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Preleções Científicas
Universidade Estadual do CearáPró-Reitoria de Extensão
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
Ministrante: Prof. K. David Sabóia
Duração: 12 horas
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IntegraçãoÁrea sob a Curva
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
2
∆x
3
1i
i
A f x
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IntegraçãoÁrea sob a Curva
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
3
∆x
5
1i
i
A f x
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Integração Área sob a Curva
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
4
∆x
01
lim ( )N
x ii
A f x x
( )b
aA f x dx
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Integrais de Volume
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais de Volume
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
6
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Integrais de Volume
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais de VolumeExemplo: Se a base de um
sólido é um círculo de raio r e se todas as seções do plano perpendiculares a um diâmetro fixo são quarados, encontre o volume do sólido.
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais de Volume
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais de Volume
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
10
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Sólido de Rotação
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
11
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Sólido de Rotação
Definição:
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
12
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Integrais de VolumeExemplo: Encontre o
sólido de revolução gerado pela curva y=x2, o eixo x e as linhas x=1 e x=2.
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
13
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Sólidos de Rotação
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
14
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Sólidos de Rotação
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
15
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Sólidos de Rotação
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
16
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Sólidos de Rotação
Definição:
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume 17
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Sólidos de RotaçãoExemplo: Encontre o
volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y=x+3 e y=x2+1.
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Sólidos de Rotação
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
19
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Sólidos de Rotação
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
20
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Integrais Múltiplas
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
21
( , )R
f x y dA
( , )R
f x y dxdy
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Integrais Múltiplas
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
22
2
1
( )
( )
( , )y xb
a y x
V f x y dy dx
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Integrais MúltiplasExemplo: Calcule a
integral:
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
23
2
1
02
x
xV ydydx
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Integrais MúltiplasExemplo: Use uma
integral iterada para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1.
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais duplas em Coordenadas Polares
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
25
( )( )dA dr rd rdrd
( , ) ( cos , )R R
f x y dA f r rsen rdrd
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Integrais duplas em Coordenadas Polares
Exemplo: Calcule a área da região englobada pela cardicóide r=a(1+cosθ).
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais duplas em Coordenadas Polares
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Integrais Triplas
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
28
( , , )R
f x y z dV
( , , )R
f x y z dxdydz
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Elemento de Área de Coordenadas Esféricas
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Elemento de Área de Coordenadas Esféricas
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Coordenadas Esféricas
Exemplo: Calcule o volume e a área da superfície de uma esfera.
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Elemento de Área de Coordenadas Cilíndricas
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Coordenadas Cilíndricas
Exemplo: Calcule o volume e a área da superfície de um cilindro.
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
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Preleções Científicas
Universidade Estadual do CearáPró-Reitoria de Extensão
Integrais Múltiplas e Integrais de Volume
Ministrante: Prof. K. David Sabóia
Duração: 12 horas