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Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta Aberta I - “Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos” Página 1
Preparar o Exame 2013 – 2016 – Matemática A
Página 312
68.
68.1. 1 1
0 sen 0 sen 2 0 0 0 02 2
g
0 0 0 0
1sen sen 2 00 sen 21 sen20 lim lim lim 2 lim
0 2 2x x x x
x xg x g xxg
x x x x
1 1 3
1 2 1 32 2 2
68.2.
a)
▪ A altura do trapézio é dada, em função de , por sen
▪ 2cosCD
Assim vem:
1 2cos 1 1sen sen 2cos sen sen sen 2 ( )
2 2 2ABCD
A g
b)
▪ 1 1 1
cos cos cos4 4 4
▪ 1 1
24 2
CD
▪
2
2 2 2 21 15 15sen cos 1 sen 1 sen sen
4 16 4
Se 0x então 2 0x (limite notável)
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1 31
15 15 3 15 3 152 2
2 4 2 4 4 4 16ABCD
A
c) 1 1 1 1
sen sen 2 1 sen 1 02 2 2 2 2 2 2
g
d) Traduzindo para uma equação o enunciado, vem:
21 1 1 11
2 4 2 4 8g r g g
Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y g e 28
y
na janela de visualização
0, 0,22
. Obtém-se:
Logo, para 0,2
x
, 8
g a
, com 0,27a
Página 313
69.
69.1. Tem-se:
0 2cos 2sen 2 0 2cos 2sen cos 0 2cos 1 sen 0g x x x x x x x x
cos 0 1 sen 0 cos 0 sen 1x x x x
,2
2 ,2 2
x k k
x k x k k
Como , \ ,2 2
x
, tem-se que os zeros da função g são 2
x
e 2
x
.
O
8
a
g
y
2
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69.2.
▪ Assíntotas verticais:
2 2
2 2
lim ( ) lim0
2x x
e ef x
g
2 2
2 2
lim ( ) lim0
2x x
e ef x
g
2 2
2 2
lim ( ) lim0
2x x
e ef x
g
2 2
2 2
lim ( ) lim0
2x x
e ef x
g
Assim, as reta de equações 2
x
e 2
x
são assíntotas verticais do gráfico de f . Como a função f é contínua em
, \ ,2 2
, o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.
▪ Como o domínio de f é limitado, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.
69.3.
a)
▪ sen sen 2senAB
x AB AO x AB xAO
▪ cos cos 2cosOB
x OB AO x OB xAO
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2AOB
AB OBA
. Então, neste caso tem-se
2sen 2cos2sen cos
2AOB
x xA x x
2COB
CO OBA
. Então, neste caso tem-se
2 2cos2cos
2COB
xA x
Assim, 2sen cos 2cos sen 2 2cosABCD
A x x x x x g x
b) 0 2cos 0 sen 0 2 1 0 2g
Quando 0x , os pontos A, B e Q coincidem pelo que a figura que se obtém é um triângulo retângulo. A área desse
triângulo é 2.
2 22
2COQ
A
c) Recorrendo à fórmula, 2
2
11 tg
cosx
x , vem:
2 2
2
1 1 1 11 8 9cos 1 cos cos cos
9 9 3cosx x x x
x
Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, 2 2cos sen 1x x , vem:
2 21 8 8 2 2sen 1 sen sen sen
9 9 3 3x x x x
Assim, a área do quadrilátero é: 2 2 1 1 4 2 2 4 2 6
2sen cos 2cos 2 23 3 3 9 3 9
g x x x x
d)
▪ 2 22cos 2sen 2 2sen 2cos(2 ) 2sen 2 cos seng x x x x x x x x
2 2 2 2 2 22sen 2cos 2sen 2sen 2(1 sen ) 2sen 2sen 2 2sen 2senx x x x x x x x x
24sen 2sen 2x x
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▪ 20 4sen 2sen 2 0g x x x
Considerando seny x , vem 2 24 2 2 0 2 1 0y y y y
2 1 1 4 2 ( 1) 1 9 12 1 0 1
2 2 4 2y y y y y y
Assim, tem-se:
1 5
0 sen sen 1 2 2 ,2 6 6 2
g x x x x k x k x k k
Como 0,2
x
, tem-se 6
x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em 0,2
vem:
O valor de x para o qual a área do quadrilátero é máxima é 6
x
.
e) A área do setor circular AOQ é dada por 22
22
xx
e a área do quadrilátero é dada por g x .
Queremos resolver graficamente a equação 2g x x
Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y g x e 2 2y x na janela de visualização
0, 0,42
. Obtém-se:
x 0 6
2
g x
g x mín. máx. mín.
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Logo, para 0,2
x
, 2g x x x a , com 0,998a
70.
70.1. 0 2 0 4sen0 0f
0 0 0
0 2 4sen 0 20 lim lim lim
0x x x
g x g x x xf
x x
x 0
sen4lim 2 1 4 1 6
x
x
x
70.2. Tem-se 2 4sen 2 0 2f . Assim, 1 2 1f x f f x ( 2 1 5,28 )
▪ 2 1
4sen 4 2 3,0476 6 6 3 2 3
f
▪ 2
4sen 4 1 4 7,1422 2 2
f
▪ f é uma função contínua em porque é a soma de duas funções contínuas em (uma das funções é afim, 2y x
e a outra é trigonométrica, 4seny x ). Logo, f é contínua em ,6 2
.
Como f é contínua em ,6 2
e 2 16 2
f f
então, pelo teorema de Bolzano, sabe-se que
,6 2
c
tal que 2 1f c , ou seja, a equação 2 1f x tem pelo menos uma solução neste
intervalo e portanto a equação é 1 2f x é possível em ,6 2
.
xO2
a
g
y
2y x
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70.3.
a)
2 4cosf x x
1 2 4
0 4cos 2 cos 2 2 ,2 3 3
f x x x x k x k k
.
Como 0,2x , vem 2 4
3 3x x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,2 vem:
x 0
2
3
4
3
2
f x 0 0
f x mín. máx. mín. máx.
Assim, a ordenada de A, é dada por 2
3f
(máximo relativo) e a ordenada de B é dada por 4
3f
(mínimo
relativo):
Ordenada de A: 2 2 2 4 3 4 4 6 3
2 4sen 4 2 33 3 3 3 2 3 3
Ay f
Ordenada de B: 4 4 4 8 3 8 8 6 3
2 4sen 4 2 33 3 3 3 2 3 3
By f
b) A equação da reta r é do tipo y mx b .
Como a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto A de abcissa 4
3
, sabe-se que
2
3rm f
:
2 2 12 4cos 2 4 2 2 0
3 3 2f
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Como o ponto A pertence à reta tem-se que a sua equação é dada por 4 6 3
3y
.
Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x e 2
4 6 3
3y
na janela de visualização
0,2 0,15 . Obtém-se:
Tem-se que 4 6 3
3f x x c
, com 5,39c .
2
C B
ABC
AC y yA
25,39 3,2956
3AC
e
4 6 3 8 6 3 4 12 32,7374
3 3 3C By y
Logo,
3,2956 2,73744,5
2ABC
A
.
xO 2c
f
y
2
3
A
B
C
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71.
71.1. 2: ln 0 0 0 3 0 0fD x x x x x x
: 1 0 0 0 0x x x x x x
: 1 0 0 0 \ 1x x x x x
Cálculo Auxiliar: 0ln 0 1x x e x .
71.2.
▪ No intervalo ,0 a função f é contínua pois o quociente entre duas funções contínuas: uma é a diferença entre
uma função constante e a composta de uma função quadrática com uma função trigonométrica é uma função
quadrática.
▪ No intervalo 0, \ 1 a função f é contínua pois é a soma entre duas funções contínuas: uma é uma função afim
e a outra é o quociente entre uma função afim e uma função logarítmica.
▪ Em 0x :
22 2 2
2
2 2 20 0 0 0 0
1 cos sen 1 sen 1 sen 1 1lim lim lim lim lim 1
3 3 3 3 3 3x x x x x
x x x xf x
x x x x
0 0
0 0lim lim 2 2 0 0 0 0 0
ln ln 0x x
xf x x
x
0 0f
A função f não é contínua em 0x , pois 0 0
lim limx x
f x f x
. Contudo, f é contínua à direita do ponto 0, pois
0
lim 0 0x
f x f
.
Portanto, a função f é contínua em \ 0,1 .
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71.3.
▪ Assíntotas verticais:
0
1lim
3xf x
e
0lim 0x
f x
Logo, a reta de equação 0x não é assíntota vertical do gráfico de f.
1 1
1 1lim lim 2 2 1 2 2
ln 0ln 1x x
xf x x
x
1 1
1 1lim lim 2 2 1 2 2
ln 0ln 1x x
xf x x
x
Logo, a reta de equação 1x é assíntota vertical do gráfico de f.
Como a função g é contínua em \ 0,1 , o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.
▪ Assíntotas não verticais:
Quando x
2
222
3 3
1 cos
1 cos 13lim lim lim lim 1 cos 03 3x x x x
xf x xxm x
x x x x
2
2
2 2
1 cos 1lim lim lim 1 cos 0
3 3x x x
xb f x mx x
x x
Logo, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x .
Limitada
Infinitésimo
Limitada
Infinitésimo
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Quando x
22lnlim lim lim
x x x
xxf x xxm
x x
x
x
x 1 1
2 2 2 0 2lnln x
lim lim 2x x
b f x mx x
2ln
xx
x
)lim
lnx i
x
x
i) Se ln
lim 0x
x
x (limite notável), então lim
lnx
x
x .
Logo, quando x , o gráfico de f não tem assíntota não vertical.
71.4. Para 0, \ 1x , tem-se:
▪ 1 ln
2
x x
f x
1
x
2
2 2 2
ln 1 2ln ln 12
ln lnln
x x x
x xx
▪ 2
2 2
2
2ln ln 10 0 2ln ln 1 0 2ln ln 1 0
ln
x xf x x x x x
x
Nota: Em 0, \ 1 ,
2
ln 0x .
Fazendo lny x , vem 2
21 1 4 2 1 1
2 1 0 12 2 2
y y y y y
1
121 1
ln ln 12
x x x e x e x e xe
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0, \ 1 vem:
x 0
1
e 1 e
f x n.d. 0 n.d. 0
f x n.d. máx. n.d. mín.
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Em 0, \ 1 a função f é decrescente em 1
,1e
e em 1, e
, é crescente em 1
0,e
e em ,e
, tem
mínimo relativo em x e e tem máximo relativo em 1
xe
.
Página 314
72.
72.1. Tem-se 2
2 cos 25
g x x x
sen 2x x 2 2
cos sen cos5 5
x
.
Como 2 2
cos sen sen5 2 5 10
, vem:
2sen cos sen sen 2 2 ,
5 10 10 10x x x k x k k
9
2 2 ,10 10
x k x k k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 7
,6 3
x
, obtém-se 11
10 10x x
.
Portanto, o conjunto solução da equação é 11
,10 10
.
72.2. Tem-se:
0 0 0 0
3 2 3 sen 3 6 sen 3 6lim lim lim lim
4 4 4x x x x
g x x x x x x
x x x
4 x
0
sen 3 sen 33lim
4 2 4x
x x
x x
0
sen 33 1 3 1 3 3 9lim 1 3
2 4 43
3 2 2 4 4x
x
x
Se 0x então 3 0x (limite notável)
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72.3.
▪ cos 5 2 sen cos5 5
2 2 2 2OCBA
g x x x x x xOC AB x xA OA f x
x x
Pretende-se determinar 0,5x tal que 5 2 sen cos
82
x x x x
x
▪ Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se
1
5 2 sen cos
2
x x x xy
x
e 2 8y na janela de
visualização 0,5 0,15 . Obtém-se:
Logo,
5 2 sen cos
8 ,2
x x x xx a b
x
, com 1,92a e 4,37b
73.
73.1. Tem-se:
▪ 4cos 2sen 8cos senEFGH
A HE EF x x x x
▪ 4 2 8BCDA
A AB BC
Assim, 8 8cos sen 4 4 8cos sen 4 4 1 2cos senregião colorida BCDA EFGHA A A x x x x x x
22 2
1
4 4 sen cos 2cos sen 4 4 sen cosx x x x x x A x
xO 5b
1
5 2 sen cos
2
x x x xy
x
y
8
a
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Outra resolução:
2 28 8cos sen 8 1 cos sen 8 sen cos cos senregião colorida BCDA EFGHA A A x x x x x x x x
2 2 2 2 2 28sen 8cos 8cos sen 4sen 4sen 4cos 4cos 8cos senx x x x x x x x x x
22 2 2 24 sen cos 4 sen cos 2cos sen 4 4 sen cosx x x x x x x x A x
Outra resolução: Tem-se que 8 8cos senregião colorida BCDA EFGHA A A x x . Assim:
2 2 2 2 2
1
4 4 sen cos 4 4 sen 2sen cos cos 4 4 sen cos 2sen cosA x x x x x x x x x x x
4 4 1 2sen cos 4 4 8sen cos 8 8sen cosx x x x x x
Logo, região coloridaA x A .
73.2. 2
4 4 sen cos 0 sen cos 0 sen cos4
A x x x x x x x x
Para 4
x
a área da região colorida é metade da área do retângulo ABCD .
73.3. Tem-se:
▪ 1 1 1
tg tg tg3 3 3
x x x
▪ 2 2
20
2,2
1 10 1 9 9 3 3 101 tg cos cos cos
9 10 10 10cos cos 10x
x x x xx x
▪ sen 1 3 10 10
tg sencos 3 10 10
xx x
x
0,2
x
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Logo,
2 2
10 3 10 10 10 284 4 4 4 4 4
10 10 5 25 5A x
73.4. Tem-se:
▪ 2 22 4 sen cos sen cos 8 sen cos cos sen 8 sen cosA x x x x x x x x x x x
2 2 2 28 sen cos 8 cos sen 8cos 2x x x x x
▪ 0 cos 2 0 2 , ,2 4 2
kA x x x k k x k
Como 0,2
x
, tem-se 4
x
.
Fazendo um quadro de variação do sinal da função A , vem:
x 0
4
4
A x n.d. 0 n.d.
A x n.d. mín. n.d.
Assim, a área da região colorida é mínima para 4
x
. Esse valor mínimo é:
22
22 24 4 sen cos 4 4 4 4 0 4
4 4 4 2 2A
73.5. O gráfico da opção A não é o correto porque a distância do ponto ao ponto nunca é zero. Para e para
a distância do ponto ao ponto é igual a 2, logo ( ) (
) , o que não acontece no gráfico da opção
B, portanto este gráfico também não é o correto. O gráfico da opção D não é o correto porque, para [
] a
distância do ponto ao ponto nunca diminui e portanto a função nunca pode ser decrescente neste intervalo. A
opção correta é a C.
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74. Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x e 2
2y x na janela de visualização
0, 2,3 . Obtém-se:
A função anula-se em . é um maximizante da função porque muda de sinal, de positivo para
negativo em , e portanto é a abcissa do ponto . As coordenadas do ponto (ponto de interseção do gráfico da
função com o gráfico da função ) são ( ), com e . Logo, [ ]
75.
75.1.
▪ Assíntotas verticais:
2 2
2 2lim ( ) lim
cos 0x x
f xx
Logo, a reta de equação 2
x
é assíntota vertical do gráfico de f.
2 2lim ( ) lim 2
cos 1x xf x
x
Logo, a reta de equação x não é assíntota vertical do gráfico de f.
2 2
2 2lim ( ) lim
cos 0x x
f xx
e
2 2
2 2lim ( ) lim
cos 0x x
f xx
𝑥
𝑦 𝑦 𝑥
𝑓′
𝜋
𝑂
𝐴
𝐵 𝑎
𝑏
𝑐
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Logo, a reta de equação 2
x
não é assíntota vertical do gráfico de f.
▪ Assíntotas não verticais:
O gráfico da função f não tem assíntotas não verticais porque o seu domínio é limitado.
75.2. Tem-se:
cos 0, , \
2 2
4 3 2 4 3 3 36 4 3 cos cos cos
3 cos 3 22 3x x
f x x x xx
5 5
2 26 6
x k x k k
Como , \2 2
x
, vem 5
6x
. Portanto o conjunto solução da equação é
5
6
.
75.3.
a) A circunferência tem raio 2, portanto 2OP . Assim, 2PQ OQ OP OQ .
As coordenadas do ponto Q são dadas por 2,2tgQ , ,2 2
. Assim:
2
2 2 2 2
2
1
cos
42 2 0 2tg 0 2 4 4tg 2 4 1 tg 2 2
cosPQ OQ
Para ,2 2
x
, cos 0x . Logo,
2
4 22 2 2
coscosf
PQ f h
b) (
)
(
) √ √ .
Cálculo auxiliar: (
) (
) (
) (
) (
) (
)
√ √
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c) Tem-se:
▪
2 2
2 sen2 2sen 2 sen0 tg
cos cos coscos cosh f f
▪ ,
2 2
2 2(́ ) 0 tg 0 0 tg 0 0
cos cos x
h
Fazendo um quadro de variação do sinal da função h , vem:
2
0
2
h n.d. 0 n.d.
h n.d. mín. n.d.
A função h tem um mínimo em 0 , portanto a distância de P a Q é mínima em 0 .
76.
76.1. Tem-se que 2 2cos 2 2sen cos sen 2seng
Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem:
2 9 2 7 7 7sen sen sen
9 9 9 9 3 , pois ,0
Assim,
2 2
2 7 7 2 7 2 7 5 2 7 6 7 52
3 3 3 9 9 3 9 3 9g
.
76.2. Pretende-se provar que ]
[ ( )
A função g é contínua em [
] pois é a soma e a composição entre funções contínuas em [
].
Em ,2 2
a equação é impossível
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▪ cos 2 2sen 1 2 0 1g
▪ cos 2 2sen cos 2 1 1 2 32 2 2
g
Como g é contínua em ,2
e 1
2 2f f
então, pelo teorema de Bolzano:
]
[ ( )
Ou seja, o gráfico da função g e a reta r intersetam-se pelo menos uma vez.
76.3. Vamos resolver a equação 1 1
cos 2 2sen2 2
g x x x e verificar se tem apenas uma solução no
intervalo ,2
. Tem-se:
2 2 2 21 1 1cos 2 2sen cos sen 2sen 0 1 sen sen 2sen 0
2 2 2x x x x x x x x
2 232sen 2sen 0 4sen 4sen 3 0
2x x x x
Fazendo seny x , obtém-se a equação 24 4 3 0y y . Assim:
2 4 16 4 4 ( 3) 1 34 4 3 0
2 4 2 2y y y y y
Portanto tem-se, 3 1 1 5
sen sen sen 2 2 ,2 2 2 6 6
x x x x k x k k
Como ,2
x
, tem-se 6
x
. Portanto, o ponto cuja existência garantida na alínea anterior é único e as suas
coordenadas são 1 1 1
, ,cos 2sen , 2 ,6 6 6 3 6 6 2 2 6 2
g
.
Equação impossível em
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76.4. Tem-se:
▪ cos 2 2sen 2sen 2 2cos 2 2sen cos 2cos 2cos 2sen 1g x x x x x x x x x x
▪ 1
0 2cos 2sen 1 0 2cos 0 2sen 1 0 cos 0 sen2
g x x x x x x x
7
2 2 ,2 6 6
x k x k x k k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que ,2
x
, obtém-se:
5
6 2 6 2x x x x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , vem:
x 5
6
2
6
2
g x 0 0 0 0
g x mín. máx. mín. máx. mín.
A função é crescente em [
] e em [
], é decrescente em [
] e em [
], tem máximo
relativo em
, que é (
)
e em
, que é (
)
e tem mínimo relativo em ,
que é ( ) , em
, que é (
) e em
, que é (
) . Assim é mínimo absoluto
e
é máximo absoluto da função e portanto o contradomínio de é [
].
Página 316
77.
77.1. Tem-se sen cos sen cosx x xf x e x e x e x x . Assim, o declive da reta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa π é dado por: sen cos 0 1m f e e e .
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Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π é do tipo y e x b
O ponto de coordenadas , , sen ,0f e pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa π. Assim, substituindo-o na sua equação, tem-se 0 e b b e .
A equação da reta pedida é y e x e y e x
77.2. Para 0,2x , tem-se:
▪ sen cosx xf x e x e x
▪ sen cos cos sen senx x x x xf x e x e x e x e x e x 2 cos senx xe x e x 2 cosxe x
▪ .
0 2 cos 0 2 0 cos 0 ,2
x x
Eq impossível em
f x e x e x x k k
Como 0,2x , tem-se 3
2 2x x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em 0,2 vem:
x 0
2
3
2
2
f x 0 0
f x p.i. p.i.
Para [ ], o gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [
], tem a concavidade voltada para
cima em [
] e em [
] e tem ponto de inflexão em
e em
.
77.3.
a) Tem-se que e , portanto
e
. Assim:
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▪ ( )
( )
(
)
⏞
▪ ( )
( )
(
)
⏞
( )
Logo
( ) não existe.
b) \ 0gD
▪ Assíntotas verticais:
0 0 0 0
sen senlim lim lim lim 1 0 0
xx
x x x x
e x xg x e
x x
Logo, a reta de equação 0x não é assíntota vertical do gráfico de g. Como g é contínua em \ 0 , o seu gráfico
não tem assintotas verticais.
▪ Assíntotas horizontais:
Quando , a reta de equação é assíntota horizontal do gráfico de quando , porque:
Como a função é limitada, então
( )
(
) .
Quando o gráfico de não tem assíntota horizontal porque
( ) não existe.
78.
78.1. Tem-se, 4 3sen sen 2 4 3sen 2sen cosf .
▪ tg( ) 2 tg 2 tg 2
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▪ Recorrendo à fórmula 2
2
11 tg
cos
vem, 2
2
1 1 1 33 cos cos cos
3 3 3cos
Como 0, e tg 0 então Qº2 e portanto 3
cos3
▪ Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem 2 23 6 6sen 1 sen sen
9 9 3x x x . Como
2ºQ , tem-se 6
sen3
x .
Assim, 6 6 3 4 18 2 18 10 18 10 3 2 10 2
4 3 23 3 3 3 9 9 9 3
f
, e portanto:
10 2 3 10 2 3( ) sen
cos 10 2 3 2 20 6 6 202 3 3 3
tg tg 6 62 2 3 2 2
ff
78.2. A função é ímpar, logo ( ) ( ), [ ]. Assim:
( ) ( )⏟ ( )
(
) ( ) (
)
A função é contínua em[ ] é continua em [
] [ ].
Tem-se que (
)
√
e (
)
√
. Como a função é decrescente em [ ] e
então:
(
) (
) (
)
(
)
√
(
) √
Além disso, √ √
e
√
. Portanto,
√
(
)
√
(
) (
) (
).
Logo, pelo teorema de Bolzano,
]
[ ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( ) (
)
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78.3. Tem-se:
▪ ( ) 4 3cos 2cos 2f x x x
▪ ( ) 4 3sen 4sen 2 4 3sen 8sen cosf x x x x x x
▪ ( ) 0 4 3sen 8sen cos 0 sen 4 3 8cos 0f x x x x x x
3
sen 0 4 3 8cos 0 sen 0 cos2
x x x x
5 5
2 2 ,6 6
x k x k x k k
Como ,x , vem 5 5
06 6
x x x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , vem:
x 5
6
0
5
6
f x 0 0 0 0
f x p.i. p.i. p.i.
O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em[
] e em [
], tem a concavidade voltada para
cima em [
] e em [
] e tem ponto de inflexão em
, em e em
.
79.
79.1.
▪ No intervalo ,0 a função f é contínua pois é a soma entre duas funções contínuas: uma é uma função constante
e a outra é o produto entre uma função polinomial e a composta de uma função exponencial com uma função afim.
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▪ No intervalo 0, a função g é contínua pois é o quociente entre duas funções contínuas: uma é a diferença entre
uma função afim e uma função trigonométrica e a outra é uma função afim.
▪ Em 0x :
3 2 3 2 3 2
0 0 0lim ( ) lim 2 2 lim 2 0 2 0 2x x
x x xf x x e x e e
0 0 0
3 sen 3lim lim limx x x
x x xf x
x
x 0
senlim 3 1 2x
x
x
3 20 2 0 2 0 2f e
A função f é contínua em 0x , pois 0 0
lim lim 0 2x x
f x f x f
.
Portanto, a função f é contínua em .
79.2. Tem-se que 3
3f
. Logo o ponto de coordenadas ,3 pertence ao gráfico da função f e à reta
tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa π. O seu declive é dado por m f .
2
3 cos 3 sen 3x x x x xf x
x
cos 3x x x 2 2
sen sen cosx x x x
x x
Logo,
2 2
sen cos 0 1f
e portanto a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa π é do tipo x
y b
.
Como o ponto de coordenadas ,3 pertence à reta, substituindo-o na sua equação vem:
13 3 1 2b b b
.
A equação pedida é
.
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79.3. Para ,0x , tem-se:
▪ 2 2 3 2 2 23 3x x xf x x e x e x e x
▪ 2 2 2 2 2 2
.
0 3 0 0 3 0 0 0 3x x x
Eq impossível em
f x x e x x e x x e x
0 3x x
Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , em ,0 vem:
x 3 0
f x 0
f x mín. máx.
Para ] [ a função tem um único mínimo em que é ( )
79.4.
▪ Assíntotas verticais:
Como a função f é contínua em , o seu gráfico não tem assintotas verticais.
▪ Assíntotas horizontais:
Quando
3303 2 3 2 2 3 2 2
)lim lim 2 2 lim 2 lim 2 lim 2 limx x x
x yx x x x ix y
yxf x x e x e e e x e e e
e e
3
2
)
22 lim 2 0 2iiyy
ye e
e
i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .
ii) Se limx
px
a
x (limite notável), então lim 0
p
xx
x
a , com 1a e p .
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Assim, a reta de equação é assíntota do gráfico de f quando .
Quando .
)
3 sen 3 sen 1lim lim lim lim 3 lim sen 3
x x ix x x
x x x xf x x
x x x x
i) Como 1
lim 0x x
e seny x é uma função limitada, então 1
lim sen 0x
xx
.
Assim, a reta de equação é assíntota do gráfico de f quando .
79.5. Para tem-se:
( )
,
Portanto o gráfico de e a reta r intersetam-se em infinitos pontos.
80.
80.1. Tem-se que:
cos
2cos 2sen cos 3 tg 7 2cos2
x
f x x x x x x
2cos x
cos
cos tg cos tg
x
x x x x
80.2.
a) Tem-se, 5 5 5 2 2 2
sen sen cos sen cos cos sen sen cos4 4 4 2 2 2
Sabe-se que tg 8 tg 8 tg 8 . Assim vem:
2
2 2
2 2
1 1 1 11 tg 1 8 cos cos
9 9cos cos
. Como 2ºQ ,
1cos
3
Como sen
tgcos
xx
x , vem
sen 1 88 sen ( 8)
1 3 3
3
.
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Portanto, 5 2 2 8 1 16 2 4 2
sen sen cos4 2 2 3 3 6 6 6
.
b) Tem-se que 1
cos tg 83
f .
Como 2
1sen
cosf x x
x , vem
2 2
1 8 1 8sen 9
3 3cos 1
3
f
.
Assim, 1 8 1 8 26 4 8 26 8 2
8 9 9 83 3 3 3 3 3 3
f f
.
80.3. Tem-se que 0 cos tg 0xg x f x g x f x e x x
Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1 cos tgxy e x x na janela de visualização
, 1,12 2
. Obtém-se:
Portanto, 0a e 1,28b .
Página 317
80.
81.1.
▪ 5 5 5 10 5 5 5
2 cos 2 cos 04 4 4 4 2 2 2
g
xO 1,28b
1 cos tgxy e x x
y
a
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▪
5 5 5 5
4 4 4 4
5 5 5( ) 2 cos 2 2 cos 25 4 2 2lim lim lim lim5 5 5 54
4 4 4 4x x x x
g x g x x x xg
x x x x
5
4
52
4lim
x
x
5
4x
5 0 0)
4
5 5cos 2 cos 2
cos 2 4 2lim 2 lim 2 lim
5
4
i y yx
y yx
y yx
) 0 02
sen 2 sen 22 lim 2 lim 2 2 1 4
2ii y y
y y
y y
i) Mudança de variável: Se 5
4x
então
50
4x
Seja
5 5
4 4y x x y
, 0y .
ii) Tem-se 5
cos 2 cos 2 2 cos 2 sen 22 2 2
y y y y
(podemos também verificar esta relação usando o círculo
trigonométrico)
▪ A reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5
4
tem declive 4, logo a reta perpendicular à reta tangente ao
gráfico de g no ponto de abcissa 5
4
tem declive
1
4 e portanto a sua equação reduzida é da forma
1
4y x b .
Como o ponto de coordenadas 5 5
,4 2
pertence à reta pedida, tem-se que:
1 5 1 5 5 5 45
4 2 4 4 2 16 16y x b b b b
Assim, a equação da reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 5
4
é
.
81.2. Pretende-se mostrar que ]
[ ( )
A função g é uma função contínua em pois é a diferença entre funções contínuas em : uma é uma função afim e
a outra é a composição entre uma função trigonométrica e uma função afim. Logo h é contínua em 3
0,2
.
Se 0y então 2 0y (limite notável)
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Tem-se que:
0 2 0 cos 2 0 cos 0 1g e 3 3 3
2 cos 2 3 cos 3 3 12 2 2
g
Como g é contínua em 3
0,2
e como 3
02
g g
, pelo teorema de Bolzano:
]
[ ( ) ( )
ou seja, a equação g x tem pelo menos uma solução em ]
[.
81.3. Tem-se que 2 2sen 2g x x
Então, 1 sen 2 1 2 2sen 2 2 0 2 2sen 2 4 0 4x x x g x , x .
Logo, conclui-se que 0g x , x e portanto a função g é estritamente crescente em . Assim, a solução da
equação g x , cuja existência foi provada em 81.2. é única.
81.4. Para ,2 2
x
, tem-se:
▪ ( ) 2 2sen 2 2 2cos 2 4cos 2g x x x x
▪ ( ) 0 4cos 2 0 cos 2 0 2 , ,2 4 2
kg x x x x k k x k
Como ,2 2
x
, vem 4 4
x x
.
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , vem:
x
2
4
4
2
g x n.d. 0 0 n.d.
g x p.i. p.i.
Para ]
[ o gráfico da função tem ponto de inflexão em
e em
.
82.
82.1. Tem-se que 3sen 2 2cos 3 0 2 1 2g . Assim:
2 2 2 21 1 13 2 1 6 4 6 3 2 ln
2 2 2
x x x xg x g e e e e x
2 2ln1 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 ln ln 2x x x e x e
82.2. Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se 1y f x e 2y g x na janela de visualização
,2 5,52
. Obtém-se:
xO b
f
y
a 22
g
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Para [
], tem-se que ( ) ( ) [
[ ] ], com e . Portanto as
soluções inteiras da inequação ( ) ( ) no intervalo [–
] são , 0, 1, 2, 3, 5 e 6.
83.
83.1.
22 cos 2 0,
2 2
2
4 2 4 1 16 8 4cos 2 cos 2 cos 2
3 3 2 22 cos 2 x xf x x x x
x
2 2 2
cos 2 cos 2 cos 22 2 2
x x x
2 ,4 2
32 2 2 2 ,
4 4k
x k Z
x k x k k
2 , ,4 2 8 4
k kx k Z x k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que ,2 2
x
, obtém-se:
3 3
8 8 8 8x x x x
Portanto, o conjunto solução da equação é 3 3
, , ,8 8 8 8
.
83.2. Tem-se:
▪ 3 3 3 3
sen 3 sen 2 sen sen3 3 3 3
▪ 2
2
2 2
2 2 cos2 cos 2
2
f
▪ sen
tg tgcos
Figura Auxiliar:
4
4
3
4
3
4
2
2
2
2
x
y
O
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Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, vem:
2
2 2 23 9 3 6 6 6cos 1 cos cos cos cos
3 9 9 9 9 3
Como ,2 2
, tem-se 6
cos3
. Assim:
2 2
3
2 sen 2 3tg
2 cos2 cos 62
3
f
6
3
2 3 2 3 18 1
6 12 12 26 629 9
3 1 3 2 3 2
2 2 2 22
83.3. Tem-se:
▪
2 2 2
2 2
2 0 2cos 2 2sen 2 2 4sen 2 cos 22
2 cos (2 ) 2 cos 2 2 cos (2 )
x x x xf x
x x x
2 2 2
2 2 2
4 2sen 2 cos 2 4sen 2 2 4sen 4
2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
x x x x
x x x
▪
22
22
4sen 40 0 4sen 4 0 2 cos 2 0 sen 4 0
2 cos 2Condição universal em
xf x x x x
x
4 0 , ,4
kx k k x k
Como ,2 2
x
, vem 02 4 4 2
x x x x x
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função f , vem:
x 2
4
0
4
2
f x 0 0 0 0 0
f x máx. mín. máx. mín. máx.
A função é decrescente em [
] e em [
], é crescente em [
] e em [
], tem mínimo relativo em
e em
e tem máximo relativo em
, em e em
.
83.4.
a) A medida da altura do triângulo AOB é dada por f x , ou seja, é igual ao valor da ordenada do ponto A. Assim:
2
2AOB
AB f xA
2
x f x
2 2 2
2 2 2
2 cos 2 2 cos 2 2 1 sen 2
x xx
x x x
2
2
1 sen 2
xA x
x
b) Tem-se que 2
22 2
1 sen 2
xA x
x
.
Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir as funções 1y A x e 2 2y na janela 0, 0,42
.
Obtém-se:
( ) , com .
2
y A x
x
y
O
2
1,29 a
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Página 318
84.
84.1. \ 0gD ; senxf x e x
g xx x
▪ Assíntotas verticais:
0
0 0
sen 0sen 1 0 1lim lim
0 0 0
x
x x
ee xg x
x
0
0 0
sen 0sen 1 0 1lim lim
0 0 0
x
x x
ee xg x
x
Logo, a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de g. Como g é contínua em \ 0 , o seu gráfico não
tem mais assintotas verticais.
▪ Assíntotas não verticais:
Quando x
2 2 2 2 2 2) )
sen sen 1lim lim lim lim lim lim sen lim 0
i ii
x x y y
x x x x y x y
f x e x e x e em x
x x x x x yy
i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .
ii) Como 2
1lim 0x x
e seny x é uma função limitada, então 2
1lim sen 0x
xx
.
Quando x o gráfico de f não tem assíntota não vertical.
Quando x
2 2 2
sen sen 0lim lim lim lim 0 0
x x
x x x x
g x e x e x em
x x x x
)
sen sen 0lim lim lim lim 0 0
x x
x x x x i
e x e x eb g x mx
x x x
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Preparar o Exame 2013 – 2016 – Matemática A
i) Como 1
lim 0x x
e seny x é uma função limitada, então sen 1
lim lim sen 0x x
xx
x x
.
Logo, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de g, quando x .
84.2. Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir a função 1y f x na janela 0,7 2,2 .
Obtém-se:
Logo, [ ], ( ) . Portanto:
( ) ( )
Assim, como o contradomínio da função é [ ], vem:
{
{
{
{
85.
85.1. Tem-se:
▪ 2cos 2cos sen 2 cos sen sen 2g x a bx a bx b bx ab bx bx ab bx
▪ 2sen 2 2 cos 2 2 cos 2g x ab bx ab b bx ab bx
Assim, 2sen 2 2 cos 2 sen 2 2 cos 2g x g x ab bx ab bx ab bx b bx
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Preparar o Exame 2013 – 2016 – Matemática A
Portanto, como Sabendo que 6 sen 4 4cos 4g x g x x x , vem:
6 6 2 6 3
2 4 2 2 2
ab ab a a
b b b b
85.2.
)) 0
sen 3sen 3 sen 3 sen 31 1 1lim lim lim lim
6sen 4 6 sen 4 6 sen 4 6 sen 4x x x iii y
yx x x
x x x y
0 0 0)
sen 3 3 sen 3 sen 31 1 1lim lim lim
6 sen 4 4 6 sen 4 6 sen 4y y yiii
y y y
y y y
0
0
0
sen 3 sen 3lim
1 1 1 3 1 3 1lim
sen 4 sen 46 6 6 4 1 24 8li
33
m44
y
y
y
y y
y
y
y y
y
y
i) Como a função seny x é ímpar, tem-se sen senx x , x .
ii) Mudança de variável: Se x então 0x Seja y x x y , y .
iii) Como a função seny x tem período positivo mínimo igual a 2 , tem-se sen 2 senx k x , x , k .
85.3. Para ,2 6
x
, tem-se:
▪ 2
3 2( ) 2 cos 2 24cos 4
a e bg x ab bx x
▪ ( ) 0 24cos 4 0 cos 4 0 4 , ,2 8 4
kg x x x x k k x k
Como ,2 6
x
, vem 3
8x
.
Se 0y então 3 0y e 4 0y (limites notáveis)
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , vem:
x
2
0
6
g x 0
g x n.d. p.i.
Para [
], o gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em [
], tem a concavidade
voltada para cima em [
] e tem ponto de inflexão em
.
85.4. Tem-se que 2 2
D AABCD
AB CD AB CDA altura y y
▪ 5 4 2
6 6 6 3AB
▪ Os pontos C e D têm ordenada 9
4 e pertencem ao gráfico da função f. Portanto as suas abcissas são soluções da
equação 9
4g x , neste caso a segunda e a terceira maiores soluções positivas:
2 2 29 9 9 3 33cos 2 cos 2 cos (2 ) cos 2
4 4 12 4 2g x x x x x
3 3
cos 2 cos 22 2
x x
5 5
2 2 2 2 2 2 2 2 ,6 6 6 6
x k x k x k x k k
5 5
,12 12 12 12
x k x k x k x k k
As três primeiras soluções positivas da equação são 12
,
5
12
( 0k ) e
7
12
( 1k ).
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Assim, 5 9
,12 4
C
e 9 9
,12 4
C
. Logo, 7 5 2
12 12 12 6CD
.
▪
2
2 2 1 1 33cos 2 3cos 3 3
6 6 3 2 4 4Ay g
. Logo,
9 3 6 3
4 4 4 2D Ay y .
Assim,
2 5
3 3 5 3 53 6 6
2 2 2 2 2 12 2 8D AABCD
AB CDA y y
.
85.5.
a) Se a função f é continua em , então também é continua em 0x . Logo, 0 0
lim lim 0x x
f x f x f
. Tem-
se:
▪
0 0 0 0
6sen 4 sen 4lim lim lim lim 1
24 24 4x x x x
g x x xf x
x x x
▪ 2 2
0lim 0 log 4 0 9 log 9x
f k k k k
▪ 2 20 log 4 0 9 log 9f k k k k
Portanto,
2
2 2 1 29 9 4 1 10
log 9 1 9 10 9 10 02 1
k k k k k k k
1 10k k
Como 0k , vem 10k .
b) Para 0,x e 10k , vem log 4 10f x x .
▪ Tem-se que 2
10 2 10 2 0,1 0,210 10
xx y y x y y x .
Portanto, pretende-se determinar o valor de x para o qual
40,1 0,1
4 10 ln10f x
x
Se 0x então 4 0x (limite notável
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▪ Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir as funções 1y f x e 0,1y na janela
0,4 0;0,5 . Obtém-se:
Logo, 0,1f x x a , com 1,84a .
86. Tem-se que 0f x no maior intervalo aberto onde a função f é decrescente.
Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir a funções 1y f x e 0,1y na janela 4,11 1,1 .
Obtém-se:
A função é decrescente em [ ], então ( ) ] [, com e .
87.
87.1.
▪ )
cos cos 2 cos cos 2i
f x x x x x f x , x .
Portanto, a função f é par.
i) Como a função cosy x é par, tem-se cos cosx x , x .
xO
y
a
0,1
f
xO
y
6,1a 11
f
9,3b 4
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▪ ) )
2 cos 2 cos 2 2 cos cos 2 4 cos cos 2ii ii
f x x x x x x x x f x , x .
Portanto, a função f admite 2π como período.
ii) Como a função cosy x tem período positivo mínimo igual a 2 , tem-se cos 2 cosx k x , x , k .
87.2. Como é par e admite como período, então ( ) ( ), e ( ) ( ) , .
Portanto ( )
( )
e ( )
√
( )
√
. Assim vem:
( ) √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √ ( )
( ) √ ( ) √ ( )
√
√
√
√
√
√
87.3. A reta r é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa e a reta s é tangente ao gráfico de no ponto de
abcissa , então ( ) e ′( ) ( e designam, respetivamente, o declive da reta r e da reta s). As
retas r e s são paralelas se e só se , isto é, se e só se ( ) ( ).
Tem-se que ( ) ( )
Assim:
( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
i)
ii) A função seno admite como período.
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87.4.
a)
▪ Assintotas verticais:
0
0 0
2 2 0 1lim lim
0 0
x
x x
e x eg x
x
0 0
lim lim cos cos 2 cos 0 cos 2 0 1 1 0x x
g x x x
Logo, a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de g
2 2
lim lim cos cos 2 cos 2 cos 2 2 1 1 0x x
g x x x
Logo, a reta de equação 2x não é assíntota vertical do gráfico de g.
Como a função g é contínua em ,2 \ 0 , o seu gráfico não tem mais assíntotas verticais.
▪ Assintotas não verticais:
)2 2 2 2 2 2
2 2 2lim lim lim lim lim lim lim 0 lim
x x x
i
y y
x x x x x x y y
e x e x e e em x
xx x x x yy
i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .
b) Para ,0x , tem-se:
▪
2
2 2 2x x xe x e x xe x
g xx
2xe x 2 2 2
1xx x e xxe e
x x x
▪
2
2
10 0 1 0 0
x
xe x
g x e x xx
.
0 1 0 0 1 0x
Eq impossível em
e x x x x
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Fazendo um quadro de variação do sinal da função g , em ,0x vem:
Para ] [ a função é crescente em ] ], é decrescente em [ [ e tem máximo relativo em
.
c) Tem-se:
0 0 cos cos 2 0 cos cos 2g x f x x x x x
2 2 2 2 ,x x k x x k k
2
2 3 2 , 2 ,3
kx k x k k x k x k
Substituindo k por números inteiros e tendo em conta que 0,2x , obtém-se:
2 40 2
3 3x x x x
.
Portanto, o conjunto solução da equação é 2 4
0, , ,23 3
.
x 1 0
g x n.d.
g x máx. n.d.