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Galileo, dialogo dei massimi sistemiStesse leggi della fisica in tutti i sistemi inerziali
= − ⇒
nave portor r ut
invarianteamF
=⇒
= −
. .
' rispetto alla nave v vrisp nave risp porto
velocitau
Relativita’
porto
xnave
xporto
nessun esperimento sulla nave scoprira' u
Lunghezze invarianti
1
⇒velocita' u
Per Galileo, t=t', T S
T T
S S
r r utr posizione rispetto a Or posizione rispetto a O
= −
==
Invece della nave useremo il paragone del treno
2
Ma l’Elettrodinamica ?
∂ ∂∇ − = ∇ − = ∂ ∂
2 22 2
2 2 2 2
senza sorgenti,onde elettromagnetiche :
1 10 0E Bc t c t
C = velocita’ della luce: rispetto a chi? Secondo la relativita’ , rispetto a qualsiasi riferimento.
3
Lo spazio e il tempo sono un a priori
x
stazioneCarattere relativo della simultaneita’
4
Macchinista:
gli specchi riflettono la luce contemporaneamente.
Capostazione:
La luce ci mette tempo per arrivare. Poiche’ lo specchio B si allontana dal punto O da dove e’ partita la luce mentre A va verso O , la luce arriva prima in A perche’ deve fare un cammino piu’ corto.
Chi ha ragione? Tutti e due!
Il macchinista lancia dal punto O un segnale luminoso e misura il tempo che la luce impiega per arrivare agli specchi A e B solidali col treno ed equidistanti da O.
4
oA B
stazione
h
Esperimento pensato sulla Relativita’ dei tempi
Quanto ci vuole perche’ la luce arrivi sul pavimento?
Macchinista:
tempo proprioThtc
=
Sut
h222Stuh +
Per il capostazione
2 2( )SS
h utt
c+
=Capostazione:
2 2 2 2 2= +S Sc t h u t
risolvendo,2
2
1
1
(time dilation)
S Tht tc u
c
= >
−
2 2 2 2( )− =Sc u t h
capostazione: l’orologio del macchinista va indietro.
macchinista : l’orologio del capostazione va indietro. L’esperimento si puo’ fare a ruoli invertiti!Tempo proprio: il piu’ corto
5
6
Relativita’ delle lunghezze
Sul treno che viaggia lungo l’asse x con velocita’ u ci sono specchi a distanza l dalla sorgenteluminosa O. Mentre OA e’ lungo l’asse x, OB e’ lungo y.
stazione
B
AO
Macchinista e capostazione sincronizzano gli orologi a t=0 quando il treno passa dalla stazione.
7
L’origine della stazione OS era in O=OT al tempo t=0
Segnale partito da O al tempo t=0
Segnale riflesso da A e B simultaneamente al tempo t=l/c
Riflessione da A: ( ), , , ( ,0,0, )lx y z t lc
=
Riflessione da B: ( ), , , (0, ,0, )lx y z t lc
=
Ritorno simultaneo in O:
( ) 2, , , (0,0,0, )lx y z tc
=
Diario di bordo del Macchinista:
OAO OBOτ τ=
B
AO
8
2
2
2 e' un tempo proprio,
misurato da un solo orologio mentre
ci aspettiamo che il capostazione misuri 1
T
TS T
ltc
tt tuc
=
= >
−
Ritorno simultaneo in O:
( ) 2, , , (0,0,0, )lx y z tc
=
simultaneita’ assoluta, perche’ i due eventi avvengono nel medesimo punto!
OAO OBOτ τ=
9
Diario del capostazione
La velocita' del treno e' parallela all'asse x. Il treno e' passato al tempo t =0.La lunghezza del braccio lungo y misurata dal macchinista e' OKanche per me perche' ortogonale al moto;
La lungh
Su
ezza l del braccio lungo x e' misurata dal macchinista ; l'esperimentomi serve per misurarla e chiamero' la mia misura l ; la mia misura si basa su eventi non simultanei.
Le origini coincidono a t=0
x
, quando parte il segnale, che arriva in A al tempo .OAτ
B
AO
10
la velocita’ e’ c
( )ττ
τ τ
+= = ⇒ =
−
=
22
2
4 2' '' 1
1
dove l . Questo e' il normale allungamento dei tempi (time dilation).
y OBO yOBO
OBO OBO
y
l u lO BOcc u
cOB
Il percorso OBO
OBOuOO τ='''
O’ O’’
2 2' '' 2 ( )2OBOuO BO l τ
= +
B
11
τ ττ+
0 0
0
Nel tempo lo specchio A avanza di u ;quindi la luce percorre l
A A
x Au
il tempo e' x OA xOA
OA
l u lcc u
τ ττ+
= ⇔ =−
ma al ritorno
c c u→ + 2
2
2 1
1
x xAO OAO
l luc u cc
τ τ= ⇒ =+ −
u allunga il tempo, ma stavolta di piu’ ! Se fosse OA=OB il raggio riflesso da A dovrebbe tornare in O dopo quello riflesso da B
Il percorso OAO B
AO
12
Questo comporta che anche la lunghezza di OA e’ diversa per capostazione e macchinista, ed e’ massima per il macchinista (lunghezza propria), mentre per il capostazione
2
1Sul lc
= −
2 2
2
2 1
1
2 1
1
OBOBO
OAOAO
lucc
lc u
c
ττ = = −
=
−
Contrazione di Lorentz
La contrazione della lunghezza OA
Ma , la differenza di ritardo non ' '. e' piu' corto di
OAO OBO
OA OB
c el l
τ τ=⇒
13
OA e’ davvero piu’ corto nel sistema della stazione, non lo sembra. Qualsiasi misura del
capostazione lo conferma.
Sono effetti reali!
Lunghezza propria: e’ la piu’ lunga
tempo proprio: e’ il piu’ breve
14
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ET T T Tx y z t
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ES S S Sx y z t u
Posizione del semaforo e trasformazione di Lorentz
Il Capostazione accende un semaforo a distanza xs dalla stazione a un certo istante ts. L’accensione e’ un evento E. Capostazione e macchinista osservano E ed esprimono la sua distanza da OS ciascuno in termini delle proprie misure
Macchinista e capostazione sincronizzano gli orologi a t=0 quando il treno passa dalla stazione.
15
:La stazione e il semaforo corrono a -u.distanza in moto dell'evento da :
(misurata in moto)distanza evento da :
T T
S T T
S T T
Macchinista
O xO O ut
O x ut=
+
:acceso semaforo a tdistanza evento da :
(lunghezza propria,misurata col metro)
S
S
S
Capostazione
Ox
2
21T T Sux ut xc
+ = −Contrazione relativistica:la misura del
macchinista e’ piu’corta
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ET T T Tx y z t
( ) ( ) ( ) ( )( , , , )E E E ES S S Sx y z t u
16
2
21T T Sux ut xc
+ = − ( )2
21
T TS T T
x utx x utuc
γ+= = +
−
2
2
1dove si definisce 1
cu
γ =−
( ) ( )2
21
T TS T T T S S
x utx x ut x x utuc
γ γ+= = + ⇒ = −
−
Per il principio di Relativita’ la stazione viaggia a -u:
Come si trasforma il tempo?
17
( )( )
−=+=
SST
TTS
utxxutxx
γγDa eliminando xT esprimere tT in
termini di xS, tS
( )S S S Tx x ut utγ γ = − +
2 2S S S Tx x ut utγ γ γ= − +
( )2 21S S Tx ut utγ γ γ− = − +
ora basta ricavare Tt
18
TSS ututcux γγ =
+− 2
22
−= 2c
uxtt SST γ
2
22 2
2 2
22
222
2 2 22
1 11 1 1 c1 11 1 11 c c cc
uc
u
u u uuγ γ γγ
− −= ⇒ = ⇒ − = − =
− −−
= −−
( )2 21S S Tx ut utγ γ γ− = − +
22 2
2 S S Tu x ut utc
γ γ γ−= − +
19
Trasformazione di Lorentz
2
2
1 1, .1
c
per c e torna Galileou
γ = → →∞
−
( )
( )
2
2
'
:
T S S T S S
S T T S T T
uL inversa di x x ut t t xc
si ottiene da u uux x ut t t xc
γ γ
γ γ
= − = − → −
= + = +
( )
2
T S S
T S
T S
T S S
x x uty yz z
ut t xc
γ
γ
= −
=
=
= −
20
Con la trasformazione, le lunghezze cambiano e anche gli intervalli di tempo.C’e’ pero’ un invariante: l’intevallo s tale che
= −2 2 2 2sIntanto, due eventi hanno s=0 se la luce va da uno all'altro.
S Sc t x
Sorgenteche emette un lampo di luce
Propagazione di un lampo di luce lungo l’asse x=x’
Sorgenteche emette un lampo di luce
rivelatore
Capostazione:
= − =2 2 2 2
luce emessa dalla sorgente e rivelata dal rivelatore posto a distanza L dopo un tempo t s 0S Sc t x
Macchinista:
= − =2 2 2 2
luce emessa dalla sorgente e rivelata dal rivelatore posto a distanza L' dopo un tempo t's 0T Tc t x
Devono concordare che l’intervallo s=0.
Propagazione di un lampo di luce lungo l’asse x=x’
l’invarianza dell’intervallo 21
= −2 2 2 2
Verifica della conservazione dell'intervallo s, cioe' invarianza di s c t x
β
β
=
− = − = +
0
2 2 2 20 0 0
Poniamo , =
Deve venire x x x x . Per Galileo S S T T S T T
ux ctc
x x x
γ β γ β= + = +0 0 0Prendiamo ( ) ( ) S T T S T Tx x x x x x
γ β β
γ β β
γ β γβ
− = + − + = + + − + +
= − − = −= −
2 2 2 2 20 0 0
2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
2 2 2 2 20 2
2 20
( ) ( )
2 ( 2 )
1 (1 ) .Quindi, dato che , 1
S S T T T T
T T T T T T T T
T T
T T
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x22
γ β γ β
γ β
= + = +
−
0 0 0
2
2
( ) ( )1 = =
1
S T T S T Tx x x x x xucu
c
γ β γ β→
= − = −0 0 0
L'inversa si ottiene con u -u ( ) ( ) .T S S T S Sx x x x x x
23
La trasformazione di Lorentz lascia invarianti le equazioni di Maxwell.
= −
> <
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
s =0 intervallo lightlike intervallo timelike intervallo spacelike
Per u c torna Galileo.
c t xc t x c t x
γ
γ
⊥= + +
= +
2
r (r ) ((r ) ) v.r
t ( )
S T T T
TS T
vt
tc
Velocita’ in direzione arbitraria
γ
γ
⊥= + −
= −
2
r (r ) ((r ) ) v.r
t ( )
T S S S
ST S
vt
tc
⊥=
v velocita' del treno, r= r +r con r parallelo a v
γ β
−2
2
1 v = = v1
cc
24
γ β γ β
γ β
= + = +
−
0 0 0
2
2
Il caso v//x ( ) ( )1 = = si generalizza
1
S T T S T Tx x x x x xucu
c
Tempo proprio di una astronave in moto arbitrario
stazione
dxS
22 2 2 2 2 2 2
2 2
Nel sistema di riposo della astronave mentre per il capostazione percorre dx,ds=cd =tempo proprio, invariante. Per il capostazione, ds e' lo stesso, pero'
1 ds =c dt c dt (1 ) c dc dt
dxdx
τ τ
− = − =2
2 2 2 22
2
t (1 ) c dt (1 ), dove .c c
ddt d . Il tempo passa piu' veloce per il capostazione.1
u uβ β
τ τβ
− = − =
= >−
2
1
1 2
1 2
2 1
L'astronave viaggia il suo orologio va da a .L'intervallo da a sull'astronave vale alla stazione
t ( )t dτ
τ
τ ττ τ
γ τ τ− = ∫25
= − = −2 2 2 2 2 2 2ss= intervallo invariante
T T S Sc t x c t x
Paradosso dei gemelli: il gemello che vola resta piu’ giovane.
Contrazione delle lunghezzedalla trasformazione di Lorentz
1 2 e siano estremi di una sbarra lunga L sul treno.T T Tx x
γ β γ β β
γβ
∆ =
= + ⇒ ∆ = ∆ + ∆
= >−
0
0 0
2
per trovare la lunghezza misurata dal capostazione non si puo' porre 0 nella
( ) ( ), =
che porterebbe ad un allungamento 1dato che 1.
1Questo e' un trabocc
T
S T T S T T
xux x x x x xc
hetto perche' gli estremi vanno misurati simultaneamente nella stazione.
26
Contrazione delle lunghezze
γ β
γ γ
γ β γβ β
∆ = ∆ − ∆ ∆ =
⇒ ∆ = ∆ ⇒
∆ = ∆ −∆ ∆
= −
=
0 0
0 0
2
21 contrazione di
Usiamo invece ( ) ponendo 0. L = L .
Poi da ( )= troviamo che per il macchinistale estremita' della ba
Lorentz
r
.
r a
T S S S
T
S
S T S
T S S S
T
x x x x
x x
x x x x L
uL Lc
non sono state misurate simultaneamentema e' stata misurata prima quella davanti.
1 2 e siano estremi di una sbarra lunga L sul treno.T T Tx x
27
=
Il gatto del macchinista si mette a correre sul treno.
Macchinista: la velocita' del gatto e' T
T
dxWdt
[ ]
2
γ
γ
+⇒ = =
+
T TS
ST T
dx udtdxVudt dx dtc
Composizione relativistica delle velocita’ e velocita’ limite
21
W uV uWc
+=
+
( ) 2S T T S T Tux x ut t t xc
γ γ = + = +
Per il capostazione, la sua velocita' e' = S
S
dxVdt
2
Puo' aiutare mettere degli indici:1
gT TSgS
gT TS
W uV W u
c
+=
+
28Non si puo’ mai raggiungere c
Problema
Un razzo R si allontana dalla terra T in linea retta lungo l’asse x .
Un UFO viene avvistato da terra e dal razzo, mentre si muoveanch’ esso in linea retta lungo l’asse x. Visto da terra, questo UFO si muove a 0.5c, mentre visto dal razzo si muove a −0.5c. Qual’e`la velocita´di R rispetto a T ?
29
0.5 c
u
Toh, un ufo che va a -0.5 c
1uR RT
uTRT uR
W uVu W+
=+
0.5 , 0.51
uR RTuR
uR RT
W u con WW u+
= = −+
0.8RTu =
StazioneTerra
Trenorazzo gattoufo
Toh, un ufo che va a 0.5 c
30
Esame del 23/6/2009
31
Esame del 23/6/2009
32
33
Geometria
Per la relativita’ di Galileo, il mondo e’ descritto da un tempo 1d e una geometria euclidea 3d
Per Einstein la geometria e’ spazio-temporale, 4d e non euclidea.
x2+y2+z2- (ct)2 =s2 conservazione dell’intervallo
x2+y2+z2+(ict)2 =s2 generalizza Pitagora a 4d ed esprime la conservazione
del’intervallo:
Basta porre x4=ix0=ict per essere (pseudo) eucliei
Cronotopo di Minkowsky
( )
( )
1 1 0
2 2
3 3
0 0 1
'''
'
x x xx xx x
x x x
γ β
γ β
= − = = = −
1 4 1 4' ... ' treno ...x stazionex x x
34
Cronotopo di Minkowsky
( )
( )
γ β
γ β
= −
=
= = −
1 1 0
2 2
3 3
0 0 1
''
riproduce '
'
x x xx xx x
x x x
1 4 1 4' ... ' =ict' treno ...x =ict stazionex x x
1 011
222
333
0 11
0 00 1 0 0
Posto ,0 0 1 0
0 0
( )0 00 1 0 00 0 1 0
( )0 0
i
i
x xx cti xxxxxxx
i x xi x icti ict
γ βγ
βγ γ
γ βγ βγγ βγ
γ ββγ γβγ γ
Λ = −
−− = =
−− +−
35
Trasformazione di Lorentz: lineare, lascia invariato l’intervallo (tensore di rango 0)
Convenzione di Einstein: somma sugli indici ripetuti
'
significa '
x x
x xµ µν ν
µ µν νν
= Λ
= Λ∑
2 2 2
0 00 1 0 0
; det( ) 1.0 0 1 0
0 0
cos( ) sin( ) le rotazioni
sin( ) cos( )
i
i
come
γ βγ
γ β γ
βγ γ
θ θθ θ
Λ = Λ = − = −
−
36
Analogia formale:
spazio 3d
rotazioni
scalari =invarianti per rotazione
vettori: vanno per rotazione come punti
{ }, 1, 2,3scalare
i
i i
x ix x
=
=
{ } { }tensori , ,
1, 2,3 , 1, 2,3 , k 1,2,3i j i j kx x x x x
i j= = =
Cronotopo 4d
trasformazioni di Lorentz
scalari =invarianti per Lorentz
quadrivettori: vanno per Lorentz
come punti
{ }, 1, 2,3, 4
scalare
x
x xµ
µ µ
µ =
=
{ } { } { }tensori , , ,
1, 2,3, 4 , 1, 2,3,4 , 1,2,3,4
x x x x x xµ ν µ ν µ ρ
µ ν ρ= = =
37
distanza pseudoeuclidea (positiva, nulla o negativa)
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4( )s x y z ict x x x x∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
x4=ictx0=ct
Non sono scalari le lunghezze e gli intervalli di tempo
Scalari: lunghezza propria, intervallo fra due eventi, il tempo proprio
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 0 1 2 3
2 2 2tempo proprio : invariante
s x x x x x x x c tdss c dc
τ τ
∆ = ∆ + ∆ + ∆ −∆ = ∆ + ∆ + ∆ − ∆
∆ = − ∆ ⇒ =
10
( )
µ µ
µ µ µ
γ −= − = = −
−
= = ⇒ = − =
2 22
2 2 2 2
2 2 22
2
4
I prodotti scalari fra quadrivettori danno scalari, cioe' invarianti relativistici:
, e' scalare.
( )1
u cw w u c cu
x x x ict x x x c t
c
s
quadrivelocita’:dw xdµ µτ
=
Quadrivettori: si trasformano come xµ 'w wµ µν ν= Λ
Esempi:punto cronotopico: ( )µ = =
4, ,x x x ict2
1
−=
cudtdτ
µ µ µ γτ
= = = = − −
2 2
1 1 , ( , )1 1
d d dw x x x ic u icd dt dtu u
c c
= = trivelocita' quadrivelocita'u w
39
1 2 3
0 0 0
0 1 2 3
dV non e' uno scalare: trasformando lungo x dV
=cdt non e' uno scalare: trasformando lungo x dx dx e' uno scalare.
dV dx dx dx
dxcdVdt dx dx
B
dx dx
N
γγ
= →
→=
1 2 3
La carica q= contenuta in e' scalare; per esempio, il numero di elettroni si ottiene con un conteggio e non dipende dal riferimento.
non e' uno scalare: trasformando lungo x, dV
dV dV
dV dx dx
B
dx
Nρ
= →
0
dV .
Quindi in modo che q q. deve trasformarsi come =cdt come la componente 0 di un quadrivettore.dx
γρ γρ
ρ→ →
µµ
ρ ρρ= = =
0quadricorrente: ( , ),dx
j J i jdt c c
40
µ
µ µ
µ
ω ω
ω
= =
=
=
0( , ),
kr- t scalarequadrivettore d'onda
k k i kc c
k xk
φ ω
La fase di un'onda elettromagnetica =kr- t e' scalare (se ilcampo e' nullo in un punto lo e' per tutti; il numero di nodifra due punti e' una questione di conteggio ed e' invariante).
41
42
Vettori e tensori in 2dCos Sin
Rotazione vettori v= ,w=Sin Cos
x x
y y
v wR
v wθ
θ θθ θ
−
Cos Sin Cos SinCos Sin : vettori v ,w
Sin Cos Sin CosSin Cosx y x y
x y x y
v v w wR
v v w wθ
θ θ θ θθ θθ θ θ θθ θ
− − − → → + +
Tensore a 2 indici: si trasforma come
T=
(Cos Sin )(Cos Sin ) (Cos Sin )(Sin Cos )
(Sin Cos )(Cos Sin ) (Sin Cos )(Sin Cos )
x x x y
y x y y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
v w v wv w v w
v v w w v v w wv v w w v v w wθ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ
− − − + → + − + +
Elettrodinamica classica
πρ
π
∇ =
∇ =
∂∇∧ = −
∂∂
∇∧ = +∂
Equazioni di Maxwell nel vuoto: invarianti
4
0
1
1 4
E
B
BEc t
EB jc t c
e si ottiene :
AE B At
φ ∂= −∇ − = ∇∧
∂
π φ πρ ∂ ∂∇ − = − ∇ − = − ∂ ∂
2 22 2
2 2 2 2
:
1 4 1 4
onde
A jc t c c t
µ µ
µ
φ φ
ω ω
= =
= =
0
0
quadrivettore corrente: potenziale : ( , ),
quadrivettore d'onda : ( , ),
j A A i Ac c
k k i kc c
µ µπ
⇒
∂∇ − = − ∂
22
2 21 4A jc t c
Trasformazione di Lorentz :' ' 'j j A A k kµ µν µ µ µν µ µ µν µ= Λ = Λ = Λ
43
44
Problema: il capostazione misura un campo e.m. prodotto da
, jρ
E’ chiaro che una carica ferma nella stazione e’ carica+corrente per il macchinista.
Che campo misura il macchinista?Risposta: formare il quadrivettore, fare la Lorentz. Risolvere di nuovo le equazioni di Maxwell.
I campi elettrico e magnetico non si trasformano come quadrivettori.
4
Tensori a 2 indici: oggetti chesi trasformano come
'Tensore a 4 indici:
'
contraendo, cioe' sommando in questo modo i tensori si trovano sca
lar
wx x
w w
A A
NB w w x x x x s
µν
µ ν
µν µρ νσ ρσ
αβγδ αη βθ γλ δν ηθλν
µν µν µ µ ν ν
= Λ Λ
= Λ Λ
=
Λ Λ
=
i
Scalari= tensori a 0 indici, quadrivettori= tensori a 1 indice, e sono usati anche tensori a parecchi indici.
Einstein: Le leggi della Fisica sono uguaglianze fra tensori. Relativizzazione delle leggi fisiche= trascrizione in forma tensoriale. 45
4
Il Campo elettromagnetico e' un tensore:
Il Campo elettromagnetico e' un tensore antisi
contraendo in questo modo i tensori si trovano scal
mmetrico:
ri
a
AAFx x
F F
NB w w x sx x x
F F
µνµν
µ ν
νµ µν
µν µν µ µ ν ν
µν
∂∂= −∂ ∂
= −
= =
2 2scalare (vedremo che e' E ).Bµν = −
46
3131
3 2232
3 1
1 212 3
2 11
2 3
Tensore Campo elettromagnetico: AAF
x xA AF B AAFx
A AF Bx x
Bx xx
µνµν
µ ν
∂∂= − =∂ ∂
∂ ∂= −
∂∂= −∂ ∂
∂ ∂= − =∂ ∂
=∂ ∂
1 4 1 4 11 41
1 1 4 1 4
41 1 42 2 43 3
( ) ( )1 1 1( )( ) ( )
e analogamente
A iA A A AE i iFx c t x c ix x c x
iF E iF E iF E
φ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∂= − − = − − = − − + = −
∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂− = − = − =
3 2 1
3 1 2
2 1 3
1 2 3
00
0
0tensore antisimmetrico di rango 2 (ha 2 indici).
B B iEB B iE
FB B iEiE iE iE
µν
− − − − = − −
47
Equazioni di Maxwell in forma tensoriale
48
0 F F Fx x xµν νλ λµλ µ ν
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
da'1 0, =0.
Sono le 4 equazioni di Maxwell omogenee.
E B divBc t∂
∇∧ + =∂
La divergenza del tensore campo elettromagnetico
e' un quadrivettore .4 Le equazioni di Maxwell non omogenee si scrivono: .
AAF Fx x x
F Jx c
µνµν µν
ν µ ν
µν µν
π
∂∂∂= −
∂ ∂ ∂
∂=
∂
49
Problema: risolto dalla formulazione tensoriale:il capostazione misura un campo e.m. prodotto da
, jρ
Che campo misura il macchinista?Risposta: trasformazione del tensore F
Tensori a 2 indici: oggetti chesi trasformano come
'
wx x
F F
µν
µ ν
µν µρ νσ ρσ= Λ Λ
3 2 1
3 1 2
2 1 3
1 2 3
2
2
00
0
0
Si trasforma di Lorentz (velocita' lungo x) con0 0
0 1 0 0' dove al solito
0 0 1 00 0
1 .v1
B B iEB B iE
FB B iEiE iE iE
i
F F
i
c
µν
µν µλ νσ λσ
γ βγ
βγ γ
γ
− − − − = − −
= Λ Λ Λ = −
=
−
Trasformazione di Lorentz del tensore campo elettromagnetico
50
3 2 1
3 1 2
2 1 3
1 2 3
0 0 00 0 1 0 0
' 0 0 0 1 0
0 0 0
B B iE iB B iE
F F FB B iEiE iE iE i
µν µν µλ νσ λσ
γ βγ
βγ γ
− − − − = = Λ Λ Λ = − −
−
Trasformazione di Lorentz del tensore campo elettromagnetico
Siano E ,E le componenti di E parallele e ortogonali a v:
analogamente definiamo B ,B .⊥
⊥
Viene che le componenti paralele non cambiano:
E' E , B' B .Per le componenti v viene:
1 1E' = [E (v B)], B' = [B (v )]Ec c
γ γ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
= =
⊥
+ ∧ − ∧
512 2Risulta invariante F F E -B (direttamente).µν µν =
52
Risulta invariante anche E.B
Quindi una onda elettromagnetica, in cui i campi sono ortyogonali,
va in una onda elettromagnetica (E.B=0).
La teoria quantistica relativistica e’ quella di Dirac, ma il fenomeno si puo’spiegare semplicemente a livello semiquantitativo. Per un modello alla Bohr l’elettrone che si muove con velocita’ v vede un campo magnetico
vAl primo ordine in viene che le componenti paralele al moto
non cambiano E' E ,B' B ,ma erano nulle; nasce pero' un campo radiale1 B' (v ).
Lo spin dell'elettrone ha un momento
c
Ec⊥
= =
≈ − ∧
2 2
2 2
magnetico =g ; 2
risulta una interazioneg 1H' .p .
1dato che eE=- . La teoria di Dirac prevede H' . .2
B B
BSO
SO
eSmc
dVS E S Lmc m c r dr
dV r dV S Ldr r m c r dr
µ µ µ
µ
=
= ∧ =
=
Interazione spin-orbitaUn elettrone che si muove nel campo elettrico di un nucleo sente anche un campo magnetico.
53
( ) ( )
0 4
0 4
,
, , ,
, , ,
k x t k x
k k k k k ic c
x x ct x x x ict
µ µ
µ
µ
ω
ω ω
Φ = • − =
= = = =
= = = =
2 4 6 8 10
-1
-0.5
0.5
1
( )µ µ λ
µ
µ
ν ν ν
φ
ω
Φ
=
=
= = Φ
(0) (0)
quadrivettore potenziale : ( , )
quadrivettore d'onda : ( , )
onda e.m. : Re Re ,dove ' la fase.ik x i x
A A ic
k k ic
A A e A e e
Dove il campo si annulla, si annulla per tutti gli osservatori: la fase e’ scalare!
Onde elettromagnetiche
54
Effetto Doppler
55
56
Effetto Doppler
57
stazione
Asse x
u
θS
vettore d’onda della luce
θ =Se l'angolo misurato dal capostazione 0S
Capostazione e macchinista osservano un’onda elettromagnetica piana monocromatica emessa da una sorgente ferma rispetto alla stazione.
Il treno corre con u>0
il treno con u>0 si allontana dalla sorgente57
vettore d’onda della luce
Asse x
stazione
u
θ π=Se per il capostazione ,il treno si avvicina alla sorgente di luce.
S
πθ =Se la sorgente e' allo zenit 2S
58
θS
( )
ω
θ ωω
=
=
S
S
S S S S
S
Capostazione: una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k . k fa´un angolo con l'asse x, pulsazione ck
k S
x( ) ( ) ( ) ( )ω ωθ θ= =
S S S S 0cos k sin k S S
yc c c
59( ) ( )
T
T T T
T T
T T
Macchinista: una sorgente luminosa monocromatica di pulsazione
emette una onda elettromagnetica di vettore d' onda k . ck
k fa´un angolo con l'asse x,
k cos k T
x c
ω
ω
θω θ
=
=
( ) ( ) ( )T T T 0k sinT
y
T
c cωω θ= =
µω ω
= =
0d'ondaquadrivett (o e : , )r k k i kc c
( ) [ ]( ) [ ]0 0
0 0
0
Applichiamo a k la trasformazione di Lorentz dalla stazion al
( ) ( ) ( ) ( ) (
treno ana
) ( )
loga a:.Viene
( )
:
( ) .T S S T
T x S x S T y S y
S T S S
T s S x
x x ct y y x x x
k k k k k k k kγ β
γ
γ β
β γ β= −
= − = = −
= = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ωθ θ= = =
T T T T T 0Mettiamoci: k cos k sin k T T T
x yc c c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
ω ω ωθ θ
ω ω ω ωγ θ β θ γ
= = = ⇒
= − = =
S S S S S 0
S S 0
Volendo una relazione fra gli angoli e fra le frequenze, sostituiamoci:
k cos k sin k
( ) cos ( ) sin ( )
S S S
x y
S S ST x T y T
c c c
k k kc c c ( )ω
β θ
−
Scos S S
c c
( ) ( )
( ) ( )
( )
ω ωωθ γ θ β
ωωθ θ
ω ωωγ β θ
= −
=
= −
T S
T S
S
cos cos
sin sin
cos
S ST
ST
S ST
c c c
c c
c c c
( ) ( )( )( ) ( )
( )
ω θ
ω
γ β
θ
ωγ θ
ω θ
ω θ
ω
= −
=
= −
T
T
S
S
S
cos
sin
Semplifichiamo le 3 relazi
1
oni:cos
si
cos
nT S
T
ST
S
uc
60
61
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ω θ ω θ ωγ β γ βω θ θ ω θω = − = = − ST TS Scos sin cos 1cos sinS ST T TS
( ) ( )( )( ) ( )
T S
T S
dalle componenti x,y
cos cos
sin sinT S
T S
ω θ γω θ β
ω θ ω θ
= −
=
( ) ( )( )
( )
θθ
γ θ β
θ θ β θ β
=−
≈ +
sintan
[cos ]
sin per 1,aberrazione della luce stellaredovuta all'orbita terrestre.
ST
S
T S S
61
θ π>⇒
stella davanticorrezione negativa
S
x
62
( ) [ ]( ) [ ]
0 0
0 0 0
Trasformazione di Lorentz dalla stazione al treno analoga a:.Viene :
Trasformazione di Lorentz dal treno alla stazione ( ) (
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
og(
na)
l.
T S S T S T S S
T x S x S T y S y T s S x
x x ct y y x x x
k k k k k k k k
γ β γ β
γ β γ β
= − = = −
= − = = −
( ) [ ]0 0
a a:.S T T T S S T Tx x ct y y x x xγ β γ β= + = = +
Cambiamento di frequenza per effetto Doppler
[ ]0 0
La componente temporale viene :( ) ( ) ( ) .Qui e' la velocita' del treno rispetto alla stazione.
S T T xk k kγ β
β
= +
µω ω
= =
0d'ondaquadrivett (o e : , )r k k i kc c
63
[ ]0 0
La componente temporale viene :( ) ( ) ( ) .Qui e' la velocita' del treno rispetto alla stazi
Ma vogliamo scrivere la relazione in termini della velocita' V della sorgente (ferma nel
one.
la s
S T T xk k kγ β
β
= +
0 0
0 0
tazione) risp. al treno
( ) ( ) ( ) . Mettendoci
( ) ( ) ( ) cos( )= cos( )
angolo della velocita' V della sorgente con il vettore d'ondavisto sul treno
S T T x
S TS T T x T T
T
Vk k kc
k k k kc c c
γ
ω ω ωθ θ
θ
= −
= = =
=
( )ωω θγ = −
1 , V=velocita' della sorgente risp. co al trenos S T T
Vc
Sorgente
T
k
V𝜃𝜃𝑇𝑇
64
Trasformazione dal treno alla stazione dove si trova la sorgente di luce
( )ω θω γ
γ
= −
=
− 2
1 , V=velocita' della sorgente risp. al treno
1
cos
1 ( )
S T TV
Vc
c
( )
ωω
θ
πθ
ω
ω
ω
−= −
=
=
≈
−
2
2
2
2
pulsazione della sorgente f
Effetto Doppler trasversale pe
erma.
r
c
1,
1
1 )2
os
2
(
S
S
T
T
T
T S
c
V
V
V
c
c
L’effetto Dopplertrasversale (θS = π/ 2 ) avviene ad esempio se
il rivelatore ruota intorno alla sorgente. Questo non e`previsto dalla Fisica pre-relativistica. Si sono fatte le verifiche sperimentali che hanno confermato la teoria di Einstein.
65
Verifiche sperimentali che hanno confermato la teoria di Einstein.
66
( )
ωω
θ
θ π
ωω
θ
ω
ω
ω
ω
−= −
− −
++
=
=
=
−
≈
=
−
≈
2
2
2
2
2
2
Effetto Doppler longitudinale p
pulsazione della sorgente ferma.cos
allontanamento
0 av
er
per
1,
vicinamen
1
1 1
1
1
1
to
1
T
T
S
S
T
T
S
S
T
S
T
Vc
V
Vc
Vc
V
c
c
Vc
c
VcV
ω+
=−
1
1S
VcVc
Sorgente
T
k
V𝜃𝜃𝑇𝑇
Meccanica relativisticaConsideriamo un punto materiale libero di massa m0; questa e` la massa diriposo, misurata nel sistema in cui il corpo e`in quiete.
Procediamo in modo induttivo, cercando una relativizzazione del principio variazionale classico di minima azione δS = 0.
Logico aspettarsi S scalare, cosi’ la legge e’ uguale per tutti
τ
=
= − = − −∫ ∫
20
22 2
0 0 2
energia, invariante;azione=energia *
1b b
a a
t t
t t
m c tempo
vS m c d m c dtc
67
µ µ= =
0
0
Relativizzando p=mv, p ( , ) quadrivettore,
massa di riposo invariante, E e' una energia
Em w p ic
m
τ= − = − −∫ ∫2
2 20 0 21b b
a a
t t
t t
vS m c d m c dtc
= = − −∫2
20 2( ), ( ) 1b
a
t
t
vS dtL v L v m cc
C’e’ una lagrangiana,
<< ⇒ ≈ − − = − +22
2 2 00 02( ) (1 )
22m vvv c L v m c m c
c e la costante non conta
68
68
∂= == − − ≡
−
→
⇒∂
02
22
0 2
2
0
1
m= m per piccole velocita', ma diverge per v c; quindi c=velocita' limite, irraggiungibile per i corpi
( )
dotati di ma
1
ssa.
m vLvL v m cc
p mvv v
c
= − = 2.E p v L mc
µ µ
≈ + +
= =
⇒
= ⇒ =
2 20 0
0
20
10 2 200 0
1, .....2
e non c'e' costante arbitraria, perche'
p ( , ) ' un quadrivettore!
energia di riposo3 10 / 9 10
per v c E m c m v
Em w p i ec
m cc cm s m c m erg
6969
Reazioni chimiche
+ → +2 2.4H H H eV
−
≈ =
+
≈
2 9
29
10 1'
10
pm c eV GeVH piu leggero di H H
difetto
Reazioni nucleari
+ → +6 2 43 1 22 22.4Li H He MeV
0.3% della massa va in energia
70
An induced nuclear fission event. A neutron is absorbed by the nucleus of a uranium-235 atom, which in turn splits into fast-moving lighter elements(fission products) and free neutrons.
71
Fusione:
72
Relativita’ GeneralePrincipio di relativita’ esteso a sistemi non inerziali +principio di equivalenza
Gravita’ , effetto lente, buchi neri, cosmologia ma anche gps.
La piu’ bella teoria secondo L Landau
73
Onde gravitazionali generate da un sistema binario. La distorsione dello spazio giace in un piano, che e' ortogonale alla direzione di propagazione dell'onda.
2016: rivelate le onde gravitazionali
74