prędkość kątowa
DESCRIPTION
Prędkość kątowa. Przyśpieszenie kątowe. Moment siły. Moment siły. W którym przypadku moment siły jest większy?. (a) 1 (b) 2 (c) 1=2. L. F. F. L. osie. 1. 2. F r. . F. . F t. . r. r p. Moment siły. Z definicji momentu siły :. t = r F sin = r sin F = r p F. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/1.jpg)
Prędkość kątowa
dtdΘ
ω
dtdω
α Przyśpieszenie kątowe
![Page 2: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/2.jpg)
r F
Moment siły
![Page 3: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/3.jpg)
• W którym przypadku moment siły jest większy?
(a)(a) 1
(b)(b) 2
(c)(c) 1=21=2
L
L
F F
osie
1 2
Moment siły
![Page 4: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/4.jpg)
Moment siły
= r F sin
= r sin F
= rpF
Z definicji momentu siły:
rr
rp
FF
Ft
Fr
![Page 5: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/5.jpg)
Ruch obrotowy• Załóżmy, że cząstka porusza się po okręgu. Niech na
cząstkę działa siła F. Siła ta powoduje przyspieszenie
styczne:
• at = r
Z II zasady Newtona w kierunku stycznym:
Ft = m at = m r
r Ft = m r 2 r
aat
FF
m
rr^
^
Ft
![Page 6: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/6.jpg)
Ruch obrotowyrFt = mr2niech
Moment siły: = rFt.
• Moment siły ma kierunek:– + z jeśli powoduje ruch w kierunku przeciwnym doruchu wskazówek zegara
- z w przeciwnym przypadku.
•
I=
I=
2mr=I
r
aat
FF
m
rr^
^
Ft
![Page 7: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/7.jpg)
Moment pędu(cząstki)
r
Lp
O
prL
![Page 8: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/8.jpg)
i
j
Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi:
kvrmmi
iiii
iiiii
i vrprL
Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki:
rr1
rr3
rr2
m2
m1
m3
vv2
vv1
vv3
LL jest w kierunku z.
vi = ri
(ri prostop. do vi )
Analog p = mv!!
krmLi
2
iiˆ
L =I
![Page 9: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/9.jpg)
L =I
![Page 10: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/10.jpg)
Moment pędu cząstki swobodnejMoment pędu cząstki względem początku
układu odniesienia
y
x
vv
L r p
Pokażemy, że moment pędu tej cząstki jest różny od zera, mimo, że cząstka nie obraca się.
![Page 11: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/11.jpg)
Moment pędu cząstki swobodnej cd.
• Rozważmy cząstkę o masie m poruszającą się wzdłuż prostej y= -d z prędkością v. Oblicz moment pędu względem (0,0)?
x
vv
md
y
![Page 12: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/12.jpg)
Moment pędu cząstki swobodnej cd.
Moduł momentu pędu:
rr i pp leżą w płaszczyźnie x-y , więc LL będzie w kierunku osi z
sin sinrp p r pd L r p
ZL pd const
y
x
pp=mvvd
r r
![Page 13: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/13.jpg)
II zasada dynamiki Newtona V;Zasada zachowania momentu pędu
d
dt
L��������������
pr
dt
d dt
d
dt
d prp
r
dt
dpr
netFr
net
(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu pędu.
wyp
d
dtL
��������������
0,wyp to const τ L
![Page 14: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/14.jpg)
np. Jaka jest końcowa prędkość kątowa?
a
Początkowa
b
końcowa
i
?
Początkowy moment pędu (moduł)
aL =a amv2 aa m2 2
Końcowy moment pędu
L mv mb b2
bb = b 2 2
Z zasady zachowania momentu pędu ( moment sił zewnętrznych równy zero): ab
b
a
2
2
Zagadka: Zmiana energii kinetycznej:
01m2
m2
2
m2K 2
2
22
2222
tot
a
ab
b
aa
ab
Kto wykonał pracę?
![Page 15: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/15.jpg)
L
I i II prawo Keplera
rd
L
rdA
I. Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero a więc L=const. Ponieważ L jest prostopadły do płaszczyzny w której odbywa się ruch, to jego stałość oznacza, że ruch planety odbywa się w tej samej płaszczyźnie. Zatem tor ruchu planety jest krzywą płaską.
II. Prędkość polowa jest stała.
.constvr
mm2
1dt
dA
dt
d
2
1 rr
m2
L
![Page 16: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/16.jpg)
Bryła sztywna
Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną.
A
iv
i
irA
Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego.
AiAi rωvv
![Page 17: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/17.jpg)
Środek masy
• Dla bryły sztywnej:
y
x
dm
rr
dmrRM CoM
dVrDRM CoM
dV
dmD
Dla bryły symetrycznej środek masy=środkowi symetrii
gęstość,
![Page 18: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/18.jpg)
Centre of mass
End of hammer
1. Ruch postępowy środka masy2. Obrót wokół środka masy
Ruch bryły sztywnej
![Page 19: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/19.jpg)
przykład
Rαa
α52
αIRfτ
MafmgsinβF
cm
2cm
cmx
MR
![Page 20: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/20.jpg)
II zasada dynamiki Newtona (VI)(moment pędu układu cząstek)
dt
dL
i
idtd
l
i
i
dt
d l
i
i,net
i
izewni
iwewn ,, i
izewn, zewn
(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na układ cząstek jest równy szybkości zmian momentu pędu:
ddt ext
L
![Page 21: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/21.jpg)
i
j
Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi:
kvrmmi
iiii
iiiii
i vrprL
Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki:
rr1
rr3
rr2
m2
m1
m3
vv2
vv1
vv3
LL jest w kierunku z.
vi = ri
(ri prostop. do vi )
Analog p = mv!!
krmLi
2
iiˆ
L =I
![Page 22: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/22.jpg)
Obrót bryły sztywnej wokół ustalonej osi
m1
1
y
x
z
r1
v1
L1
1) Rozważmy masę m1 przyczepioną do pręta o długości 1, który obraca się z prędkością wokół osi z.
![Page 23: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/23.jpg)
pęd masy m1 : p1 = m1v1
gdzie v1 : v1= x 1
moment pędu L1:
L1= r1 x p1
Składowa r1 prostopadła do to p1 (i do v1) to wektor 1 więc składowa
z momentu pędu, Lz1:
Lz1= x p1
Lz1 = 1x mv1 lub Lz1 = x m( x 1)
stąd
moment pędu, L
Lz1= m
m1
1
y
x
z
r1
v1
L1
![Page 24: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/24.jpg)
Ustalona lub chwilowa oś obrotu(II ZDNewtona VIII)
F
F
Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół ustalonej lub chwilowej osi obrotu jest proporcjonalne do składowej momentu sił zewnętrznych równoległej do osi obrotu.
Idt
dI
dt
dL ,ext ,extI
![Page 25: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/25.jpg)
Moment bezwładności
A
A
Układ cząstek :
I m rA i ii
'2
Ciało stałe
ciało
A dmrI 2'
r’
dm
ri’
mi
![Page 26: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/26.jpg)
Osie główne• Dla bryły sztywnej zawsze można znaleźć 3 wzajemnie prostopadłe osie obrotu dla których L jest zawsze równoległe do :
L= I.
Są to tzw. osie główne, zaś momenty bezwładności wokół tych osi nazywają sie głównymi momentami bezwładności. • Jesli bryła sztywna jest symetryczna, to osie główne są jednocześnie osiami symetrii. np. sześcian, kula.
![Page 27: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/27.jpg)
np. Moment bezwładności jednorodnego pręta
dxL
MxI 2
y0
L
L
0
3
3
x
L
M 2ML3
1y
dx
x
L
cmI
2/L
2/L
2 dxL
Mx
2/L
2/L
3
3
x
L
M 2ML12
1
Obrót wokół końca
Obrót wokół środka
![Page 28: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/28.jpg)
np. Moment bezwładności jednorodnego koła
d
dr
r
okrąg
A dmrI 2 drrd
R
Mr 2
2
0
R
0
2
R
0
2
0
32 drdr
R
M
4
R
R
M2
4
22MR
2
1
![Page 29: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/29.jpg)
Twierdzenie Steinera
I = ICM + MD2
L
D=L/2M
xCM
ICM ML1
122
IEND ML ML
ML
1
12 2
1
32
22
ICMIEND
![Page 30: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/30.jpg)
Momenty bezwładności
I MR 2
R
I 1
22MRR
![Page 31: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/31.jpg)
Moment bezwładności
I 2
52MR
R
I 1
22MR
R
![Page 32: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/32.jpg)
Moment bezwładności
I 1
122ML
L
I 1
32ML
L
![Page 33: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/33.jpg)
Moment pędu i prędkość kątowa
l
L
W ogólności, każda składowa całkowitego momentu pędu zależy od wszystkich składowych prędkości kątowej.
i
vrL iii m
iirr
ii m i
i2ii rm irr
r’
i
2ii
i
2i
2ii
iii
2iiz 'rmzrmzzrmL
;
iiiix xzmL ;
iiiiy yzmL
![Page 34: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/34.jpg)
Wpływ symetrii
i
2iiz 'rmL
0xzmLi
iiix
0yzmLi
iiiy
Tylko dla ciał o odpowiedniej symetrii kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej
i
2ii 'rmI
jest zwany momentem bezwładności ciała przy ruchu obrotowym wokół osi
![Page 35: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/35.jpg)
II zasada dynamiki Newtona ( VII)(dla ruchu obrotowego bryły sztywnej)
dt
dI
dt
dL
extI
Dla symetrycznych brył sztywnych przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu wypadkowej sił zewnętrznych.
extI
![Page 36: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/36.jpg)
Praca w ruchu obrotowym• Praca siły FF działającej na ciało, które może obracać się wokół
ustalonej osi.
• dW = FF.drdr = F R dsin()= FR sin() d
dW = dW po scałkowaniu:
W = • Analog W = F •r• W < 0 jeśli i mają przeciwne zwroty!
R
FF
dr = R ddoś
![Page 37: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/37.jpg)
Praca i moc w ruchu obrotowym
rd
F
d
d
dW rdF rF
d
Fr
d
d
ddW P
a)(cbb)(acc)(ba
![Page 38: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/38.jpg)
Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa
i
i,oo, KK i
2ii 'rm
2
1
i
2iivm
2
1
2
i
2ii 'rm
2
1 2I2
1
2o,o, I
2
1K
Praca i energia kinetyczna:
K = Wwyp
Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:
wyp22 WI
21 ifK
![Page 39: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/39.jpg)
Praca i energia kinetyczna:
K = Wwyp
Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.
• Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:
wyp22 WI
21 ifK
![Page 40: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/40.jpg)
T
Twierdzenie o równow. pracy i energii kinet.
(całkowita energia kinet.)Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły (zewn. i wewn.) nad układem cząstek jest równa zmianie całkowitej energii kinet. układu
cdW dKcW Klub
Wr
d
![Page 41: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/41.jpg)
Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej
i
2iitot vm
2
1K
i
2iAim
2
1rv
i
iAii
2ii
i
2Ai 2m
2
1m
2
1vm
2
1rvr
i
iiA
22i
ii
2A
ii m'rm
2
1vm
2
1rv
Jeśli środek masy jest w punkcie A:
2cmMv
2
1 2cm,I
2
1 0totK TK cm,K
![Page 42: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/42.jpg)
Praca i energia• Dwa sznury są nawinięte wokół dwóch dysków o różnych promieniach
ale o tym samym momencie bezwładności I. Do ich końców przyłożono taką samą siłę F która spowodowała ich odwiniecie o tę samą długość. Początkowo dyski są nieruchome ; założyć, że sznury nie ślizgają się po dyskach.
– Który dysk ma większą prędkość kątową po pociągnięciu sznura?
(a)(a) 1
(b)(b) 2
(c)(c) 1=2 FF
1 2
![Page 43: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/43.jpg)
Praca i energia
FF
1 2
d
Praca jest ta sama!W = Fd
Więc zmiana energii kinet. będzie też taka sama W = K.
K 12
2I
Ponieważ I1 = I2
1 = 2
![Page 44: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/44.jpg)
Spadający ciężarek i krążek
• Z twierdzenia o równoważności pracy i całkowitej energii kinetycznej:
K = Wwyp= mgL I
m
R
T
v
L
22f
2f
ii2f
2f
2i
2f
2i
2f
R/vI21
vm21
KΔ
)0ω0;(vωI21
vm21
KΔ
ωωI21
vvm21
KΔ
![Page 45: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/45.jpg)
Spadający ciężarek i krążek Z drugiej strony: U =Wwyp =K a stądK + U = 0 czyli E=K + U = constTen sam wynik można zatem otrzymać korzystając z
zasady zachowania energii mechanicznej:Dla ciężarka nieruchomego na wysokości y=L: E=U=mgL.Dla ciężarka na wysokości y=0:
E=K=Ktransl+Kobrot
zatem:
Ktransl+Kobrot =mgL
I
m
R
T
v
L
y
0
![Page 46: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/46.jpg)
Żyroskop
![Page 47: Prędkość kątowa](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568135ef550346895d9d5fa7/html5/thumbnails/47.jpg)
Żyroskop
Irw
LdtLdL
dtd /
Prędkość precesji
w
N