predikatske formule – · pdf filepredikatske formule – primeri neka je data...

Predikatske formule – rekapitulacijaPredikatske formule – rekapitulacijaPredikatske formule – rekapitulacija

Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obra-

dili na prethodnom predavanju.

❏ Izraz je proizvoljan niz simbola.

Naravno, vecina izraza nema nikakav smisao u predikatskoj logici,

ali postoje izrazi koji su sa aspekta predikatske logike veoma intere-

santni. To su

➠ termi

➠ atomicne formule (atomi)

➠ druge (pravilno formirane) formule

Matemati cka logika – 2 – Predikatska logika - II deoMatemati cka logika – 2 – Predikatska logika - II deoMatemati cka logika – 2 – Predikatska logika - II deo

Predikatske formule – rekapitulacijaPredikatske formule – rekapitulacijaPredikatske formule – rekapitulacija

❏ Termi u predikatskoj logici igraju ulogu slicnu onoj koju u obicnom

jeziku igraju imenice i zamenice.

To su izrazi koji mogu biti interpretirani kao imenovanje objekata.

Termi su izrazi koji se grade od znakova konstanti, znakova promen-

ljivih i odgovarajucih funkcijskih (operacijskih) znakova.

❏ Atomicne formule su one formule koje se grade koristeci jedino

terme i predikatske, odnosno relacijske znakove.

Dakle, atomicne formule ne sadrze niti logicke veznike niti kvan-

tifikatore.

❏ Formule su oni izrazi koji se grade iz atominih formula koriscenjem

logickih veznika i kvantifikatora.


Predikatske formule – primeriPredikatske formule – primeriPredikatske formule – primeri

Neka je data sledeca argumentacija

(1) Za svaki ceo broj x postoji ceo broj koji je veci od x.

(2) 500 je ceo broj.

(3) Postoji ceo broj koji je veci od 500.

Prevedimo to na jezik predikatske logike, uzimajuci za domen skup

realnih brojeva, i koristeci predikate:

Simbol Znacenje

N(x) x je ceo broj

G(y, x) y je veci od x



Prevodenjem na jezik predikatske logike dobijamo sledece:

(1) (∀x)(N(x) ⇒ (∃y)(N(y) ∧ G(y, x)))

(2) N(500)

(3) (∃y)(N(y) ∧ G(y, 500))

Da li su gornje formule pravilno formirane?

Naravno da jesu. Pokazacemo postupno kako su one izgradene.



Razmotrimo nacin na koji se izgraduju formule

(∀x)(N(x) ⇒ (∃y)(N(y) ∧ G(y, x))) i N(500)

termi x, y

atomi N(x), N(y), G(y, x)

formule (N(y) ∧ G(y, x))

(∃y)(N(y) ∧ G(y, x))

(N(x) ⇒ (∃y)(N(y) ∧ G(y, x)))

(∀x)(N(x) ⇒ (∃y)(N(y) ∧ G(y, x)))

term 500

atom N(500)


Kombinovanje kvantifikatoraKombinovanje kvantifikatoraKombinovanje kvantifikatora

Primer 17: Neka je sa Q(x, y) oznacen predikat ”x + y = 0”.

Ako je domen skup realnih brojeva, koja je od formula

(∃y)(∀x)Q(x, y) i (∀x)(∃y)Q(x, y)

je tacna?

Resenje: Formulom (∃y)(∀x)Q(x, y) je predstavljen iskaz:

”Postoji realan broj y tako da za svaki realan broj x vazi x + y = 0”.

Ako bi to bilo tacno, onda bi bilo x = −y, za svaki realan broj x, sto

ocigledno nije moguce. Dakle, ovo tvrdenje nije tacno.



Formulom (∀x)(∃y)Q(x, y) je predstavljen iskaz:

”Za svaki realan broj x prostoji realan broj y tako da je x + y = 0”.

Ovo tvrdenje je tacno, jer za proizvoljan realan broj x mozemo uzeti

da je y = −x, i za tako izabrano y ocigledno vazi x + y = 0.

Ovaj primer pokazuje koliko je redosled pojavljivanja kvantifikatora u

formuli bitan, jer zamena mesta kvantifikatora u formuli moze potpuno

izmeniti njen smisao.



Kada vrsimo kvantifikovanje po dve i vise promenljive, moze biti korisno

razmisljati o njima kao o visestrukim petljama.

Na primer, da bi smo videli da li je (∀x)(∀y)P (x, y) tacno, mozemo

formirati petlju po svim vrednostima za x, i za svaki x mozemo formirati

petlju po svim vrednostima za y.

Ako ustanovimo da je P (x, y) tacno za sve vrednosti x i y, onda je

(∀x)(∀y)P (x, y) tacno.

U suprotnom, ako pogodimo takvu vrednost za x, za koju dalje pogodimo

vrednost za y takvu da je P (x, y) netacno, onda smo dokazali da je

(∀x)(∀y)P (x, y) netacno.



Pregled svih mogucih kombinacija kvantifikatora po dvema promenljivim

dat je sledecom tabelom:

Tvrdenje Kada je tacno? Kada je netacno?

1. (∀x)(∀y)P (x, y)

(∀y)(∀x)P (x, y)

P (x, y) je tacno za svaki

par x, y

Postoji par x, y za koji je

P (x, y) netacno

2. (∀x)(∃y)P (x, y) Za svaki x postoji y za koji

je P (x, y) tacno

Postoji x takvo da je

P (x, y) netacno za svaki y

3. (∃x)(∀y)P (x, y) Postoji x takvo da je

P (x, y) tacno za svaki y

Za svaki x postoji y za koji

je P (x, y) netacno

4. (∃x)(∃y)P (x, y)

(∃y)(∃x)P (x, y)

Postoji par x, y za koji je

P (x, y) tacno

P (x, y) je netacno za svaki

par x, y


Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora

Cesto se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza.

Na primer, razmotrimo tvrdenje

”Svaki student u grupi pohada kurs iz matematike”.

Ako je domen skup svih studenata iz date grupe, ovo tvrdenje se moze

prevesti sa (∀x)P (x), gde P (x) znaci ”x pohada kurs iz matematike”.

Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da svaki student u grupi pohada

kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa

”Postoji student u grupi koji ne pohada kurs iz matematike”

a to se moze izraziti sa (∃x)¬P (x)



Sa druge strane, razmotrimo tvrdenje

”Postoji student u grupi koji pohada kurs iz matematike”.

Ako je domen skup svih studenata iz te grupe, ovo se moze prevesti sa

(∃x)P (x), gde je P (x) tvrdenje ”x pohada kurs iz matematike”.

Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da postoji student u grupi koji

pohada kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa

”Svaki student u grupi ne pohada kurs iz matematike”

a to se moze izraziti sa (∀x)¬P (x)



Zapazanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati sledecom

tabelom:

Negacija Ekvivalentan

izraz

Kada je negacija

tacna?

Kada je negacija

netacna?

1. ¬(∃x)P (x) (∀x)¬P (x) P (x) je netacno za

svaki x

Postoji x za koji je

P (x) tacno

2. ¬(∀x)P (x) (∃x)¬P (x) Postoji x za koji je

P (x) netacno

P (x) je tacno za

svaki x


Semantika predikatske logikeSemantika predikatske logikeSemantika predikatske logike

Razmotrimo, na primer, predikatsku formulu

(∀x)(∃y)P (x, y).

Sta mozemo reci o noj?

O ovoj formuli mozemo govoriti jedino sa aspekta sintakse.

Sve sto mozemo reci je da formula sadrzi dve promenljive, x i y, od

kojih su obe vezane kvantifikatorima (∀x) i (∃y), koji deluju na predikat

P (x, y), i nista vise.

Sta je sa istinitoscu ove formule?

O tome nista ne mozemo reci, jer ne znamo ni njeno znacenje. Da bi

smo o tome govorili, neophodno je da se precizira znacenje – semantika

te predikatske formule.


InterpretacijaInterpretacijaInterpretacija

Setimo se da se svaka predikatska formula sastoji od sledecih elemenata

➠ simbola konstanti, ➠ logickih veznika,

➠ simbola promenljivih, ➠ kvantifikatora,

➠ funkcijskih simbola, ➠ pomocnih simbola.

➠ relacijskih simbola,

Logicki veznici, kvantifikatori i pomocni simboli u svim formulama imaju

svoje uobicajeno znacenje.

Da bi se preciziralo znacenje ostalih simbola u formuli, potrebno je da

se izvrsi interpretacija te formule, koja se neophodno vezuje za neku

relacijsko-operacijsku strukturu, osnosno algebarsku strukturu.



(1) Interpretacija formule pocinje preciziranjem nekog nepraznog skupa

D – domena interpretacije, u okviru koga se vrsi interpretacija.

(2) Drugi korak u interpretaciji je interpretacija simbola konstanti –

svakom simbolu konstanti pridruzuje se neka konkretna individualna

konstanta iz domena D, interpratacija tog simbola.

(3) Da bi se interpretirali funkcijski simboli, neophodno je da za svaki

n-arni funkcijski simbol koji se javlja u formuli, na skupu D bude

definisana odgovarajuca n-arna operacija, kojom interpretiramo taj

funkcijski simbol.

(4) Slicno, za svaki n-arni relacijski znak koji se javlja u formuli, neop-

hodno je da na skupu D bude definisana odgovarajuca n-arna

relacija, kojom interpretiramo taj relacijski znak.



Prema tome,

– funkcijski simbol izvesne arnosti moze se interpretirati samo funk-

cijom (operacijom) iste te arnosti;

– relacijski simbol izvesne arnosti moze se interpretirati samo rela-

cijom iste te arnosti.

(5) Simboli promenljivih interpretiraju se kao promenljive koje mogu

uzeti proizvoljne vrednosti u skupu D.

Kada se formula interpretira, onda ona postaje recenica kojom se nesto

tvrdi o elemetima domena interpretacije.



Formalno, interpretacija formule ili skupa formula definise kao uredeni

par D = (D, φ), gde je D domen interpretacije, a φ je pridruzivanje

(preslikavanje) izvrseno na sledeci nacin:

(a) Uoce se svi simboli konstanti, funkcijski i relacijski simboli koji

ucestvuju u izgradnji tih formula;

(b) svakom simbolu konstanti a pridruzi se neki fiksirani element φ(a)

iz D (interpretacija konstanti);

(c) svakom funkcijskom simbolu f duzine n pridruzi se neka konkretna

n-arna operacija φ(f) na D, tj. funkcija iz Dn u D (interpretacija

funkcijskih simbola);

(d) svakom relacijskom znaku R duzine n pridruzi se neka konkretna

n-arna relacija φ(R) na D (interpretacija relacijskih simbola).



Primer 18: Neka su date formule:

(1) P (f(x, y), b)

(2) (∃y)Q(f(x, y), b)

(3) (∀x)(P (x, a) ⇒ (∃y)P (f(x, y), a))

i neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R.

Konstante a i b interpretiracemo redom kao brojeve 0 i 1.

Funkcijski simbol f duzine 2 in terpretiracemo kao operaciju mnozenja.

Relacijske simbole P i Q, oba duzine 2, interpretiracemo redom kao

relaciju manje, <, i relaciju jednakosti, =.



Interpretaciju gornjih formula tako cini skup R i navedeno pridruzivanje,

tj. uredeni par D = (R, φ), gde je

φ =

(

a b f P Q

0 1 · < =

)

.

Gornje formule u ovoj interpretaciji postaju redom tvrdenja

(1) ”Proizvod brojeva x i y je manji je od 1” (tj. ”x · y < 1”);

(2) ”Postoji broj y tako da je x · y = 1” (tj. ”(∃y)x · y = 1”);

(3) ”Za svaki broj x manji od 0 postoji broj y takav da je x · y < 0”

(tj. ”(∀x)(x < 0 ⇒ (∃y)(x · y < 0))”).

Sta se moze reci o istinitosti ovih tvrdenja?



Jedino za tvrdenje (3) mozemo odmah reci da je tacno: ako je x bilo

koji negativan broj, onda za bilo koji pozitivan broj y imamo da je i

proizvod x · y negativan.

O istinitosti tvrdenja (1) ne mozemo nista konkretno reci, jer ona zavisi

od toga kako smo izabrali par brojeva x i y.

Za neke vrednosti brojeva x i y, njihov ce proizvod biti manji od 1, dok

ce za neke vrednosti taj proizvod biti veci od 1.

Takode, istinitost tvrdenja (2) zavisi od toga kako smo izabrali broj x –

ako je x = 0, onda tvrdenje nece biti tacno, dok ce za x 6= 0 tvrdenje

biti tacno.



Iz svega ovog zakljucujemo sledece:

❏ Ako formula ne sadrzi slobodne promenljive, tj. ako su sve promen-

ljive u njoj vezane, onda u proizvoljnoj interpretaciji ta formula pos-

taje recenica koja je ili tacna ili netacna.

Formule koje ne sadrze slobodne promenljive nazivaju se zatvorene

formule ili recenice.

❏ Ako formula sadrzi slobodne promenljive, onda istinitost njene inter-

pretacije zavisi od vrednosti koje u toj interpretaciji uzimaju slobod-

ne promenljive u toj formuli.

Upravo to ce biti predmet daljih razmatranja.


ValuacijeValuacijeValuacije

U definicijama koje slede uzimamo da je D = (D, φ) intepretacija

datog skupa predikatskih formula.

Niz

v = (c1, c2, c3, . . . )

elemenata iz D zove se valuacija domena D.

Kao i u iskaznoj logici, svrha valuacije je da pridruzi odredene vrednosti

promenljivama koje se javljaju u formuli, tako da promenljivoj xi treba

da bude pridruzena vrednost ci, gde je i ∈ N.

Prema tome, valuacija je zapravo preslikavanje koje skup svih promen-

ljivih {x1, x2, . . . , xn, . . . } slika u domen interpretacije D, tako da

proizvoljnoj promenljivoj xi dodeljuje vrednost v(xi) = ci ∈ D.


ValuacijeValuacijeValuacije

Buduci da u konacnom skupu formula ucestvuje konacno mnogo promen-

ljivih x1, . . . , xn, valuacija moze biti i konacan niz, uredena n-torka

v = (c1, . . . , cn) elemenata iz D.

Medutim, uglavnom je jednostavnije dozvoliti da niz bude beskonacan,

jer posle nekog elementa u tom nizu, ostali elementi i nece uticati na

vrednost terma u toj valuaciji.

Ako se koriste promenljive x, y, z, . . . , onda je njihov redosled leksiko-

grafski, pa im tim redom odgovaraju elementi valuacije.


Vrednost terma u valuacijiVrednost terma u valuacijiVrednost terma u valuaciji

Vrednost terma t u valuaciji v, u oznaci v(t), definise se induktivno,

po slozenosti tog terma, i to na sledeci nacin:

(i) Ako je t promenljiva xi, onda je v(t) = ci.

(ii) Ako je t simbol konstante a, onda je v(t) = φ(a), tj. element koji

je u interpretaciji D dodeljen simbolu a (interpretacija tog znaka

konstante).

(iii) Ako je t = f(t1, . . . , tn), gde je f operacijski znak duzine n, a

t1, . . . , tn su termi, onda je

v(t) = fD(v(t1), . . . , v(tn)),

gde je fD = φ(f) operacija na skupu D kojom je interpretiran

funkcijski simbol f .


Vrednost terma u valuacijiVrednost terma u valuacijiVrednost terma u valuaciji

Primer 19:

a) Neka je dat term f(a, g(x, y)) i interpretacija D = (R, φ), gde je

R skup realnih brojeva i

φ =

(

a f g

5 + ·

)

.

Jasno, u ovoj interpretaciji ovaj term postaje ”5 + x · y”.

Neka je data i valuacija v = (2, 3).

Vrednost gornjeg terma za ovu valuaciju iznosi 5 + 2 · 3, tj. 11.

b) Term x2+3y3−5 u uobicajenoj interpretaciji u skupu R, za valuaciju

(1, 2) ima vrednost 12 + 3 · 23 − 5 = 20.


Istinitosna vrednost predikatske formuleIstinitosna vrednost predikatske formuleIstinitosna vrednost predikatske formule

Istinitosna vrednost predikatske formule A u valuaciji v, u oznaci v(A),

se takode definise induktivno, po slozenosti formule:

(1) Neka je A = R(t1, . . . , tn) atomicna formula.

Tada je

v(A) =

{

1 ako je (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ φ(R)

0 inace

(2) Neka je A = ¬B. Tada je

v(A) = ¬v(B).



(3) Neka je A = B ∗ C, gde ∗ oznacava bilo koji od logickih veznika

∧, ∨, ⇒ i ⇔. Tada je

v(A) = v(B) ∗ v(C).

Drugim recima

v(B ∧ C) = v(B) ∧ v(C) v(B ∨ C) = v(B) ∨ v(C)

v(B ⇒ C) = v(B) ⇒ v(C) v(B ⇔ C) = v(B) ∨ v(C)



(4) Neka je A = (∀xi)B. Tada je

v(A) =

{

1 ako za svaki d ∈ D vazi vi

d(B) = 1

0 inace

gde je vi

dvaluacija dobijena iz valuacije v zamenom njene i-te koor-

dinate sa d, dok sve ostale koordinate ostaju iste.

Neformalno govoreci, v(A) = 1 ako i samo ako svako dodelji-

vanje vrednosti iz domena D promenljivoj xi, pri cemu sve ostale

promenljive u A dobijaju vrednosti odredene valuacijom v, daje

tacno tvrdenje.



Primer 20: Neka je sa A oznacena formula:

(∀x)(x > y)

koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B oznacena

formula x > y.

Prema prethodnoj definiciji, formula A je tacna u nekoj valuaciji (m, n)

ako je formula B tacna u valuaciji (k, n), za svaki k ∈ N.

Jasno, B je tacna u valuaciji (k, n), za svaki k ∈ N jedino u slucaju da

je n = 1. To znaci da je formula A tacna u valuaciji (m, n) jedino u

slucaju kada je n = 1, a u ostalim valuacijama je netacna.

Kao sto vidimo, tacnost formule A u valuaciji (m, n) uopste ne zavisi

od m, jer je promenljiva x vezana univerzalnim kvantifikatorom.



(5) Neka je A = (∃xi)B. Tada je

v(A) =

{

1 postoji d ∈ D tako da je vi

d(B) = 1

0 inace

Neformalno govoreci, v(A) = 1 ako i samo ako postoji dodeljivanje

vrednosti iz domena D promenljivoj xi, pri cemu sve ostale promen-

ljive u A dobijaju vrednosti odredene valuacijom v, koje daje tacno

tvrdenje.



Primer 21: Neka je sa A oznacena formula:

(∃x)(x < y)

koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B oznacena

formula x < y.

Prema prethodnoj definiciji, formula A je tacna u nekoj valuaciji (m, n)

ako postoji k ∈ N tako da je formula B tacna u valuaciji (k, n).

Jasno, takvo k postoji ako je n > 2, a ne postoji za n = 1. Dakle,

formula A je tacna u valuaciji (m, n) ako je n > 2, a netacna je ako

je n = 1.

I opet vidimo da tacnost formule A u valuaciji (m, n) ne zavisi od m,

jer je promenljiva x sada vezana egzistencijalnim kvantifikatorom.



Ako je v(A) = 1, onda kazemo da je formula A tacna u valuaciji v, ili

da valuacija v zadovoljava formulu A.

Preciznije, govorimo da je formula A tacna u valuaciji v interpretacije

D , ili da valuacija v u interpretaciji D zadovoljava formulu A.

U tom slucaju pisemo

D |=v A.



Primer 22: (a) Neka su date formule R(y, f(x, a)) i (∃y)R(x, y)

i interpretacija D = (N, φ), gde je N skup prirodnih brojeva, a

φ =

(

a f R

1 + >

)

.

U valuaciji (1, 3) je tacna prva formula, jer je tacno

”3 je vece od 1 + 1”,

ali nije tacna druga: prema (5), nije tacno da

”postoji prirodan broj b takav da je 1 > b”.

Sa druge strane, u valuaciji (2, 3) nije tacna prva, a tacna je druga

formula.



(b) Posmatrajmo formulu (∀x)(x ·y = y) u interpretaciji ciji je domen

skup Z celih brojeva, a operacijski i relacijski znaci imaju uobicajena

znacenja.

Prema (4), ta formula je tacna u svakoj valuaciji oblika (b, 0), gde je b

proizvoljan realan broj.

(c) Ako je domen interpretacije skup R, a osnovni simboli se interpre-

tiraju uobicajeno, onda formulu

(∀x)(x 6= 0 ⇒ (∃y)(x · y = 1))

zadovoljava svaka valuacija.



Neka je data predikatska formula A, interpretacija D i valuacija v u D .

Ako sve slobodne promenljive u formuli A zamenimo odgovarajucim

komponentama u valuaciji v, onda dobijamo iskaz (recenicu koja ima

svojstvo da je tacna ili netacna), i taj iskaz oznacavamo sa Av.

Ocigledno, formula A je tacna u valuaciji v ako i samo ako Av tacan

iskaz.

Primer 23: U prethodnom primeru pod (a), ako je A = R(y, f(x, a))

i valuacija je v = (1, 3), onda je Av iskaz

”3 je vece od 1 + 1”.


Model formuleModel formuleModel formule

Za formulu A kazemo da je tacna u interpretaciji D ako je tacna u

svakoj valuaciji te interpretacije D.

Ako je formula A tacna u interpretaciji D , onda kazemo i da je D model

formule A, sto zapisujemo sa

D |= A.

Analogna definicija se uvodi i za skup formula A :

Ako je svaka formula iz A tacna u interpretaciji D , onda je D model

skupa A , sto zapisujemo sa

D |= A .


Model formuleModel formuleModel formule

Primer 24: Formula (∃x)(x < y), uz uobicajeno tumacenje simbola,

je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <.

Dakle, ta struktura je dakle model ove formule.

Struktura (N, <) je takode jedna interpretacija ove formule, ali to nije

i njen model, jer formula nije tacna u svim valuacijama.

Odavde se vidi da ako je formula A tacna u interpretaciji D , tj. ako joj

je D model, onda ta formula govori o nekim svojstvima strukture D .

Na primer, gornja formula kaze da u skupu Z (za razliku od N) od

svakog broja postoji manji.

To nije opste pravilo zakljucivanja, vec konkretno svojstvo modela.


Zatvorenje formuleZatvorenje formuleZatvorenje formule

Potsetimo se da se formula A naziva zatvorenom formulom ili recenicom,

ako A nema slobodnih promenljivih, tj. sve promenljive u A su vezane.

Ako je A zatvorena formula, onda u proizvoljnoj interpretaciji A jeste

tacna ili netacna, nezavisno od valuacije.

Primer 25: Uz uobicajeno tumacenje simbola, formula

(∀y)(∃x)(x < y),

je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <, nezavisno od

valuacije, a nije tacna u strukturi (N, <).

Primetimo da je i formula (∃x)(x < y) tacna u (Z, <), bez obzira na

to sto sadrzi slobodnu promenljivu y.


Zatvorenje formuleZatvorenje formuleZatvorenje formule

Prethodno zapazanje koje se tice formule (∃x)(x < y) sa slobodnom

promenljivom y moze se pretociti u opste svojstvo predikatskih formula.

Neka je A formula i x1, x2, . . . , xk su sve slobodne promenljive u A.

Tada je

(∀x1)(∀x2) . . . (∀xk)A

zatvorena formula koju nazivamo zatvorenjem formule A.

Za formulu A i njeno zatvorenje vazi sledece:

Tvrdenje 1: Formula A je tacna u interpretaciji D ako i samo ako je

njeno zatvorenje tacno u interpretaciji D .


Valjane formuleValjane formuleValjane formule

Kao sto smo vec ranije rekli, ako je formula A tacna u nekoj inter-

pretaciji D , onda ona opisuje izvesno svojstvo strukture D .

Medutim, ako je formula A tacna u svakoj interpretaciji, onda ona vise

ne opisuje svojstvo neke konkretne strukture, vec opste svojstvo svih

struktura, odnosno opste pravilo zakljucivanja.

Takve formule, koje su tacne u svim svojim interpretacijama, nazivaju

se opste-vazecim formulama ili valjanim formulama.

Ako je formula A valjana, to onda belezimo sa

|= A.

Ako su A i B predikatske formule takve da je A ⇔ B valjana formula,

tada kazemo da su A i B logicki ekvivalentne formule.



Valjane formule u predikatskoj logici predstavljaju ono sto u iskaznoj

logici predstavljaju tautologije.

Medujtim, postoje i izvesne razlike.

Kod iskaznih formula, problem dokazivanja da li je data iskazna formula

tautologija ili ne je odluciv.

To znaci da postoji algoritam pomocu koga se za proizvoljnu iskaznu

formulu A moze ustanoviti da li je A tautologija ili ne. Na primer, to

se moze uciniti formiranjem istinitosne tablice za formulu A.

Medutim, problem dokazivanja da li je proizvoljna predikatska formula

valjana ili ne nije odluciv – ne postoji algoritam pomocu koga se za

datu predikatsku formulu moze ustanoviti da li je ona valjana ili nije.



Ipak, za neke formule se moze ustanoviti da li su valjane ili ne.

Takve su, na primer, formule koje nazivamo izvodima iz tautologija.

Za predikatsku formulu F kazemo da je izvod iz tautologije ako pos-

toji tautologija A takva da se formula F moze dobiti iz A zamenom

iskaznih slova nekim predikatsklim formulama, pri cemu se isto slovo

svuda zamenjuje istom formulom.

Za izvode iz tautologija vazi sledece:

Tvrdenje 2: Izvod iz tautologije je valjana formula.



U daljem tekstu dajemo spisak nekih najznacajnijih valjanih formula.

Necemo dokazivati da su one valjane, ali cemo to nadalje koristiti kao

da smo dokazali.

Takode, dacemo i neke komentare vezane za te valjane formule.

(a) (∀x)A ⇒ (∃x)A

Ako A vazi za svaki x, onda je jasno da postoji x takav da vazi A.

(b) (∀x)(∀y)A ⇔ (∀y)(∀x)A

(c) (∃x)(∃y)A ⇔ (∃y)(∃x)A

Ove dve valjane formule nam zapravo kazu ono sto smo vec ranije konstatovali

– da dva istorodna kvantifikatora mogu slobodno zameniti mesta.



(d) (∃x)(∀y)A ⇒ (∀y)(∃x)A

Ovde vidimo da prethodna konstatacija ne vazi za raznorodne kvantifikatore, tj.

da raznorodni kvantifikatori ne mogu zameniti mesta.

Ako postoji x tako da za svaki y vazi A, taj x je isti za sve y, pa je jasno da za

svaki y postoji x tako da vazi A.

Obratna implikacija ne vazi – ako za svaki y postoji x tako da vazi A, taj x ne

mora biti isti za sve y, pa ne mozemo reci da postoji x tako da za svaki y vazi A.

Da obratna implikacija nije valjana, dokazacemo u daljem tekstu.

(e) (∃x)¬A ⇔ ¬(∀x)A

(f) (∀x)¬A ⇔ ¬(∃x)A

Ove dve formule su DeMorganovi zakoni za kvantifikatore, koji kazu da negacija

prolazi kroz kvantifikatore na slican nacin kao kroz konjunkciju i disjunkciju.



(g) (∀x)(A ∧ B) ⇔ (∀x)A ∧ (∀x)B

Ova formula nam kaze da se univerzalni kvantifikator ”dobro slaze” sa konjunkci-

jom – on moze uci u konjunkciju i delovati na svaki clan konjunkcije ponaosob, i

obratno.

(h) (∃x)(A ∧ B) ⇒ (∃x)A ∧ (∃x)B

Ovde se vidi da se egzistencijalni kvantifikator ”ne slaze dobro” sa konjunkcijom

– on moze uci u konjunkciju, ali se ne moze izvuci iz nje.

Naime, ako postoji x tako da vazi A i postoji x tako da vazi B, to x ne mora

da bude isto za A i B, pa ne mora da postoji x tako da vazi A ∧ B.

(i) (∃x)(A ∨ B) ⇔ (∃x)A ∨ (∃x)B

Ova formula kaze da se egzistencijalni kvantifikator ”dobro slaze” sa disjunkcijom,

na isti nacin na koji se univerzalni kvantifikator slaze sa konjunkcijom.



(j) (∀x)A ∨ (∀x)B ⇒ (∀x)(A ∨ B)

Ova formula kaze da se univerzalni kvantifikator ”ne slaze dobro” sa disjunkcijom

– on se moze izvuci iz disjunkcije, ali ne moze uci u nju.

Jasno, ako za svaki x vazi A i za svaki x vazi B, onda za svaki x vazi A ∨ B.

Medutim, ako za svaki x vazi A ∨ B, tada za neke x moze da vazi A a za neke

druge B, ali A ne mora da vazi za svaki x, niti B mora da vazi za svaki x.

(k) (∀x)(A ⇒ B) ⇒ ((∀x)A ⇒ (∀x)B)

(l) (∃x)(A ⇒ B) ⇔ ((∀x)A ⇒ (∃x)B)

(m) (∀x)(A ⇔ B) ⇒ ((∀x)A ⇔ (∀x)B) .



Kao sto smo videli, tautologije oznacene sa (d), (h) i (j) sadrze imp-

likacije samo u jednom smeru.

Sada cemo dokazati da obratne implikacije ne vaze, tj. izokretanjem

smera implikacija u tim formulama se dobijaju formule koje nisu valjane.

Tvrdenje 3: Neka su A i B proizvoljne predikatske formule. Tada

sledece formule nisu valjane:

(d’) (∀y)(∃x)A ⇒ (∃x)(∀y)A;

(h’) (∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧ B);

(j’) (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B.



Dokaz: (d’) (∀y)(∃x)A ⇒ (∃x)(∀y)A nije valjana formula:

Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x, y) se

interpretira kao ”x je vece od y”.

Tada (∀y)(∃x)A(x, y) znaci

”za svaki prirodan broj y postoji prirodan broj x veci od y”

sto je ocigledno tacno.

Sa druge strane, (∃x)(∀y)A(x, y) znaci

”postoji prirodan broj x veci od svakog prirodnog broja y”

sto, naravno, nije tacno.

Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, pa

formula nije valjana.



(h’) (∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧ B) nije valjana formula:

Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x) se inter-

pretira kao ”x je neparan broj”, a B(x) kao ”x je paran broj”.

Tada (∃x)A ∧ (∃x)B znaci

”postoji neparan broj i postoji paran broj”

sto je ocigledno tacno.

Medutim, (∃x)(A ∧ B) znaci

”postoji prirodan broj x takav da je x paran i neparan”

sto ocigledno nije ta v cno.





(i’) (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B nije valjana formula:

Razmortimo ponovo istu interpretaciju kao u (h’).

Tada (∀x)(A ∨ B) znaci

”svaki prirodna broj je neparan ili paran”

sto je tacno.

Medutim, (∀x)A ∨ (∀x)B znaci

”svaki prirodan broj je neparan ili svaki prirodan broj je paran”

sto nije ta v cno.




Semanti cke poslediceSemanti cke poslediceSemanti cke posledice

Neka su A1, A2, . . . , An i A predikatske formule.

Za A kazemo da je semanticka posledica formula A1, A2, . . . , An ako

za svaku interpretaciju D i svaku valuaciju v u D u kojoj su sve formule

A1, A2, . . . , An tacne, vazi da je tacna i formula A, tj.

D |=v A1, A2, . . . , An povlaci D |=v A.

Kao i u iskaznoj logici, i ovde formule A1, A2, . . . , An nazivamo hipo-

tezama, a formulu A njihovom posledicom.



Primer 26: Razmotrimo sledecu argumentaciju:

Premisa 1: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(y, x))

Premisa 2: (∀x)(∀y)(∀z)(L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z))

Zakljucak: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(x, x))

Dokazacemo da je argumentacija ispravna, tj. da je zakljucak seman-

ticka posledica premisa.

Primetimo prethodno da se ovde zapravo tvrdi da ako je relacija L

simetricna i tranzitivna, tada ona zadovoljava i neku ”oslabljenu formu

refleksivnosti”.



Dokaz: Ispravnost ove argumentacije dokazacemo na dva nacina: (1)

direktno i (2) svodenjem na protivrecnost.

(1) Neka je D = (D, φ) proizvoljna interpretacija gornjih formula u

kojoj su tacne obe premise. Neka je

v =

(

x y

a b

)

proizvoljna valuacija u D. Za formulu L(x, y) ⇒ L(x, x) dokazacemo

da je tacna u toj valuaciji, tj. da vazi

(1) (a, b) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).



Prema pretpostavci, formula L(x, y) ⇒ L(y, x) tacna u valuaciji v,

sto znaci da

(2) (a, b) ∈ φ(L) ⇒ (b, a) ∈ φ(L).

Takode, formula L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z) je tacna u valuaciji

w =

(

x y z

a b a

)

,

odakle dobijamo da

(3) (a, b) ∈ φ(L) ∧ (b, a) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).

Sada iz (1.2) i (1.3) dobijamo (1.1), sto je i trebalo dokazati.



(2) Pretpostavimo suprotno, da argumentacija nije ispravna.

To znaci da postoji interpretacija D = (D, φ) u kojoj su premise tacne

a zakljucak nije.

Ako zakljucak nije tacan, tacna je njegova negacija

(∃x)(∃y)(L(x, y) ∧ ¬L(x, x)),

sto znaci da postoje elementi a, b ∈ D takvi da vazi

(4) (a, b) ∈ φ(L) ∧ (a, a) /∈ φ(L).



Medutim, iz tacnosti prve premise dobijamo da

(a, b) ∈ φ(L) ⇒ (b, a) ∈ φ(L),

dok iz tacnosti druge premise sledi da

(a, b) ∈ φ(L) ∧ (b, a) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).

Iz svega toga zakljucujemo da je (a, a) ∈ φ(L), sto je u suprotnosti sa

(1.4). Dakle, polazna pretpostavka da argumentacija nije ispravna nije

dobra.



Primer 27: Razmotrimo sledecu argumentaciju:

Premisa 1: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(y, x))

Premisa 2: (∀x)(∀y)(∀z)(L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z))

Premisa 3: (∃y)L(a, y)

Zakljucak: (∃x)¬L(x, x)

Dokazacemo da argumentacija nije ispravna, tj. da zakljucak nije

semanticka posledica premisa.



Dokaz: Dokazujemo da argumentacija nije ispravna.

Uzmimo da je D skup svih nepraznih reci nad nekim alfabetom A, neka

je a fiksirana rec iz D i

L(x, y): ”x i y imaju zajednicki pravi prefiks”.

Tada su premise tacne, ali zakljucak nije.


predikatske formule – · pdf filepredikatske formule – primeri neka je data...

Documents