predavanje-6 2007 programi strukturnih analizattl.masfak.ni.ac.rs/sa/predavanje-6 2007 programi...

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ

Predavanje 6 Generacija 2007

PROGRAMI STRUKTURNE ANALIZE

KORISNIČKI INTERFEJS

DEFINICIJA: Korisnički interfejs1 je program koji omogućava dijalog izmedju korisnika i računara [61]. U osnovi to je odnos čoveka sa računarom pa se on naziva interfejs čovek-računar (Human Computer Interface – HCI). Korisnički interfejs ima zadatak da na jednostavan način obezbedi dijalog korisnika sa računarom bez obzira na jezičku barijeru.

TIPOVI INTERFEJSA: grafički, govorni, kombinovani. Grafički interfejsi koriste grafičke simbole za predstavljanje različitih sadržaja kao što su datoteke, direktorijumi, parametri za podešavanje, alati za obavljanje različitih operacija. U tu svrhu razvijeni su operativni sistemi Windows, Windows-NT, X-Windows, Unix. Sve programske aplikacije koje rade pod Windows operativnim sistemima imaju razvijene grafičke interfejse (Program Manager, File Manager, Windows Explorer, Internet Explorer) često podržane i audio sekvencama. Slika 1. - korisnički interfejs aplikacije u programu MSC NASTRAN 2004.

Slika 1. Primer Windows prozora otvorene aplikacije MSC NASTRAN 2004 Interfejs na ovoj slici raspolaže u grafičkom obliku sledećim sadržajima za interaktivan rad:

1 Korisnički interfejs, engl. Graphical User Interface - GUI

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 3

• alate za unošenje grafičkog sadržaja poredjanih ispod glavnog Windows menia, • komande za rad sa datotekama (File, Edit, View, Export, Import), gore u zaglavlju, • alate za geometrijsko modeliranje i podešavanja (Solids), • paletu alata podešavanja programa (preferences), • lenjire sa mernim jedinicama ivicom prostora za crtanje, • mehanizam potvrde (redo) i otkaza neželjene operacije (undo), • alate za rad sa mrežama modela (mesh generators), • dugmad za rad sa windows prozorom (meni prozora: min, max, zatvoren prozor), • paletu poslova (taskbar), ispod donje ivice prozora, • traka naslova, u zaglavlju gore - ime datoteke apikacije, • alate za editovanje FEM elemenata (Modify, Delite, List, Group), • paletu raspoloživih boja (vertikalno, desno), • hijerarhijske menije (na slici 1.09 je padajući i kaskadni meni).

OSNOVNI GRAFIČKI ELEMENT: koji ilustruje namenu korisničkog interfejsa je sličica – ikona. Ona slikovito i asocijativno deluje na korisnika: Jasno označava funkciju, lako se pamti i dobro se razlikuje od ostalih ikona. Ikona označava datoteku. Selektovanjem ikone pokreće se program ili otvara datoteka preko putanje do sadržaja na memorijskom medijumu gde je datoteka smeštena. Slika 2.0 pokazuje radni prostor na kome su rasporedjene ikone datoteka različitih aplikativnih programa. Korisnički interfejs nudi mogućnost direktnog postavljanja, uklanjanja i premeštanja ikona na radnoj površini grafičkog uredjaja. Preko ovih operacija vrši se direktna manipulacija programima.

Slika 2.0 Primer Windows radnog prostora sa ikonama datoteka aplikativnih programa

Na slici 3.0-5.0 pokazane su tri interaktivne tehnike funkcionisanja korisničkog interfejsa. Padajući meniji su na mestu izbora tražene opcije, zatamnjeni. Ta opcija je odredjena jednom od tri raspoložive tehnike: pozicioniranjem (preko tastature, recimo upotrebom tastera ALT), selektovanjem posredstvom izbornog skupa (neki atribut, zadebljano ili podvučeno slovo komande) i pokazivanjem opcije (dvostrukim klikom preko miša). MENIJI: su osnovni način otvaranja sadržaja korisniku. Postoje tri osnovne kategorija menija: Hijerarhijski, hodajući i skrolovani meni. Hijerarhijski meniji pokazuju putanju otvaranja shodno hijerarhijskom nivou opcije. Na grafičkom displeju se otvara kaskada opcija. Preglednost putanje je maksimalna. Sl. 3.0 – pokazana je kaskada.


Slika 3.0 Primer menija sa hijerarhijskom kaskadom

Slika 4.0 Primer menija tekuće selekcije (opcije koje se medjusobno isključuju)

• X-Y prikaz, Model style (menu bar), • Stil postprocesorskog prikaza, Contour stil sadržaja prikaza, • Podešavanje podataka prikaza, Animacija modela, • Kriterijumi selekcije, Grafička forma prikaza (render),

Ekranska forma korisničkog interfejsa (Screen Layout):

Slika 5.0 Ekranski izgled selekcije pre/post sadržaja programa MSC Nastran 2004.

Podešavanje pogleda (Windows View):


Slika 6.0 Postavljanje geometrijskih objekata u 3D prostoru: Tipični položaji. Izbor uglova windows pogleda.

Druge tehnike korisničkih interfejsa: To su tehnike rada sa dijalog boksovima, meniji definisanja svojstava materijala. Tehnika modifikacije elementa koristi koncept držača (handles) za uvećanje, umanjenje ili razvlačenje objekta u ravni.

Slika 7.0 Modeliranje preseka objekta alatom SECTION DOPUNSKI ELEMENTI EDITOVANJA: Stablo procedure modeliranja

HCI u FEM: Postprocesiranje:

Slika 8.0 IZO stil prikaza (Linije jednakih napona )

Slika 9.0 Prikaz stilom kontura: (Contour style)


Predprocesiranje:

FORMIRANJE MODELA U FEM

Formiranje diskretnog modela je pripremna faza - procedura pre analize metodom konačnih elemenata. Formiranjem diskretnog modela stvara se osmišljena, uskladjena i povezana grupa konačnih elemenata kojom je opisan kontinuum, koji je predmet analize. Formiranje modela za analizu ima četiri faze:

• Formiranje geometrijskog modela, • formiranje idealizovanog modela, • formiranje modela zona i • formiranje diskretnog modela, [91].

Geometrijski model kreira projektant, CAD softverom za projektovanje. Time nastaje datoteka podataka koji realno opisuju geometriju objekta sa svim potrebnim detaljima za izradu. Geometrijski model može da sadrži geometrijske elemente koji nemaju značaja za analizu jer ne utiču na naponsko-deformacionu sliku objekta. Radi toga se formira idealizovan model u kome su odbačeni nevažni detalji.

Idealizovan model je uprošćen model koji ne mora da predstavlja celinu objekta ukoliko može da se njegovim simetričnim formama predstavi funkcija i način opterećenja celine. Idealizovan model se uvek formira sa zahtevom manjeg obima kontinuuma za analizu. Osnova razvoja racionalnih idealizovanih modela je apstrakcija. Apstrakcija je sagledavanje modela od strane analitičara kojom se:

• Postavlja koncept modela, • uklanjaju detalji, • prepoznaje simetrija, • redukuje model, • prilagodjavaju modaliteti unosa opterećenja.

Slika 10-a. Faze transformacije modela. Slika pokazuje tri modela: Geometrijski model, idealizovan model i model zona.


Slika 10-b. Faze transformacije modela. Slika pokazuje tri modela:

Geometrijski model, idealizovan model i model zona. Četvrti model - diskretni model je prikazan kao zapreminski – solid model objekta

Model zona predstavlja idealizovan model rasčlanjen na pravilnije celine – zone koje dozvoljavaju podelu kontinuuma na konačne elemente prema standardnom - poznatom algoritmu generisanja ili preslikavanja. Na slici 10-b pokazan je model sa 4 zone. Uskladjivanje medjusobnog poklapanja čvorova i odsustvo koincidencije elemenata i čvorova obezbedjuje se mapiranjem mreže – procedurom uskladjenog broja elemenata na kontaktnim površinama zona.

Diskretni model se razvija na bazi modela zona i uskladjenog broja elemenata kontaktnih površina zona. Diskretni model podrazumeva odredjivanje čvorova, konačnih elemenata, podataka o materijalu, diskretnom opterećenju i diskretnim graničnim uslovima. Diskretni model podrazumeva sva potrebna prilagodjavanja mreže konačnih elemenata graničnim uslovima oslanjanja i tačkama i površinama dejstva spoljašnjih sila. Razvijena mreža konačnih elemenata se ocenjuje parametrima oblika mreže. To su geometrijski okviri u kojima je primenjen konačan element (deformisanost oblika), pravilnost razvoja mreže (kontinualnost promene pravca i oblika elementa), pravilnost promene veličine elementa (kontinualnost promene geometrije). Na bazi ovih parametara vrši se poboljšanje mreže pre nego što se formira konačan diskretan model prema kome se vrši analiza.

Razvoj mreže konačnih elemenata može se realizovati: Ručnim putem (pojedinačnim definisanjem čvorova i elemenata), Poluautomatskim putem kada se na bazi postavljenog koncepta modela zadaju pojedinačne

komande automatskog generisanja konačnih elemenata u zonama. Poluautomatski generatori su interaktivnog tipa – zasnivaju se na instrukcijama definisanim kroz dijalog.

Automatska procedura podrazumeva generisanje mreže kao celine jednom komandom kojom

nastaje ceo diskretni model iz zadatog geometrijskog modela i negeometrijskih instrukcija o osloncima, opterećenju, materijalu i fizičkim osobinama. Automatsko generisanje je karakteristično za najsavremenije modelere. Zato je osnovni programski alat za odredjivanje zona u kojima se generiše mreža – generator granica. Automatski generatori koriste tri metode za formiranje mreža: Metodu spajanja čvorova, metodu prilagodjavanja uzorka mreže i metodu dekompozicije, [91].

Softver za analizu, shodno načinu modeliranja, može da se razvija kao integralni i modularni.

Integralni podrazumeva softverski potpuno integrisane sve faze razvoja modela, analize i postprocesiranja. Modularni pristup podrazumeva razvoj, korišćenje i distribuciju softverskih modula za pojedinačne etape analize (geometrijsko modeliranje, preprocesiranje, postprocesiranje, analiza).


Modularni programi podrazumevaju bogatiji interfejs za rad sa različitim formatima i programima. Primer takvih programa je FEMAP (Finite Element Modeling And Postprocessing), MicroStation-SE. Softverski paketi kao I-DEAS, ANSYS, ALGOR, NASTRAN, COSMOS integrišu sve proceduralne faze strukturne analize: Geometrijsko modeliranje, idealizaciju, kreiranje diskretnog modela, rešavanje zadatka i postprocesiranje. Često su tu pridodate opcije za optimizaciju, redizajn, analizu osetljivosti modela, konkurentni inžinjering, izradu tehničke dokumentacije, poredjenje sa eksperimentom.

Pre/post procesori su programi predvidjeni za rad sa geometrijskim podacima, opterećenjima, graničnim uslovima, naponima, deformacijama, vektorima, poljima, grafičkim tipovima geometrijskih modela, animacijom, greškama analize. Pre/post procesori su uvek zasnovani na grafičkom interfejsu i na taj način omogućuju analizu po različitim osnovama, istraživačkim ciljevima. Pre/post procesori daju brzinu radu jer direktno vrše obradu rezultata analize.

Centralni programi u metodi konačnih elemenata su generatori mreža – modeleri mreža.

Mogu generisati 2D ili 3D mreže konačnih elemenata. Dvodimenzione mreže se koriste za rešavanje ravanskih i osnosimetričnih zadataka2. Trodimenzione mreže su najopštija kategorija mreža i u domenu mašinstva njima se pokriva kontinuum objekata koji su uvek 3D. Drugi značajan parametar generacije je gustina elemenata u pojedinim zonama. Generatori mreža koriste dva pristupa u zadavanju gustine mreže:

Prvi pristup kod koga se gustina elemenata unapred (a priori) pretpostavlja analizom idealizovanog modela iz koje se odredjuju parametri generatora mreža. Ovaj model se zasniva na opštim osobinama mehanike kontinuuma i u pojedinim slučajevima može da da veću grešku proračuna kao posledicu neadekvatnog ili neraspoloživog predpostavljenog parametra programskog generatora mreže. Pretpostavke je potrebno proveriti nakon analize.

Drugi pristup zasniva se na korišćenju rezultata izvršene analize (a posteriori), za redefinisanje gustine mreže. Ovaj pristup postavlja inicijalnu mrežu sa početnom veličinom konačnog elementa odredjenog na bazi zoniranog modela. Sa tom gustinom izvrši se proračun pa se na bazi izvršene analize ocenjuje lokalna adekvatnost veličine i rasporeda elemenata. Na bazi gradijenta dobijenog napona, lokalne energije (funkcionala Π) i greške modela, vrši se redefinisanje mreže. Mreža je sada uslovljena realnim zahtevima kontinuuma i negeometrijskim parametrima objekta. Pošto takva mreža odgovara gustinom elemenata postavljenom zahtevu tačnosti i ima ujednačen kvaltet dobijenih rezultata, takva mreža se definiše kao adaptivna mreža [50]. Do adaptivne mreže se ne dolazi direktno, već iterativno u više prolaza.

MODELIRANJE MREŽA - OPŠTE FUNKCIJE

Razvoj diskretnih mreža konačnih elemenata na objektima podrazumeva definisanje osnovnih elemenata: tačaka, linija, površina, zapremina, čvorova i konačnih elemenata. Nad geometrijskim elementima modela obavljaju se operacije generisanja sastavnih elemenata diskretnih modela, primenom odgovarajućih softverskih alata. Postavljanje (konstruisanje) čvora u proizvoljnoj tačci prostora (x,y,z), u opštem slučaju dato je specificiranom naredbom IK3-01. Slika 11. pokazuje tri vrste alata za izvodjenje transformacija nad grupom čvorova. Programske naredbe za izvršenje ovih funkcija su date:

IK3-01: Kreirati čvorove (konačnog elementa) (Create Nodes) IK3-02: Kopirati čvorove translacijom (Copy Nodes) IK3-03: Kopirati čvorove rotacijom (Rotate Nodes) (3.29) IK3-04: Kopirati čvorove refleksijom (Reflect Nodes)

2 Osnosimetričan konačan element je ravanski element za osu u istoj ravni.


Slika 11. Tri operacije nad čvorovima konačnih elemenata:

IK3-05: Kreirati konačan element (Create Element) (3.30) Pri navodjenju zahteva za kreiranje linijskih elemenata, programi obično nude izbor: A. Element za aksijalna i torziona opterećenja (bez smicajna i savijanja–rod element), sl.3.14-a, B. Cevni element sličnih osobina kao i prethodni (tube element), slika 3.14-b, C. Štapni element za aksijalna opterećenja i savijanje (bar element), slika 3.14-c, D. Linijski element krutosti (spring element), slika 3.15-a, E. Linijski element prigušenja (damper element), slika 3.15-b, F. Kombinovani element zadate krutosti i prigušenja, G. Linijski element nelinearnosti (gap element), H. Krivolinijski gredni element (curved beam element), slika 3.15-c

Generatori mreža: Značajno ubrzanje rada na diskretnom modelu može da se postigne zadavanjem instrukcija za izvodjenje generatorskih operacija nad grupom konačnih elemenata. Primeri kopiranja u zadatom pravcu (A-B) i kopiranja refleksijom (za zadatu ravan). Ove operacije omogućuju generisanje grupe konačnih elemenata identičnog rasporeda i forme. Navedene operacije se primenjuju kod modeliranja nad objektima koji imaju izrazitu ponovljivost detalja. Ovo takodje pokazuje da prethodno geometrijsko modeliranje ne mora da bude izvedeno nad celim objektom jer se objekat može kompletirati efikasnije u fazi diskretizacije. Raspored nije bitna kategorija za realizaciju operacija i može biti primenjena slobodna ili automatski kreirana mreža.

Slika 12. Dve operacije nad grupom konačnih elemenata: Kopiranje u zadatom pravcu i kopiranje refleksijom

IK3-06: Kopirati elemente (Copy Elements) IK3-07: Kopirati refleksijom elemente (Reflect Elements) (3.31)

X

Y

Z

12

34

5

67

89

10V1

12

34

5

111213

1415

V2

12

34

5

1617

1819

20

V3

60

X

Y

Z X

Y

Z


GENERISANJE UNIFORMNIH MREŽA

Kada se na objektu razvija mreža sa topologijom koja je tačno unapred odredjena, definiše se površina na kojoj se izvodi operacija. Naredni korak je izbor alata za generisanje mreže. Način i metodologiju generisanja mreže odredjuje analitičar/konstruktor, izborom tipa i parametara alata. Objekti na kojima se realizuje mreža, mogu imati različite stepene složenosti iz čega i proističu različiti alati za generisanje mreže. Polazni zadatak za razumevanje procedura, može biti generisanje mreže na proizvoljnoj četvorougaonoj ploči, što je navedeno funkcijom 3.32:

IK3-08: Kreirati mrežu izmedju uglova - temena (Create Mesh between Corners) (3.32)

Slika 13. -a,b Primeri generisanja uniformnih mreža

Ova funkcija zahteva unošenje oznake čvorova i broj elemenata u pravcima lokalnih osa (s) i (r)

koji se generišu mrežom. Kada se generisanjem dobijaju proporcionalni ili identični konačni elementi, takva mreža se naziva uniformna. Za ploču na slici 13.-a, zadata su temena N25, N2, N3, N1 i podela 4 x 4 elemenata. Ukoliko se funkcija ponovi na elementima E9, E10, E13, E14, sa istim parametrima, (posle odklanjanja koincidentnih čvorova i elemenata i renumeracije mreže), nastaje model mreže prikazan na slici 13.-b. Ovaj model sa 28 elemenata ploče odlikuje se gušćom mrežom koja omogućuje precizan unos spoljašnjeg uticaja, manji stepen aproksimacije u analizi uticaja, bolji (detaljniji) prikaz polja napona i deformacija. Prelaz iz krupnijih u sitnije elemente mora naknadno da se dotera.

Nekad je procedura generisanja mreže složenija. Tako, recimo, kada se generiše mreža na prstenastoj ploči, bira se pomoćna funkcija za konstruisanje, kojom se generišu kontrolne tačke mreže:

IK3-09: Kreirati dimenziju mreže uzduž kriva na površini (Create Mesh Size along Curves on Surface) (3.33) Tek sada može se postaviti zahtev za kreiranje mreže na površini: IK3-10: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) (3.34) Ovom funkcijom se formira mreža koja ima položaje čvorova i elemenata prema postavljenom

modelu sa kontrolnim tačkama. Slika 14.0 pokazuje primer kreiranja mreže na prstenastoj ploči sa 12 elemenata u cirkularnom i 3 u radijalnom pravcu. Generisano je 36 konačnih elemenata sa 48 čvorova i 48 x 6 stepeni slobode kretanja (SSK). Mreža ima pravilan oblik i proporcionalnu geometriju konačnih elemenata. Pri tome su prikazani četvorougaoni ravanski konačni elementi.

1 2 3 45

67

8910

1112

13

14

15

16

1

2

3 4 5 6

78 9

101112

1314

1516

17

18

19

20

21

22

23

24

25

X

YZ

1 2 3 45

67

8

910

11

12

13 14 15 161718

1920

2122

2324

2526

2728

1

2

3 4 5 6

78 9

101112

1314

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

2526 2728

2930

3132

33

3435

3637

3839

40

41


Slika 14. Generisanje ravanskih četvorougaonih konačnih elemenata u polarno-cilindričnom koord. sistemu Kada je potrebno izvršiti generisanje mreže na nepravilnim površinama (različitih dimenzija

strana i uglova u 2D i 3D prostoru), tada je potrebno zadavanje dodatnih instrukcija automatskim generatorima mreža, kojima se daje fleksibilnost u generisanju prelaznih oblika konačnih elemenata. To se najpre odnosi na podešavanje dužina ivica elemenata duž istih izvodnica objekta. Komanda za poziv generatora mreže, ima opšti oblik:

IK3-11: Generisati parametre veličine mreže (Generate Mesh Size) (3.35)

Slika 15.0 Uniformna mreža sa nejednakom veličinom konačnih elemenata

SLOBODNE FORME MREŽA Kod neautomatskih procedura kada se generišu (free mesh), mora se poznavati tačnost modeliranja iz iskustva grupe predhodno izvedenih modela i proračuna. Slobodno formirana mreža mora poštovati opšte principe formiranja mreža:

• Specificirati veličine mreža sa prelaznim vrednostima parametara (dimenzija) uzduž ivica, • Ne zadavati parametre generacije mreža u širokim granicama, • Koristiti standardne parametre za generisanje mreža (programski podešene), • Razviti više realizacija mreža i izabrati najpovoljniju, • Mapirati granice na površinama gde je god to moguće (manja logička složenost modela), • Kod jako zakrivljenih oblika konačnih elemenata vršiti rekonstrukciju mreža

1

12

3

4

5

6

7

8

910

11

12

13

14

15

16

1718

19

20

21

22

23

24

2526

27

28

29

30

31

32

3334

35

36

37

38

39

40

4142

43

44

45

46

47

48

4950

51

52

53

54

55

56

5758

59

60

61

62

63

64

V4

X

Y

Z


Generisanje mreže na zapreminskim (3D) objektima koristi opštu komandu za konstruisanje: IK3-16: Generisati mrežu na zapremini (Generate Mesh on a Volume)

Korišćenjem komande na objektu (posteljica kliznog ležaja) prikazanom na slici 16, dobijena je mreža sa 125 - 3D konačnih elemenata (solid brick), 312 čvora i 936 stepeni slobode kretanja. Podešavanje kvaliteta rešenja preko veličine konačnih elemenata poznato je još kao h-size parametar. Kod poluautomatskog generisanja mreža, moguće je veličinom osnovnog elementa, definisati gustinu mreže.

Slika 16. 0 Primer generisanja uniformne mreže na 3D objektu Do iste mreže može se doći i drugim procedurama kao recimo generisanjem mreže na površini

2D objekta i rotacijom površine uz prevodjenje površinskih elemenata u zapreminske: IK3-17: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) IK3-18: Rotirati elemente (Revolve Elements) (3.38) Za ovu realizaciju zadaju se parametri: tip konačnog elementa, osobine, materijal, osa rotacije i broj elemenata duž

linije rotacije. Proces generisanja mreže ilustruje naredna slika:

Slika 17.0 Primer generisanja 3D uniformne mreže rotacijom prethodno formirane 2D mreže Treći način za istu realizaciju je generisanje mreže na površini poluprstena posteljice i

izvlačenje (ekstrudiranje) duž visine posteljice: IK3-19: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) IK3-20: Izvući elemente (Extrude Elements) (3.39)


Kontrolni argumenti za ovu proceduru generisanja mreže su: broj elemenata na čeonoj površini i

po visini posteljice, vektor pravca izvlačenja, tip konačnog elementa na površini, tip konačnog elementa na zapremini, prateća svojstva konačnih elemenata. Proces generisanja mreže ilustruje slika 18.0:

Slika 18.0 Primer generisanja uniformne mreže izvlačenjem

AUTOMATSKO GENERISANJE MREŽA Automatsko generisanje mreža konačnih elemenata koristi se za realizaciju obimnih zadataka kakvi su industrijski problemi sa više desetina hiljada konačnih elemenata. Te instrukcije se u softveru nalaze pod opštim navodima: IK3-21: Automatski generisati granice mreže (Automatically mesh generation boundaries) Automatski kreirati mrežu (Auto_Create)

Specifikacija argumenata mreže IK3-21:

Način generisanja mreže (pravilna, adaptivna),

Veličina elementa u mreži (h-size), Broj elemenata u pravcima mreže, Nagib elemenata u mreži (biasing), Veličina globalnog i lokalnog elementa slobodne mreže, Multiplikatori dužine za slobodne mreže, Dužina elementa na bazi zakrivljenosti forme (Curvature-Based Element Length)

Ova realizacija podrazumeva postavljanje granica konačnih elemenata po površini ili zapremini

objekta nezavisno od njegove topološke složenosti. Složenost oblika je sadržana u promeni forme na objektu po njegovoj dužini usled otvora, žljebova, ispupčenja, zaobljenja, nagiba, suženja i proširenja. Shodno tome, softver za automatsku generaciju definiše tako diskretnu mrežu da ona prati složenost oblika i brzinu geometrijskih promena sa aspekta naponskih tokova.

Dakle, mreža mora da ima dovoljnu gustinu da bi konačnim elementima bila uneta minimalna (prihvatljiva) aproksimacija forme. Kao posledica ovog zahteva, razvijeni su matematički modeli za ocenu odstupanja potencijala kontinualne od diskretne strukture konačnih elemenata. Automatska generacija mreže konačnih elemenata zasnovani su na sledećim postupcima:

• Upravljanju razvojem mreže, • Tehnikama ravnanja mreže na objektu, • Metodama za izbor oblika i vrste elementa

A. UPRAVLJANJE RAZVOJEM MREŽE definiše početak i pravac generisanja mreže. Osnova razvoja takve mreže je plan mreže (mapa) koji je odredjen definisanjem podele na površinama i ivicama objekta. Postoje u osnovi dva modela razvoja mreže: pravilna (uniformna) i slobodna.


Pravilna mreža ima strategiju simetričnog ravnomernog razvoja u pravcu promene toka konture. Pravilne mreže su proporcionalnih konačnih elemenata, estetske ali daju veliki broj elemenata.

Slika 19.0 Uniformna - kontinualna mreža iste forme konačnih elemenata

Slobodne mreže imaju veću slobodu u smislu rasporedjivanja granica elemenata. Slobodne mreže se specificiraju parametrom globalne veličine elementa, lokalne veličine elementa, brojem elemenata u krivini i multiplikatorom veličine elemenata u mreži. Kako veličina ivice konačnog elementa, predstavlja deo cele dužine ivice modela, to se ova specifikacija definiše veličinom elementa u odnosu na celu konturu i poznata je kao h-specifikacija. Parametar za ovu specifikaciju je broj tačaka na konturi. Uobičajeno se definiše od 20 do 30 elemenata:

Slika 20. Definisanje tačaka na konturi - predgenerisanje elemenata za ocenu forme i gustine mreže

Drugi parametar razvoja mreže podrazumeva definisanje maksimalnih geometrijskih odnosa medju samim elementima u mreži. Idealno je da su konačni elementi iste veličine, ali se od ovog zahteva odstupa da bi se dobila mreža potrebne gustine na kritičnim lokacijama. Zato je uveden parametar nagiba (biasing3) elementa prema centru ili krajevima konture (3.0 i više). Ovaj parametar odredjuje zgušćenje trajektorija ivica konačnih elemenata u pravcu razvoja mreže. Njime je odredjena brzina prelaska diskretne strukture iz krupnog konačnog elementa na kraju površine u sitan element u prelaznoj zoni. 3 Termin softverskog paketa I-DEAS koji predstavlja odnos dužine vektora centra kosine i upravne ivice elementa.

X

Y

Z

X

Y

Z


B. RAVNANJE MREŽE ima za cilj da obezbedi proporcionalnost oblika i kontinuitet granica

elemenata u odnosu na konturu objekta. Na ovaj način smanjuje se izobličenje forme konačnih elemenata. Za ravnanje granica elemenata koriste se različite metode geometrijske ispune prostora pri čemu se dobar uspeh rasporedjivanja postiže primenom Laplace-ove i težišne iteracije. Laplace-ova metoda pomera zajednički čvor četiri susedna elementa, prema preseku obrazovanom direktnim poravnanjem ivica susednih elemenata, slika 21-a. Težišna metoda pomera zajedničku tačku ka težištu sva četiri konačna elementa, slika 21-b. Laplace-ova metoda stvara mrežu sa najmanjim izobličenjem elemenata.

Slika 21.0 Dva modela za ravnanje mreža: Laplace-ov i težišni metod

C. TREĆA GRUPA METODA stara se za izbor vrste i tipa konačnog elementa. To je, recimo,

izbor 2D i 3D elemenata pripadajućeg oblika. Kod ravanskih i površinskih struktura to su trougaoni i četvorougaoni oblici ploča, ljuski, membrana. Kod 3D objekata: prizme (brick) ili piramide.

PRIMER: Geometrija samog konačnog elementa zadaje se parametrom oblika. Kod četvorougaonih konačnih elemenata to je minimalan dozvoljeni ugao zakošenja. Recimo, on se bira u granicama 75÷60° čime se dobijaju dobre diskretne forme mreža. Naredna dva primera pokazuju automatsku generaciju mreže na četvrtastoj 3D pločici sa kružnim otvorom. Prva mreža, na slici 22. izvedena je četvorougaonim elementima sa maksimalno zadatim odnosom zakošenja elemenata 5:1 i minimalnim uglom izmedju dve ivice od 60° i grubom h-specifikacijom veličine 10. Automatska generacija je dala ravnomerne veličine elemenata. Dobijena mreža se karakteriše sa 92 konačna elementa i 113 čvora. Ravnanjem je dobijeno odstupanje ε=9.8⋅10-4, posle 35 iteracija, težišnom metodom.

Slika 22. Automatsko generisanje mreže četvorougaonih konačnih elemenata na objektu sa otvorom

(H-specifikacija =10, Biasing = 5, minimalan ugao nagiba stranica = 60°, metoda ravnanja – težišna)

T2

T3

T4

T1

K1

K2

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

1213

14 15

16

17

18

19

20

21

22

2324

25

26

27

28

29

30

3132

3334

35 3637

38

39

40

41

42 43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55 56

57 58

59 6061

62

63

64

65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

7879

8081 82

8384

85

86

87

88

89

90

91

921 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

13

14

15

16

17

18

1920212223242526272829

30

31

32

33

34

35

36

37

3839

40

41 42

43 44 45 46 47 48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

6162

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

9899

100

101

102

103

104

105

106

107108

109

110

111

112

113


Slika 23. Automatsko generisanje mreža na objektu primenom trougaonih konačnih elemenata

H-specifikacija =10, Biasing =2, Laplace-ova metoda sa 10 iteracija i ε= 0.001. Realizacija: 54 čvora i 150 elemenata

POJAM ADAPTIVNIH MREŽA

SITUACIJA: Analiza tačnosti po delovima kontinuuma, pokazuje nejednaku grešku lokalnih zona. RAZLOG: Promena tačnosti objašnjava se kao neadekvatnost postavljene mreže da prati nagle

promene (gradijente) napona i defrmacija. KOREKCIJA:Radi toga se modeliraju uniformne mreža veće gustine, kako bi se umanjila greška

analize, što direktno dovodi do skupih diskretnih modela sa velikim brojem stepeni slobode kretanja.

PROBLEM DOVOLJNE TAČNOSTI modela, neizvesne je prirode, sve dok je topologija mreže individualno formirana i dok se ne utvrdi tačnost proračunom (estimovanjem) vrednosti.

ADAPTIVNI POSTUPCI: Radi toga su razvijeni adaptivni postupci modeliranja mreža koji eliminišu individualan pristup i formiraju adaptivnu mrežu na bazi zadate tačnosti modela.

MEHANIZAM: Adaptivna mreža konačnih elemenata formira se na bazi mehanizma procene greške polaznog modela mreže. Regenerisanjem polaznog modela mreže, shodno procenjenoj grešci, dobija se adaptivna mreža koja se karakteriše nejednakom gustinom konačnih elemenata sa greškom manjom od zadate po celom kontinuumu. Danas su razvijene tri grupe adaptivnih postupaka automatskog generisanja mreža:

• h - adaptivni postupak, • p - adaptivni postupak, • h-p adaptivni postupak

H-adaptivni postupak rekurzivnim algoritmom menja topologiju mreže, prema

gradijentu deformacija ili napona. Posledica je direktna promena veličine konačnih elemenata, po čemu je i postupak dobio ime. Adaptivna mreža pri tome ima guste konačne elemente, malih dimenzija u zoni velikih deformacija, pa se u suštini, broj konačnih elemenata u odnosu na polaznu mrežu povećava. Enormno uvećanje broja elemenata je loša osobina modela čak i kada se raspolaže moćnim računarskim resursima. H-adaptivni postupak odredjuje grešku polazne mreže na bazi koje izračunava novu veličinu konačnog elementa u posmatranoj zoni, sa ciljem zadovoljenja postavljene tačnosti.

1

1

113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

124

125

126

127

128

129

130

131132133134135136137138139140141

142

143

144

145

146

147

148

149

150151

152

153 154

155

156157

158

159160

161

162163 164 165 166 167

168169170 171172

173

174175 176

177

178

179

180

181182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193194

195

196

197198

199

200

201

202

203 204

205

206

207

208


Razlika egzaktnih rešenja pomeranja i napona u,σ i odgovarajućih aproksimativnih rešenja pomeranja i napona σ,u , predstavlja grešku pomeranja e i grešku napona eσ, koje se definišu relacijama 3.46-a,b:

,ˆe ,uueu σ−σ=−= σ (3.46-a,b)

Norma greške je najčešće korišćena veličina za izražavanje greške je koja se u slučaju elastičnog sistema, označene indeksom L2. U ovim izrazima, L je matrica diferencijalnih operatora, V-zapremina kontinuuma a D matrica elastičnih osobina materijala. Norma greške za deformacije i napone, definisana je jednačinama 3.49-a,b, [51].

2/1

V

T2L

2/1

V

T2L dVeee ,dVeee ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅= ∫∫ σσσ , (3.49-a,b)

Kvadrat norme celog kontinuma,je suma pojedinačnih kvadrata normi konačnih elemenata, prema 3.50:

,ee2

i

m

1i

2∑=

= (3.50)

Kod optimalnih adaptivnih mreža, ravnomerno je rasporedjena energetska norma po konačnim elementima celog diskretnog sistema. Energetska norma nema prostu fizičku interpretaciju u mehanici kontinuma pa se zato koriste i drugi oblici izražavanja greške modela.

Relativna procentualna greška η je mnogo očiglednija za interpretaciju, (3.51-a): Apsolutna greška napona (3.51-b):

,V

e %, 100

ue

2/122L

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=σ∆⋅=η

σ (3.51-a,b)

STRATEGIJA GENERISANJA H-ADAPTIVNE MREŽE: Definiše algoritam za pojedinačno odredjivanje veličina konačnih elemenata pri čemu je ispunjen uslov da je greška ravnomerno

rasporedjena po kontinuumu i da je manja od zadate greške ηdop. Ovaj uslov se definiše relacijom 3.52 iz koje direktno za svaki konačan element može da se proveri tačnost proračuna, na bazi 3.53.

KONCEPT: Ukoliko se jednačinom 3.54-a, izrazi količnik greške ξ u i-tom elementu i prosečne

greške cele strukture em sa m elemenata, može se odrediti korekcija h-veličine elemenata: Kada je ξi>1.0, potrebno je povećanje gustine elemenata u posmatranoj zoni kontinuuma. Kada je ξ<1.0, potrebno je razrediti mrežu konačnih elemenata.

dopη≤η (3.52)

m

2/122

dopi em

eue =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +η≤ (3.53)

prirastaj dop

im

ii ,

e

e

σσ∆

=ξ=ξ , (3.54-a,b)


KOREKCIJA: Ukoliko je polazna veličina konačnog elementa hi, za koji je odredjen koeličnik

greške ξi, primenom interpolacione funkcije stepena p, može se odrediti korigovana dimenzija

konačnog elementa sa aspekta zadate tačnosti hi NOVO, prema relaciji 3.55. Efikasnost nalaženja rešenja ocenjuje se indeksom efikasnosti nalaženja rešenja θ, koji je definisan relacijom 3.56.

,

hh

p1

i

iNOVO i

ξ

= (3.55)

TACNO

PROCENJENOe

e=θ , (3.56)

P-adaptivni postupak ne menja topologiju postavljene mreže u zonama visokih gradijenata deformacija i napona već podešava stepen interpolacionih polinoma konačnih elemenata. Tako se formira adaptivna mreža od konačnih elemenata promenljivog stepena interpolacionih funkcija. PRIMER: .

FINA JEDNOLIKA

MREŽA

ADAPTIVNA MREŽA

TROUGAONI EL.

P-METOD TROUGAONI EL.

(P=5)

P-METOD ČETVOROUG. EL.

(P=5)

Broj elemenata mreže 2890 176 46 8 Čvorova po konačnom elementu

3 6

6

6

8

NAPON σ u tački D 4936 5819

5773 6008 6211

Greška u odnosu na tačno rešenje %

16.9 2.1

2.8

1.1

4.5

VREME rešavanja sec CP 386/20 MHz

297 2417

90

99

38

Slika 24 Uporedan pregled načina rada modelera firme

STRUCTURAL RESEARCH AND ANALYSIS CORPORATION - S. MONICA, USA O adaptivnim mrežama u knjizi: dr Miomir Jovanović, TEORIJA PROJEKTOVANJA KONSTRUKCIJA RAČUNAROM, Mašinski fakultet Niš, 1994. dr Miomir Jovanović, mr Janko Jovanović: CAD-FEA Praktikum, Mašinski fakultet Niš, 2000.

Fina uniformna mreza Adaptivna mreza

P-postupak sa cetvorougaonim elementim

P-postupak sa trougaonim elementima




predavanje-6 2007 programi strukturnih analizattl.masfak.ni.ac.rs/sa/predavanje-6 2007 programi...

Documents