presentación11v2 [modo de compatibilidad] · una de las aplicaciones fundamentales de la ecuación...

Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.Aparatos de medida.

Una de las aplicaciones fundamentales de la ecuación de Bernoulli es lapuesta en marcha de aparatos de medida que nos indiquen lascaracterísticas de un fluido.

Estos elementos son de enorme importancia en gran cantidad de industriasen las que se lleve a cabo trasiego de fluidos, como oleoductos, circuitosneumáticos, etc. Hay necesidad de medir propiedades locales (velocidad,presión, temperatura, densidad, viscosidad...), integradas (flujo másico yflujo volumétrico) y globales (visualización de todo el campo fluido).

En este capítulo se van a mostrar las aplicaciones más importantes de laecuación de Bernoulli a elementos de medida y otros sistemas para ladeterminación de caudales y presiones de un determinado flujo.

Tema 11: Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Aparatos de medida.

CONCEPTOS DE PRESIÓN ESTÁTICA, DINÁMICA Y TOTAL.


CONCEPTOS DE PRESIÓN ESTÁTICA, DINÁMICA Y TOTAL.

La ecuación de Bernoulli para un flujo de fluido que mantiene la mismaaltura geodésica tiene la expresión:

en donde se tienen:

p: presión estática

: la presión dinámica

La presión estática es la que se mediría mediante un instrumento que semoviera junto al flujo.

Cv

p =⋅+2

2

ρ

2

2v⋅ρ

Cuando las líneas de corriente son rectilíneas y paralelas, la variación depresión es hidrostática en una dirección perpendicular a ellas. Este resultadohace posible medir la presión estática en un fluido que se mueve utilizando unorificio en la pared en una región donde las líneas de corriente seanrectilíneas.


APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN ESTÁTICA: PIEZÓMETR O, TUBO ESTÁTICO.

Fig. 11.1 Líneas de corriente y orificio piezométrico

HzzP

zP

zP

EAE

EE

AA

=−=

+=+

γ

γγ

Piezómetro

Fig. 11.2 Piezómetro



HP

HP

PP

PP

g

vz

P

g

vz

P

E

EA

A

AA

A

=→=

=

=

⋅++=

⋅++

γγ

γγ

γγ

γγ

0

0

220

00

:estáticaPor

:cahidrostátiVariación

22

Tubo estático

Fig. 11.3 Tubo estático (A punto externo al tubo estático, E punto interno al tubo estático)



La presión de estancamiento es el valor que toma la presión cuando un fluidoen movimiento se desacelera hasta alcanzar la velocidad cero en un procesosin rozamiento. De esta forma, aplicando la ecuación de Bernoulli a un fluidoincompresible y despreciando las diferencias de cota, se tiene:

g

vp

g

vp EE

⋅+=

⋅+

22

2200

γγ

γγEp

g

vp =⋅

+2

200


APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN TOTAL: TUBO DE PITO T.

Fig. 11.4 Tubo de Pitot

y como vE= 0 (siendo E el puntode estancamiento), la presión deestancamiento se puederepresentar como:

Tubo de Pitot


APARATOS DE MEDIDA DE LA PRESIÓN TOTAL: TUBO DE PITO T.

Se cumple, por tanto, también que lapresión de estancamiento representala presión total del flujo, y es la sumade la presión estática y la dinámica.

Para medir esta presión total seutiliza el llamado tubo de Pitot.Tomando 0 la sección situada aguasarriba, y E, la sección de entrada altubo de Pitot, se tiene:

Hg

vpH

p

g

vpp

E

E

=⋅

+→=

⋅+=

2

22

00

200

γγ

γγFig. 11.4 Tubo de Pitot


APARATOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD: COMBINACIÓN DEL TUBO DE PITOT Y EL PIEZÓMETRO, Y EL TUBO ESTÁTICO.

En la figura se muestra un tubo dePrandtl introducido en una corriente defluido de densidad ρ, conectado a unmanómetro diferencial, cuyo líquidomanométrico tiene una densidad ρm.

El tubo de Prandtl, al igual que el tubode Pitot, al ser introducido en el fluidoproduce un punto de estancamiento. 0es el punto aguas arriba, E el punto ala entrada del tubo y A, la posición deentrada del tubo estático que llevaincorporado el tubo de Prandtl. Estetubo estático no perturba la corriente ymide, por tanto, presión estática.

Tubo de Prandtl

Fig. 11.5 Tubo de Prandtl

Tubo de Prandtl

( )( )( )γγ

γγγγγ

γγγ

γγ

γγ

γγ

γγ

−⋅=−−⋅+=

⋅+⋅++⋅−=⋅+⋅+=⋅+=

⋅+=

=

=

⋅++=

⋅++

mAE

mAE

mA

mBDE

E

AA

A

AA

A

RPP

RPP

HRRHP

HRPHPP

g

vPP

PP

PP

g

vz

P

g

vz

P

'

'

'

200

'

0

220

00

:estáticaPor

2

:cahidrostátiVariación

22




Tubo de Prandtl

( )

−⋅⋅⋅=

−⋅=⋅

⋅=−⋅=−

−=−=−

12

12

2

0

20

200

0'

γγ

γγ

γγγ

γγ

γγγγγγ

m

m

mE

EAEAE

Rgv

Rg

v

g

vRPP

PPPPPP




Tubo de Pitot + Tubo Piezométrico

−⋅⋅⋅= 121 γ

γ mhgv



Fig. 11.6 Tubo de Pitot combinado con un tubo piezomérico

Se denomina orificio a cualquier abertura que tiene un perímetro cerrado y quese hace en un muro o división.

En la figura se muestra un depósito que contiene un líquido y que presenta unorificio en la parte inferior. La superficie libre del líquido se mantiene a unaaltura h respecto a ese orificio.


ORIFICIO DE AFORO EN UN RECIPIENTE. ECUACIÓN DE TORRICELLI

Fig. 11.7 Orificio de aforo en un depósito

Esta expresión es aplicable para el caso de descarga a la atmósfera y pérdidasnulas.

En la práctica, el caudal de descarga es menor que el que se muestra en esteanálisis, puesto que no se dan estrictamente las condiciones en que es válidala ecuación de Bernouilli



222111 vpvp hhzhhz ++=++

g

vzz t

⋅=−

2

22

21

( ) hgzzgvt

⋅⋅=−⋅⋅= 22 212

Otra forma de trabajar con la ecuación de Bernoulli es trabajar con términosreales en lugar de con el término de pérdidas de carga. Para ello hay quecalcular los diferentes coeficientes de velocidad, contracción y descarga:



cvt

r

t

r

t

rd

orif

chorro

t

rc

t

rv

CCA

A

v

v

Q

QC

A

A

A

AC

v

vC

⋅=⋅==

==

=

2

21

:expresión siguiente la cumple se

depósito de un vacíadoen queDemostrar

v

v

c

ck

−=

En función del tipo de orificio (de cantosvivos, entrada cónica, entrada de cuartode círculo, etc…) el coeficiente decontracción adquirirá un valor diferente.

La dificultad en el cálculo de coeficientes reside en calcular las variables(velocidad, sección y caudal) reales, ya que los teóricos son fáciles de obtener.Para ello:

• Un tubo de Pitot a la salida de un depósito, nos permite calcular lavelocidad real.

• Un linnímetro nos ofrece la lectura del diámetro del chorro.

• El método volumétrico se emplea para el cálculo del caudalreal.



Si la altura del líquido va disminuyendo en el depósito,la velocidad de salida también lo hace.

El volumen de fluido evacuado es:

Luego el tiempo de vaciado se podrá calcular mediante:

dzAdtQtdV depr ⋅−=⋅=)(

( ) hgzzgvt

⋅⋅=−⋅⋅= 22 212


VACIADO DE DEPÓSITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE

∫∫

+⋅⋅⋅⋅

⋅−=

+⋅⋅⋅⋅

⋅−=

⋅−=

final

inic

h

horifd

dept

orifd

dep

r

dep

zP

gAC

dzAdt

zP

gAC

dzA

Q

dzAdt

γ

γ

10

1

2

2

Fig. 11.8 Vaciado de depósito


VACIADO DE DEPÓSITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE

( )fininic

orifd

dep hhgAC

At −⋅

⋅⋅⋅

=

=

2

:0P Si 1

Fig. 11.9 Proceso de vaciado de depósito


APARATOS DEPRIMÓGENOS: VENTURÍMETRO, TOBERA, DIAFRAGMA Y MEDIDOR DE CODO.

( )

( )

)1()(

)1(

)1()(

:estática Aplicando

−⋅=−+−

−⋅=+−

−−⋅=+−⋅=−

⋅+⋅+=++⋅+⋅+=

⋅+=++⋅+=

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγγγγγ

mBA

BA

mBA

mmBA

mBA

BD

mDC

AC

zzzPP

zhPP

hzzhzPP

zlPzlhP

lPP

zPP

zlhPP

)1(22

2222

22

−⋅=⋅

−⋅

⋅++=

⋅++

γγγγ

mAB

BB

BAA

A

zg

v

g

v

g

vz

P

g

vz

P

Fig. 11.10 Venturímetroinclinado

)γ

γ(zg=

A

Acv

)γ

γ(z=

g

A

Avc

g

v

A

Avc=v

Acv=Av

=cc=c

Acvc=Acvc

Q=Q

m

tA

tB

BctB

mtA

tB

tBBc

tB

tA

tB

tBBctA

tBBctBtAtA

AcBvAv

tBBctBBvtAActAAv

BA

121

122

:1 eta Suponiendo

:dcontinuida de principio el Aplicando

2

2

2

2

−⋅⋅⋅

−

−⋅⋅

−⋅

⋅

2

1

12

−

−⋅⋅⋅

tA

tB

Bc

m

tB

A

Ac

)γ

γ(zg

=v




2

2

1

12

1

12

:Por tanto

−

−⋅⋅⋅⋅

−

−⋅⋅⋅

A

B

Bc

m

BBcBvr

tA

tB

Bc

m

tBBcBvrB

A

Ac

)γ

γ(Rg

Acc=Q

A

Ac

)γ

γ(Rg

Acc=Q






Diafragma:

Fig. 11.12 Diafragma

Fig. 11.11 Diafragma en instalación

Venturímetro Diafragma Tobera

CcB=1 CcB≠1 CcB=1

No existen pérdidas de carga adicionales a las de

la propia tubería

Existen mayores pérdidas adicionales

Existen pequeñas pérdidas de carga adicionales

El más caroLaboratorios

El más baratoIndustria



2

1

)1(2

−

−⋅⋅⋅⋅⋅=

A

B

m

Bventr

A

A

RgACQ

γγ

)1(2 −⋅⋅⋅⋅⋅=γ

γ mBdiafrr RgACQ )1(2 −⋅⋅⋅⋅⋅=

γγ m

Btoberar RgACQ

Bvvent CC = 2

1

⋅−

⋅=

A

Bc

cvdiafr

A

Ac

ccC

B

BB

2

1

−

=

A

B

vtobera

A

A

cC B

Vertederos : Miden caudales en canales. Se llaman vertederos porque el canalvierte por encima de algo. Es un obstáculo en el canal que obliga al líquido aestancarse detrás y a verter por encima de él. Tipos:

• De pared delgada

�Horizontal

�En U

�En V

• De pared gruesa


VERTEDEROS.

Fig. 11.13 Vertedero

Hipótesis de partida

• Velocidad del fluido previo al vertedero nula, energía cinéticadespreciable.

• El chorro no se deforma.• La presión es atmosférica en todo el chorro.• Pérdidas de carga despreciables.


VERTEDEROS DE PARED DELGADA

Fig. 11.14 Vertedero de pared delgada



gg

vzv

g

vz

g

P

g

vz

g

P ⋅

⋅+=⇒

⋅++

⋅=

⋅++

⋅2

2

22

21

2

22

22

21

11

ρρ

gg

vzdzbvdzbdQ ⋅⋅

⋅+⋅⋅=⋅⋅= 2

2

21

Fig. 11.15 Vertedero de pared delgada. Horizontal.



≈⋅

⋅−

⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅⋅=

02

222

3

2

22

3

2

21

23

21

23

21

0

23

21

g

v

g

v

g

vhgb

g

vzgbQ

h

23

23

2hgbQteorico ⋅⋅⋅⋅=

23

23

2hgbCQreal ⋅⋅⋅⋅⋅=

Fig. 11.15 Vertedero de pared delgada. Horizontal.



( ) 23

1,023

2hhnbgQteorico ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

( ) 23

1,023

2hhnbgCQreal ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

Fig. 11.16 Vertedero de pared delgada. De contracción lateral (n=2).



( ) 25

2/215

8htggQteorico ⋅⋅⋅⋅= θ

( ) 25

2/215

8htggCQreal ⋅⋅⋅⋅⋅= θ

Fig. 11.17 Vertedero de pared delgada. Triangular.

El vertedero ocupa toda la anchura del canal.

Hipótesis de partida

• Velocidad del fluido previo al vertedero nula, energía cinéticadespreciable.

• Reparto hidrostático de presiones en la zona del vertedero.• Pérdidas de carga despreciables.


VERTEDEROS DE PARED GRUESA

Fig. 11.18 Vertedero de pared gruesa


VERTEDEROS DE PARED GRUESA

( )

323

2

22

hgLh

Q

LyyhgAvQ

real

real

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅=⋅=

≈⋅

−++⋅

=+⋅

++⋅

=++⋅

02

)(22

22

21

22

22

21

22

221

21

g

v

zyzg

vh

g

v

Py

g

vPh

g

v

γγ

( ) →−⋅⋅= yhgv 22

Fig. 11.19 Vertedero de pared gruesa (variación de la presión en 2, hidrostática)

presentación11v2 [modo de compatibilidad] · una de las aplicaciones fundamentales de la ecuación...

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