predmet: upravljanje sistemima...model u prostoru stanja za taj sistem. sili u(t) koja deluje na...
TRANSCRIPT
Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Uvod u prostor stanja Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović
Prostor stanja
Model sistema u prostoru stanja opisuje neki sistem od korišćenjem n diferencijalnih jednačina prvog reda umesto matematičkog modela određenog diferencijalnom jednačinom n-tog reda. Vektorsko-matrični oblik modela u prostoru stanja linearnog sistema je definisan na sledeći način
x t Ax t Bu ty t Cx t Du t
pri čemu se prva jednačina naziva jednačinom stanja, a druga jednačina jednačinom izlaza.
Sa x t , u t , y t su definisani sledeći vektori:
1
2
1n n
x tx t
x t
x t
je vektor stanja,
1
2
1r r
u tu t
u t
u t
je vektor ulaza, dok je
1
2
1m m
y ty t
y t
y t
vektor izlaza.
Dalje, sa A, B , C i D su definisani sledeće matrice: A, dim A n n , je matrica stanja B , dim B n r , je ulazna matrica C , dimC m n , je matrica izlaza i D , dim D m r , je izlazno-ulazna matrica.
CST funkcija ss Stvara model u prostoru stanja i vrši konverziju u model u prostoru stanja
sys = ss(a,b,c,d) sys_ss = ss(sys) sys = ss(d)
sys = ss(a,b,c,d) stvara objekat model u prostoru stanja opisujući vremenski kontinualni model u prostoru stanja
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
Za model sa n stanja, m izlaza i r ulaza
A je matrica dimenzija nxn, B je matrica dimenzija nxr, C je matrica dimenzija mxn, D je matrica dimenzija mxr, Ukoliko nema matrice D moguće je napisati D = 0 bez obzira na dimenzije. sys_ss = ss(sys) konvertuje objekat modela dinamičkog sistema sys u objekat modela u prostoru stanja. Izlaz sys_ss je ekvivalentan modelu u prostoru stanja. Ova operacija je poznata kao realizacija prostora stanja. sys = ss(d) specificira statičku matricu pojačanja D i ekvivalentan je sa
sys = ss([],[],[],d)
CST funkcija ssdata Pristupa parametrima modela u prostoru stanja
[a,b,c,d] = ssdata(sys)
[a,b,c,d] = ssdata(sys) vraća matrične podatke A, B, C, D iz objekta modela u prostoru stanja sys. Ukoliko je sys objekat funkcije prenosa ili ZPK objekat, prvo se vrši njegova transformacija u model u prostoru stanja, a nakon toga se vraćaju matrični podaci.
Primer 1. Diferencijalnu jednačinu
2
1 0 02
d dy t a y t a y t b u tdt dt
napisati u vidu vektorske-diferencijalne jednačine stanja sistema i jednačine izlaza. Na osnovu dobijenog modela i vrednosti parametara 1 3a , 0 2a i 0 1b korišćenjem CST funkcije ss formirati objekat prostora stanja. Ukoliko izdvojimo kao promenljive stanja
1 1 2
2
2 2 0 1 02
0 1 1 2 0
dx t y t x t y t x tdt
d d dx t y t x t y t a y t a y t b u tdt dt dt
a x t a x t b u t
Jednačina stanja u matričnom obliku će glasiti
1 1
0 1 02 2
0 1 0x t x tu t
a a bx t x t
dok će jednačina izlaza biti
1
2
1 0x t
y tx t
.
Objekat prostora stanja A = [ 0 1 -2 -3]; B = [0;1]; C = [1 0]; sys=ss(A,B,C,0)
Rešenje a = x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -3 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.
Primer 2. Proširimo jednačinu y t ay t bu t u sledeći oblik
3 2
2 1 0 03 2
d d dy t a y t a y t a y t b u tdt dt dt
.
Napisati jednačinu stanja sistema i jednačinu izlaza. Na osnovu dobijenog modela i vrednosti parametara 3
2 2a , 1 3a , 0 2a i 0 1b korišćenjem CST funkcije ss formirati objekat prostora stanja. Usvojimo promenljive stanja na sledeći način
1 1 2
2
2 2 32
2 3 2
3 3 0 1 2 02 3 2
0 1 1 2 2 3 0
dx t y t x t y t x tdt
d dx t y t x t y t x tdt dtd d d dx t y t x t y t a y t a y t a y t b u tdt dt dt dt
a x t a x t a x t b u t
Jednačina stanja u matričnom obliku će glasiti
1 1
2 2
3 0 1 2 3 0
0 1 0 00 0 1 0
x t x tx t x t u tx t a a a x t b
dok će jednačina izlaza biti
1
2
3
1 0 0x t
y t x tx t
.
Objekat prostora stanja formiramo korišćenjem sledećeg skript programa A = [0 1 0; 0 0 1; -2 -3 -3/2]; B = [0 0 1]'; C = [1 0 0];
sys=ss(A,B,C,0); [An,Bn,Cn,Dn] = ssdata(sys); An Bn Cn Dn Rešenje An = 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -2.0000 -3.0000 -1.5000 Bn = 0 0 1 Cn = 1 0 0 Dn = 0
Primer 3. Posmatramo mehanički sistem prikazan na slici. Napisati model u prostoru stanja za taj sistem.
Sili u(t) koja deluje na klip suprotstavljaju se sila elastičnosti opruge uo(t), sila prigušenja up(t) i sila inercije ui(t). Jednačina ravnoteže sila glasi 1 2i p ou t u t u t u t my t k y t k y t
Primenom LT uz nulte početne uslove dobijamo 2
1 2U s ms k s k Y s . Stoga opis ulaza-izlaza u frekventnom domenu sistema glasi
21 2
1Y s U sms k s k
.
Kada je m=1, k1=3 i k2=2, tada će impulsni odgovor sistema biti
2
1 13 2 1 2
Y ss s s s
Izvešćemo dinamičku jednačinu stanja sistema. Usvojimo pomeraj i brzinu za promenljive stanja:
1 1 2
2 12 2 1 2
1x y x y x
k kx y x y x x um m m
Vektorska jednačina stanja će glasiti
1 12 1
2 2
0 1 01
x xuk kx x
m m m
,
dok će jednačina izlaza biti
1
2
1 0x
yx
.
Objekat prostora stanja za vrednosti parametara m=1, k1=3 i k2=2 moguće je dobiti korišćenjem skript programa m = 1; k1 = 3; k2 = 2; A = [0 1;-k2/m -k1/m]; B = [0;1/m]; C = [1 0]; sys=ss(A,B,C,0); disp('A=') disp(sys.A) disp('B=') disp(sys.B) disp('C=') disp(sys.C) disp('D=') disp(sys.D)
Rešenje A= 0 1 -2 -3 B= 0 1 C= 1 0 D= 0
Primer 4. Za RLC kolo dato na slici napisati model u prostoru stanja.
11 1 1 1 2
21 2 2 1 1
2
0
i
o
o
di tv t L R i t R i tdt
di tR i t L v t R i tdt
dv ti t Cdt
uz pretpostavku da je ulazni signal iu t v t i izlaznim signal
oy t v t , struje
1i t i 2i t mogu da budu klasifikovane kao stanja
3x t i
2x t , sa izlazom ov t , kao stanjem
1x t .
1 1
2 2 2 2
3 1 3 1
o odx t v t x t v tdtdx t i t x t i tdtdx t i t x t i tdt
2
1 12 2 1
2 2 2
1 11 2 1
1 1 1
1
1
1
o
o
i
d v t i tdt Cd R Ri t v t i t i tdt L L Ld R Ri t i t i t v tdt L L L
1 2
1 12 1 1 3
2 2 2
1 13 2 3
1 1 1
1
1
1
x t x tC
R Rx t x t x t x tL L L
R Rx t x t x t u tL L L
1oy t v t x t
Korišćenjem prethodnih jednačina model sistema u prostoru stanja može biti napisan kao
1 11 1
2 22 2 2
3 31 1
11 1
1
2
3
10 00
1 01
0
1 0 0
Cx t x tR Rx t x t u t
L L Lx t x t
R R LL L
x ty t x t
x t
Primer 5. Napisati jednačinu stanja za električnu mrežu prikazanu na slici u zavisnosti od promenljivih stanja Li , Cu .
1
1 22
LL C
C CL
di tu t R i t L u tdtu t du ti t i t i t C
R dt
Ove jednačine se mogu napisati kao:
1
2
1 1
1 1
LL C
CL C
di t R i t u t u tdt L L L
du t i t u tdt C R C
odakle se dobija jednačina stanja kao
1
2
11
1 10
L L
C C
Ri t i tL Ld u tL
dt u t u tC R C
.
Primer 6. Za kolo na slici napisati jednačinu stanja. Promenljive stanja su 1u i 2u .
Važi sledeće
2 2 1 22
2 1
2 1 11
1
0u t u t u t u t du tCR R dt
u t u t du tCR dt
Transformacijom dobijamo
11 2
1 1 1 1
21 2
1 2 2 1 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1
du t u t u tdt R C R C
du t u t u t u tdt R C C R R R C
odakle se dobija jednačina stanja kao
1 1 1 11 1
2 22 2
1 2 2 1 2
1 101
1 1 1 1R C R Cu t u td u t
dt u t u tR C
R C C R R