivých profesních praxí. Cílem výzkumu je změna pojetí

profesní pregraduální přípravy na výuku matematiky v oboru Učitelství pro 1. stupeň

ZŠ Pedagogické fakulty Ostravské univerzity.

Klíčová slova: Učitel matematiky, příprava učitele, profesní praxe, fakultní učitel,

vedoucí učitel.

1. Úvod

Podobně jako došlo v minulých letech k úpravě obsahu jednotlivých předmětů

pregraduální přípravy studentů v oboru učitelství 1. st. ZŠ v oblasti matematiky na

Pedagogické fakultě Ostravské univerzity, snažíme se nyní o rozsáhlou proměnu

koncepce průběžné praxe z matematiky, a to jak z hlediska rozsahu, tak obsahu. Cílem

změn je zvýšení provázanosti teoretické a praktické přípravy s důrazem na její

praktickou složku.


73

Když jsme se rozhodovali o provádění úprav v teoreticko-didaktických

matematických disciplínách, navazovali jsme na výsledky výzkumů (Jirotková, Krpec,

2013; Hejný, Zemanová 2013; Zemanová, 2013; Krpec, 2015; Krpec, Vidlařová, 2014).

V posledních dvou jmenovaných jsme analyzovali názory na tehdy stávající výuku

jednotlivých matematických oblastí zařazených do přípravy budoucích učitelů 1. st. ZŠ.

Podobně i v tomto případě se budeme snažit vycházet z výsledků výzkumu. Tentokrát

jsme se inspirovali projektem Katedry matematiky a didaktiky matematiky (KMDM)

Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy (PedF UK). Cílem je identifikace podnětů,

popudů, pohnutek či motivací přispívajících k posunům jak učitelova, tak studentova

přístupu k vyučování matematice pomocí dotazníkového šetření u studentů a rozhovory

s učiteli. Při jejich analýze budeme mimo jiné vycházet z (Jirotková, 2012; Davis,

Maher, Nodings, 1990). Dotazníky KMD PdF OU jsou v mnoha položkách shodné

s dotazníky KMDM PedF UK, což umožní závěrečnou komparaci výsledků.

2. Dotazníkové šetření na PdF OU

Šetření probíhalo od prosince 2016. Do ledna 2017 se jej zúčastnilo zatím

36 studentů. Z toho 11 studentů 4. ročníku a 25 studentů 3. ročníku. Studenti 4. ročníku

absolvovali jeden semestr náslechů a dva semestry výstupů, všechny matematické

předměty studia s výjimkou didaktiky aritmetiky. Studenti 3. ročníku do té doby

neabsolvovali v matematice žádné náslechy a výstupy, ani didaktické předměty.

Příklady otázek dotazníků naleznete v článku Zemanová, Jirotková (2017).

Vzhledem k danému rozsahu článku jsme pro analýzu vybrali po jedné otázce

u každého ročníku:

A. U studentů 4. ročníku - Jaké máte zkušenosti z průběžné praxe z matematiky?

(zde se můžete rozepsat, napsat nějaký příběh týkající se žáků, kolegů studentů, třídních

učitelů, fakultních učitelů – didaktiků).

B. U studentů 3. ročníku - Ve 4. ročníku vás čeká průběžná praxe z matematiky.

Tedy budete docházet na vybrané školy nejprve pozorovat zkušené učitelé matematiky,

později své spolužáky při vedení matematiky a sami hodiny matematiky připravovat,

vést a reflektovat.

Co od této praxe očekáváte? Co byste chtěl/a z praxe získat? Kde očekáváte, že

budete potřebovat pomoci?

3. Analýza výsledků

Ve vybraných odpovědích, které studenti uvedli v dotaznících, jsme identifikovali

společné jevy a na základě tohoto kritéria jsme vytvořili třídy jevů.

a. Zkušenosti: dále jsme členili na příběhy s dětmi, poučení, povzbuzují

zkušenosti, zkušenosti budící pochybnost.

b. Osobní profesní rozvoj (OSR): dále jsme třídili na moje pochybnosti, můj

strach, moje slabé stránky, moje silné stránky.

c. Vlastní praxe – podle toho, koho se jev týká: dále jsme třídili na obecně,

fakultní učitel, ZŠ učitel.

d. Vlastní praxe – podle toho, čeho se jev týká: dále jsme třídili na nezvládá,

nabídne, zvládá.

A. Studenti čtvrtého ročníku - zkušenosti

ad a) Z 11 studentů se jich 9 vyjádřilo v tom smyslu, že zkušenosti z praxe byly pro ně

povzbuzující, žádná ze studentek neměla zkušenost budící pochybnost.

ad b) V rámci odpovědí pouze jedna studentka odpověděla, že si uvědomuje spoustu

rezerv, ale neuvádí konkrétně.


74

ad c), d) Z 11 studentů 3 uvedli jevy poukazující na to, co obecně praxe nezvládá.

Zajímavé, že dvě z těchto odpovědí byly zcela opačné. Jedna studentka

odpověděla, že „Stále koukat, jak jiní učí, nám nic nedává.“, naproti tomu druhá

uvedla, že by bylo třeba více hodin, aby se s kolektivem třídy dostatečně

seznámili a jedna uvedla, že praxe byla „z ruky“. Čtyři studenti uvedli, že

významná byla pomoc třídní učitelky, z toho 3krát pro seznámení s třídou a 4krát

pomoc s přípravou a pěti studentům byla přínosem závěrečná reflexe s fakultním

učitelem. Odpovědi týkající se učitele a didaktika bychom mohli zahrnout pod

jevy „Praxe zvládá ...“.

B. Studenti třetího ročníku - očekávání

ad a) Studenti většinou očekávají vlastní zkušenost. Jelikož jde o očekávání, zpravidla

půjde o zkušenost povzbuzující. Z 25 studentů toto očekávání uvedlo 21 studentů.

Z toho ve 13 případech jde o získání vlastní zkušenosti obecně. Ve dvou

případech respondenti specifikovali, že chtějí získat vlastní zkušenost s klasickou

výukou. Ve 3 případech se dotazovaní vyslovili pro získání zkušeností se

zařazováním zajímavých technik metod do vyučování. Ve 3 případech uvedli

získat zkušenosti se zaváděním nebo vysvětlením nové látky. Ve dvou případech

by chtěli získat zkušenosti s tím, „co mi jde a s čím mám problém“, v jednom

případě pak zapracovat na zlepšení komunikace s dětmi a v jednom případě získat

přehled, kolik toho děti během jednoho ročníku zvládnou.

ad b) Jeden respondent odpověděl, že jeho slabší stránkou bude výuka geometrie.

ad c), d) Do kategorie, co praxe obecně nezvládá, lze zařadit, že studenti dopředu

nevědí, jaké učivo budou učit, což se objevilo ve dvou případech a v jednom

případě uvádí student, že výuka nebude jako běžná, neboť bude ve třídě příliš

pozorovatelů a tudíž tato praxe není přínosná.

Do kategorie, co praxe přinese obecně, lze uvést všechna očekávání týkající se

vlastních zkušeností s výukou. Kromě toho se ještě 3krát vyskytl jako přínos, co

praxe nabídne i pozorování ostatních studentů při jejich výuce.

Z pohledu toho, co studentovi na praxi přinese ZŠ učitel, se objevují nejčastěji

dva typy odpovědí:

ve 14 případech lze shrnout odpovědi pod jev „pomoc s přípravou na hodinu“

obecně, z toho navíc v jednom případě „pomoc s klasifikací“, v jednom případě

„jak pomoci žákovi při nezvládání učiva”, ve třech případech „pomoc

s využitím různých metod práce“, ve dvou případech rady „ohledně chování

žáků“;

v 7 případech pak studenti očekávají, že jim praxe nabídne “náslechy na

hodinách zkušeného učitele”, inspirace využití různých metod předvedených

na jejich hodinách.

Kromě převládajících dvou typů odpovědí je ještě v jednom případě očekávána

reflexe odučené hodiny se ZŠ učitelem.

Od fakultního učitele studenti očekávají, že jim praxe nabídne reflexi hodiny, což

se vyskytlo v odpovědích 2krát a jednou studenti uvedli pomoc s přípravou

na výuku.


75

4. Závěr

Na výsledky uvedené v tomto článku budou navazovat další, ve kterých budeme

porovnávat další výsledky dotazníkového šetření například z hlediska porovnání, jaká

byla očekávání a jaké jsou u stejné skupiny nabyté zkušenosti. Další budou věnovány

srovnání, zda se např. zkušenosti po absolvování praktické přípravy mezi jednotlivými

ročníky postupně mění. A v neposlední řadě bychom chtěli porovnat výsledky šetření na

KMD PdF OU a KMDM PedF UK. Zajímá nás např., nakolik ovlivní výsledky šetření

skladba předchozí teoreticko-didaktické přípravy. Získaná zjištění bychom chtěli pak

implementovat nejen do profesní přípravy studentů, ale je možné, že budeme provádět

i úpravy v teoreticko-didaktické přípravě budoucích učitelů 1. st. ZŠ na PdF OU.

Literatura

DAVIS, R.B. & MAHER, A.C & NODDINGS. N. (eds.): _Journal for Research in

Mathematics Education_. Monograph No. 4. Constructivist Views on the

Teaching and Learning of Mathematics. NCTM, 1990.

HEJNÝ, M., ZEMANOVÁ, R.: Vyučování orientované na budování schémat v praxi.

In: Elementary Mathematics Education EME ’13. Prešov: Univerzita Prešov,

2013.

JIROTKOVÁ, D.: Tool for diagnosing the teacher's educational style in

mathematics: development, description and illustration. Orbis

Scholae, č. 2, 2012, vol. 6, pp. 69-83.

JIROTKOVÁ, D., KRPEC, R. Vyučování orientované na budování schémat v přípravě

učitelů. Matematika v primárnej škole. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove,

Pedagogická fakulta, 2013. s. 101-106.

KRPEC, R., VIDLAŘOVÁ, E. Pohled na matematickou komponentu oboru učitelství 1.

st. ZŠ očima absolventů Ostravské univerzity a srovnání s univerzitami v ČR.

GRANT journal. 2014, roč. 2014, sv. 03, s. 48-50.

KRPEC, R. Matematická komponenta v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ na

Ostravské univerzitě z pohledu absolventů. STUDIA SCIENTIFICA FACULTATIS

PAEDAGOGICAE. 2015, roč. 14, s. 116-120.

ZEMANOVÁ, R. Vyučování metodou budování schémat – ostravská zkušenost v

učitelské přípravě a praxi. In: Dva dny s didaktikou matematiky 2013. Praha:

Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova.

RNDr. Radek Krpec, Ph.D.

Katedra matematiky s didaktikou

Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita

Mlýnská 5, 701 03 Ostrava 1


Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D.

Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova

M. D. Rettigové 4, 116 39 Praha 1



76

Geometrické kurikulum na 1. stupni

Geometry curriculum at elementary school

Marie Kupčáková

MESC: D30

Abstract

This paper explains and reminds us about a concept of Geometry curriculum at

elementary school which was implemented in our schools since the 1980s. We will give

some thoughts about its influence in presence as well.

Key words: Curriculum, Geometry.

Abstrakt

V tomto příspěvku si připomeneme koncepci geometrického učiva na prvním stupni

základní školy, která byla realizována na školách v ČSSR od osmdesátých let minulého

století. Zamyslíme se formou testu nad jejím vlivem na tvorbu současných učebnic

matematiky pro 1. stupeň.

Klíčová slova: Standardy, geometrie.

1. Geometrické kurikulum na 1. stupni základní školy dříve a dnes

Od roku 1976 byl v tehdejší ČSSR realizován projekt Další rozvoj československé

výchovně vzdělávací soustavy, stručně zvaný množinové pojetí matematiky. Ten, kromě

odlišného přístupu k aritmetickému učivu, zcela zásadně změnil tradiční vyučování

geometrie. Žák nebyl seznamován s geometrickými pojmy, vztahy, konstrukcemi

a dalšími abstraktními pojmy až od dvanácti let, ale už od sedmi let. Mělo se za to, že

axiomatické, systematické vytváření geometrických poznatků je „jednoduché“, „jasné“

a bude zárukou trvalých vědomostí. Dětem byly už od druhé třídy vnuceny abstraktní

geometrické pojmy. Metodickou řadu učiva vytvořily: bod (vrchol krychle), úsečka

(základní pojem – hrana krychle), polopřímka (hrana krychle prodloužená na jednu

stranu), polopřímky opačné (jakási „hra na přetahovanou“), přímka (hrana krychle

prodloužená na obě strany), rovina (odvozená od stěny krychle), polorovina, atd. Autoři

koncepce byli přesvědčeni (a tvrdí to na webových stránkách i dnes), že jejich

geometrie je „odvozená z prostoru“, proto „přirozená“ a pochopitelná v jakémkoliv

věku.

Geometrie se začala učit přísně formálně a „vědecky“.

V dalších letech se obsah i forma geometrického vzdělávání neměnily. Dodnes se

školáci trápí vymyšlenými problémy matematiků-didaktiků, jaké neřešil ani Eukleidés

ve svých Základech. Například: Když vyznačuji bod, mám kreslit „plusko“ nebo

„otočený křížek“? Mám přímku popsat psacím nebo tiskacím písmenem? Jak


77

pojmenovat úsečku, která je grafickým součtem různých úseček AB, CD? (Jak

pojmenovávat přenášené krajní body?) Jak symbolicky zapsat, že úsečky AB a CD jsou

shodné? Jak zapsat, že jsou stejně dlouhé? Jaký je rozdíl mezi přímou čárou, úsečkou

a přímkou? Je polopřímka půlkou přímky? Je polorovina půlkou roviny? Jsou

polopřímky RS a SR opačné? Náleží střed kružnice kružnici?... atd.

Přehnaný a věku nepřiměřený důraz začal být kladen na přesnost rýsování.

Projekt Další rozvoj československé výchovně vzdělávací soustavy k dnešnímu dni

už prošel všemi pěti formami obsahu kurikula. Tedy koncepční, projektovou, realizační,

rezultátovou a efektovou (klasifikace dle [PRŮ]).

I když první tři formy tohoto kurikula proběhly vcelku bez problémů a bez

povšimnutí veřejnosti, hodně špatné výsledky rezultátové formy „projektu“ jsme

s překvapením zaznamenali, stejně jako vysoké školy technické, před rokem 2000 i na

pedagogické fakultě. Tehdy nastal náhlý propad geometrických znalostí a dovedností

studentů. Předcházející ročníky, které začínaly s geometrií na druhém stupni základní

školy, bývaly v geometrii výrazně lepší. Sporné je i kladné hodnocení poslední,

efektové formy kurikula, neboť nabyté (nenabyté) abstraktní znalosti nemohou bývalí

žáci v současné profesní kariéře ani uplatnit, protože jsou zcela nepotřebné (viz ukázka

z testování dále).

Na základě svých čtyřicetiletých zkušeností s geometrií a její výukou konstatuji, že

čas vynaložený učiteli a žáky prvního stupně byl promarněn. I když se mnohým

autorům učebnic zdálo (a zdá), že získávané vědomosti budou pro život nesmírně

důležité a budou bezpečně uloženy v paměti žáků, není to pravda. Nejsou ani důležité,

ani uložené do dlouhodobé paměti. Experiment, jehož část uvedu dále, potvrdil, že

v pracovní paměti dospělých nezůstává z učiva geometrie prvního období 1. stupně ZŠ

už téměř nic. Nevhodně načasované planimetrické učivo sice chvíli bylo v senzorické

paměti, po dobu dvou let snad i v krátkodobé paměti, avšak pak je zakryly jiné

informace. Jeden z hlavních důvodů zapomínání učiva spočívá v tom, že abstraktní

geometrické pojmy je dítě schopno vstřebávat až od 11 – 12 let věku (podrobně viz.

[GAR]). Studenti se vše učí na dalších úrovních škol od základů, ale už s narušeným

aparátem ukládání geometrických poznatků, a nepamatují si ani nové učivo.

Současná didaktika elementární matematiky se dávno vyrovnala s množinami. Tzv.

množinové pojetí aritmetiky nenajdeme už v žádné řadě učebnic. Jinak je tomu

s reziduem zvaným moderní základy geometrie. Zdá se mi, že ty nabyly punc jakési

nedotknutelnosti, jak o tom svěd4í většina současných českých učebnic matematiky pro

první stupeň základní školy.

Při pozorném čtení současných Standardů shledáme, že neobsahují axiomatické

pojetí planimetrie na prvním stupni. Například první očekávaný výstup M-3-3-01 zní

„žák rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá

tělesa; nachází v realitě jejich reprezentace. [STA]

Pojem „rovinný útvar“, tedy útvar dimenze 2, můžeme nahrazovat slovy jako

destička, ploška ap. Útvary dimenze 1 (přímka a její části) nejsou rovinnými útvary (!),

a už z formulace základního výstupu nepatří do 1. období prvního stupně. To by mělo

jednou provždy znamenat konec opačným polopřímkám a dalším věku nepřiměřeným

odborným pojmům v geometrii určené žákům ve věku 7 – 9 let. (Více viz [MET])

Autoři nejpoužívanějších učebnic se tím však neřídí. A je vcelku logické, že na školách

se učí právě to, co je v učebnicích. Ty navíc zakrývají abstraktní pojmy „vtipnými“

ilustracemi, aby daly žákům najevo, že učivo je „snadné“. Výklad a odborná

terminologie jsou mnohdy na úrovni střední školy.


78

V Metodických komentářích ke standardům uvádíme například i to, že v souladu

s psychologickými poznatky je vhodné začít s rýsováním a konstrukčními úlohami až

ve věku 11 – 12 let. Souběžně s rýsováním útvarů pak používat správné názvosloví, aby

je žák mohl užívat i na dalších stupních škol. (V současné době je, co se týká

symboliky, v českých učebních textech nejednota, kterou by mělo napravit vydání

nových, pro všechny typy a stupně škol závazných, názvů a značek školské

matematiky.) [MET]

2. Testování uchování geometrických vědomostí

V uplynulých letech jsem průběžně testovala studenty učitelství na UHK ze znalostí

učiva 1. stupně a zjišťovala, jak málo si pamatují. Jsem přesvědčena, že to není jejich

vina. Příčina je psychologicky odůvodněná a spočívá, jak bylo výše uvedeno, ve

špatném prvotním načasování učiva.

Abych podložila svůj apel na oficiální přerušení (a zřejmě i zakázání) třicetileté

vžité axiomatické koncepce geometrie na prvním stupni, uskutečnila jsem malý

didaktický výzkum, jehož část zde uvedu.

Využila jsem toho, že bývalí i dnešní žáci řeší ve škole stejné úlohy. V roce 2015

jsem zadala obvyklý test ze současného třetího ročníku ZŠ (sestavený fakultní učitelkou

podle ŠVP), v pěti různých ročnících ZŠ a také ve druhém a třetím ročníku studia

učitelství ZŠ1 na PdF UHK. Každou úlohu jsem rozdělila na sledované jevy a ty

hodnotila (+, –). Výsledky jsem zaznamenávala do tabulek pomocí skutečných počtů

správně splněných dílčích úkolů. Varovné výsledky jsou zvýrazněny.

Pro ilustraci vybírám dvě úlohy.

Úloha 1

Narýsuj přímku m. Na přímce m vyznač body C, D. Vyznač barevně polopřímky

CD, DC. (1a)

Rozhodni, zda jsou pravdivé tyto věty:

Polopřímky CD a DC leží na jedné přímce. pravda/ nepravda (1b)

Polopřímky CD a DC nemají společný bod. pravda/ nepravda (1c)

Polopřímky CD a DC jsou polopřímky opačné. pravda/ nepravda (1d)

Tabulka1. Úspěšnost řešení 1. úlohy.

V žádné ze sledovaných skupin nebyly uspokojivě vyřešeny všechny dílčí úkoly.

Poslední, který se týkal opačných polopřímek, uspokojivě splnili pouze žáci 3. ročníku.

Vytěsnění pojmu z paměti starších respondentů jasně prokázalo jeho neužitečnost.

Je třeba uvést, že ve třinácti knihách Eukleidových Základů ani jednou nenajdeme

matoucí předponu polo–. Sám Eukleidés vystačil s druhým postulátem o prodlužování

přímé čáry (jedním směrem).

Ú1 III. IV. V. VI. VII.

20

let

21

let

19 23 27 20 20 54 29

1a 13/19 22/23 2/27 4/20 11/20 28/54 22/29

1b 16/19 23/23 23/27 17/20 19/20 51/54 29/29

1c 7/19 2/23 7/27 13/20 16/20 44/54 27/29

1d 12/19 1/23 11/27 9/20 7/20 9/54 5/29


79

Úloha 2

Na obrázku (obr. 1) je narýsovaná kružnice k se středem S a jsou vyznačeny některé

body. Zapiš body, které

náleží kružnici k .................... (2a)

náleží kruhu, který je kružnicí k určen ................ (2b)

nenáleží kružnici k .................. (2c)

nenáleží kruhu, který je kružnicí k určen ............... (2d)

Obrázek 1. Úloha2.

Samo znění úloh o „náležení“ je nepřirozené. Alarmující jsou výsledky druhé úlohy

ve všech skupinách, vyjma 4. ročníku. I zde se ukázalo, že za to nenesou odpovědnost

žáci, ani učitelé, ale samo učivo a ti, kteří je zas a znova zařazují do učebnic

matematiky. ŠVP se přirozeně řídí zvolenou řadou učebnic.

Tabulka2. Úspěšnost řešení 2. úlohy.

3. Závěr

Z našeho šetření vyplynulo, že kurikulum výuky geometrie na 1. stupni stále

ovlivňuje koncepce zavedená v tehdejší ČSSR v osmdesátých letech minulého století,

o čemž svědčí obsah většiny učebnic. Využití času vyhrazeného pro matematiku je tak

zčásti neefektivní. Proto doporučujeme, aby byly oficiálně přesunuty geometrické

konstrukční úlohy do 4. – 5. ročníku ZŠ a abstraktní pojmy až na 2. stupeň základní

školy.

Těžiště geometrie na prvním stupni by mělo spočívat, z důvodu uchování jiných

smysluplných užitečných geometrických poznatků, v manipulativních činnostech

(modelování, kreslení od ruky, nácvik kreslení pomocí kružítka a pravítka), poznávání

geometrických tvarů (2D, 3D), rozvíjení představivosti v rovině i prostoru a v rozvíjení

slovní zásoby (české i správné geometrické).

Ú2 III. IV. V. VI. VII. 20 let

21

let

19 23 27 20 20 54 29

2a 17/19 22/23 9/27 11/20 17/20 46/54 20/29

2b 2/19 17/23 5/27 1/20 11/20 19/54 18/29

2c 8/19 10/23 2/27 5/20 9/20 12/54 11/29

2d 9/19 22/23 6/27 6/20 16/20 34/54 25/29

A

B

EC

S

D k


80

Literatura

GARDNER, H.: Dimenze myšlení. Portál, 1999. ISBN 8071782793.

PRŮCHA, J.: Moderní pedagogika. Portál, 2013. ISBN 9788026204565.

Standardy pro základní vzdělávání – příloha RVP ZV, 1. září 2013.

Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělávání. NÚV 2015.

http://clanky.rvp.cz/wp-content/upload/prilohy/20617/matematika.pdf [9.2.2017] .

RNDr. Marie Kupčáková, Ph.D.

Katedra matematiky PřF UHK, Hradec Králové

Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové 3



81

Proces třídění v komunikaci učitelky

a dítěte (v mateřské škole)

Sorting activities in the process of communication between teachers and children (in the

kindergarten)

Eva Nováková

MESC: C30

Abstract

Sorting activities represent activities with a potential to develop the propedeutics

of mathematical skills of pre-school children. They usually have the form of tasks to

group objects into certain sets based on given criteria. In this paper, the authors use

video recording as a basis for considerations about the processes of sorting as well as

about forms, methods and efficiency of the teacher-child communication. This kind of

activities enable teachers to consider relationships between pre-school and primary

school education and to view both of these as phases of one continuous educational

process.

Key words: propedeutics of mathematical skills, communication, manipulation, sorting.

Abstrakt

Jednou z aktivit využívaných při rozvíjení předmatematických představ v

mateřské škole je třídění předmětů - seskupování prvků do určitých souborů, tříd,

obvykle na základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost

prvků. Na základě videonahrávky se v článku zamýšlíme jak nad procesem samotného

třídění, tak nad průběhem komunikace učitelky a dítěte. Úloha umožňuje promýšlet

návaznosti mezi předškolním vzděláváním a vzděláváním na prvním stupni ZŠ.

Klíčová slova: Matematická pregramotnost, komunikace, manipulace, třídění.

1. Úvod

Jedním z hlavních cílů práce s dítětem předškolního věku je rozvíjet verbální i

neverbální komunikativní dovedností. Zkušenosti rodičů i učitelek v předškolních

zařízeních (Slezáková, Šubrtová, 2015, Švejnohová, Slavíková, 2016, Zemanová, 2015)

ukazují, že je k tomu možné využívat nejrůznější příležitosti: komentovat vlastní zážitky

dětí; popsat prožívanou situaci; vyjadřovat v rozhovoru nápady, pocity, mínění a

úsudky; formulovat otázky a odpovídat na ně - patří mezi aktivity, směřující k rozvoji

poznávacích schopností, jazyka a myšlenkových operací (RVP PV, 2016).

Důležitou složkou získávání předmatematických zkušeností dětí je objevování

vztahů mezi prvky v určitém souboru předmětů (množině) a mezi těmito soubory

prostřednictvím konkrétních manipulativních činností. Kaslová (2015) uvádí, že

významné místo přitom zaujímá třídění, seskupování prvků do určitých souborů, tříd,

obvykle na základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost


82

prvků. Třídění předmětů, známé z dětských her, předpokládá, že děti jsou k této činnosti

motivovány, obvykle samým charakterem předmětů, které třídí (hračky, ovoce,

dopravní prostředky, oblečení,…) a že dokáží jednotlivé předměty identifikovat, označit,

pojmenovat, podle jejich kvalitativních znaků (barva, tvar, materiál,…), případně jejich

funkce, a stanovit rozdíly a shody mezi nimi.

2. Popis a rozbor aktivity

V příspěvku prezentujeme analýzu jedné aktivity, která je reflexí zkušeností

získaných v prostředí mateřské školy. V našem výzkumu jsme analyzovali soubor

videozáznamů, pořízených při činnosti učitelky s dětmi. Sledované aktivity byly

zaměřeny k rozvoji matematické pregramotnosti dětí při motivovaných manipulacích

s pomůckami a konkrétními předměty, na porovnávání, uspořádávání a třídění souborů

předmětů podle určitého pravidla. Na základě jednoho z pořízených videozáznamů byl

zpracován a komentován přepis komunikace mezi učitelkou a dětmi.

Zadání, z něhož aktivita dětí vychází, poskytuje příležitost k tvořivému projevu,

zároveň však tvůrčí možnosti omezuje striktními pravidly stanovenými matematickým

obsahem: vlastnostmi rozkladu množiny na třídy na základě relace ekvivalence.

Učitelka zařadila tuto aktivitu jako reakci na předchozí zkušenost s tříděním

předmětů a uvedení aktivity modifikovala. V předchozích činnostech zaměřených

na třídění sama zadala kritérium pro třídění.

Obrázek 1. Předměty známé dětem z běžného života, které budou třídit.

Komunikace a její popis Komentář

U 1 „Zkus to roztřídit podle toho,

co si myslíš. Kam, co k sobě

patří.“

Učitelka používá pokyn „roztřídit“ jako

součást zadání úkolu, což je pro děti signál

k rozdělení předmětů do skupin. Zároveň

ale neuvádí jednoznačné kritérium

očekávaného třídění, ale navozuje ho

vyjádřením "co k sobě patří".

D1 2 Postupně odděluje skupiny

předmětů:

a) krabička a pexeso,

b) skleněná kulička,

hvězdička a andílek,

c) sklenička, zavařovací

sklenička,

Kritériem třídění je materiál, z něhož byly

předměty vyrobeny.

Přínosné by bylo dotázat se děvčete, jak k

takovému rozdělení dospěla, i když je

zřejmé, že verbalizování myšlenek je pro

děti v předškolním věku obtížné.


83

d) papírový lepící bloček,

rolička od toaletního papíru,

leták,

e) plastová láhev, plastová

krabička, dřevěná tyčka od

nanuku, plastové pouzdro,

plastové postavičky šmoulů,

plastová lžička.

U 3 „Pozor, padá nám to.“

D1 4 Pokračuje v třídění.

U 5 „Hotovo? Tak jak to tedy

máš teď rozdělený?“

Učitelka se ptá na kritérium třídění.

D2 6 „Já si myslím, že to není

dobře.“

Druhé děvče vyhodnocuje situaci dříve,

než se k ní vyjádřila sama autorka.

Některé předměty jsou zčásti tvořeny

jiným materiálem, než byl zvolen pro

danou skupinu předmětů: balení pexesa,

andílek, zavařovací sklenice. Věci z

papíru nejsou v jedné skupině - jsou

rozděleny na dvě části - a mezi věci z

plastu byla pravděpodobně na základě

tvarové podobnosti zařazena dřevěná

tyčka.

Zda mělo druhé z děvčat pochybnosti

tohoto charakteru či jiné se nedozvídáme.

U 7 „A tak třeba dělila nějak,

podle něčeho jinýho.“

Učitelka tímto sdělením směřuje k

alternaci kritéria pro třídění, které zvolila

první dívka. Dále se však této myšlence

nevěnovala.

U 8 „No.“ Děvče sděluje učitelce vlastnosti

jednotlivých skupin, z jakého materiálu

jsou vyrobeny přičemž učitelka

vyhodnocuje všechna vyjádření

souhlasným „Hm“.

D1 9 „Skleněný.“

U 10 „Hm.“

D1 11 „Papírový.“

U 12 „Hm.“

D1 13 „Plastový.“

U 14 „Hm.“

U 15 „A co dál?“

D1 16 „Skleněný.“

U 17 „To máme taky skleněný,

viď?“

Poté, co děvče označilo již druhou skupinu

předmětů ze skla, učitelka na tuto

skutečnost bezprostředně poukazuje. Tato

rychlá reakce uzavírá dítěti možnost k

odkrytí, objevení této skutečnosti a

samostatné nápravě, tj. zařazení všech

skleněných předmětů do stejné skupiny.

U 18 „Pozor ať ti to nespadne.“

D1 19 „Ty se nám zatoulaly.“

D1 20 Přesouvá skleničky k

ostatním skleněným.

U 21 „A co toto? (ukazuje ..) A

ještě tady máme.“ Přesouvá

před dítě plastový květináč.

Učitelka opět přebírá iniciativu a

poukazuje na papírovou krabičku, pexeso a

plastový květináč. Tyto předměty byly


84

v danou chvíli problematické z pohledu

dodržení kritéria třídění. Dvě třídy

rozkladu nebyly disjunktní a každý prvek

základní množiny nepatřil do některé ze

tříd rozkladu. Vznikly dvě skupiny věcí

vyrobených z papíru a plastový květináč

dosud děvče do svých „tříd“ nezařadilo.

D1 22 „Nevím.“

U 23 „Nevíš? Tak zkus na to

sáhnout, zkus to poťukat. Co

myslíš?“

Učitelka nabádá k zapojení více smyslů

pro určení materiálu, ze kterého je

výrobek.

D1 24 „??“

U 25 „Hm. Co tak krabička, co

myslíš?“

Dílčími otázkami vede děvče k

přehodnocení problematické skupiny

(papírová krabička, pexeso) a to tím, že je

vysloven materiál, ze kterého jsou

vyrobeny.

D1 26 „To je z papíru.“

U 27 „A to pexeso? Co myslíš?“

D1 28 „Z papíru.“

U 29 „No, vidíš to.“ Zcela konkrétně instruuje děvče k přesunu

obou předmětů k věcem z papíru a tím k

vytvořením jedné skupiny. Na stole byly v

tuto chvíli předměty blízko u sebe, proto

učitelka vyzvala k oddělení skupin.

Verbálně ale děvče nabádá, ať dá skupinky

k sobě, čímž myslela předměty v

jednotlivých skupinách nikoliv skupiny

samotné. Ty naopak chtěla oddělit.

D1

30 „Tak to zkusíš dát k sobě ty

skupinky, abysme to tedy

rozto...“

U 31 „Zkus jenom je takhle k sobě

přidat.“ Přisunula plastový

květináč k plastové lahvi.

Sama odděluje dva plastové předměty.

Děvče k nim přidává zbývající plastové

věci. Ostatní předměty nepřesouvá, ale

sahá na ně a některé skupiny pojmenuje. D1 32 „Tady máme skleněný.“

U 33 „Hm. Jo. Dobrý? Hotový?“ Ujištění o dokončení úkolu a jeho

správnosti. D1 34 „Dobře.“

3. Shrnutí, závěry

Na začátku práce je patrný akcent na dětskou aktivitu, kreativitu, hledání vlastních

podmínek pro třídění, který však v průběhu práce byl upozaděn a učitelka jednoznačně

směřovala k uplatnění vlastního kritéria, tj. třídění podle materiálu.

Dítě si nestanovuje hned na začátku jednoznačné pravidlo pro třídění, které poté

"stačí pouze aplikovat". Na videu vidíme proces hledání, přičemž spouštěčem byl pokyn

učitelky (U1) - "co k sobě patří". Děvče střídá při posuzování a rozhodování dvě

hlediska: "mít podobný tvar", "být vyroben ze stejného materiálu". Hned u prvních

dvou předmětů můžeme sledovat, že krabička i pexeso jsou z papíru, ale že jsou si také

tvarově blízké. Pro děvče byla ona tvarová blízkost natolik dominantní, že je nezařadila

mezi ostatní věci z papíru. Význam tvaru předmětů se ukázal podstatný také u zařazení

dřevěné tyčky mezi plastové pouzdro. Vzhledem k tomu, že tyto dva předměty byly

z různých materiálů, jejich zařazení do téže skupiny bylo chybou ve chvíli, kdy do téže

skupiny byly zařazeny další plastové předměty. Zároveň ale můžeme sledovat, jak


85

důležitá je posloupnost děje. Nejprve si děvče vzalo dva předměty a vyhodnotilo je oba

jako plastové (krabička, láhev) a odložilo je. Následující dva předměty, které vzalo,

byla tyčka a pouzdro, které ovšem vyhodnotilo z pohledu jiných vlastností, ale dále

nezjišťovala, zda danou vlastnost má i jiný prvek („reprezentant třídy rozkladu“) v již

vytvořené skupině, do které chtěla předmět zařadit. Učitelka ve svých reakcích tuto

interpretaci nereflektovala, nevyužila tento potenciál vhledu do situace.

Pro proces třídění je důležité, aby děti dobře znaly vlastnosti tříděných předmětů,

ale také aby uměly správně vyhodnotit danou vlastnost, tj. zvolené kritérium. Například

u třídění podle barev někdy děti váhají, zda mají předměty o různých odstínech téže

barvy zařadit do jedné skupiny. Ve chvíli, kdy se nutně nejedná o vizuální vjem, bývá

posuzování obtížnější. V našem případě se též ukázalo, že pro posouzení vlastností je

významná i dosavadní zkušenost dítěte. Pokud mu již někdo z důvěryhodných

dospělých sdělil, že se jedná například o plastovou lžičku, nemusí dítě blíže více

zkoumat materiál, z kterého je lžička vyrobena.

Výzkum byl realizován v rámci řešení úkolu FRMU „Realizace inovativních

změn v matematické složce přípravy učitelek mateřských škol na PdF MU".

Literatura

KASLOVÁ, M. Prelogické myšlení. In: Fuchs, E., Lišková, H., Zelendová, E. (eds.).

Rozvoj předmatematických představ dětí předškolního věku: metodický průvodce.

(pp. 76-101). Praha: JČMF 2015.

Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání. Praha: 2017. Dostupné z

http://www.msmt.cz/file/39793/.

SLEZÁKOVÁ, J., ŠUBRTOVÁ, E. Matematika všemi smysly aneb Hejného metoda

v MŠ: pokus o malou příručku pro kreativní pedagogy. Praha: Step by Step ČR,

o.p.s., 2015.

ŠVEJNOHOVÁ, A., SLAVÍKOVÁ, V. Panáček aneb O rozvíjení matematických

představ a spolupráce v dětské skupině. Komenský, 2016, č. 04, s. 31-39

ZEMANOVÁ, R. Jak děti předškolního věku rozumí prostoru. Ostrava: Ostravská

univerzita v Ostravě, 2015.

Mgr. Eva Nováková, Ph.D.

Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU

Poříčí 31, 603 00 Brno, Česká republika



86

Několik slov k cyklografii

Some words about cyclography

Jitka Panáčová

MESC: G80, G60

Abstract

In the paper there are briefly described basic problems of cyclography (one-to-one

correspondence of the set of all points of the 3E onto the set of all directed circles -

cycles – of the proper plane of the 3E . The article summarizes principles and

applications of cyclography method, and in the end introduces its historical

development.

Key words: cycle, directed line, isotropic line, directed plane, basic conic C, C – conic

area.

Abstrakt

Práce sa zabývá základními problémy cyklografické zobrazovací metody

(bijektivní zobrazení množiny všech bodů rozšířeného euklidovského prostoru 3E na

množinu všech orientovaných kružnic – cyklů – vlastní roviny prostoru 3E ). Shrnuje

dále aplikaci této metody na řešení planimetrických úloh z geometrie orientovaných

kružnic a v závěru zachycuje stručně její historický vývoj.

Klíčová slova: cyklus, orientovaná přímka, isotropní přímka, orientovaná rovina,

základní kuželosečka C, C - kuželová plocha.

1. Úvod

Cyklografie nebo cyklografické zobrazení je příkladem nelineární zobrazovací

metody. Pod pojmem zobrazovací metody rozumíme bijektivní zobrazení útvarů

trojrozměrného euklidovského prostoru (popř. rozšířeného euklidovského prostoru) na

určité objekty jedné roviny, kterou nazýváme nákresna. Bodu v prostoru tedy přiřadíme

určitý útvar v nákresně. V případě cyklografického zobrazení je obrazem bodu

v prostoru cyklus v nákresně, přičemž střed cyklu je ortogonální průmět daného bodu do

nákresny.

2. Základní principy cyklického promítání

V dalším textu se předpokládá znalost následujících pojmů elementární geometrie

euklidovské roviny E2: orientace přímky (orientovaná přímka), orientace roviny

(orientovaná rovina), orientovaný úhel.


87

Poznámka 1: Pod pojmem úhel se v celém textu bude rozumět příslušný konvexní

úhel (např. < AOB nebo < �⃗� 𝑣 ). Jestliže úhel < �⃗� 𝑣 patří do zvolené (kladné) orientace

roviny, budeme říkat, že tento úhel určuje orientaci roviny nebo orientace roviny je

tímto úhlem určená.

Definice 1: Buď k(O, r) libovolná kružnice orientované euklidovské roviny E2 (úhlem

< �⃗� 𝑣 ) a K, L libovolná uspořádaná dvojice navzájem různých bodů na k. Řekneme, že

kružnice k je dvojicí bodů K, L orientovaná kladně, resp. záporně, jestliže orientovaný

úhel < KOL patří, resp. nepatří do zvolené orientace roviny (tj. jestliže úhly < �⃗� 𝑣 , < KOL jsou orientované souhlasně, resp. nesouhlasně).

Poznámka 2: Orientovanou kružnici nazýváme cyklus, původní kružnici nositelkou

cyklu. Analogicky orientovanou přímku nazýváme paprskem, původní přímku

nositelkou paprsku. Ve smyslu předchozí definice pak hovoříme o kladných

a záporných cyklech. Poloměrem kladného, resp. záporného cyklu budeme nazývat

reálné číslo r, resp. - r, kde r je poloměr nositelky cyklu.

Definice 2: Kladnou polorovinou orientované eukleidovské roviny ρ vzhledem

k danému paprsku (určeného polopřímkou 𝐾𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗) nazýváme polorovinu (s hraniční

přímkou danou body K, L) incidentní s bodem X, pro který orientovaný úhel < LKX

patří do zvolené orientace roviny ρ. Opačnou polorovinu k této polorovině nazýváme

zápornou polorovinou orientované roviny ρ vzhledem k danému paprsku.

Kladnou stranou kladného, resp. záporného cyklu nazýváme vnitřek, resp. vnějšek

nositelky cyklu; vnějšek, resp. vnitřek této kružnice se nazývá jeho zápornou stranou.

Definice 3: Buď v orientované euklidovské rovině ρ dána přímka t a kružnice k.

Řekneme, že paprsek s nositelkou t se dotýká cyklu s nositelkou k, jestliže nastane právě

jedna z následujících dvou možností:

1. Přímka t je tečnou kružnice k a kladná polorovina roviny ρ vzhledem k danému

paprsku je částí kladné strany cyklu.

2. Přímka t je tečnou kružnice k a kladná strana cyklu je podmnožinou kladné

poloroviny roviny ρ vzhledem k danému paprsku.

Jestliže mají dva cykly ve společném bodě společný dotykový paprsek, řekneme, že se

oba cykly ve společném bodě dotýkají.

2.1 Obraz bodu

Základním prostorem bude rozšířený euklidovský prostor 3E nad polem reálných

čísel. Principem cyklografické zobrazovací metody je kolmé promítání do jedné

(vlastní) roviny. Buď 3E libovolná vlastní rovina (průmětna). Orientujme oba

poloprostory prostoru 3E s hranicí (tj. prohlašme libovolný z nich za kladný).

V kótovaném zobrazení se přiřadí každému vlastnímu bodu P 3E uspořádaná dvojice

(P1, zP), kde P1 je kolmý průmět bodu P do průmětny a z

P je orientovaná vzdálenost

bodu P od roviny (kóta bodu P). V cyklografii se postupuje analogicky. Při zobrazení

libovolného vlastního bodu P 3E se sestrojí nejprve jeho kolmý průmět P1 do roviny.

Dále je třeba (kromě orientace poloprostorů prostoru 3E s hranicí ) orientovat

průmětnu např. orientovaným úhlem < �⃗� 𝑣 . Každému bodu P prostoru 3E pak

přiřadíme cyklus PC průmětny s poloměrem z

P, jehož nositelka má střed P1. Cyklus

PC je tedy kladný, resp. záporný, jestliže orientovaná vzdálenost bodu P od průmětny je


88

kladná, resp. záporná. Pro bod Q je Q = Q1 a zQ = 0 (tento bod nazýváme

„nulovým" cyklem).

Věta 1: Zobrazení : 3E → C množiny všech vlastních bodů prostoru 3E na množinu

všech cyklů C průmětny , které bodu P přiřadí cyklus PC, je bijekce.

Definice 4: Zobrazení z věty 1 je zobrazovací metoda a nazývá se cyklografické

zobrazení. Množina C všech cyklů v rovině se nazývá prostor cyklů.

Poznámka 3: Nositelka cyklu PC 3E je průnikem rotační kuželové plochy v 3E dané

vrcholem P, jejíž tvořící přímky mají odchylku 45° od průmětny . Tato kuželová

plocha protíná rovněž nevlastní rovinu Ω 3E v kuželosečce C (tzv. základní

kuželosečka). Kuželosečka C leží na analogických kuželových plochách pro všechny

vlastní body prostoru 3E a její střed je nevlastním bodem přímek kolmých na

průmětnu . Tento přístup umožňuje jiný pohled na nositelky cyklů v průmětně; každou

kružnici - nositelku cyklu PC - lze vyjádřit jako průnik kuželové plochy s vrcholem P a

určující kuželosečkou C Ω s průmětnou . Tuto kuželovou plochu značíme symbolem

KP(P, P

C)

1.

Definice 5: Rotační kuželovou plochu, jejíž tvořící přímky svírají s osou odchylku 45°,

nazýváme C - kuželová plocha.

Věta 2: Množinou všech dotykových cyklů k pevnému cyklu PC jsou cyklografické

obrazy všech bodů C - kuželové plochy, jejíž určující kružnice je nositelka cyklu PC.

Poznámka 4: Množinou cyklů, které incidují se společným bodem Q, jsou

cyklografické obrazy všech bodů C - kuželové plochy s vrcholem Q. V dalším textu by

bylo možné ukázat, jakým způsobem se cyklograficky zobrazuje přímka nebo rovina.

Touto problematikou se však již dále nebudeme podrobně zabývat, neboť momentálně

zbudovaný aparát vystačí pro ilustraci využití cyklografie na následujícím příkladu.

3. Praktické využití cyklografie Možností využití cyklografického zobrazení je celá řada, nejzajímavější je však

řešení planimetrických úloh pomocí cyklografie, ze kterých je v následujícím textu

vybrána jedna z Apolloniových úloh.

Původní Apolloniova úloha se zabývá konstrukcí kružnice, která se dotýká daných

tří kružnic. Obecnou Apolloniovou úlohou rozumíme úlohu o konstrukci kružnice

dotýkající se daných tří geometrických útvarů (body, přímky, kružnice). Její řešení

metodou cyklografického zobrazení je velmi jednoduché a elegantní. Před samotnou

ukázkou řešení Apolloniovy úlohy užitím této metody se však nejdříve zabývejme

otázkou průniku dvou C - kuželových ploch.

3.1 Pomocná úloha

Jsou dány dvě C-kuželové plochy KA(A, A

C), K

B(B, B

C), přičemž určující

kružnice plochy KA, resp. K

B obsahuje cyklus A

C , resp. B

C . Určete průnik

KA

∩ KB.

Řešení: Průnikem dvou kvadrik je obecně křivka 4. stupně. Protože kuželové plochy

KA, K

B obsahují základní kuželosečku C, musí být i druhá část průniku těchto ploch

kuželosečka. Označme tuto kuželosečku k a její rovinu α.

1 Pokud nemůže dojít k záměně, budeme používat zkráceného zápisu kuželové plochy K

P.


89

Rovina λ (AB λ, λ ꓕ) obsahující osy AA1, BB1 obou kuželových ploch je jejich

rovinou souměrnosti, tj. i vlastní části k jejich průniku. Rovina α kuželosečky k je kolmá

na rovinu λ a osa kuželosečky k je průsečnicí rovin α a λ. Zvolme si rovinu λ za druhou

průmětnu a dořešme úlohu v Mongeově zobrazení s nákresnou . V druhém průmětu

pak pohodlně sestrojíme vlastní body průniku KA

∩ KB

∩ λ = (KA

∩ λ)

∩

(KB

∩ λ), což jsou vrcholy M, N kuželosečky k. Je zřejmé, že k je hyperbola nebo elipsa

(pokud nositelka jednoho cyklu leží uvnitř nositelky druhého) a MN je jejich osou.

Rovina α je určená (MN α α ꓕ λ); její stopa pα je chordála nositelek cyklů A

C, B

C.

Kuželosečku k pak sestrojíme jako rovinný řez např. KA

∩ α. Ohniska kolmého

průmětu kuželosečky k do roviny jsou body A1, B1. Odtud vyplývá následující

vlastnost:

Věta 3: Množina středů všech cyklů, které se dotýkají daných dvou cyklů, je hyperbola

nebo elipsa, která má středy daných cyklů za ohniska.

3.2 Apolloniova úloha

Sestrojte kružnici, která se dotýká daných tří kružnic a, b, d v rovině .

Rozbor: Orientujme dané kružnice a, b, d v rovině a příslušné cykly označme AC, B

C,

DC.

Buď Z cyklografické zobrazení v prostoru 3E s průmětnou ;

Z-1

: AC, B

C, D

C A, B, D.

Jestliže v existuje cyklus XC, který se dotýká cyklů A

C, B

C, D

C, tak pro bod

X = Z-1

(XC) platí: X K

A ∩ K

B ∩ K

D. Obráceně pro každý bod Y K

A ∩ K

B ∩ K

D

platí, že cyklus YC se dotýká cyklů A

C, B

C, D

C. Planimetrická Apolloniova úloha je

tak převedena s využitím principů cyklografického zobrazení na prostorovou úlohu:

nalézt průnik tří C-kuželových ploch a k němu určit jeho cyklografický obraz. Nositelky

cyklografických obrazů bodů průniku jsou pak částí řešení zadané úlohy.

Konstrukce: Bod X průniku C-kuželových ploch leží v rovině γ vlastní kuželosečky

k KA

∩ KB

a analogicky v rovině β kuželosečky l KA

∩ KC

(konstrukce rovin γ, β

podle předcházející pomocné úlohy; pγ, p

β jsou chordály příslušných dvojic kružnic).

Označme γ ∩ β = s. Pak platí: X KA

∩ s. Zřejmá je konstrukce stopníku ps p

β ∩ p

γ

přímky s; kromě toho je přímka s rovnoběžná s přímkou s' (s' γ' ∩ β'), kde

A β' β' || β, A γ' γ' || γ, tj. γ', β' jsou vrcholové roviny kuželové plochy KA

rovnoběžné s rovinami β, γ (v daném pořadí).

Průsečíky KA

∩ s se sestrojí pomocí roviny λ dané rovnoběžkami s, s'. Platí:

KA

∩ s = s

∩ (λ

∩ K

A) = s

∩{AX0,AY0}, kde {X0,Y0} = p

λ ∩ a. Pak přímka daná body

A, X0, resp. A, Y0 protíná přímku s v bodě X, resp. Y a X1, Y1 jsou středy hledaných

cyklů. Kružnice, které jsou nositelkami cyklů XC, Y

C, jsou částí řešení úlohy (0 až 2

řešení).

Diskuse: Úplné řešení získáme, když budeme uvažovat všechny možné kombinace

orientací kružnic a, b, d. Jejich počet je 23. Vždy dvě dvojice (pro navzájem opačné

cykly) dají jedno řešení, tj. všechna řešení dají čtyři trojice cyklů. Úloha má celkem

0 - 8 řešení; jejich počet závisí na vzájemné poloze kružnic a, b, d.

4. Historie cyklografie Samotná myšlenka cyklografie (vzájemně jednoznačného zobrazení bodů

v prostoru na cykly v rovině) se objevila již v díle [8] B. E. Cousineryho, ve kterém je jí

využito při řešení některých Apolloniových úloh. Poté pak Nikolaus Druckenműller


90

(1806-1883) - žák Julia Plűckera (1801-1868) - v r. 1842 zkonstruoval v díle [9]

prostředky analytické geometrie zobrazení, které bylo později také nazváno isotropní

projekce.

Za první soustavně zpracované dílo o cyklografii jako o zobrazovací metodě

deskriptivní geometrie je považováno dílo [3] Wilhelma Fiedlera (1832-1912). Tato

kniha má čistě konstruktivní charakter, věnuje svou pozornost konstrukčním úlohám

o kružnici a kouli. Fiedlerovo pojetí zobrazení splňuje principielně parametry

kruhového zobrazení, nelze ho proto označovat za cyklografii v pravém slova smyslu,

přestože jeho publikace paradoxně ve svém názvu slovo cyklografie nese. V jeho knize

sice narazíme na zmínku o tom, že kružnici v rovině lze orientovat, aby se zabránilo

dvojznačnosti, ale autor této možnosti nevyužil a operoval výhradně s elementy

neorientovanými.

Nejnovější podobu cyklografie jako zobrazovací metody deskriptivní geometrie

přineslo systematické dílo [2], které vyšlo r. 1929 jako druhý díl přednášek Emila

Műllera na vídeňské technice. Bylo zpracováno po Műllerově smrti jeho asistentem

Josefem Leopoldem Kramesem (1897-1986). Z hlediska cyklografie se jedná

o praktickou aplikaci myšlenky isotropní projekce v deskriptivní geometrii a tím

zároveň za plod mnohých úvah F. Kleina a Maria Sophuse Lieho (1842-1899), které se

vztahovaly v té době k modernímu výzkumu deskriptivní geometrie. Toto Műllerovo

dílo přineslo mnoho poznatků z jeho dřívějších publikací o cyklografii, z díla

W. Fiedlera [3] a ze studií například Wilhelma Blaschkeho (1885-1962) a Erwina

Wilhelma Kruppy (1885-1967). Samotné konstruktivní provedení různých úloh však

Műller na rozdíl od Fiedlera prováděl pomocí kótovaného promítání a operoval zásadně

s orientovanými elementy. Obě pojetí se dále odlišovala v tom, že v Műllerově díle [2]

plnila velmi důležitou funkci nevlastní základní kuželosečka, s níž Fiedler vůbec

nepracoval.

4.1 Cyklografie v Čechách

Jedinou knižní publikací u nás, která se podrobně a uceleně problematikou

cyklografického zobrazení zabývala, je monografie [1] L. Seiferta (1883 – 1956). Tato

kniha vydaná v r. 1949 je napsána v Műllerově pojetí – jedná se o přeložené a zkrácené

Műllerovo dílo [2]. Autor v ní popisuje základními principy cyklografie, vysvětlil

pojmy a vlastnosti tzv. cyklografické koule a cyklického zobrazení bodových

transformací, popsal konstrukci cyklického obrazu křivky a plochy v 3E a v závěru

zkoumal užití cyklické projekce a Laguerrových transformací. Na příkladech různých

planimetrických úloh je ilustrováno praktické využití cyklografie.

Tato monografie [1] byla určena především pro kandidáty středoškolského

učitelství. L. Seifert usiloval o zavedení cyklografie do výuky deskriptivní geometrie na

českých vysokých školách pro budoucí středoškolské učitele a přednášel ji na

Přírodovědecké fakultě MU v Brně. Po jeho smrti zde cyklografii přednášel Seifertův

žák Karel Svoboda. Jmény těchto dvou geometrů však éra cyklografie ve výuce u nás

začíná a zároveň i končí. V hodinách deskriptivní geometrie byl dán prostor jiným

metodám.

Kromě monografie [1] v české odborné literatuře nalezneme v mnohých

souvislostech rozličné zmínky o cyklografii, často ve spojení s řešením planimetrických

úloh. Z celé této nevelké řady knižních publikací o cyklografii se zmiňujících jmenujme

alespoň učebnici deskriptivní geometrie Jana Sobotky (1862-1931) [5], která je však

napsána ještě ve Fiedlerově pojetí. Další zmínky o této zobrazovací metodě již


91

v Műllerově pojetí nalezneme v monografiích Josefa Holubáře (1895 – 1970) [6] a [7],

ve kterých mimo jiné autor ilustroval prostřednictvím cyklografie řešení Apolloniových

úloh.

5. Závěr Využití cyklografie v oblastech matematiky a geometrie je široké, bohužel se dnes

již v rámci výuky deskriptivní geometrie s touto zajímavou metodou téměř nesetkáme.

Její aplikace na řešení klasických úloh z elementární geometrie je elegantní a názorná

a mohla by tudíž vzbudit opětovný zájem. V současné době na tuto metodu narazíme

v některých pracích a materiálech Zity Sklenárikové z FMFI UK v Bratislavě (viz

[10]). Velmi inspirativní je dále novější pojednání o cyklografii [11] od Lenky Juklové

z UP v Olomouci a diplomová práce [12] od Jiřího Hátle.

Literatura

[1] SEIFERT, L.: Cyklografie, Jednota československých matematiků a fyziků, Praha,

1949.

[2] MŰLLER, E.- KRAMES, J. L.: Vorlesungen űber darstellende Geometrie, 2.

Band: Die Zyklographie, Wien und Leipzig, 1929.

[3] FIEDLER, W.: Cyklographie oder Construktion der Aufgaben uber Kreise und

Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme, Leipzig, 1882.

[5] SOBOTKA, J.: Deskriptivní geometrie promítání parallelního, JCMF, Praha, 1906.

[6] HOLUBÁŘ, J.: O metodách rovinných konstrukcí, JCMF, Praha, 1940.

[7] HOLUBÁŘ, J.: O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů,

JČMF, Praha, 1948.

[8] COUSINERY, B. E.: Geometrie perspective, 1828.

[9] DRUCKENMÜLLER, N.: Die Übertragungsprinzipien der analytischen

Geometrie, 1842.

[10] SKLENÁRIKOVÁ, Z.: K metódam riešenia Apolloniovej úlohy, Matematika

v proměnách věků. III., 2004, 45-55.

[11] JUKLOVÁ, L.: Aplikace deskriptivní geometrie: základy kartografie a cyklografie,

Univerzita Palackého v Olomouci, Olomouc, 2013.

[12] HÁTLE, J.: Cyklografie a její užití k řešení planimetrických úloh, diplomová práce,

PřF UP Olomouc, 2006.

Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.

Katedra matematiky PedF MU

Poříčí 31

Brno 603 00



92

Dizajn výskumu optimalizácie výučbových materiálov

z matematiky pre primárne vzdelávanie

Design of research optimization of teaching materials for primary education

Edita Partová

MESC: E10, U20, U60, U70

Abstract

The paper deals with the planning of the research project "Optimization of

educational materials in mathematics based on an analysis of the current needs and

abilities of pupils of younger school age." When optimizing the researchers undertook

to examine the ability of students of primary education using both traditional and

modern teaching aids, explore their preferences when selecting teaching materials and

activities and align them with the needs of society as defined in curriculum.

Key words: primary mathematics, education, researche.

Resume

Príspevok sa zaoberá plánovaním výskumného projektu „Optimalizácia

výučbových materiálov z matematiky na základe analýzy súčasných potrieb a

schopností žiakov mladšieho školského veku.“ Pri optimalizácii sa riešitelia projektu

rozhodi skúmať schopnosti žiakov primárneho vzdelávania používať tradičné aj

moderné učebné pomôcky, skúmať ich preferencie pri výbere výučbových materiálov

a aktivít a zosúladiť ich s potrebami spoločnosti definovanými v školských

dokumentoch.

Key words: primárne vzdelávanie , matematika, výskum.

1. Úvod

Matematické vzdelávanie, na primárnom stupni vzdelávania, nie je v centre

záujmu vedeckého výskumu na Slovensku. Celoštátne meranie matematických

vedomostí žiakov na 1. stupni základnej školy je len na začiatku, ale výsledky

medzinárodných meraní naznačujú nepriaznivý stav. Spomenieme len jeden zo záverov

PISA, podľa ktorých slovenskí žiaci dlhodobo dosahujú podpriemerné výsledky

v oblasti matematickej gramotnosti v porovnaní s ostatnými krajinami OECD, a že

Slovensko patrí medzi krajiny, kde je najvýraznejší vplyv sociálneho zázemia žiakov

na ich výsledky v testovaní. Podobne je slovenské školstvo predmetom kritiky, pre

nevhodnú štruktúru výstupov vzdelávania, prílišný dôraz sa kladie na faktografiu

a minimálny na aplikáciu poznatkov. Napriek výrazným zmenám v štandardoch za

posledné desaťročie sa situácie nezlepšila, skôr naopak. Nízka úroveň vzdelávacích

štandardov z matematiky pre ISCED1 vniesla do vzdelávania neistotu a dezorientáciu.

Absentuje v nich aj akákoľvek reflexia aktuálnych záujmov a schopností žiakov danej


93

vekovej skupiny a požiadaviek spoločnosti. Okrem iných aj uvedené zistenia nás

motivovali aby sme sme vytvorili projekt Optimalizácia výučbových materiálov z

matematiky na základe analýzy súčasných potrieb a schopností žiakov mladšieho

školského veku, ktorý realizujeme za finančnej podpory APVV. Cieľom projektu je

sledovaťv praxi spôsoby vyučovacích aktivit, skúmať druhy výučbových materiálov

a učebných pomôcok z hľadska ich súladu so schopnosťami žiakov danej vekovej

skupiny, tak aby boli motivujúce pre získanie potrebných matematických kompetencií.

2. Návrh výskumného projektu

Organizácia výskumu v oblasti matematického vzdelávania v mladšom školskom

veku je náročná úloha, z pohľadu plánovania, metodológie a vyhodnotenia projektu.

Pri plánovaní výskumu sme vychádzali z dostupnej odbornej literatúry (Fraenkel, al

all.) a rozhodli sme sa pre kombináciu viacerých výskumných metód. Hlavné etapy

projektu sú

tvorba výskumného nástroja

hlavný výskum s využitím výskumného nástroja

tvorba výučbových materiálov

experimentálne overovanie výučbových materiálov

analýza výsledkov výskumu a ich publikovanie výsledkov

poskytnutie výsledkov odoberajúcim subjektom

Projekt je plánovaný na štyri roky, preto máme možnosť dôkladne pripraviť

výskumný nástroj, čo je predpokladom získavania vierohodných údajov. Kľúčovým

výskumným nástrojom bude akčný výskum uskutočnený na zámerne vybraných

školách.

Hlavným princípom pri tvorbe aktivít je zabezpečiť možnosť žiakom získavať

a osvojiť si poznatky spôsobom, ktorý je pre nich najvhodnejší. Právo výberu je

podmienené možnosťou poznania rôznych postupov, materiálov a organizačných foriem

vyučovania, preto sme a rozhodli navrhnúť aktivity, ktoré sme pracovne nazvali

„zrkadlové“. To znamená, že aktivita s rovnakým obsahom a vyučovacím cieľom je

vytvorená v dvoch -troch modifikáciách, pričom sa menia pomôcky, prostredie,

materiál, kontext alebo didaktická situácia. Neoddeliteľnou súčasťou prípravy sú

podrobné metodické inštrukcie (scenáre) pre výskumníkov založené na dôkladnej

didaktickej analýze aktivít.

3. Prvá etapa tvorby výskumného nástroja

Vzhľadom na vytýčené ciele je potrebné zabezpečiť čo najlepšiu kvalitu

výskumu, preto sme realizovali predpilotné testovanie výskumného nástroja.

Riešiteľský kolektív je zostavený z členov niekoľkých pracovísk z dvoch univerzít

(Univerzita Komenského v Bratislave a Katolícka univerzita v Ružomberku). V záujme

zabezpečiť pokrytie všetkých oblastí matematiky sme dbali na to aby bolo zastúpené

učivo z geometrie (rovinné útvary a ich vzťahy), aritmetiky (čísla a operácie) aj z

algebry (závislosti, premenné). Témy sme rozdelili medzi výskumníkov, ktorí si vybrali

konkrétne učivo z danej oblasti a pripravili návrh aktivít. Pre každý ročník boli

navrhnuté dve geometrické a dve aritmeticko-algebraické úlohy.

Zrkadlové aktivity- ako pracovný termín chápeme v zmysle rôznych aktivít na

to isté učivo, ktoré umožňujú žiakom používať manipuláciu s reálnymi predmetmi,

s virtuálnymi objektmi, alebo využívať pero-papier. Dôležitým kritériom výberu bola

možnosť používania rôznych prostriedkov a pomôcok v aktivitách s tým istým obsahom

napr. predmety každodenného života (slamky, vrchnáky fliaš, rôzne obaly), klasické


94

didaktické pomôcky (geometrické útvary, počítadlá), digitálne technológie (interaktívna

tabuľa, notebook) aj pero a papier.

Ku každej aktivite je vypracovaný podrobný scenár pre výskumníka

s alternatívnymi postupmi, a zároveň základný súbor reálnych aj virtuálnych pomôcok.

Pri výbere učiva aj aktivít, sme vychádzali z výsledkov najnovších výskumov, ktoré sú

podrobnejšie opísané napríklad v publikáciách ( Gunčaga-Kopáčová, 2013), (Žilková,

2013), alebo (Partová 2011). Uvedieme ukážku z tematického celku Čísla a operácie,

učivo základné spoje odčítania s prechodom cez 10.

4. Ukážka návrhu zrkadlovej aktivity na téme základný spoj odčítania

s prechodom cez 10.

Náročnosť pri výbere učiva sme zámerne postavili o niečo vyššie ako sú

požiadavky výkonových štandardov, chceli sme eliminovať dôsledky faktografickej

znalosti základných spojov Základné spoje odčítania s prechodom cez 10 sú obsahovo

zaradené do druhého ročníka. Testovanie bolo naplánované na začiatok novembra,

preto sme predpokladali, že prebieha konštrukcia (vyvodenie) základných spojov

odčítania s prechodom cez 10 žiaci ich ešte nemajú zautomatizované. Vybrali sme

spoje 12 – 5, 15 – 8, 13 – 7, 14 – 6, ktoré boli napísané na kartičkách a žiaci mali

zistiť výsledok s využívaním ponúknutých pomôcok, pričom poradie jednotlivých

druhov pomôcok bolo vopred určené. Podstatou konštrukcie základného spoja

odčítania s prechodom cez 10 sú dva typy rozkladu čísla: rozklad dvojciferného čísla na

desiatky a jednotky a rozklad menšiteľa (jednociferného čísla) alebo desiatky na dve

čísla. Význam modelov v procese porozumenia abstraktných pojmov a postupov

zdôrazňuje mnoho odborníkov napríklad (Hospešová at all), preto sme starostlivo

vyberali rôzne modely a dbali aj na poradie ich používania. Ako prvý model sme

ponúkli vrchnáky plastových fliaš v obale od vajíčok (desiatka) a mimo obalu

(jednotky) tak ako je znázornené na obrázku 1. Potom nasledoval model so súpravou na

demonštráciu desiatkovej sústavy (Base ten Dienes blok) v skutočnej aj virtuálnej

verzii. (Obrázok 2)

Obrázok 1. Model odčítania používaním predmetov z bežného života.

Obrázok 2. Model odčítania s Diensovou súpravou v skutočnej aj virtuálnej podobe.


95

Obrázok 3. Soroban.

Prvé tri modely motivujú žiakov k rozmeneniu desiatky na jednotky aby mohli

uskutočniť operáciu. Ďalšiu skupinu pomôcok tvorili guľôčkové počítadlá, na ktorých

súčasne vidíme znázornené desiatky aj jednotky, ide o to aby žiak získal skúsenosti

s dvojakou interpretáciou 10 guľôčok (10 jednotiek aj 1 desiatka) podľa potreby.

Nakoniec sme ponúkli žiakom rádové počítadlo soroban (Obrázok 3), ktoré je žiakom

neznáme, preto je vhodné na testovanie porozumenia desiatkovej sústavy a na

objavenie nového postupu odčítania s prechodom cez desiatku.

5. Závery

Predbežná analýza videozáznamov umožnila identifikovať niektoré schopnosti na

očakávanej úrovni, napríklad problém používania počítačovej myši, alebo identifikácia

rovinných útvarov. Na druhej strane sa nepotvrdila preferencia virtuálnych pomôcok.

Na základe tohto predpilotného testovania vieme odhadnúť niektoré parametre

v preferenciách žiakov v rôznych oblastiach: atraktívnosť materiálov, spôsob

spracovania a realizácie aktivít, čiastočne aj výber matematického učiva. Tieto

skúsenosti budú základom pre doladenie výskumného nástroja a pre uskutočnenie

pilotného testovanie pred hlavným testovaním optimalizovaných výučbových

materiálov.

Poďakovanie: Príspevok vznikol za podpory projektu APVV- 15-0387.

Literatúra

GUNČAGA, J., KOPÁČOVÁ,J.:A Compaprative study: Turkish and Slovak preservice

primary mathematics teacher´s skills about symmetry.SEMT 13, Tasks and Tools

in Elementary Mathematic, Charles Univesity, Prague , 2013

ISBN 978- 80- 7290-637-6.

HOŠPESOVÁ, A., KUŘINA,F., CACHOVÁ, J., MACHÁČKOVÁ, J., ROUBIČEK,

F., TICHÁ, M., VANÍČEK, J.: Matematická gramotnost a vyučovíní matematice.

Jihočeská univerzita, , Pedagogická fakulta, České Budejovice, 2011

ISBN 978-80-7394-259-5.

FRAENKEL, J.R., WALLEN,N.E.: How to design and evaluate research in education.

2nd ed. McGraw-Hill Inc. USA 1993, ISBN 0-07-021771-8.

PARTOVÁ. E.: Vyučovanie matematiky pomocou moderných technológií. 1. vyd. -

Bratislava : Univerzita Komenského, 2011. - 94 s. - ISBN 978-80-223-3144-9.

ŽILKOVÁ, K. Teória a prax geometrických manipulácií v primárnom vzdelávaní.

Praha: Powerprint, 2013, 115 s. ISBN 978-80-87415-84-9.

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.htmlnlvm.

doc. RNDr.Edita Partová, CSc.

Univerzita Komenského v Bratislave, Pedagogická fakulta

Račianska 59, 81334 Bratislava, Slovensko



96

Význam obrázka pri riešení kombinatorickej úlohy

Meaning of the picture in combinatorial problem solving

Gabriela Pavlovičová

MESC: K20, C30

Abstract

The article is focused on combinatorial thinking of primary school pupils and the

strategy of one combinatorial problem solution. The impact of presence of picture in a

task to pupils´ achievement and chosed organizational principles were investigated.

A pupils´ work with the picture and the outcomes of 3rd

graders are presented in the

article.

Key words: Combinatorial thinking, picture, primary education.

Abstrakt

Článok sa zameriava na kombinatorické myslenie žiakov prvého stupňa základnej

školy a stratégie riešenia jednej kombinatorickej úlohy. Je skúmaný vplyv prítomnosti

obrázka v zadaní úlohy na úspešnosť jej riešenia a zvolený organizačný princíp. Taktiež

je analyzovaná práca žiakov so samotným obrázkom a výsledky žiakov 3. ročníka ZŠ.

Kľúčové slová: Kombinatorické myslenie, obrázok, primárne vzdelávanie.

1. Úvod

Vyučovanie kombinatoriky ako jednej z matematických disciplín je vhodné podľa

Scholtzovej (2004) aj preto, lebo „mnoho problémových situácií môže byť zaujímavých

pre žiakov a zároveň im poskytnúť možnosť skúmania a objavovania. Dajú sa v nej

nájsť aktivity vhodné pre výborných žiakov, ale aj také, ktoré sú primerané pre žiakov

nie veľmi úspešných v matematike. Na pochopenie mnohých aplikácií stačí aritmetika

a elementárna algebra.“ Kombinatorické myslenie sa rozvíja už v rannom detstve

hrovou činnosťou no i bežnými dennými aktivitami, pri ktorých niečo vyberáme,

triedime, zoskupujeme, usporadúvame, kombinujeme atď. Na prepojenosť

kombinatoriky a rozvoja geometrických schopností detí vo veku 5-10 rokov vhodnými

didaktickými aktivitami poukazuje Kaslová (2016).

Vidermanová a kol. (2013) uvádzajú štyri úrovne kombinatorického myslenia,

ktoré vychádzajú z práce Jones et al.(1997):

1. Preštrukturálna: žiak vymenováva prvky v náhodnom poradí, bez akejkoľvek

systematickej stratégie.

2. Uništrukturálna: žiak začne využívať metódu pokus-omyl, objaví nejaké

čiastočné postupy, prípadne pri práci s malým počtom prvkov vie správne

použiť jeden organizačný princíp.


97

3. Multištrukturálna: žiak vie systematicky vypisovať všetky kombinatorické

skupiny podľa podmienok zadania úlohy, používa niekoľko rôznych

organizačných princípov, začína úlohy riešiť aj úvahou, výpočtom, nie len

vymenovaním všetkých prvkov.

4. Vzťahová: žiak používa vzorce na výpočet, vzťahy medzi vzorcami i Pacsalov

trojuholník.

Pri riešení slovných úloh na primárnom stupni vzdelávania je veľmi dôležitá

názornosť a vizualizácia danej situácie (Pavlovičová, 2012). Tak aj pri

kombinatorických úlohách môže byť text doplnený obrázkom, prípadne môže obrázok

predstavovať samotné zadanie úlohy.

2. Analýza žiackych riešení

V článku analyzujeme riešenia jednej kombinatorickej úlohy, ktorá bola daná

žiakom dvoch tried 3. ročníka ZŠ v dvoch fázach. Žiaci riešili rovnakú úlohu, ktorej

zadanie bolo v prvej fáze v jednej triede (3.B, 14 žiakov) doplnené obrázkom

korešpondujúcim s textom a v druhej triede (3.A, 16 žiakov) bola úloha zadaná len

slovným textom bez obrázka. V druhej fáze riešili žiaci po troch dňoch v jednotlivých

triedach vymenené zadania. Bola použitá modifikácia úlohy z učebnice matematiky pre

2. ročník ZŠ od autorov Molnár, Mikulenková (2004). Výskytu a analýze

kombinatorických úloh vo vybraných učebniciach matematiky pre 1. stupeň ZŠ

v Českej republike sa venujú Příhonská, Vilimovská (2012), kde je spomenutá aj táto

úloha.

Zamerali sme sa na sledovanie týchto javov:

1. vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na jej riešenie,

2. porovnanie organizačných princípov u jednotlivých žiakov v oboch triedach

v závislosti od toho, či riešili úlohu najskôr bez obrázka alebo s obrázkom.

Zadanie úlohy

Anička má modrú a červenú sukňu, bielu a žltú blúzku. Koľko má rôznych

možností skombinovať sukňu s blúzkou, keď sa oblieka na oslavu?

Obrázok 1. Zadanie úlohy (Molnár, 2004, s.54).

2.1 Vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na žiacke riešenia

Úspešnosť riešenia danej úlohy s obrázkom a bez neho v jednotlivých triedach je

uvedená v Tabuľke 1.

Tabuľka 1. Úspešnosť riešenia úlohy.

Trieda

______________

Riešenie

3.A 3.B

1.fáza

(bez obrázka)

2. fáza

(s obrázkom)

1.fáza

(s obrázkom)

2. fáza

(bez obrázka)

správne 11 15 12 12

nesprávne 5 1 2 2


98

Ako vidíme, obrázok v zadaní úlohy pomohol k správnemu riešeniu štyrom

žiakom v 3.A, ktorí úlohu v 1. fáze nevyriešili správne. Pri analýze týchto riešení bola

viditeľná väzba na hľadanie riešenia kreslením kombinácií oblečenia, teda daný obrázok

žiakom v druhej fáze pomohol. Na Obr. 2a, 2b je ukážka riešení jednej žiačky.

Obrázok 2a. Riešenie 1. fáza (3.A). Obrázok 2b. Riešenie 2. fáza (3.A).

Jedna žiačka v 3.A mala v prvej aj druhej fáze správny výsledok, no nesprávne

riešenie, ktoré vychádzalo zo sčítania jednotlivých kusov oblečenia (Obr. 3). Túto

stratégiu nezmenila ani pri zadanom obrázku v druhej fáze.

Obrázok 3. Nesprávne riešenie.

V 3.B mali dvaja žiaci nesprávne riešenia v oboch fázach, ktoré vyplývali tiež zo

sčítania jednotlivých kusov oblečenia. Žiaci pritom kreslili, či už obrázok v zadaní mali

alebo nie. Teda traja žiaci mali správny výsledok - 4 možnosti, ktorý vychádzal

z nesprávneho postupu a bol dôsledkom rovnosti 2.2=2+2, kde 2.2 pri správnom riešení

predstavuje kombinatorické pravidlo súčinu.

2.2 Porovnanie organizačných princípov pri riešení úlohy

V 3.A, kde žiaci riešili v prvej fáze úlohu bez obrázka sme zaznamenali len malé

zmeny v stratégii riešenia úlohy bez obrázka a s obrázkom. Žiaci použili tieto

organizačné princípy:

kreslili kombinácie oblečenia v prvej aj druhej fáze, pričom dodržiavali farby

v zadaní úlohy,

slovne písali kombinácie farieb v prvej aj druhej fáze (Obr.4), pričom prvá

farba bola farba sukne a druhá farba blúzky alebo naopak,

v prvej fáze nakreslili jednotlivé kusy oblečenia a kombinácie pospájali čiarami

a v druhej fáze spájali dvojice priamo v obrázku (Obr.5a, 5b).

priradili symbol k farbe (bez kreslenia oblečenia) a tvorili dvojice. Zaujímavé

bolo vytvorenie symbolu pre bielu farbu slovom alebo prázdnym krúžkom

a tiež používanie znamienka „+“ na vyjadrenie spájania sukne a blúzky

(Obr.6a, 6b).


99

Obrázok 4.

Obrázok 5a. Riešenie 1. fáza. Obrázok 5b. Riešenie 2. fáza.

Obrázok 6a. Obrázok 6b.

Zatiaľ čo v prípade na Obr.6a žiak znamienkom „+“ vyjadril nejakú binárnu

operáciu, ktorá má svoj výsledok, v prípade na Obr. 6b znamienko „+“ nahrádza spojku

„a“, prípadne spojenie dvoch prvkov.

V 3.B, kde žiaci riešili v prvej fáze úlohu s obrázkom, sme zaznamenali len jednu

zmenu organizačného princípu. Okrem štyroch žiakov všetci kreslili svoje obrázky

kombinácií oblečenia v prvej aj druhej fáze. Priamo v obrázku nevytváral dvojice ani

jeden žiak. V štyroch riešeniach sme videli zmenu, pri ktorej žiaci v prvej fáze kreslili

svoje riešenia, no v druhej fáze dvojice vypisovali slovne, pričom písali nie len farby

ako žiaci v 3.A ale aj ich priradenie k sukni alebo blúzke (Obr.7a, 7b).

Obrázok 7a. Riešenie 1. fáza (3.B). Obrázok 7b. Riešenie 2. fáza (3.B).

3. Diskusia a záver

Z analýzy žiackych riešení môžeme konštatovať, že z pohľadu úrovní

kombinatorického myslenia sa žiaci nachádzali na rozmedzí uništrukturálnej

a multištrukturálnej úrovne. Väčšina použila len jeden organizačný princíp, no boli

žiaci, ktorí použili dva rôzne princípy a tiež takí, ktorí použili súčet. Avšak tento súčet

vychádzal z predstavy súčtu ako kardinálneho čísla zjednotenia dvoch množín, nebolo

to kombinatorické pravidlo súčtu. Vplyvu počítacích zručností na schopnosťou riešiť

kombinatorické úlohy na vzťahovej úrovni sa venujú viaceré výskumy v tejto oblasti.

Ako uvádza Lockwood (2013), za účelom pomôcť žiakom pri rozvíjaní solídneho


100

kombinatorického myslenia (a stať sa tak úspešnými riešiteľmi rôznych

kombinatorických problémov) výskumníci potrebujú hlbšie porozumieť procesu

konceptualizácie matematickej činnosti sprevádzajúcej riešenie počtových úloh

u žiakov.

Z aspektu poznávacieho procesu môžeme povedať, že žiaci pri riešení

kombinatorickej úlohy pracovali na úrovni separovaných modelov. Väčšina z nich si

potrebovala danú úlohu presne znázorniť kresbou, a to aj v prípade keď ju už mali

znázornenú v obrázku. Obrázok mal v zadaní úlohy podľa Mareša (Čáp, Mareš, 2001)

reprezentujúcu funkciu, teda bol obrazovým vyjadrením textu. Môžeme konštatovať, že

žiaci, ktorí mali zadanie s obrázkom v prvej fáze, viac využili na svoje riešenia vlastnú

kresbu a to aj v druhej fáze. Žiaci, ktorí mali v prvej fáze zadanie bez obrázka, viac

riešili úlohu slovným vypisovaním dvojíc než kreslením, a to aj v druhej fáze. Zdá sa ,

že prítomnosť obrázka v zadaní navádzala žiakov viac na kreslenie ako na vypisovanie

alebo symbolické vyjadrenie danej situácie, či hľadanie iného organizačného princípu.

Na záver môžeme konštatovať, že sa preukázal vplyv prítomnosti obrázka v zadaní

úlohy na stratégie i správnosť riešenia danej kombinatorickej úlohy.

Literatúra

ČÁP, J. ,MAREŠ, J. Psychológie pro učitele. 2. vydanie, Praha: Portál, 2007. ISBN

978-80-7367-273-7.

JONES, G. A. et al. A framework for assessing and nurturing young children‘s thinking

in probability. Educational Studies in Mathematics. Vol.32, pp.101–125, 1997.

KASLOVÁ, M. Kombinatorické úlohy v (pre-)geometrii. In: Studia Scientifica

Facultatis Paedagogicae. Roč. 11, č. 4, s. 179-183, 2016. ISSN 1336-2232.

LOCKWOOD, E. A model of students’ combinatorial thinking. The Journal of

Mathematical Behaviour. Vol. 32, no. 2, pp. 251–265.

MOLNÁR, J., MIKULENKOVÁ,H. Matematika pro 2. ročník – 2. díl. Prodos. ISBN:

80-85806-88-6.

PAVLOVIČOVÁ, G. Obrázok ako didaktický prostriedok k tvorbe matematických

úloh. In: Matematika 5: Elementary Mathematics Education 2012, sborník

příspěvků z konference konané v Olomouci 25. - 27. 4. 2012. Olomouc :

Univerzita Palackého, 2012. ISBN 978-80-244-3048-5, p. 197-201.

PŘÍHONSKÁ, J., VILIMOVSKÁ, L.: Kombinatorické úlohy na první stupni základní

školy.In: Matematika 5: Elementary Mathematics Education 2012, sborník

příspěvků z konference konané v Olomouci 25. - 27. 4. 2012. Olomouc :

Univerzita Palackého, 2012. ISBN 978-80-244-3048-5, P. 197-201.

SCHOLTZOVÁ, I. Integrácia kombinatoriky do vyučovania matematiky na základnej

škole. MPC v Prešove, 2004. On line [8.2.2017]

http://www.mcpo.sk/downloads/Publikacie/PrirodPred/PPMAT200502.pdf.

VIDERMANOVÁ, K., MELUŠOVÁ,J., ŠUNDERLÍK,J. Metódy riešenia

matematických úloh. Nitra : UKF, 2013. ISBN 978-80-558-0032-5.

doc. PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD.

Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre

Tr. A. Hlinku 1, 94974 Nitra



101

Výchova tvořivého učitele

Educating a Creative Teacher

Šárka Pěchoučková

MESC: B55

Abstract

Creativity in mathematics can be understood as the creation of novel useful

products or as the discovery of novel procedures. In mathematics, students' creative

approach is cultivated using concrete tasks and methods; problem-based task solving,

employment of researcher-type tasks, solving of unconventional problems and game-

like activities are some of them. The actual process of inventing activities and putting

them into practice with pupils at schools is of a great importance as well. We will focus

on activities from geometry branch created by students of Elementary School Teaching

study programme.

Key words: Creativity, mathematics, didactics of mathematics, primary education.

Abstrakt

Tvořivost v matematice můžeme chápat jako tvorbu nových užitečných produktů

nebo jako objevení nových postupů. V matematice je tvořivý přístup studentů rozvíjen

prostřednictvím konkrétních úloh a postupů, ke kterým patří řešení problémových úloh,

zařazování úloh badatelského typu, řešení netradičních úloh nebo herní činnosti. Velký

význam má rovněž vlastní tvorba činností a jejich realizace se žáky ve školách.

Zaměříme se na to, jaké činnosti vytvořili studenti oboru Učitelství pro 1. stupeň

základní školy v oblasti geometrie.

Klíčová slova: Tvořivost, matematika, didaktika matematiky, primární vzdělávání.

1. Úvod

Při výuce didaktiky matematiky na vysokých školách se studentům snažíme

předat to nejlepší, co vytvořilo lidstvo v průběhu svého dlouhodobého vývoje. Aby

student uchopil danou matematickou látku s porozuměním, musí se tohoto procesu sám

aktivně zúčastnit. Jednou z možností je vytvořit mu podmínky pro uplatnění tvořivého

přístupu (Krejčová, 2011).

2. Tvořivost v matematice

Tvořivost vymezuje I. Lokšová jako „vytváření pro subjekt (jedince) nebo určitou

skupinu nových, užitečných řešení a produktů, a to při úlohách, které jsou spíše

heuristického (divergentního) nebo algoritmického (konvergentního) typu“ (Lokšová,

Lokša, 1999, s. 113). V Pedagogickém slovníku je tvořivost považována za „duševní

schopnost vycházející z poznávacích a motivačních procesů, v níž ovšem hrají důležitou


102

roli též inspirace, fantazie, intuice. Projevuje se nalézáním takových řešení, která jsou

nejen správná, ale současně nová, nezvyklá, nečekaná.“ (Průcha, Walterová, Mareš,

2003, s. 253-254). Obě tato pojetí odpovídají chápání tvořivosti v matematice. V prvním

případě (nazveme ho tvorba nových užitečných produktů) se tvořivý přístup uplatňuje

v didaktické oblasti při tvorbě konkrétních aktivit a forem práce, které můžeme zařadit

do vyučování matematiky, nebo při vytváření matematických úloh různého typu –

problémových, zajímavých, zábavných, jež vedou ke zvýšení motivace žáků a tím

i jejich zájmu o daný předmět. Tvorbě takových činností a úloh se studenti učí postupně

v průběhu celého studia.

V druhém případě (označíme ho jako objevení nových postupů) mohou studenti

při řešení matematických úloh najít takové postupy, které jsou nejen správné, ale

současně nové, netradiční, nečekané. Matematika je totiž předmět přímo předurčený pro

problémové a badatelské metody ve vyučování a zejména při objevování nových

poznatků se používá divergentní myšlení a heuristické postupy.

K metodám rozvíjení tvořivosti patří heuristické techniky a principy jako je

formulování otázek, produkování velkého počtu nápadů, návrhů a hypotéz řešení,

motivace k produkování nápadů, přehled údajů a jejich třídění, využití dosavadních

údajů a získávání dalších, přeformulování problému, překonání tradičního pohledu na

jevy, divoké nápady (neobvyklá řešení), spojování různorodých prvků, analogie, hlasitá

zjednodušení, bezděčná asociace, uložení problému, odložení řešení, klima pro tvoření

příznivých vnějších podmínek a herní činnosti (Honzíková, 2011).

V matematice je tvořivý přístup studentů rozvíjen prostřednictvím konkrétních

úloh a postupů, ke kterým patří:

řešení problémových úloh

zařazování úloh badatelského typu

řešení netradičních úloh

vlastní tvorba aktivit a jejich realizace ve školách

herní činnosti.

Při přípravě budoucích učitelů primárního vzdělávání na KMT FPE ZČU v Plzni

ve velké míře rozvíjíme tvořivý přístup našich studentů prostřednictvím vlastní tvorby

aktivit a jejich realizace ve školách. V následujícím textu uvedeme některé konkrétní

činnosti, které vytvořili studenti oboru Učitelství pro 1. stupeň základní školy.

3. Vlastní tvorba studentů

Prostorové tvary kolem nás

Didaktický cíl: žák vyhledá prostorové tvary ve svém okolí a prezentuje jejich

vlastnosti

Pomůcky: fotoaparát, mobilní telefon

Popis: Žáky rozdělíme do skupin. Úkolem žáků je přinést z domova různé věci

připomínající nějaká geometrická tělesa nebo je vyfotit ve svém okolí. Každá skupina

hledá jiný druh geometrického tělesa. Tělesa nebo fotografie žáci roztřídí a pojmenují.

Po roztřídění žáci společně ve skupině prezentují svoje těleso, jaké má geometrické

vlastnosti a kde ho můžeme nalézt nebo používat ve svém okolí.

Realizace se žáky: Činnost proběhla ve 3. ročníku základní školy. Žáci se rozdělili

do tří skupin podle těles (krychle-jehlan, kvádr-koule, válec-kužel). Všechny předměty,

které do školy žáci postupně nosili, byly ve třídě shromažďovány týden a až následně se

s nimi pracovalo. Nejlákavější částí pro žáky bylo focení těles. Fotili doma i venku na

procházce a „chytré mobily“ mohli použít i při vyučování. Když bylo nashromážděno


103

dostatek materiálu, jednotlivé skupiny prezentovaly svoji celotýdenní práci. Hovořily

o tom, jak se jim pracovalo, v čem měly problém, jaká byla spolupráce a popsaly

vlastnosti daných těles.

Skupina krychle-jehlan zajímavě a geometricky správně popsala svá tělesa.

Problém však měla s hledáním jehlanů v běžném životě. Nakonec se jí podařilo najít

jehlany na dětském hřišti u školy, i když jí jehlany jenom připomínaly. Skutečným

geometrickým tělesům neodpovídaly (obrázek 1).

Obrázek 1. Hledání krychlí a jehlanů (Pelánová, 2016, s. 23).

Druhá skupina kvádr-koule v hledání těles neměla žádný problém, nedokázala

však správně popsat kvádr. Při prezentaci jim museli pomoci ostatní. Spolužáci skupině

na modelu kvádru vysvětlili, jak se dá jednoduše zjistit počet hran, stěn i vrcholů.

Třetí skupina válec-kužel ve svém okolí kužel nenašla. Několik žáků ze skupiny

vyfotilo kužele ve svých domácnostech, ale nebyli si jisti, zda se o kužely skutečně

jedná. Po ujasnění vlastností geometrických těles poznali, že vybrané předměty

skutečným geometrickým tělesům odpovídají jenom částečně (obrázek 2). Válců žáci

našli poměrně hodně a uměli je též bez problémů popsat (Pelánová, 2016).

Obrázek 2. Hledání válců a kuželů (Pelánová, 2016, s. 24).

Sítě těles

Didaktický cíl: žák identifikuje prostorový útvar, vytváří si představu jeho sítě

Pomůcky: krabičky od potravin, předměty denní potřeby, papír formátu od A4 do A0,

tužka, nůžky

Popis: Úkolem žáka je přinést z domova papírové nebo plastové krabičky od různých

potravin, které jim připomínají nějaká geometrická tělesa. Mohou využít i drobné

předměty. Se žáky nejdříve společně hledáme společné znaky jednotlivých předmětů

a řekneme si, která tělesa nám připomínají. Poté se žáci pokusí jakýmkoliv způsobem

„obkreslit“ předmět na list papíru. Kontrolu provádějí žáci složením tělesa ze sítě. Po


104

skončení práce společně zkontrolujeme splnění úkolu. Žáci popíší své strategie řešení

a dojdeme k závěru, že jsme vytvářeli sítě těles.

Realizace se žáky: Činnost proběhla v 5. ročníku základní školy. Žáci přinesli krabičky

od čaje, krabici od kukuřičných lupínků, kostky cukru, knihu, tuhé lepidlo (v tubě)

a sbalený deštník. Po společném úvodu, kdy jsme si uvedli geometrické vlastnosti

jednotlivých předmětů a řekli jsme si, jaká tělesa nám připomínají, se žáci pokusili

vytvořit sítě těles. Žáci, kteří používali kostku cukru, ji přitiskli na papír a obkreslili

jednu stěnu. Pak kostku převrátili a obkreslili další stěnu. Stejným způsobem

pokračovali dál. Zdůvodňovali to tím, že když se hodí hrací kostkou, tak se také

převrací. Jeden žák tímto způsobem nakreslil devět stěn, jedna žákyně měla správný

počet stěn, ale podle nákresu se těleso nedalo složit. Další žákyně pracovala s knihou

a do sítě nakreslila o dvě stěny více. Po kontrole správnosti sítě skládáním těles obě

žákyně chyby odstranily, žákovi se to však nepodařilo. Žákyně, která vytvářela síť válce

pomocí lepidla v tubě, nejprve nakreslila jednotlivé stěny odděleně, ale vzápětí nákres

překreslila. Zdůvodnila to tím, že i tuba lepidla je spojená (Janoušková, 2016).

V obou výše uvedených případech se jednalo z hlediska tvořivosti studentů

o tvorbu nových užitečných produktů. Činnost Sítě těles vedla u žáků také k objevení

nových postupů, neboť používali různé strategie při vytváření sítí jednotlivých těles

pomocí konkrétních předmětů.

4. Závěr

Výchova k tvořivosti jako součást rozvoje dítěte a žáka je obsažena ve všech

současných školních dokumentech. Je tedy třeba, abychom i my na vysokých školách

vytvářeli vhodné prostředí pro uplatňování tvořivosti studentů.

Literatura

HONZÍKOVÁ, J. Úroveň tvořivých schopností na základní škole, subjektivní

předpoklady a objektivní podmínky rozvoje tvořivosti. In: PĚCHOUČKOVÁ, Š.

ed. Tvořivost v počátečním vyučování matematiky. Plzeň: ZČU v Plzni, 2011,

s. 9-23. ISBN 978-80-7043-992-0.

JANOUŠKOVÁ, Š. Užití manipulace ve výuce geometrie [závěrečná práce]. Plzeň:

Západočeská univerzita v Plzni, 2016.

KREJČOVÁ, E. Proč a jak napomáhat rozvíjení tvořivosti žáků v hodinách matematiky

na 1. stupni základní školy. In: PĚCHOUČKOVÁ, Š. ed. Tvořivost v počátečním

vyučování matematiky. Plzeň: ZČU v Plzni, 2011, s. 120-124.

ISBN 978-80-7043-992-0.

LOKŠOVÁ, I., LOKŠA, J. Pozornost, motivace, relaxace a tvořivost dětí ve škole.

Praha: Portál, 1999. ISBN 80-7178-205-X.

PELÁNOVÁ, J. Rozvoj prostorové představivosti na 1. stupni ZŠ prostřednictvím

didaktických her [závěrečná práce]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2016.

PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E., MAREŠ, J. Pedagogický slovník. Praha: Portál, 2003.

ISBN 978-80-7367-246-1.

PhDr. Šárka Pěchoučková, Ph.D.

KMT FPE ZČU v Plzni

Klatovská 51, 306 14 Plzeň



105

Aktivizace výuky matematiky na 1. stupni ZŠ

Activation of pupils in Mathematics lessons on primary school

Jaroslav Perný

MESC:

Abstract

The contribution deals with specific options how to help students - future primary

school teachers - to get rid of their fear of Mathematics and show them that teaching

Mathematics can be creative and interesting for both pupils and teachers. The teaching

of geometry and the usage of active forms of education is mentioned, e.g. didactic

games, mathematical competitions and fairy-tales and projects.

Key words: geometry, activation, didactic games, mathematical competitions and fairy-

tales, projects.

Abstrakt

Příspěvek se zabývá některými možnostmi, jak napomoci studentům-budoucím

učitelům 1. stupně ZŠ odstranit jejich častou obavu z matematiky a ukázat jim, že výuka

matematiky může být tvůrčí a pro žáky i je samotné zajímavá. Zmínil bych zde výuku

geometrie a využití aktivizujících forem ve výuce, jako didaktické hry, matematické

soutěže a pohádky a projekty.

Klíčová slova: geometrie, aktivizace, didaktické hry, matematické soutěže a pohádky,

projekty.

1. Úvod

Je známo, že v současné době v Česku, v souvislosti s otázkou státní maturity

z matematiky, se ze strany institucí, zdůrazňuje potřeba změny způsobu a přístupu k její

výuce. Nejen na všech stupních škol, ale i ve vysokoškolské přípravě učitelů. Dosavadní

způsob je prý nedostatečný.

Nedaří se řešit problém, jaká má být úroveň maturity z matematiky, zda

„gymnaziální“ či „průchodná“ i pro ostatní typy středních škol.

Současně ale nastává problém nedostatku učitelů matematiky (také informatiky,

fyziky a chemie), takže matematiku na 2. stupni ZŠ učí např. učitelé českého jazyka, či

jiných předmětů.

Domnívám se, že bude velmi těžké tuto situaci řešit.


106

2. Hlavní část

Výzkumy ukazují, že u žáků 1. stupně ZŠ patří matematika mezi oblíbené

předměty, většinou hned po tělesné výchově. Pokud je neoblíbená, má na tom velký

podíl vyučující. Domnívám, že je nutné u našich studentů-budoucích učitelů primární

školy odstranit strach z matematiky, který si často přinášejí a ukázat jim matematiku

jinou, zajímavou, aby sami mohli tvořivě využít širokého potenciálu, který jim dává

jejich předmětová všestrannost.

Snažíme se, aby naši studenti-budoucí učitelé primární školy tvořivě přistupovali

k některým oblastem:

a. Výuka geometrie. Změnit představu většiny studentů, že geometrie je jen

rýsování, počítání obvodů a obsahů, převody jednotek a zlobení se

s rýsovacími pomůckami. Že je to především vytváření matematických pojmů

a struktur manipulací s geometrickými pojmy a vztahy mezi nimi, rozvíjení

geometrické představivosti v rovině i prostoru, především formou

manipulativních činností, her, řešením problémů, hádanek a hlavolamů.

b. Didaktické hry. Velmi účinný prostředek pro aktivizaci žáků, který u nich

může napomoci zvýšení obliby, ale i úspěšnosti matematiky. Didaktická hra,

jako přirozená činnost mladších žáků, bývá velmi účinná a efektivní. Žáci si při

ní ani neuvědomí, že se vlastně i učí. Problémem bývá někdy malá znalost

didaktických her u učitelů.

c. Matematické soutěže třídní a mezitřídní, mimo vyučování. Můžou vyvolat

zájem žáků, zejména těch úspěšnějších a nasměrovat je k matematice. Bývají

více kolové, např. v pohádkovém prostředí, buď ve třídě, nebo mezi třídami,

kde je vhodné zařadit i úlohy lehčí, protože i slabší žáci můžou napomoci

k vítězství své třídy.

d. Matematické projekty. Pro žáky velmi efektivní, ale pro učitele pracné jsou

projekty. Nejen přímo matematické, ale zejména více předmětové, kde mohou

budoucí učitelé primární školy využít svých vše předmětových kompetencí a

využít úspěšně mezipředmětových vztahů.

e. Matematické pohádky. Zadání běžných úloh může být ve formě pohádkového

příběhu, který žáky lépe motivuje ke snaze o pomoci např. Princezně, při

řešení, nebo jsou přímo „zataženi“ do příběhu. Většinou se jedná o úlohy

k opakování, cenné, ale obtížnější jsou pohádky výkladové, zavádějící nový

pojem či vlastnost.

Je řada dalších možností, které by mohly matematiku udělat poutavější a

zajímavější. Někteří učitelé 1. stupně ZŠ je nevyužívají, nevědí o nich. Bohužel se tímto

způsobem často nepokračuje na 2. stupni ZŠ.

3. Některé ilustrační grafy

K předchozím oblastem přikládám několik ilustračních grafů, ukazujících

výsledky některých výzkumů.

Výuka matematiky

Oblíbenost vyučovaných předmětů.

Vzorek 178 vyučujících 1. stupně ZŠ, z toho 6 mužů. Nejoblíbenější předmět

1 – nejméně 10. Matematika na 2. místě. 61,5 % učí MA rádo, 37,5 % nevadí jim a

pouze 1 % ji vyučuje nerado.


107

Výuka geometrie

Co pro mě znamená, když se řekne výuka školní geometrie.

Vzorek 178 vyučujících 1. stupně ZŠ, z toho 6 mužů. Nejvíce zabírají starosti ne

geometrické, s pomůckami, nepěkné pocity, stres. Poměrně málo zůstává na činnosti

jako práce s modely, hry, hádanky, práce s grafy.

Didaktické hry

Oblíbenost matematiky před častějším zařazováním didaktických her do výuky a po

něm.

Vzorek 73 žáků 1. stupně ZŠ, experimentální třída 36, kontrolní třída 37 žáků,

4. ročník.

23%

11%

14% 27%

6% 19%

A - geometrie v rovině

B - výpočty, měření

C - geometrie v prostoru

D - pomůcky a práce s nimi

E - práce s modely, hry,hádanky, grafyF - nepěkné pocity, stres,

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

Kontr. tř. před DH - dívky

Kontr. tř. po DH - dívky

Kontr. tř. před DH - hoši

Kont. tř. po DH - hoši

Exp. tř. před DH - dívky

Exp. tř. po DH - dívky

Exp. tř. před DH - hoši

1,9 2,6

5,5 5,7 5,5

4,1 4,5 4,9

6,2

4,6

0

1

2

3

4

5

6

7

Předměty

Oblíbenost vyučovaných předmětů Čj M

Pč Tv

Cj Prv

Vl Př

Hv

Vv


108

U dívek a chlapců z tříd kontrolní skupiny se oblíbenost matematiky příliš

nezměnila. U chlapců a hlavně pak u dívek z experimentální skupiny je očividné

zvýšení obliby matematiky po zařazování didaktických her.

Matematické soutěže (Mat a Matynka)

Úspěšnost více kolové soutěže mezi 3. ročníky městské a vesnické školy s úlohami i

pro slabší žáky

Celková úspěšnost městské (Lit) i venkovské školy (Kře) byla v podstatě

srovnatelná. Rozdíly v jednotlivých kolech vznikly pravděpodobně rozdílným důrazem

učitelů na některé oblasti učiva. Soutěž byla dobrovolná a zúčastnilo se 60 % žáků

městské školy a 100 % žáků venkovské.

Matematický projekt

Úspěšnost žáků v testu před projektem a v testu po projektu.

Vzorek 120 žáků 1. stupně ZŠ z 5 škol. Úlohy výstupního testu 2 byly obdobné

vstupnímu testu 1.

Úspěšnost dívek, chlapců, celkem test 1 Úspěšnost dívek, chlapců, celkem test 2

Z grafů je patrné, že po realizaci projektu, došlo ke zlepšení úspěšnosti při řešení

úloh testu 2 oproti testu 1.

3. Závěr

Uvedenými grafy chci naznačit, že snaha zaměřit naše studenty na výše zmíněné

oblasti potvrzuje zmíněnou aktivizaci žáků primární školy a jejich zlepšování. Tyto

výsledky mají u studentů dobrou odezvu a napomáhají kladně ovlivnit jejich vztah

75 79

77

0102030405060708090

100

úl.1 úl.2 úl.3 úl.4 prům

dív chl celk

83 86

84

0102030405060708090

100

úl.1 úl.2 úl.3 úl.4 prům

dív chl celk


109

k matematice, který se projevuje větším počtem diplomových prací z matematiky,

i lepší spoluprací našich absolventů s fakultou při řešení projektů ESF, kde je třeba

účasti učitelů z praxe.

Literatura:

KRÁSNÁ, J.: Didaktické hry a jejich využití při výuce matematiky na 1. stupni ZŠ. DP.

TU v Liberci, 2013.

PERNÝ, J.: Tvořivostí k rozvoji prostorové představivosti. 2. vyd. TU v Liberci, 2016

ZLATNÍKOVÁ, R.: Situačně orientované slovná úlohy v primární matematice. DP. TU

v Liberci, 2016.

Jaroslav Perný, doc. PaedDr., Ph.D.


FP TU v Liberci



110

Interaktívne aplikácie na riešenie slovných úloh z matematiky

pre 1. stupeň ZŠ

Interactive Applications for Word Problems from Mathematics at Primary Schools

Milan Pokorný

MESC: U72

Abstract

The paper deals with efficient utilization of modern information and

communication technologies in mathematics teaching at the first grade of primary

schools. The author characterizes interactive applications for word problems from

mathematics. The applications, that are suitable for 6 to 10 years old pupils, can be

utilized in classrooms in a combination with interactive whiteboards, as well as for

voluntary activities of pupils at school clubs or as a part of their homework.

Key words: ICT in education, word problems, interactivity, interactive whiteboard,

mathematics teaching.

Abstrakt

Článok sa zaoberá efektívnym využitím moderných informačných a

komunikačných technológií vo vyučovaní matematiky na prvom stupni základných

škôl. Autor článku charakterizuje interaktívne aplikácie, ktoré sú primárne určené na

nácvik riešenia slovných úloh. Tieto aplikácie, ktoré sú vhodné najmä pre žiakov prvého

stupňa základnej školy, môžu byť využívané počas vyučovacích hodín v kombinácii s

interaktívnou tabuľou, ale najmä pre samostatnú prácu žiakov, či už v rámci školských

klubov detí alebo domácej prípravy na vyučovanie.

Kľúčové slová: IKT vo vyučovaní, slovné úlohy, interaktivita, interaktívna tabuľa,

vyučovanie matematiky.

1. Úvod

V súčasnej dobe zaznamenávame masový prienik moderných technológií do

vzdelávania na všetkých typoch škôl, vrátane základných. Ministerstvo školstva, vedy,

výskumu a športu Slovenskej republiky realizuje okrem iných projektov aj projekt

DIGIPEDIA 2020. Medzi ciele projektu okrem iného patrí zabezpečiť do roku 2020

digitálne vzdelávacie a učebné pomôcky v každej triede v materských, základných,

stredných a vysokých školách a adekvátne koncové zariadenie umožňujúce digitálne

vzdelávanie pre každého žiaka, ako aj plne digitalizované učivo a vzdelávacie nástroje

dostupné vo všetkých školách na Slovensku. (pozri Koncepcia informatizácie rezortu

školstva s výhľadom do roku 2020 – DIGIPEDIA 2020)

V prospech integrácie moderných technológií do vzdelávania hovoria výsledky

mnohých výskumov zameraných na efektívnosť využitia týchto technológií


111

vovyučovaní. Mnohé výskumy preukázali, že vhodné použitie moderných technológií

vo vyučovaní matematiky dokáže zvýšiť úroveň vedomostí žiakov a zlepšiť ich vzťah

k matematike. V poslednej dobe sa okrem e-learningu či blended learningu spomína aj

m-learning. Ako uvádzajú Hanzel a Voštinár (2015), ak vychádzame z myšlienky J. A.

Komenského, že školské hry sú efektívna forma vzdelávania, mohlo by sa zdať vhodné,

aby používanie tabletov a mobilných telefónov slúžilo ako spojenie medzi hrou

a výučbou matematiky.

Vybavenie škôl kvalitným hardvérom je nutnou podmienkou pre efektívne

využívanie moderných technológií vo vyučovaní matematiky, nie však postačujúcou.

Plne súhlasíme so Žilkovou (2014), ktorá tvrdí, že kvalita elektronického vzdelávania je

determinovaná predovšetkým kvalitným e-obsahom.

Je nesporné, že nemožno predpokladať, že si budú učitelia hromadne pripravovať

interaktívne vzdelávacie materiály použiteľné na interaktívnych tabuliach či

na koncových zariadeniach žiakov sami. Skúsenosti s prípravou profesionálnych

produktov totiž ukazujú, že na to treba skupinu odborníkov z viacerých oblastí. Naviac,

množstvo prác je programovacieho charakteru. Odkiaľ teda vziať vhodné interaktívne

aplikácie použiteľné vo vyučovaní matematiky? Jedným z hlavných zdrojov je Internet,

kde skutočne nájdeme obrovské množstvo aplikácií, ktoré sú podľa stránok, na ktorých

sa nachádzajú, určené pre použitie na hodinách matematiky. Tu sa však učiteľ stretne

s viacerými problémami. Prvým z nich je jazyková bariéra. Je totiž pochopiteľné, že

väčšina aplikácií na Internete nie je v slovenčine, prípadne češtine. Jazyková bariéra je

pritom najsilnejšia pri použití na prvom stupni základnej školy. Ďalším problémom je

stupeň interaktivity vzdelávacích materiálov z Internetu. V mnohých prípadoch sú to iba

dokumenty vo formáte doc či pdf, takže o interaktivite nemožno ani uvažovať. Ďalšie

z nich zasa maximálne poskytnú spätnú väzbu o správnosti či nesprávnosti riešenia,

avšak pri nesprávnom riešení sa nesnažia naviesť žiaka na správne riešenie. Takúto

mieru interaktivity možno iba ťažko považovať za dostatočnú. Mnohé aplikácie naviac

zakaždým pracujú s tými istými zadaniami vrátane číselných údajov, takže sú

použiteľné iba jednorazovo. No a v neposlednej rade je otázkou didaktické spracovanie

aplikácií, ktoré je častokrát na nepostačujúcej úrovni. Z uvedeného vyplýva, že nájdenie

dostatočného počtu kvalitných interaktívnych aplikácií použiteľných pri vyučovaní

matematiky predstavuje pre učiteľa pomerne veľký problém. Aby sme tento problém

aspoň trochu zmenšili, rozhodli sme sa pripraviť interaktívne aplikácie efektívne

použiteľné pri vyučovaní matematiky na prvom stupni.

2. Interaktívne aplikácie pre riešenie slovných úloh

V tejto časti uvedieme charakteristiku nami pripravených interaktívnych aplikácií

pre nácvik riešenia slovných úloh z matematiky na prvom stupni základnej školy.

Jedným z dôležitých cieľov vyučovania matematiky na prvom stupni základnej

školy je, aby sa žiaci naučili správne riešiť slovné úlohy primeranej náročnosti. Podľa

nášho názoru, pri nácviku ich riešenia je možné využiť potenciál interaktívnych

aplikácií. Aby sme poskytli učiteľom na prvom stupni základných škôl interaktívne

aplikácie k tejto téme, vytvorili sme zbierku pozostávajúcu z 10 interaktívnych aplikácií

zameraných na nácvik riešenia slovných úloh. Zbierka je verejne dostupná na adrese

http://pdf.truni.sk/pokorny/slovne_ulohy/.

Čím sa líšia aplikácie v tejto zbierke od väčšiny iných aplikácií na Internete?

V prvom rade je to tým, že aplikácie sú rozdelené podľa typu slovnej úlohy, čo

umožňuje učiteľovi precvičovať práve ten typ úloh, ktorý práve potrebuje. Typy

slovných úloh sú:


112

Jednoduché slovné úlohy typu A+B,

Jednoduché slovné úlohy typu A-B,

Jednoduché slovné úlohy typu A.B,

Jednoduché slovné úlohy typu A:B,

Jednoduché slovné úlohy typu o x viac, o x menej,

Jednoduché slovné úlohy typu x-krát viac, x-krát menej,

Zložené slovné úlohy typu A+(A+B), A+(A-B),

Zložené slovné úlohy typu A+(A.B), A+(A:B),

Zložené slovné úlohy na delenie celku na dve nerovnaké časti,

Zložené slovné úlohy na delenie celku na dve časti v pomere 1:X.

Druhou výhodou našich interaktívnych aplikácií je spätná väzba, ktorá sa

v prípade nesprávneho výsledku snaží naviesť žiaka na správny postup riešenia úlohy.

Táto spätná väzba je zobrazená na obrázku 1. Po zadaní nesprávneho výsledku žiakom

sa ho aplikácia postupne pýta, či porozumel zadaniu, pričom riešenie rozdelí na tri

jednoduchšie kroky. V prvom kroku tak žiak zadá, koľko Eur stála bábika, v druhom,

koľko Eur stojí lego a v treťom, koľko Eur stojí celý nákup. Ak by žiak mal aj pri takto

zjednodušenom postupe problém, môže si pomôcť tlačidlom Pomôž mi a doplň za mňa

odpoveď, ktoré doplní odpoveď do práve riešeného kroku, aby žiak pokračoval v riešení

úlohy ďalej samostatne. Učiteľ má zasa k dispozícii spätnú väzbu o tom, koľko úloh

ktorý žiak vyriešil bez chyby a koľko úloh vyriešil s pomocou interaktívnej aplikácie.

Obrázok 1. Spätná väzba po zadaní nesprávneho výsledku.

Treťou výhodou interaktívnych aplikácií je skutočnosť, že úlohy v nich nemajú

vopred určené poradie ani číselné vstupy, ale sa náhodne generujú. To zabezpečuje

skutočne samostatnú prácu žiakov, lebo každý žiak má na svojom koncovom zariadení

inú úlohu s inými číslami, takže výsledok nie je od koho odpísať. Pri opätovnom

spustení sa potom samozrejme generujú úlohy v inom poradí a s inými číslami, čo

zabezpečuje možnosť viacnásobného použitia aplikácií.

Medzi ďalšie pozitíva nami vytvorenej zbierky zaraďujeme:

jednoduché ovládanie, ktoré nerobí problémy ani žiakom prvého stupňa ZŠ,


113

zhodu s požiadavkami na vedomosti žiaka so štátnym vzdelávacím

programom,

vďaka slovenčine nie je v aplikáciách žiadna jazyková bariéra,

každý žiak pracuje vlastným tempom,

je možné pracovať so žiakmi individuálne, a to tak, že ak žiak nemá problém

s riešením daného typu slovných úloh, možno mu spustiť interaktívnu

aplikáciu s úlohami zložitejšieho typu,

vďaka možno už zastaranému typu aplikácií (exe súbory) ich možno spustiť na

interaktívnych tabuliach rôznych výrobcov, ako aj na koncových zariadeniach

s rôznymi verziami operačného systému Windows (starších aj novších,

s pripojením na Internet i bez neho),

žiaci dokážu a aplikáciami pracovať aj bez prítomnosti učiteľa, čo umožňuje

ich použitie najmä mimo vyučovacej hodiny, či už v rámci domácej prípravy

alebo v škole počas krúžkov či ŠKD.

3. Záver

Je nesporné, že integrácia moderných technológií dokáže urobiť vzdelávací proces

zaujímavejší, pútavejší a efektívnejší. V článku sme opísali zbierku interaktívnych

aplikácií na nácvik riešenia slovných úloh na 1. stupni ZŠ. Sme presvedčení, že tieto

aplikácie môžu byť pre žiakov základných škôl užitočné. Napriek tomu však zbierku

nepovažujeme za uzavretú. Naďalej ju plánujeme postupne rozširovať o ďalšie typy

slovných úloh. Taktiež sme si vedomí, že by bolo potrebné experimentálne overiť

prínos rôznych spôsobov použitia aplikácií na žiakoch 1. stupňa základných škôl, čo sa

nám zatiaľ nepodarilo realizovať.

Poďakovanie: Článok vznikol aj vďaka podpore grantu KEGA 003TTU-4/2015.

Literatúra

MŠVVaŠ SR. DIGIPEDIA 2020 Koncepcia informatizácie rezortu školstva s výhľadom

do roku 2020. Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej

republiky, 2013. Dostupné na internete:

<http://www.minedu.sk/data/att/4796.pdf >.

VOŠTINÁR, P., HANZEL, P. Mobile application – a tool for teachers, pupils and their

families. APLIMAT 2016 - 15th Conference on Applied Mathematics 2016,

Proceedings, 2016, 1118-1125. ISBN 978-802274531-4.

ŽILKOVÁ, K. Prednosti a riziká vzdelávania prostredníctvom e-learningového kurzu

manipulačná geometria. XXVI. DIDMATTECH 2013: New Technologies in

Science and Education: International scientific and professional conference.

University of West Hungary, Györ, 2014, 222-227. ISBN 978-963-334-184-1.

PaedDr. Milan Pokorný, PhD.

Trnavská univerzita, Pedagogická fakulta

Priemyselná 4, P.O.BOX 9, 918 43 Trnava



114

Exekutívne funkcie v matematike v primárnom vzdelávaní

Executive functions in primary mathematics

Alena Prídavková, Edita Šimčíková, Blanka Tomková

MESC: C32, D32, Q32

Abstract

Executive functions are mental processes that manage, control and organise

cognitive processes. They constitute the basic level of mental functioning. Mathematics

as a school subject with its content is a resource of ideas for creating a collection of

tasks that can be applied as regular intervention to stimulate not only pupil’s thinking

and the ability to learn but also his/her metacognition. The paper outlines the basis for

developing a program aimed at stimulating executive functions in the pupils of the 4th

grade in primary education. The paper also offers the results of the content analysis of

the selected curricular documents in mathematics and cognitive characteristic of some

mathematical tasks. The program is being developed and will be experimentally verified

within the scope of the APVV-15-0273 grant scheme project.

Key words: Executive Functions. Mathematical Education. Primary level of education.

Stimulation Program.

Abstrakt

Exekutívne funkcie sú mentálne procesy, ktoré riadia, kontrolujú a organizujú

kognitívne procesy. Predstavujú základnú úroveň mentálneho fungovania. Matematika

ako učebný predmet a jej obsah predstavuje zdroj námetov na tvorbu súboru úloh,

ktorými je možné pri pravidelnej intervencii stimulovať nielen myslenie, schopnosť učiť

sa, ale aj metakogníciu žiakov. V príspevku sú predstavené základné východiská pre

tvorbu programu určeného na stimuláciu exekutívnych funkcií u žiakov 4. ročníka

primárneho stupňa vzdelávania. Prezentované budú výsledky obsahovej analýzy

kurikulárnych dokumentov z matematiky a charakteristika matematických úloh

z pohľadu ich kognitívnej náročnosti. Program je vytváraný a bude experimentálne

overený v rámci riešenia grantového projektu APVV-15-0273.

Kľúčové slová: Exekutívne funkcie. Matematická edukácia. Primárny stupeň

vzdelávania. Stimulačný program.

1. Úvod

Exekutívne funkcie predstavujú mentálne procesy, ktoré riadia a kontrolujú

procesy na úrovni kognície. Žiak s nedostatočne rozvinutým exekutívnym fungovaním

môže mať v škole problémy vo viacerých oblastiach (Kovalčíková, Ropovik 2012, In

Brajerčík et al., 2015): neschopnosť zamerať a udržať pozornosť, neschopnosť podržať


115

v pamäti informácie, problémy pri monitorovaní a regulácii výkonu, neschopnosť

plánovať kroky vopred, neschopnosť generovať a implementovať stratégie,

neschopnosť učiť sa z chýb. Deficity v procese učenia sa (v procese založenom na

spracovávaní podnetov, ich následnej organizácii, usporiadaní a zautomatizovaní

osvojených schopností) môžu byť v niektorých prípadoch pripísané deficitom

v žiakovom exekutívnom fungovaní (Brajerčík et al., 2015). Cielená intervencia zo

strany psychológa alebo učiteľa môže výrazne zvýšiť úspešnosť žiaka v škole.

Úspešnosť pri riešení matematických úloh vyžaduje od žiakov zapojenie mnohých

exekutívnych a kognitívnych funkcií. Žiaci musia porozumieť zadaniu úlohy, zapamätať

si potrebné údaje, ako aj výsledky čiastkových operácií. Pri riešení je často potrebné

stanoviť vhodnú stratégiu postupu, naplánovať adekvátnu nadväznosť jednotlivých

krokov a priebežne kontrolovať a regulovať zvolené postupy. Všetky tieto elementy

procesu riešenia matematickej úlohy vyžadujú zapojenie exekutívnych funkcií ako je

kontrola pozornosti, pracovná pamäť, plánovanie a sebaregulácia.

Cieľom vyučovania matematiky by malo byť, okrem osvojenia si obsahu, aj

vytváranie podmienok edukácie tak, aby mali všetci žiaci príležitosť: riešiť problémy,

zdôvodňovať a dokazovať - matematika by mala byť orientovaná na zdôvodňovanie, nie

na memorovanie, komunikovať - v matematike by mali mať žiaci priestor na

komunikovanie matematických myšlienok použitím rôznych reprezentácií, hľadať

súvislosti a vytvárať reprezentácie vychádzajúce z reálneho života (Harmon – Jones,

2005).

Aj tieto skutočnosti predstavujú východiská pre tvorbu stimulačného programu

kreovaného na kurikulárnom základe matematiky, čo je jedným z cieľov výskumného

projektu APVV-15-0273 Experimentálne overovanie programov na stimuláciu

exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej

dochádzky) – kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka, ktorý je

riešený na Pedagogickej fakulte PU v Prešove. Projekt vychádza z výsledkov skúmania

realizovaného v ostatných 10 rokoch. V oblasti kognitívnej edukácie je vytvorených

mnoho programov kognitívnej intervencie a stimulácie (Kovalčíková et al., 2016,

s. 140-141), ktoré sú kurikulárne orientované, ale na druhej strane existuje málo

zdrojov, ktoré dokumentujú ich aplikáciu do edukačnej praxe. V príspevku

prezentujeme čiastkové výsledky výskumu realizovaného za účelom tvorby programu

na stimuláciu exekutívnych funkcií prostredníctvom úloh z matematiky.

2. Obsahová analýza kurikulárnych dokumentov z matematiky

Cieľom prvej etapy výskumu bolo realizovať obsahovú analýzu kurikulárnych

dokumentov z matematiky na Slovensku. Analýza bola zameraná na identifikáciu

požiadaviek na vedomosti a zručnosti žiakov a na obsah matematického poznania,

v primárnom a nižšom sekundárnom stupni vzdelávania. Ďalšie výsledky analýzy

kurikulárnych dokumentov z matematiky z hľadiska stimulácie kognitívnych

a exekutívnych funkcií žiakov primárneho stupňa vzdelávania uvádzajú Šimčíková

a Tomková (2016).

Predmet matematika v primárnom stupni vzdelávania má podľa Štátneho

vzdelávacieho programu pre primárne vzdelávanie (2015): (1) budovať základy

matematickej gramotnosti žiakov, (2) rozvíjať kognitívne oblasti (vedomosti, aplikáciu

vedomostí, zdôvodňovanie). Pri získavaní nových poznatkov z matematiky sa odporúča,

okrem iného, využívať aplikáciu rôznych spôsobov reprezentácie matematického

obsahu. Z hľadiska akceptácie rozvoja kognitívnych funkcií, resp. rozvoja exekutívnych

funkcií žiakov, boli z kurikulárneho dokumentu vybrané iba tie ciele predmetu, ktoré

spĺňali požiadavky: používať matematiku ako jeden z nástrojov na riešenie problémov


116

z reálneho života, rozvíjať zručnosti súvisiace s procesom učenia sa a rozvíjať

poznávacie procesy a myšlienkové operácie.

Na základe analýzy spomínaných dokumentov boli vyšpecifikované tematické

celky v predmete matematika, ktoré svojím obsahovým zameraním predstavujú

fundament pre vytváranie modelov tých matematických pojmov, ktoré sú v primárnom

stupni vzdelávania prezentované na propedeutickej úrovni a na vyšších stupňoch

vzdelávania predstavujú dôležité východisko pre budovanie kľúčových matematických

konceptov. Pre tvorbu stimulačného programu boli vybrané tie oblasti obsahu

matematického vzdelávania, ktorých charakter zodpovedá projektovým cieľom:

Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické

myslenie (postupnosti, kombinatorika, výroková logika).

Čísla a operácie s prirodzenými číslami.

Geometria (základné geometrické útvary, orientácia v priestore a v rovine).

Do kreovaného stimulačného programu sú postupne zaraďované úlohy, ktoré sú

z pohľadu matematiky orientované na uvedené oblasti kurikula.

3. Kognitívna náročnosť úloh z matematiky

Úlohy vybrané na zaradenie do stimulačného programu určeného pre

slaboprospievajúcich žiakov 4. ročníka ZŠ, z vyšpecifikovaných oblastí obsahu

matematiky, boli analyzované z pohľadu ich kognitívnej náročnosti, ako aj z hľadiska

ich účelnosti pri stimulácii exekutívnych funkcií (v procese riešenia úlohy). Zaradené

boli do rôznych úrovní kognitívnej náročnosti (podľa teórie M. K. Stein, 2009) a ďalej

bola realizovaná ich klasifikácia na základe prioritne stimulovanej exekutívnej funkcie.

V matematike nie je jednoduché vytvoriť úlohu tak, aby bola primárne zameraná na

stimuláciu len jednej exekutívnej funkcie. Na základe výsledkov predchádzajúcich

výskumov boli úlohy vyberané, vytvárané a preformulovávané tak, aby v procese ich

riešenia boli stimulované exekutívne funkcie: kontrola pozornosti, pracovná pamäť,

plánovanie a sebaregulácia.

V nasledujúcej časti predstavíme koncept kognitívna náročnosť úlohy. Úrovne

kognitívnej náročnosti úlohy odrážajú myšlienkové procesy žiaka prítomné pri vnímaní

a riešení úlohy od zapamätania si, cez použitie postupov a algoritmov v prepojení aj bez

prepojenia na pojmy, ich porozumenie a význam. Stein (2009) klasifikovala

matematické úlohy, podľa kognitívnej náročnosti, do štyroch skupín. Medzi úlohy s

nižšou kognitívnou náročnosťou zaraďuje úlohy na zapamätanie si (1. Memorization)

a úlohy vyžadujúce úkony bez prepojenia (2. Procedures without Connections).

K úlohám s vyššou kognitívnou náročnosťou patria tie, ktoré vyžadujú úkony

s prepojením (3. Procedures with Connections) a matematické úlohy, problémy

(4. Doing Mathematics).

1. Memorization: ide o reprodukovanie naučených faktov, pravidiel, ako aj ukladanie

nových vedomostí do pamäte. Úlohy na tejto úrovni majú konvergentný charakter

a môžeme tu zaradiť napríklad počítanie spamäti využitím zautomatizovaných

spojov, určenie obvodu geometrických útvarov (použitím vzorcov).

2. Procedures without Connections: zahŕňajú algoritmické používanie formulácií

a postupov na základe priamej inštrukcie či predchádzajúcej skúsenosti žiaka bez

ďalšej nadväznosti na problém a jeho pochopenie. Ide o úlohy, ktoré sú zamerané na

produkciu správnych odpovedí, ako napríklad slovné úlohy, ktorých riešenie využíva

presne daný postup, úlohy na precvičenie výpočtu obvodov rovinných

geometrických útvarov.

3. Procedures with Connections: sú charakteristické uvedomelým používaním

formulácií, algoritmických postupov a stratégií v nadväznosti na matematický


117

problém a jeho hlbšie pochopenie. Úlohy na tejto úrovni sú reprezentované

množstvom rôznych pohľadov na problém, čo prispieva k pochopeniu

matematických vzťahov a súvislostí.

4. Doing Mathematics: úlohy na tejto úrovni požadujú pre ich úspešné riešenie

komplexné uvažovanie o probléme. Od žiakov sa vyžaduje objavenie stratégie

riešenia vyplývajúcej z pochopenia podstaty problému. Objavenie stratégií vyžaduje

aj autoreguláciu vlastných myšlienkových postupov a vynaloženie kognitívnej

námahy pri nepredvídaných krokoch riešenia úlohy, ako aj vysvetlenie – verbalizáciu

použitej stratégie pri hľadaní riešenia.

4. Záver

Na základe obsahovej analýzy kurikulárnych dokumentov a kognitívnej analýzy

úloh boli jednotlivé úlohy zaradené do stimulačného programu tak, aby vytvárali

doménovo špecifické moduly. Každý modul je zameraný na jednu z identifikovaných

tém matematického kurikula a v procese postupného zadávania úloh sú stimulované

vyššie spomenuté exekutívne funkcie (prioritne jedna). Súčasťou každej úlohy vo

všetkých moduloch sú, okrem kognitívnej inštrukcie, aj otázky zamerané na stimuláciu

metakognitívnych schopností žiaka. V procese stimulácie budú okrem kognitívnych

a exekutívnych funkcií rozvíjané aj metakognitívne stratégie, ktoré predstavujú dôležitý

element pri rozvoji myslenia a schopnosti učiť sa. Cieľom programu je učiť žiakov

myslieť, uvažovať, plánovať, prezentovať vlastné myšlienkové procesy a postupy, ktoré

prebiehajú v mysli jednotlivca pri riešení úlohy, problému.

Riešitelia projektu z Pedagogickej fakulty PU v Prešove zatiaľ vytvorili modul

zameraný na rozvoj a stimuláciu kontroly pozornosti. Jeho charakteristika, obsah

a výsledky pilotného výskumu sú prezentované v príspevkoch v tomto zborníku.




stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného

International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of

School Psychology and the International School Psychology Association.

Literatúra

BRAJERČÍK, J,. DEMKO, M., KRESILA, J., PRÍDAVKOVÁ, A. Stimulácia

exekutívneho fungovania žiaka pomocou nástroja Matematický semafor. In:

Prírodné vedy, vzdelávanie a spoločnosť. Prešov: SFS, KFMT FHPV v Prešove.

2015, s. 64-69. ISBN 978-80-971450-4-0.

HARMON, D. A., JONES, T. S. Elementary Education. Santa Barbara, Calif: ABC-

CLIO. 2005. ISBN 1-57607-942-2.

KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych

funkcií žiaka v mladšom školskom veku. Prešov: Vydavateľstvo PU. 2016.

ISBN 978-80-555-1719-3.

PRÍDAVKOVÁ, A., KRESILA, J., DEMKO, M., BRAJERČÍK, J. Stimulation of

executive function "shifting" in teaching mathematics. In: Acta mathematica 17.

Nitra: UKF. 2014, s. 135-141. ISBN 978-80-558-0613-6.

STEIN, M. K. et al. Implementing Standard-Based Mathematics Instruction –

A Casebook For Professional Development. 2. vyd. New York: Teachers College

Press. 2009. ISBN 978-0-8077-4957-9.


118

ŠIMČÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Analýza matematického kurikula vo vybraných

krajinách hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov

primárneho vzdelávania. In: Освіта і суспільство. Міжнародний збірник

наукових праць. – Бердянський державний педагогічний університет, 2016;

ISBN 978-617-7291-80-9 (електронне видання); 395 c., іл., табл., бібл., s. 69-

74. On line [21.2.2017] http://bdpu.org/Papers_Berdyansk_2016.html.

ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, 2015. On line [12.1. 2017].

http://www.statpedu.sk/sites/default/files/dokumenty/inovovany-statny-

vzdelavaci-program/matematika_pv_2014.pdf .


Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej

edukácie

Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov


PaedDr. Edita Šimčíková, PhD.


edukácie



Mgr. Blanka Tomková, PhD.


edukácie



http://bdpu.org/Papers_Berdyansk_2016.html

mailto:[email protected]


119

Kombinatorické problémy

v prostředí didaktických her na 1. stupni ZŠ

Combinatorial Tasks

in Didactic Games Environment in Elementary School

Jana Příhonská, Jana Rolečková

MESC: D30, K20

Abstract

In contribution we discuss the issue of development logical thinking of pupils in

elementary schools. The article is one of the outputs of the research project SGS –

Combinatorics in elementary school. The project focuses on set activities that can

promote combinatorial reasoning in children in elementary schools. We describe one of

didactic game which focuses on perception of the concept configuration of elements.

Key words: combinatorics, combinatorial reasoning, didactic game.

Abstrakt

V příspěvku je diskutována problematika rozvoje kombinatorických schopností

žáků na prvním stupni základní školy. Je podána informace o řešení grantu SGS na FP

TUL se zaměřením na vytvoření souboru aktivizujících činností, které mohou pomoci

žákům rozvíjet jejich schopnosti při řešení kombinatorických úloh. Je popsána jedna

z vytvořených didaktických her, která je zaměřena na vnímání pojmu uspořádání prvků.

Klíčová slova: kombinatorika, kombinatorické myšlení, didaktická hra.

1. Úvod

Školská kombinatorika je podstatnou součástí matematické kultury vzdělávání.

Řadu kombinatorických problémů lze velmi snadno zformulovat, avšak jejich řešení

bývá mnohdy velmi obtížné. Kombinatorické problémy pomáhají žákům vytvářet

správné matematické představy, formulovat smysluplné závěry a zevšeobecňovat

matematické pojmy. Problematikou rozvoje kombinatorických schopností žáků se

zabývá řada autorů. Výsledky jejich studií (např. Benson & Jones 1999; Johnson, Jones,

Thornton, Langrall, & Rous 1998; Nisbet et al., 2000; Zimmermann & Jones, 2002)

ukazují na obtíže žáků s řešením úloh, které vyžadují od žáků kombinatorické

uvažování. Proto je kladen důraz na zařazování kombinatorických problémů již na

prvním stupni základní školy.

Rozvíjením logicko-kombinačního myšlení se zabýváme v rámci řešení projektu

SGS na FP TUL. V prvním roce řešení projektu byla provedena analýza učebnic

a přijímacích testů s cílem identifikovat typy a četnost zařazení kombinatorických úloh.

Ukázalo se, že procento zastoupení těchto úloh v porovnání s jinými typy úloh je

výrazně menší. Naším cílem je podněcovat u žáků zájem o řešení problémových úloh,


120

mezi něž kombinatorické úlohy můžeme zařadit, a vést je k rozvoji řešitelských strategií

při jejich řešení. Navrhujeme proto aktivity, vesměs manipulační, kdy žáci pracují

s různými pomůckami za účelem jejich uspořádání a výběru skupin prvků, které je dáno

pravidly jednotlivých aktivit, resp. her. Aktivity jsou zaměřené na využívání základních

kombinatorických principů a vhodných metod při jejich řešení. Navrženo je celkem

35 dílčích aktivit, tři didaktické hry (Kombinuj, Zahrada tulipánů a Matika bez

vzorečků) a několik aktivit v prostředí víceméně známých společenských her (Domino,

Člověče nezlob se, Logic, Rummy). Všechny navržené aktivity procházejí v současné

době pilotní realizací ve školách.

V další části popisujeme jednu z didaktických her. Hra byla pilotně zrealizována

v prosinci 2016 na ZŠ náměstí Míru v Ruprechticích v Liberci a je zaměřena na

rozvíjení pojetí uspořádání a opakování prvků.

2. Didaktická hra – Zahrada tulipánů

Jedná se o hru manipulační, kdy se děti snaží podle předlohy na kartičce, svou

zvolenou strategií, co nejrychleji sestavit řadu barevných kamenů na herním plánu.

Cíl:

Vnímání uspořádání a opakování prvků v dané konfiguraci

Rozvoj logického myšlení

Rozvoj kompetence sociální, komunikační a k řešení problémů

Věk: od 8 let (2. třída ZŠ)

Časová dotace: 45 min. (10 min. - motivace, 10 min. - vysvětlování pravidel, 20 min. -

samotná realizace hry, 5 min. vyhodnocení)

Počet hráčů: 2 až 4

Pravidla hry: Barevné kameny rozmístíme na herní plán. Pokládáme je do řady vedle

sebe v pořadí: zelená, modrá, bílá, žlutá, červená. Vždy dvě řady na krajích herního

plánu jsou obsazeny kameny, prostřední řada zůstane volná (viz Obrázek 1 – barevná i

černobílá verze). Vedle herního plánu umístíme karty lícem dolů, kde karty jedním

bodem budou navrchu a karty s pěti body úplně vespod. Hráč vytváří z hracích kamenů

barevné řady, kde záleží na pořadí barev. Každý žák si vezme z hromádky jednu kartu

(vzor barevných tulipánů). Nesmí je soupeřovi ukázat. Následně hráči posouvají vždy

jeden hrací kámen ve směru dopředu, dozadu i diagonálně. V tazích se střídají. Pokud

jeden hráč táhne kamenem, může druhý stejný kámen v tahu hned po soupeři posunout

dál. Zakázáno je však posunout daný kámen po soupeřově tahu na původní místo, ve

kterém byl před tahem soupeře. Cílem je sestavit z hracích kamenů barevnou řadu

totožnou s pořadím barevných tulipánů na kartičce. Řady se mohou na herním plánu

vytvářet svisle, vodorovně i diagonálně (viz Obrázek 2). Když se jednomu z hráčů

podaří řadu sestavit, řekne slovo: „Mám“ a ukáže soupeřovi kartičku i řadu na plánu,

kterou sestavil, aby to mohl soupeř zkontrolovat. Poté si položí kartičku vedle sebe na

lavici a vezme si další. Postupně si hráči berou kartičky s odstupňovanou obtížností.

Karty s jedním a dvěma body mají každou barvu tulipánu jen jednou. Karty se třemi

body mají jednu barvu tulipánu dvakrát. Karty se čtyřmi body mají dvě barvy tulipánů

dvakrát a karty s pěti body mají jednu barvu tulipánů dokonce třikrát. Každý hráč

postupuje vlastním tempem. Na konci hry, kdy má každý hráč jednu kartu v ruce a

v balíčku již žádné karty nejsou, se sečtou získané body. Záleží na tom, kdo jako první

sestaví poslední řadu. Druhý pomalejší hráč musí následně kartu odložit, protože se do

celkového počtu již nezapočítává. Vyhrává hráč s vyšším počtem získaných bodů.


121

Obrázek 1. Hrací plán.

Závěry z pilotní realizace hry:

Na začátku hodiny byli žáci motivováni pohádkou ze země tulipánů – Holandska.

Následně byla prezentována pravidla hry prostřednictvím interaktivní tabule. Pravidla

byla pochopena ihned. Pozornost žáků byla upoutána herním plánem a manipulací

s barevnými herními kameny. Každý žák si vytvořil svou vlastní strategii sestavování

barevných řad. Ve hře nejde jen o individuální sestavení řady. Soupeři si nevědomky

vzájemně sestavování znemožňují. Proto byl, jak se prokázalo, úspěšnější ten hráč,

který dokázal odhadnout, kde staví řadu soupeř, a buď se mu snažil vyhnout, nebo mu

stavění vědomě narušoval. Zároveň byla úspěšnost podmíněna úrovní chápání žáků a

jejich individuálními předpoklady ke kombinatorickému uvažování. Mezi hráči byly

patrné rozdíly v logickém myšlení, což se odráželo v rychlosti a schopnosti sestavování

řad. Jistou úlohu, podmiňující vítězství a prohru, hrála i náhoda výběru karet. Čas jedné

vyučovací hodiny byl dostačující. Většina hráčů dokončila první hru, ti rychlejší chtěli,

a také jim bylo umožněno, hrát opakovaně. Po sečtení bodů na kartičkách měly některé

dvojice souhlasný počet získaných bodů. Došlo tedy mezi hráči k remíze. Součet bodů

na kartičkách by proto bylo lepší upravit tak, aby byl roven lichému číslu. Předejdeme

tak možnosti, že bude vítězů více. Při několikaminutové reflexi na konci hodiny žáci

hodnotili hru jako velmi zdařilou a zábavnou. Ocenili by však větší herní plán a více

času na hraní, aby se mohli prostřídat a hrát tak i se svými dalšími kamarády. Ze

začátku hra postupuje rychle, avšak když se přijde do složitější fáze, kde se řady

sestavují podle karet se čtyřmi a pěti body, děti dlouho přemýšlejí a hra se protahuje.

Obrázek 2. Možné sestavy uspořádání.


122

Obrázek 3. Realizace hry.

3. Závěr

Didaktická hra má pro žáka silný motivační efekt – žák je vtažen do prostředí, ve

kterém uplatní své schopnosti při řešení problémů a získává nové zkušenosti i

vědomosti. Je vhodnou metodou k uplatnění konstruktivistického edukačního stylu,

jehož základem je přesvědčení učitele o schopnosti žáka objevovat a aplikovat

matematické poznatky a propojovat je s již dříve získanými a objevenými. Každá

z kombinatorických didaktických her, kterou navrhujeme, má potenciál rozvíjet

kombinatorické myšlení žáků a odpovídá svým zaměřením kategorizaci problémů,

kterou jsme navrhli na základě provedené analýzy učebnicových řad (Hry s čísly,

Kvantifikační problémy, Sudoku a Magické čtverce, Problémy z teorie grafů, Základní

kombinatorické principy, Geometrické problémy, Rozhodovací problémy, Rozdělovací

problémy a Jiné, které nelze jednoznačně přiřadit k žádné z uvedených kategorií). Ne

všechno se dá vymyslet, jsou informace, které je nutno získat z učebnice či jiné

literatury, z internetu nebo které sdělí učitel. K hlubšímu poznání však žák dochází

prostřednictvím vlastní konstrukce poznatkové struktury. Didaktická hra tuto konstrukci

umožňuje.

Literatura

BENSON, C. T., JONES, G. A.: Assessing students’ thinking in modelling

probability contexts. The Mathematics Educator. 1999. Vol 4.

Issue 2. pp 1-21.

JOHNSON, T. M., JONES, G. A., THORNTON, C. A., LANGRALL, C.

W., ROUS, A.: Students’ thinking and writing in the context of

probability. Written Communication, 1998. Vol 15. Issue 2. pp 203-229.

NISBET, S., JONES, G. A., LANGRALL, C. W., & THORNTON, C. A.: A

dicey strategy to get your M & Ms. Australian Primary

Mathematics Classroom. 2000. Volume 5. Issue 3. pp 19-22.

ZIMMERMANN, G. M., & JONES, G. A.: Probability simulation: What

meaning does it have for high school students? Canadian Journal

of Science, Mathematics and Technology Education. 2002. Vol 2.

Issue 2. pp 221-236.

Doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D.

Katedra matematiky a didaktiky matematiky FP TUL

Univerzitní náměstí 1410/2


Jana Rolečková

FP TUL



123

Gry i zabawy matematyczne sposobem

na myślenie matematyczne dzieci

Math games as a way

of mathematical thinking of children

Grażyna Rygał

MESC: A902

Abstract

The article presents examples of math games that develop logical thinking of

children. Games can be used for math class and extra-curricular activities. This form of

working with children may stimulate their interest in mathematics and arouse interest in

this subject. When asking the right questions, presented games can become an

inspiration to creation of new games and mathematical development of children.

Key words: math games, logical thinking, children teaching.

Streszczenie

W artykule zaprezentowano przykłady gier i zabaw matematycznych, które

pozwalają rozwijać myślenie logiczne dzieci. Gry i zabawy można stosować na lekcjii

matematyki oraz na zajęciach dodatkowych. Taka forma pracy z dziećmi może

zaciekawić ich matematyką i rozbudzić zainteresowanie przedmiotem. Prezentowane

gry, przy właściwe zadawanych pytaniach, mogą stać się inspiracją do tworzenia

nowych gier i rozwoju matematycznego dzieci.

Słowa kluczowe: gry i zabawy matematyczne, logiczne myślenie, uczenie dzieci.

1. Wprowadzenie

Gra i zabawa są bardzo istotnym środkiem edukacyjnym w realizacji programu

zarówno wychowania przedszkolnego jak i wczesnoszkolnego.

Stosowanie gier i zabaw na tych etapach kształcenia powinno być powszechne.

Według Krzysztofa Kruszewskiego [1] gry dydaktyczne należą do problemowych

metod kształcenia i wywołują u graczy myślenie problemowe. K. Kruszewski [1] dzieli

gry dydaktyczne na:

Gry służące osiąganiu celów w sferze emocjonalnej:

o kształtujące reguły wyboru strategii postępowania,

o kształtujące postawy wobec określonych zjawisk lub wartości,

Gry służące osiąganiu celów w sferze poznawczej:


124

o kształtujące proste dyspozycje i sprawności związane z wykonywaniem

zadań intelektualnych

o kształtujące umiejętności złożone np. wyrabiające w jakiejś dziedzinie

myślenie twórcze

o kształtujące umiejętności specjalne, także społeczne np. umiejętność

dyskusji, negocjowania

o pozwalające opanować wiadomości przewidziane w programie nauczania.

Zabawa według Wincentego Okonia [2] to działalność wykonywana dla

przyjemności i jest główną formą aktywności dzieci.

Najczęściej stosowany podział zabaw mówi o:

zabawie dydaktycznej, która prowadzi do rozwiązania założonego w niej

zadania,

zabawie konstrukcyjnej, która polega na budowaniu różnych obiektów

najczęściej z klocków, ale nie tylko,

zabawie ruchowej, charakteryzującej się częstą zmianą miejsca uczestnika

zabawy i rozwijająca funkcje motoryczne

zabawie tematycznej, pozwalającej uczestnikom na granie ról,

a zatem fikcyjne spełnianie różnych funkcji społecznych.

2. Przykłady gier i zabaw

„Trzy w jednej linii” [3] – gra dwuosobowa

Pomoce: kostka, kolorowe pionki po ok. 12 dla każdego gracza, plansza do gry

(rys. 1).

1 3 5 2 4

4 6 1 6 4

6 2 3 5 1

3 5 4 1 6

2 6 3 5 2

Rys. 1. Plansza do gry ”Trzy w jednej linii”.

Zasady gry:

gracze na zmianę wykonują ruchy.

zawodnik rozpoczynający grę rzuca kostką, po czym ustawia swój pionek na

polu planszy odpowiadający wyrzuconej liczbie oczek.

na jednym polu może stać tylko jeden pionek.

wygrywa ten gracz, który jako pierwszy ustawi na planszy trzy pionki swojego

koloru obok siebie w linii poziomej, pionowej lub uskośnej.

Uwagi: Gra doskonale uczy dzieci rozpoznawania zapisu

„liczmanowego” czyli kropek na kostce z liczbą na planszy, czyli

reprezentuje liczba 4.

Wprowadza element emocji – napięcia i rywalizacji. Uczestnik gry samodzielnie

podejmuje decyzję, szczególnie w początkowej fazie gry, gdzie postawi swój pionek. Po

wypadnięciu np. liczby 2 na kostce ma cztery możliwości postawienia pionka na

planszy. W dalszej fazie gry musi rozważać jeszcze ustawienia pionków przeciwnika.


125

Po zakończeniu gry można dokonać analizy, jak rozmieszczono liczby od 1 do 6 na

planszy. Czy wszystkie pojawiły się tyle samo razy. Mamy do czynienia z kwadratem

25-polowym, zatem teraz jest 4 razy 1, 2, 3, 4, 5 i 5 razy 6.

Modyfikacje:

możemy poprosić uczniów, aby na tym 25-polowym kwadracie zaproponowali

inne rozwiązanie,

do gry można zastosować planszę 36-polową.

ta gra pozwala na poruszenie z uczniami bardzo wielu zagadnień i pobudzenie

ich myślenia, prowadzącego do modyfikacji gry.

M. Dąbrowski [3] proponuje też modyfikacje typu:

o wygrywa zawodnik, który jako pierwszy ustawi cztery pionki w jednej linii,

o gra toczy się aż do zapełnienia planszy. Wygrywa zawodnik, który zajmie

na planszy więcej pól.

„Żuczek” [4] – gra dla dwóch osób

Pomoce: jedna kostka sześcienna, rysunek żuczka (rys. 2), kartka oraz długopis

dla każdego gracza.

Zasady gry:

trzeba wyrzucać kostką liczby w określonej kolejności, aby kolejno rysować

części „żuczka”

wygrywa zawodnik, który jako pierwszy narysuje „żuczka”.

rysuję tułów

rysuję głowę

rysuję jeden czułek

rysuję drugi czułek

rysuję prawe oko

rysuję lewe oko

rysuję trzy nogi z prawej strony

rysuję trzy nogi z lewej strony

rysuję ogonek

Rys. 2. „Żuczek”.

Uwagi: Gra uczy przede wszystkim cierpliwości, ćwiczy motorykę ręki, poprzez

wykonanie rysunku: głowa i tułów – kształty owalne, czułki, nogi, ogonek – odcinki.

Można po zakończeniu gry dokonać wielu modyfikacji, np. rysujemy tę część

żuczka, która wypadnie nie stosując kolejności rysowania, czyli gdy wypadnie

rysuję trzy nogi z lewej, nawet jeśli nie mam innych części żuczka. Kolejnym

pomysłem może być zmiana żuczka na inne zwierzątko, np. króliczka itp.


126

Zabawa w „ważenie” [na podstawie 5]

Przedstawiamy dzieciom planszę (rys. 3) i pytanie: „Czy możesz określić ciężar

poszczególnych rzeczy (worka, pudła, słoja, walizki, skrzyni)?”

Rys. 3. Plansza do zabawy w ”ważenie”.

Uwagi: Dzieci muszą znać zasadę wagi szalkowej i wiedzieć, co oznacza „waga

w równowadze”.

W tej zabawie mogą brać udział wszystkie dzieci. Doskonała jest tu „burza

mózgów”.

Dzięki tej zabawie uczniowie utrwalają sobie regułę, że jeżeli z obu stron wagi

zdejmę taki sam przedmiot to waga pozostanie w równowadze. To doskonały wstęp do

przyszłego rozwiązywania równań.

Dowiadują się też, że jeden przedmiot można zastąpić kilkoma innymi

zachowując wagę w równowadze.

Zabawa ta uczy logicznego myślenia, intuicyjnie uczy pojęcia równowagi i

pojęcia równości.

3. Podsumowanie

Stosowanie gier i zabaw w edukacji nie tylko dzieci jest bardzo potrzebne.

Uczniowie poprzez udział w takich aktywnościach nie czują zmęczenia, a często

dowiadują się więcej niż na tradycyjnych zajęciach.

Najlepszym podsumowaniem niech będzie pogląd G. Petty’ego [6]: „Prawie

każdą czynność można zamienić w zabawę, jeżeli uczynimy z niej zadanie

problemowe”.

Literatura

Encyklopedia pedagogiczna. pod redakcją Wojciecha Pomykało, Fundacja Innowacja,

Warszawa 1993 (wyd. pierwsze) [1].

OKOŃ W. Słownik pedagogiczny. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992

(wyd. piąte) ISBN 83-01-10042-7 [2].

DĄBROWSKI M. Gry matematyczne – nie tylko dla klas 1-3. Wydawnictwo Nowik,

Opole 2015 ISBN 978-83-62687-74-9 [3].

NOWIK J. Materiały z warsztatów prowadzonych na konferencji dla nauczycieli.

Konferencja SNM, Kraków 2014 [4].

Waga nr 1

Waga nr 2

Waga nr 3

Waga nr 4

Waga nr 5


127

Bzik matematyczny – dla dzieci w wieku 9-12 lat. Wydawnictwo Siedmiogród 1998,

ISBN 83-7162-827-7, Wrocław 2003 [5].

KREJCOVA E. Matematyka w zabawach i grach w szkole podstawowej. Wydawnictwo

Nowik, Opole 2016 ISBN 978-83-62687-80-0 [6].

dr hab. Grażyna Rygał prof. AJD

Wydział Pedagogiczny, Akademia im. Jana Długosza w Częstochwie ul.

Waszyngtona 4/8

42-200 Częstochowa, Polska



128

Kooperačné nástroje e-learningu v pregraduálnej

matematickej príprave učiteľov pre primárne vzdelávanie

Collaborative e-learning tools in undergraduate mathematical training of primary

education teachers

Iveta Scholtzová, Marek Mokriš

MESC: C69, G19, U79

Abstract

Teaching of the Geometry with Didactics course at the Faculty of Education,

University of Presov is carried out with the support of e-learning on the basis of LMS

Moodle. In the 2015/2016 academic year, a collaborative tool Wiki has been

incorporated into the e-course for the first time to assist in designing joint presentations

by the teams of students. The results of the students’ work are methodological materials

for teaching geometry at the primary stage education. Our survey explores the process

of developing the methodological materials, the involvement of individual students in

the collaborative work on the joint product and problems that arose during team

cooperation.

Key words: Geometry, e-learning, Cooperative Tools, Primary Education Teacher.

Abstrakt

Na Pedagogickej fakulte Prešovskej univerzity v Prešove sa výučba predmetu

geometria s metodikou realizuje s podporou e-learningu na báze LMS Moodle.

V akademickom roku 2015/2016 bol do e-kurzu prvýkrát inkorporovaný kooperačný

nástroj Wiki na tvorbu spoločných prezentácií študentských tímov. Výsledkom práce

študentov boli metodické materiály pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni

vzdelávania. V rámci prieskumu bol sledovaný proces tvorby metodických materiálov,

podiel jednotlivých študentov na spoločnom produkte a tiež problémy pri kooperácii

v rámci tímov.

Key words: geometria, e-learning, kooperačné nástroje, učiteľ primárneho vzdelávania.

1. Úvod

Súčasťou e-learningového kurzu v prostredí Moodle geometria s metodikou sú

učebné materiály určené na samoštúdium, niektoré dynamické nástroje, cvičenia

zamerané na samostatnú prácu študentov, vstupný test a priebežné testy.

V akademickom roku 2015/2016 bol do tohto kurzu inkorporovaný kooperačný nástroj

Wiki. Študenti už mali skúsenosť s týmto kooperačným nástrojom z predchádzajúcej

výučby v predmete didaktika IKT v primárnej edukácii (Adamkovičová a kol. 2016). Na

začiatku semestra bola študentom zadaná seminárna práca – vytvoriť prostredníctvom


129

nástroja Wiki didaktický materiál pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni

vzdelávania.

2. Proces tvorby didaktických materiálov

Pre seminárnu prácu v predmete geometria s didaktikou bolo vyšpecifikovaných

päť tematických okruhov z učiva geometrie na 1. stupni základnej školy:

1. Čiara, bod, úsečka, priamka, polpriamka. Vzájomné polohy geometrických

útvarov.

2. Rovinné útvary, ich vlastnosti a rysovanie.

3. Priestorové útvary, stavby z kociek.

4. Propedeutika zhodných a podobných zobrazení.

5. Dĺžka úsečky, premena jednotiek dĺžky. Obvod rovinného útvaru

a propedeutika obsahu rovinného útvaru.

V seminárnej práci pre daný tematický okruh si študenti mali vybrať konkrétne učivo

a následne

a. vypracovať metodický postup sprístupnenia nového učiva;

b. zvoliť jednu úlohu z danej problematiky a prezentovať metodický postup jej

riešenia.

V 1. ročníku magisterského stupňa štúdia v študijnom programe učiteľstvo pre

primárne vzdelávanie bolo 100 študentov, ktorí boli pre výučbu v rámci seminárov

rozdelení do piatich študijných skupín. V rámci každej študijnej skupiny bolo

vytvorených päť tímov (spolu 25 tímov), ktoré mali 3 – 5 členov. Každému tímu bol

pridelený jeden tematický okruh pre spracovanie v rámci seminárnej práce. Na

vypracovaní seminárnej práce sa mali podieľať všetci členovia daného riešiteľského

tímu. Tímy z tej istej študijnej skupiny mali on-line prístup k spracovanej seminárnej

práci ostatných tímov z danej skupiny. Takto mali študenti k dispozícii didaktický

materiál, ktorý zahŕňal problematiku všetkých tematických okruhov.

Seminárne práce boli spracovávané a prezentované priebežne počas semestra tak,

že korešpondovali s problematikou preberanou v rámci výučby v predmete geometria

s metodikou.

V procese vytvárania študentských produktov sa hneď v úvode vyskytli ťažkosti

technického charakteru. Napriek tomu, že študenti už skôr pracovali s kooperačným

nástrojom Wiki, bolo zo strany pedagógov nevyhnutné poskytovať konzultácie pri

riešení problémov. V niekoľkých prípadoch dokonca došlo k zrušeniu vstupných

nastavení, ktoré bolo potrebné obnoviť. Samotné spracovanie seminárnej práce

prebiehalo v on-line režime, pričom študenti využívali HTML formát (Obrázok 1.). Po

uložení časti seminárnej práce mali ostatní členovia tímu aktuálny on-line prehľad

o stave jej spracovania.

Obrázok 1. Prostredie na spracovanie obsahu seminárnej práce.


130

Kooperácia v rámci jednotlivých tímov nebola vždy optimálna. Z reakcií

študentov bolo evidentné, že nie všetci členovia riešiteľského tímu prispievali k tvorbe

produktov rovnakým dielom. Tútor mohol v kurze pomocou nástroja História sledovať

proces tvorby seminárnej práce a aj podiel jednotlivých študentov na danej činnosti.

Nebolo vždy pravidlom, že ak bol študent prihlásený pod svojím kontom, tak potom na

danej činnosti v tom čase s ním nekooperovali aj iní členovia tímu. Vzhľadom na to

mieru podielu práce jednotlivých členov tímu bolo nutné overiť pri prezentácii

seminárnej práce.

V niektorých prípadoch študenti prezentovali, že si prácu rozdelili, každý sa

podieľal na príprave materiálov, ale vo Wiki pracoval jeden – dvaja. V jednom tíme

došlo k situácii, že jeden člen, podľa názoru ostatných, nijako neprispel k spoločnému

produktu, a teda nesplnil podmienky stanovené pre seminárnu prácu. Bolo nevyhnutné

zadať študentovi inú seminárnu prácu, aby mal možnosť splniť podmienky priebežného

hodnotenia v predmete.

Vo vytvorených materiáloch, okrem textu, študenti používali podporný obrázkový

materiál, ktorí si väčšinou sami vytvárali. Predpokladali sme, že študenti budú pri

tvorbe obrázkovej dokumentácie využívať aj geometrické softvérové prostredia, napr.

Geogebra, CaR, pretože podporné študijné materiály v prostredí Moodle boli vytvárané

aj za pomoci týchto softvérov. Z analýzy seminárnych prác však vyplynulo, že

používané bolo len scanovanie, resp. fotografie.

Obrázok 2. Obrázkový podporný materiál vytvorený študentmi.

Prehľad o použitých podporných materiáloch bolo možné získať v záložke

Súbory. Študenti využívali len podporný materiál statického charakteru vo forme

obrázkov. Použitie materiálov, ktoré by mali dynamickú podobu (napr. video), nebolo

zaznamenané.

Vytvárané metodické materiály boli zo strany pedagógov priebežne

monitorované. Vo Wiki boli do materiálov vkladané komentáre a pripomienky

(Obrázok 3.). Komentáre a pripomienky boli vkladané priamo do textu seminárnej práce

a boli farebne odlíšené. Pri kontaktnej výučbe na seminároch prebiehala intenzívna

diskusia o vytvorených produktoch.

Obrázok 3. Ukážka vloženého komentára.


131

3. Záver

Inovácia procesu výučby v predmete geometria s metodikou priniesla niektoré

nové poznatky o procese nadobúdania odborných a didaktických kompetencií študentov

pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni vzdelávania. Potvrdila tiež niektoré už

skôr známe problémy a nedostatky.

Tento proces je možné posudzovať z troch aspektov:

geometria, odborné a didaktické kompetencie študentov – miskoncepcie

v geometrických predstavách, nedostatky v používaní odborného jazyka,

v grafickom znázorňovaní, v matematických zápisoch, problémy v didaktickej

interpretácii geometrickej problematiky pre žiakov mladšieho školského veku;

použitie technológií – napriek všeobecne rozšírenému názoru, že generácia

súčasných mladých ľudí na dobrej úrovni ovláda informačno-komunikačné

technológie, nie je tomu tak u všetkých študentov, mnohí majú ťažkosti

s prípravou materiálov, ktoré by mohli byť použiteľné v pedagogickej praxi;

kooperácia – pôsobenie v pedagogickej praxi je o neustálej sociálnej interakcii

a to nielen so žiakmi (a ich rodičmi), ale aj s kolegami pri príprave spoločných

materiálov na školách. V tomto kontexte je schopnosť kooperácie veľmi

významným aspektom pedagogického pôsobenia. Ukázalo sa, že mnohí

študenti nie sú „nastavení“ na spoluprácu. Ak majú pracovať v tíme, radšej

urobia celý objem práce, než by mali prácu rozdeliť.

Získané poznatky môžu prispieť k skvalitneniu procesu pregraduálnej

matematickej prípravy budúcich pedagógov pre primárne vzdelávanie.

Príspevok je čiastkovým výstupom projektu KEGA 013PU-4/2015 Aplikácia

kooperačných a komunikačných nástrojov v e-learningových kurzoch pre učiteľov

primárneho vzdelávania.

Literatúra

ADAMKOVIČOVÁ, M., BURGEROVÁ, J., PISKURA, V. E-kurz Didaktika IKT v

primárnej edukácii. Sborník příspěvků z konference a soutěže eLearning 2016.

Hradec Králové: Gaudeamus, 2016. ISBN 978-80-7435-657-5. s. 17 – 21.

doc. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD.


edukácie

Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov, SR


Mgr. Marek Mokriš, PhD.


edukácie

Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov, SR



132

Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu

Stimulation of attentional control - results of pilot research

Edita Šimčíková, Alena Prídavková, Blanka Tomková

MESC: C32, D42, Q32

Abstract

The paper is intended as a partial output of the APVV grant scheme project that

addresses the issue of stimulating executive functions in pupils who underperform in

mathematics. It follows on the previous articles that give details about the fundamentals

of designing a stimulation program in mathematics and about the nature of tasks in

terms of the project’s proposals. Two modules designed to stimulate attentional control

were piloted on a sample of pupils. The aim of the author is to provide basic data about

the course of the pilot study. Discussion of the results and the procedure of piloting with

some suggestions for further modification of the research’s implementation stage are

presented in the article.

Key words: Attentional Control. Stimulation of Executive Functions. Pair Stimulation.

Metacognitive Strategy.

Abstrakt

Príspevok je vypracovaný ako čiastkový výstup grantového projektu APVV, ktorý

rieši problematiku stimulácie exekutívnych funkcií slabo prospievajúcich žiakov

z matematiky. Nadväzuje na príspevky, v ktorých sú prezentované východiská tvorby

stimulačného programu z matematiky a charakteristika úloh z hľadiska projektových

zámerov. Dva vytvorené moduly boli overené v pilotnom výskume na vybranej vzorke

žiakov. Naším zámerom je poskytnúť informáciu o realizácii pilotného výskumu a jeho

výsledkoch. V príspevku sú vyslovené komentáre k priebehu pilotáže a návrhy na

modifikácie úloh pre realizáciu vlastného výskumu.

Kľúčové slová: Kontrola pozornosti. Stimulácia exekutívnej funkcie. Párová

stimulácia. Metakognitívna statégia.

1. Úvod

Na základe analýzy Štátneho vzdelávacieho programu, výkonových štandardov vo

vzdelávacej oblasti Matematika a práca s informáciami (2015) pre štvrtý ročník

základnej školy, boli v rámci prípravnej fázy výskumu grantového projektu APVV


slaboprospievajúceho žiaka - kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského

jazyka špecifikované vzdelávacie štandardy, ktoré už na prvý pohľad svojou

formuláciou nabádajú k potrebe venovať vo vyučovacom procese pozornosť stimulácii

kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov. Konkrétne výkonové štandardy


133

zodpovedajúce projektovým zámerom boli prezentované autorkami Šimčíková,

Tomková (2016). Výsledky analýzy kurikula matematiky pre primárne vzdelávanie

(2015) a výsledky grantového projektu APVV Exekutívne funkcie ako základ schopnosti

učiť sa: diagnostika a stimulácia riešeného na PF PU v Prešove v rokoch 2012 - 2015

(Kovalčíková, 2016) tvorili jedno z východísk pre prípravu stimulačného programu

z matematiky pre žiakov 4. ročníka základnej školy zo sociálne znevýhodňujúceho

prostredia. Proces tvorby stimulačného programu, analýza úloh z matematického

hľadiska a z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií žiakov sú prezentované

v príspevkoch autoriek Prídavková, Tomková, Šimčíková v tomto zborníku. Navrhnutá

batéria doménovo špecifických úloh cielene zameraných na stimuláciu exekutívnej

funkcie kontrola pozornosti bola implementovaná do praxe v rámci prvej etapy

pilotného výskumu v januári 2017.

2. Výsledky pilotného výskumu – prvá etapa

Prvá etapa pilotného výskumu bola realizovaná s nasledujúcimi cieľmi:

a. overiť adekvátnosť vytvorených úloh z matematiky;

b. overiť primeranosť inštrukcií;

c. overiť vhodnosť otázok zameraných na metakognitívne uvažovanie;

d. overiť formu záznamového hárku.

Vzorku pilotného výskumu tvorili traja žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho

prostredia vo veku 9 – 11 rokov (dvaja chlapci a jedno dievča). Všetci traja navštevujú

základnú školu, komunikačná bariéra medzi administrátorom a žiakmi nebola. Pilotný

výskum prebiehal popoludní po vyučovaní mimo školského prostredia.

Výskumné ciele boli realizované v párovej aj individuálnej stimulácii, proces

výskumu bol pozorovateľmi z riešiteľského tímu zaznamenaný neštruktúrovaným

pozorovaním a audiozáznamom.

V prvej etape pilotného výskumu boli overené dva moduly z navrhnutého

stimulačného programu a spracované prvé výsledky. Prvý modul je z hľadiska

doménovej špecifikácie zaradený do tematického celku Riešenie aplikačných úloh

a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie, druhý modul do tematického

celku Geometria a meranie. Z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií obidva

overované moduly podporujú stimuláciu funkcie kontrola pozornosti, ale čiastočne aj

pracovnú pamäť. Úlohy v moduloch majú odstupňovanú kognitívnu náročnosť

v niekoľkých úrovniach.

Prvé výsledky pilotného výskumu priniesli nasledujúce zistenia:

a. Navrhnuté úlohy boli do stimulačného programu v prvom module zvolené

vhodne z hľadiska matematiky aj z hľadiska stimulácie kontroly pozornosti.

Ukázalo sa však, že je potrebné zredukovať počet úloh s obrázkovými

postupnosťami na polovicu a vytvoriť k nim pre párovú stimuláciu žiakov

analogické úlohy. Z číselných postupností bola vynechaná jedna postupnosť

kvôli neprimeranej náročnosti pre zvolenú vzorku žiakov. Postupnosť bude

vylúčená z batérie úloh vo výskume. Druhý modul je vytvorený z dvoch

„zácvičných“ úloh, ktoré sú dôležité pre overenie matematických schopností

z oblasti orientácie v priestore a sú potrebné pre stimuláciu kognície a exekúcie

žiakov v ťažiskových úlohách v module. V pilotnom výskume sa potvrdili naše

predpoklady, že žiaci vo vekovej kategórii 9 – 10 rokov nebudú mať vážnejšie

problémy s priestorovou orientáciou v trojrozmernom priestore. Výraznejší


134

problém nastáva v procese orientácie v rovine, preto budú úlohy modifikované

smerom k tomuto cieľu.

b. Overenie primeranosti inštrukcií k navrhnutým úlohám bolo zamerané

na porozumenie verbálnych zadaní úloh zo stimulačného programu, keďže

čítanie textu/zadaní žiakmi mohlo výrazne nežiaduco ovplyvniť riešenie úloh

a predĺžiť čas stimulácie. Pilotný výskum potvrdil primeranosť formulácií

matematických zadaní úloh pre stanovenú vzorku žiakov. V prípade

výraznejšej komunikačnej bariéry žiakov vo výskumnej vzorke v hlavnom

výskume možno pozvať jazykovo vybaveného asistenta učiteľa, ale iba

v počiatočnej fáze výskumu, resp. úlohu interpretovať v jazyku žiaka bez

zásahu do podstaty úlohy a bez akejkoľvek nápovedy.

c. Tretím cieľom pilotného výskumu bolo overiť vhodnosť otázok zameraných na

proces metakognície a sebaregulácie žiaka tak, aby šlo o procesuálne

orientovanú mediáciu. Na splnenie tohto cieľa boli vopred pripravené otázky

rozdelené do troch fáz – otázky zadávané pred riešením úlohy, počas riešenia

a po vyriešení a to v komunikácii administrátor – žiak (Partanen a kol., 2015).

Tieto otázky boli doplnené o otázky zamerané na sebahodnotenie

a sebareguláciu žiaka. Vzhľadom na to, že naši žiaci nie sú v školskom

vzdelávaní vedení k metakognitívnemu fungovaniu, požaduje sa od nich iba

výkon orientovaný na výsledok, predstavovala táto fáza výskumu najviac

problematickú oblasť. Žiaci sa snažili úlohy vyriešiť čo najskôr a prekvapili ich

otázky administrátora súvisiace s ich uvažovaním, rozprávaním postupov

nahlas, argumentáciou a vysvetľovaním. Otázky považujeme za presne

formulované a smerujúce k požadovaným cieľom, z predloženej batérie je však

potrebné abstrahovať po jednej otázke na každú metakognitívnu oblasť

(pomenuje koncepty, opíše stratégiu, určí chyby, popíše nápravu a pod.).

Sebahodnotenie odrážalo školské hodnotenie (to, ako žiaka hodnotia iní). Je

potrebné zvoliť sebahodnotenie pomocou vhodných symbolov, v pilotnom

výskume malo väčšiu výpovednú hodnotu ako slovné sebahodnotenie.

d. Výsledky pilotáže ukázali potrebu urobiť korekcie vo vytvorenom

záznamovom hárku. Špecifikovať a precizovať postupnosť zadávaných otázok

v jednotlivých fázach tak, aby im žiak rozumel a vyhnúť sa úprave otázok,

resp. podotázkam počas stimulácie. Doplniť pozorovací hárok

o zaznamenávanie riešenia úlohy z matematického hľadiska a z hľadiska

stimulácie exekutívnych funkcií. Zároveň sa ukázala potreba úpravy hárku pre

dvoch stimulovaných žiakov súčasne tak, aby bol záznam prehľadný a poskytol

pri spracovaní údajov rýchlu a relevantnú spätnú väzbu.

3. Záver

Pilotný výskum zameraný na stimuláciu exekutívnych funkcií priniesol

z matematického pohľadu zistenie, že žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia vo

vybranej vzorke poznali typy úloh zo školského vzdelávania, niektorí aj z testovania

psychológmi. Preto prejavili snahu rýchlo úlohu vyriešiť (doplniť zadanie požadovaným

úkonom), aj keď to neurobili správne. Rušili ich všetky otázky, ktoré im boli zadávané

priebežne hlavne pri úlohách, kde si boli istí s výsledkom. Odpovede na otázky boli

spočiatku strohé, jednoslovné. Dôsledná stimulácia kontroly pozornosti a akcent na

popis metakognitívnych stratégií však spôsobili, že žiaci uvažovali nad postupmi pri

riešení a snažili sa vysloviť ich nahlas. V párovej stimulácii využili aj proces

vzájomného učenia sa. Ďalšie korekcie a modifikácie úloh a inštrukcií sú plánované


135

počas tréningu administrátorov stimulácie. Pilotný výskum potvrdil strategický zámer

členov riešiteľského tímu projektu APVV, ktorý vychádza okrem iného z myšlienok

Jensena (2009), že dôležitejšie je v učiteľskej praxi umožniť žiakom sledovať to, čo

robia, ako opravovať ich chyby, alebo hovoriť, čo majú robiť.





International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of

School Psychology and the International School Psychology Association.

Literatúra

HEJNÝ, M. a kol. 2006. Práce s chybou jako strategie rozvoje klíčových kompetencí

žáka. [online]. Praha: JČMF. Dostupné na internete:

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=99.

JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell,

Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, 2009.


funkcií žiaka v mladšom školskom veku. Prešov: Vydavateľstvo PU. 2016.

ISBN 978-80-555-1719-3.

PARTANEN, P., JANSSON, B., LISSPERS, J. & SUNDIN, Ö. Metacognitive Strategy

Training Adds to the Effects of Working Memory Training in Children with

Special Educational Needs. 2015. In International Journal of Psychological

Studies, 7(3), 130.

ŠIMČÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Analýza matematického kurikula vo vybraných

krajinách z hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov

primárneho vzdelávania. In: Освіта і суспільство. Міжнародний збірник

наукових праць. – Бердянський державний педагогічний університет, 2016;

ISBN 978-617-7291-80-9 (електронне видання); 395 c., іл., табл., бібл.,

s. 69-74. On line [20.2.2017] http://bdpu.org/Papers_Berdyansk_2016.html.

Štátny vzdelávací program pre primárne vzdelávanie – 1. stupeň základnej školy .

Matematika. 2015. On line. [3. 2. 2017]


vzdelavaci-program/matematika_pv_2014.pdf.


Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME





Ul.17. novembra 15, 080 01Prešov




Ul.17. novembra 15, 080 01Prešov


http://bdpu.org/Papers_Berdyansk_2016.html


136

Stavby z kociek – prostriedok rozvíjania priestorovej

predstavivosti v rámci odbornej pregraduálnej prípravy

budúcich učiteľov

Construction of building blocks - a means of developing spatial imagination in

undergraduate training of future teachers

Dominika Štefková

MESC: G19

Abstract

Imagination is one of the most important and indispensable skills that an

individual is endowed with. Everyday life brings about many situations in which it is

necessary to exploit the ability of spatial imagination. Solving tasks in the context of

developing spatial imagination should be a part of the teaching mathematics at all stages

of education and thus should be included in undergraduate training of future teachers as

well. This paper presents one way for enhancing the quality of training primary school

teachers in terms of developing their spatial imagination.

Key words: mathematical teacher training, primary education, spatial imagination,

construction of building blocks.

Abstrakt

Predstavivosť je jednou z najdôležitejších schopností, ktorou jedinec

disponuje, bez ktorej by sa v živote nezaobišiel. V každodennom živote sa bežne

vyskytujú situácie, v ktorých je potrebné využiť priestorovú predstavivosť. Riešenie

úloh v kontexte rozvíjania priestorových predstáv by malo byť súčasťou vyučovania

matematiky na všetkých stupňoch vzdelávania, a teda majú mať svoje zastúpenie aj

v rámci odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov. V príspevku prezentujeme

jednu z možností ako zvýšiť kvalitu vzdelávania učiteľov primárnej školy z pohľadu

rozvoja ich priestorovej predstavivosti.

Kľúčové slová: matematická príprava učiteľov, primárny stupeň vzdelávania,

priestorová predstavivosť, stavby z kociek.

1. Úvod

Ako zvýšiť kvalitu pregraduálneho vzdelávania elementaristov z pohľadu rozvoja

ich odborovo-didaktických matematických kompetencií? Akými prostriedkami je

možné rozvíjať a zdokonaľovať úroveň priestorovej predstavivosti budúcich učiteľov?

Akým spôsobom je možné efektívne ovplyvniť stimulovanie priestorovej

predstavivosti? Aké nástroje sú vhodné na aplikáciu v zmysle rozvoja a podpory

schopnosti priestorového videnia u učiteľa? Tieto otázky sú len niektoré, ktoré si

častokrát kladú odborníci z predmetnej oblasti. Dôležitým činiteľom, ktorý vplýva na


137

úroveň prípravy na povolanie učiteľa je aj individuálna schopnosť samotného

absolventa vytvárať a vybavovať si predstavy, schopnosť mentálne porovnávať,

manipulovať a transformovať vizuálnu komunikáciu.

2. Priestorová predstavivosť u študentov v rôznych stupňoch vzdelávania

Pod pojmom priestorová predstavivosť rozumieme súhrn schopností, ktoré súvisia

s predstavami jedinca o priestore, geometrických objektoch, ich vlastnostiach a

vzájomných vzťahoch (Robová 2009). Dôležitý je aj fakt, že priestorová predstavivosť

resp. schopnosť vnímania priestoru je uznávaná ako jedna zo súčastí globálnej

inteligencie človeka. H. Gardner uvádza v rámci teórie multiplikačnej inteligencie

priestorovú inteligenciu ako samostatný faktor (Laznibatová 1992, In: Brincková –

Uherčíková - Vankúš 2013). Zdôrazňuje, že ide o schopnosť vytvárať si v mysli obrazy,

uchovávať ich a znovu si ich vybavovať. Predstavivosť je mimoriadne dôležitá pri

zapamätávaní, a teda aj pri učení sa a je základom všetkých tvorivých schopností.

Priestorová predstavivosť zohráva významnú úlohu predovšetkým v geometrii.

Ako však vieme, riešenie planimetrických a stereometrických úloh robí často problémy

žiakom a študentom na všetkých stupňoch vzdelávania. Psychológovia sa zhodujú

v tom, že prvou etapou, kedy prebieha intenzívny rozvoj priestorovej predstavivosti

spojený so základnými geometrickými predstavami je predškolský vek (okolo piateho

roku veku). Druhou etapou je obdobie mladšieho školského veku. Pokiaľ sa rozvoj

priestorovej predstavivosti nepodnieti ani vo veku 10-15 rokov, objavujú sa vo vyššom

stupni vzdelávania známky jej nedostatočnej rozvinutosti, s ktorými sa potom my

(vysokoškolskí pedagógovia) mnohokrát v praxi stretávame. Avšak aj v neskoršom

období je možné geometrické myslenie a priestorovú predstavivosť rozvíjať, aj keď ide

o pomalší a dlhodobejší proces, v ktorom sa využíva predovšetkým logické myslenie

jedinca. Zo skutočnosti, že uvedená schopnosť je trénovateľná (Hejný 1990), je

potrebné, podľa nášho názoru, v rámci pregraduálneho vzdelávania budúcich učiteľov

profitovať a podieľať sa na jej zámernom rozvíjaní.

Na Pedagogickej fakulte PU v Prešove je do novoakreditovaných študijných

plánov zaradený, okrem iných, zaradený aj predmet Praktikum z geometrie, ako

povinne voliteľný. Prispelo sa tak k rozšíreniu disciplín, ktoré sú orientované na

rozvíjanie odborovo-didaktických matematických kompetencií. Predmet je určený pre

magisterský študijný program Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie a Učiteľstvo pre

primárne vzdelávanie a pedagogika psychosociálne narušených. V dennej forme štúdia

je výučba realizovaná vo forme seminárov v rozsahu jednej hodiny týždenne.

Cieľom predmetu je riešiť úlohy zamerané na rozvíjanie geometrickej

gramotnosti, analyzovať úlohy z pohľadu existencie rôznych riešiteľských stratégií,

riešiť a tvoriť aplikačné a neštandardné úlohy z geometrie pre žiakov v primárnom

stupni vzdelávania a použiť didaktické pomôcky pri tvorbe a riešení úloh z geometrie.

V akademickom roku 2016/2017, kedy výučba predmetu je realizovaná druhýkrát,

si disciplínu zaradilo do študijných plánov až 126 študentov (zo skupiny 159 študentov),

čo predstavuje 81,13%. Do obsahu predmetu sú zaradené aj úlohy typu – stavby

z kociek - ako jeden z prostriedkov rozvoja priestorovej predstavivosti. Uvedomujeme

si, že nie každý budúci učiteľ na 1. stupni základnej školy má ku geometrii príliš

pozitívny vzťah (nie je to ani jeho povinnosť), neznamená to však, že nemôže resp.

nebude žiakov viesť k precvičovaniu priestorového videnia. Podľa nášho názoru je

podstatné a nutné, aby aj učitelia mali v dostatočnej miere rozvinutú spomínanú

schopnosť, ak chceme, aby boli kompetentní ju rozvíjať u žiakov.


138

3. Stavby z kociek v pregraduálnej príprave učiteľov elementaristov

Koncentrovanie našej pozornosti na stavby z kociek vyplýva aj zo skutočnosti, že

tento typ úloh je neoddeliteľnou súčasťou obsahu učiva geometrie na 1. stupni základnej

školy. Podľa inovovaného Štátneho vzdelávacieho programu, Primárne vzdelávanie –

1. stupeň základnej školy (2015) by žiak mal:

2. ročník: Postaviť jednoduchú stavbu z kociek podľa vzoru a podľa obrázka.

3. ročník: Postaviť stavbu z kociek na základe plánu. Vytvoriť plán stavby

z kociek.

4. ročník: Vytvoriť z kociek rôzne stavby podľa plánu. Vytvoriť a slovne

opísať vlastnú stavbu. Nakresliť plán stavby z kociek.

Zároveň sú to pre nás aj východiská, ktoré využívame pri tvorbe úloh určených

pre študentov, ktoré sú potom aplikované v priebehu realizácie výučby spomínaného

predmetu.

Na Pedagogickej fakulte PU v Prešove študujú aj študenti zo zahraničia v rámci

programu Erasmus+. Do svojich študijných programov si majú možnosť zaradiť aj

predmety spojené s matematikou. Nakoľko našou snahou je zvyšovať kvalitu

vzdelávania aj týchto študentov, bol vypracovaný projekt KEGA, ktorý je riešený na PU

v Prešove. Cieľom projektu je vytvorenie súboru učebných zdrojov určených pre

výučbu vybraných disciplín zameraných na matematickú prípravu. Všetky materiály

budú vytvorené v slovenskom aj anglickom jazyku, čím budú zabezpečené komplexné

študijné materiály pre danú skupinu študentov.

V súčasnosti, v rámci riešenia projektu, prebieha kreovanie elektronických

podporných materiálov v anglickom jazyku: elektronických učebných textov

v LMS MOODLE, súboru power-pointových prezentácií, pracovných listov

a diagnostických materiálov. Uvedené študijné materiály sú postupne zaraďované do už

vytvorených e-learningových kurzov k predmetom Mathematics as a Game, Elementary

Mathematics.

Spomínané učebné zdroje sa orientujú na rôzne témy z oblasti elementárnej

matematiky a geometrie v súlade s obsahom uvedených disciplín. Poukazujúc na

uvedené, je priestor venovaný aj planimetrickým a stereometrickým úlohám, a teda aj

problematike stavieb z kociek. V elektronických podporných kurzoch tak budú

pripravené úlohy, ktorých riešenie efektívne ovplyvní stimulovanie priestorovej

predstavivosti u študentov zo zahraničia. Jednotlivé materiály sa však budú môcť

využiť aj pri výučbe matematických disciplín v skupinách slovenských študentov

s rozšíreným vyučovaním anglického jazyka.

V zozname literatúry uvádzame odkazy na konkrétne zahraničné zdroje vo forme

power-pointových prezentácií, video prezentácií, pracovných listov a rôznych

internetových stránok orientovaných na predmetnú problematiku. Ich aplikácia je

možná nielen pri výučbe predmetov zameraných na matematiku primárnej školy, ale aj

počas individuálnej prípravy študenta na vyučovanie.

4. Záver

V rámci odbornej a didaktickej matematickej prípravy je potrebné rozvíjať

u populácie študentov – budúcich učiteľov na 1. stupni základnej školy schopnosť

priestorového videnia. Jednou z možností ako to realizovať, je zaraďovanie „vhodných“

úloh z geometrie do ich profesionálnej prípravy. „Vhodnými“ úlohami máme na mysli

aj problematiku stavieb z kociek, ktoré sa podieľajú na rozvíjaní a podpore

priestorových predstáv. Na druhej strane, by si aj samotní študenti mali uvedomovať


139

dôležitosť rozvinutosti priestorovej predstavivosti, nakoľko jej využitie je späté

s množstvom situácií v bežnom živote.

Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA-

021PU-4/2015 Tvorba učebných zdrojov pre matematické pregraduálne vzdelávanie

elementaristov v cudzom jazyku.

Literatúra

BRINCKOVÁ, J., UHERČÍKOVÁ, V., VANKÚŠ, P. Netradičné metódy rozvíjania

predstavivosti v matematike. 2013. Bratislava: KEC FMFI UK. On line

[13.2.2017] http://www.comae.sk/netradicnemetody.pdf.

HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2.1990. Bratislava: SPN.

ISBN 80-08-00014-7.

ROBOVÁ, J. Programy dynamické geometrie a jejich využití ve výuce stereometrie. On

line [18.1.2017]

http://www.webmatika.sk/zbornik1/clanky/Robova_prispevek.pdf.

Štátny vzdelávací program. Primárne vzdelávanie – 1. stupeň základnej školy. 2015. On

line [18.1.2017] https://www.minedu.sk/data/att/7502.pdf.

Adult numeracy themes. On line [18.1.2017]

http://literacy.kent.edu/Oasis/Resc/Educ/geometry3.html.

Building Sugar Cube Structures. On line [13.2.2017]

http://mamapapabubba.com/2013/07/14/building-sugar-cube-structures/.

Cubic Triangle Views. On line [13.2.2017]

http://www.unipuzzle.com/Series/CubicViews/CV0408/.

Designing Buildings. On line [13.2.2017] http://fawnnguyen.com/designing-buildings/.

Faces and elevations. On line [18.1.2017] )

http://donsteward.blogspot.sk/2013/08/faces-and-elevations.html.

Four Ways to Make a Step Pyramid. On line [18.1.2017]

http://www.brighthubeducation.com/science-fair-projects/76976-make-a-step-

pyramid-for-a-school-project/.

Plans and elevations. On line [20.2.2017]

https://www.youtube.com/watch?v=ekNqiLB8pL8.

Plans and elevations from whiteboard maths. On line [13.2.2017]

https://www.slideshare.net/mrhoad/plans-and-elevations-from-whiteboard-maths-

12640300.

Spatial reasoning. On line [20.2.2017]

http://www.11plusforparents.co.uk/NVR/spatial1a.html.

Stacking Cubes. On line [cit. 18.1.2017] http://poj.org/problem?id=1642.

The castle. On line [13.2.2017] https://nzmaths.co.nz/resource/castle.

Transformations building plans. On line [13.2.2017]

http://slideplayer.com/slide/8628717/.

Views and Elevations. On line [20.2.2017]

https://www.youtube.com/watch?v=BnwoipoGWJ8.

3D Figures Worksheet. On line [20.2.2017] http://worksheets.tutorvista.com/3d-figures-

worksheet.html.

PaedDr. Dominika Štefková, PhD.

PU v Prešove, PF, Katedra matematickej edukácie

Ul. 17. novembra 15, 080 01 Prešov, Slovensko



140

Niektoré miskoncepcie pri riešení slovnej úlohy so zlomkami

Some misconceptions in solution of the word problem with fractions

Valéria Švecová

MESC: D50, D70

Abstract

Pupils come together with the solution of word problems gradually at the

elementary level of primary education. They learn to self manage every phase of the

solution of word problems. In the contribution we deal with the analysis of student’s

solutions to the word problem with fractions. Fractions belong to one of the most

problematic of the thematic units in teaching mathematics. Many studies show that

pupils and students have problems to understand the concept of a fraction. We are

focused therefore in the analysis of the student‘s solutions on fraction’s misconceptions.

Key words: word problems, analysis of the solution of the word problem,

misconceptions in solving word problem with fractions.

Abstrakt

S riešením slovných úloh sa žiaci stretávajú postupne už na prvom stupni

základnej školy. Žiaci sa učia samostatne zvládnuť každú fázu riešenia slovnej úlohy.

V príspevku sa zaoberáme analýzou študentských riešení jednej slovnej úlohy so

zlomkami. Zlomky patria k jednému z najproblematickejších tematických celkov vo

vyučovaní matematiky. Mnohé štúdie dokazujú, že žiaci a študenti majú problém

porozumieť pojmu zlomok. Preto sme sa pri analýze študentských riešení zamerali na

miskoncepcie zlomkov.

Kľúčové slová: slovné úlohy, analýza riešenia slovnej úlohy, miskoncepcie pri riešení

slovných úloh so zlomkami.

1. Úvod

Ako uvádzajú Mokriš a Scholtzová (2008) dôležitým elementom úspešnej

vzdelávacej činnosti učiteľa na primárnym stupni vzdelávania je jeho dobrá teoretická

príprava, ktorá v sebe zahŕňa aj oblasť elementárnej matematiky. S riešením slovných

úloh sa žiaci stretávajú postupne už na prvom stupni základnej školy. Žiaci sa učia

samostatne zvládnuť každú fázu riešenia slovnej úlohy.

Problematikou slovných úloh sa zaoberá množstvo matematikov a autorov, z čoho

vyplýva, že je tento pojem v literatúre definovaný rôznymi spôsobmi.

Bureš (2014) chápe matematický model slovnej úlohy ako popis vzájomných

vzťahov medzi údajmi v zadaní úlohy, ktoré je možné vyjadriť pomocou

matematických prostriedkov. Tieto vzťahy sa dotýkajú prevažne číselných údajov,


141

prípadne polohy geometrických údajov, a sú vyjadrené matematickými prostriedkami

(reláciami, operáciami).Pre jazykové porozumenie je dôležité, aby žiaci zvládli čítanie

s porozumením. Následne po tejto fáze je nutné úlohu previesť na matematickú úlohu

a teda danú situáciu zmatematizovať. Tento proces je možné previesť viacerými

spôsobmi a vybrať si rôzne metódy riešenia slovných úloh.

Odvarko (1990) proces riešenia slovných úloh (vo všeobecnosti

s nematematickým obsahom) rozdelil na matematizáciu situácie, riešenie matematickej

úlohy, návrat do kontextu zadania. Zdôrazňuje význam dvojitej skúšky – jednak

správnosti riešenia matematickej úlohy a jednak kontextovej správnosti (obrázok 1).

Vysvetlivky

SÚ – slovná úloha

MÚ – matematická úloha

VSÚ – výsledok slovnej

úlohy

VMÚ – výsledok

matematickej úlohy

Sk – skúška

Obrázok 1.

Slovnú úlohu môžeme riešiť pomocou kalkulu (t.j. súbor pravidiel pre zápisy

výrazov pomocou jednoduchých symbolov a pre úpravy týchto výrazov na tvary

výhodné pre získavanie výsledkov úloh), alebo bez kalkulu. Starší žiaci často siahajú po

riešení pomocou rovnice s jednou neznámou, resp. využitím sústavy dvoch rovníc

s dvoma neznámymi. Na prvom stupni ZŠ však ešte žiaci nemajú dostatočnú úroveň

vedomostí, aby využili tento matematický aparát. Mnoho úloh riešiteľných pomocou

rovníc je možné riešiť aj inými metódami ako sú pokus- omyl, grafické znázorňovanie

situácie a úsudok. Tieto metódy sú použiteľné aj u mladších žiakov. Pri grafickom

znázorňovaní a riešení úsudkom môžu žiaci hlbšie preniknúť do podstaty problému ako

pri použití naučeného algoritmu riešenia (Švecová, 2012).

2. Analýza žiackych riešení

112 študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika riešilo v rámci

testu nasledujúcu slovnú úlohu. V jednom podniku sú z 1050 zamestnancov 2

3 žien.

Z nich majú 4

5 odbornú kvalifikáciu.

Koľko žien pracuje v podniku?

Koľko žien nemá odbornú kvalifikáciu?

Koľko mužov pracuje v podniku?

Pri jej vyhodnotení sme sledovali úspešnosť, prípadne neúspešnosť troch krokov,

ktoré predstavovali odpovede na jednotlivé tri otázky:

Prvým krokom bolo určenie (vypočítanie) počtu žien (šlo o určenie 2

3 z 1050).

Túto prvú časť úlohy správne vyriešilo 52 študentov, čo predstavuje približne 46%.

Pri „hľadaní“ odpovede na druhú otázku bolo potrebné použiť dve operácie. A to

najprv určiť 4

5 z počtu žien, čím sa určilo, koľko žien má kvalifikáciu. A potom

SÚ MÚ

VSÚ VMÚ

1

2

Sk 1

3

Sk 2


142

výsledok odčítať od celkového počtu žien. Tento spôsob správne použilo 25 študentov,

t.j. cca 22%. Ďalší spôsob riešenia bolo určiť priamo 1

5 z počtu žien, čo je vlastne

odpoveď na druhú otázku. Tento druhý spôsob považujeme za náročnejší, vyžadujúci si

iný vhľad do úlohy. Týmto spôsobom úlohu správne vyriešilo 11 študentov, čo

predstavuje necelých 10%. Tento krok robil študentom najväčšie problémy.

Najčastejšou chybou bolo, že študenti iba vypočítali 4

5 z počtu žien a výsledok

považovali za odpoveď na otázku Koľko žien nemá odbornú kvalifikáciu?

Tretím krokom bolo určenie počtu mužov pracujúcich v podniku. Tí študenti,

ktorí správne odpovedali na prvú otázku, správne odpovedali aj na tretiu otázku. Všetci

túto úlohu riešili rozdielom celkového počtu pracujúcich a počtom pracujúcich žien.

Celkovo zadanú slovnú úlohu správne vyriešilo 34 študentov, čo predstavuje

zhruba 30%. Táto nízka úspešnosť zrejme súvisí s hlavnou prekážkou úspešného

riešenia slovných úloh, ktorou je ako uvádza Hejný (2003) neschopnosť žiaka

porozumieť úlohe, pochopiť situáciu opísanú úlohou a /alebo výzvu, ktorú úloha kladie.

Rôzna náročnosť jednotlivých krokov je potvrdená aj Scheffeho testom

viacnásobného porovnávania (tab. 1).

Tabuľka 1. Viacnásobné porovnávanie.

Krok 1 2

bez kvalifikácie 2. sp. ****

bez kvalifikácie 1. sp. ****

počet mužov ****

počet žien ****

Ako ilustruje tabuľka 1 na základe Scheffeho testu boli v rámci riešenia danej

slovnej úlohy medzi jednotlivými krokmi vytvorené dve homogénne skupiny. Prvú

homogénnu skupinu tvorí určenie počtu žien bez kvalifikácie, a to jedným aj druhým

spôsobom a druhú homogénnu skupinu tvorili kroky, na základe ktorých bol určovaný

počet žien a mužov. Test viacnásobného porovnávania potvrdil medzi týmito dvomi

skupinami štatisticky signifikantný rozdiel. Vyplýva to aj z faktu, že správne určiť počet

žien a počet mužov bolo možné aj bez toho, aby sme správne určili počet žien bez

kvalifikácie. Ale pokiaľ bol počet žien určený nesprávne, následne na to bol nesprávne

stanovený aj počet žien bez kvalifikácie.

Keďže daná slovná úloha robila študentom značné problémy, až 40 študentov (čo

predstavuje 35,71%) sa ju ani nepokúsilo riešiť. Presné počty sú zachytené v tabuľke 2.

Tabuľka 2. Počet študentov neúspešných pri riešení druhej slovnej úlohy.

Počet študentov Nesprávne riešenie

v %

Nezačali riešiť 40 51,28

Nesprávne riešenie 38 48,72


143

Mnohým študentom v tejto úlohe robila problém už len samotná matematizácia

slovnej úlohy (obrázok 2).

Obrázok 2.

V ďalšom uvedieme niektoré nesprávne predstavy študentov pri riešení danej

slovnej úlohy. Ako je vidieť z obrázku 3, študentka riešila slovnú úlohu pomocou

trojčlenky, jej riešenie však bolo nesprávne. Neuvedomila si však, že 100% predstavuje

jeden celok. Táto nesprávna predstava viedla k záveru, že z 350 žien pracujúcich

v podniku má 840 žien kvalifikáciu.

Obrázok 3.

S týmto výsledkom bola spokojná. Tento istý nedostatok má aj riešenie z ďalších

dvoch obrázkov, kedy študentka určila, že dve polovice , resp. šesť pätín z pracujúcich

žien nemá kvalifikáciu, .

Obrázok 4.


144

Obrázok 5.

Uvedené chyby zrejme pramenia z nesprávneho chápania pojmu zlomok. Možno

predpokladať, že u niektorých študentov boli nesprávne vytvorené predstavy o pojme

celok a časť.

Veľa študentov jednotlivé počty nevyčíslilo, ale ich vyjadrilo v tvare zlomku.

Môžeme predpokladať, že tak urobili buď preto, lebo nepochopili zadanie úlohy, resp.

otázku alebo mali problém s matematizáciou úlohy.

Obrázok 6.

Obrázok 7.


145

3. Záver

Možno povedať, že tak učitelia ako aj žiaci považujú riešenie slovných úloh

v matematike za náročné. Ako uvádza Novotná (2000) už len samotná skutočnosť, že

žiak má riešiť slovnú úlohu, je hlavnou príčinou jeho neúspechu. V našom prípade, sa

slovná úloha z pohľadu študentov javila ako náročná aj preto, že šlo o slovnú úlohu so

zlomkami. To môže prameniť aj zo špecifického významu a predstavy zlomkov

v porovnaní s prirodzenými číslami, s ktorými žiaci pracujú pred zavedením zlomkov.

Literatúra

BUREŠ, J. Žákovská tvorba slovních úloh jako indikátor matematické kultury žáků ZŠ.

Praha: Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta. 2014.

HEJNÝ, M. Anatómia slovnej úlohy o veku. In: Zborník príspevkov z konferencie

Matematika v škole dnes a zajtra. Ružomberok: Katolícka Univerzita, 2003,

s. 1-13. ISBN 80-8084-066-0.

MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru

predškolská a elementárna pedagogika na začiatku ich profesijnej prípravy. In

Acta mathematica 11, 2008, s. 159-164. ISBN 978-80-8094-396-7.

NOVOTNÁ, J. Analýza řešení slovních úloh. Praha: Univerzita Karlova v Praze, 2000,

126s. ISBN 80-7290-011-0.

ODVARKO, O a kol. Metody řešení matematických úloh. Praha: SPN, 1990, 264s.

ŠVECOVÁ, V. Stratégie riešenia vybraných slovných úloh v príprave učiteľov pre

primárne vzdelávanie. In: Acta Mathematica 15 : zborník príspevkov z X.

nitrianskej matematickej konferencie. Nitra: UKF, 2012, s. 155-160. ISBN 978-

80-558-0135-3.

PaedDr. PhDr. Valéria Švecová, PhD.

Katedra matematiky, FPV

Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre,

Tr. A.Hlinku 1

949 74 Nitra



146

Stimulácia kontroly pozornosti prostredníctvom

matematických úloh u žiakov 4. ročníka základnej školy

Stimulation of attention control through mathematical tasks in pupils of 4th

year

of primary school

Blanka Tomková, Alena Prídavková, Edita Šimčíková

MESC: C32, Q32, U32

Abstract

The paper is a partical result of the APVV-15-0273 Experimental verification of

programs aimed to stimulation of executive functions of underperforming pupil (in the

last year of elementary education) - the cognitive stimulation potential of math and

Slovak language. One of the project´s objectives is to devise a program for stimulating

executive functioning of pupils through selected mathematical tasks. The first step is to

design appropriate tasks and later verify their suitability within intended testing on a

selected samples. Reasoning for the choice of mathematical areas and particular tasks

with their description are included in the article. The article presents a preliminary study

of the outlined problem.

Key words: Control of attention. Executive functions. Elementary Education.

Abstrakt

Príspevok je súčasťou riešenia grantového projektu APVV-15-0273



stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka. Jedným z cieľov je vytvoriť

program stimulácie exekutívneho fungovania žiaka prostredníctvom zvolených

matematických úloh. Prvým krokom je vytvoriť primerané úlohy a overiť ich vhodnosť

v rámci chystaného testovania na zvolenej vzorke. Zdôvodnenie výberu matematických

oblastí, jednotlivých úloh, ako aj ich popis je súčasťou článku. Príspevok predstavuje

prvotnú štúdiu predloženého problému.

Kľúčové slová: Kontrola pozornosti. Exekutívne funkcie. Primárna edukácia.

1. Úvod

Cieľom projektu Experimentálne overovanie programov na stimuláciu

exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej

dochádzky) – kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka je

navrhnúť a overiť stimulačný program vytvorený na kurikulárnom základe slovenského

jazyka ako aj matematiky. V rámci projektu sa uskutoční skúmanie a hodnotenie žiakov

4. ročníkov základných škôl, ktorých spoločnými znakmi sú neprospievanie

z matematiky (hodnotenie prospechu v rámci predmetu stupňom dobre, prípadne


147

dostatočne) a sociálne znevýhodnené prostredie. Našou úlohou bolo navrhnúť

a otestovať matematické úlohy pre tento stimulačný program.

Bolo zrejmé, že počas realizácie projektu nebude možné vytvoriť a otestovať

úlohy, ktoré by pokrývali celý obsah kurikula matematiky 4.ročníka základnej školy. Pri

výbere zamerania úloh sme sa preto orientovali na úlohy, ktoré umožnia odhaliť

myšlienkové postupy žiakov tým, že v rámci riešenia úloh vyžadujú pozornosť žiaka,

porozumenie zadaniu, uplatnenie krátkodobej pamäti, voľbu vhodnej stratégie. Do

návrhu batérie úloh neboli zaradené úlohy vyžadujúce len uplatnenie automatického

spoja niektorej binárnej operácie, prípadne úlohy vyžadujúce znalosť premeny jednotiek

dĺžky, času, či peňažnej meny. Východiskom pre výber úloh boli:

výsledky národných meraní (Testovanie 5),

výsledky medzinárodných meraní (TIMSS 2011, TIMSS 2015),

základné pedagogické dokumenty (ŠVP pre primárne vzdelávanie -

Matematika),

odborné výstupy venované problematike kognitívneho, metakognitívneho

a exekutívneho myslenia žiaka.

Vytvorené úlohy sme overovali v rámci pilotného testovania. Jeho výsledky sú

spracované v článku (Šimčíková, Prídavková, Tomková, 2017).

2. Charakteristika úloh

Analýzou výsledkov národných a medzinárodných meraní (Mullis et al. 2012,

Martin et al. 2016, Alföldyová a kol., 2016) boli pre potreby výskumu vyšpecifikované

nasledujúce oblasti matematiky - postupnosti, priestorová predstavivosť, výroková

logika, kombinatorika, číselné predstavy a číselné operácie, ktoré budú tvoriť jednotlivé

moduly stimulačného programu.

Súčasťou každého modulu budú úlohy zamerané na kontrolu pozornosti, pracovnú

pamäť, plánovanie, sebahodnotenie a sebareguláciu žiaka.

Prvá séria úloh bude zameraná na kontrolu pozornosti žiaka. Pozornosť možno

považovať za kľúčový determinant akejkoľvek (teda aj školskej) činnosti. Organizáciu

pozornosti je možné rozvíjať už od útleho veku prostredníctvom úloh vyžadujúcich

selektívnosť a strategickosť vo vnímaní a to aj protredníctvom verbalizovania týchto

stratégií (Kovalčíková a kol. 2015, s.22-26). Návrh úloh preto zohľadňuje nielen

matematickú stránku zadania, ale orientuje sa aj na metakognitívne funkcie žiaka,

v rámci ktorých sa snaží viesť žiaka k verbalizácii zadania pokynov úlohy, jednotlivých

krokov riešenia, ako aj zhodnotenia postupu a správnosti riešenia.

Schopní riešitelia matematických úloh zámerne premýšľajú o stratégii riešenia,

argumentácii, uplatnením svojich znalostí a zručností, teda využívajú metakognitívne

procesy keď zaznamenávajú, ako premýšľali a argumentovali, rozpoznávajú prekážku

v postupe, sú si vedomí, že niečomu celkom nerozumejú, rozhodnú sa zámerne

zavrhnúť a nahradiť neúspešnú stratégiu, znova premyslia svoj prístup a skúmajú

prepojenia so súvisiacimi konceptmi a znalosťami. Metakognitívne procesy sa u žiakov

aktivizujú, ak je im zadaná úloha, ktorá pre nich predstavuje istý druh výzvy (Frobisher,

Frobisher, 2015, s. 155-159).

V stimulačnom programe sú jednotlivé úlohy a inštrukcie k nim vytvárané tak,

aby sa v procese intervencie u žiakov rozvíjali aj metakognitívne schopnosti, t. j. aby

boli schopní prezentovať a verbalizovať myšlienkové procesy, ktoré prebiehajú pri

riešení úlohy. V slovenskom kontexte bola táto problematika riešená v oblasti skúmania

procesu tvorby textu, kde výsledky ukázali, že predstava pisateľov mladšieho školského


148

veku o prebiehajúcich mentálnych činnostiach pri písaní textu je všeobecná a málo

konkrétna (Klimovič, 2016, s. 149).

Kurikulárne zameranie prvého modulu vychádza z požiadaviek kladených na

absolventa primárneho stupňa edukácie (ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika,

2015). Od žiaka sa očakáva, že dokáže:

identifikovať a popísať pravidlo vytvorenej postupnosti; na základe

identifikovaného pravidla doplniť do postupnosti niekoľko čísel, znakov,

symbolov,

umiestniť (dokresliť) rovinné a priestorové geometrické útvary podľa pokynov;

určiť polohu geometrických útvarov v priestore,

rozhodnúť o pravdivosti (nepravdivosti) tvrdenia; sformulovať pravdivý alebo

nepravdivý výrok; vytvoriť negáciu jednoduchého výroku; zdôvodniť

pravdivosť (nepravdivosť) tvrdenia; vytvoriť zložené výroky a rozhodnúť o ich

pravdivosti (nepravdivosti); vyriešiť slovné úlohy na výrokovú logiku,

vytvoriť systém pri hľadaní a zapisovaní spôsobov usporiadania dvoch (troch)

predmetov, znakov, symbolov, rôznych čísel zložených z daných číslic (číslice

sa môžu aj opakovať); vytvoriť rôzne dvojciferné (trojciferné, štvorciferné)

čísla z množiny číslic (číslice sa môžu aj opakovať); nájsť všetky rôzne

spôsoby usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov; určiť počet

možností usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov; vyriešiť

slovné úlohy s kombinatorickou motiváciou;

sčítať, odčítať prirodzené čísla v obore do 10 000; vynásobiť a vydeliť

prirodzené čísla v obore do 100; vyriešiť jednoduché a zložené slovné úlohy na

sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

V metodológii tvorby stimulačného programu vychádzame z troch základných fáz

mentálneho aktu, ktoré je možné registrovať pri riešení úlohy (Jensen 2009,

Kovalčíková et al., 2016, s. 143). Je to (1) vstupná fáza (input), v priebehu ktorej žiak

získava informácie a sú aktivizované kognitívne štruktúry dieťaťa; (2) elaboračná fáza

(elaboration), v rámci ktorej prebieha spracovanie zhromaždených informácií; (3)

výstupná fáza (output), ktorá je typická komunikáciou o spracovaných výsledkoch

myslenia.

3. Záver

V rámci realizácie projektu bola navrhnutá séria úloh zameraná na stimuláciu

kontroly pozornosti pre dva stanovené moduly – modul postupnosti a priestorovej

predstavivosti. Úlohy mali odstupňovanú kognitívnu náročnosť. Adekvátnosť úloh, ale

vhodnosť a primeranosť inštrukcií boli overované v rámci pilotného výskumu počas

párovej stimulácie priamo v teréne.

Jeho výsledky umožnia modifikáciu navrhovaných úloh, ako aj vytvorenie

návrhov úloh zameraných na stimuláciu kontroly pozornosti pre ďalšie moduly.

Súčasťou pozorovania bolo nielen hodnotenie kognitívnej, ale aj metakognitívnej

stránky žiaka počas riešenia úloh.





International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study

of School Psychology and the International School Psychology Association.


149

Literatúra

ALFÖLDYOVÁ, I. a kol. Testovanie 5-2015 (priebeh, výsledky, analýzy). Bratislava,

NÚCEM. 2016. On line [13.1.2017]

http://www.nucem.sk/sk/filemanager/download/6255/2/testovanie-5-2015-

priebeh-vysledky-a-analyzy.

FROBISHER, L., FROBISHER, A. Didaktika matematiky I. Porozumieť. Riešiť.

Počítať. Bratislava: Raabe. 2015. ISBN 978-80-8140-180-0.

JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell,

Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, 2009.

KLIMOVIČ, M. Detský pisateľ v procese tvorby textu. Prešov: Vydavateľstvo PU.

2016. ISBN 978-80-555-1696-7 JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning,

Culture and Cognition. Roswell, Georgia, USA: International Centre for Mediated

Learning, 2009.


funkcií žiaka v mladšom školskom veku. 2015. Vydavateľstvo PU v Prešove,

Prešov. ISBN 978-80-555-1540-3.

MULLIS, I.V.S., MARTIN, M. O., FOY, P., a A. ARORA. Timss 2011 International

Results in Mathematics. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study

Center, ISBN 978-90-79549-17-7. On line [15.1. 2017].

http://www.timssandpirls.bc.edu/timss2011/international-results-

mathematics.html.

MARTIN, M. O., MULLIS, I. V. S., and HOOPER, M. (eds.). Methods and Procedures

in TIMSS 2015. Retrieved from Boston College, TIMSS & PIRLS International

Study Center. On line [13.1.2017]

http://timssandpirls.bc.edu/publications/timss/2015-methods.html.

ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, 2015. On line [12.1. 2017].


vzdelavaci-program/matematika_pv_2014.pdf .

ŠIMČÍKOVÁ, E., PRÍDAVKOVÁ, A. a B. TOMKOVÁ. Stimulácia kontroly

pozornosti - výsledky pilotného výskumu. V tomto zborníku.

TZURIEL, D. The Cognitive Modifiability Battery (CMB): Assessment & Intervention.

Instruction Manual. School of Education, Bar-Ilan University: Ramat-Gan, Israel.

1995.



Ul.17. novembra 15, Prešov 080 01











150

Rozvíjanie číselných predstáv vo fínskych didaktických

prostriedkoch pre primárny stupeň vzdelávania

Developing the concept of number in Finland’s methodological materials for primary

education

Anna Vašutová

MESC: D12

Abstract

Developing the concept of number is one of the priorities in primary mathematics.

The formation of the concept starts as early as in pre-primary education where the

emphasis is placed mainly on hands-on activities of children. On the first stage of

primary education, the mental ability of a pupil to grasp and apprehend the concept of

numbers is gradually developing. Means or methods by which it is possible to

systematically and comprehensively affect the cognitive structure of a pupil differ

depending on developmental characteristics of the child. These methods differ also in

conformity with the educational culture of each country. The paper presents one of the

educational conceptions used in Finland aimed at developing the concept of number.

Key words: Concept of Number. Mathematical Education. Primary Education.

Abstrakt

Rozvíjanie číselných predstáv je jednou z priorít primárneho matematického

vzdelávania. Ich tvorba sa začína už v predprimárnom vzdelávaní, kde je dôraz kladený

najmä na manipulačný charakter činností detí. Na 1. stupni základnej školy sa postupne

menia, skvalitňujú mentálne schopnosti žiakov vnímať a chápať pojem čísla. Spôsoby

alebo metódy, pomocou ktorých je možné systematicky a komplexne pôsobiť na

kognitívne štruktúry žiakov sa v závislosti a v súčinnosti s vývinovými zmenami

rovnako menia. Tieto spôsoby sú diferentné aj v závislosti od vzdelávacej kultúry

každej krajiny. Príspevok prezentuje jednu zo vzdelávacích koncepcií zameraných na

tvorenie číselných predstáv využívaných vo Fínsku.

Kľúčové slová: Číselné predstavy. Matematické vzdelávanie. Primárne vzdelávanie.

1. Úvod

Koncepcia vytvárania predstáv o číslach je rôzne štruktúrovaná aj v slovenskom

vzdelávacom kontexte. V príspevku sa zameriavame na 1. ročník základných škôl.

Aktuálne je na trhu pre uvedený ročník dostupných približne šesť typov pracovných

zošitov z matematiky. Tri pochádzajú z vydavateľstva Aitec jeden z Orbis Pictus

Istropolitana, jeden z vydavateľstva Taktik a jeden z vydavateľstva Fraus (Hejného

metóda). Najodlišnejšiu koncepciu v súvislosti s oblasťou numerácie ponúka pracovný

zošit z vydavateľstva Taktik a samozrejme vydavateľstva Fraus. Spoločnou črtou

ostatných pracovných zošitov (PZ) je, že v I. časti PZ sú zavedené čísla v obore do 10


151

a v II. časti do 20. Vo všetkých štyroch typoch sa chronologicky postupuje približne

rovnako (kultúrna podmienenosť):

samostatné zavedenie prirodzených čísel v obore od 1 do 6 ako počtu prvkov

v skupine;

zavedenie relačných znakov pre porovnávanie a porovnávanie podľa počtu;

písanie číslic postupne od 1 do 6, potom nasleduje 0 a čísla 7 až 10;

po čísle dva sa zavádza operácia sčítania, po čísle 4 operácia odčítania;

v II. časti PZ sú zavedené čísla 11 až 20 najčastejšie spoločne (niekde sa ešte

zvlášť venuje pozornosť postupne jednotlivých číslam).

Rozklad čísla nie je zaradený jednotne, rovnako ako usporadúvanie čísel

a orientácia v číselnom rade (radové číslovky) či práca s číselnou osou. Ďalšou

zaujímavosťou sú aj v odlišnosti grafického či symbolického vyjadrenia čísel a najmä

operácií s nimi (obrázkové slovné úlohy).

2. Fínska koncepcia

Vo fínskych pracovných zošitoch z matematiky Tuhattaituri z vydavateľstva

Otava v Helsinkách je možné sledovať inú chronologickú postupnosť pri konštruovaní

predstáv o číslach. Spoločným znakom je, že žiaci vo veku 8 rokov (vo Fínsku 1. ročník

a na Slovensku 2. ročník základnej školy) počítajú rovnako v obore do 100. Vytváranie

predstáv o prirodzených číslach a rozširovanie číselného oboru prebieha v 1. ročníku vo

Fínsku v uvedenom poradí.

Tabuľka 1. Postup pri zavádzaní prirodzených čísel v 1. ročníku vo Fínsku.

Už od prvej strany pracujú žiaci s číslami v číselnom obore do 10, pričom je ich

úlohou určiť počet predmetov v súbore a zakrúžkovať číslo v číselnom rade, ktoré tento

počet vyjadruje. Vytvárať súbory s daným počtom dokresľovaním objektov podľa

zadaní v podobe číselných znakov. Ďalej pokračujú v práci s číselnou osou, ktorá veľmi

prirodzene nadväzuje na už známy číselný rad. Úlohy žiakov sú rovnaké ako pri práci

v číselnom rade. Propedeutika sčítania je zaradená v úvode a to pomocou číselnej osi,

pričom žiaci sčítajú hneď troch sčítancov. Až potom sa prechádza na písanie

jednotlivých číselných znakov v poradí, aké uvádza tabuľka 1. Pri vytváraní predstavy

o prirodzenom čísle je číslo prezentované prostredníctvom rôznych a v obore do 10

dôsledne sa opakujúcich reprezentantov. Prirodzené číslo najprv vystupuje ako počet

predmetov v skupine, k čomu slúži ilustračný obrázok. Číslo ako prvok Peanovej

množiny prezentuje grafický model v podobe usporiadaného číselného radu (číselný

pás), čím sa postupne buduje vizuálna predstava o usporiadanom číselnom rade

a pozícii čísla v ňom. Tento model pretrváva pri zavádzaní čísel v obore do 20, okrem

toho je od počiatku úlohou žiakov vyznačovať číslo (ako počet predmetov v skupine) na

číselnej osi. Predstava o prirodzenom čísle ako kardinálnom čísle sa vytvára využitím

štruktúrovaného modelu prstov na rukách. Kvantitatívny význam čísla je doplnený

o model analógových hodín, kde číslo vystupuje v spojitosti s meranou veličinou času.

Uvedené modely sú využité pri číslach v obore do 10. Číslo 0 sa zavádza spoločne

s číslom 1 ako počet prvkov v množine, v prípade nuly takej, ktorá nemá žiadne prvky,

k čomu ako východisko slúži ilustračný obrázok. Po čísle 2 pribúdajú úlohy na rozklad

1 a 0

súčasne

2 – 12

samostatne

13 – 15

súčasne

16 – 18

súčasne

19 – 20

súčasne

21 – 100

súčasne


152

čísla, ktoré svojím grafickým znázornením umožňujú integráciu aj iných matematických

tém (na propedeutickej úrovni) (obr. 1).

Obrázok 1. Rozklad čísla.

Využitie uvedeného modelu prináša pedagógovi možnosť riešiť ju so žiakmi,

okrem iného, ako úlohu kombinatorického charakteru s pravdepodobnostným nábojom.

Po zavedení čísla 3 nasleduje podkapitola zameraná na porovnávanie priraďovaním, na

ňu nadväzuje zavedenie porovnávania pomocou relačných znakov. Samostatná

podkapitola sa venuje situácii, keď je v skupinách rovnaký počet prvkov. Ďalej

nasleduje sprístupnenie operácie sčítanie so zavedením znakov (+,=). Po čísle 4 žiaci

riešia rovnice na sčítanie, ktoré vznikli modifikáciou úlohy zameranej na rozklad čísla.

Po čísle 5 je zaradená podkapitola zameraná na sčítanie pomocou číselnej osi, kde

sa nevyužíva číslo už iba ako kvantita, ale aj ako identifikátor (adresa). V samostatnej

podkapitole je sprístupnené odčítanie rovnakým metodickým postupom ako sčítanie,

teda aj pomocou číselnej osi. V nasledujúcej podkapitole je zavedený znak pre menu

(€) a žiaci operujú s eurami. Po zavedení čísel 6 a 7 je zaradený nový typ úlohy na

porovnávanie s vyššou mierou náročnosti. Žiaci majú doplniť dané tri čísla tak, aby

použili každé iba raz a aby bol matematický zápis správny (obr. 2).

Obrázok 2. Porovnávanie čísel.

Počnúc zavedením čísla 11 sa mení aj grafické znázorňovanie čísel, pričom každé

je modelované len pomocou číselného radu rozdeleného na dve samostatné desiatky.

Predstava kvantity je zabezpečená ilustračným obrázkom a prelína sa s umiestnením

daného počtu predmetov (čísla) na číselnej osi.

Po čísle 12 je zaradená podkapitola zameraná na zavedenie pojmu diagram.

Prezentovaný je konkrétne histogram, do ktorého majú žiaci na základe ilustračného

obrázka podľa vzoru zaznamenávať počty daných predmetov. Obmenou je čítanie a

zapisovanie údajov z grafu. Vzniká tu priestor pre nové grafické vyjadrenie čísla ako

kvantity, ktoré zároveň umožňuje žiakom vidieť „väčšie“ číslo podľa výšky stĺpca, čo

využijú pri porovnávaní či usporadúvaní číselných údajov.

Druhá časť pracovného zošita nadväzuje na prvú a po krátkom opakovaní

(v číselnom obore do 12) sú zavedené čísla 13 až 15, potom 16 až 18 a nakoniec 19

a 20. Nasledujúca podkapitola je zameraná na orientáciu v čase a číslo tu vystupuje ako

vyjadrenie veličiny času. Pomerne rozsiahla časť je po čísle 20 venovaná upevňovaniu

vedomostí a neskôr sa zameriava na počítanie s prechodom cez základ 10. Nasledujúca

podkapitola je zameraná na oblasť geometrie a merania a číslo sa viaže opäť k ďalšej

veličine a to miere úsečky. Po nej nasleduje sprístupnenie čísel v obore do 100 po

desiatkach. Čo je vyjadrené pomocou sčítania desiatich desiatok a zároveň graficky

prezentované využitím číselnej osi a stĺpcového diagramu.


153

Ďalej nasleduje zavedenie tzv. stovkovej tabuľky, ktorá je využívaná jednak pre

vznik predstavy o čísle 100, ale aj ako pomôcka pre lepšiu orientáciu v číselnom rade,

pre jednoduchšie porovnávanie, či usporadúvanie čísel. Neskôr sa využíva aj pri

matematických operáciách. Ide o úsporný a praktický vizualizačný model, ktorý má

viacúčelové využitie. Žiaci spočiatku dopĺňajú chýbajúce čísla v tabuľke v tvare

štvorca, neskôr majú k dispozícii iba nepravidelný útvar (obr. 3).

Obrázok 3. Časť „stovkovej tabuľky“.

3. Záver

Pre fínske didaktické prostriedky je typické pravidelné opakovanie sa grafického

spracovania jednotlivých tém, nadväznosť v zmysle prirodzeného prepájania známeho

a neznámeho cez ich podobnosť a vizuálna podpora, ktorou chápeme dôsledné

zabezpečenie konkrétnych modelov, ktoré umožňujú riešiť úlohy aj menej zdatným

žiakom.

Vybrané úlohy môžu slúžiť ako inšpirácia pre pedagogickú prax, a zároveň na

obohatenie výučby v rámci pregraduálnej prípravy študentov elementaristov. Tvorbe

výučbových zdrojov sa vo svojich práca venujú aj Prídavková, Šimčíková a Tomková

(2016).

Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 021PU-4/2015

Tvorba učebných zdrojov pre matematické pregraduálne vzdelávanie elementaristov

v cudzom jazyku.

Literatúra

HAAPANIEMI, S. et al. Tuhattaituri 1a, Opettajan opas. Helsinki: Otava. 2006. 343 s.

ISBN 978-951-1-21433-5.

HAAPANIEMI, S. et al. Tuhattaituri 1b, Opettajan opas. Helsinki: Otava. 2007. 344 s.

ISBN 978-951-1-214380-0.

PRÍDAVKOVÁ, A., E.ŠIMČÍKOVÁ . Edukácia matematiky v slovenskom a cudzom

jazyku aplikáciou hudobných komunikačných prostriedkov. In: EME - primární

matematické vzdělávání v souvislostech. 21. ročník vědecké konference s

mezinárodní účastí. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2016.

s. 190-94. ISBN 978-80-905281-3-0.

ŠIMČÍKOVÁ, E., B. TOMKOVÁ. Obsah matematického vzdelávania v oblasti práca s

informáciami na Slovensku a vo vybraných krajinách. In: Edukacja na rozdrožu

[elektronický zdroj]: czesc 1: nauczyciel - uczeń - edukacja. Opole: Wydawnictwo

Instytut Slaski, 2016. ISBN 978-83-62683-76-5. CD-ROM, s. [465-476].

Mgr. Anna Vašutová, PhD.

Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta,


Ul. 17. novembra č. 15, 080 01 Prešov



154

GeoGebra a JavaScript

GeoGebra and JavaScript

Patrik Voštinár

MESC: U70

Abstract

The article deals with creating applets in mathematics software GeoGebra.

GeoGebra contains a large number of tools that can be used in teaching. In case that

users need some tool, that GeoGebra doesn't have, they can create this tool themselves.

The article described the possibility of using JavaScript programming language in

mathematics software GeoGebra.

Key words: GeoGebra, JavaScript, programming .

Abstrakt

Článok sa zaoberá vytváraním appletov v matematickom programe GeoGebra.

Program GeoGebra obsahuje veľké množstvo nástrojov, ktoré sa môžu použiť pri

výučbe. V prípade, že používatelia potrebujú nástoj, ktorý GeoGebra neobsahuje, tak si

ho môžu doprogramovať sami. V článku je opísaná možnosť použitia programovacieho

jazyka JavaScript v matematickom programe GeoGebra.

Kľúčové slová: GeoGebra, JavaScript, programovanie.

1. Úvod

V súčasnej dobe je predmet matematika medzi žiakmi na základných a stredných

školách menej populárny ako iné predmety. Spôsob výučby matematiky sa za

posledných pár desiatok rokov veľmi nezmenil. Učitelia zvyčajne uvedú žiakov do

problému, ukážu vzorce, vyriešia úvodné príklady a následne žiaci počítajú príklady,

kým neprejdú na ďalšiu tému. Žiaci si často ani neuvedomujú, kedy to bude pre nich

užitočné. Jedným z najvýraznejších trendov v posledných rokoch je zavádzanie

informačno-komunikačných technológií do procesu vyučovania. Skúsenosti dokazujú,

že využívanie týchto prostriedkov môže prispieť k zvýšeniu kvality vyučovania.

Existuje viacero spôsobov, ako efektívne integrovať digitálne materiály do

vzdelávacieho procesu. Viaceré univerzity napríklad používajú LMS systémy a

e-learningové kurzy. Hlavnou výhodou takýchto kurzov je možnosť študovať

kedykoľvek a kdekoľvek.

Alternatívou je použitie kombinovaného vzdelávania (tzv. blended learning).

Malatinská, Pokorný a Hlíc (2013) charakterizujú kombinované vzdelávanie, ako

kombináciu klasického (prezenčného, face-to-face) a e-learningového vzdelávania, tak

aby využili ich výhody.


155

Hanzel (2013) zdôrazňuje, že elektronické študijné materiály by nemali byť

napísané klasickým spôsobom (definícia, veta, dôkaz), ale je nutné použiť dynamiku

a interaktivitu.

Pokorný (2013) vo svojom výskume, ktorý realizoval na vzorke 172 študentov

v rokoch 2010-2013 dokázal, že študenti, ktorí riešili matematické problémy s použitím

interaktívnych prvkov boli úspešnejší, ako študenti, ktorí pri riešení nepoužívali

interaktívne prvky.

Jednou z možností, aby e-learningové kurzy obsahovali interaktívne prvky je

vloženie appletov do kurzov. Napríklad pri vyučovaní geometrie je možné používať

softvérové produkty patriace do skupiny tzv. dynamických geometrických systémov.

U nás sú najčastejšie používané programy Cabri Geometria a GeoGebra (Bayerl,

Žilková, 2015).

2. Dynamický geometrický softvér GeoGebra

GeoGebra je matematický softvér, ktorý je voľne šíriteľný, multiplatformový,

kompatibilný so systémom Moodle. Kompatibilný so systémom Moodle znamená, že

applety sú funkčné priamo na stránke e-lekcie. Proces vloženia do e-lekcie je pomerne

jednoduchý – mal by ho zvládnuť bez problémov aj bežný používateľ.

Tento softvér obsahuje veľké množstvo nástrojov, ktoré sa dajú využiť pri

vyučovaní. V prípade, že používateľovi chýba nejaký nástroj, tak si ho môže

doprogramovať sám.

GeoGebra podporuje dva typy programovacích jazykov – GGBScript

a JavaScript.

JavaScript je plnohodnotný programovací jazyk, ktorý sa používa najmä pri

tvorbe webových stránok. Tento programovací jazyk je dosť rozšírený, na rozdiel od

GGBScript - špecifického jazyka vytvoreného výlučne pre programovanie v GeoGebre.

Naprogramovať funkčnosť môžeme, keď sa:

klikne na nejaký objekt,

aktualizuje časť objektu (zmení sa jeho hodnota),

načíta súbor.

Na naprogramovanie funkčnosti je potrebné otvoriť v GeoGebre okno Vlastnosti

objektu a následne kliknúť na záložku Scripting. Táto záložka je zobrazená na

obrázku 1.


156

Obrázok 1. Okno s JavaScript metódami.

Na prácu s objektami GeoGebry môžeme používať metódy objektu ggbApplet:

ggbApplet.nazovMetody(parameter1, parameter2, ..., parameterN)

Všetky metódy, ktoré sa dajú použiť pri programovaní sa nachádzajú na stránke

GeoGebry1.

2. Ukážka applet Viditeľnosť objektov

Tento applet obsahuje tri tlačidlá, obrázok, posuvník, bod a text (pozri obrázok 2).

V jednom okamihu môže byť stlačené iba jedno tlačidlo (text má červenú farbu).

V prípade, že je stlačené „tlačidlo1“:

objekt text sa zobrazí a nastaví sa mu text „Hodnota posuvníka bola

vynulovaná“,

hodnota posuvníka sa nastaví na 0,

zobrazí sa bod s jeho popisom „popis tlačidla 1“,

ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak.

V prípade stlačenia „tlačidlo2“:

objekt text sa zobrazí a nastaví sa mu text „Hodnota posuvníka je (aktuálna

hodnota posuvníka)“ ,

hodnota posuvníka sa zväčší o 2,

zobrazí sa bod s jeho popisom „popis tlačidla 2“,


V prípade stlačenia „tlačidlo3“:

viditeľnosť objektu text sa zmení na neviditeľný,

1 https://wiki.geogebra.org/en/Reference:JavaScript


157

viditeľnosť objektu posuvník sa zmení na neviditeľný,

viditeľnosť objektu bod sa zmení na neviditeľný,


Obrázok 2. Applet Viditeľnosť objekt - stlačené tlačidlo „tlačidlo1“.

Tento príklad slúži ako ukážka naprogramovania vlastnej funkčnosti pomocou

jazyka JavaScript. Applet Viditeľnosť objektov aj so všetkými príkazmi je možné

stiahnuť na stránke GeoGebry2.

Na obrázku 1 je zobrazené skriptovacie okno so všetkými príkazmi, ktoré sa majú

vykonať, v prípade stlačenia tlačidla tlačidlo1.

3. Záver

Vzdelávanie je zložitý proces, ktorého kvalita a efektívnosť závisí nielen od

obsahu vzdelávania, ale aj od foriem a metód, ktoré sa v tomto procese použijú. Jednou

z možných foriem je začlenenie IKT do procesu vzdelávania. Program GeoGebra je na

základných a stredných školách na Slovensku pomerne rozšírený. Tento program má

samozrejme svoje výhody a aj nevýhody. Jednou z najväčších nevýhod je obmedzené

množstvo nástrojov, ktoré sa môžu použiť. Tento problém sa dá v GeoGebre vyriešiť

napríklad naprogramovaním si vlastnej funkčnosti, ako sme to ukázali v tomto

príspevku.

Príspevok bol spracovaný ako súčasť projektu KEGA č. 003TTU-4/2015

„Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4

ročníkoch osemročných gymnázií“.

2 https://ggbm.at/KYc6FCPx


158

Literatúra

HANZEL, P. Dynamika a interaktívnosť e-študijných materiálov, In Matematika

v primárnej škole, Rôzne cesty, Rovnaké ciele, pp. 78-81, 2013.

ISBN 978–80–555–0765–1.

MALATINSKÁ, S., POKORNÝ, M., HÍC, P. Efficiency of Blended Learning in

Teaching Mathematics at Primary School. Information, Communication and

Education Application, Advances in Education Research, Volume 85, 2015,

s. 6-11. ISBN 9781–61275–118–4, ISSN 2160–1070.

POKORNÝ, M. Interactive Elements Can Increase the Efficiency of e-learning Course.

In Information, Communication and Education Application, Advances in

Education Research, Volume 30, 2013, s. 173-178. ISSN 2160–1070,

ISBN 978–1–61275–056–9.

BAYERL, E., ŽILKOVÁ, K. Dizajn interaktívnej elektronickej zbierky úloh

z matematiky. In 9. didaktická konference s medzinárodní účastí. Brno :

Masarykova univerzita, 2015, s 7-12. ISBN 978–80–210–8143–7.

BAYERL, E., ŽILKOVÁ, Interactive Textbooks in Mathematics Education – What

Does It Mean for Students?. In 15th Conference on Applied Mathematics Aplimat

2016. Bratislava : Nakladateľstvo STU, 2016. s.56-65.

ISBN 978–80–227–4531–4.

Mgr. Patrik Voštinár

Univerzita Mateja Bela, Fakulta prírodných vied

Tajovského 40, 974 01, Banská Bystrica



159

Studentský pohled na praktickou složku učitelské přípravy

v matematice 1. stupně

Practical Aspects of Preparation in Mathematics Teaching for First Level of Primary

Schools Evaluated by Undergraduate Students

Renáta Zemanová, Darina Jirotková

MESC: D40

Abstract

In this paper, the first part of the research focused on identifying incentives

contributing to the development of teachers´ beliefs of primary school students related

to the mathematics teaching attitude is presented. Using method of questionnaire

research, data are collected. Those related to their experience, attitudes and needs are

processed in different periods of their professional development. The goal of the

research is to compile and elaborate foundation for the conception of effective changes

in professional development of the undergraduate primary school teacher training at

faculties of education at University of Ostrava and at Charles University.

Key words: Faculty teacher, math teacher, professional practice, supervising teacher,

teacher preparation.

Abstrakt

Článek seznamuje s první částí výzkumu zaměřeného na hledání incentiv

přispívajících k posunům v pedagogickém přesvědčení studentů učitelství 1. st. ZŠ,

které se týkají přístupu k vyučování matematice na 1. stupni ZŠ. Metodou

dotazníkového šetření jsou získávána výzkumných data. Z nich jsou nyní zpracovávány

údaje o zkušenostech, názorech, postojích a potřebách budoucích studentů v různých

fázích profesní praxe. Cílem výzkumu je získat a zpracovat podklady pro koncipování

efektivní změny v pojetí profesní pregraduální přípravy budoucích učitelů 1. stupně ZŠ

pedagogických fakult Ostravské i Karlovy Univerzity.

Klíčová slova: Fakultní učitel, učitel matematiky, profesní praxe, vedoucí učitel,

příprava učitele.

1. Úvod

Pojetí praktické přípravy budoucích učitelů se v rámci jednotlivých učitelských

fakult liší. Na Pedagogické fakultě Ostravské univerzity (PdF OU) dlouhodobě fungoval

model, kdy všechny profesní praxe oboru Učitelství pro 1. stupeň garantovala Katedra

preprimární a primární pedagogiky. S novou akreditací přešla garance průběžné praxe

na oborové katedry, přičemž žádný jednotný koncept neexistuje. Katedra matematiky

s didaktikou (KMD) aktuálně připravuje rozsáhlou proměnu koncepce průběžné praxe

z matematiky, a to jak z hlediska rozsahu, tak obsahu. Cílem změn je zvýšení

provázanosti teoretické a praktické přípravy s důrazem na její praktickou složku.


160

Pro úspěch této práce je nutné znát názory a potřeby studentů, jichž se praxe týká.

KMD PdF OU se inspirovala projektem Katedry matematiky a didaktiky matematiky

(KMaD) Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy (PdF UK). V jeho rámci zde

dlouhodoběji zpracovávají 1) reflexe učitelů, v jejichž třídách praxe probíhá, 2)

studentů, kteří se na praxi připravují a 3) studentů, kteří již praxi absolvovali. Cílem je

identifikace incentiv, tedy podnětů, popudů, pohnutek či motivací přispívajících

k posunům jak učitelova, tak studentova přístupu k vyučování matematice. Nástrojem

získání tohoto souboru jsou dotazníky pro studenty a rozhovory s učiteli. Dotazníky

KMD PdF OU jsou v mnoha položkách shodné s dotazníky KMaD PdF UK, což

umožní závěrečnou komparaci výsledků. Tato umožní odlišit jevy závislé na

konkrétním vysokoškolském prostředí od jevů společných.

Naše práce se opírá o několik teoretických zdrojů. Především je to studie nástrojů

pro identifikaci vyučovacího stylu, analyzující dvacet parametrů týkajících se

učitelského přesvědčení (Jirotková, 2012) a publikace o změnách vyučovacího stylu

(Hejný, 2012). Principy konstruktivismu nejblíže k aspektu našeho výzkumu

představuje publikace (Davis, Maher, Noddings, 1990). Výzkum navazuje na předchozí

práce autorů a dalších členů KMaD PdF UK a KMD PdF OU, týkající se pregraduální

přípravy učitelů v souvislosti se změnou role ve vyučování orientovaném na budování

schémat (Hejný, Zemanová, 2013), (Jirotková, Krpec, 2013), (Zemanová, 2013).

Další část zde prezentovaného výzkumu je připravována ve zprávě (Krpec,

Jirotková, 2017).

2. Dotazníkové šetření na PdF OU

Šetření probíhalo od prosince 2016 do ledna 2017, zúčastnilo se ho 36 studentů.

Z toho 11 studentů 4. ročníku a 25 studentů 3. ročníku. Studenti 4. ročníku absolvovali

jeden semestr náslechů a dva semestry výstupů, všechny matematické předměty studia

s výjimkou didaktiky aritmetiky. Studenti 3. ročníku do té doby neabsolvovali

v matematice žádné náslechy a výstupy, ani didaktické předměty.

Dotazník obsahoval otázky:

a. Jaké máte zkušenosti z průběžné praxe z matematiky?

b. V 5. ročníku (resp. 4. ročníku) vás čeká souvislá (resp. průběžná) praxe

z matematiky.

Co od této praxe očekáváte? Co byste chtěl/a z praxe získat? Kde očekáváte,

že budete potřebovat pomoci?

Čeho se před touto praxí obáváte?

Na co se před touto praxí těšíte?

c. Jak si během souvislé praxe představujete svou spolupráci s třídním učitelem?

Co od něj očekáváte?

d. Jak si během souvislé praxe představujete svou spolupráci s fakultním učitelem

– didaktikem? Co od něj očekáváte?

e. Posuďte vaše silné a slabé stránky pro vyučování matematice na 1. stupni ZŠ.

Uvádíme příklad odpovědi:

ad a) Myslím, že to bylo pro studenty/studentky, kteří učili matematiku metodou

prof. Hejného nesnadné v tom, že praxe byla ve studijním programu dříve, než si prošli

nezbytnou didaktikou, která je intenzivněji zařazena až ve 4. ročníku. Nicméně je

výborné, že jsme měli možnost podívat se do škol, kde je tato metoda zavedena a na

vlastní oči jsme viděli, že pro děti učící se tímto způsobem je matematika mnohem

zábavnější a nestresující, jak bývá v klasické metodě, kdy se učitelé zaměřují spíš na

výsledek než na samotný proces vedoucí k výsledku.


161

ad b) Očekávání: Očekávám více zkušeností pro budoucí praxi, z praxe bych si

chtěla hlavně dobrý pocit z toho, že jsem dětem ukázala, že jde, aby matematika byla

také zábavná. Myslím si, že budu potřebovat pomoct hlavně v oblasti, jak dětem

jednotlivá didaktická prostředí vysvětlit, abych náhodou neprozradila něco, co mají

objevit oni. Obavy: Pravděpodobně vyučující od konkrétní třídy, že by se jí nová

metoda nemusela zamlouvat, když je zvyklá na běžnou. Těšení: Na děti, protože praxe

je velmi málo…

ad c) Kritiku, abych věděla, na čem více zapracovat.

ad d) Tipy na webové stránky, které mi při praxi mohou pomoci, případné nápady,

jak si mohu pomůcky vyrobit sama, když konkrétní škola nemá.

ad e) Moje slabá stránka je nejistota, protože jsem v matematice nikdy nevynikala,

nicméně metoda prof. Hejného je zábavná a umožňuje zažít úspěch všem, takže si

myslím, že má silná stránka bude spočívat ve vytváření různých úkolů a pomůcek třeba

i spolu s dětmi na jednotlivá prostředí.

3. Analýza výsledků

V odpovědích, které studenti uvedli v dotaznících, jsme identifikovali společné

jevy a na základě tohoto kritéria jsme vytvořili třídy jevů.

a. Zkušenosti: dále jsme členili na „příběhy s dětmi“, „poučení“, „povzbuzují

zkušenosti“, „zkušenosti budící pochybnost“.

b. Osobní profesní rozvoj (OSR): dále jsme třídili na „moje pochybnosti“, „můj

strach“, „moje slabé stránky“, „moje silné stránky“.

c. Vlastní praxe – podle toho, koho se jev týká: dále jsme třídili na „obecně“,

„fakultní učitel“, „ZŠ učitel“.

d. Vlastní praxe – podle toho, čeho se jev týká: dále jsme třídili na „nezvládá“,

„nabídne“, „zvládá“.

Každou odpověď studenta je pak možné rozdělit na jednotlivé úseky (odpovídající

sledovanému jevu) a tyto zařadit do příslušné třídy. Výsledná matice má záhlaví, jak

uvádíme v tabulce 1. Do jednotlivých polí matice pak umisťujeme úseky odpovědí

studentů. Cílem je sledování výskytu jevu a četnost jeho zastoupení v odpovědích

studentů.

Tabulka. 1.

student zkušenosti OSR praxe

nezvládá nabídne zvládá

obecn

ě

ZŠ

učitel

fakultn

í

učitel

obecn

ě

ZŠ

učitel

fakultn

í

učitel

obecn

ě

ZŠ

učitel

fakultn

í

učitel

01

02

atd.

Konkrétní ilustrace na vybraném jevu uvádí R. Krpec (Krpec, 2017). Zde

aktuálně náš výzkum končí. V další fázi zamýšlíme získaná data analyzovat

elektronicky v procesu, který umožní ke každému identifikovanému jevu přiřadit

všechny korespondující odpovědi. Můžeme tak pro každý jev přesně určit jeho četnost.

Výhodou takto připraveného souboru je relativně snadná možnost porovnávání různých

skupin respondentů, např. v různých fázích profesní praxe nebo v jednotlivých

studijních skupinách. Dokážeme tak identifikovat jevy společné a jevy výjimečné jen


162

některým skupinám respondentů. Toto umožní formulaci incentiv v závislostech na

vnějších podmínkách a jejich porovnání.

4. Závěr

Výsledky šetření zamýšlíme následně porovnat s výsledky šetření probíhajícího

na KMaD PdF UK. Dokážeme tak identifikovat jak jevy oběma fakultám společné, tak

specifické a zamýšlet se nad vlivem prostředí, např. portfolia matematických předmětů,

výukovým stylem vysokoškolských učitelů, škol, kde studenti vykonávají praxi nebo

vedoucích učitelů praxe. Získaná zjištění pak implementovat do připravovaných

organizačních změn pregraduální přípravy učitele matematiky na 1. stupni ZŠ.

Literatura

DAVIS, R.B., MAHER, A.C, NODDINGS. N. (eds.): Journal for Research in

Mathematics Education. Monograph No. 4. Constructivist Views on the Teaching

and Learning of Mathematics. NCTM, 1990.

HEJNÝ, M. Pedagogické schopnosti učitele v matematice – příběh. In KOHNOVÁ,

Jana et al. Profesní rozvoj učitelů a cíle školního vzdělávání. Praha: UK v Praze,

PedF, 2012, s. 245-252.

HEJNÝ, M., ZEMANOVÁ, R. Vyučování orientované na budování schémat v praxi. In

Blanka Tomková, Marek Mokriš (Eds.) Matematika v primárnej škole – rôzne

cesty, rovnaké ciele. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou

účasťou. Prešov: Prešovská univerzita v Prešově, Pedagogická fakulta, 2013,

s. 82-86.

JIROTKOVÁ, D. Tool for diagnosing the teacher's educational style in mathematics :

development, description and illustration. Orbis Scholae, No. 2, vol. 6, 2012,

pp. 69-83.

JIROTKOVÁ, D., KRPEC. R. Vyučování orientované na budování schémat v přípravě

učitelů. In Blanka Tomková, Marek Mokriš (Eds.) Matematika v primárnej škole

– rôzne cesty, rovnaké ciele. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie

s medzinárodnou účasťou. Prešov: Prešovská univerzita v Prešově, Pedagogická

fakulta, 2013, s. 101-106.

KRPEC, R. JIROTKOVÁ, D. Očekávání studentů od praktické složky v přípravě

budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. V přípravě.

ZEMANOVÁ, R. Vyučování metodou budování schémat – ostravská zkušenost v

učitelské přípravě a praxi. In: Dva dny s didaktikou matematiky 2013. Praha:

Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, 2013, s. 110-113.

RNDr. Renáta Zemanová, Ph.D.

Katedra matematiky s didaktikou

Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita

Mlýnská 5, 701 03 Ostrava 1


Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D.


Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova

M. D. Rettigové 4, 116 39 Praha 1


mailto:[email protected]


163

Analýza predstáv štvrtákov o kruhoch

The analysis of 4th graders' conceptions of circles

Katarína Žilková

MESC: G23, D73

Abstract

In the project VEGA 1/0440/15 “Geometric conceptions and misconceptions of

children in preschool and school age” we are concerned with the perception of planar

geometric shapes by children and we investigate which attributes of shapes are preferred

in their identification. The article contains results of investigation related to the

perception of circles of children in fourth grade of the primary school.

Key words: a circle, a model, a non-model, van Hiele theory, children in fourth grade

of the primary school.

Abstrakt

V rámci riešenia projektu projektu VEGA 1/0440/15 „Geometrické koncepcie a

miskoncepcie detí predškolského a školského veku” sa zaoberáme otázkami, ako

vnímajú deti/žiaci rovinné geometrické útvary a zisťujeme, ktoré atribúty útvarov

preferujú pri ich identifikácii. Príspevok obsahuje výsledky zistení týkajúcich sa

vnímania kruhov žiakmi 4. ročníka základnej školy.

Kľúčové slová: kruh, model, ne-model, van Hiele, žiak 4. ročníka.

1. Úvod

Optimalizácia matematického vzdelávania je založená na dôkladnej analýze

súčasného stavu v danej problematike. Ak sa v ostatnom období hovorí

o minimalizovanej geometrickej príprave žiakov školského veku, tak je vhodné najskôr

zistiť aktuálny stav schopností žiakov a pokúsiť sa reflektovať tento stav pri príprave

dokumentov pre matematické vzdelávanie. V rámci riešenia projektu projektu VEGA

1/0440/15 sa zaoberáme otázkami, aké predstavy majú deti predškolského a školského

veku o rovinných geometrických útvaroch a zisťujeme ich prekoncepty a koncepty.

Cieľom je aj identifikovať najčastejšie miskoncepcie a zistiť mieru ich ustálenosti, aby

sa mohli navrhnúť účelné a efektívne didaktické edukačné postupy v geometrickom

vzdelávaní. Príspevok obsahuje výsledky zistení týkajúcich sa predstáv žiakov

4. ročníka základnej školy o kruhu.


164

2. Výskumná vzorka a nástroj

Výskumný súbor tvorilo 345 žiakov 4. ročníka základných škôl, prevažne

z oblastí situovaných na severe a severovýchode Slovenska. Subjekty výskumu boli

vyberané na základe dostupnosti a súbor pozostával aj z bežnej populácie, aj z populácie

detí zo sociálne znevýhodneného prostredia. Krajové zastúpenie subjektov výskumu je

uvedené v tabuľke 1.

Tabuľka 1. Krajové zastúpenie výskumného súboru.

kraj počet

žiakov

Bansko-Bystrický 11

Prešovský 80

Košický 57

Žilinský 190

Trenčiansky 7

spolu 345

Výskumným nástrojom bol neštandardizovaný test vytvorený jednak na základe

obsahu ŠvP pre matematiku primárneho vzdelávania, ale aj na základe teoretických

východísk van Hiele poznávacieho procesu v geometrii. Napriek tomu, že test nie je

štandardizovaný, po analýze získaných údajov sa ukázalo, že vykazuje známky

kvalitného testu s diagnostickým potenciálom. Hlavné zameranie testu bolo cielené na

zisťovanie predstáv a chybných predstáv štvrtákov o rovinných geometrických

útvaroch. Rozlišovali sme schopnosť žiakov pomenovať útvar, identifikovať ho (rozlíšiť

ho medzi inými geometrickými útvarmi), poznať jeho elementárne vlastnosti a vytvoriť

jeho model. V príspevku predkladáme výber zistení týkajúcich sa problémov spojených

s identifikáciou kruhu na základe grafickej reprezentácie.

3. Analýza dát

V rámci analýzy získaných údajov sme si kládli niekoľko cieľov. Jedným z nich

bolo zistiť náročnosť správnej identifikácie kruhov a porovnať ju s náročnosťou

identifikácie iných geometrických útvarov (trojuholník, štvorec a obdĺžnik). Ďalším

cieľom bolo zistiť úspešnosť a náročnosť rozlišovania medzi modelmi a ne-modelmi

kruhov, resp. vytvoriť rozdelenie grafických reprezentácií modelov a ne-modelov podľa

obtiažnosti pre žiaka 4. ročníka základnej školy.

Prostriedkami štatistickej analýzy (nielen na základe úspešnosti žiakov) sa

potvrdil náš predpoklad, že žiaci 4. ročníka ZŠ identifikujú kruhy v porovnaní

s trojuholníkom, štvorcom a obdĺžnikom najľahšie, a teda hodnotíme ich z hľadiska

rozlišovania ako geometrické objekty najmenej náročné pre žiakov. V tomto

konštatovaní iste zohráva úlohu aj skutočnosť, že kým pri iných geometrických

útvaroch je pri identifikácii významná aj poloha útvaru, pri kruhu je tento atribút

eliminovaný. V ďalšej analýze sa budeme venovať výsledkom vyhodnotenia toho, ako

žiaci identifikujú grafické reprezentácie rôznych útvarov ako modely a ne-modely

kruhov. Základom skúmania bola predloha (obrázok 1), na ktorej boli tri modely kruhov

rôznej veľkosti a ostatné útvary, ktoré mohli holisticky pripomínať žiakom kruh. Každý

žiak mal vyznačiť, ktoré útvary na obrázku nie sú kruhy, teda mal identifikovať tzv. ne-

modely kruhov. Túto časť testu budeme v ďalšom texte označovať ako subtest.


165

Odpovede žiakov na každú z položiek sme kódovali binárne (0 – nesprávna odpoveď,

1 – správna odpoveď), čo umožnilo získať výsledky pre každý z útvarov A až P zvlášť.

Obrázok 1. Predloha na identifikáciu modelov a ne-modelov kruhov.

4. Výsledky: modely a ne-modely kruhov

Úspešnosť žiakov v kontexte správnej identifikácie je uvedená v tabuľke 2.

Posledné písmeno zakódovanej položky označuje príslušný útvar (pozri obrázok 1).

Teda napríklad Ci5A označuje prvý útvar na predlohe označený písmenom A.

Reliabilita subtestu odhadnutá Cronbachovou alfou je 0,82, a teda vnútorná

konzistencia položiek v rámci uvedenej predlohy je veľmi dobrá. Na základe úspešnosti

v identifikácii útvaru môžeme konštatovať, že najľahšie a najspoľahlivejšie bol

identifikovaný „kruh strednej veľkosti“, na predlohe označený ako útvar C.

Najproblematickejším útvarom z hľadiska identifikácie ako modelu alebo ne-modelu

kruhu bol útvar J, pri ktorom žiaci dosiahli mimoriadne nízku úspešnosť.

Tabuľka 2. Úspešnosť v identifikácii útvaru.

položka úspešnosť položka úspešnosť

Ci5A 0,96 Ci5J 0,45

Ci5B 0,95

Ci5K 0,97

Ci5C 0,98

Ci5L 0,97

Ci5D 0,96

Ci5M 0,79

Ci5E 0,82

Ci5N 0,94

Ci5F 0,80

Ci5O 0,96

Ci5G 0,80

Ci5P 0,92

Ci5H 0,84

Zamerajme sa teraz podrobnejšie a osobitne na kategóriu modelov a kategóriu ne-

modelov kruhov. Cieľom bolo zistiť, ktoré útvary spôsobujú žiakom väčšie problémy

v identifikácii, teda ktoré vlastnosti útvarov preferujú pri rozlišovaní.

Výsledky pre modely kruhov

Reliabilita položiek, ktoré tvorili modely kruhov, odhadnutá Cronbachovou alfou

je 0,73, čo je prijateľná hodnota. Celkovú reliabilitu tejto časti testu znižuje iba položka

Ci5N, po ktorej odstránení by alfa dosiahla hodnotu 0,82.


166

Percentuálna úspešnosť presiahla v každej z položiek hodnotu 94%. Veľmi

vysoké sú i hodnoty parametra diskriminácie pre každú položku a všetky parametre

náročnosti dosahujú pomerne vysoké, navzájom iba málo sa líšiace, negatívne hodnoty,

čo poukazuje na nízku náročnosť položiek. Teda identifikácia rovinných útvarov, ktoré

sú modelmi kruhov, na základe grafickej reprezentácie, nie je pre žiakov náročná úloha

a spoľahlivo dokážu rozlíšiť tieto útvary od útvarov, ktoré nie sú kruhmi.

Tabuľka 3. Percento úspešnosti riešenia v každej položke, faktorová záťaž,

diskriminačný parameter položky, náročnosť položky.

Útvar %

Faktorová

záťaž

Diskriminácia Náročnosť

𝒂𝒊 SE 𝒃𝒊 SE

Ci5C 97,7 0,95 4,83 1,69 -2,02 0,29

Ci5L

97,4 1,00 22,48 380,16 -1,97 1,36

Ci5N

94,2 0,85 2,85 1,11 -1,78 0,33

CochranovQ test preukázal, že trojica útvarov, ktoré sú kruhmi (C, N, L) neboli

pre žiakov na identifikáciu rovnako náročné (Q(2) = 14,00, p = 0,001), pričom

spomedzi tejto trojice bol najnáročnejší útvar N.

Tabuľka 4. Rozdelenie položiek subtestu „Kruhy“ do dvoch zhlukov.

Zhluky Útvary Graficky

1 Ci5L, Ci5C

2 Ci5N

Teda, i keď pri modeloch kruhov odpadá významný aspekt polohy rovinného

útvaru v rovine, výsledky naznačujú, že aj „veľkosť kruhu“ môže byť pre žiakov

významný atribút pri jeho identifikácii. Aj výsledky skúmaní v nižších vekových

kategóriách ukazujú, že sa deti často vyjadrujú na margo menšieho modelu kruhu

a označujú ho nie ako kruh, ale napr. ako krúžok. Alebo ho označujú ako kruh, ale

s „výhradou“ (resp. akýmsi diskriminačným atribútom), napr. „je to kruh, ale je taký

maličký“. Je teda pravdepodobné, že takto vytvorená predstava detí už v nižšom veku je

stabilná, zrejme aj ťažšie modifikovateľná, a následne zotrváva aj do pomerne vyššieho

veku dieťaťa.

Výsledky pre ne-modely kruhov

Reliabilita časti testu obsahujúca ne-modely kruhov odhadnutá Cronbachovou

alfou je 0,80, čo je veľmi dobrá úroveň.

Spomedzi všetkých položiek dosiahli žiaci najnižšiu úspešnosť v položke Ci5J

(45,2%). Taktiež najnižšiu hodnotu dosahuje diskriminačný parameter tejto položky

(0,73), čo je stredne silná diskriminácia. Znamená to, že táto položka nerozlišuje tak

dobre medzi osobami s rôznymi schopnosťami. Z uvedeného dôvodu by bolo dobré túto

položku z testu vynechať. Všetky ostatné položky dosahujú vysokú hodnotu

diskriminačného parametra (≥ 0,80).


167

Korelácia latentných premenných dosahuje hodnotu 0,47. Polovica položiek silno

koreluje práve s jedným z faktorov a s druhým má veľmi nízku koreláciu. Druhá

polovica položiek (Ci5A, Ci5B, Ci5D, Ci5K, Ci5O, Ci5P) koreluje s oboma faktormi.

Vzhľadom na záporné hodnoty faktorových záťaží, zodpovedajú vyššie hodnoty

parametrov náročností (MDIFF1, MDIFF2) menej náročným položkám. Vzhľadom na

prvú latentnú premennú sú najnáročnejšími položkami Ci5F a Ci5G a najmenej

náročnými položkami sú Ci5D, Ci5K, Ci5P, Ci5O.

Tabuľka 5. Percento úspešnosti riešenia v každej položke, faktorová záťaž,

diskriminačný parameter položky, náročnosť položky.

Útvar %

Faktorové

záťaže Diskmininácia Náročnosť

F1 F2 𝒂𝒊 MDIFF1 MDIFF2

Ci5A

96,2 -0,39 -0,66 2,26 0,92 0,39

Ci5B

95,4 -0,37 -0,68 2,25 0,91 0,42

Ci5D

95,7 -0,54 -0,22 0,89 1,00 0,00

Ci5E

81,7 -1,00 0,11 28,61 0,93 -0,38

Ci5F

80,0 0,09 -1,00 32,04 0,64 0,77

Ci5G

79,7 0,09 -1,00 9,95 0,65 0,76

Ci5H

84,1 -0,06 -0,74 1,23 0,75 0,66

Ci5J

45,2 -0,09 -0,54 0,73 0,79 0,61

Ci5K

97,1 -0,58 -0,39 1,54 0,99 0,13

Ci5M

79,4 -1,00 0,04 5,30 0,95 -0,33

Ci5O

95,9 -0,60 -0,25 1,11 1,00 0,00

Ci5P 91,6 -0,62 -0,25 1,22 1,00 0,00

Na základe hodnôt parametrov náročnosti z 2D 2PL modelu sme zhlukovou

analýzou zistili, že optimálnym riešením je rozdeliť položky do piatich zhlukov

(obrázok 2).

Obrázok 2. Položky v priestore náročností.

Ci5ACi5B

Ci5D

Ci5E

Ci5F Ci5G

Ci5HCi5J

Ci5K

Ci5M

Ci5OCi5P

0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05

MDIFF1

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

MD

IFF

2

Ci5ACi5B

Ci5D

Ci5E

Ci5F Ci5G

Ci5HCi5J

Ci5K

Ci5M

Ci5OCi5P

Zhluk 1

Zhluk 2

Zhluk 3

Zhluk 4

Zhluk 5


168

Objekty v prvom zhluku sú najnáročnejšie a objekty vo štvrtom zhluku možno

považovať za najmenej náročné. Piaty zhluk (Ci5M, Ci5E – dvojica útvarov

ohraničených elipsami), resp. jeho poloha, je z hľadiska náročnosti pomerne atypická

(pozri obrázok 2). Pre prehľadnosť a názornosť ilustrujeme rozdelenie aj

prostredníctvom grafickej reprezentácie ne-modelov kruhov (tabuľka 6).

Tabuľka 6. Rozdelenie položiek subtestu „Kruhy“ do piatich zhlukov.

Zhluky Útvary Grafická reprezentácia

1 Ci5F, Ci5G

2 Ci5H, Ci5J

3 Ci5B, Ci5A

4 Ci5K, Ci5O, Ci5D, Ci5P

5 Ci5M, Ci5E

Môžeme konštatovať, že pomocou zhlukovej analýzy sa roztriedili ne-modely

kruhov na triedy veľmi príbuzných objektov. Do prvého zhluku patria dva pravidelné

mnohouholníky, ktoré vizuálne pripomínajú kruhy a patrili z hľadiska identifikácie

k najnáročnejším položkám aj z pohľadu schopností žiakov. Pre štvrtáka sú v druhom

zhluku pomerne atypické a málo frekventované rovinné útvary. Tretí zhluk je

reprezentovaný útvarmi, ktoré majú sčasti kruhový tvar, ale kruhmi nie sú. Do štvrtého,

najpočetnejšieho zhluku patrí štvorica útvarov, ktoré sú typovo tiež veľmi príbuzné,

majú príliš „hranaté tvary“ (K, O, D, P). A nakoniec, v piatej skupine sú útvary

ohraničené elipsami.

5. Záver

Empirické dáta preukázali, že rozdelenie útvarov do skupín veľmi presne

zodpovedá holistickému vnímaniu týchto útvarov, čo zodpovedá van Hiele teórii

o poznávacom procese v geometrii (van de Walle, John, 2001). K podobnému záveru

sme dospeli aj v prípade nemodelov štvorcov, obdĺžnikov a trojuholníkov. Celá skupina

útvarov na predlohe (obrázok 1) sa, na základe získaných údajov v rámci vyššie

špecifikovaného výskumného súboru, rozložila na disjunktné triedy, v ktorých sa

nachádzajú veľmi „podobné“ rovinné útvary so spoločným atribútom. Pri identifikácii

kruhu je síce eliminovaný atribút polohy útvaru, ale ukázalo sa, že aj veľkosť kruhu nie

je pre žiakov 4. ročníka základnej školy zanedbateľný atribút. Pri spracovaní údajov

a ich analýze sme reflektovali schopnosti žiakov v kontexte náročnosti položiek.

Dôsledkom tohto analytického prístupu je zistenie skutočností, ktoré môžu mať vplyv


169

na skvalitnenie výskumného nástroja. Položky (resp. grafické reprezentácie rovinných

útvarov), ktoré vykazovali „slabšie” štatistiky môžu byť vynechané a nahradené

položkami umožňujúcimi získanie nových informácií s cieľom vytvoriť kvalitný

diagnostický nástroj na zisťovanie miskoncepcií žiakov 4. ročníka o rovinných

geometrických útvaroch.

Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu projektu VEGA 1/0440/15

„Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku”.

Literatúra

VAN DE WALLE, JOHN A. (2001). Geometric Thinking and Geometric Concepts. In

Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 4th ed.

Boston: Allyn and Bacon. On line

http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/pdfs/session9/vand.pdf.

doc. PaedDr. Katarína Žilková, PhD.


Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita v Ružomberku

Hrabovská cesta 1

Ružomberok


Názov Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax

Druh publikácie Zborník

Vydavateľ Belianum. Vydavateľstvo Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici

Tlač EQUILIBRIA, s.r.o. Košice

Rok vydania 2017

Náklad 70 ks

Počet strán 170

Vydanie 1.

ISBN 978-80-557-1236-9

primárne matematické vzdelávanie teória, výskum a · pdf...

Documents